直线与圆的方程教案

2024-08-24

直线与圆的方程教案（通用11篇）

直线与圆的方程教案篇1

第十章直线与圆的方程

一、基础知识

1．解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如x2+y2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。

.2 求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。

3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于x轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。

4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：

xx1yy1xy1；（5）两点式：；（6）法线式方程：abx2x1y2y1xcosθ+ysinθ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：xx0tcos（其中θ为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0, y0）到动点P（x, yy0tsiny）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P方向向上则取正，否则取负）。5．到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，夹角为α，则tanθ=

k2k1kk1,tanα=2.1k1k21k1k26．平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。且两者不重合，则l1//l2的充要条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。

227．两点P1(x1, y1)与P2(x2, y2)间的距离公式：|P1P2|=(x1x2)(y1y2)。

8．点P(x0, y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：d|Ax0By0C|AB22。

9．直线系的方程：若已知两直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0，则过l1, l2

交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2=0；由l1与l2组成的二次曲线方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；与l2平行的直线方程为A1x+B1y+C=0(CC1).10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为Ax+By+C=0.若B>0，则Ax+By+C>0表示的区域为l上方的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l下方的部分。

11．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x和y表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。12．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其参数方程为xarcos（θ为参数）。

ybrsinDE,，半径为2213．圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)。其圆心为1D2E24F。若点P(x0, y0)为圆上一点，则过点P的切线方程为 2x0xy0x0xy0yDE22yF0.① 14．根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3.则它们两两的根轴方程分别为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0;(D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0;(D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。

二、方法与例题

1．坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。

例1 在ΔABC中，AB=AC，∠A=900，过A引中线BD的垂线与BC交于点E，求证：∠ADB=∠CDE。

例2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为60。

2．到角公式的使用。

例3 设双曲线xy=1的两支为C1，C2，正ΔPQR三顶点在此双曲线上，求证：P，Q，R不可能在双曲线的同一支上。

3．代数形式的几何意义。例4 求函数f(x)

4．最值问题。

例5 已知三条直线l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3:(m+1)x-y+m+1=0围成ΔABC，求m为何值时，ΔABC的面积有最大值、最小值。

0x43x26x13x4x21的最大值。

5．线性规划。

1xy4,例6 设x, y满足不等式组

y2|2x3|.（1）求点(x, y)所在的平面区域；

（2）设a>-1，在（1）区域里，求函数f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。

6．参数方程的应用。

例7 如图10-5所示，过原点引直线交圆x2+(y-1)2=1于Q点，在该直线上取P点，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求P点的轨迹方程。

7．与圆有关的问题。

例8 点A，B，C依次在直线l上，且AB=ABC，过C作l的垂线，M是这条垂线上的动点，以A为圆心，AB为半径作圆，MT1与MT2是这个圆的切线，确定ΔAT1T2垂心的轨迹。

例9 已知圆x2+y2=1和直线y=2x+m相交于A，B，且OA，OB与x轴正方向所成的角是α和β，见图10-7，求证：sin(α+β)是定值。

例10 已知⊙O是单位圆，正方形ABCD的一边AB是⊙O的弦，试确定|OD|的最大值、最小值。

例11 当m变化且m≠0时，求证：圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。

三、基础训练题

1．已知两点A(-3,4)和B(3,2)，过点P(2,-1)的直线与线段AB有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是__________.2．已知θ∈[0,π]，则y3cos的取值范围是__________.2sin3．三条直线2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0围成一个三角形，当点P(x, y)在此三角形边上或内部运动时，2x+y的取值范围是__________.4．若三条直线4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4能围成三角形，则m的范围是__________.5．若λ∈R。直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2)的距离为d，比较大小：d__________42.6．一圆经过A(4,2), B(-1,3)两点，且在两个坐标轴上的四个截距的和为14，则此圆的方程为__________.7．自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，则光线l所在的方程为__________.8．D2=4F且E≠0是圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切的__________条件.29．方程|x|-1=1(y1)表示的曲线是__________.10．已知点M到点A（1，0），B（a,2）及到y轴的距离都相等，若这样的点M恰好有一个，则a可能值的个数为__________.11．已知函数S=x+y，变量x, y满足条件y2-2x≤0和2x+y≤2，试求S的最大值和最小值。12．A，B是x轴正半轴上两点，OA=a，OB=b(a

（2）当∠AMB取最大值时，求OM长；

（3）当∠AMB取最大值时，求过A，B，M三点的圆的半径。

四、高考水平训练题

1．已知ΔABC的顶点A(3,4)，重心G(1,1)，顶点B在第二象限，垂心在原点O，则点B的坐标为__________.2．把直线3xy230绕点（-1，2）旋转30得到的直线方程为__________.3．M是直线l:

0xy1上一动点，过M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，则在线43段AB上满足AP2PB的点P的轨迹方程为__________.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4．以相交两圆C1：x+y+4x+y+1=0及C2：x+y+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为__________.5．已知M={(x,y)|y=2a2x2,a>0},N={(x,y)|(x-1)+(y-3)=a,a>0}.MN，a

222

2的最大值与最小值的和是__________.6．圆x+y+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P，Q两点，O为原点，OPOQ，则m=__________.7．已知对于圆x+(y-1)=1上任意一点P(x,y)，使x+y+m≥0恒成立，m范围是__________.8．当a为不等于1的任何实数时，圆x-2ax+y+2(a-2)y+2=0均与直线l相切，则直线l的方程为__________.9．在ΔABC中，三个内角A，B，C所对应的边分别为a,b,c，若lgsinA,lgsinB, lgsinC成等差数列，那么直线xsinA+ysinA=a与直线xsinB+ysinC=c的位置关系是__________.10．设A={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x-4}是坐标平面xOy上的点集，C=2

22222x1x2y1y2,(x,y)A,(x,y)B所围成图形的面积是__________.11222211．求圆C1：x2+y2+2x+6y+9=0与圆C2：x2+y2-6x+2y+1=0的公切线方程。12．设集合L={直线l与直线y=2x相交，且以交点的横坐标为斜率}。（1）点(-2,2)到L中的哪条直线的距离最小？

（2）设a∈R+，点P(-2, a)到L中的直线的距离的最小值设为dmin，求dmin的表达式。13．已知圆C：x2+y2-6x-8y=0和x轴交于原点O和定点A，点B是动点，且∠OBA=900，OB交⊙C于M，AB交⊙C于N。求MN的中点P的轨迹。

五、联赛一试水平训练题

1．在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若a为无理数，过点(a,0)的所有直线中，每条直线上至少存在两个有理点的直线有_______条。

2．等腰ΔABC的底边BC在直线x+y=0上，顶点A(2,3)，如果它的一腰平行于直线x-4y+2=0，则另一腰AC所在的直线方程为__________.3．若方程2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0表示表示条互相垂直的直线，则m=__________.4．直线x+7y-5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值是__________.25．直线y=kx-1与曲线y=1(x2)有交点，则k的取值范围是__________.6．经过点A(0,5)且与直线x-2y=0, 2x+y=0都相切的圆方程为__________.7．在直角坐标平面上，同时满足条件：y≤3x, y≥8．平面上的整点到直线y

21x, x+y≤100的整点个数是__________.354x的距离中的最小值是__________.359．y=lg(10-mx)的定义域为R，直线y=xsin(arctanm)+10的倾斜角为__________.10．已知f(x)=x-6x+5，满足2

f(x)f(y)0,的点(x,y)构成图形的面积为__________.f(x)f(y)011．已知在ΔABC边上作匀速运动的点D，E，F，在t=0时分别从A，B，C出发，各以一定速度向B，C，A前进，当时刻t=1时，分别到达B，C，A。（1）证明：运动过程中ΔDEF的重心不变；

（2）当ΔDEF面积取得最小值时，其值是ΔABC面积的多少倍？

12．已知矩形ABCD，点C(4,4)，点A在圆O：x+y=9(x>0,y>0)上移动，且AB，AD两边始终分别平行于x轴、y轴。求矩形ABCD面积的最小值，以及取得最小值时点A的坐标。13．已知直线l: y=x+b和圆C：x+y+2y=0相交于不同两点A，B，点P在直线l上，且满足|PA|•|PB|=2,当b变化时，求点P的轨迹方程。

六、联赛二试水平训练题

1．设点P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20上任意一点，求x-xy+y的最大值、最小值。2．给定矩形Ⅰ（长为b，宽为a），矩形Ⅱ（长为c、宽为d），其中a

4．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点，试证：存在一个同心圆的集合，使得：（1）每个整点都在此集合的某一圆周上；（2）此集合的每个圆周上，有且只有一个整点。5．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线l1,l2,…，ln，…的直线族，它满足条件：

222

（1）点（1,1）∈ln,n=1,2,3,…；（2）kn+1≥an-bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，n=1,2,3,…；（3）knkn+1≥0, n=1,2,3,….并证明你的结论。6．在坐标平面内，一圆交x轴正半径于R，S，过原点的直线l1,l2都与此圆相交，l1交圆于A，B，l2交圆于D，C，直线AC，BD分别交x轴正半轴于P，Q，求证：

1111.|OR||OS||OP||OQ|w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

直线与圆的方程教案篇2

一、扎实基础知识, 掌握基本方法

例1.在平面直角坐标系xOy中, 求直线x+2y-3=0被圆 (x-2) 2+ (y+1) 2=4截得弦长。

解:方法1:从几何角度看, 要求直线被圆截得的弦长, 只需求得圆心到直线的距离, 再用勾股定理即可解决问题。

上述两种方法是解决直线和圆位置关系的两种常规方法, 方法1在解题中使用得更为频繁, 通过几何特征来解决问题;同时也可尝试代数方法, 联立方程后计算, 直接解决问题, 不用再通过画图去分析。

二、掌握运算技巧, 提高计算能力

例2.在平面直角坐标系xOy中, 已知圆C:x2+y2=r2和直线l:x=a (其中r和a均为常数, 且0<r<a) , M为l上的一动点, A1, A2为圆C与x轴的两个交点, 直线MA1, MA2与圆C的另一个交点分别为P, Q。证明直线PQ过定点, 并求过定点的坐标。

评注:过定点问题一直是高考的热点和难点, 学生遇到这类问题往往是分析完题意, 列出式子后就束手无策了, 最关键的问题还是计算上。本题比较常规, 通过分析题目能够比较容易地列出式子, 下面就是如何正确解答出结果。首先必须在计算时要仔细严谨, 要加强对这类题目的训练, 提高学运算能力。同时也需在计算上多花心思, 掌握计算技巧。对于本题来说最复杂的计算在于把P, Q两点坐标计算出来, 所以在解题时可以先把这两点坐标设出来, 再根据条件去计算。

三、抓住几何特征, 寻求方法优化

本题考查学生能否灵活运用平面向量的数量积坐标运算与韦达定理, 从问题入手逐步分析与转化, 最后转化成运用韦达定理解决问题。但对于韦达定理的考查在高考中逐渐淡化, 对学生的运算能力要求也比较高, 再次分析题目, 本题还可从几何角度出发。

分类解析直线与圆的方程篇3

类型1:对直线倾斜角及斜率的概念理解

【例1】设直线l的倾斜角为θ，满足条件sinθ+cosθ=15，又直线通过定点M(1,1)，则直线的方程是．

错解由条件sinθ+cosθ=15两边平方得2sinθcosθ=－2425，而2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ

解得tanθ=－34或tanθ=－43.由点斜式得直线l的方程为4x+3y－7=0或3x+4y－7=0.

错因分析直线的倾斜角的取值范围为0,π，上述错解正是没有考虑倾斜角的范围而直接将sinθ+cosθ=15平方，使得倾斜角θ的范围扩大，最终导致错解。

正确解法由sinθ+cosθ=15两边平方得2sinθcosθ=－2425<0,∵倾斜角θ∈0,π，

∴θ是钝角由sin2θ=2tanθ1+tan2θ=－2425,解得tanθ=－43或tanθ=－34（舍去），∴直线l的方程为4x+3y－7=0.

防错机制在运动变化过程中求解要注意两点：①等价转换；②及时讨论。

类型1:求截距相等的直线方程时，考虑截距为零的情形

【例1】已知⊙C:x2+y2+2x－4y+3=0，若⊙C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求切线方程.

错解因为切线在两坐标轴上的截距相等，所以切线的斜率为k=－1，设切线为y=－x+b，由圆心到直线的距离为2，得|－1+2－b|2=2，b=－1或b=3.∴所求直线方程为：y=－x+3,y=－x－1.

错因分析对截距的概念理解不透彻，横（纵）截距是指直线与x(y)坐标轴交点的横纵坐标，其值可为正数、负数或0.上述解题过程忘记了截距为零的情况。

正确解法在错解的基础上再补充当切线经过原点时，设切线方程为y=kx（显然斜率存在），由圆心到直线的距离为2，得|－k－2|k2+1=2，k=2±6,

∴所求直线方程为：y=－x+3,y=－x－1，y=(2+6)x,y=(2－6)x.

防错机制在解决直线问题时，如果利用直线的截距式，一定要考虑直线的截距是否存在，是否为零。也就是要注意直线的截距式不能表示与坐标轴垂直的直线和过原点的直线。

类型2:判断两直线位置关系时，直线斜率不存在以及两直线重合的情况



防错机制判断两条直线的位置关系时有两个易错点：一是忽视了直线的斜率不存在的情况；二是忽视了两直线重合的情况。解答这类试题时要根据直线方程中的系数进行分类讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误。

类型4:准确把握圆的一般式方程成立的条件

【例4】过点(1,2)总可作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2－15=0相切.求实数k的取值范围.

错解因为过点(1,2)总可作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2－15=0相切，所以点(1,2)在圆x2+y2+kx+2y+k2－15=0外，即12+22+k•1+2×2+k2－15>0∴k<－3或k>2.

错因分析本题根据过直线外的一点可以作两条圆的切线，求了其中的待定系数，但忽略了圆的一般式方程中，k的取值应使方程表示一个圆。

正确解法因为过点(1,2)总可作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2－15=0相切，

所以12+22+k•1+2×2+k2－15>0k2+22－4(k2－15)>0，解不等式组得k∈－833,－3∪2,833

防错机制将圆的方程变形为标准形式，很容易由r2>0得出待定系数的限制条件。

类型3：检验圆与直线的位置关系

直线与圆的方程教案篇4

2018吉林省特岗教师面试：《直线与圆的位置关系》

试讲教案

一、教学目标

1.知识目标：理解从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义，会用定义来判断直线与圆的位置关系，探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。

2.过程与方法：通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法;由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。

3.情感态度与价值观：创设问题情景，激发学生好奇心;体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验。

二、教学重、难点

1.重点：理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系。2.难点：学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，揭示直线与圆的位置关系;直线与圆的三种位置关系判定方法的运用。

三、教学过程

一、教学目标

二、教学重、难点

1.重点：理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系。

2.难点：学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，揭示直线与圆的位置关系;直线与圆的三种位置关系判定方法的运用。

三、教学过程

一、教学目标

二、教学重、难点

1.重点：理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系。

2.难点：学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，揭示直线与圆的位置关系;直线与圆的三种位置关系判定方法的运用。

三、教学过程

首页 > 教师 > 阅读资料 >

2018吉林省特岗教师面试：《直线与圆的位置关系》试讲教案(2)推荐：吉林教师招聘考试信息网2018-07-20 10:17:10 | 吉林市中公教育

《直线与圆的位置关系》说课稿篇5

1、知识目标：

能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系。

2、能力目标：

要使学生体会用代数方法处理几何问题的思路和“数形结合”的思想方法。

四、教法分析：

1、教学方法：启发式讲授法、演示法、辅导法。

2、教材处理：

(1)例题1(1)(2)用两种不同的办法求解，让学生自己体会这两种方法。

通过老师引导和让学生自己探索解决，反馈学生的解决情况。

(2)增加一个过一点求圆的切线方程的题型，帮助学生增加对直线与圆的认识。

3、学法指导：本节课的学法是继续指导学生把新问题转化为已有知识解决的化归思想。

4、教具：多媒体电脑、投影仪、自做多媒体。

五、过程分析：

教学

环节

教学内容

设计意图

新课引入

1、学生观察日出照片，把观察到的情况用自己的语言说出来，抽象出几何图形，在学生回答的基础上，通过多媒体演示圆与直线的三种位置关系。让学生感受到数学产生于生活，与生活密切相关，并能使学生更好的直观感受直线和圆的三种位置关系。然后引入本节课的课题。

2、在上一章，我们在学习了直线的方程后，研究了点和直线、直线与直线的位置关系，本章我们已经学习了圆的方程，现在我们要研究直线与圆以及圆与圆的位置关系。

1数学产生于生活，与生活密切相关

2、以实际问题引入有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于扩展学生的视野。

新课讲解

一、知识点拨：

1、在初中的学习中我们知道直线和圆有三种位置关系，分别是相离、相切、相交，那么在初中我们怎样判断直线和圆的位置关系呢?

直线与圆的位置关系评课稿篇6

数学课堂教法如何结合现代教育教法理论、结合学生的实际来实施素质教育，优化课堂教法，提高教法效益呢？这是每个老师在今天的课改面前都有的困惑．那么我们应如何从困惑面前走出来呢？我有幸听了高老师的一堂课《直线与圆的位置关系》．

整节课的学习我发现高老师准备得比较充分，清楚知道学生应该理解什么，掌握什么，学会什么．她是学生学习活动的组织者、指导者和合作者，而学生是一个发现者、探索者，有效地发挥他们的学习主体作用．高老师是让学生“体会知识”，而不是“教学生知识”，学生成了学习的主人，突出学生的主体地位．另外高老师教态自然大方，语言、表情亲切，面部表情丰富，声音抑扬顿挫，有助于调动课堂气氛，引起学生的兴趣和注意．情绪控制较好，能较好地组织教学，教师的基本功扎实，能较好地起到示范的作用．总的来说高老师的这节课上得非常成功．

我一直都有这种教法观念：让“学生学会求知”比让学生掌握知识本身更重要，在教法过程中我们要从人的固有特性出发发展学生的自主性、独立性和创造性，教师的教要为学生的学服务，数学教法要注重学生思维能力的提高，联系学生的生活实际，发展学生的数学思想和数学方法，提高学生应用数学的意识和解决问题的能力．高老师对知识的形成过程也比较重视，但对有些细节方面没有能够阐述清楚．在从几何特征过渡到数量特征时，也让学生去探索总结，但对于为什么要作垂直，没能告诉学生其中的道理，这样学生可能只知其然，而不知其所以然，不能理解数学的本质．

高老师开始的时候都是叫学生个人来回答完成，后面几个问题干脆让学生一起来回答，这样做的后果就是不能让学生感觉到这是“我的参考答案”，感觉不到同学、老师那肯定的眼光，长此以往课堂的气氛会低迷，学生的思维会变得懒惰．因为学生思考的参考答案可能会得不到肯定，学生思考也没用．渐渐的学生学习的积极性、主动性就会削弱，与我们老师的初衷、教改的意图相违背．

我觉得教师应通过自己的“创造”，为学生展现出“活生生”的思维过程．

“直线与圆的位置关系”说课案篇7

一、教材分析

直线与圆的位置关系是对圆的方程应用的延续与拓展，又是后续研究圆与圆的位置关系及直线与圆锥曲线的位置关系等内容的基础。在直线与圆的位置关系的判断方法的建立过程中蕴含着诸多的数学思想方法，这对进一步探索研究后续内容有很大的启发与示范作用。因此本节课具有承上启下的作用。

二、学情分析

初中学生已经直观讨论过直线与圆的位置关系，前阶段又学习了直线与圆的方程及圆的有关性质，虽然对这部分内容比较熟悉，但对如何利用坐标法判断直线和圆的位置关系和数形结合思想的应用还有待探究和提高。

三、目标分析

1.教学目标

知识与技能：掌握根据直线和圆的方程判断它们位置关系的方法；熟练运用直线和圆的位置关系解决有关问题。

过程与方法：通过观察实际中的问题情境，将之化归为判断直线和圆的位置关系问题，逐步形成用代数方法解决几何问题的坐标法思想；领悟数形结合的魅力，提高发现问题，分析问题，解决问题的能力。

情感、态度与价值观：关注知识的生成过程，使学生养成问问题的习惯及勇于发现、主动探索的精神，让学生感受学习的成功与快乐。

2.教学重点、难点

重点：利用方程判断直线和圆的位置关系的方法。

难点：直线和圆的位置关系的灵活运用。

四、教法、学法分析

1.教法分析：运用启发式教学方法，创设问题情境，调动学生求知欲，激发学生的探究心理。

2.学法分析：贯彻以学生为主体的探究式学习。通过自学、观察、尝试演算获取知识，在探究过程中，学生的分析、归纳和推理能力得到提高。

五、教学过程分析

环节一：创设情境，引入新课

我国对钓鱼岛周围30 km的圆形区域实行警戒防御，现发现在钓鱼岛正西70 km处有艘日本船，前往钓鱼岛正北40 km处，若日本船只沿直线行驶，请问同学们我国是否采取军事行动予以驱赶？

【设计意图】通过对引例的改编，利用钓鱼岛创设情境，引入新课，提高学习兴趣，体验数学与生活的密切联系。

环节二：探索研究，构建新知

问题1：你能用初中的平面几何知识解决这个问题吗？

问题2：能否用直线与圆的方程来解决这个问题？

【设计意图】通过问题引领方式，引导学生主动回顾初中所学直线与圆的三种位置关系及判断方法，进而引发新知识增长点，为接下来例1的学习做好铺垫。

问题3：例1：已知直线l：3x+y-6=0和圆x2+y2-2y-4=0，判断直线和圆的位置关系；若相交，求交点坐标。

【设计意图】方法一：代数法，方法二：几何法，让学生体会两种方法的优缺点，培养学生思维的全面性。

环节三：反思过程，提炼方法

方法一：①联立；②消元，判断方程解的个数；③定位置关系。

方法二：①求圆心、半径，计算圆心到直线的距离；②比较距离与半径的大小；③定位置关系。

【设计意图】学生在教师的点拨下，根据例1的探究与板演展示，自己总结归纳解题方法。由特殊到一般，符合学生的认知规律。

环节四：课堂演练，强化方法

1.解决引入中的问题。

2.判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的位置关系。

3.已知直线y=x+2，圆C：x2+y2-2y-4=0，判断直线与圆有无公共点，若有，求其坐标。

【设计意图】让学生独立完成，巩固和检测学生对直线和圆位置关系的掌握情况，巡视解决可能存在的疑难点，并让其思考：（1）这道题还有别法吗？（2）这道题是否可以引申？

环节五：变式演练，深入探究

变式1：求例1中直线与圆所形成的弦长AB。

变式2：由点A（-2，2）引圆C：x2+y2=9切线，求切线方程。

变式3：求圆C：x2+y2+4y-21=0上的点到直线x+y-10=0的最大距离和最小距离。

【设计意图】通过变式演练，提高学生从不同方面掌握直线与圆的位置关系，进一步体会数形结合思想的优越性。

变式4：例2：过点M（-3，3）的直线被圆C：x2+y2+4y-21=0截得弦长为4，求直线方程。

【设计意图】通过例2的学习，培养学生举一反三的能力，进而提高学生分析、解决问题的能力和思维的严密性。

环节六：课堂小结，分享收获

1.直线和圆的位置关系的判断方法？

2.研究直线与圆的位置关系的主要方法？

3.本节课留给你印象最深的是什么？数形结合思想是我们高中数学学习的重要思想，作为课堂的延伸你能否总结一下我们所学的哪些内容还渗透数形结合思想？

【设计意图】新课程强调尊重学生的差异，鼓励学生的个性发展，所以课堂小结我设置总结性内容及开放性问题，期望这些问题使学生体验学习数学的快乐。

环节七：分层作业，自主探究

必做题：课本P132 习题4.2 A组1，2，3。

选做题：已知C：（x-2）2+（y-2）2=5的一条弦AB过点（3，1），且长为4，求直线AB的方程。

自主探究题：判断圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0的位置关系。

【设计意图】让学生巩固所学内容并自我检测与评价，让不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，并为下一课时学习圆与圆的位置关系埋下伏笔。

当然，在实际教学中，可能会受到若干因素干扰，这就要求老师沉着冷静，适时适度调整教学设计，以保证教学任务的顺利完成。最后以华罗庚的一首诗结束本次说课。

数缺形时少直观，形少数时难入微。

数形结合百般好，割裂分家万事休。

参考文献：

周建伟.巧用直线与圆的位置关系解题[J].数学教学研究，1999（5）.

直线与圆的方程教案篇8

各位评委、老师，大家晚上好!我说课的题目是《直线与圆的位置关系》，我将通过以下五方面对本节课进行解说。分别是教材分析、学情分析、教法分析、学法分析、过程分析。

一、教材分析

通过解读教学大纲和新课标的基本要求，我对教材进行三大块的分析： 1.教材的地位与作用

本节课位于高中数学人教A版必修二第四章第二节（第一课时），它是在学生初中已经学习了直线与圆的位置关系的基础上，通过直线方程和圆的方程，利用坐标法对直线与圆的位置关系的进一步研究与探讨。是从初等数学过渡到高等数学的开始和阶梯。同时，这节课的方法和思想也为今后解决圆与圆的位置关系，以及圆锥曲线等几何问题奠定了基础。它起到了承前启后的作用。

2.教学目标

知识与技能：理解直线与圆的位置关系；学会利用几何法和代数法解决直线和圆的有关问题。

过程与方法：通过直线与圆位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式。强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力。

情感、态度与价值观：通过学生的自主探究、小组讨论合作，培养学生的团队精神和主动学习的良好习惯。

3.教学重、难点

重点：掌握用代数法和几何法判断直线和圆的位置关系；

难点：把实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型；灵活地运用“数形结合”、解析法来解决直线与圆的相关问题。

二、学情分析

学生在初中已经学习了直线与圆的位置关系，在高中又学习了直线方程与圆的方程，并会用坐标法解决简单几何问题。这些都有助于学生进一步学习直线与圆的位置关系。而我们的学生已经具备了独立思考和探究学习的能力，但又欠缺空间想象和实际应用能力。

三、教法分析

根据以上分析，本节依据布鲁纳发现教学法，要学生通过建立模型、方法探究、合作交流、归纳总结的学习方式，以活动为主线，体现学生的主体地位。教师在本环节中作为问题的设计者、组织者、引导者、合作者，体现其主导地位。

四、学法分析

问题是数学的核心，教师在学生思维发展的最近区，通过不断地设问，为学生创设情景，搭建平台，提供一个自主探究，合作交流的环境，让学生通过不断地发现问题、分析问题、解决问题，以培养学生的思维能力。

五、教学过程

教学就像一条河流，如何让学生到达知识的彼岸，教师在这一过程中的设计与引导起到了至关重要的作用。而本节课我将从六个方面根据学生的实际情况进行一个设计。

（一）情境设计，铺垫导入（三分钟）

教育的艺术在于创设恰当的情景。本节课创设的情景是以钓鱼岛问题导入（本环节大约三分钟）。一艘日本渔船企图非法登陆我国钓鱼岛，我国舰艇此刻正在附近海域巡逻。它们三者之间的位置关系如下：我国舰艇的雷达扫描半径为30km,如果日本渔船不改变航线，我国舰艇能否通过雷达扫描发现它呢？情景一设计的目的在于让学生构建恰当的数学模型，本质在于探究“直线与圆的位置关系”引出了课题，让学生从数学角度看待日常生活中的问题，增强学习的趣味性，使爱国热情转化为探索和学习的动力。

问题作为引导的核心，在这个问题上，我设计了如下问题：问题1：你能利用已有的平面几何知识建立适当的数学模型，来解决这一问题吗? 目的在于引导学生主动回忆初中所学的“直线与圆的三种位置关系”。并能说明这三种位置关系中公共点的个数以及圆心到直线的距离与半径的大小关系。通过旧知识的回顾使学生发现新的问题，也使新的知识在原有的知识结构中找到伸展点，而这个伸展点就是问题2.（二）切入主题、提出课题（2分钟）

问题2：如何用直线方程和圆的方程来判断它们之间的关系呢？

问题2切入了本节的中心议题，让学生用自主探究的学习方式，引导学生用方程思想解决几何的问题。

在此教师不用急于让学生回答这个问题，而是通过一个具体的问题来进行解答。这一具体问题我选择了课本的例1，之所以选择例1是因为例1直间给出了直线与圆的方程。学生只需要思考能用几种方法来解决和判断直线与圆的位置关系。引出了本节的重点。而第二问还要求学生求出交点坐标，目的在于让学生进一步认识方程组解得意义。

（三）探索研究、解决问题（10分钟）

通过例1这一具体问题之后，可以让学生尝试归纳判断直线与圆的位置关系的方法，在此我设置了两个活动。活动二：要学生通过合作交流的方式将全班分成小组进行合作交流探究。活动三：要学生通过归纳小结的学习方法，将各小组的成果进行分享，最后进行归纳总结。教师在这一过程中只需要做好引导者和组织者的作用。目的是让学生主动的参与课堂，通过分析问题、解决问题培养学生的能力。而这种由特殊例子到一般方法的归纳，也符合学生的认知结构。让学生在交流、探讨和归纳的过程中理解和掌握本节课的重点。即直线与圆的位置关系的判断方法。这里的方法可由学生归纳得出。第一种，几何法，第二种，代数发。这两种方法都体现了数学的思想，并且代数法对于今后解析几何的方法应用较多，也为后面解决圆锥曲线问题提供了方法依据。

（四）新知应用、深化理解（20分钟）

掌握了方法接下来就是应用，请学生利用“几何法”和“代数法”解决情景一中的问题，达到学以致用，巩固方法的目的。在此教师可以让两名学生通过不同的方法在黑板上演练，再让其他学生进行点评，教师在进行小结即可。

例2是本节的难点，如何突破难点呢？我将从例1的一个变式引出。求直线l被圆C截得的弦长AB.在此教师可以作适当的点拨，求弦长的方法很多，如两点间距离公式，弦长公式以及圆心到直线的距离与半径构建直角三角形利用勾股定理进行求解。通过一题多变，一题多解，不仅体现了新课标的要求，还让学生在练习中拓展思维、活用方法，为接下来解决例2这一难点突破奠定基础。

例2通过刚才的变式，由浅入深，引入例2，环环相扣，让学生体会利用“几何法”和“代数法”解决直线和圆相交时有关弦长的问题，突破本节难点。

掌握本节重点，突破难点之后，可以让学生根据情景做适当的延伸。情景二：若我国舰艇雷达扫描半径为rkm,此时日本非法渔船航线刚好和我国舰艇雷达扫描的圆形区域的边缘相切，计算雷达扫描的半径r的值。

情景二研究的是直线与圆相切的情况，同时是含有参数的问题，引导学生从运动变化的角度来看待问题，提高了思维的梯度。

情景三：对于同样的情景，你还能根据“直线与圆的位置关系”设置出哪些问题呢？

这一问题，目的在于培养学生的创新意识，可以作为课后的拓展题，让学生通过小组探究来完成。实际上学生创设问题的过程就是检验我们教学成果的过程。

（五）总结提升、形成方法（5分钟）

在课后总结中，让学生通过三个方面进行总结。第一，方法总结，在直线与圆的位置关系中，你掌握了哪些方法呢？学会了哪些应用呢？你自己的思想上又得到了哪些提升呢？目的在于以自我小结的形式，对本节课进行简单的回顾与梳理，也是对所学内容的再次巩固与提升。

（六）课后作业，巩固提高在课后训练中，针对学生不同层次，我设计了这三种题型：1.巩固题，2.提高题，探究题。目的在于尊重学生的个体差异性，调动学生的积极性，使每一个学生在教学中都能够有所发展。

（七）板书设计

这是我的板书设计，本节课以多媒体演示为主，板书设计以简洁明了为主，左边主要罗列了主要的方法和应用。右边作为例题演示和学生演练。

教学反思

作为教育工作者，目的在于授之以渔。而教学过程意在于把科学知识作为培养学生思维能力的一个阶梯。

本节课，以活动为主线，问题为载体，通过钓鱼岛问题导入，由浅入深，环环相扣，一个情景，两种方法，三种问题，一气呵成，这节课的重难点也得以突破。另外本节课还有许多不足，如合作学习没达到预想的效果，组长没能起到应有的作用。教师对有些知识强调、点评不到位等。

《圆与圆的位置关系》公开课教案篇9

《圆与圆的位置关系》公开课教案

教学目标： 1、知识目标：了解两圆相交、外离、内含的概念；掌握两圆的五种位置关系及判定方法。 2、能力目标：a）使学生学会判定两圆的五种位置位置关系 b）通过学生的观察、练习、思考、表达来培养他们的观察、分析、比较、概括、抽象等能力；并进一步培养他们的发现、分析、解决、深化问题的能力。 3、情感目标：a）通过多媒体演示，让学生体会图形中的动态美、统一美、和谐美。 b)在研究两圆的位置关系和例题教学过程中，让学生了解用运动的观点去观察事物，了解事物之间的从一般到特殊，从特殊到一般的辩证关系；学会利用分类、类比、化归、数形结合等数学思想处理问题。教学重点：两圆的位置关系的判别方法和性质；教学难点：各种位置关系在计算中的运用。教学方法：类比发现法、启发诱导法教学手段：多媒体教学过程：一、类比引入：上一节我们学习了直线和圆的位置关系，请说出直线和圆的位置关系有哪几种？（多媒体动态演示）直线和圆相离<=>d>r 直线和圆相切<=>d=r 直线和圆相交<=>dr),圆心距为d ，那么： (1)两圆外离 d>R+r (2)两圆外切 d=R+r (3)两圆相交 R-rr),圆心距为d,若两圆相交,试判定关于x的方程x2-2(d-R)x+r2=0的根的情况。七、分层作业 1. 必做题几何课本第36页 1 、2、3 2.选做题定圆0的半径是4cm,动圆P的半径是1cm,(1)设⊙P和⊙0相外切,那么点P与点O的距离是多少?点P可以在什么样的线上运动?(2)设⊙P和⊙O相内切,情况又怎样？教案说明：本节课是在学习了圆的轴对称、圆心角定理、直线和圆的位置关系以及两圆相切的基础上进行的，是初中教材中最后一节研究图形间的位置关系的内容。它把直线形与曲线形交织在一起，是对前面知识的综合，同时也是高中阶段学习解析几何等知识的重要基础。另外，本节课在由直线与圆位置关系类比看研究两圆位置关系时，渗透类比思想、分类思想，培养观察、分析、比较、迁移的数学能力，在研究两圆的五种位置关系的判定和性质时，渗透数形结合思想，培养概括、抽象的数学能力。因此，这节课无论在学习数学知识，还是对学生数学思想的运用、能力的培养上，都起着十分重要的作用。

直线和圆的方程考题解析篇10

例1(湖南卷)设集合A={(x，y)|y≥12|x-2|)}，B={(x，y)|y≤-|x|+b}，A∩B≠.

(1) b的取值范围是；

(2) 若(x，y)∈A∩B，且x+2y的最大值为9，则b的值是.

图1

解析(1) A表示由折线y=12|x-2|及其上方的点组成的集合，B表示由折线y=-|x|+b及其下方的点组成的集合.如图1，若A∩B≠，只需b≥1，即b∈[1，+∞).

(2) 设x+2y=t≤9，则 t2表示直线y=-x2+ t2在y轴上的截距.故截距最大时t最大.

因为(x，y)∈A∩B，所以(0，92)为A∩B所表示的图形内在y轴上的最高点，所以b=92.

点评这是一道集合“包装下”的线性规划问题，线性规划问题实际上是“直线的方程”与“不等式”知识的综合题.题目不难，有兴趣的同学，不妨仔细读一读.不理解之处可以翻看教材必修5中的“不等式”一章.解此类题的一般步骤是：作出图形(可行域)，分析目标函数的几何意义(截距、距离、斜率等)，借助形的直观有目的地计算.对于由含绝对值的不等式表示的平面区域，也可同二元一次不等式一样，先作方程的图形，再取特殊点判断.

例2(重庆卷)若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点，且∠POQ=120°(其中O为原点)，则k的值为()



A. -3或3B. 3

C. -2或2D. 2

图2

解析直线过定点P(0，1)，又点P，Q在圆上，且∠POQ=120°，由圆的对称性知，有两条直线符合要求.

如图2，由平面几何知识，可知∠PRO=60°，k=3，故选A.

点评解析几何是用代数方法研究几何问题的学科，用好图形的几何性质可以简化代数计算，解题时需在代数算法和几何算法之间做出选择.

例3(上海卷)圆x2+y2-2x-1=0的关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是（）

A. (x+3)2+(y-2)2=12

B. (x-3)2+(y+2)2=12

图3

C. (x+3)2+(y-2)2=2

D. (x-3)2+(y+2)2=2

解法一已知圆的方程可化为：(x-1)2+y2=2，圆心为(1，0)，半径为2，故所求圆的半径也为2.

如图3，显然所求圆的圆心应在第二象限，故选C.

解法二(x-1)2+y2=2，圆心为(1，0)，半径为2，故所求圆的半径也为2，排除A,B.

又因为0-21-（-3）•2=-1，所以选项C中圆的圆心与已知圆的圆心的连线与已知直线垂直，故选C.

点评两圆若关于某直线对称，则两半径相等，两圆心关于该直线对称(连心线与该直线垂直，且中点在该直线上)；本题也可以用选项中半径为2的两个圆的方程分别与已知圆的方程相减，所得方程为已知直线的即为所求，这便是2001年高考上海理科卷第11题的应用.该题是：已知两个圆：①x2+y2=1；②x2+(y-3)2=1，则①式减去②式可得两圆的对称轴的方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题.推广的命题为.

例4(上海卷)如图4，A，B是直线l上的两点，且AB=2.两个半径图4相等的动圆分别与l相切于点A，B，点C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形的面积S的取值范围是.

解析圆的半径r∈[1，+∞)，

当r→+∞时，点C到AB的距离→0，则S→0；

当r=1时，两圆外切于点C，设此时两圆的圆心分别为O1，O2，则S=S矩形O1ABO2S扇形O1ACS扇形O2BC=2-π2，所以S∈0，2-π2.

点评不规则图形的面积的计算常用割补法.本题中圆弧与线段所围成的图形的面积的大小与圆弧的半径的大小有关，合情推理知：半径越大面积越小.

例5(江西卷)设有一组圆Ck：(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题：

A. 存在一条定直线与所有的圆均相切

B. 存在一条定直线与所有的圆均相交

C. 存在一条定直线与所有的圆均不相交

D. 所有的圆均不经过原点

其中真命题的代号是.（写出所有真命题的代号）

解析从简单的开始研究，将(0，0)代入圆系方程，得2k4-10k2+2k-1=0，该方程无正整数解，故D正确；圆Ck的圆心为(k-1，3k)在直线y=3x+3上，直线y=3x+3与所有的圆均相交，故B正确而C错误；设存在一条直线y=ax+b与所有的圆均相切，则圆心到它的距离d等于圆的半径r，即 |a(k-1)-3k+b|a2+1=2k2，方程可转化为两个关于k的一元二次方程，不可能对任意的k(k∈N*)均成立，故A错误.

所以填B，D.

点评这种“多项选择题”需逐一考虑，一着不慎，满盘皆输.本题中B,C互为否定，一真一假；C,D以否命题的形式出现,要注意加点的字.直线与圆的位置关系常用圆心到直线距离与半径的关系来研究.

例6(全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-3y=4相切.

(1) 求圆O的方程；

(2) 圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求PA•PB的取值范围.

解析(1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x-3y=4的距离，即r=41+3=2,得圆O的方程为x2+y2=4.

(2) 不妨设A为(x1，0)，B为(x2，0)，且x1＜x2.由x2=4,得A(-2，0)，B(2，0).

设P为(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得(x+2)2+y2•(x-2)2+y2=x2+y2，即x2-y2=2①.

由点P在圆O内，得x2+y2＜4②,

而PA•PB=(-2-x，-y)•(2-x，-y)=x2-4+y2=2(y2-1)，

由①②得y2＜1.故PA•PB的取值范围为[-2，0).

点评本题是由基本概念和基本运算组成的简单问题，能否得到理想的分数，就看你的运算能力了.关于向量的知识，同学们可翻看教材必修4.

直线与圆的方程教案篇11

教学目标(一)教学知识点

1．能判定一条直线是否为圆的切线． 2．会过圆上一点画圆的切线． 3．会作三角形的内切圆．(二)能力训练要求

1．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力． 2．会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力．(三)情感与价值观要求

经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．

经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．

教学重点

探索圆的切线的判定方法，并能运用．作三角形内切圆的方法．教学难点

探索圆的切线的判定方法．教学方法师生共同探索法．教具准备投影片三张

第一张：(记作§3．5．2A)第二张：(记作§3．5．2B)第三张：(记作§3．5．2C)教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径．

由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探索切线的判定条件．

Ⅱ．新课讲解

1．探索切线的判定条件投影片(§3．5．2A)如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠α，当l绕点A旋转时，(1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？

(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？

[师]大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．

[生](1)如上图，直线l1与AB的夹角为α，点O到l的距离为d1，d1＜r，这时直线l1与⊙O的位置关系是相交；当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐角变为直角，点O到l的距离为d，d＝r，这时直线l与⊙O的位置关系是相切；当把直线l再继续旋转到l2位置时，∠α由直角变为钝角，点O到l的距离为d2，d2＜r，这时直线l与⊙O的位置关系是相离．

[师]回答得非常精彩．通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠α＝90°时，d达到最大．此时d＝r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小．第(2)题就解决了．

[生](2)当∠α＝90°时，点O到l的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d＝r时，直线与⊙O相切．

[师]从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？请大家互相交流．

[生]直线l垂直于直径AB，并经过直径的一端A点．

[师]很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．

2．做一做

已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．

分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手．

[生]如下图．

(1)连接OA．

(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线． 3．如何作三角形的内切圆．投影片(§3．5．2B)如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．

分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．

解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如下图)．(2)过I作ID⊥BC，垂足为D．(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I． ⊙I就是所求的圆．

[师]由例题可知，BE和CF只有一个交点I，并且I到△ABC三边的距离相等，为什么？

[生]∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分线CF上，∴ID＝IN，∴ID＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的．

[师]因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle)，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter)．

4．例题讲解投影片(§3．5C)如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB．

求证：AT是⊙O的切线．

分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT＝AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°．

由三角形内角和可证∠TAB＝90°，即AT⊥AB．请大家自己写步骤．

[生]证明：∵AB＝AT，∠ABT＝45°． ∴∠ATB＝∠ABT＝45°．

∴∠TAB＝180°－∠ABT－∠ATB＝90°． ∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线． Ⅲ．课堂练习随堂练习Ⅳ．课时小结

本节课学习了以下内容： 1．探索切线的判定条件． 2．会经过圆上一点作圆的切线． 3．会作三角形的内切圆．

4．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念． Ⅴ．课后作业习题3．8 Ⅵ．活动与探究

已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．

求证：DC是⊙O的切线．

分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．

证明：连结OD．