方程与函数的关系

方程与函数的关系（共12篇）

方程与函数的关系 篇1

一次函数、方程和不等式是初中数学的主要内容之一，也是中考的必考知识点.新课程标准把三部分的关系提到了十分明朗化的程度.因此，应该重视这部分内容的教学.在教学中，可以从以下几个知识点进行辨析.

知识点1：一次函数与一元一次方程

任何一个一元一次方程都可以转化成ax+b=0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值(从数的角度);从图像上看，相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴的交点横坐标的值(从形的角度).

例如，利用函数图像解方程：-2x+2=0，可以转化为求一次函数y=-2x+2与x轴交点的横坐标.如图1所示，y=-2x+2与x轴交点的横坐标为1，所以方程-2x+2=0的解为x=1.

注意：解一元一次方程ax+b=0 (a≠0)与求函数y=ax+b (a≠0)的图像与x轴交点的横坐标是同一个问题.不同的是前者从“数”的角度解决问题，后者从“形”的角度解决问题.

知识点2：一次函数与一元一次不等式

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大(小)于0时，求自变量x的取值范围.

例如，利用函数图像解不等式-2x+2>0，可以转化为当一次函数y=-2x+2的函数值大于0时，求自变量x的取值范围.如图1所示，由图像可知，当x<1时，直线y=-2x+2上的点都在x轴的上方.

所以不等式的解集为x<1.同样，我们还可以由图像得出-2x+2<0的解集为x>1.

注意：利用函数图像解一元一次不等式，关键是正确画出一次函数的图像，找出这条直线与x轴的交点，要求图像准确，交点要标清楚.

知识点3：一次函数与二元一次方程组

每个二元一次方程组都对应两个一次函数，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数是何值;从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.

例如, 利用函数图像解方程组

可以转化为求直线y=2x+4与直线y=-3x+9的交点坐标, 如图2所示, 从图像可知:两直线的交点坐标为 (1, 6) , 所以方程组的解为

注意：要能从“数”和“形”两个角度来解释一次函数与二元一次方程组的关系;已知方程组画直线时，要把每个方程都转化为函数的形式.

另外，两条直线的位置与二元一次方程组的解还有如下特点：

(1)当直线y=k1x+b1不平行于y=k2x+b2，即k1≠k2时，二元一次方程组有唯一的解;

(2)当直线y=k1x+b1平行于y=k2x+b2，即k1=k2, b1≠b2时，二元一次方程组无解;

(3)当直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合，即k1=k2, b1=b2时，二元一次方程组有无数个解.

方法技巧：用做图像的方法可直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.

总之，函数、方程都是人们刻画现实世界的重要数学模型，方程是用来刻画数量之间的相等关系，不等式是用来刻画数量之间的不等关系，函数则是刻画两变量之间的运动关系当函数中的一个变量的值确定时，可以利用方程确定另一个变量的值;当已知函数中的某一个变量取值范围时，可以利用不等式(组)确定另一个变量的范围.一次函数、方程和不等式之间的关系实际上是突出了知识间的横向综合，教学时应引导学生运用数形结合方法，体会三者之间密不可分的联系，为一次函数的应用奠定理论基础，同时也为今后其他各类函数的应用提供方法.

方程与函数的关系 篇2

§1：函数与方程

教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数的图像与x轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。教学目标：

1、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点。

2、通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认识规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。重点难点：根据二次函数图像与x轴的交点个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念。复习引入：

同学们好，今天我们来进行第四章函数应用的学习，这一节课我们先来学习第一节函数与方程。在讲新课之前，我们已经学习过一元一次方程、一元二次方程，并会对它们进行求解。现在来看几个方程：①ax+b=0(a0)这是一个一元一次方程，我们能很容易求出方程的解是x=－.②ax2+bx+c=0(a0)这是一个一元二次方程，在对一ab元二次方程求解时我们会先用判别式△=b2－4ac来判断方程是否有实解。当△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，x1≠x2;当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，x1=x2;当△＜0时，一元二次方程没有实数根。当方程有实数根时，我们可以通过求根公式求出一元二次方程的根：x=

bb4ac2a2。③x5+4x3+3x2+2x+1=0

函数的零点。

说明：①零点是所在函数图像与x轴交点的横坐标。

②零点是一个实数，并不是一个点。③函数的零点就是相应方程的根。

④函数零点的个数与相应方程的根的个数相等。

学习过零点概念及以上4点说明，我们已经学会判断零点：要求函数的零点就要看函数图像与x轴是否有交点，也即相应方程是否有实根。因此得到判断零点的方法。

2． 判断零点的方法：方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点。可得出：方程f(x)=0的实根与函数y=f(x)的零点是一一对应的。

那如果所给的函数的图像不易画出，又不能求出其对应方程的根时，我们怎样判断函数有没有零点呢？

观察例1中第一个方程的对应图像：f(x)= x2-2x-3 从图像上看，我们知道函数f(x)= x2-2x-3有两个零点：-1,3.而能找到区间[-2,0]使零点-1在[-2,0]内，区间[2,4]使零点3在[2,4]内。且有f(-2)=5＞0,f(0)=-3＜0, f(-2)×f(0)＜0;f(2)=-3＜0, f(4)=5＞0, f(2)×f(4)＜0.可以发现f(-2)×f(0)＜0，函数f(x)= x2-2x-3在区间（-2,0）内有零点-1是方程x2-2x-3=0的一个根；同样地，f(2)×f(4)＜0，函数f(x)= x2-2x-3在区间（2,4）内有零点3是方程x2-2x-3=0的另一个根。因此可以得到以下结论：

3.零点存在性定理： 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]的图像是连续曲

5，一个小于2。

分析：转化判断函数f(x)=（x-2）（x-5）-1在区间（-∞，2）和(5, +∞)内各有一个零点。

解：考虑函数f(x)=（x-2）（x-5）-1，有f(2)=（2-2）（2-5）-1=-1＜0，f(5)=（5-2）（5-5）-1=-1＜0，又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，在（-∞，2）内存在一点a，使f(a)＞0；在(5, +∞)内存在一点b，使f(b)＞0，所以抛物线与横轴在（a，2）内有一个交点，在(5, b)内也有一个交点，而该交点即是方程的解。所以方程（x-2）（x-5）=1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2。

四、零点存在性定理说：“若f(a)×f(b)＜0，则在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间（a,b）内至少有一个实数解”，它只指出了方程f(x)=0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解。那改为f(a)×f(b)＞0时，问题：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)×f(b)＞0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内是否有零点?可能有几个零点？

方程与函数的关系 篇3

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，这条抛物线与x轴有三种位置关系：（1）有两个交点；（2）只有一个交点；（3）没有交点.

当抛物线与x轴有两个交点时，这两个交点大致有下列三种位置关系：（1）同在原点的右边；（2）同在原点的左边；（3）在原点的两旁.

因为x轴上点的纵坐标都是0，所以研究上述问题，就变为研究一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根的判别式、根与系数的关系的问题了.

对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），若Δ=b2-4ac>0，则该函数的图像与x轴必有两个交点，这两个交点的位置与一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根与系数的关系对应如下：

设一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两根为x1、x2则有

1. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点同在原点左边时：x1+x2<0，且x1x2>0.

2. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点同在原点右边时：x1+x2>0，且x1x2>0.

3. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点位于原点两旁时：x1x2<0.

解决有关二次函数的图像与x轴的交点的位置问题，一定要同时考虑一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系. 在这类问题中，我们经常会遇到这种类型的题：

通过以上三个例题的两种解题方法来看，利用数形结合的思想，不失是一种很好的解题途径，可以使复杂的计算简单化，有利于提高解题效率.

方程与函数的关系 篇4

初中数学教材对函数的定义是:在某一个变化的过程中, 有变量x和y, 当给定一个x值时, 就有相应的y值与其对应, y就被定义为x的函数.在初中函数的定义中, 只要有一个x值就能确定一个y值, 有一个y值就能确定一个x值.一元函数的数学表达式是y=kx+b (k非零) , 其中当b为零时就是正比例函数, 通过该公式更能明晰地看到x和y的一一对应关系, 只要确定了x (y) , 就能确定唯一的y (x) 与之对应.在初中数学中x和y组成了一对有序实数对.

初中生还应该学会描绘一次函数的图像.通过求对应值、连线、画图, 学生知道了一次函数是一条直线.在坐标轴上只要求出交点坐标并连线, 那么这条直线就是y=kx+b的图像, 其中正比例函数是过原点的直线.在此基础上, 初中生要知道一次函数图像的性质, 例如, 在k>0, b>0时图像经过第一象限、第二象限和第三象限;而在k>0, b<0时, 图像经过第一象限、第三象限和第四象限, 并且在k>0时, 直线与x轴夹角为锐角, 反之为钝角.教师要给初中生灌输这样的观念, 凡是满足y=kx+b的x与y的值所对应的点 (x, y) 一定在直线y=kx+b上.

以y=4x+8为例, 学生在看到这个函数时应该知道函数经过第一、二、三象限, 函数与x轴的交点是 (-2, 0) , 与y轴的交点是 (0, 8) , 函数图像和x轴的夹角是锐角.

初中生刚刚从小学阶段上来, 在学习方式和学习方法上还很不适应, 教师在教授一元一次函数时, 不能仅仅依靠课本的内容进行教学, 这样容易导致学生产生腻烦情绪, 丧失学习一元函数的兴趣.教师在实际教学中可以采取多媒体教学方式进行教学, 多媒体教学方式可以直观地反映出教学的内容, 给学生一目了然之感, 让学生在初步理解一元函数的内容时省时省力, 这样就可以克服学生学习新知识的恐惧感, 让学生以轻松愉悦的心情去面对初中数学的学习.另外, 初中数学老师在设置教学情境时要选取学生熟悉的生活场景, 利用学生已有的生活经验进行数学教学可以让数学知识更容易被学生接受.例如, 教师可以选取生活中购物或者消费的情境设置一元函数习题, 让学生深刻地记忆一元函数相关知识.最后, 教师还要鼓励学生多动手做题, 一元函数涉及画图像、识象限等方面的问题, 初中生在刚刚学习这方面的知识时, 如果不能动手练习而只靠自己想象, 很难真正理解一元一次函数的本质.教师可以组织学生进行小组互助学习, 在小组中教师要鼓励对一元函数知识掌握好的同学帮助其他学生进步, 鼓励性格开朗的学生担任小组长和其他小组的成员沟通和接洽, 经过一段时间的小组学习, 教师还可以组织小组竞赛, 给学生一个积极竞争、健康向上的学习氛围, 同时也能够让同学之间了解到自己学习的不足, 给自己一个客观的评价.

二、一次函数与一元一次方程和一元一次不等式之间的关系

从数学表达式上看, 一元函数的表达式是y=kx+b, 一元一次方程的表达式是kx+b=0, 一元一次不等式的表达式是kx+b> (<) 0.由此可见, 一元一次方程式表达的是函数y=0时x的数值, 而一元一次不等式解决的是y>0或者y<0时x的取值范围.以下举例说明:

以y=3x+6为例, 该函数过第一象限、第二象限和第三象限, 与x轴和y轴的交点分别是 (-3, 0) , (0, 6) .当y=0时, 该函数变为一元一次方程, 其解为x=-3;当y>0时, 该函数变为一元一次不等式, x的取值氛围是大于-3.通过图像观察可知, 一元一次方程的解是一元一次函数与x轴交点的横坐标;而一元一次不等式在k>0时, y>0在交点的右边, y<0在交点的左边, 当k<0时结论相反.

由以上论述可知, 一元一次函数与一元一次方程和一元一次不等式之间是相互联系的, 它们在本质上相互渗透, 一元一次方程和一元一次不等式在解法上都可以通过观察一元一次函数得到, 所以, 当学生熟悉了一元一次函数的性质和图像特征时, 一元一次方程和一元一次不等式的问题就迎刃而解了.一次函数和一元一次方程以及一元一次不等式均反映了客观事物变化规律, 函数描述的是事物变化的过程, 方程描述的事物在某一点的状态, 即事物变化过程中的某一瞬间的情况, 而不等式则反应了在变化过程中的某一方面或者某一侧面, 是范围和片段的概念.通过函数、方程和不等式之间的联系和理解, 教师要把数形结合的概念深入到学生的思维中去.

总之, 教师在教学中应该有意识地把这三方面的知识串联在一起, 让学生在学习完一元一次函数之后, 能够迅速地理解一元一次方程和一元一次不等式的相关知识, 做到融会贯通、举一反三, 这样学生才能真正掌握初中数学这三方面的重要知识.

摘要：根据初中数学教材的安排, 在七年级学生需要了解一元一次方程及其解法, 七年级下半学期学生还要学习一元一次不等式相关知识, 而在八年级学生要学习一次函数的知识, 并在此基础上了解一次函数的图像.初中生一般对于这三方面知识学习得比较透彻, 但是对于三者之间的联系, 学生知之甚少, 在这方面需要教师的指导.教师应该教会学生把这三方面的知识贯穿到一起, 如果学生能够通透地理解这三方面的知识, 那么初中数学的学习将会容易许多.

关键词：一次函数,一元一次方程,一元一次不等式,关系

参考文献

[1]雷勇.一元一次不等式和一元一次不等式组教与学[J].天府数学, 1999.

[2]严惠.五种版本数学教材中一元一次方程内容的比较[D].硕士学位论文, 2007.

[3]陈克隆, 董杰.彰显数学文化的一元一次方程的教学案例及其思考[J].内蒙古师范大学学报, 2012.

[4]周志英.初中数学教材函数内容处理的比较研究[D].硕士学位论文, 2008.

[5]蒋丽华.教学设计:实际问题与一元一次不等式 (组) [J].北京教育学院学报, 2006.

函数与方程教学方案 篇5

学时: 1学时

[学习引导]

一、自主学习

1.阅读课本 页

2.回答问题：

(1)课本内容分成几个层次?每个层次的中心内容是什么?

(2)层次间有什么联系?

(3)二分法求函数零点的步骤是什么?

3.完成课本 页练习及习题4-1.

4.小结

二、方法指导

1.本节课内容的重点：利用二分法求方程的近似值.

2.认真体会数形结合的思想.

3.注意用计算器算近似值的步骤

【思考引导】

一、提问题

1. 为什么要研究利用二分法求方程的近似解?

2. 如何用框图表述利用二分法求方程实数解的过程?

二、变题目

1. 设f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x(1，2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0则方程的根落在区间( )

A.(1.25,1.5) B.(1,1.25)

C.(1.5,2) D.不能确定

2. 用二分法求方程 在区间(2，3)内的实根，取区间中点为 ，那么下一个有根的区间是 。

3. 借助科学计算器用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确到0.1)

【总结引导】

1. 任何方程，只要它所对应的图象是连续曲线，而且有实根，就可用二分法借助于计算器或计算机求出方程根的近似值，二分的`次数越多，根就越精确.二分法体现了无限逼近的数学思想

2. 利用二分法求方程近似解的步骤是：

① 确定区间[ ]，使 在[ ]上连续，且 ;

② 求区间 的中点 ;

③ 计算 ;

(1) 若 则 就是方程的解

(2) ，则方程的解 ;

(3) ，则方程的解 .

(4) 判断是否达到精确度要求，若区间两端点按精确度要求相等，则得到方程的近似解.

【拓展引导】

1.函数 的零点所在的大致区间是( )

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

2.有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球?要求次数越少越好.

3. 某同学解决一道方程近似解的问题解答如下：求方程2x3-6x2+3=0的近似实数解(精确到0.01).

解: f(-1)=-50,f(3)=30,

可以取初始区间[-1，3]，以后用二分法逐步求解，请问他的解答正确吗?

高一数学教案：函数与方程参 考 答 案

【思考引导】

一、提问题

1.因为二分法求方程实数解的思想是非常简明的，利用计算器能很快解决近似值问题.二分法的基本思想也将在以后的学习中不断帮助我们解决大量的方程求解问题.

2.利用二分法求方程近似解的过程，可以简约地用右图表示.

【变题目】

1、 A 2、(2,2.5)

3、 【解析】：原方程即2x+3x=7,令 f(x)=2x+3x-7 ,用计算器作出函数f(x)=2x+3x-7 对应值表：

x 0 1 2 3 4 5 6 7

f(x)=2x+3x-7 -6 -2 3 10 21 40 75 142

f(1) f(2)0 取区间[1,2]

区间 中点的值 中点函数近似值

(1,2) 1.5 0.33

(1,1.5) 1.25 -0.87

(1.25,1.5) 1.375 -0.28

(1.375,1.5) 1.4375 0.02

(1.375,1.4375)

由于 |1.375-1.4375|=0.06250.1

此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。

【拓展引导】

1.(C) 在 上是增函数， 0

时 在(0，1)内无零点。

在(1，2)和(3，4)内均无零点。

而 ,故 在(2，3)内至少有一个零点。

2.三次

3.提示：不正确。对于这样的高次方程，首先要确定它的实数解的个数，一般可以利用函数的单调性或函数的图像来确定。

对于此题：

函数与方程复合问题的探究 篇6

例1已知函数y=f（x）和函数y=g（x）的图象（图1）：

问：（1）方程f[g（x）]=0不同实数解的个数是多少？

（2）方程g[f（x）]=0不同实数解的个数是多少？

这是函数与方程复合的问题，应先对复合后方程的“内层”进行换元.然后结合y=f（t）和t=g（x）的曲线，便可使问题解决.

对于问题（1），令t=g（x），则f（t）=0零点情况如下：

由y=f（t）的图象知：零点分别有三个值t1，t2，t3，其中t1∈（-2，-1），t2=0，t3∈（1，2）.

这时再看t=g（x），画横线y=t知（图2）：

当t∈（-2，-1）时，对应2个x的值；

当t=0时，对应2个x的值；

当t∈（1，2）时，对应2个x的值；

综合以上知：方程f[g（x）]=0有6个零点.

对于问题（2），令t=f（x），则g（t）=0零点情况如下：

由y=g（t）图象知，t有两个值，分别分布在t∈（-2，-1），t∈（0，1），这时再看t=f（x），画横线y=t知（图3）：

当t∈（-2，-1）时，对应1个x值；

当t∈（0，1）时，对应3个x值；

综上知g[f（x）]=0零点个数为4个.

还可继续问f[f（x）]=0和g[g（x）]=0的情形如何？

这个问题的解决，为我们解决函数与方程复合问题打开了一扇窗，使我们对这一类问题的数学思维豁然开朗.返朴归真，寻求数学的本源，弄清数学问题所蕴含的思想和观念，才能达到举一反三的目的.再请看下面问题.

例2若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程

3[f（x）]2+2af（x）+b=0的不同实根的个数是（）.

A.3B.4C.5D.6

本问题是一个三次函数与一元二次方程复合后判断根的个数问题.先令t=f（x），则

3t2+2at+b=0，画出t=f（x）的草图（图4）.

因为f′（x）=3x2+2ax+b，依题意知x1，x2为f′（x）=0的两个不同的实根，即为方程3t2+2at+b=0的两个解.令t=x1或t=x2不妨设x1

所以原方程有3个解，故选A.2有关含参的函数与方程复合的参数条件问题.

例3设定义域为R的函数f（x）=lgx-1，x≠1，

0，x=1，则关于x的方程

f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解的充要条件是（）.

A.b<0且c>0B.b>0且c<0C.b<0且c=0D.b≥0且c=0

本问题是分段函数与一元二次方程复合后判断解的个数问题.

先令t=f（x），则t2+bt+c=0.

作t=f（x）的图象，然后画横线y=t（图5），寻求满足条件的点的位置及t的范围.

若方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，从图象上看方程t2+bt+c=0必须有两个不同解，又从画横线y=t知t的位置有两个，一个t1>0，一个t2=0，即一个正根，一个零根，因此，b<0且c=0，故选C.

例4已知函数f（x）=-x2-2x，g（x）=x+14x，x>0，

x+1，x≤0，若方程g[f（x）]-a=0不同解的个数为4，则实数a的取值范围为.

见到方程g[f（x）]-a=0，转化为g[f（x）]=a，即y=g[f（x）]和y=a的图象的交点个数为4.

令t=f（x），g（t）=a.先观察“内层”函数t=f（x）图象，结合图象画横线可知（图6），一个t对应x值的个数，欲达到4个零点，每个t对应2个x值，则需t有两个解，同时知t<1即可.再观察y=g（t）图象（图7），从图象知当1≤a<54时，y=g（t）与y=a恰有两个交点，即t有两个值.

综上分析，实数a的取值范围为[1，54）

例5设定义域为R的函数f（x）=lgx，x>0

-x2-2x，x≤0，若关于x的函数

y=2f2（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则b的取值范围为（）.

A.-322

本问题是分段函数与一元二次方程复合后，由零点个数求参数范围的问题.

令t=f（x），则y=2t2+2bt+1，作t=f（x）的图象（图8），画横线知：每一个t对应4个x，且t∈（0，1），这样y=2t2+2bt+1有两个不同的零点t1，t2，且t1，t2∈（0，1）.

由一元二次方程根的分布满足Δ=4b2-8>0，

0<-b2<1，

g（1）>0，-32

例6函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于x=-b2a对称，据此可以推测对任意的非零实数a，b，c，m，n，p关于x的方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解集不可能是（）.

A.{1，2}B.{1，4}C.{1，2，3，4}D.{1，4，16，64}

本问题是一个一元二次方程和另一个一元二次方程复合后根的问题.令t=f（x），则mt2+nt+p=0，画t=f（x）的草图，考虑mt2+nt+p=0有两解的情况，可设t=M，或t=N，利用函数与方程思想.把方程问题转化为求函数t=f（x）与直线y=M或y=N交点问题（图9）.

设x1，x2，x3，x4分别为t=f（x）与两直线交点的横坐标，不妨设x1

在数学课堂教学中，样例的学习通常以逐步呈现解答步骤的形式向学习者提供解决问题的方法或规则[4].从以上样例求解可以看出，这类问题是函数（曲线）与方程的复合问题，无论是判断根的个数，还是由根的个数判断参数范围，都是先用换元法将函数替换掉，画出这个“新”函数的图象，然后在曲线上画与x轴平行的直线，分析交点情况，确定方程的根或所求参数的取值范围.这类问题综合性较强，将数形结合、化归等数学思想体现的“淋漓尽致”.数学知识的掌握是一个积累的过程，这个积累反映了数学思维的成果[5～7]，只要我们抓住了问题的本质，问题的解决也就和谐、自然了.

参考文献

[1]马俊青.数学样例学习与学生数学知识形成关系的研究[J].数学教育学报，2009，18（4）：68-70

[2]李大永，章红.基于整体把握的运算主线下的“分数指数幂”教学[J].数学教育学报，2016，25（1）：61-66

[3]甘卫群，刘万伦.样例的概念属性呈现方式对初一学生分式概念学习的影响[J].数学教育学报，2015，24（6）：68-72

[4]赵弘.国外的样例研究对数学例题教学的启示[J].吉林师范大学学报（自然科学版），2007，（2）：70-72

[5]韩云桥.论数学学习的经验性思维[J].数学教育学报，2015，24（5）：51-54

[6]梁栋，朱鸿玲.数学概念二次教学的实践与思考[J].数学教育学报，2015，24（2）：83-87

[7]郑毓信.数学与思维之深思[J].数学教育学报，2015，24（1）：1-5

例谈函数与方程的应用 篇7

关键词：函数与方程,应用

视角一构造函数或方程来解决问题

例1已知集合, 则集合M表示的图形是___?

分析:本题关键是找到变量x, y的关系, 直接化简会很复杂, 如果移项变形, 化为, 构造函数会轻易解决.

解析:构造一个常见的函数, 则g (x) 为R上的增函数, 且为奇函数.又已知等式可化为, 于是g (x) =-g (y) =g (-y) , 因此x=-y, 即x+y=0.所以, 集合M表示的图形是直线.

点拨:本题难在对所给的式子不会化简, 导致半途而废.因为所给式子中有两个变量x, y, 如果把所给等式整理为, 不难发现能构造函数f (x) =x+x2+1 (x∈R) 来解决.

视角二函数方程思想在不等式中的应用

例2已知在区间[-1, 1]上是增函数, (1) 设关有两个非零实根为x1, x2.问:是否存在实数m, 使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1, 1]恒成立?

解析:关于的方程可以化为.解得x=0或x2-ax-2=0.由于Δ=a2+8>0, 所以方程x2-ax-2=0有两个非零实根x1, x2.计算|x1-x2|, 由x1+x2=a, x1x2=-2得.本题等价于是否存在m, 使不等式.对a∈A, t∈[-1, 1]恒成立.把看作关于a的函数, 则①式等价于m2+tm+1≥Tmax (a) ②.由于a∈A, 则, 从而②式转化为m2+tm+1≥3, 即m2+tm-2≥0③.对t∈[-1, 1]恒成立.我们又可以把③式的左边看作关于t的函数.记g (t) =m2+tm-2=mt+m2-2.对m=0和m≠0分类研究.若m=0, ③式化为g (t) =-2≥0, 显然不成立;若m≠0, g (t) 是t的一次函数.要使g (t) ≥0对t∈[-1, 1]恒成立, 只要g (-1) ≥0及g (1) ≥0同时成立即可, 如图1, 图2.

解不等式组得m≤-2或m≥2.所以存在实数m, 使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A, t∈[-1, 1]恒成立, 其取值范围是{m|m≤-2或m≥2}.

点拨: 在做题时要格外的注意对于题意的理解以及计算时的分类.

视角三函数方程思想在数列中的应用

例3已知等差数列{an}, 其前n项和为Sn, 是否存在常数k, 使得成立?

解析:设存在常数k, 使成立, 令an=pn+q (p、q为常数) , 则k (pn+q) 2-1=S2n-Sn+1①.又, 代入①式变为, 所以由②得p=0或kp=3/2.若p=0, 代入③、④不成立;将kp=3/2代入③, 得q=-p/4, 代入④得kp2/16-1=-p+p/4, 即, 所以p=32/27, 从而得出q=-8/27, k=81/64.所以存在常数k, 使得成立.

点拨: “假设 — 推证 — 定论”是解答此类问题的三个步骤. 本题通过设等差数列的通项公式an= pn +q ( p、q为常数) , 构造方程, 从而自然地解决了此问题.

参考文献

[1]陈江华.函数与方程思想在高中数学中的应用[J].读与学教育教学版, 2014 (3) .

浅谈函数与方程的思想方法 篇8

方程思想,是分析数学中变量间的相等关系,进而建立方程或方程组,运用解方程或方程的性质去解决问题.

一、函数思想

所谓函数思想,是通过构造函数关系,用函数来分析问题、解决问题的方法.

1. 构造函数,运用函数的性质

例1已知关于x的方程x2+ 2cosx - a2= 0有唯一解,求a的值;

分析构造函数x2+ 2cosx - a2= 0,则此题转化为求函数f( x) 的零点唯一时的a值.

解析设f( x) = x2+ 2cosx - a2,x∈R,∵f( - x) =( - x)2+ 2cos( - x) - a2= x2+ 2cosx - a2= f( x) .

∴f( x) 是偶函数.

∴f( x) 的图像关于y轴对称,而由题意知方程f( x) = 0有唯一解,所以方程的解必为x = 0,∴f( 0) = 0 + 2 - a2= 0,解得

点评解有关不等式、方程之类的问题,通过构造函数关系式,利用函数的图像和性质,常常可以使问题简单得解.

2. 选定主元,揭示函数关系

例2对于a∈[- 1,1]的一切值,求使不等 式恒成立的x的取值范围.

分析从一个题中分析出哪个是自变量,利用函数与方程的思想,把不等式转化为函数去解,从而使问题简化.

1. 当x = 1时,不定式1不成立.

2. 当 x≠1 时,设 f( a) = a( x - 1) + ( x - 1)2.

( 1) 当x > 1时,f ( a) 是[- 1,1]上的增函数,要使f( a) > 0恒成立,则只要f( - 1) > 0,即( 1 - x) + ( x - 1)2>0,∴x > 2.

( 2) 当x < 1时,f ( a) 是[- 1,1]上的减函数,要使f( a) > 0恒成立,则只要f( 1) > 0,即( x - 1) + ( x - 1)2> 0,∴x < 0.

综上所述: x的取值范围是( - ∞ ,0) ∪( 2,+ ∞ ) .

点评本题的巧妙之处是求x反而以a为自变量对进行讨论.

3. 选取变元,确定函数关系

二、方程思想

函数与方程密切相关,在解题中,方程的思想占有重要的地位,也是近年来高考所重点考查的数学思想方法之一.

通过换元构造新方程

例3关于x的方程9x+ ( 4 + a) 3x+ 4 = 0恒有解,求的取值范围.

分析通过换元法将方程变为二次方程恒有正根问题,同时利用根与系数的关系解决问题.

解析设3x= t,( t > 0) ,所以方程t2+ ( 4 + a) t + 4 = 0有正根,

解得a≤ - 8.

点评本题利用换元法,将问题转化为二次方程,利用根与系数的关系或判别式来解决问题.

三、函数与方程相互转化的思想

解题时,不能只局限于函数思想或方程思想,而应该根据两者之间的相互关系,使其能相互转化,以达到快速解题之目的.

例4已知抛物线y = ( m - 1) x2+ ( m + 2 ) x - 1 ( m∈R) ,当m为何值时,抛物线与x轴有两个交点?

分析令y = 0,则转化为求方程有两个不等实根时m的值.

解析 ( 1) 令y = 0,则( m - 1) x2+ ( m + 2) x - 1 = 0,由题意∴ m > 0 或 m < - 8且 m≠1.

高中数学函数与方程的思想探析 篇9

1. 函数的思想

就是利用函数的图像和性质分析问题,通常将一些方程、不等式的问题转化为函数的问题。具体体现有求方程的根的问题、不等式恒成立的问题,特别是一些超越方程或超越不等式中,巧用函数的思想,会使问题迎刃而解。

2. 方程的思想

就是把函数构造成方程,利用方程进一步研究方程的思想。具体体现有求函数的值域的问题、解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系问题,都可利用解二元方程组来巧妙解决。

二、典例分析

1.(题型1)构造函数,并利用函数的图像和性质来解决有关问题

例1 若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,求x1+x2的值。

分析:方程2x+2x=5与方程2x+2log2(x-1)=5都是超越方程,其中方程的根都是不能直接求解,所以应找到两个方程之间的联系,转化为函数的思想来解答。

解:由2x+2x=5⇒2x=5-2x⇒

2x+2log2(x-1)=5⇒2log2(x-1)=5-2x⇒

由(1)式知x1可以看做函数y=2x-1与函数y=5/2-x的产生的交点A的横坐标;

由(2)式知x2可以看做函数y=log2(x-1)与函数y=5/2-x产生的交点B的横坐标。

而y=2x-1与y=log2(x-1)分别由y=2x与y=logx同时向右平移一个单位得到y=2x与y=logx函数图像关于y=x对称,即y=2x-1与log2(x-1)函数图像关于y=x-1直线对称。因为y=x-1与y=5/2-x互相垂直,其交点C坐标为(7/4,3/4),同时A、B两点关于C点对称,所以x1+x2=2×7/4=7/2。

点评:本例由已知方程构成函数,巧用指对函数图像的对称性来巧妙地解决问题。

变式:设a,b∈R且(a-1)3+2002(a-1)=-1,(b-1)3+2002(b-1)=1,求a+b的值。

分析:观察已知条件中结构形式,构造函数f(x)=x3+2002x,有f(a-1)=-f(b-1),知y=f(x)为奇函数且y=f(x)在R递增的,f(a-1)=f(1-b)⇒a-1=1-b⇒a+b=2。

例2 设不等式2x-1>m(x2-1)对满足的一切实数恒成立,求实数的取值范围。

分析:不等式f(x)≥g(x)恒成立,往往都是构造F(x)=f(x)-g(x),往求F(x)min,使得F(x)min≥0,即可达到解决问题的目的。若构造二次函数F(x)=2x-1-m(x2-1),m∈[-2,2],往求F(x)min,利用分类讨论思想较为复杂化,若变换以m为主元,x为辅元,即一次函数F(m)=(x2-1)m-(2x-1),-2≤m≤2,往求F(m)max,即可使得F(m)max<0。

只要,

∴实数x的取值范围为。

点评:本例将不等式恒成立问题构造函数,利用函数的性质巧妙解决问题。

2.(题型2)建立方程,利用方程的思想解决有关问题

例3 如果函数的最大值是4,最小值是-1,求实数的值。

分析:函数的定义域为R,值域为-1≤y≤4,由转化为yx2-ax+y-b=0关于x的一元二次方程有实数根,使用到别式。

解:定义域为R⇒yx2-ax+y-b=0有实数根⇒(-a)2-4y(y-b)≥0⇒4y2-4by-a2≤0。

∵-1≤y≤4,∴4y2-4by-a2-=0产生有两根-1,4。

点评:本例巧妙地将函数问题转化成方程根的问题解决问题。

例4 已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1)。

(1)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)单调递增。

(2)若函数y=f(x)-t-1有三个零点,求的值。

分析:函数y=f(x)-t-1有三个零点转化方程f(x)-t-1=0有三个根,再转化成f(x)=t±1方程有三个根,再转化成函数y=f(x)与函数y==t±1有三个交点,利用函数与方程思想相互转化。

解:(1)f'(x)=axlna+2x-lna=(ax-1)lna+2x。

∵x>0,a>1,∴ax>1,ax-1>0,lna>0,2x>0。

∴(ax-1)lna+2x>0,即f'(x)>0。∴y=f(x)在(0,+∞)是单调递增的。

(2)函数y=|f(x)-t|-1有三个零点圳方程|f(x)-t|-1=0有三个根⇔f(x)=t±1方程有三个根⇔函数y=f(x)与函数f=t±1有三个交点。

由(1)式知当a>1时,函数f(x)在(0,+∞)单调递增,∵f'(x)=(ax-1)lna+2x,当a>1时,若x<0时ax-1<0 lna>0,2x<0,∴(ax-1)lna<0,f'(x)<0。

∴当a>1时,y=f(x)在(-∞,0)单调递减。

当00时,ax-1<0 lna<0,2x>0,∴(ax-1)lna<0,f'(x)>0。

当a>1时,y=f(x)在(-∞,0)单调递增。

当00 lna<0,2x<0。

∴(ax-1)lna<0,f'(x)<0。

当0

∴y=f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增。

∵y=f(x)与y=t±1有三个不同的交点,又∵t+1>t-1,∴y=t-1=f(0)=1时,且t=2时满足要求。

∴t=2。

点评:本例巧妙利用函数与方程相互转化的思想解决问题。

函数思想与方程观点 篇10

1.函数的思想, 是用运动和变化的观点, 分析和研究数学中的数量关系, 建立函数关系或构造函数, 运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题, 从而使问题获得解决

例1若正数a, b满足ab=a+b+3, 求ab的取值范围.

解这道题看上去似乎与函数无缘, 但是经过变形, 可以把它转化为某一个变量的函数

由ab=a+b+3, 得

显然 (1) 式表示a的函数, 要求此函数的值域, 首先确定其定义域.

回到已知, 因为b>0, 所以

∵a>0, ∴a+3>0, ∴a-1>0, 即a>1.

当且仅当, 即a=3时, 上式等号成立.

故ab的取值范围是[9, +∞) .

评析不是函数看做函数, 这不正是函数思想的实质吗?

2.方程的思想, 就是分析数学问题中变量间的等量关系, 建立方程或方程组, 或者构造方程, 通过解方程或方程组, 或者运用方程的性质去分析、转化问题, 使问题获得解决

例2定义在 (-∞, +∞) 上的任意函数f (x) 都可以表示成一个奇函数g (x) 和一个偶函数h (x) 之和.如果f (x) =lg (10x+1) , x∈ (-∞, +∞) , 那么 () .

A.g (x) =x, h (x) =lg (10x+10-x+2)

解析本题所给内容虽是高等数学中的一个命题, 但从方程的观点看, 由已知条件有

f (x) =g (x) +h (x) , (1)

∴f (-x) =g (-x) +h (-x) .

∵g (x) 为奇函数, h (x) 为偶函数,

∴g (-x) =-g (x) , h (-x) =h (x) .

∴f (-x) =-g (x) +h (x) . (2)

(1) (2) 可以看做是以g (x) 和h (x) 为未知数的“二元一次方程组”, 解这个方程组, 得

将f (x) =lg (10x+1) 代入, 得

故应选C.

评析 (1) 在求出g (x) =后, 可直接代入 (1) 式求h (x) .

(2) 根据选择题的特点, 在求出g (x) =后, 便可否定A, B, D.

3.结语

方程在中学数学中的应用是非常广泛的, 可以说, 它贯穿于整个中学数学的始终.特别是方程思想和观点, 对于培养学生良好的数学素质和思维品质, 开发智力, 实现等价转化, 都起着重要的桥梁和纽带作用.

函数思想具有创造性, 对能力的要求较高.它是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括, 是在知识和方法反复学习运用中抽象出的带有观念性的指导方法.

例谈函数与方程思想的教学策略 篇11

高考中的函数方程思想可以分成逐渐提高的四个层次：

第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数方程或不等式，指数、对数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等。

第二层次：带参变数的方程或不等式的讨论，常常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题。

第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系、函数的性质、集合的关系等。

第四层次：构成方程或不等式求解问题。

其中，第三、四层次已经进入到方程、不等式观点应用的境界，既把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。

运用函数与方程的思想时，要注意函数、方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到：

（1）深刻理解函数f（x）的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础。

（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系。掌握二次函数基本性质、二次方程实根分布条件、二次不等式的转化策略。

函数思想主要有：（1）引入变量，确定函数关系；（2）选定主元，揭示函数关系；（3）选取变元，构造函数关系；（4）实际问题，建立函数关系；（5）特殊函数，转化函数关系。

方程思想主要有：（1）待定系数求解方程；（2）分类思想讨论方程；（2）变量代换构造方程。

函数与方程思想及其应用 篇12

方程思想是未知和已知的思想, 是先分析问题中的各个变量及其关系, 列出方程 (组) 、不等式 (组) , 然后通过求方程 (组) 、不等式 (组) 的解 (集) , 使问题得以解决的数学思想.

函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助相关初等函数的性质, 处理有关求值、解 (证) 不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题研究中, 通过建立函数关系式或构造中间函数, 把所研究的问题转化为讨论函数有关性质的问题, 化难为易, 化繁为简.方程思想的应用可分为逐步提高的四个层次:⑴解方程;⑵含参数方程的讨论;⑶转化为对方程的研究, 如直线与圆锥曲线的位置关系、函数的性质;⑷构造方程求解.

一、三个“二次” (一元二次方程、二次函数、一元二次不等式) 中的函数与方程思想

二、数列中的函数与方程思想

三、三角中的函数与方程思想

四、解析几何中的函数与方程思想

五、立体几何中的函数与方程思想

(Ⅰ) 求V (x) 的表达式;

(Ⅱ) 当x为何值时, V (x) 取得最大值?