点到直线的距离教案

点到直线的距离教案（精选7篇）

点到直线的距离教案 篇1

点到直线的距离教案范文

教学目标

1、结合具体情境，理解“两点间所有连线中线段最短”，知道两点间距离和点到直线的距离。

2、在对两点间的距离和点到直线的距离知识的探究过程中，培养观察、想象、动手操作的能力，发展初步的空间观念。

3、在解决实际的问题过程中，体验数学与日常生活的密切联系，提高学习兴趣，学会与他人合作共同解决问题。

4、激发学生探究学习的积极性和主动性。

教学重点与难点

理解“两点间所有连线中线段最短”，知道两点间距离和点到直线的距离。

教具

三角尺、直尺

教学过程

一、专项训练

1、画一条长3cm的线段。

2、过A点画已知直线的平行线和垂线。

二、交流展示

同学们，修路时遇河要怎样？架桥时如果遇到大山怎么办？（出示课件）学生观察情境图，说一说自己的意见。

得出结论，可以修隧道。

1、画一画：

教师出示课件

师：我们先确定两个点代表大山两侧的甲乙两地，怎样从甲地到达乙地？有没有更近的路线？自己动手画一画，看能发现什么？（组织学生进行小组讨论，给学生充足的要论的时间）

2、让学生展开交流，使他们各抒己见，充分发表自己的意见和见解。

师：通过观察思考，你能得出什么结论？

学生独立思考后画出几条不同的线，通过观察、测量得出结论。

教师出示课件，让学生检验自己的结论是否正确。

3、学生通过操作感知：两点之间线段最短。（板书）

4、小游戏：（投影出示课件）

教师让四个同学站在同一水平线上(两个同学之间要间隔一段距离)，抢板凳，板凳与其中的一个同学正对着，根据他们站的位置，谁最有可能抢到板凳？（先让学生们猜一猜，教师统计一下结果，然后让四个学生去做，其它同学认真观察，看结果究竟如何）

师：这样公平吗？为什么？（教师请同学们说明原因）

再让四个同学按照开始时的情形站好，让两个同学分别测量四个同学所站的位置到板凳的长度，教师把学生测量的数据记在黑板上。

让学生观察数据，分析游戏的结果，得出结论。

师：请同学们把刚才游戏的模拟图画出来，并测量每个同学到板凳的距离，分别记下来。小组内讨论交流。

师生总结：垂直的那条线段最短（板书）。它的长度就是点到这条直线的距离。（投影出示课件）你能自己画一下点到直线的垂直线段吗？（注意要标上垂足）

先让学生自己在练习本上画，教师巡视指导。让三名学生到黑板前画，发现错误，及时纠正。

教师在黑板上示范“点到直线的距离”画法，然后让学生再自己练习，掌握画法。

三、自主总结

通过今天的学习，你有什么收获？

四、自主练习

1、自主练习第一题。独立解答。

2、如果要把塔河水引到卧铺村，可以开凿一条水道。怎样开凿能使水道最短？把你的想法在下图中画出来。

让学生自主探究，小组合作探究。

课后反思

“点到直线的距离”这个词语对于孩子来说有点抽象，有些孩子一节课后仍不能太理解，弄不太清楚应该怎样画，什么情况这么画，还有孩子弄不太清楚“垂线”“垂直线段”，有些孩子画垂线不是很标准，需要多强加练习。

点到直线的距离教案 篇2

一、教材的地位和作用

“点到直线的距离”是在研究了直线的方程和两直线的位置关系的基础上, 探索点与直线位置关系由定性到定量的转变, 既是对前面知识体系的完善, 又为后面研究直线与圆、圆与圆的位置关系奠定基础, 具有承上启下的作用。同时, 教师可通过对点到直线距离公式的推证促使学生建立感性认识, 并借以培养学生的联想和迁移能力, 逻辑思维能力, 归纳转化能力, 同时发展学生的求异思维能力。

二、学情分析

1.知识与能力。

学生已经学习了两点之间的距离公式, 具备直线的有关知识, 如交点、垂直、三角形、两点间距离公式等。学生对坐标法解决几何问题有了初步的认识。

2.学生实际。

据调查, 职校学生中有近一半对文化课学习抱以“温吞水”态度, 有20%左右的学生认为文化课没必要学, 甚至有10%的学生干脆放弃文化课。数学课堂上经常出现“教师费力讲, 学生无心听”的现象。究其原因, 学生本身的思想不重视、学习习惯差等固然是一方面, 但我认为教师的教学艺术也是一个主要方面。因此在教学时, 我尽可能创设多形式多亮点的学习情境, 充分调动学生的积极性。

三、目标分析

我根据美国教育家布卢姆提出的认知、能力、情感三大教育目标, 结合本单元教学目标和学生实际学习能力, 特制定以下教学目标。

1.认知目标。

理解点到直线的距离公式的推导过程并能用公式进行计算, 领会理解渗透于公式推导过程中的数学思想 (如化归思想、数形结合、分类讨论等) , 掌握应用这些思想来研究数学问题的方法。

2.能力目标。

通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结, 发现问题, 解决问题, 培养学生思维的灵活性、严谨性、深刻性和对知识的迁移、联想和探索创新能力。

3.情感目标。

通过公式的推导, 培养学生主动探索、勇于发现的科学精神, 培养学生的创新意识和创新精神;通过对不同方法的探索, 激发学生的学习兴趣和探索欲望, 并对学生进行养育教育和从特殊到一般的辩证唯物主义教育:培养学生会用联系的观点看问题, 并能认识到事物之间在一定条件下是可以转化的意识。

四、教材重点和难点分析

根据教学目标, 教师应有一个让学生参与实践—探索发现—总结归纳的探索认知过程。我特确定如下重点与难点。

重点:点到直线距离公式的推导和应用。

难点:点到直线距离公式的推导。

1.难点的确定

根据学生的认知水平, 学生比较容易接受具体的、特殊的事物, 而对抽象的含字母的点与直线方程的接受需要一个过程。所以把对公式的推导确定为本节课的难点。

2.难点的突破

在教学过程中, 教师应通过精心设置问题, 启发学生根据问题的条件和结论所提供的信息, 结合已经具备的知识能力, 探索解决问题的思路和寻求解决问题的方法, 应着眼于培养学生的逻辑推理能力, 使学生对同一个问题进行多角度、全方位的考察分析, 灵活地运用多种方法解决。这是本知识中掌握重点、突破难点的关键。

五、教法分析

数学教学的核心是学生的“再创造”, 教师不能将既有的知识灌输给学生, 而应通过精心设置的一个个问题链, 激发学生的求知欲, 最终在教师的指导下发现问题、解决问题。为了充分调动学生的积极性, 教师应使学生变被动学习为主动学习, 采用“启发式教学法”。

为真正实现以学生为主体的教学, 起关键作用的是设计出有利于学生参与教学内容的组织形式。因此, 教师不能照本宣科, 而应采用将一般化为特殊的方法, 引导学生通过对一个特殊问题全方位的观察研究、分析解决, 在此基础上对知识进行拓展、延伸, 最终将特殊问题还原到一般问题。在整个教学过程中, 我采用启发、提问、设问、训练结合、适时点拨的教学方法, 把学生的注意力紧紧吸引在解决问题上, 让学生的思维活动在老师的引导下层层展开, 让学生大胆参与课堂教学, 使他们“听”有所“思”, “练”有所“获”, 使传授知识与培养能力融为一体。

六、教学程序设计

本节课的教学过程中我设计了以下教学环节。

1.创设问题情境

本节课的课题引入方式有多种, 可以通过实际问题引题, 也可以直接引题。教材是这样提出问题的:“在例6中, 我们已经求出图7-19中△ABC的AB边上的高CD所在直线的方程, 那么如何计算AB边上的高 (即CD的长) 呢?”这样在已经学习过的例题中进一步创设问题情景, 激发了学生的好奇心和探索欲望。

2.学生自主探究与研讨

因为刚学过如何求两点间的距离、如何求直线的方程、如何求两直线的交点, 学生自然会想到下面的方法:首先求出AB边所在直线的方程, 接着求出过点C且与直线AB垂直的直线方程, 再求出这两条直线的交点, 即垂足D的坐标, 最后应用两点间的距离公式求CD的长。

3.师生共同辨析研讨

教师首先要肯定学生的探究, 然后给出点到直线距离的一般定义。这是一个由特殊到一般的过程。然后为了得到公式, 再从一般到特殊。在这题中, 其实求的就是点C (6, 7) 到直线lAB:3x+4y-12=0的距离。

在肯定了学生的分析后, 我将这种方法定为思路一。

思路一:先求直线AB的方程, 再求直线AB和直线CD的交点, 用两点间的距离公式求|CD|。

接下去我进一步引导, 得到下面三个思路。

思路二:过点C作垂直于坐标轴的直线PS、PR, 求S、R的坐标 (S、R为直线AB上的点) , 利用等面积法求|CD|。

思路三:因为直线AB的斜率就是直线AB的倾斜角的正切值, 所以可以利用三角函数的定义求|CD|。

思路四:点P为直线AB上的任一点, 建立|CP|的一个函数关系式, 求最小值|CD|。

以上四种方法介绍的目的, 是为了让学生学会从不同的角度分析问题、解决问题, 让学生学会引申问题、变更问题, 以培养学生发现问题、提出问题的创造能力。

根据教材需要, 我在课堂上推证思路三, 其他三种思路的推证留给学生课后完成, 必要时进行课外辅导。

最后, 再由特殊到一般。得到点M (x0, y0) 到直线l:Ax+By+C=0的距离公式

在上述公式的推导中, 是假设了A≠0且B≠0。我还进一步引导学生验证A=0或B=0时点到直线的距离, 当然验证的结果是公式同样成立。

4.公式应用

应用一:基本练习。

应用二:求例6中AB边上的高|CD|, 以及教材中的例10。

应用三:提高练习 (求圆的切线方程) 。

5.课堂小结

让学生大胆发言, 归纳总结本节课的收获, 我及时点评并归纳总结, 通过大屏幕展示出来, 使学生对所学内容有一个系统的认识。

点到直线的距离教案 篇3

一、 垂线、垂线段、点到直线的距离的定义

1. 垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线就互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

2. 垂线段的定义：垂线上一点到垂足之间的一条线段.

3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.

二、 垂线、垂线段、点到直线的距离的区别

1. 垂线是一条直线，可以向两端无限延伸，没有长度，垂线表示的是一个图形.

2. 垂线段是垂线上的一条特殊的线段，是有限的一段，有长度，表示的是一个图形.

3. 点到直线的距离是垂线上一条特殊的线段的长度，表示的是一个数量，而不是图形.

下面我们通过图形来分析这三个概念，如图1所示：

直线b叫做直线a的垂线，也可以说直线a叫做直线b的垂线；线段CO叫做垂线段，同样，线段AO、BO、DO都叫做垂线段；线段CO的长度叫做点C到直线a的距离，同样线段AO的长度叫做点A到直线b的距离.

三、 概念辨析

1. 下列判断错误的是（ ）.

A. 一条线段有无数条垂线

B. 过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直

C. 两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直

D. 若两条直线相交，则它们互相垂直

【解析】本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.

【正确解答】D.

2. 下列判断正确的是（ ）.

A. 从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离

B. 过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离

C. 画出已知直线外一点到已知直线的距离

D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短

【解析】本题错误原因是没有正确理解垂线段的概念及点到直线的距离的意义.

说法A是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 仅仅有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的.

说法B是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的.

说法C是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度.

【正确解答】D.

四、 生活中的应用

通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到直线的距离. 经过探究，我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 在日常生活中，解决一些实际问题时我们经常遇到它. 这样可使有些复杂问题变得比较简单，因此其应用较为广泛. 接下来我给同学们举几个例子：

1. 如图2，甲、乙两名同学在测量刘佳同学的一次跳远成绩时，分别测量出DA=4.56米，DB=4.15米，AC=4.70米，则刘佳的跳远成绩应该为______米.

解：刘佳的跳远成绩应为4.15米.

因为实际生活中，测量跳远成绩都是量离踏板最近的落地点到踏板的距离，所以测量AC、DA都是错误的，线段DB的长度才是刘佳跳远的正确成绩. 跳远成绩的测量就是求点到直线的距离.

2. 如图3，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地，M、N分别是位于公路两侧的村庄.

①设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q时，距离村庄N最近. 请在图中的公路AB 上分别画出点P和点Q的位置.

②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段距离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离M越来越远？

解：①过点M、N分别作直线AB的垂线，垂足分别为P、Q.

②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的AP段距离M、N两村庄都越来越近，在PQ段距离村庄N越来越近，而离M越来越远.

点到直线的距离教案 篇4

教学目标：

1.掌握点到直线的距离的有关概念.2.会作出直线外一点到一条直线的距离.3.理解垂线段最短的性质.教学重点：点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质.教学难点：垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法 教学过程：

一、准备知识

1.垂直的概念

2、经过直线外一点作这条直线的平行线，可以作几条？ 3.如何从直线外一点作已知直线的垂线？

二、探究新知

1、经过一点作一条已知直线的垂线.（1）点P在直线AB上

（2）点P在直线AB外 2.讨论思考题：过一点P作已知直线的

垂线，可以作几条？是不是一定可以作一条？

如果有两条直线PC、PD与直线AB垂直，那么PC、PD的关系怎样呢？（重合）3.归纳：在平面内，通过一点有一条并且只有一条直线与已知直线垂直.4.垂线段的概念：

如图，设PO垂直于AB于O，线段 PO叫作点P到直线AB的距垂线段.PA、PB、PC、PD叫作斜线段.5.垂线段PO的长度叫作点P到直 线AB的距离.6.做一做

（1）请同学们测量一下，PO与PA、PB、PD、PC的长度，然后猜测一下它们之间的关系如何.（2）按教材P73的做一做操作.7.归纳结论：直线外一点与直线上各点连续的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.8.垂线段的应用 P74的动脑筋

三、练习与小结 1.练习P74的练习题 2.课堂小结

四、布置作业

向量与点到直线的距离公式的证明 篇5

安金龙

（苏州工业园区

这样处理，既避开了分类讨论，又体现了平面向量的工具性。当然，解析几何作为一个内涵丰富的数学分支，它和其它数学知识也会有密切的联系，下面笔者列举另外几种推导方法： 2用习题结论巧推点到直线距离公式

老教材代数课本（人教版，下册.必修）第15页习题十五第6题：

已知：

ad,求证：（bc

（a)

2b2)c(d当cad,b即c，a)bd

ab

时，有（a2b2（）c2d2)（acbd)2.cd

上式实为柯西不等式的最简形式，很容易证明.故略去。下面给出点到直线的距离公式的最简推导。

已知点P(x0,y0)和直线l:AxByC0,则点到直线的距离即为点P到直线l上任意点所连结的线段中的最短线段.设M

x,y为直线l上任意一点，点P到直线l的距离为d，则：

(AxAx0)2(ByBy0)2

PMPM22

AB2

(ByBy0)222222(AxAx0)(AB)PM(AB)[] 22

AB

(AxAx0ByBy0)2＝(Ax0By0

C)2

AB

dPMmin，当且仅当时等号成立。

xx0yy03用直线的参数方程推导点到直线距离公式

证明：当AB0时易验证公式成立，下证AB0时的情形：

（1）B>0时,过点P作直线L的垂线，垂足为H，则直线PH的标准参数方程为：



xxt0(t为参数）

yyt0



将直线PH的参数方程代入直线L的方程得：

A（x0t+B（y0tx，解之得点H

对应的参数t

C0

PHdPH

（2）当B时，直线PH的标准参数方程为：



xxt0(t为参数）



yyt0



可得PH



dPH

4构造引理推导点到直线距离公式

引理：如图1，直角三角形MPN中，MPN90，MPa,NPb,则点P到直线MN的距离d满足



a 图

1N

.222

dab

证明：由直角三角形的面积公式得：

MPNPMNd，22

11111即ab，所以222.d，即

dab2dab

下面就用引理证明点Px0,y0到直线l：AxByC0的距d

证明：当0时易证公式成立.当AB0时，如图2所示,过点

Px0,y0分别作平行于x轴,y轴的两条直线,分别交直线l：AxByC0

ByCAxC于点M(-,y0)、N(x0,-)，则AB

B0yC

MP0,AAxC

NPy00.MPNP,在RTMPN中，B

点P到直线MN的距离d满足：

1111

1＝22

222dMPNP(x00)(y

00)BA2B2,所以d ＝2(Ax0By0C)

参考文献：

[1] 全日制普通高级中学教科书（人教版）（试验修订本.必修）第二册（上）第55～56页.[2] 王国平.中学生数学.用习题结论巧推点线距离公式2001年1月上 [3] 张乃贵、段萍中学生数学.点到直线的距离公式的又一证明.2001年1月上

[4] 陈志新.点到直线距离公式的又一证法.中学生数学.2001年6月上

离为

点到直线的距离教案 篇6

教材分析

点到直线的距离是解析几何的重要内容之一，它的应用十分广泛．点到直线的距离是指由点向直线引垂线的垂线段的长．我们知道，求点到点的距离，有“工具”———两点间的距离公式可用，同样有必要创造出一套“工具”来方便地解决点到直线的距离问题，也就是说：已知点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0），目标是设法用已知的量x1，y1，A，B，C把点P到l的距离表示出来，当作公式用．教材上公式的推导运用了两点间的距离公式，具体做法是作直线m过点P与l垂直，设垂足为Po（xo，yo），Po满足直线m的方程，也满足直线l的方程，将Po的坐标分别代入直线m和直线l的方程，通过恒等变形利用两点间的距离公式，推出点到直线的距离公式．这种方法思路清晰，学生易于接受，但恒等变形较抽象，学生难于掌握，故教学中应注意启发学生怎样想到这样变形．这样既可以活跃学生的思维，又可以锻炼其发现问题、研究问题、解决问题的能力．公式的推导方法还有很多，对学有余力的同学可加以启发，展开讨论，以培养其数学思维能力．

这节课的重点是理解和掌握点到直线的距离公式，并能熟练地应用公式求点到直线的距离，难点是点到直线的距离公式的推导．

教学目标

1.通过探索点到直线距离公式的思维过程，培养学生探索与研究问题能力． 2.理解和掌握点到直线的距离公式，体会知识发生、发展、运用的过程，数形结合、化归和转化的数学思维，培养学生科学的思维方法和发现问题、解决问题的能力．

任务分析

这节课是在学习了“两点间的距离公式”、“两条直线的位置关系”的基础上引入的，通过复习两直线垂直、两直线相交及两点间的距离公式，学生容易想到把点到直线的距离问题转化为两点间的距离问题．为了利用两点间的距离公式，须要求垂足的坐标．若利用垂线与已知直线相交解出垂足的坐标，想法自然，但求解较繁，为了简化解题过程，自然要想其他方法，教材采用了设而不求，整体代换来解决问题，简单明了，但恒等变形较难，因此，通过分析两点间的距离公式与点到直线距离的联系和区别，找到恒等变形的思路是解决问题的关键．本课通过观察、分析掌握两点间距离公式的特点，总结应用两点间距离公式的步骤；通过例题和练习使学生掌握并能应用两点间距离公式解决有关问题；通过探索和研究有关问题培养学生的数学思维能力．

教学设计

一、问题情境 1.某供电局计划年底解决本地区一个村庄的用电问题，经过测量，若按部门内部设计好的坐标图（以供电局为原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为ｙ轴的正半轴，长度单位为km），则这个村庄的坐标是（15，20），它附近只有一条线路通过，其方程为3x－4y－10＝0．问：要完成任务，至少需要多长的电线？

这实际上是一个求点到直线的距离问题，那么什么是点到直线的距离，如何求村庄到线路的距离呢？

2.在学生思考讨论的基础上，教师收集学生各种的求法，得常见求法如下：（1）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为m，易求m的方程为4x＋3y－120＝0．由

解得即m与l的交点

由两点间的距离公式，得

故要完成任务，至少需要9km长的电线．

（2）设直线l：3x－4y－10＝0与x轴的交点为Q，则Q（一点M（0，－），易让向量

＝（，0）．在直线l上任取）与向量n＝（3，－4）垂直．

设向量知 与向量n的夹角为θ，点P到直线l的距离为d，由向量的数量积的定义易

（3）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为ｍ，易求ｍ的方程为4（x－15）＋3（y－20）＝0． 设垂足为Po（xo，yo），则4（xo－15）＋3（yo－20）＝0，①

又因为点Po在l上，所以3xo－4yo－10＝0，即3xo－4yo＝10，而3×15－4×20－10＝3×15－4×20－3xo＋4yo＝－3（xo－15）＋4（yo－20），即3（xo－15）－4（yo－20）＝45．

②

把等式①和等式②两边相加，得 25［（xo－15）2＋（yo－20）2］＝452，∴（xo－15）2＋（yo－20）2＝，3.教师展现学生们的求法，师生共同点评各种求法，得出：求垂线与直线的交点坐标，再用两点间的距离公式使问题得解，想法虽自然，但计算量较大；不求垂足的坐标，设出垂足的坐标代入直线方程，进而通过等式变形，利用两点间的距离公式求得结果，想法既巧妙，又简单明了．

二、建立模型

设坐标平面上（如图24-1），有点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）．

我们来寻求点到直线l距离的算法．

作直线m通过点P（x1，y1），并且与直线l垂直，设垂足为P0（x0，y0）．容易求得直线m的方程为

B（x－x1）－A（y－y1）＝0． 由此得B（x0－x1）－A（y0－y1）＝0．① 由点P0在直线l上，可知Ax0＋By0＋C＝0，即C＝－Ax0－By0．

所以Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1－Ax0－By0，即A（x1－x0）＋B（y1－y0）＝Ax1＋By1＋C．② 把等式①和②两边平方后相加，整理可得

（A2＋B2）［（x1－x0）2＋（y1－y0）2］＝（Ax1＋By1＋C）2，即（x1－x0）2＋（y1－y0）2＝

容易看出，等式左边即为点P（x1，y1）到直线l距离的平方．由此我们可以得到点P（x1，y1）到直线l的距离d的计算公式：

归纳求点P（x1，y1）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤如下：（1）给出点的坐标x1和y1赋值．（2）给A，B，C赋值．

（3）计算

注意：（1）在求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式．

（2）当直线与x轴或y轴平行时，公式也成立，但此时求距离一般不用公式．

三、解释应用 ［例 题］

1.求点P（－1，2）到下列直线的距离： l1：2x＋y＝5，l2：3x＝2． 注意：规范解题格式．

2.求两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝０，（C1≠C2）之间的距离． 分析：求两条平行线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离．

解：在l1上任取一点P（x1，y1），则Ax1＋By＝－C1，点P到l2的距离d＝

3.建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．

解：以等腰三角形底边所在的直线为x轴，底边上的高所在的直线为ｙ轴，建立直角坐标系（如图24-2）．

不妨设底边｜AB｜＝2a，高｜OC｜＝b，则直线AC：即bx－ay＋ab＝0；

直线BC：∴点B（a，0）．，即bx＋ay－ab＝0，在线段AB上任取一点D（m，0），则－a≤m≤a．

∴d1＋d2＝的高．

［练习］，即等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上1.求下列点到直线的距离．

（1）0（0，0），l1：3x＋4y－5＝0．

（2）A（1，0），l2：

x＋y－＝0．

（3）B（1，2），l3：3x＋y＝0．（4）C（－2，3），l4：y－7＝0．

2.求两条平行直线2x＋3y－8＝0和2x＋3y＋18＝0之间的距离．

3.（1）求过点A（－1，2），且与原点的距离为的直线方程．

（2）若点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求OP的最小值．

（3）若△ABC的三顶点分别为A（7，8），B（0，4），C（2，－4），求△ABC的面积．

（4）求点P（0，1）关于直线x－2y＋1＝0的对称点的坐标．（5）求直线2x＋11y＋16＝0关于点P（0，1）对称的直线方程．

四、拓展延伸

1.点到直线的距离公式应用非常广泛，你能举例说明它在解决实际问题中的应用吗？ 2.点到直线的距离公式的推导方法有很多，对学有余力的同学可探索其他推导方法，下面介绍两种常见的推导方法．（1）如图，已知点P0（x0，y0），直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P0到直线l的距离． 不妨设A≠0，B≠0，这时l和x轴、y轴都相交．过点P0作直线l的垂线，交l于Q．令｜P0Q｜＝d，过P0作x轴的平行线交l于R（x1，y0），作y轴的平行线交l于S（x0，y2）．

由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝0得

易证A＝0或B＝0，公式也成立．

（2）点到直线的距离公式也可用向量的知识求得，此法更能体现出代数与几何的联系，比其他方法更简单，直观，易懂．求法如下：

①如图24-4，证明向量n＝（A，B）与直线l垂直．

不妨设A≠0，直线l与x轴的交点是Q（－，0）．

如果P1（x1，y1）是直线l上不同于Q的点，则Ax1＋By1＋C＝0．

∴A（x1＋）＋B（y1－0）＝0，即（A，B）·（x1＋，y1－0）＝0，∴向量n＝（A，B），与向量直．

②求点P0到直线l的距离d．

＝（x1＋，y1－0）垂直，即向量n与直线l垂由数量积的定义，如果向量

与向量n的夹角为θ，那么

易证当A＝0或B＝0时，公式也成立．

点 评

点到平面的距离的求法 篇7

如图, 在三棱锥P - ABC中, PA⊥平面ABC, ∠BAC =120°, 且AB = AC = AP = 1, M为PB的中点, N在BC上, 且AN = BN.

( 1) 求证: AB⊥MN; ( 2) 求点P到平面NMA的距离.

解法一: (1) 取AB的中点Q, 连接MQ, NQ略 (6分)

(2) 设点P到平面NMA的距离为h.

∵ M为PB的中点,

法二: ( 2) 证明: 过P作PO∥MN交BC于O, 过O作OK∥AN, 连接PK, 过A作AV⊥PK.

∵ MN∥PO, OK∥AN,

又∵MN∩AN=N, OK∩PO=O,

∴面MNA∥面POK.

∴ 点P到平面NMA的距离即面MNA与面POK的距离.

∵AN⊥面PAC, OK∥AN,

∴OK⊥面PAC, ∴OK⊥AV,

又∵AV⊥PK, ∴AV⊥面POK.

在Rt△PAK中, 求出

∴点P到平面NMA的距离为

分析法二是借助于过点构造一个平面与已知的平面平行, 通过求平行面之间的距离求得点到平面的距离, 这样比等体积法求高可以简化运算量.

摘要：空间距离的求法是立体几何教学中非常重要的一部分, 而且, 在近几年的高考中多次出现此类考题.由于两异面直线间的距离、直线与平面间的距离、两平行平面间的距离都需要转化为点到平面的距离来解决, 因此掌握点面距离的求法是重中之重.本文通过一道例题分析并探讨其最佳解法.

关键词：立体几何,点到平面的距离,三棱锥,平面平行

参考文献

[1]樊瑞飞.例谈点到平面距离的求法[J].数理化解题研究, 2009 (07) :17-18.