1-2函数极限

1-2函数极限（精选10篇）

1-2函数极限 篇1

高等数学教案

§1.2函数极限

教学目标：

1.掌握各种情形下的函数极限的基本概念和性质。

2.掌握极限存在性的判定及应用。

3.熟练掌握求函数极限的基本方法。

教学重难点：函数极限的概念、性质及计算。

教学过程：

一、复习数列极限的定义及性质

二、导入新课：

由上节知，数列是自变量取自然数时的函数，xnf(n)，因此，数列是函数的一种特殊情况。对于函数，自变量的变化主要表现在两个方面：

1、自变量x任意接近于有限值a，记为xa，相应的函数值f(x)的变化情况。

2、当自变量x的绝对值x无限增大，记x，相应的函数值f(x)的变化情况。

三、讲授新课：

Ⅰ、当xa（a为有限实数）时函数f(x)的极限

（一）引例 曲线的切线：求抛物线y2x2在点M0(1,2)处的切线。

方法：割线――切线。求曲线的切线可归结为求出曲线在定点的切线斜率，从数量上看，动割线的斜率的极限就是切线的斜率。

（二）函数极限的概念

1、当xa（a为有限实数）时函数f(x)的极限

与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值a时的函数极限可理解为：当xa时，f(x)A（A为某常数），即当xa时，f(x)与A无限地接近，或说f(x)A可任意小，亦即对于预先任意给定的正整数（不论多么小），当x与a充分接近时，可使得f(x)A小于。用数学的语言说，即

定义(定义)：设函数f(x)在点a的某空心邻域内有定义，A为定数.若对＞0，＞0，使得当0＜|x-a|＜δ时有

f(x)A,则称xa时,函数f(x)以A为极限，记作 limf(x)A,或f(x)→A(x→a).xa

0，说明：（1）“x与x0充分接近”在定义中表现为：有0xx0，即xU(x0,)。



显然越小，此与数列极限中的N所起的作用是一样的，它也依赖于。x与x0接近就越好，一般地，越小，相应地也小一些。

（2）定义中“0＜|x-a|＜δ”指出xa，这说明，当xa时，函数f(x)有没有极限与

f(x)在点a有无定义无关。函数极限概念侧重于描述f(x)在xa且xa时的变化趋势。

正因为如此，这个概念能解决切线问题。

（3）函数极限limf(x)A的几何意义：当x在a的去心邻域时,函数yf(x)图形完全落在xa

以直线yA为中心线,宽为2的带形区域内.（|f(x)A|，Af(x)A)

y

A（4）在应用定义验证这种 类型的函数极限时，具体方法是：对任A给的0，通过不等式|f(x)A| 反解出|xx0|，进而找到满足条件的，证明结论。

Ⅱ、求函数极限

下面我们举例说明如何应用

定义来验证这种类型的函数极限。请读者特别注意以下

各例中的值（依赖于）是怎样确定的。

例1 证明limCC,(C为常数).xa

证明：任给0,任取0,当0xx0时,总有 f(x)cCC0，依定义，有limCC.xa

例2 证明lim(3x2)4.x

2证明：任给0,由于f(x)4(3x2)43x63x2,取

，则当

0x2时,总有f(x)4，所以lim(3x2)4.x2

x2

12.例3 证明lim

x1x1

证明：函数在点x=1处没有定义，x21

f(x)A2x1，任给0,要使

x1

x21x21

2.f(x)A,只要取,当0x1时,就有2,lim

x1x1x1

练习：

1、证明lim(axb)ax0b

xx0

(a0)

证明：对0，要使得(axb)(ax0b)a(xx0)axx0，只须

xx0



a，所以取



a

0显然当xx0时，有(axb)(ax0b)。

x21

2。

2、证明lim

2x12xx1

3x212x121x证明：对0，因为a1,所以x10. 2

2xx132x133(2x1)[此处x1，即考虑x01附近的情况，故不妨限制x为0x11，即0x2，xxx2121x

x1]。因为2x11,，要使,只须 ，即2

33(2x1)32xx13

x212

1,3}（从图形中解释），当0x时，有2x3。取min{。

2xx13

Ⅲ、单侧极限

有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同（如分段函数定义域上的某些点），或函数在某些点仅在其一侧有定义（如在定义区间端点处），这时函数在那些点上的极限只能

1,x0,单侧地给出定义。例如函数f(x)，当x从左侧趋于0时，f(x)以1为极限.当x

x,x0.从右侧趋于0时，f(x)以0为极限.它们分别称为x趋于0时f(x)的左极限和右极限。

左极限：0,0,使得当axa时,都有f(x)A.则称A为函数f(x)当xa

时的左极限。记作 limf(x)A，或f(a0)A。

xa

右极限：0,0,使得当axa时,都有f(x)A.则称A为函数f(x)当xa

时的右极限。记作 limf(x)A，或f(a0)A。

xa

由左、右极限的定义不难看出，函数f(x)当xa时极限存在函数左、右极限存在且相等，即limf(x)limf(x).xa

xa

若左、右极限存在不相等，则极限不存在。

1,x0,

例4 函数f(x)sngx0,x0,当x0时极限不存在。

1,x0.

证明：事实上，f(x)的左极限limf(x)1，右极限limf(x)1，左右极限不相等，所以

x0

x0

limf(x)不存在。

x0

Ⅳ、当x时，函数f(x)的极限

（一）当x时，函数f(x)的极限

定义：对于任意给定的0，总存在一个M0,使得对于满足不等式xM的一切x,均有不等式f(x)A成立，则称函数f（x）当x∞时以A为极限，记作

limf(x)A

x

x

x，或 f(x)→A(x→∞).同样可以定义limf(x)A,limf(x)A.注意：(1)limf(x)A可看作数列极限limf(n)a的直接推广。它们不同之处在于，这里所

x

n

考虑的是所有大于M的实数（连续），而不仅仅是正整数(跳跃性的)。(2)limf(x)Alimf(x)limf(x)A。

x

x

x

（3）几何意义：当xM或xM时,函数yf(x)图形完全落在以直线yA为中心线,宽为2的带形区域内.（二）例题 例5 证明lim

0.xx

2110||x|M，只需，如果取，则对x2x2

证明：任意给定0，要使|一切满足xM的x，均有|

例6 证明lim

sinx

0.xx

0|，证毕。x2

证：要使

11sinxsinx

10,只需|x|.，因此对0,取M,当xM时,有

xxx

sinxsinx

0,故lim0.xxx

Ⅴ、函数极限的性质

下面以limf(x)为代表叙述函数极限的性质，这些性质对其余5种类型的函数极限也成立.xa1、(唯一性)若limf(x)存在，则此极限是唯一的.xa2、(局部有界性)若limf(x)A,存在某个00和常数M0,当0xx00时,有

xa

|f(x)|M.注意：如果一个数列收敛，则这个数列有界。但函数f(x)在点a有极限，只能断言它在某个

局部范围，即在点a的某空心邻域有界，称为局部有界。

3、(局部保号性)若limf(x)=A＞0(或＜0），则存在00，使当0xx00时,有f(x)0

xa

（或f(x)0）。

A，则由limf(x)=A，对上述0，总存在00，使当0xx00时,xa

2AA

有|f(x)A|0，因而f(x)A0A0.22

A

若A<0, 取0,则由limf(x)=A，对上述0，总存在00，使当0xx00时,有

xa2

AA

|f(x)A|0，因而f(x)A0A0.224、四则运算法则

证：设A>0，取0

设limf(x)与limg(x)存在，则函数f±g，f·g，(若limg(x)≠0)当x→a时极限存在且

xa

xa

fg

xx0

1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)±limg(x)；

xa

xa

xa

2)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)；

xa

xa

xa

f(x)f(x)limxa

3)lim=.(limg(x)≠0)

xag(x)limg(x)xx0

xa

注意：公式（1）、（2）可以推广到任意有限个函数的情况。特别地，有

lim[(f(x))n][limf(x)]n.xa

xa

例7 求lim[(3x22x1)(x33)].x

2x23x2

例8 求lim.（先约分）

x1x3

12x31

3x例9 求lim3.（分子分母同除以）

xx8x27x

x1,x0

例10 设f(x)x23x1，求limf(x),limf(x).x0x,x03

x1

（注意求limf(x)时，由于时分段函数，所以要求在x0时的左右极限。）

x0

四、习题处理

五、小结，作业：p36ex1、6、8.附录：设limf(x)A，limg(x)B。证明：

xx0

xx0

f(x)A

，（当 B≠0时）

xx0xx0xx0g(x)B

证明因为limf(x)A，limg(x)B所以0，分别存在10，20，使得当

（1）lim[f(x)g(x)]AB；（2）lim[f(x)g(x)]AB；（3）lim

xx0

xx0

0|xx0|1时，有|f(x)A|；当0|xx0|2时，有|g(x)B|。（1）取min{1,2}，于是当0|xx0|时，有

|(f(x)g(x))(AB)||f(x)A||g(x)B|2，所以lim[f(x)g(x)]AB。

xx0

同理可证：lim[f(x)g(x)]AB

xx0

（2）因为limf(x)A，由局部有界性定理，知存在30，使f(x)在U0(x0,3)有界。即存在xx0

M0，当0|xx0|3时，|f(x)|M。现在取min{1,2,3}，于是当0|xx0|时，有

|f(x)g(x)AB||f(x)g(x)f(x)B||f(x)BAB|

|f(x)||g(x)B|B|f(x)A|MB(MB)所以lim[f(x)g(x)]AB

xx0

B2

0，于是由局部保号性定理知，存在40，（3）因为limg(x)B0，limBg(x)B

xx0xx02

B2

当0|xx0|4时，|Bg(x)|。现在取min{1,2,4}，于是当0|xx0|时，有

f(x)ABf(x)Ag(x)|Bf(x)ABABAg(x)|

g(x)BBg(x)|B||g(x)|

|B||f(x)A||A||Bg(x)||B||A||B||A|

22

|B||g(x)|BBf(x)A

。所以lim

xx0g(x)B

1-2函数极限 篇2

方法一、利用极限定义求解

例:求

解:任给ε>0, 由于

等价于, 而此不等式的左半部分对任何x都成立, 所以只要考察其右半部分x的变化范围。为此, 先限制ε<2, 则有

故对任给的正数, 只需取, 则当x<-M时便有成立, 所以

用定义求解比较繁琐, 不常用此方法。

方法二、利用无穷小量的性质求解

例:求

解:因为, 所以是有界变量;又, 所以当x→0时, 是有界变量与无穷小量的乘积。根0据无穷小量的性质可知, 是无穷小量。所以

注意: (1) 无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。例如, 当x→∞时, 是无穷小, 2x个这种无穷小之和的极限显然为2。

(2) 无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。

(3) 无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如, 当x→∞时, x2是无穷大量, 是有界量, 显然。

(4) x→*下, f (x) >0, 其极限未必大于0。例如, 显然f (x) >0, 但。

方法三、利用无穷大量与无穷小量的关系求解

例:求

解:因为, 所以我们可以求出

这就是说, 当x→2时, 为无穷小量, 由于恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量, 所以为x→2时的无穷大量, 即

方法四、利用初等函数的连续性质求解

例:求

解:因为是初等函数, 在定义域内是连续的, 所以在x=1处也连续, 根据连续的定义, 极限值等于函数值, 所以

方法五、利用运算法则求解

方法六、利用约零因子法求解

当分子和分母的极限同时为零时, 可以考虑约去分子、分母的零因子 (若不方便约分, 可以考虑用重要极限或等价无穷小量代换或洛比达法则求解) 。象例题这种含有根式型 (或差式∞-∞型) 求极限时, 一下看不出零因子, 常常需要分子、分母有理化 (或通分) , 然后再因式分解约去零因子进行求解。

方法七、利用同除法 (或化无穷大为无穷小法) 求解

解:通过观察, 我们发现分子和分母的极限都不存在, 不能直接利用四则运算法则。当然我们不能说此题额极限不存在, 我们可以对函数进行“同除”的变形, 然后再求极限。

分子、分母同除以2得

方法八、利用等价无穷小量代换求解

(注意:在利用等价无穷小做代换时, 一般只在以乘积形式出现时才进行互换, 而以和、差出现时, 不要轻易代换, 否则可能出现改变了它的无穷小量之比的“阶数”之情况。

方法九、利用两个重要极限公式及其推导公式求解

1、第一个重要极限:;其变形为:

2、第二个重要极限;其变形为:;其变形为:

例:求

解:先判断类型, 是“”型, 含三角函数 (sin2→0) , 且不能消零因子, 现在我们利用第一个重要极限求解。

方法十、利用洛比达法则求解

洛必达法则是求“”型和“”未定式极限的有效方法, 但是非未定式极限却不能求。

(0·∞, ∞-∞, 00, 1∞, ∞0型未定式可以转化为“”型和“”未定式)

注意: (1) 并不是类似于“”或“”型的极限都能用洛必达法则。利用洛必达法则求解, 一定要先验证是否满足洛必达法则条件。

(2) 将等价无穷小量代换等等求极限的方法与洛必达法则结合起来使用, 可简化计算。

方法十一、利用左、右极限讨论分段函数在其分段点处的极限

方法十二、利用函数极限的迫敛性求解

方法十三、利用导数的定义求解

方法十四、利用泰勒公式求解

解:本题可以用洛必达法则求解 (较繁琐) , 在这里可应用泰勒公式求解。考虑到极限式的分母为x4, 我们用麦克劳林公式表示极限的分子 (取n=4)

总之, 求函数极限的方法很多, 灵活性强, 技巧性高, 同一个题目可能有很多种解法, 选择适合的方法去解决问题是很有必要的。需要在理解的基础上, 记熟极限方面的各个概念、性质、法则、公式等, 并适当地练一些有代表性的题目, 才能融会贯通, 真正掌握。

参考文献

[1]李德才, 张文军, 骆汝九.高等数学 (第一版) 【M】.北京:中国大地出版社, 2004.13-47, 87

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (第三版) 【M】.上海:高等教育出版社, 2001.43-85, 134-138

[3]同济大学应用数学系.高等数学 (第四版) 【M】.上海:高等教育出版社, 2003.35-40

[4]赵树嫄.微积分 (第二版) 【M】.北京:中国人民大学出版社, 1987.54-102

[5]贾定晖, 吉米多维奇数学分析习题解【M】.山东:山东科技出版社, 1980.41-50

从事物的极限到函数的极限 篇3

每年秋季刚考进大学的非文科一年级新生们都要学习高等数学这门课程的。而高等数学里第一个概念就是数学极限的定义，这对于学生是非常难学的，老师也感到难教，这是一个历史现象。

目前高中阶段在学习变化率导数时，也是有意地绕过极限定义的。可见极限定义困难的程度。

极限的定义为什么这样难教难学，就是因为我们对于它挖掘认识的不够。

我经过很长一段时间对极限琢磨与研究着，而今我有个重大发现，我窥视到了函数y=f（x）的极限就是函数y=f（x）在某种条件下的极大值ak 极小值。因为极大值、极小值是此前中学阶段里很普通而又很熟练的知识，在这个很熟练的基础上，学习极限就一帆风顺了。下面是我的设计：

一、事物的极限

极限并不陌生和抽象，在生产生活中，我们身边存在和充满着许多通俗易懂极限的问题。

比如我们行走在一座桥的前面看见路旁有个交通警示牌，牌上写着20t，这是什么意思呢？这是告诉人们经过桥梁的车辆及其载物不能超过20吨重，超过了20吨，桥梁就有可能断裂或倒塌，酿成危险性事故。这是桥梁负荷的极大限制值。

用火箭发射人造卫星，火箭的发射速度不能小于7.9km/s，小于这个发射速度，卫星就上不了天，这是卫星上天时火箭发射速度的极小限制值。

严寒的冬天，千里冰封，万里雪飘……必须要到晴天气温才能不断升高，达到0℃以上的时候，冰雪才能融化。这个0℃是标准大气压之下冰雪融化温度的极小限制值。

上面的极大限制值、极小限制值。取极大值、极小值的“极”字，取限制的“限”字。简称为极限。反过来，以后看到“极限”一词也可顾名思义地联想起极限里的“极”字就是极大值或极小值。“限”字就是限制。

这样一来，我们得到了含有变量的事物的极限定义。

定义：含有变量的事物在某种条件下变化着，它的极大限制值或极小限制值，就叫做这事物在该条件下的极限。

于是，上面桥梁的负荷极限是20t，火箭发射人造卫星能上天速度的极限是7.9km/s，冰雪在其温度不断升高时，保持固体形状的极限温度是0℃。

化合物H2O在其温度下降时，保持液体状态的极限温度是0℃，在其温度不断上升时，保持液体状态的极限温度是100℃。

1-2函数极限 篇4

一、教学目标: 1.知识与技能

①通过实际问题了解指数函数的实际背景;②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质.③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想;2.情感、态度、价值观

①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.②培养学生观察问题,分析问题的能力.3.过程与方法

展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质.二、重、难点

重点:指数函数的概念和性质及其应用.难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用.三、学法与教具:

①学法:观察法、讲授法及讨论法.②教具:多媒体.四、教学过程

1、情境设置

问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗? 学生回答: y与x之间的关系式,可以表示为y=2x。

问题2:一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示。

学生回答: y与x之间的关系式,可以表示为y=0.84x。引导学生观察,两个函数中,底数是常数,指数是自变量。(二讲授新课 指数函数的定义: 一般地,函数(>0且≠1叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为R.问题1:指数函数定义中,为什么规定“”如果不这样规定会出现什么情况?(1若a<0会有什么问题?(如则在实数范围内相应的函数值不存在(2若a=0会有什么问题?((3若a=1又会怎么样?(1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定且.问题2:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?(1(2(3(4(5(6(7(8(>1,且

练1:指出下列函数那些是指数函数: 练2:若函数是指数函数,则a= 我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研究.下面我们通过动手试一试来探究指数函数的相关性质。

(三动手试一试

同学们分组画出和的图象 完成以下表格并绘出函数的图象 1 2 4 完成以下表格并绘出函数的图象.1 2 4

从图中我们看出和的图象各有什么特征? 从图中我们看出 通过图象看出实质是上的(四探究函数性质

问题1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看(>1与(0<<1两函数图象的特征.问题2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小值、奇偶性。

问题3:指数函数(>0且≠1,当底数越大时,函数图象间有什么样的关系。图象 性质(1定义域:(2值域:(3过点,即时(4在上是增函数(4在上是减函数

(五质疑答辩,排难解惑,发展思维。例题讲解: 例1:(P66 例6已知指数函数(>0且≠1的图象过点(3,π,求

分析:要求再把0,1,3分别代入,即可求得 提问:要求出指数函数,需要几个条件? 课堂练习:P68 练习:第1,2,3题 补充练习:

1、函数

2、当 解(1(2(-,1 例2:求下列函数的定义域:(1(2 分析:类为的定义域是R,所以,要使(1,(2题的定义域,保要使其指数部分有意义就得。

知识小结: 利用函数的单调性,结合图象还可以看出:(1在(>0且≠1值域是(2若

(3对于指数函数(>0且≠1,总有(4当>1时,若<,则<;

五、归纳小结

1、指数函数的概念及图象和性质

2、要求出指数函数,需要几个条件?

六、作业布置

作业:P69习题2.1 A组第5、6题

七、教学反思:

1、理解指数函数

2.3函数极限 篇5

求第一类函数的极限

例

1、讨论下列函数当x,x,x时的极限：

1（1）f(x)1 2

（2）f(x)x1 x1

（x0）2（3）h(x)x2 x0）x

1求函数的左右极限

例

2、讨论下列函数在点x1处的左极限、右极限以及函数在x1处的极限：

x1(x1)f(x)（1）logx(x1)4

（2）g(x)x1(x1)

x(x1)2

1(x1)（3）h(x)x1

(x1)2(x1)

(x1)(x23x2)（4）(x) x

2判断函数的极限是否存在x21例

常函数有极限吗 篇6

什么是极限

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大(或者变小)的`永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”(“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果)的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”(当然也可以用其他符号表示)。

求函数极限的常用方法 篇7

袁得芝

函数极限是描述当x→x0或x→∞时函数的变化趋势，求函数极限，常用函数极限的四则运算法则和两个重要结论limnnlim1xx0，0.涉及到单侧极限与nxx0xx

双侧极限的关系问题时，一般运用两个命题：limlimlimf(x)f(x)af(x)axxx和limlimlimf(x)f(x)af(x)a予以解决。现就常见题型及解xxxxx00

法举例如下：

1、分子分母均是x的多项式时，x∞的极限，分式呈现“”型

lima0alxklak例1 求极限（其中ai、bi）为与x无关的常数，k、l、xb0xlblxllbk

为整数且(a0≠b0≠0).a0b(当lk)

0

解：原式=0(当l＞)

不存在(当l＜)

注：本例的一般性结论是：若分子、分母中的x的最高次幂相同时，则极限等于它们的最高次项的系数比；若分子中x的最高次幂低于分母中x的最高次幂则极限为零；反之极限不存在。

2、分子分母都是x的多项式时，x→x0的极限，分式呈现“0”型 0

x21lim例2，求极限 2x12xx

1解：limx21

x12x2x1

lim(x1)(x1)x1(2x1)(x1)limx12。x12x1

3注：因lim

xx0f(x)a，这是从x趋向x0的无限变化过程来看f(x)的变化趋

势的，它对于x0是否属于函数f(x)的定义域不作要求，故求解此类题目常采用分解因式，再约去公因式，使之能运用法则求极限的方法。

3、含有根式的一类式予，由x的变化趋势，呈“∞→∞”型

例3．求极限：lim(x21x24x)。x

lim解：(x21x24x)x

lim14x xx21x24x

14lim2。x142xx

注：分子或分母有理化是常采用的方法。

4、已知函数的极限，求参数的范围

例4：已知：limax2bx

1x1x13，求a、b.解：当x=1时分母为零，故ax2+bx+1中必有x-1这样的因式，由多项式除法可知ax2+bx+1除以 x-1商式为ax+a+b，余式为a+b+1。

∴a+b+1=0①

∴limax2bx

1x1x1lim(x1)(axab)x1x1

lim(axab)2ab。x1

∴2a+b=3②

ab10解方程组

2ab3① ②

a4可得

b

5注：这是一个已知函数极限要确定函数解析式的逆向思维问题，应灵活使用运算法则。

5、涉及单侧极限与双侧极限的问题

例5．求函数f(x)=1+

限。|x1|在x=-1处的左右极限，并说明在x=-1处是否有极x1

limlimx1解：f(x)(1)2，x1x1x1

limlim(x1)f(x)(1)0 x1x1x1

limlim∵f(x)f(x)，x1x1

∵f（x）在x=-1处的极限不存在。

注：本例是

limlimlimf(x)af(x)f(x)a的直接应用。xx0xx0xx0

高等数学函数极限练习题 篇8

设f(x)2x1x，求f(x)的定义域及值域。设f(x)对一切实数x1，x2成立f(x1x2)f(x1)f(x2)，且f(0)0，f(1)a，求f(0)及f(n)．(n为正整数)定义函数I(x)表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数，若f(x)表示将x之值保留二I(x)位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用法则保留2位小数，试用I(x)表示g(x)。表示f(x)。定义函数I(x)表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数，若g(x)表示将x依4舍5入在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t份，而销售量为x份，试将报摊的利润y表示为x的函数。定义函数I(x)表示不超过(x)xI(x)的周期性。判定函数f(x)(exxxx的最大整数叫做x的取整函数，试判定1)ln(1xx)的奇偶性。设f(x)esinx，问在0，上f(x)是否有界？ 函数yf(x)的图形是图中所示的折线OBA，写出yf(x)的表达式。 x，x，0x2；0x4；设f(x)(x) 求f(x)及f(x)． 2x4．4x6．x2，x2，1，x0；设f(x)(x)2x1，求f(x)及f(x)． 1，x0．ex，x0；0，x0；求f(x)的反函数设f(x)(x)2x，x0．x，x0．g(x)及f(x)． 2设f(x)x，x0；(xx)，(x)2求f(x)． 2x，x0．12x，x0；设f(x)求ff(x)． 2，x0．0，x0；x1，x1；设f(x)(x) 求f(x)(x)． x，x0．x，x1．ex，x0；设f(x)x1，0x4；求f(x)的反函数(x)． x1，４x．x，x1；2设f(x)x，1x4；求f(x)的反函数(x)． x2，4x．21x，x0；设f(x)求： x，x0．(1)f(x)的定义域；2(2)f(2)及f(a)．(a为常数)。1，x1；22设f(x)x，x1；求f(x3)f(sinx)5f(4xx6)． 1，x1．2x1，x0；设f(x)2求f(x1)． x4，x0．x2，x1；设f(x)，求f(cos)及f(sec)． 44log2x，x1．1x0；x2，设f(x)0，x0；试作出下列函数的图形x2，x0．(1)yf(x)；(2)yf(x)；(3)yf(x)f(x)2． ：2x0；x，设f(x)1，x0试作出下列函数的图形x2，0x2f(x)f(x)(1)yf(x)；(2)yf(x)；(3)y． 2 ：21x,x1；设f(x) 试画出yf(x)，yf(x),yf(x).的图形。1x2．x1，1x0，(x)，设f(x)求(x)，使f(x)在1，1上是偶函数。20x1．xx，(x)，当x0时，设f(x)0，当x0时，1，当x0时．xx(1)求f(2cosx)；(2)求(x)，使f(x)在(，)是奇函数。1x0；0，设f(x)x，0x1；F(x)f(12x)，2x，1x2．(1)求F(x)的表达式和定义域；(2)画出F(x)的图形。0，1x0;设f(x)x1，0x1；求f(x)的定义域及值域。2x，1x2．1x，x0；设f(x)x求f(2)、f(0)及f(2)的值。2，x0.2xx1，x1；设f(x)求f(1a)f(1a)，其中a0． 22xx，x1求函数ylnx1的反函数，并作出这两个函数的图形。求函数ysin(x4)的反函数y(x)，并作出这两个函数的图形（草图）。求函数ytan(x1)的反函数y(x)，并作出这两个函数的图形（草图）。利用图形的叠加作出函数yxsinx的图形。利用图形的叠加作出函数yx1x的图形。作函数y1x1的图形（草图）。作函数yln(x1)的图形（草图）。作函数yarcsin(x1)的图形。（草图）作出下列函数的图形：（草图）(1)yx1；(2)yx；222(3)y(x1)．设函数ylgax，就a1和a2时，分别作出其草图。利用y2的图形（如图）作出下x列函数的图形（草图）：(1)y2x1；(2)y1x32． 利用ysinx的图形（如图）作出下(1)ysin2x；(2)ysin(x 4)。列函数的图形：（草图）利用ysinx的图形（如图）作出下列函数的图形：（草图）(1)y(2)y1212sinx；sinx1 ππ2 x(，)的反函数，并指出其定义域。3x求函数ych(x)的反函数，并指出其定义域。3x求函数ySh(x)的反函数，并指出其定义域。3求函数yln求函数，yee2x2x11的反函数，并指出其定义域。验证1cthx验证1thx221shx22。1chx验证Ch()ChChShSh。验证Ch()ChChShSh。验证Sh()ShChChSh。验证Sh()ShChChSh。验证2ShxChxSh2x。证明ShxChxCh2x。设f(x)arctanx(x)，(x)xa，1ax22(a1，x1)，验证：f(x)f(x)f(a)。x1，求f(x)。设f(x)1lnx，(x)设f(x)x1x2，(x)x1x，求f(x)。设f(x)sinx，(x)2，求f(x)、f(x)及ff(x)。设f(x)x1，(x)1x12，求f(x)及f(x)。设f(x)设f(x)11(x0，x1)，求f及fx1f(x)x，(x)x1x122ffx。x1x2，求f(x)及其定义域。已知f(x)e，f(x)1x，且(x)0，求(x)，并指出其定义域。设f(x)lnx，(x)1x，求f(x)及f(0)。2设f(x)arcsinx，(x)lgx，求f(x)及其定义域。求函数yx1(x1)的反函数，并指出反函数的定义域。32求函数ylgarccosx(1x1)的反函数，并指出其定义域。求函数yarctg求函数y12(eeaxaxxx1x的反函数。1x)的反函数，并指出其定义域。求函数yln(a0)的反函数的形式。求函数yexx1e的反函数，并指出其定义域。求函数yxx4x的反函数。求函数f(x)11x1x1x(x1)的反函数(x)，并指出(x)的定义域。求函数f(x)loga(x设f(x)eexxx1x)的反函数(x)(式中a0，a1)。2eex设f(x)(0x)，试讨论f(x)的单调性和有界性。1x1讨论函数f(x)x在区间(0，1)和(1，)内的单调性。xx讨论函数f(x)的有界性。21x1讨论函数f(x)，当x(，0)(0，)时的有界性。132xx讨论函数f(x)2在(，)上的单调性。讨论函数f(x)xax，求f(x)的反函数(x)，并指出其定义域.(a1)在(，)上的单调性。讨论函数f(x)1lnx在(0，)内的单调性。1x1x2，设f(x)，(x)f(ax)b 1x3x1，试求a，b的值，使(x)(x0除外)为奇函数。判断f(x)e1e1xxln1x1xx(1x1)的奇偶性。证明f(x)(223)(23)是奇函数。2x判定f(x)xarccotx在其定义域(，)上的奇偶性。判定f(x)3(13x)3(13x)(x)的奇偶性。判定f(x)axa22(a0)(x)的奇偶性。xG(x)与偶函数F(x),使f(x)G(x)F(x)。设f(x)2exx1e，求奇函数11设函数f(x)满足4f(x)2f()，讨论f(x)的奇偶性。xx判断f(x)loga(xx1)(a0，a1)的奇偶性。x2判定函数f(x) aa2x1(a0，a1)的奇偶性。设函数f(x)对任意实数x、y满足关系式：　　f(xy)f(x)f(y)(1)求f(0)；(2)判定函数f(x)的奇偶性。求f(x)sinx12sin2x13sin3x的最小正周期。设f(x)是以T2为周期的周期函数，且上的表达式。在0，2上f(x)x2x，求f(x)在2，42求f(x)sin3xcosx的最小正周期。设f(x)为奇函数，且满足条件f(1)a和f(x2)f(x)f(2)。(1)试求f(2)及f(n)(n为正整数)；(2)如果f(x)是以2为周期的周期函数，试确定a的值。设F(x)(xx)e则F(x)xx1(x)(A)是奇函数而不是偶函数；(B)是偶函数而不是奇函数；(C)是奇函数又是偶函数；(D)非奇函数又非偶函数。答（）2 讨论函数f(x)12x1x4在(，)的有界性。设f(x)是定义在(，)内的任意函数，则f(x)f(x)是（）(A)奇函数；(B)偶函数；(C)非奇非偶函数；(D)非负函数。下列函数中为非偶数函数的是（）(A)ysinx(C)y 22121xx；(B)yarccosx；x3x4；(D)y2 x3x4x1x2lg(x1x)2设f(x)xx，(，)，则f(x)()(A)在(，)单调减；(B)在(，)单调增；(C)在(，0)内单调增，而在(0，)内单调减；(D)在(，0)内单调减，而在(0，)内单调增。答（）xx f(x)(ee)sinx在其定义域(，)上是(A)有界函数；(B)单调增函数；(C)偶函数；(D)奇函数。答（）f(x)sinx在其定义域(，＋)上是(A)奇函数；(B)非奇函数又非偶函数；(C)最小正周期为2的周期函数；(D)最小正周期为的周期函数。答（）f(x)cos(x2)1x2在定义域(，)上是(A)有界函数；(B)周期函数；(C)奇函数；(D)偶函数。答（）f(x)(cos3x)在其定义域(，)上是(A)最小正周期为3的周期函数；(B)最小正周期为2的周期函数；3(C)最小正周期为23的周期函数；(D)非周期函数。答（）设f(x)x3，3x0，则此函数是x3，0x2(A)奇函数；(B)偶函数；(C)有界函数；(D)周期函数。答（）设f(x)sin3x，x0，则此函数是sin3x，0x(A)周期函数；(Ｂ)单调减函数；(C)奇函数;(D)偶函数。答（）f(x)x(exex)在其定义域(，)上是(A)有界函数；(B)奇函数；(C)偶函数；(D)周期函数。答（）函数f(x)lnaxax(a0)是(A)奇函数；(B)偶函数；(C)非奇非偶函数；(D)奇偶性决定于a的值　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函数中为非奇函数的是x(A)y21；(B)ylg(x1x2)；2x1(C)yxarccosx；(D)yx23x7x23x71x2 答（）关于函数y1x的单调性的正确判断是1x1x1x1x单调增；单调减；单调减；当x0时，y单调增；当x0时，y1x1x单调增；单调增。(A)当x0时，y(B)当x0时，y(C)当x0时，y(D)当x0时，y 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函数中（其中x表示不超过x的最大整数），非周期函数的是(A)ysinxcosx；(B)ysin22x；(C)yacosbx；(D)yxx　　　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函数中为奇函数的是(A)yxtan(sinx)；(B)yxcos(x(C)ycos(arctanx)；(D)y22x224)； x　　　　　　　　　　　　　　　　答（）求函数yarcsin(lg确定函数yarccosx102x)的定义域及值域。的定义域及值域。1x求函数ylg(12cosx)的定义域及值域。求函数y2xx的定义域及值域。22f(x)已知f(x)是二次多项式，且f(x1)f(x)8x3，f(0)0，求。图中圆锥体高OH = h，底面半径HA = R，在OH上任取一点P（OP = x），过P作平面垂直于OH，试把以平面为底面的圆锥体的体积V表示为x的函数。设一球的半径为r，作外切于球的圆锥，试将圆锥体积V表示为高h的函数，并指出其定义域。在半径为R的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并指出函数的定义域。在半径为20厘米的圆内作一个内接矩形，试将矩形的面积表示成一边长的函数。135生产队要用篱笆围成一个形状是直角梯形的苗圃（如图），它的相邻两面借用夹角为的两面墙（图中AD和DC），另外两面用篱笆围住，篱笆的总长是30米，将苗圃的面积表示成AB的边长x的函数。有一条由西向东的河流，经相距150千米的A、B两城，从A城运货到B城正北20千米的C城，先走水道，运到M处后，再走陆道，已知水运运费是每吨每千米3元，陆运运费是每吨每千米5元，求沿路线AMC从A城运货到C城每吨所需运费与MB之间的距离的函数关系。由直线yx，y2x及x轴所围成的等腰三角形OAB。在底边上任取一点x[0 , 2]，过x作垂直x轴的直线，试将图上阴影部分的面积表示成x的函数。旅客乘火车可免费携带不超过20千克的物品，超过20千克，而不超过50千克的部分，每千克交费0.20元，超过50千克部分每千克交费0.30元，求运费与携带物品重量的函数关系。设有一块边长为a的正方形铁皮，现将它的四角剪去边长相等的小正方形后，制作一个无盖盒子，试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数。等腰直角三角形的腰长为l（如图），试将其内接矩形的面积表示成矩形的底边长x的函数。在底AC = b，高BD = h的三角形ABC中，内接矩形KLMN（如图），其高为x，试将矩形的周长P和面积S表示为x的函数。设M为密度不均匀的细杆OB上的一点，若OM的质量与OM的长度的平方成正比，又已知OM = 4单位时，其质量为8单位，试求OM的质量与长度间的关系。等腰梯形ABCD（如图），其两底分别为AD = a和BC = b，（a > b），高为h。作直线MN // BH，MN与顶点A的距离AM = x(的面积S表示为x的函数。ababx)，将梯形内位于直线MN左边22 建一蓄水池，池长50 m，断面尺寸如图所示，为了随时能知道池中水的吨数（1立方米水为1吨），可在水池的端壁上标出尺寸，观察水的高度x，就可以换算出储水的吨数T，试列出T与x的函数关系式。设　f(x)arcsin(lg设　f(x)arcsinx10x32)，求f(x)的定义域.ln(4x),　求f(x)的定义域.2设　f(x)设f(x)2x65xxlg(x5x6)，求f(x)的定义域。21，求f(x)的定义域.lg(1x)设f(x)lg(12cosx)，求f(x)的定义域。设　f(x)lgx12x1，求fx的定义域。2 9x2x1设　f(x)srcsin，求f(x)的定义域ln(x2)4设　(t)t322。2(t)　(t) 设　f(x2)x2x3 求f(x)及f(xh).1　求(t)1x1,求f(2)，f(a),　f()，f。1xaf(x)设　f(x)设　f(x)设　f(sin1x1　求f()及ff(x).设　f(x1)x2x,求f(x).1xxx)1cosx, 求f(cos222x).2设　2f(x)xf(1x2x，求f(x)。)xx121x设　f(x)(x0), 求f(x)。4xx1设　zxyf(xy), 且当 y0 时 , zx , 求f(x)及z。设　f(t)e , 证明　t2f(x)f(y)f(xy)。2设F(x)lg(x1), 证明当 y1 时有F(y设f(x)ln2)F(y2)F(y)。yz1x,证明f(y)f(z)f()1x1yz(式中y1,z1).设f(x)2x2,求f(2),f(2),f(5)。2t1x2设f()x(),求f(x)。xx12设f(t)2t222515t , 证明f(t)f()。tt设f(x1)x　 ,　求f(2x1)。t1设yf(tx)，且当x2 时，yx2222t5，求f(x)。设f(lnx)xx2，0x，求f(x)及其定义域设f(1)x(1xx2。1)(x0)，求f(x)。1xx设f(x)(x0)，求f(x)。42xx3x13设f(x)x1x22，求f(1x)(x1)。1x设f(x)axbxc，计算f(x3)3f(x2)3f(x1)f(x)1的值，其中a，b，c是给定的常数。设f(x)abxc(x0，abc0), xm)f(x)，对一切x0成立。x求数m，使f(设f(x)lgx5, x5(1)确定f(x)的定义域；(2)若fg(x)lgx，求g(2)的值。设y1af(x1)满足条件，求f(x)及y.y|a0x及y|x12, 设f(x)设f(x)25x22arctan1x，求f(x)的定义域。lgx5x62，求f(x)的定义域。设f(x)设f(x)2x1x，求f(x)的定义域16x2。sinx，求f(x)的定义域F(x)设f(x)的定义域为a．b，F(x)f(xm)f(xm)，(m0)，求的定义域。求函数f(x)arccos2x1x1x2x2的定义域。设f(x)ln1，求f(x)f的定义域。2xx2x1522x设f(x)arcsinsinx，求f(x)的定义域2。设f(x)2xx2ln(xx)，求f(x)的定义域。f(x)log2(logf(x)2xx2x)的定义域是_________________。的定义域是________________。2x133x2函数f(x)arcsin的定义域用区间表示为______________。函数f(x)1xx的定义域用区间表示为________________。函数f(x)arccos(2x1)的定义域用区间表示为_____________。函数f(x)x(x4)的定义域是_____________。2函数f(x)ln(6xx)的定义域用区间表示为______________。函数f(x)1ln(x4)的定义域用区间表示为_____________。设f(x)函数f(x)x1ln(2x)，则f(x)的定义域用区间表示为。2xx2的定义域用区间表示为_______________。设f(x)arcsin2x，则f(x)的定义域用区间表示为______________。2设f(x)的定义域是(0,1)，则f(1x)的定义域是________________。设f(x)lnx，(x)arcsinx，则f[(x)]的定义域是________________。2设f(x)的定义域是[0，4），则f(x)的定义域是______________。1设f(x)的定义域是(1 , 2]，则f的定义域是______________。x1设f(x)的定义域是（0，1），则f(lgx)的定义域是______________。函数f(x)sin(arcsinx)与函数g(x)arcsin(sinx)是否表示同一函数？为什么？ 2函数f(x)ln(x2x1)与函数g(x)2ln(x1)是否表示同一函数？为什么？ 函数f(x)cos(arccos函数f(x)(1cosx)2x)与函数g(x)x是否表示同一函数？为什么？ 12与函数g(x)sinx是否表示同一函数？为什么？ 函数f(x)x1x12与函数g(x)lgx11x是否表示同一函数？为什么？ 函数f(x)10函数f(x)3与函数g(x)x是否表示同一函数？为什么？ 33与函数g(x)xx1是否表示同一函数？为什么？ x4x函数f(x)x1x2x与函数g(x)lnxx1x2是否表示同一函数？为什么？ 函数f(x)lne与函数g(x)e函数f(x)x2是否表示同一函数？为什么？ 1x21x与函数g(x)是否表示同一函数？为什么？ 1x设f(x)1x1x，确定f(x)的定义域及值域。

函数、极限和连续试题及答案 篇9

1.选择题（正确答案可能不止一个）。（1）下列数列收敛的是（）。A.xnn1n(1)n

B.xn1n(1)n

C.xnnsinD.xn2n（2）下列极限存在的有（）。

A.lim1xsinx

B.xlimxsinx

C.lim11x02xD.limn2n21

（3）下列极限不正确的是（）。

A.lim(x1)2

B.lim1x1x0x11 12C.lim4x2xx2

D.xlim0e（4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（）。A.2x1(x0)

B.sinxx(x0)

2C.ex(x)

D.xx1(2sin1x)(x0)1（5）如果函数f(x)xsinx,x0;a,x0;在x0处连续，则a、b的值为（xsin1xb,x0.A.a0,b0

B.a1,b1 C.a1,b0

D.a0,b1 2.求下列极限：

（1）lim(x322x13x1)；

（2）xlim2(3x2x5)；

（3）lim1x(1x3)；

（4）limx30x2x2x；

x28x2（5）limx3x3；

（6）lim16x4x4；

（7）limx21x2x12x2x1；

（8）lim；

x2x2。）（9）limx0cosx1x1；

（10）lim；

xxxx33x1x43x1（11）lim；

（12）lim；

x3x3xx5x4x3x33x19x33x1（13）lim；

（14）lim； 42xxxxx1x3.（15）limx03xsin2x，x023.设f(x)2x1，0x1，求limf(x)，limf(x)，limf(x)，limf(x)。

1x0x3x1x3(x1)3，x124.证明：xsinx~x(x0)。

5.求下列函数的连续区间：

2x1,x1;（1）yln(3x)9x；

（2）y2

x1,x1.26.证明limx2x2不存在.x21xsin,x0;x7.设f(x)求f(x)在x0时的左极限，并说明它在x0时10x.sin,x右极限是否存在？

8.证明lim(n1n121n221nn2)存在并求极限值。

x21axb)0，求a、b的值。9.若lim(xx1

答案

1.（1）B；（2）BD；

（3）C；

（4）ACD ；（5）B.2.（1）-1；（2）3；（3）

21；（4）；（5）；（6）8；

36（7）21111；

（8）；（9）；（10）0；（11）；（12）； 323522（13）0；（14）；（15）

1.9x123.limf(x)3, limf(x)不存在, limf(x)x1x03, limf(x)11.2x35.（1）[3,3)；

函数与极限测试题答案（定稿） 篇10

（卷面共有26题，100分，各大题标有题量和总分）

一、选择（9小题，共26分）

1．D

2．B

3．B

4．C

5．A

6．D

7．B

8．A

9．B

二、填空（6小题，共13分）

1．1 e

2．yln(x2)

)3．(3，4．x1及x

15．aln

36．5 3

三、计算（10小题，共55分）

f(x)limf(x)成立。1．解：(1)要f(x)在x0处有极限，即要limx0x0

f(x)lim(xsin因为limx0x0

x01b)b……（1分）xlimf(x)limx0sinx1………（2分）x

x0x0f(x)limf(x)成立，即b1时，函数在x0处有极限存在，所以，当b1时，有lim 

又因为函数在某点有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a可以取任意值。…（4分）

(2)依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是

试卷答案 第 1 页（共 3 页）

xx0limf(x)limf(x)f(x0)xx0

于是有b1f(0)a，即ab1时函数在x0处连续。………（6分）

．解：x1……（2分）

x…（4分）

x1x16分）x13．要使f（x）在x=1处连续，必须满足条件

x4axb（x4axb）ab10 limf(1)2,于是limx1(x1)(x2)x

1x41a(x1)4a即b=-1-a，因此limf（x）=lim2 x1x1(x1)(x2)

3从而有a=2，b=-3

4．解：

x01 xxsin3x

1111 x03x0x0326

sinx3tanx3sinx3tanx……（3分）lim5．解：lim2x01cosxx01cosx

2x

4sinx3tanxlim3limx0x0112………（6分）1cosx2

limx02x4

3x23xln36．解：原式limx3cos(3x)

27(ln31)

试卷答案 第 2 页（共 3 页）

x23x2(x1)(x2)x17．解：2，当x2时……（4分）x4x12(x2)(x6)x6

x23x2x11lim2lim……（6分）x2x4x12x2x68

ex1x8．解：原式=lim（1分）x1x(ex1)

ex1=limx（3分）x1e1xex

ex

=limx（5分）x12exex

=1（6分）2

esinxexsinx1esinxxsinxlimlimesinx1 9．解：原式=limx0x0x0xsinxxsinx

10．解：f(00)1，f(00)b，f(0)a 当ab1时f(x)处处连续

四、证明（1小题，共6分）

1．证明：设f(x)3x2（1分）

则f(x)在区间[0，1]上连续，（2分）

因为f(0)20f(1)10（4分）由介值定理知存在01使得f()0

即32(6分）