复变函数与数学分析的比较

复变函数与数学分析的比较（共11篇）

复变函数与数学分析的比较 篇1

数学分析与复变函数的比较

姓名:***学号:***

复变函数在数学分析中的教学中具有非常重要的意义,复变函数与数学分析具有很多共同点,但是也有较多的不同,虽有不同,但复变函数中的很多知识点都是数学分析的推广,是数学分析的加深.数学分析与复变函数的相同点:

1.二者的定义相同，都是由一个对应法则从一个区域到另一个区域映射；实数域上的函数与复变函数在进行加、减、乘、除及复合时具有相同的性质；都具的基本初等函数，如指数函数，对数函数，幂函数等；

2.二者都具有极限和连续性，对数学分析中的一些比较重要的定理，如维尔斯特拉斯定理，区间套定理，有限覆盖定理在复数集也成立 ；

3.二者都具有积分，并且积分定义形式类似，都可用类似黎曼积分定义的形式来表述，在此就不详细说明了，实函数与复变函数中积分都有相同的运算法则；

4.二者都有数项级数和函数项级数，并且结构类似，函数项级数的收敛性都可用柯西一致收敛原理，魏尔斯特拉斯判别法来判断，函数都可以有泰勒展式，并且形式一致。

数学分析与复变函数的不同点:

数学分析和复变函数研究的是定义在数域上的函数，数学分析研究实数上的函数，复变函数研究复数领域的函数。由于定义域的不同，而导致了数学分析和复变函数有很多的差异。

1.极限

复变函数研究定义域上自变量趋近于其一个聚点的极限，数学分析中可研究自变量趋近于某一点的极限，也可研究趋近于无穷大的极限，也可以研究单侧极限，研究范围比复变函数要广。

2.求导与微分

数学分析中求导与求微分是非常重要的一部分，可以算作是积分学的逆运算，在现实生活中有举足轻重的作用，而复变函数中虽提到导数与微分，但并未展开来讲。数学分析中的微分学提出了微分中值定理，函数的升降、凸性及极值理论，还提出了待定型求极限的方法。

复变函数与数学分析的比较 篇2

一数学分析在复变函数中的应用

由复变函数的定义可知, 一个复变函数实际上是由两个二元实函数所确定的, 即对任意在定义域内的z=x+yi, f (z) =u (x, y) +iv (x, y) , 其中x, y, u, v都为实数。因此研究复变函数的一些性质可以通过研究这两个二元实函数来解决。下面主要介绍数学分析知识在复变函数的连续性、可微性和可积性三方面的应用。

1.在连续性中的应用

例1:判断f (z) =Rez在z=1+i点处的连续性。

解:令z=x+yi, 则f (z) =Rez=x, 即u (x, y) =x, v (x, y) =0。

2.在可微性中的应用

在复变函数和数学分析中可微的定义是相同的, 由它们的定义可得下面的定理。

例2:判断函数f (z) =z2的可微性。

3.在可积性中的应用

由复变函数的积分定义可知:

二复变函数在数学分析中的应用

由于不是所有可积函数都可求出其原函数, 因此在数学分析中要求出一些积分值是很困难的。而其中有一些积分可利用复变函数的留数知识来计算。下面介绍利用留数计算三种类型的实积分。

参考文献

[1]余家荣.复变函数 (第四版) [M].北京:高等教育出版社, 2010

[2]钟玉泉.复变函数论 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 1979

复变函数教学的探索与实践 篇3

【关键词】 复变函数；思维能力；实践

【中图分类号】 G64.30【文献标识码】 A【文章编号】 2095-3089（2016）36-0-01

复变函数是数学分析的后继课程，里面的许多概念、定理等是数学分析的概念、定理在复数域中的推广，笔者结合自身的教学经验，尝试大学数学教学改革中的一些方法，探讨了一些基本问题，总结了一些教学手段和规律，具体如下：

第一、创设问题情境

在复变函数的教材中，有些章节的内容，一开始就会给出定理，如果直接讲解定理学生不容易理解更不容易接受，所以对于这样的内容，教师可以用一个例子或者一个实际问题引出概念或定理，激发学生的好奇心，培养他们探究的习惯，逐步引导学生学习。比如，在讲柯西积分公式：

（是解析区域中的点）之前，我们可以利用函数的解析性得到，在区域内的圆周上，的值随圆的半径的减小而逐渐接近于在圆心的函数值，随之可以得到，这样在柯西积分公式的证明中就比较容易理解为什么等式的证明转化为证明极限了。当然，在复变函数的教学中，恰当的插入数学概念的背景及应用，可以促进学生对数学价值的认识，构筑数学与人文科学之间的桥梁，为课堂增加色彩，增强学习气氛，避免课堂枯燥沉闷，提高课堂效率。

第二、运用类比法，采用启发式教学

《复变函数》是《数学分析》的后继课程，二者在内容上有相似之处，又有区别之分，实数域内有些内容可以直接推广到复数域，但有些是不可以的，所以在上课的时候，让他们发现这些内容的区别与联系，这样在教学过程中在比较中回顾旧知识，同时也在比较中学习新知识，每一个环节总是在启发学生主动思考，逐步培养同学们的类比思维方法。比如，在实数域内，恒成立，但在复数域内，也即在复数域内不再成立，同样不再成立；在实数域内无周期，但在复数域内，是为周期的周期函数，其他的性质实数域与复数域内一致，在复变函数中这样的例子有很多，所以运用类比的方法可以提高学生的学习兴趣，减少内容的冗余量。

第三、增加互动环节，培养学生发散思维

课堂上教师可以以课堂讨论、提问的方式引导学生对所学知识进行概括与总结，让学生将知识经过自己头脑的分析，从不同角度进行总结归纳。对于习题，启发学生对于一个问题从多个角度思考，举一反三，培养他们的发散思维。比如，已知解析函数的实部或虚部，求解析函数的虚部或实部，课本上介绍了两种方法，但第一种方法比较复杂，第二种方法利用方程相对简单，后来又补充了一种方法——积分法，这种方法非常简单，但这种方法需要把转化为的函数，对于个别学生来说可能有点困难，同学们可以根据自己的学习水平，选择自己熟练的方法做题，其他方法可根据自己掌握的知识进行研究。

第四、引导学生自主学习、独立思考、总结和探索的能力

独立思考是学生学好任何一门学科知识的前提，也是理解和掌握知识的必要条件。课堂上，如果只是教师讲解，而学生没有经过独立思考，就不可能很好地消化所学的知识，也不可能真正深入理解其中的奥妙，使这些知识成为自己真正掌握的知识。通过思考、讨论、总结，学生不但加深了对知识的理解、掌握，还学会了真正的思考，体会了独立思考的成就感，从而使他们勤于思考、乐于思考，加强了学习的动力。教师在上新课或讲习题时，不易讲解太细，要给学生留出思考和探究的余地，否則的话，学生看似听懂了、学会了，实则难以内化为学生自己的观点，不利于培养学生独立思考的能力。简单知识的推导、论证、实数域与复数域内知识的对比以及区别和联系、知识点及方法的归纳、总结等，可以留给学生去做，这样，既锻炼学生自主学习的能力，又能培养学生自主学习的兴趣及归纳、探索的能力。

第五、注重复变函数的应用，激发学生的学习兴趣

复变函数作为一种强有力的工具，已经被广泛的应用于流体力学、弹性力学、理论物理及自动控制理论等研究中。在力学专业—非线性振动的学习中，对描述非线性振动系统的微分方程化简等内容都要用到复变函数的一些基本知识来处理。复变函数的应用，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的.在复变函数中，刘维尔定理和留数是非常重要的知识，不仅在复变函数中有很多应用，而且在其他的课程中应用也比较广泛。比如在高等代数中，可以应用复变函数中的刘维尔定理（有界整函数必为常数）证明代数学基本定理（在平面上，次多项式至少有一个零点。在数学分析中，并不是所有可积的函数其原函数都可以用初等函数表示出来，因此计算积分的值比较困难，对于有些积分可以利用复变函数的留数知识来计算。

总之，在复变函数的教学中，教师应尽可能的进行背景解释和应用方面的举例，有利于学生进一步对概念的理解。运用类比的方法、进行启发式教学，有利于学生对新知识的理解与掌握，培养学生归纳、探索的能力；把理论背景渗透到教学中有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的抽象思维能力和实际应用的能力。在以后的教学中，我们应结合自身的实践经验、学生的特点及课程的特点，不断完善复变函数的教学方法及教学模式。

参考文献：

[1]钟玉泉.《复变函数论》[M].北京：高等教育出版社，2015，12.

[2]周鉴，李昀鸿.对高师院校复变函数教学的思考[J].通化师范学院学报，2012，（12）.

复变函数教案1.1 篇4

复数与复变函数

教学课题：第一节 复数

教学目的：

1、复习、了解中学所学复数的知识；

2、理解所补充的新理论；

3、熟练掌握复数的运算并能灵活运用。

教学重点：复数的辐角 教学难点：辐角的计算 教学方法：启发式教学

教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：复变函数这门学科的一切讨论都是在复数范围内进行的，它是学好本们课程的基础。因此，复习、了解中学所学复数的知识，理解所补充的新理论，熟练掌握复数的运算并能灵活运用显得尤为重要。教学过程：

1、复数域：

每个复数z具有xiy的形状，其中别称为

x和yR，i1是虚数单位；

x和y分z的实部和虚部，分别记作xRez，yImz。

复数z1x1iy1和z2x2iy2相等是指它们的实部与虚部分别相等。

z可以看成一个实数；如果Imz0，那么z称为一个虚数；如果Imz0，而Rez0，则称z为一个纯虚数。如果Imz0，则复数的四则运算定义为：

(a1ib1)(a2ib2)(a1a2)i(b1b2)(a1ib1)(a2ib2)(a1a2b1b2)i(a1b2a2b1)

(a1ib1)a1a2b1b2a2b1a1b2)2i 222(a2ib2)a2b2a2b2复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。

2、复平面：

C也可以看成平面R，我们称为复平面。

2作映射：CR2:zxiy(x,y)，则在复数集与平面R2之建立了一个1-1对应。横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。

3、复数的模和辐角

复数可以等同于平面中的向量，z(x,y)xiy。

x2y2向量的长度称为复数的模，定义为：|z|；

向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Argzarctany2i（kZx）。

tany,Argz我们知道人亦非零复数有无限多个辐角，今以xargz表示其中的一个特定值，并称合条件

argz的一个为主值，或称之为z的主辐角。于是，Argzargz2k,(k0,1,2,)。注意，当z=0时辐角无异议。当z0时argz表示z的主辐角,它与反正切Arctan的主值arctan（argz，arctan）

22yxy有如下关系xyxyarctan,当x0,y0;x,当x0,y0;2yarctan,当x0,y0;argzx(z0)yarctan,当x0,y0;x-,当x0,y0;2复数的三角表示定义为：z|z|(cosArgzisinArgz)； 复数加法的几何表示： 设z1、z2是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：

yz2z1z2z2z1xz1z20z2关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、|z1z2||z1||z2|；（2）、|z1z2|||z1||z2||；（3）、|z1z2||z1||z2|；（4）、|z1z2|||z1||z2||；（5）、|Rez||z|,|Imz||z|；（6）、|z|2zz； 例1 试用复数表示圆的方程：

a(x2y2)bxcyd0

（a0）

其中，a,b,c,d是实常数。

解：方程为

azzzzd0，其中(bic)。

例

2、设z1、z2是两个复数，证明

z1z2z1z2,z1z2z1z2

12z1z1

利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设z1、z2是两个非零复数，则有 z1|z1|(cosArgz1isinArgz1)z2|z2|(cosArgz2isinArgz2)

则有

z1z2|z1||z2|[cos(Argz1Argz2)isin(Argz1Argz2)]

即|z1z2||z1||z2|，Arg(z1z2)Argz1Argz2，其中后一个式子应理解为集合相等。

同理，对除法，有

z1/z2|z1|/|z2|[cos(Argz1Argz2)isin(Argz1Argz2)]

即|z1/z2||z1|/|z2|，Arg(z1/z2)Argz1Argz2，其后一个式子也应理解为集合相等。

例

3、设z1、z2是两个复数，求证：

|z1z2|2|z1|2|z2|22Re(z1z2)，例

4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。解：直线：Imza0； bazaca)0 圆：Im(zbcb4、复数的乘幂与方根

利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：

ab

abc

zn|z|n(cosnArgzisinnArgz)rn(cosnisinn)从而有znz,当r1时,则得棣莫弗(DeMoivre)公式1，则 znn

令znzn|z|n[cos(nArgz)isin(nArgz)]

进一步，有

11zn|z|[cos(Argz)isin(Argz)]

nn1n共有n-个值。

例

4、求4(1i)的所有值。解：由于1i2(cos4isin)，所以有 4411(2k)isin(2k)] 4444(1i)82[cos4(1i)82[cos(16kk)isin()]2162其中，k0,1,2,3。

5、共轭复数

复数的共轭定义为：zxiy；显然zz,ArgzArgz,这表明在复平面上,z与z两点关于实轴是对称的

我们也容易验证下列公式：(1),zz,z1z2z1z2,(2),z1z2z1z2,(2z1z)1(z20),z2z2zzzz ,Imz,22i(4),设R(a,b,c)表示对于复数a,b,c的任一有理运算,则(3),zzz,RezR(a,b,c)R(a,b,c)

复变与积分变换教案 篇5

第七次课 教学目标：导出解析函数的高阶导数，学会运用高阶导数公式计算复积分。

讲课段落：

 Cauchy积分高阶导数定理的背景；  多连通域的Cauchy积分高阶导数定理  运用高阶导数公式计算复积分。知识要点：

 对每个自然数

n，在D内定义函数

f()Fn(z)d n(z)则对zD，有

Fn(z)nFn1(z)

 对每个自然数n，f(z)在D内处处有n阶 导数，且对zD 有 f(n)n!f()(z)dn1 2i(z) 由于f(z)uxivxvyiuy，而高阶导数定理认定，一但

f(z)解析 则f(z)也解析，自然更有f(z)连续，从而可知ux,vx,uy,vy都连续。

 设D为单连域，f(z)在D内连续，若对

复变函数与数学分析的比较 篇6

复变函数这门数学分支在数学理论和实际中都有非常强大应用性。而解析函数是复变函数特有的内容, 在复变函数理论中起着重要的作用, 解析函数在理论和实际中都有着广泛的应用, 所以对解析函数的理论及应用进行分析有非常大的必要性。

1 解析函数的概念

如果函数f (z) 不仅在z0处可导, 而且在z0的某个邻域内的任意一点可导, 则称f (z) 在z0解析。

如果f (z) 在区域D内的任一点解析, 则称f (z) 在区域D内解析。

注:1) 如果f (z) 在区域D内解析, 那么D内每一点都是它的内点, 从而D是开区域。

2) 如果说函数f (z) 在闭圆盘z≤1上解析, 指的是在包含该圆盘的某个区域内解析。

3) f (z) 在z0解析, 则f (z) 在z0可导;f (z) 在z0可导, 则f (z) 在z0不一定解析。但是f (z) 在区域D内解析和可导是等价的。

4) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析;所有解析点的集合必为开集。

2 函数解析的判定

2.1 根据解析函数的定义判定

要考察函数在某一点的解析性, 首先看函数在该点是否有定义, 然后看函数在该点及其邻域内是否可导。

例:因为f (z) =z2在整个复平面上处处可导, 且f' (z) =2z则由解析的定义知f (z) 在整个复平面上解析。

2.2 根据初等函数的解析性判定

若复变数函数为初等函数, 则可根据初等函数的解析性进行判定

1) 指数函数ez在整个复平面上解析;

2) 对数函数Lnz的主值函数和各个分支在除去原点和负实轴外的每一点解析;

3) 幂函数zα, α为正整数时, 幂函数在整个复平面上解析;α为负整数时, 幂函数在除原点外的复平面上解析;α为既约分数、无理数、虚数时, 在除去原点和负实轴的复平面上解析。

4) sinz, cosz在整个复平面上解析;tanz, cotz, secz, cscz在各自的定义域内解析

5) shz, chz在整个复平面上解析。

2.3 根据定理判定

定理:函数f (z) =u (x, y) +iv (x, y) 在区域D内解析的充分必要条件是:u (x, y) , v (x, y) 在D内可微, 并且在区域D上满足柯西—黎曼方程:

定理:函数f (z) =u (x, y) +iv (x, y) 在区域D内解析的充分条件是:ux, uy, vx, vy在D内连续, 并且u (x, y) , v (x, y) 在区域D上满足柯西—黎曼方程:

例:讨论函数f (z) =2x (1-y) +i (x2-y2+2y) 的解析性。

解:因为u=2x (1-y) , v=i (x2-y2+2y)

3 解析函数的应用

3.1 解析函数在复变函数中的应用

解析函数是复变函数中的一类重要的函数, 函数的解析性对于复变函数定积分的计算、调和函数、留数定义及留数理论、保形映照的一般理论等方面都要用到解析函数的概念。而求满足一定边界条件的解析函数的一类问题, 这是解析函数论在许多理论和实际问题中应用极为广泛的一个重要分支, 而黎曼边值问题和希尔伯特边值问题是其中两个最典型的例子。

例黎曼边值问题

设L为复平面上一组有向的光滑曲线, 把平面分割为若干个连通区域, 要求一分区全纯函数 (即在上述每一个连通区域内全纯) φ (z) , 使Φ+ (t) =G (t) Φ- (t) +g (t) (t∈L) 中G (t) 、g (t) 都是已知函数, 而Φ+ (t) 和Φ- (t) 分别表示当z从L的正侧 (即沿L正向前进时的左侧) 和负侧 (右侧) 趋于L上一点时φ (z) 的极限值也就是边值。此外还要求φ (z) 在无穷远处至多有一极点。如果L中含有开口弧段, 则也应说明要求φ (z) 在L的端点附近的性态:具有不到一阶的奇异性。在G (t) , g (t) 满足一定的条件时, 这一问题已完全解决。

3.2 解析函数在实际中的应用

复变函数是数学分支中应用性很强的一门学科, 人们利用复变函数理论可以解决了很多实际问题, 而解析函数在复变函数的应用中又起着重要的作用。

在航空工业中, 要根据升力的大小来设计翼型, 不仅要使飞机能在空中飞行, 而且对是否符合起飞和降落快慢也有要求。根据解析函数在流体力学理论中的应用, 可以应用解析函数可以计算飞机在飞行时空气对机翼的升力。

解析函数在电学中也有应用, 例如可以根据保形映照来求静电场。

参考文献

[1]苏变萍, 陈东立.复变函数与积分变换[M].北京:高等教育出版社, 2010.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2007.

复变函数求极限的方法 篇7

关键词 复变函数 极限 方法

中图分类号O174.5文献标识码A文章编号1673-9671-(2009)111-0097-01

在一般的教科书中,没有对复变函数极限的求法作详细的讨论,而主要把复变函数的极限问题转化为它的实部和虚部,即两个二元实变函数的极限问题来讨论。但对许多复变函数而言,写出它的实部和虚部都比较麻烦,从而增加了求极限的复杂性。针对此问题,本文给出了几种求复变函数极限的常规方法,并通过例题解析了这些方法。

1 转化为两个二元实变函数求极限

设 , , ,

则

。

2 利用复变函数的连续性

利用复变初等函数的连续性(如: 、(正整)、、、、 在整个复平面均连续; 、(不是正整数) 在除去原点和负实轴上的点外处处连续等等),以及复变函数的连续性满足四则运算、复合运算,可知如果一个复变函数是由复变初等函数和常数经过四则运算和初等运算构造的,我们可先判别它在极限点的连续性,如果连续,则极限等于函数在极限点的函数值。

例1 求 。

解 由于在z和cosz 均在点 z=0连续,且仅当(k为任意整数)时,cosz=0 ,所以 在点 z=0连续,从而 。

3 利用等价无穷小求极限

利用一些复变函数的泰勒展开式,我们可以证明有些实函数的等价无穷小在复变函数中也成立。如:当 z→0时,

(1);

(2) ;

(3) ;

其中(3)式中的只取主值分支。

这里我们给出和的证明:根据sinz 的泰勒展开式知 ,所以 , 。

例2 求 。

解。

注:和实函数一样,和或差中的项不能用等价无穷小代替。

4 利用洛必达法则求未定式的极限

复变函数也有洛必达法则,但与实函数相比稍稍有点差别

例3 求 。

解 显然当z→0 时,是未定式。所以

例4 求

解

我们知道:若z0 是 的可去奇点、极点和本性奇点,则 分别为 、 和既不存在也不为 。

例5 求 。

解 因为在z=0的某去心领域内,有洛朗展开式

,从而z=0是的本性奇点,所以 既不存在也不为。

参考文献:

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数(第四版)[M],北京:高等教育出版社,1996.

[2]钟玉泉.复变函数论(第二版)[M],北京:高等教育出版社,1988.

[3]贺君燕.复函数的洛必达法则[J],高等数学通报,2008,70(4):47-49.

复变函数与数学分析的比较 篇8

关键词：三角函数；有理式积分；万能公式；留数定理

三角函数有理式积分的求解是数学分析中一个典型的积分计算问题，往往利用万能公式、组合积分法以及换元法等进行求值。这些定积分还可以运用复变函数中的留数定理进行计算，特别是对那些原函数不易求得的积分，是一个非常有效的方法。已有许多文献总结求解三角函数有理式的思路方法[1-8]，大部分利用实积分中的万能公式求解。本文为了比较分析三角函数有理式积分在数学分析和复变函数中的两种计算方法，在学习中进行总结，整理知识点，选取了一个典型积分 为例，探究并比较两种方法的区别与联系，对比了两种不同的解题思路。

一、预备知识

定义1[9] 设函数 定义在 ，而在 的任一左邻域内 无界（此时 为 的瑕点），若 在任意 上可积，我们称积分形式 为 在 上的瑕积分。

定理1[10] 设 在周线或复周线 所围的区域 内，除 外解析，在闭区域 上除 外连续，则（“大范围”积分）

利用复变函数中留数定理计算三角函数有理式积分

下面讨论利用留数定理计算上述积分，对比计算方法与上节中方法的异同。

四.结论

本文主要讨论了计算三角函数有理式积分不同的两种方法：分别用万能公式换元求解和留数定理两种不同的解题思路。通过对比分析，我们可以知道，利用万能公式计算三角函数积分时，优点在于思路清晰简单，但仍有不足之处，计算量较大，不易获得原函数，但如果利用复变函数中的留数定理，则可以更加有效地计算出很难获得原函数的三角函数积分，运用较为广泛，通过总结我们可以得出两种方法各有利弊，在今后求解三角函数积分的过程中，要根据三角函数的结构特点来确定合适的方法，从而进行有效的计算。

参考文献：

[1] 魏章志，陈浩.三角函数有理式积分技巧[J].高等数学研究.2011，14（1）：78-79.

[2] 段生贵.三角函数有理式的积分方法[J].河北地质学院学报，1995，18（5）：438-441.

[3] 陈培.一类“三角函数有理式”积分算法的讨论[J].中国科技信息，2011（10）：40-41.

[4] 王仙彩.换元法在计算三角函数有理积分中的应用[J].高等函授学报（自然科学版）， 2007，20（2）：23-25.

[5] 姚红梅.三角函数有理式的积分的解题方法[J].高等函授学报（自然科学版），2010，23（3）：63-64.

[6] 廖辉.廖平.一类三角函数定积分的一个注记[J].绵阳师范学院学报，2012，31（8）：14-17.

[7] 王振辉.张波.三角函数有理式的一些积分技巧[J].科技信息，2009（34）：4-4.

[8] 陈小强.对有理函数积分法的探讨[J].新疆职业大学学报，2002，10（3）：45-46.

[9] 华东师范大学数学系.数学分析[M].第4版.北京：高等教育出版社，2010.

复变函数与数学分析的比较 篇9

一、各章重点、难点、考点及典型例题解析

第一章：复数。重点：复数的运算，以及用复数方程表示曲线，用不等式表示区域。难点：复数方程表示曲线，不等式表示区域。考点： (1) 求已知复数的实部、虚部、模、辐角及复共轭; (2) 复数的三种代数表示; (3) 复数的八种运算; (4) 区域、简单曲线的概念; (5) 用复变数方程表示曲线，用不等式表示区域。

典型例题解析：

例:求复数的模、辐角、辐角主值及其共轭。

分析：所给复数为代数式，按模、辐角、辐角主值及其共轭的定义做即可，注意该复数在第二象限。

第二章：解析函数。重点：函数解析性的判别，掌握和运用柯西——黎曼条件，能从已知调和函数求其共轭调和函数。难点：函数解析性的判断，已知调和函数求其共轭调和函数。考点：①复变函数与映射的概念;已知映射和原像，求像;②复变函数的导数及求导方法;③解析函数的判断及其性质;④C-R条件及其应用;⑤已知调和函数求其共轭调和函数;⑥初等函数的定义及性质。

典型例题解析：

例：讨论下列函数的可导性与解析性，并在其可导区域内求其导数：ω=2-z+2z2。

分析：讨论函数的可导性与解析性，要紧扣ω=f (z)在点z可导与在区域D内可导的定义，以及f (z)在D内解析的充分必要条件：u (x, y), v (x, y)在D内处处可微且它们满足C-R条件。

解:v=4xy-y, 显然u (x, y) 、v (x, y) 在全平面可微.

∵, u (x, y) 、v (x, y) 满足C-R条件.因此ω=2-z+2z2, 在全平面上解析:

第三章：复变函数积分。重点：柯西定理;柯西积分公式及高阶导数公式的用法。难点：复变函数积分的计算。考点：①复变函数积分的五个性质;②利用原函数计算解析函数的积分;③用参数法计算复变函数的积分;④用柯西定理计算解析函数沿闭曲线的积分;⑤掌握柯西定理的推广;⑥掌握柯西积分公式;⑦掌握解析函数的高阶导数公式;⑧解析函数的一个等价概念。

典型例题解析：

例:计算积分的值, 其中C为正向圆周|z|=1。

分析:在围道|z|=1内, 函数仅有一个奇点z=1/2, 可由高阶导数公式计算积分值。

第四章：级数。重点：函数展开成泰勒级数;在不同环域内展开成罗朗级数;孤立奇点类型的判别。难点：函数展开成罗朗级数;孤立奇点类型的判别。考点： (1) 用比值法和根值法求幂级数的收敛半径; (2) 利用奇点求幂级数的收敛半径; (3) 利用常用的五个初等函数的泰勒展开式求另一些函数的泰勒展开式，并且能够确定其收敛半径; (4) 将一些简单的函数在不同的环域内展开成罗朗级数; (5) 孤立奇点的分类及其判别方法。

典型例题解析：例：将函数，在z=1处展开成泰勒级数。

分析：先将f (z)变成部分分式，化繁为简，再分别展开计算。

第五章：留数。重点：留数的计算及应用留数计算某些定积分。难点：留数的计算。考点： (1) 留数的定义; (2) 留数定理，利用该定理计算围道积分; (3) 留数的计算; (4) 利用留数计算下列三种类型的积分。

典型例题解析:例:利用留数求函数的积分。

分析：计算围道积分有两种基本方法，一是利用柯西积分公式或者高阶导数公式;二是利用留数定理。

解：由(z-2) (z2+1)=0得奇点z=2, z=±i.仅z=±i在围道|z|=3/2内，且为一阶极点.

方法二:利用留数定理I=2πi{Res[f (z) , i]+Res[f (z) , -i]}=4πi/5.

第六章：保角映射。重点：保角映射的概念和分式线性映射。难点：以分式线性函数为主的复合函数的映射。考点：①旋转角、伸缩率;②已知一点，求关于一圆周的对称点;③利用保交比性求映射;④三类典型映射的公式;⑤已知原像和映射，求像;⑥已知原像和像，求映射。

典型例题解析：

例试求一ω=f (z)，它把z平面上的区域保角映射成W平面上的单位圆域|ω|<1，且使z=1+i, 0分别映射成ω=0, 1.

分析：我们先将第一象限映射成上半平面，再将上半平面映射成单位圆内部，最后一复合即可。

解：(a)作变换ω1=z2，它把区域0

(b) 作变换它把上半平面0

综上所述，把z平面上的区域0

第七章：积分变换。重点：计算函数的傅里叶变换;傅里叶变换的微分和积分性质以及用傅里叶变换解某些积分方程。拉普拉斯变换的性质;海维赛德展开式;用拉普拉斯变换解微分方程或微分方程组;难点：用傅里叶变换的性质计算某些函数的傅里叶变换，用拉普拉斯变换的性质计算某些函数的拉普拉斯变换。考点：傅里叶变换、逆变换;拉普拉斯变换、逆变换。

二、学习方法

1. 在学习教材某一章之前，掌握本章的学习目的与要求，以及考核知识点与考核要求。

2. 阅读教材时，对基本概念必须深刻理解，对基本理论必须彻底弄清，对基本方法必须牢固掌握，一般说来，在未达到上述要求之前，不宜学习新的内容。

3. 在学习过程中，要求即动脑，右动手，既要思考问题，又要进行演算。要把教材中的定理证明、公式推导、例题计算再推证一遍，从中了解推理和计算中的关键所在并训练解题能力。

4. 做作业是理解、消化和巩固所学知识，培养分析问题、解决问题及提高运算能力的重要环节。

总之，只要能够把握各章节的重点、难点、考点，并做适量的题目，一定能够学好该门课程。

参考文献

复变函数与数学分析的比较 篇10

《复变函数与积分变换》是我校工科专业一门重要的基础课程, 是很多专业课程的重要的理论基础。本课程对培养学生数学素质、逻辑思维、分析问题和解决问题的能力有重要的作用和意义。该课程无论在教学、科学研究和项目开发中都处于非常重要的地位, 提高此课程的教学效果, 具有重要的现实意义。

我们在《复变函数与积分变换》课程的教学过程中遇到如下问题:学生普遍认为课本内容抽象、难懂, 相关公示和概念讲解多;课堂讲解以论述为主, 内容既多又复杂, 重点不突出, 听起来感觉单调、乏味;教学内容结合各专业技术应用的内容很少, 严重脱离学生熟悉的专业环境, 缺少学习兴趣。因此需要在目前的教学环境下, 综合应用多种不同的教学方式, 激发学生学习的兴趣和热情。

二、基于任务驱动的研究性教学

任务驱动教学是一种以建构主义理论为基础的教学方法, 建构主义学习理论认为:知识不是通过教师传授得到的, 而是学习者在教师的帮助下, 利用必要的学习资料, 通过建构方式获得的。这里的建构既包括对新知识意义的建构, 又包括对原有经验的改进和重组[1]。任务驱动就是在学习的过程中, 学生在教师的帮助下, 通过对学习资源积极主动地应用, 以完成一个个具体的任务为线索, 教师依据课堂教学目的和教学内容的需要, 依据专业不同引出具体创新点, 引导学生参与分析、讨论、评价等活动, 与以往的传统教学方式相比, 主要提倡使用理论联系实践结合的互动教学, 任务驱动教学法有利于培养学生独立分析问题、解决实际问题的能力以及创新意识和创新能力, 促使学生重视科研项目实践。

研究性教学, 指的是学生在教师指导下, 根据各自的兴趣、爱好和条件, 选择不同的研究课题, 独立自主地开展研究, 从而培养创新精神和创造能力的一种学习方式[2,3]。这种教学方法的本质是学生不再是被动地接受知识, 而且通过在学习过程中的自主选择和自我设计, 学生可以充分挖掘自身的潜力, 实现个性化发展。

三、任务驱动模式教学实践

作为任务驱动的教学, 我们在授课过程中, 遵照Willis提出的模型来进行架构。将教学任务分解成前期任务、执行任务和评价机制这一教学模式;任务的实现分三个步骤完成, 即课堂讲授由教师讲解、演示教学内容并引出需要使用的相关定理和公式;接着是任务的主体, 提出任务之后, 教师不要过早指导学生应该“怎么做”, 而是要和学生分析讨论, 引导学生逐步理解问题的实质, 明确“做什么”;然后帮助学生将任务分解, 产生一系列子任务, 学生通过团队协作实现;最后再由教师对任务完成的情况给出最终评价结果。

根据上述框架, 在《复变函数与积分变换》课程中, 将教学分为三基理论导入和三元驱动 (兴趣驱动、竞赛驱动和项目驱动) 主动学习环节。三个环节以三基理论为教学内容, 强调通过课堂教学完成大纲规定的基本概念、基本理论、基本方法, 提高学生的理论学习能力;以三元驱动主动学习为中心环节, 强调将课内和课外自主学习相结合, 充分发挥教师主导作用, 激发学生专业知识学习的原动力, 提高学生创新热情, 培养学生的主动探索和主动学习的能力;充分发挥网络技术, 挖掘网络课堂和教学资源, 通过技术创新创造软硬件资源。

三基理论导入:此环节由教师根据本科生学科专业、学习基础、自学能力、学习兴趣的不同层次, 实行多元化、分层次教学模式。避免教师独角戏的讲法, 实现解惑、答疑和启发性的过程, 在教学中采取了灵活多样的教学方法, 教师讲授为主, 学生自主学习为辅, 遵循课堂中注重互动讨论、学习中关注实际应用, 讲授法与讨论法相结合、启发与具体实例相结合等教学方法, 结合《复变函数与积分变换》课程特点精心选择和梳理各章节的教学方法。

三元驱动主动学习:该课程理论内容和概念较多、内容抽象, 在教学过程中, 我们需要特别注重讲解课程内容的重要性和实用意义。该环节根据专业引导学生逐步实现兴趣驱动、竞赛驱动和项目驱动过渡。学生初步接触复变函数和积分的变换思想很迷惑, 因此需要针对具体专业引入示例来提高学生的学习兴趣, 从而使学生深入进去后自发运用信息技术, 采取主动的学习策略;学生对内容产生了浓厚的兴趣后, 引导学生参加相关的数学建模竞赛, 提高数学创造性思维、团队协作能力和沟通能力, 以竞赛的方式进一步激励复变函数应用性的个性化学习, 将理论联系实际, 提高了学生的荣誉感和对理论学习的热情, 充分发挥了学科竞赛的带动价值;最后积极组织学生参与到教师的实际科研项目中, 引导学生参加学校的创新实验, 利用复变函数和积分变换的基础知识解决实际项目中的难点, 将建立的数学模型转换、指导和应用于相应的工程应用模型, 培养学生学以致用的科研水平。

如在讲解傅里叶变换时, 引入对其物理意义的阐述。傅里叶变换是将信号从时域转换到频域, 这样在时域上一些交叉在一起的、看不出来的信号的特性, 在频域上就很明显地能看出来了, 如下图2-图5所示:

图2与图3两个信号的波形在时间轴上, 很容易分辨出来。但是图4是两个信号的叠加, 就无法通过直观的方法识别出具体的信息。但是通过傅里叶变换转换到频域上, 如图5所示可以十分清晰地分辨出图4是由两个信号组成的, 频率大的信号的幅值比较大。这样学生就将专业实践与复变函数知识有机地结合起来。

四、结束语

《复变函数与积分变换》课程教学质量的好坏, 是各工科专业的学生后续专业课程的数学基础, 因此提高《复变函数与积分变换》的教学质量, 任务是艰巨的, 需要我们讲授工科专业课基石——数学的教师保持持续的教学方式探索。通过本文讨论的教学改革与实践, 《复变函数与积分变换》的教学质量有了一定提高, 取得了初步成效。

参考文献

[1]何克抗.建构主义——革新传统教学的理论基础[J].电化教育研究, 1997, (3) .

[2]高莉.基于探究型学习的《数字信号处理》课程教学实践[J].中国电力育, 2008, (3) :54-55.

复变函数中积分的计算 篇11

纵观复变函数的发展史, 我们不难看出复变函数在解决实际问题中的重要性.解析函数作为复变函数的主要研究对象, 而解析函数的性质许多是由复变函数的积分来获取的, 故而, 掌握并且灵活运用复变函数积分的计算尤为重要, 复积分中的柯西积分定理是理论的关键所在, 而由其产生的柯西公式、幅角原理、留数定理等都与积分的计算息息相关.其中, 积分在孤立奇点的计算要运用到洛朗展式.级数与积分的结合在计算的运用将复变函数这一理论推向了又一高峰.文章重点介绍留数与幅角原理、级数法、柯西公式法进行复积分计算的方法, 使得计算更为方便.

一、柯西公式

柯西定理是复变函数论的重要基础之一, 也是复变函数论的核心定理.柯西公式以及留数定理也是由其发展得出的结论.

柯西定理:设f (z) 是单连通区域D内的解析函数.

(1) 设C是D内任一条简单闭合曲线, 那么∫Cf (z) dz=0, 在这里沿C的积分是按反时针方向取.

(2) 设C是在D内连接m和n两点的任一条简单曲线, 那么沿C从m到n的积分的值由m和n决定, 不依赖于曲线C, 这个积分也可记作∫mnf (x) dx.

柯西定理讨论一个区域D上的复函数在什么条件下在D上积分与路径无关, 最简单的柯西积分定理的形式为:当D是单连通区域, 而f (z) 是D上的解析函数时, 以下3个互相等价的结论成立: (1) f (z) 在D内沿任意可求长曲线积分与路径无关. (2) f (z) 在D内沿任意可求长闭曲线积分为零. (3) f (z) 在D上有原函数.如果在连续函数类中讨论, 则以上定理还是可逆的.

二、级数法

将函数展开成泰勒级数或者洛朗级数可以解决复变函数中的复积分问题.

泰勒级数:设f (z) 在区域D内解析a∈D, 若K:|z-a|

(1) 称为f (z) 的洛朗展式.

注:同一函数在不同的圆环内的洛朗展式不同.

所以, 原式=2πi+0=2πi.

三、留数与幅角原理

留数定理:D是复平面上的游街区域, D的边界是一条或者有限条闭合曲线C.函数f (z) 在D内除去有孤立奇点外在每一点都解析, 且它在C上每一点也解析, 则我们有

这里沿C的积分是按关于区域D的正向取的.

留数理论及其应用是复变函数论在发展过程中的重要推动力之一.在复分析中, 留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具, 也可以用来计算实函数的积分.通过留数定理的运用, 我们能够更快捷地计算积分.在应用留数定理时, 我们需要认真分析所积函数f (z) 的孤立奇点, 根据孤立奇点的类型来解决不同问题.在三种类型的孤立奇点中, 在级点的留数的方法又是多种多样, 由级点的阶数不同, 我们能运用不同的方法来计算留数.

解依题意得:

而Res (f, 2) =-1,

故而, 由留数定理我们可知:原式=-2πi.

四、总结