复变函数求极限的方法

复变函数求极限的方法（共7篇）

复变函数求极限的方法 篇1

函数极限是《高等数学》中的重要内容,是数学分析的基础,因此在高等院校数学的教学中学好函数的极限、知道如何求函数的极限是极为重要的. 求函数极限的方法很多也极为灵活,这就给学生的数学学习带来了困难. 下面,笔者根据自身高等数学的教学实践,从以下几个方面总结了求函数极限的几种方法,希望对学生的学习有所帮助.

一、利用函数极限的运算法则来求极限

定理1若极限 和 x 都存在,则函数f( x) ±g( x) ,f( x) ·g( x) 当x→x0时也存在,且

在函数极限的求法中,必须是每项或者每个因子的极限都存在,才能运用此种方法对极限进行求解. 如果函数中所给的变量不满足条件,在运用法则求解的过程中,要先对函数中的变量进行变形,消去函数中的部分量零因子,从而达到利用法则进行函数极限计算的要求.

例如,以下就是利用极限运算的法则来求解函数的极限的.

二、利用两个重要的极限来求函数的极限

重要的极限一:

重要的极限二:

在运用这两个重要的极限求解函数的极限时,我们不仅要会运用这两个重要的极限本身进行解题,还要能熟练地运用它们的变形形式来进行解题,这样才能取得更好的效果.

例如,以下就是利用重要的极限来求解函数的极限的.

三、利用等价无穷小来求函数的极限

定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小( 即极限是0) .

定理3当x→0时,下列函数都是无穷小( 即极限是0) ,且相互等价,有:

x ~ sinx ~ tanx ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln( 1 + x) ~ ex- 1.

在利用等价无穷小来求函数的极限时,将定理中函数的自变量x换成g( x) 时( g( x) →0) ,上面的定理仍然是成立的.

例如,以下就是利用等价无穷小来求解函数的极限的.

四、利用连续性来求函数的极限

定理4利用函数的连续性求极限包括: 如函数f( x) 在x0点连续,则 及若 且f( u) 在点a连续,则x

例11 求 的极限.

解由于 及函数f( u) = e4在u =1/4处连续,故

例12

解因为x0= 2是函数 的一个连续点,所以,

五、利用洛比达法则求函数的极限

定理5若函数f( x) 和函数g( x) 满足:

条件1:

条件2: 在点x0的某空心邻域u0( x0) 内两者都可导,且g'( x) ≠0;

条件3: ,( A可为实数,也可为±∞或∞ ) ,

则

在利用洛比达法则求函数的极限时,一定要满足上述的三个条件. 三个条件中有之一不满足者,洛比达法则就不能应用.

六、结束语

总之,在高等数学中求解函数极限的方法有很多. 在利用以上方法求解函数的极限过程中,我们不仅要掌握函数极限求解的方法,还有注重其方法所满足的条件,切记随意套用公式,这样才能提高函数极限求解的准确性. 数学是一门严谨的科学,这就要求学习者能带着一种严谨的态度,真正弄懂定理、方法中的精髓,体会其中的奥秘,才能达到事半功倍的效果.

复变函数求极限的方法 篇2

§1.7复变函数的极限和连续性 复变函数设E是非空点集.称映射f:E为复变函数,也可用wf(z)表示.若记zxiy,wuiv,则

wf(z)f(x,y)u(z)iv(z)u(x,y)iv(x,y).于是,复变函数wf(z)的极限、连续、一致连续等概念就是映射(u,v):E2的相应概念.有关映射的各种性质也对复变函数成立.重要注记由于xz2z2i,y,故一般将wf(z)理解为以z,为自变量的函数,即wf(z,)u(z,)iv(z,).以后将看到,这样 做会带来很多方便,并且具有“复风格”.习题1.7(P33)3,4,5.

求函数极限常用方法探析 篇3

后续内容 (连续、导数、积分等) 的学习, 还将影响到一些相关课程的学习。因此, 我们将对求极限常用的一些方法进行结归纳。

一、运用函数连续性求函数的极限

此方法和下面的极限的四则运算法则是我们用的最多但又好像是“在不知不觉中”用到的方法。例如:

二、运用极限的四则运算法则求极限

这也是我们常常在不知不觉中运用的一个法则, 笼统说来就是“和差积商的极限等于极限的和差积商”。要注意的是此方法适用的前提条件:各个极限都分别存在, 且运用除法法则时还需要分母的极限不为零。

三、洛必达法则

四、运用等价无穷小替换定理

我们常用的9个等价无穷小中的x是个模子, 如果把x换成任何能够趋向于零的函数那么仍然成立, 这也是此方法常用的原因。还有重要的一点是, 初学的同学经常分不清楚什么时候可以用等价无穷小替换, 什么时候不能用。通俗地不严格地讲, 如果这个无穷小是求极限函数的一个因子 (求极限的函数可以写成该无穷小乘以另外一个函数, 有时候该无穷小就是求极限函数的分子或分母, 这正是定理中描述的情况) , 那么一般说来我们就可以用它的等价无穷小替换以简化计算。

五、利用两个重要极限求极限

因为第一个重要极限其实和等价无穷小一致, 所以我们着重看第二个重要极限, 它也是个模子, 形象说来就是既然是个模子, 那就一定要符合这个模式的才能趋向于e, 这个公式是用来求1∞型未定式的, 而且它往往要比用洛必达法则要简单一些。

以上的五大方法是我们最常用的求极限的方法, 此外还有很多其他的求极限的方法。

六、其他方法

(1) 利用数列极限与函数极限的关系, 把求数列的极限转化为求函数的极限。

(2) 利用变量代换简化计算。变量代换这一思想方法不但在求极限中, 在其它很多问题 (比如积分问题、微分问题、求解微分方程的问题等等) 中都扮演了很重要的角色, 用好这一技巧, 常常能简化计算, 减少计算量, 有时还会起到意想不到的效果。在例6中我们就应用了这一方法来减少计算量, 而且把“零乘无穷大”型的未定式转化成了能用洛必达法则的基本类型。在例4中我们也曾应用这一方法来减少计算量。

(3) 利用“无穷小量乘以有界变量仍然是无穷小量”来求极限。无穷小量的这一性质容易被我们忽略。我们在上面例1中就应用了这一性质。

(4) 利用夹逼准则求极限。这种方法技巧性较强, 我们常在求数列极限时考虑此类方法, 而且该数列的通项是由很多有规律的项组成的情况。比如我们通常用夹逼准则来求

除此之外, 还有利用单调有界准则、运用极限的定义、泰勒展开式、定积分的定义、中值定理、幂级数的和函数、收敛级数的性质等等许多方法求极限。在学习极限的过程中, 勤思考、多总结, 才可以熟能生巧, 将各种方法融会贯通、灵活运用。

摘要：极限方法是研究变量的一种基本方法。极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。极限论是数学分析的基础, 极限问题是数学分析中困难问题之一, 微分学和积分学中许多概念都是由极限的定义引入的, 它是学好导数和积分等后续内容的基础。因此, 极限问题在微积分中占有很重要的地位。本文较全面地介绍了求数列与一元函数极限常用的几种方法。

关键词：极限,方法,洛必达,等价无穷小

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2004.

[2]吴赣昌.高等数学 (第四版) [M].北京:中国人民大学出版社, 2011.

[3]华东师范大学数学系.数学分析 (第四版) [M].北京:高等教育出版社, 2010.

例举几种不同的方法求函数的极限 篇4

直接代入法是球函数极限的最基本的方法，这种方法适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为∞的情况.

所以采用直接代入法.

二、最常用的方法:利用极限的四则运算法则来求极限

简单地说，极限的四则运算法则可以用一句话来概括:极限的四则运算等于四则运算的极限，或者说，函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商，但是，这里要注意，前提条件是在同一变化过程中，并且函数的极限都存在的情况下.

三、最简单的方法:利用最高次幂系数比求极限

这种方法是求极限的最简单的方法，只需口算即可得出结果，只是，它只适用于分子、分母同时趋于∞的多项式比值的情况，即型未定式.

分析所给函数中，当x→∞时，分子、分母同时趋于∞，属于型未定式，因此我们可以利用这种方法来求极限.首先，通过观察，我们发现，分子、分母最高次幂为三次，因此，极限值就等于三次幂的系数比，即.

四、最固定的方法:两个重要极限

1. 第一个重要极限:lxi→m0xsinx=1例4求lxi→m0x21-cosx.

令t=2x，则x→0时t→0.

五、最易忽略的方法:利用无穷小量的性质

分析因为不存在，不能直接使用运算法则，故必须先将函数进行恒等变形.

解原式 (恒等变形) .

因为当x→∞时，，即是当x→∞时的无穷小，而|sinx|≤1，即sinx是有界函数，由无穷小的性质:有界函数乘无穷小仍是无穷小，得.

六、最灵活的方法:无穷小等价代换

我们常用的等价无穷小有:当x→0时，x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln (1+x) ，等等，在这里，我们需要注意，前提条件一定是当x趋于0时才成立.

事实上，我们的第一重要极限就可以用这种方法推导出来.

我们知道，当x→0时，x～sinx，所以上面的sinx可以直接替换为x，进而直接得出结论:1.

七、最广泛的方法:洛必达法则

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意:

1. 在着手求极限以前，首先要检查是否满足型，否则滥用洛必达法则会出错.

2. 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

3. 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果

仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换，等等.

例7 . (使用一次的情况)

(多次使用的情况)

总之，函数的极限问题是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键.连续是函数的一个重要性态.因此，对学生而言，学好函数的极限可以为他们今后的学习打下必要的基础.

摘要：“高等数学”就是以函数为主要研究对象的一门数学课程, 而函数的极限则是贯穿“高等数学”始终的一个重要概念, 是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念, 同时, 极限是微分的理论基础, 研究函数的性质实际上就是研究各种类型的极限, 如连续、导数、定积分等, 由此可见极限的重要性.本文将通过一些例题列举几种求函数极限的不同方法.

关键词：函数,极限,方法

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 1991.

[2]人民教育出版社中学数学室.数学及解题指导[M].北京:人民教育出版社, 2002.

复变函数求极限的方法 篇5

一、替换定理

定理1如果在同一变化过程中, α, α1, β, β1都是无穷小量, 且 α ~ α1, β ~ β1, 那么有:

这个性质说明在求某些无穷小量乘除运算的极限时, 可以使用等价无穷小量进行代换.

替换定理的意义在于, 当 α ~ β 时 ( α 复杂, β 简单) , limαf ( x) = limβf ( x) .

用简单的函数去替换复杂的函数, 达到化繁为简的目的, 能够大大降低计算的难度.

例1【2008年数学三】计算

显然第二种方法要简单, 从这两种方法的比较来看, 灵活运用等价无穷小的替换定理往往可以大大降低计算难度, 从而也提高了计算的准确性.

我们在运用无穷小替换定理的时候往往会忽视一些条件. 比如说这样一个典型的例题:

常见的一种错误的解法是:

因为x→0时tanx ~ x, sinx ~ x,

而正确的解法是:

通常在教学过程中, 老师基本上会通过这样一个例子来强调替换定理只能在乘除中替换, 不能在加减中替换. 但是笔者认为如果站在研究生考试的这么一个高度, 那么这种说法是有一定局限性的, 实际上从微积分的理论可以得知在满足一定条件的前提下, 加减运算中的替换定理是成立的. 我们先看这样一个例子

对于这个题目的解答, 很多同学牢记加减不可替换的教条, 直接上来就洛必达法则, 最后陷入求导的汪洋大海中. 而正确的解法是:

其实我们还可以这样来做:

解法二因为x→0时tanx ~ x, ex- 1 ~ x, ln ( 1 + x) ~ x, sinx ~ x,

这样做的理论依据就是下面的这个定理

定理2如果在同一变化过程中, α, α1, β, β1都是无穷小量, 且α~α1, β~β1, , 则α-β~α1-β1.

推论1如果在同一变化过程中, α, α1, β, β1都是无穷小量, 且α~α1, β~β1, , 则α+β~α1+β1.

对于这两个定理的证明不再证明, 从这两个定理可以看出, 在无穷小相减运算求极限时, 如果是同阶无穷小但不等价, 都可分别替换. ( 对于加法就转化为减法去理解) 虽然说这两个定理在传统的教材中没有, 但笔者认为它们是无穷小替换定理的很好的补充, 对于研究生考试来说掌握它是非常有必要的.

二、和差去低阶

如果 α = β + ο ( β) , 则 α ~ β. 这个结论告诉我们, 如果分子, 分母是多个不同阶的无穷小量的代数和, 保留分子, 分母中最低阶无穷小量, 而舍弃相对高阶的无穷小量, 然后再求极限.

可以设想下如果直接用洛必达法则, 计算该多麻烦!

三、利用无穷小求函数极限方法总结

摘要：利用等价无穷小量求未定式极限是研究生考试中的重要内容, 本文全面系统地介绍了考研中关于利用无穷小量求函数极限的计算方法与技巧.

参考文献

[1]李永乐.2014年数学复习全书.北京:中国政法大学出版社, 2013.

复变函数求极限的方法 篇6

而上题显然符合此条件, 故这种做法是可行的, 虽然学生也许并未认识到其中的理论依据。

下面给出一条定理, 强调等价无穷小在复合函数式中的替换所需满足的条件。

不规范解从结论上正确的原因是由于

然而, 在一般情形下, 对于复合函数的中间变量, 不能随意用等价无穷小代换。下面给出一则反例:

当为充分小的有理数时:

(1) 若均为无理数, 由于当 (﹣, ) 时, (>0且充分小) , (, ) , 且与一一对应,

(3) 若均为有理数, 这种情形是不可能的。

利用等价无穷小替换可使计算极限时化繁为简, 变难为易, 但在极限式特别是复合函数极限式的计算过程中, 并不是所有的无穷小都可以用它们各自的等价无穷小替换, 这种替换是有条件的, 稍不注意就会出现计算错误。因此, 在使用等价无穷小代换时, 应做到有理有据。

注释

1同济大学数学系编.高等数学.上册[M].北京:高等教育出版社, 2007.4.

2华东师范大学数学系编.数学分析.上册[M].北京:高等教育出版社, 2001.6.

3陈新明.用等价无穷小代换求极限中的一些问题[J].高等数学研究, 2008 (5) .

复变函数求极限的方法 篇7

一、各章重点、难点、考点及典型例题解析

第一章：复数。重点：复数的运算，以及用复数方程表示曲线，用不等式表示区域。难点：复数方程表示曲线，不等式表示区域。考点： (1) 求已知复数的实部、虚部、模、辐角及复共轭; (2) 复数的三种代数表示; (3) 复数的八种运算; (4) 区域、简单曲线的概念; (5) 用复变数方程表示曲线，用不等式表示区域。

典型例题解析：

例:求复数的模、辐角、辐角主值及其共轭。

分析：所给复数为代数式，按模、辐角、辐角主值及其共轭的定义做即可，注意该复数在第二象限。

第二章：解析函数。重点：函数解析性的判别，掌握和运用柯西——黎曼条件，能从已知调和函数求其共轭调和函数。难点：函数解析性的判断，已知调和函数求其共轭调和函数。考点：①复变函数与映射的概念;已知映射和原像，求像;②复变函数的导数及求导方法;③解析函数的判断及其性质;④C-R条件及其应用;⑤已知调和函数求其共轭调和函数;⑥初等函数的定义及性质。

典型例题解析：

例：讨论下列函数的可导性与解析性，并在其可导区域内求其导数：ω=2-z+2z2。

分析：讨论函数的可导性与解析性，要紧扣ω=f (z)在点z可导与在区域D内可导的定义，以及f (z)在D内解析的充分必要条件：u (x, y), v (x, y)在D内处处可微且它们满足C-R条件。

解:v=4xy-y, 显然u (x, y) 、v (x, y) 在全平面可微.

∵, u (x, y) 、v (x, y) 满足C-R条件.因此ω=2-z+2z2, 在全平面上解析:

第三章：复变函数积分。重点：柯西定理;柯西积分公式及高阶导数公式的用法。难点：复变函数积分的计算。考点：①复变函数积分的五个性质;②利用原函数计算解析函数的积分;③用参数法计算复变函数的积分;④用柯西定理计算解析函数沿闭曲线的积分;⑤掌握柯西定理的推广;⑥掌握柯西积分公式;⑦掌握解析函数的高阶导数公式;⑧解析函数的一个等价概念。

典型例题解析：

例:计算积分的值, 其中C为正向圆周|z|=1。

分析:在围道|z|=1内, 函数仅有一个奇点z=1/2, 可由高阶导数公式计算积分值。

第四章：级数。重点：函数展开成泰勒级数;在不同环域内展开成罗朗级数;孤立奇点类型的判别。难点：函数展开成罗朗级数;孤立奇点类型的判别。考点： (1) 用比值法和根值法求幂级数的收敛半径; (2) 利用奇点求幂级数的收敛半径; (3) 利用常用的五个初等函数的泰勒展开式求另一些函数的泰勒展开式，并且能够确定其收敛半径; (4) 将一些简单的函数在不同的环域内展开成罗朗级数; (5) 孤立奇点的分类及其判别方法。

典型例题解析：例：将函数，在z=1处展开成泰勒级数。

分析：先将f (z)变成部分分式，化繁为简，再分别展开计算。

第五章：留数。重点：留数的计算及应用留数计算某些定积分。难点：留数的计算。考点： (1) 留数的定义; (2) 留数定理，利用该定理计算围道积分; (3) 留数的计算; (4) 利用留数计算下列三种类型的积分。

典型例题解析:例:利用留数求函数的积分。

分析：计算围道积分有两种基本方法，一是利用柯西积分公式或者高阶导数公式;二是利用留数定理。

解：由(z-2) (z2+1)=0得奇点z=2, z=±i.仅z=±i在围道|z|=3/2内，且为一阶极点.

方法二:利用留数定理I=2πi{Res[f (z) , i]+Res[f (z) , -i]}=4πi/5.

第六章：保角映射。重点：保角映射的概念和分式线性映射。难点：以分式线性函数为主的复合函数的映射。考点：①旋转角、伸缩率;②已知一点，求关于一圆周的对称点;③利用保交比性求映射;④三类典型映射的公式;⑤已知原像和映射，求像;⑥已知原像和像，求映射。

典型例题解析：

例试求一ω=f (z)，它把z平面上的区域保角映射成W平面上的单位圆域|ω|<1，且使z=1+i, 0分别映射成ω=0, 1.

分析：我们先将第一象限映射成上半平面，再将上半平面映射成单位圆内部，最后一复合即可。

解：(a)作变换ω1=z2，它把区域0

(b) 作变换它把上半平面0

综上所述，把z平面上的区域0

第七章：积分变换。重点：计算函数的傅里叶变换;傅里叶变换的微分和积分性质以及用傅里叶变换解某些积分方程。拉普拉斯变换的性质;海维赛德展开式;用拉普拉斯变换解微分方程或微分方程组;难点：用傅里叶变换的性质计算某些函数的傅里叶变换，用拉普拉斯变换的性质计算某些函数的拉普拉斯变换。考点：傅里叶变换、逆变换;拉普拉斯变换、逆变换。

二、学习方法

1. 在学习教材某一章之前，掌握本章的学习目的与要求，以及考核知识点与考核要求。

2. 阅读教材时，对基本概念必须深刻理解，对基本理论必须彻底弄清，对基本方法必须牢固掌握，一般说来，在未达到上述要求之前，不宜学习新的内容。

3. 在学习过程中，要求即动脑，右动手，既要思考问题，又要进行演算。要把教材中的定理证明、公式推导、例题计算再推证一遍，从中了解推理和计算中的关键所在并训练解题能力。

4. 做作业是理解、消化和巩固所学知识，培养分析问题、解决问题及提高运算能力的重要环节。

总之，只要能够把握各章节的重点、难点、考点，并做适量的题目，一定能够学好该门课程。

参考文献