求函数极限方法的若干方法

求函数极限方法的若干方法（精选9篇）

求函数极限方法的若干方法 篇1

求函数极限方法的若干方法

摘要： 关键词：

1引言：极限的重要性

极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y=f(x)在x=x0处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。

2极限的概念及性质2.1极限的概念

2.1.1limn→∞

xn=A,任意的正整数N，使得当n>N时就有 xn−A <。

2.1.2limx→∞f x =A↔∀ε>0，任意整数X，使得当 x >时就有 f x −A <。类似可以定义单侧极限limx→+∞f x =A与limx→−∞f(x)。2.2.3类似可定义当，整数，使得当

时有

。，时右极限与左极限：。在此处键入公式。

2.2极限的性质

2.2.1极限的不等式性质：设若若，则，使得当，当

时有

。时有时有，则

；

。，则

与，使得当

在的某空心邻

时，时有，则。

。

2.2.1（推论）极限的保号性：设若若,则，使得当，当2.2.2存在极限的函数局部有界性：设存在极限域有

内有界，即3求极限的方法

1、定义法

2、利用极限的四则运算性质求极限，3、利用夹逼性定理求极限

4、利用两个重要极限求极限，5、利用迫敛性求极限，6、利用洛必达法则求极限，7、利用定积分求极限，8、利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限

9、利用变量替换求极限，10、利用递推公式求极限，11、利用等价无穷小量代换求极限,12、利用函数的连续性求极限，13、利用泰勒展开式求极限，14、利用两个准则求极限

15、利用级数收敛的必要条件求极限

16、利用单侧极限求极限

17、利用中值定理求极限 3.1定义法

利用数列极限的定义求出数列的极限.设的,总存在一个正整数

.，当

是一个数列,是实数,如果对任意给定,我们就称是数列

时,都有的极限.记为例1 证明

证 任给，取，则当时有

，所以。

3.2利用极限的四则运算性质求极限 设，，则

。，例1求解 这是求

型极限，用相消法，分子、分母同除以

得。，其中3.3利用夹逼性定理求极限

当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。3.3.1（数列情形）若则。，使得当时有，且，3.3.2（函数情形）若，则，使得当。

时有，又

例题

解 ：，其中，因此。

3.4利用两个重要极限球极限 两个重要极限是，或。

第一个重要极限可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要观察所给的函数形式，只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时，才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。例题1解：令t=故 例题23.5利用迫敛性求极限 ,且在某个。

内有,那么

.则sinx=sin（t)=sint, 且当

时

例 求的极限

解：因为.且 由迫敛性知

所以

3.6利用洛必达法则求极限

假设当自变量和趋近于某一定值（或无穷大）时，函数

和

和

满足：的导数不为0的极限都是或都是无穷大都可导，并且存在（或无穷大），则极限也必存在，且等于，即=。利用洛必达法则求极限，可连续进行运算，可简化一些较复杂的函数求极限的过程，但是运用时需注意条件。

例题 求

解 原式=注：运用洛比达法则应注意以下几点：

1、要注意条件，也就是说，在没有化为或时不可求导。

2、应用洛必达法则，要分别求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。

3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否还是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会错误。

3.7利用定积分求极限

利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间 例

上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。

解 原式=，由定积分的定义可知。

3.8利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限 利用无穷小量乘有界变量仍是无穷小量,这一方法在求极限时常用到。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简单化。例

解 注意时。

3.9利用变量替换求极限

为将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可以根据极限式特点，适当的引入新变量，来替换原有变量，使原来的极限过程转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。

例 已知证 令

试证

则时，于是

当时），故时第二、三项趋于零，现在证明第四项极限也为零。因有界，即，使得

。所以

（当

原式得证。

3.10利用递推公式求极限

用递推公式计算或者证明序列的极限，也是一常见的方法，我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在前提下，根据极限唯一性，解出我们所需要的结果，但是验证极限的存在形式是比较困难的，需要利用有关的不等式或实数的一些性质来解决。

例 设，对，定义

且

。证明 时，解 对推出递推公式解得,，因为，因此，序列

中可以得出

是单调递增且有界的，它的极限，设为，从，即。

3.11利用等价无穷小量代换求极限 所谓的无穷小量即，例如 求极限 解 本题属于有

型极限，利用等价无穷小因子替换

=

=,，称

与

是

时的无穷小量，记作

注：可以看出，想利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的 等价无穷小量，如：由于，故有又由于故有。

另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能利用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。

小结:在求解极限的时候要特别要注意无穷小等价代换,无穷小等价代换可以很好的简化解题。

3.12利用函数的连续性求极限

在若处连续，那么且

在点连续，则。

例 求的极限

解：由于

及函数在处连续，故

3.13利用泰勒展开式求极限 列举下 例题

3.14利用两个准则求极限

3.14.1函数极限迫敛性（夹逼准则）：若一个正整数，并且例题

3.14.2单调有界准则：单调有界数列必有极限，并且极限唯一。,当时，则

则。

利用单调有界准则求极限，关键是要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例题

3.15利用级数收敛的必要条件求极限

利用级数收敛的必要条件：若级数收敛，则，首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限。例题

3.16利用单侧极限求极限

1）求含的函数

趋向无穷的极限，或求含的函数

趋于的极限;2）求含取整函数的函数极限;3）分段函数在分段点处的极限;4）含偶次方根的函数以及

或的函数，趋向无穷的极限.这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左，右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例题

3.17利用中值定理求极限 3.17.1微分中值定理： 3.17.2积分中值定理

求函数极限方法的若干方法 篇2

后续内容 (连续、导数、积分等) 的学习, 还将影响到一些相关课程的学习。因此, 我们将对求极限常用的一些方法进行结归纳。

一、运用函数连续性求函数的极限

此方法和下面的极限的四则运算法则是我们用的最多但又好像是“在不知不觉中”用到的方法。例如:

二、运用极限的四则运算法则求极限

这也是我们常常在不知不觉中运用的一个法则, 笼统说来就是“和差积商的极限等于极限的和差积商”。要注意的是此方法适用的前提条件:各个极限都分别存在, 且运用除法法则时还需要分母的极限不为零。

三、洛必达法则

四、运用等价无穷小替换定理

我们常用的9个等价无穷小中的x是个模子, 如果把x换成任何能够趋向于零的函数那么仍然成立, 这也是此方法常用的原因。还有重要的一点是, 初学的同学经常分不清楚什么时候可以用等价无穷小替换, 什么时候不能用。通俗地不严格地讲, 如果这个无穷小是求极限函数的一个因子 (求极限的函数可以写成该无穷小乘以另外一个函数, 有时候该无穷小就是求极限函数的分子或分母, 这正是定理中描述的情况) , 那么一般说来我们就可以用它的等价无穷小替换以简化计算。

五、利用两个重要极限求极限

因为第一个重要极限其实和等价无穷小一致, 所以我们着重看第二个重要极限, 它也是个模子, 形象说来就是既然是个模子, 那就一定要符合这个模式的才能趋向于e, 这个公式是用来求1∞型未定式的, 而且它往往要比用洛必达法则要简单一些。

以上的五大方法是我们最常用的求极限的方法, 此外还有很多其他的求极限的方法。

六、其他方法

(1) 利用数列极限与函数极限的关系, 把求数列的极限转化为求函数的极限。

(2) 利用变量代换简化计算。变量代换这一思想方法不但在求极限中, 在其它很多问题 (比如积分问题、微分问题、求解微分方程的问题等等) 中都扮演了很重要的角色, 用好这一技巧, 常常能简化计算, 减少计算量, 有时还会起到意想不到的效果。在例6中我们就应用了这一方法来减少计算量, 而且把“零乘无穷大”型的未定式转化成了能用洛必达法则的基本类型。在例4中我们也曾应用这一方法来减少计算量。

(3) 利用“无穷小量乘以有界变量仍然是无穷小量”来求极限。无穷小量的这一性质容易被我们忽略。我们在上面例1中就应用了这一性质。

(4) 利用夹逼准则求极限。这种方法技巧性较强, 我们常在求数列极限时考虑此类方法, 而且该数列的通项是由很多有规律的项组成的情况。比如我们通常用夹逼准则来求

除此之外, 还有利用单调有界准则、运用极限的定义、泰勒展开式、定积分的定义、中值定理、幂级数的和函数、收敛级数的性质等等许多方法求极限。在学习极限的过程中, 勤思考、多总结, 才可以熟能生巧, 将各种方法融会贯通、灵活运用。

摘要：极限方法是研究变量的一种基本方法。极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。极限论是数学分析的基础, 极限问题是数学分析中困难问题之一, 微分学和积分学中许多概念都是由极限的定义引入的, 它是学好导数和积分等后续内容的基础。因此, 极限问题在微积分中占有很重要的地位。本文较全面地介绍了求数列与一元函数极限常用的几种方法。

关键词：极限,方法,洛必达,等价无穷小

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2004.

[2]吴赣昌.高等数学 (第四版) [M].北京:中国人民大学出版社, 2011.

[3]华东师范大学数学系.数学分析 (第四版) [M].北京:高等教育出版社, 2010.

复变函数求极限的方法 篇3

关键词 复变函数 极限 方法

中图分类号O174.5文献标识码A文章编号1673-9671-(2009)111-0097-01

在一般的教科书中,没有对复变函数极限的求法作详细的讨论,而主要把复变函数的极限问题转化为它的实部和虚部,即两个二元实变函数的极限问题来讨论。但对许多复变函数而言,写出它的实部和虚部都比较麻烦,从而增加了求极限的复杂性。针对此问题,本文给出了几种求复变函数极限的常规方法,并通过例题解析了这些方法。

1 转化为两个二元实变函数求极限

设 , , ,

则

。

2 利用复变函数的连续性

利用复变初等函数的连续性(如: 、(正整)、、、、 在整个复平面均连续; 、(不是正整数) 在除去原点和负实轴上的点外处处连续等等),以及复变函数的连续性满足四则运算、复合运算,可知如果一个复变函数是由复变初等函数和常数经过四则运算和初等运算构造的,我们可先判别它在极限点的连续性,如果连续,则极限等于函数在极限点的函数值。

例1 求 。

解 由于在z和cosz 均在点 z=0连续,且仅当(k为任意整数)时,cosz=0 ,所以 在点 z=0连续,从而 。

3 利用等价无穷小求极限

利用一些复变函数的泰勒展开式,我们可以证明有些实函数的等价无穷小在复变函数中也成立。如:当 z→0时,

(1);

(2) ;

(3) ;

其中(3)式中的只取主值分支。

这里我们给出和的证明:根据sinz 的泰勒展开式知 ,所以 , 。

例2 求 。

解。

注:和实函数一样,和或差中的项不能用等价无穷小代替。

4 利用洛必达法则求未定式的极限

复变函数也有洛必达法则,但与实函数相比稍稍有点差别

例3 求 。

解 显然当z→0 时,是未定式。所以

例4 求

解

我们知道:若z0 是 的可去奇点、极点和本性奇点,则 分别为 、 和既不存在也不为 。

例5 求 。

解 因为在z=0的某去心领域内,有洛朗展开式

,从而z=0是的本性奇点,所以 既不存在也不为。

参考文献:

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数(第四版)[M],北京:高等教育出版社,1996.

[2]钟玉泉.复变函数论(第二版)[M],北京:高等教育出版社,1988.

[3]贺君燕.复函数的洛必达法则[J],高等数学通报,2008,70(4):47-49.

常用求极限方法的探索与总结 篇4

学院：——————————

专业班级：—————————— 姓名：—————————— 学号：——————

常用求极限方法的探究与总结

摘要：求数列和函数极限是高等数学中的一个重点也是难点。题目类型不同，解题方法就可能不一样。根据本学期所学内容，本文将会探索和总结一些求极限的常用方法。

关键词：极限夹逼定理等价无穷小 海涅定理 泰勒公式 拉格朗日中值定理 正文：

一.用极限定义证明某一极限的正确性

例1

考研数学高数求极限的几种方法 篇5

极限是研究变量的变化趋势的一个基本工具，在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数y=f(x)在x= x0处导数的定义、定积分的定义、偏导数的定义、二重积分和三重积分的定义、无穷级数收敛的定义等等。这些高数中最重要的概念都是用极限来定义的。极限是贯穿高等数学的一条主线，它将高等数学的`各个知识点连在一起。实际上，极限的思想和方法产生于某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用，因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点。下面我们来介绍几种考研试题中经常出现的求极限的问题。

・ 1. 利用两个重要极限法

・    2.洛必达法则与等价无穷小替换结合法

・  3. 夹逼定理法

・     4. 泰勒展开法

5. 利用定积分的定义求极限法

・6. 利用极限的四则运算法求极限

・・  7. 利用导数的定义求极限

求函数值域的方法总结 篇6

解：设t=√2x+1(t≥0),则

x=1/2(t2-1)。

于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

所以，原函数的值域为{y|y≥-7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=√x-1–x的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝

九.构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位

正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,

KC=√(x+2)2+1。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共

线时取等号。

∴原函数的知域为{y|y≥5｝。

点评：对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习：求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y≥5√2｝)

以上九种是函数求值域最常用的方法,下面介绍三种特殊情况下求值域的几种方法.

十.比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。

解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

当k=-3/5时，x=3/5,y=-4/5时，zmin=1。

函数的值域为{z|z≥1｝.

点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥1｝)

求函数极限方法的若干方法 篇7

一、替换定理

定理1如果在同一变化过程中, α, α1, β, β1都是无穷小量, 且 α ~ α1, β ~ β1, 那么有:

这个性质说明在求某些无穷小量乘除运算的极限时, 可以使用等价无穷小量进行代换.

替换定理的意义在于, 当 α ~ β 时 ( α 复杂, β 简单) , limαf ( x) = limβf ( x) .

用简单的函数去替换复杂的函数, 达到化繁为简的目的, 能够大大降低计算的难度.

例1【2008年数学三】计算

显然第二种方法要简单, 从这两种方法的比较来看, 灵活运用等价无穷小的替换定理往往可以大大降低计算难度, 从而也提高了计算的准确性.

我们在运用无穷小替换定理的时候往往会忽视一些条件. 比如说这样一个典型的例题:

常见的一种错误的解法是:

因为x→0时tanx ~ x, sinx ~ x,

而正确的解法是:

通常在教学过程中, 老师基本上会通过这样一个例子来强调替换定理只能在乘除中替换, 不能在加减中替换. 但是笔者认为如果站在研究生考试的这么一个高度, 那么这种说法是有一定局限性的, 实际上从微积分的理论可以得知在满足一定条件的前提下, 加减运算中的替换定理是成立的. 我们先看这样一个例子

对于这个题目的解答, 很多同学牢记加减不可替换的教条, 直接上来就洛必达法则, 最后陷入求导的汪洋大海中. 而正确的解法是:

其实我们还可以这样来做:

解法二因为x→0时tanx ~ x, ex- 1 ~ x, ln ( 1 + x) ~ x, sinx ~ x,

这样做的理论依据就是下面的这个定理

定理2如果在同一变化过程中, α, α1, β, β1都是无穷小量, 且α~α1, β~β1, , 则α-β~α1-β1.

推论1如果在同一变化过程中, α, α1, β, β1都是无穷小量, 且α~α1, β~β1, , 则α+β~α1+β1.

对于这两个定理的证明不再证明, 从这两个定理可以看出, 在无穷小相减运算求极限时, 如果是同阶无穷小但不等价, 都可分别替换. ( 对于加法就转化为减法去理解) 虽然说这两个定理在传统的教材中没有, 但笔者认为它们是无穷小替换定理的很好的补充, 对于研究生考试来说掌握它是非常有必要的.

二、和差去低阶

如果 α = β + ο ( β) , 则 α ~ β. 这个结论告诉我们, 如果分子, 分母是多个不同阶的无穷小量的代数和, 保留分子, 分母中最低阶无穷小量, 而舍弃相对高阶的无穷小量, 然后再求极限.

可以设想下如果直接用洛必达法则, 计算该多麻烦!

三、利用无穷小求函数极限方法总结

摘要：利用等价无穷小量求未定式极限是研究生考试中的重要内容, 本文全面系统地介绍了考研中关于利用无穷小量求函数极限的计算方法与技巧.

参考文献

[1]李永乐.2014年数学复习全书.北京:中国政法大学出版社, 2013.

求函数解析式的常用方法 篇8

已知函数模型求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数.

例1（1）已知二次函数[f(x)]满足[f(1)=1]，[f(-1)=5]，图象过原点，求[f(x)]；

（2）已知二次函数[f(x)]满足[f(0)=0]且[f(x+1)=f(x)+x+1]，求[f(x)]；

（3）已知二次函数[f(x)]的二次项系数为[a]，且不等式[f(x)>-2x]的解集为[(1,3)]，方程[f(x)+6a=0]有两个相等的实根，求[f(x)]的解析式.

解（1）由题意设 [f(x)=ax2+bx+c]([a≠0]),

∵[f(1)=1]，[f(-1)=5]，且图象过原点，

∴[a+b+c=1a-b+c=5c=0],∴[a=3b=-2c=0].

∴[f(x)=3x2-2x].

（2）由题意设 [f(x)=ax2+bx+c]([a≠0])，

由[f(0)=0]可知[c=0]，又[f(x+1)=f(x)+x+1].

[∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1]，

即[(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1].

故[2a+b=b+1a+b=1]，解得[a=12b=12] .

[∴f(x)=12x2+12x].

（3）[f(x)>-2x]的解集为[(1,3)]，则可设[f(x)+2x=a(x-1)(x-3)]且[a<0]，

[∴f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x][+3a]，

又[f(x)+6a=0]，

即[ax2-(2+4a)x+9a=0]①，

[∵]方程①有两个相等的实根，

[∴]Δ[=[-(2+4a)]2-4a⋅9a=0]，

即[5a2-4a-1=0]，解得[a=1]或[a=-15].

又[a<0]，[∴][a=-15].

[∴][f(x)=-15x2-65x-35].

2. 换元法

通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的.常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛.一般用在“已知[f(g(x))]是关于[x]的函数，即[f(g(x))=F(x)]，求[f(x)]的解析式”的题型上，通常令[g(x)=t]，由此能解出[x=g-1(t)]，将[x=g-1(t)]代入[f(g(x))=F(x)]中，求得[f(t)]的解析式，再用[x]替换[t]，便得到[f(x)]的解析式.注意：换元后要确定新元[t]的取值范围.

例2（1）已知[f(x+1)=x2-2x+5]，求[f(x)]；

（2）已知[f(x-2)=x-2x+3]，求[f(x)].

解（1）令[x+1=t]，则[x=t-1]，

于是[f(t)=(t-1)2-2(t-1)+5=t2-4t+8].

[∴f(x)=x2-4x+8].

（2）令[t=x-2≥-2]，则[x=t+2,x=(t+2)2].

于是[f(t)=(t+2)2-2(t+2)+3=t2+2t+3]，（t≥-2）.

[∴f(x)=x2+2x+3][(x≥-2)].

3. 配凑法

把形如[f(g(x))]中的[g(x)]看作整体，通过观察、分析，将等号右端的表达式变为接受对象[y=f(g(x))]中的[g(x)]的表达式，即变为只含[g(x)]的表达式，再把[g(x)]用[x]代替，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求.

例3（1）已知[f(x+1x)=x2+1x2+1]，求[f(x)]；

（2）已知[f(x-1)=x-2x-1]，求[f(x)].

解（1）∵[f(x+1x)=x2+1x2+1=(x+1x)2-1]，

[∴f(x)=x2-1]（[x≥2]或[x≤-2]）.

（2）[∵f(x-1)=x-2x-1=(x-1)2-2]，

[∴f(x)=x2-2]（[x≥-1]）.

4. 构造方程组法

根据已知方程中式子的特点，通过变换变量再构造一个方程，构成方程组，利用消元法求函数[f(x)]的解析式.

例4（1）已知[f(x)]满足[2f(x)+f(1x)=3x]，求[f(x)]的解析式；

（2）[3f(x5)+f(-x5)=4x]，求[f(x)]的解析式；

（3）已知定义在R上的函数[f(x)]满足[f(x)-2f(-x)=3x-1]，求[f(x)]的解析式.

解（1）∵[2f(x)+f(1x)=3x]①，

将①中[x]换成[1x]得[2f(1x)+f(x)=3(1x)]②，

①×2-②得[3f(x)=6x-3x]，

∴[f(x)=2x-1x].

（2）∵[3f(x5)+f(-x5)=4x]③，

将③中[x]换成[-x]得[3f(-x5)+f(x5)=-4x]④，

③×3-④得 [8f(x5)=16x]，即[f(x5)=2x].

又令[t=x5]，则[x=t5].

[∴f(t)=2t5]，即[f(x)=2x5].

（3）[∵f(x)-2f(-x)=3x-1]⑤，

将⑤中[x]换成[-x]得[f(-x)-2f(x)=3(-x)-1]⑥，

⑤+⑥×2得[-3f(x)=-3x-3]，

[∴f(x)=x+1].

5. 赋值法

通过对某变量取特殊值，从而去掉该变量，得到关于另一变量的解析式.

例5（1）设[f(x)]是R上的函数，[f(0)=1]，并且对任意实数[x、y]，都有[f(x-y)=f(x)-][y(2x-y+1)] 成立，求[f(x)]的解析式；

（2）已知函数[f(x)]的定义域为R，并对一切实数[x、y]都有[2f(x-y)=f(x)-5f(y)][+3x(x+2y-1)]成立，求[f(x)]的解析式.

解（1）方法一：在[f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)]中，令[y=x]，则[f(0)=f(x)-x(2x-x+1)].

[∵f(0)=1,∴f(x)-x(2x-x+1)=1].

∴[f(x)=x2+x+1].

方法二：在[f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)]中，令[x=0]，则[f(0-y)=f(0)-y(0-y+1)].

[∵f(0)=1,∴f(-y)=1-y+y2].

令[-y=x,]代入上式，得[f(x)=x2+x+1].

（2）在[2f(x-y)=f(x)-5f(y)+3x(x+2y-1)]中，

令[y=0]得[2f(x)=f(x)-5f(0)+3x2-3x]①.

令[x=y=0]得[2f(0)=f(0)-5f(0)].

∴[f(0)=0]，代入①式，

∴[f(x)=3x2-3x].

6. 利用函數的性质求解析式

（1）已知函数的奇偶性及[x>0]时，[f(x)]的解析式，求当[x<0]时，[f(x)]的解析式.首先设[x<0]，则[-x>0]，根据[f(x)=f(-x)]或[f(x)=-f(-x)]，求得[f(x)]的解析式.

例6设[f(x)]是偶函数，当[x>0]时，[f(x)=2x2+x-1]，求当[x<0]时，[f(x)]的解析式.

解设[x<0]，则[-x>0]，由于[f(x)]是偶函数且[x>0]时，[f(x)=2x2+x-1]，所以当[x<0] 时，[f(x)=f(-x)][=2x2-x-1].

（2）已知函数[f(x)]的周期及给定区间上的解析式，求函数在其它范围内的解析式.首先设所求区间上的任意实数为[x]，经过加或减周期的整数倍转化到已知区间上，根据[f(x)=f(x+nT)]或[f(x)=f(x-nT)]，其中[n∈N+]，求得[f(x)]的解析式.

例7已知定義在R上的函数[f(x)]的周期为2，当[x∈(-2,0]]时，[f(x)=3x-5]，求当[x∈(0,4]]时，[f(x)]的解析式.

解设[x∈(0,2]]，则[x-2∈(-2,0]]，函数[f(x)]的周期为2且[x∈(-2,0]]时，[f(x)=3x-5]，所以当[x∈(0,2]]时，[f(x)=f(x-2)][=3(x-2)-5=3x-11].

设[x∈(2,4]]，则[x-4∈(-2,0]]，函数[f(x)]的周期为2且[x∈(-2,0]]时，[f(x)=3x-5]，所以当[x∈(2,4]]时，[f(x)=f(x-4)][=3(x-4)-5=3x-17]；

所以[f(x)=3x-11,0

（3）已知函数[y=f(x)]图象的对称轴为[x=a]及[xa]时，[f(x)]的解析式.首先设[x>a]则[2a-x

例8已知函数[y=f(x)]的图象关于直线[x=1]对称，若[x<1]时，[y=x2+1]，则当[x>1]时，求[y]的解析式.

解由题意可知[f(x)=f(2-x)]，

当[x>1]时，[-x<-1]，[2-x<1]，

[∴y=f(x)=f(2-x)=(2-x)2+1=x2-4x+5.]

7. 相关点法

设所求图象上任一点为[(x,y)]，已知图象上一点为[(x0，y0)]，根据题设条件找到两点之间的联系，把[x0、y0]分别用[x、y]表示，再代入点[(x0,y0)]所满足的解析式，整理即可得到[f(x)].

例9已知函数[y=f(x)]的图象与[y=x2-x+1]的图象关于点（1,2）对称，求[f(x)]的解析式.

解设[(x0,y0)]为[y=x2-x+1]的图象上任一点，[(x,y)]为[(x0,y0)]关于（1,2）的对称点，则[y0=x02-x0+1].

由题设可知[x+x02=1y+y02=2]，[⇒][x0=2-xy0=4-y]，

代入[y0=x02-x0+1]得，

[4-y=(2-x)2-(2-x)+1][⇒][y=-x2+3x+1.]

[【练习】]

1. 已知[f(1x)=1x+1]，则[f(x)]=.

2.已知定义在R上的函数[f(x)]满足[f(-x)+2f(x)=x+1]，则[f(x)]=.

3. 已知[f(x+1x)=x3+1x3]，则[f(x)]=.

4. 已知[f(x+1)=x2-2x]，则[f(x)]=.

5. 设二次函数[f(x)]满足[f(x+2)=f(2-x)]，且[f(x)=0]的两实根的平方和为[10]，图象过点[（0，3）]，求[f(x)]的解析式.

6.函数[f(x)]对一切实数[x、y]都有[f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x]成立，且[f(1)=0]，求[f(x)]的解析式.

7. 已知函数[y=f(x)]的图象与[y=-x2+2x-3]的图象关于点[（2，1）]对称，求[f(x)]的解析式.

8. 已知定义在R上的二次函数[f(x)]满足[|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1]，求[f(x)]的解析式.

[【参考答案】]

1.[f(x)=x1+x].

2.[f(x)=x+13].

3.[f(x)=x3-3x] （[x≥2]或[x≤-2]）.

4.[f(x)=x2-4x+3].

5. [f(x)=x2-4x+3].

6. [f(x)=x2+x-2].

7. [y=x2-6x+13].

8. [f(x)=2x2-1]或[f(x)=-2x2+1]或

[f(x)=-x2-x+1]或[f(x)=x2-x-1]或

求函数解析式的几种方法 篇9

一、定义法

适用于给出满足函数定义的特殊情形，求函数的解析式.

例1设f (x)为定义在实数集R上的偶函数，当x≤-1时，y=f(x)的图像是经过点(-2, 0）斜率为1的射线.又在y=f(x)的图像中有一部分是顶点在(0, 2)，且过点(-1, 1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式（图像略）.

解析当x≤-1时，设f(x)=x+b，则由0=-2+b，得b=2，从而f (x)=x+2；

当-1

当x≥1时，f(x)=-x+2.

∴f (x)=x+2(x≤-1)

2-x2(-1

-x+2(x≥1)

注意：求解析式时，要注意自变量的定义域.

二、换元法

适用于已知复合函数的解析式，求原函数的解析式.

例2已知f(x+1x)=x3+1x3，求f(x)的解析式.

解析f(x+1x)=(x+1x)(x2+1x2-1)=(x+1x)［(x+1x)2-3］=(x+1x)3-3(x+1x).

设y=x+1x的值域为：{y|y≥2或y≤-2}，故f (x)=x3-3x(x≥2或x≤-2).

注意：求解析式时，一定要注意复合函数中内函数的取值范围，从而限定f (x)的定义域.

例3已知f (cosx)=x2(-π

解析设cosx=u，且u∈(-1, 1)，由-π

注意用换元法求解析式时，还要注意换元前后自变量的取值范围要相同.

三、消元法

适用于已知条件含有关于x与1x，x与-x的简单的函数方程，通过恰当的构造进行消元.

例4一种函数f (x)对内任意实数x有af (x)+bf (-x)=cx(| a | ≠ | b |)，求函数f (x)的解析式.

解析将原方程中x换成-x，得af (-x)+bf (x)=-cx，与原方程联立消去f (-x)，得f (x)=cxa-b.

例5对所有实数x，满足条件2f (x)+f (1-x)=x2，求f (x)的解析式.

解析将原方程中的变量x换成1-x，则有：2f (1-x)+f (x)=(1-x)2，与原方程联立消去f (1-x)，得f (x)= 13(x2+2x-1).

注意消元法关键是构造与已知方程含有同样未知元的方程，通过解方程组进行消元.

四、配凑法

适用于通过适当地配凑，便于利用公式求出解析式的情形.

例6已知f (x+1x)=x2+x+1x2，求f (x).

解析∵f (x+1x)=x2+x+1x2=x+1x2+1=(x+1)2-x(x+1)x2+1=(x+1x)2-x+1x+1，

∴f (x)=x2-x+1.

注意配凑法运用的关键是要配凑出便于利用公式的式子，从而灵活地运用公式快速求解.

五、待定系数法

适用于已知函数的图像，确定函数的解析式；或已知函数的类型及其满足的方程时，常用待定系数法.

例7已知f (x)为二次函数，且满足f (2x+1)+f (2x-1)=16x2-4x+6，求f (x).

解析由题设f (x)=ax2+bx+c(a≠0)，∴f (2x+1)=a(4x2+4x+1)+b(2x+1)+c，f (2x-1)=a(4x2-4x+1)+b(2x-1)+c；∴f (2x+1)+f (2x-1)=8ax2+4bx+2a+2c.

由已知得：8ax2+4bx+2a+2c=16x2-4x+6.

∴8a=16

4b=-4

2a+2c=6解得a=2

b=-1

c=1

从而有：f (x)=x2-x+1.

六、赋值法

此法适用于已知函数包含的字母较复杂的情形，通过赋值可以使得求解过程简捷、方便.

例8设f (x)是定义在实数集R上的函数，满足f (0)=1，且对任意实数a、b，有f (a-b)=f (a)-b(2a-b+1)，求函数f (x).

解析∵f (a-b)=f (a)-b(2a-b+1)，a、b∈R，为此可令a=b=x，得f (0)=f(x)-x(2x-x+1)

又f (0)=1，∴函数f (x)=x2+x+1.

注意采用赋值法时，一定要使赋值后的运算过程简单、方便，便于快速、简捷地求出解析式.

七、代点法

适用于求某函数关于某元素对称的函数解析式.

例9已知f (x)=loga(x-1)，当且仅当点(x0，y0)在f (x)图像上时，点(2x0, 2y0)在y=g (x)图像上时，求g(x)的解析式.

解析由点(x0, y0)在y=loga(x-1)的图像上，∴y0=loga(x0-1).

令2x0=u，2y0=v，则x0=u2，y0=v2；

∴v2=loga(u2-1)，即v=2loga(u2-1)，

∵(2x0, 2y0)在y=g(x)的图像上，∴(u, v) 在y=g(x)的图像上，故g(x)=2loga(x2-1).

注意抓住所求函数图像上的点与已知函数图像上的点的关系（有时用中点坐标公式，或用定比分点坐标公式），求其解析式.

八、代替法

适用于所给的函数关系式中自变量含有互为相反或互为倒数关系的情形.

例10定义在区间(-1, 1)内的函数f (x)满足2f (x)-f (-x)=lg(x+1)，求f (x).

解析用-x代替关系式中的x得：2f (-x)-f (x)=lg(-x+1).

解方程组2f (x)-f (-x)=lg(x+1)

2f (-x)-f (x)=lg(-x+1)

得f (x)=13lg(1+x-x2-x3) (-1

九、迭代法

此法适用于求复合函数的解析式

例11已知f {f ［f (x)］}=27x+13，且f (x)是一次函数，求f (x).

解析设f (x)=ax+b，则f ［f (x)］=a2x+ab+b，f {f ［f (x)］}=a3x+a2b+ab+b.

由题意知：27x+13=a3x+a2b+ab+b，则a=3，b=1，故f (x)=3x+1.

十、参数法

适用于已知函数解析式中含有三角函数的情形，通过参数变换使得求解过程简单易行.

例12已 知f (1-cosx)=sin2x，求f (x).

解析令v=1-cosx

u=sin2x

消去x得u+(v-1)2=1，即u=2v-v2.

∵-1≤cosx≤1，∴0≤v≤2，

∴f (x)=2x-x2(0≤x≤2).

十一、奇偶性法

适用于已知函数的奇偶性且在原点一侧某一区间的函数解析式，求其在关于原点对称区间的函数解析式.

nlc202309051421

例13已知f (x)为奇函数，且当x>0时f (x)=x(1-x)，求当x<0时，函数f (x)的表达式.

解析设x<0，则-x>0，

∴f (-x)=-x(1+x).

又因为f (x)为奇函数，

∴-f (x)=-x(1+x)，从而有f (x)=x(1+x).

例14设f (x)是R上的奇函数，且当x∈［0,+∞）时函数为f (x)=x(1+lgx)，当x∈(-∞, 0)时，求f (x)的解析式.

解析由于f (x)是奇函数，当x<0时，-x>0，f (-x)=-x［1+lg(-x)］，

∴f (x)=-f (-x)=x［1+lg(-x)］

故f (x)=x(1+lgx) (x ≥ 0)

x［1+lg(-x)］ (x < 0)

注意利用对称性把未知区间转化为已知区间，进而在利用已知条件是解题的关键.

十二、周期法

适用于周期函数的解析式求解.

例15设函数f (x)为奇函数，且在定义域R上，总有f (x)=-f(x+2)，又当-2≤x≤-1时，f (x)=x2+2x，求：⑴当2≤x≤3时，函数f (x)的解析式；⑵当5≤x≤6时，函数f (x)的解析式.

解析由f (x+2)=-f(x)，得f(x+4)=f(x)，故f (x)为周期函数.

(1)∵2≤x≤3，∴-2≤x-4≤-1；又-2≤x≤-1时，f (x)=x2+2x，∴f (x-4)=(x-4)2+2(x-4)，故f (x)=(x-4)2+2(x-4).

(2)∵5≤x≤6，∴-6≤-x≤-5，-2≤4-x≤-1，又-2≤x≤-1时，f (x)=x2+2x，∴f (4-x)=(4-x)2+2(4-x).而f (4-x)=-f (x-4)=-f (x)，故f (x) =-(x-4)2+2(x-4).

注意判断函数的周期性是解题的关键，把所求区间如何利用周期性与奇偶性转化到已知区间，进而利用已知区间的函数解析式求解.

十三、解方程组法

此法适用于已知解析式以方程的形式出现求解析式的情形.

例16已知f (x)+f(x-1x)=1+x(x ≠ 0,1) ①，求f(x).

解析用x-1x代替①中的x整理得：

f (x-1x)+f (11-x)=2x-1x ②

再用11-x代替①中的x整理得：

f (11-x)+f (x)=2-x1-x ③

联立①②③并解之得：f (x)=x3-x2-12x(x-1).

十四、反函数法

适用于涉及反函数的解析式的求解问题.

例17假设有三个函数，第一个函数是φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数的图像关于x+y=0对称，求第三个函数的解析式.

解析设(x，y)为第三个函数上的一点，∴（-y, -x）为第二个函数图像上的点，而（-x, -y）为y=φ(x)图像上的点，∴-y=φ(-x)为第二个函数上的一点，∴-x=φ-1(-y), 故第三个函数的解析式为y=-φ(-x).

十五、递推法

适用于函数关系比较复杂，需要总结规律的函数解析式的求解.

例18设f (x)定义在N上的函数，满足f (1)=1，对任意自然数a、b，有f (a)+f (b)=f (a+b)-ab，求f (x).

解析∵f (a)+f (b)=f (a+b)-ab，ab∈N，∴令a=x，b=1，得f (x)+f (1)=f (x+1)-x，又f (1)=1，故f (x+1)-f (x)=x+1①

在①令x=1, 2, 3,…, n-1得

f (2)-f (1)=2

f (3)-f (2)=3

……

f (n)-f (n-1)=n

由这n个式子相加得：

f (n)-f (1)=12(n+2)(n-1)

∴f (n)=12(n+2)(n-1)+1，

∴所求的函数解析式为

f (x)=12x2+12x( x∈N).

十六、图像变换法

适用于给出图像的变化过程，确定图像所对应的函数解析式.

例19将函数y=2x的图像先向左平行移动1个单位，再向下平行移动1个单位，最后再做关于直线y=x对称的图像，求所得图像的函数解析式.

解析函数y=2x图像向左平移一个单位函数y=2x+1图像向下平移1个单位函数y=2x+1-1图像.求y=2x+1-1的反函数可得：y=log2(x+1)-1.

故所求函数的解析式为f (x)=log2(x+1)-1(x >-1).

例20若函数y=sinx的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的13，然后将图像沿x轴向右平移π6个单位，把所得图像纵坐标伸长为原来的2倍，求所得新图像的函数解析式.

解析函数y=sinx图像

横坐标缩小为原来的13y=sin3x图像

沿x轴右移π6y=sin3(x-π6)图像

纵坐标伸长为原来的2倍y=2sin(3x-π2)=-2cos3x图像，故y =-2cos3x为所求的解析式.

注意这里体现了函数图像的平移、对称、翻转规律的合理运用.(收稿日期：2013-12-10)