点到线的距离

2024-08-15

点到线的距离（精选5篇）

点到线的距离篇1

点到线的距离中的线往往以三种形式出现, 即直线、射线、线段.点到线的距离中的点指的是线外的一点.点到直线的距离指的是直线外的一点到这条直线的垂线段的长度, 点到射线和线段的距离指的是点到这条射线和线段所在直线的距离.图示如下:

在图1中, 线段PD的长度是点P到直线AB的距离.图2中, 线段PD的长度是点P到射线AC的距离.图3中, 线段PD的长度是点P到线段EF的距离.

在三角形的特殊线段中, 三角形的高的长度是三角形的顶点到它的对边的距离.

在图4、5、6中线段AD的长度是三角形顶点A到对边BC的距离.

【例1】如图7, 在三角形ABC中, AC⊥BC, AC=4 cm, BC=5 cm, 则点A到BC的距离、点B到的AC的距离分别为 ( ) .

A.5 cm, 4 cm

B.4 cm, 5 cm

C.AC, BC

D.BC, AC

分析:点A到线段BC的距离是线段AC的长度, 点B到线段AC的距离是线段BC的长度.此题往往由于学生没有弄清点到线的距离的概念而错选C.此题的正确答案为B.

【例2】如图8, AB⊥BC, MC⊥BC, 且BC=5 cm, 求点M到射线BA的距离.

分析:要求点M到射线BA的距离, 先需要过点M作射线BA的垂线段, 再求出垂线段的长度即为点M到BA的距离.根据已知条件得知所作的垂线段与线段BC的长度相等, 则点M到射线BA的距离为5 cm.

【例3】如图9所示, 在三角形ABC中, ∠C=90°, BD平分∠ABC, 且AC=5 cm, AD=3 cm, 求点D到线段AB的距离.

分析:本题主要考查了两个知识点, 角平分线的性质和点到线的距离.点D到线段AB的距离和点D到线段BC的距离相等, 要求点D到线段AB的距离只需要求出DC的长度即可.

解:过点D作AB的垂线段DE, 即DE⊥AB, 垂足为E,

DC=AC-AD=5-3=2 (cm) .

因为BD平分∠ABC, DC⊥BC, DE⊥AB,

所以DE=DC=2 cm (角平分线上的点到这个角两边的距离相等) .

点到线的距离这一节内容对学生来说是一个难点, 本文从点到线的距离的概念入手, 通过利用三角形的高说明了点到线的距离的真正内涵, 并通过三道例题进一步说明如何求点到线的距离.望大家能熟练掌握.

点到线的距离篇2

《点到直线的距离》教案

首都师范大学附属桂林实验中学高中数学组叶景龙

课题:点到直线的距离

教材:人教版高二（上）第七章第三节第4课时教材分析：地位与作用

本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到解析几何的定量计算，其学习的平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．教学目标：

1、至少掌握点到直线的距离公式的一种推导方法，能用公式来求点到直线距离;

2、通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力；

3、让学生了解和感受探索问题的方法，以及用联系的观点看问题．在探索问题的过程中体验成功的喜悦．

教学重点:点到直线距离公式及其应用．教学难点: 点到直线的距离公式的推导学情分析与学法指导:

高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生生源结构,既有一等的阳光生,也有七等的后进生,思维差异比较大,要两边兼顾,本课采用由浅入深启发式讲解法、类比发现式教学法.教学时间：45分钟教学过程：

一、创设情境,提出问题(3分钟)

设想:如图临桂县汽车站因业务需要,欲建一条到图中铁路

经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以金源太阳城为原点），得知汽车站的坐标为P（2，1），而铁路所在的直线方程为．则绿色通道的最短距离是多少? 这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离．教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离．

二、解决问题 1．问题再现(8分钟)

多媒体显示

设计意图:让学生感受数学来源于生活,感受数学无处不在,激发学生学习的兴趣,为引入正题做准备初中知识回顾!

请5位学生上黑板练习（第（4）题请一位运算能力强的同学，其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）,教师巡堂检查.教师评价：此方法思路自然，但是运算繁琐．并多媒体展示求解过程．的绿色通道,请在图中标出“通道”位置,使“通道”最短。实际的例子

多媒体显示：假定在直角坐标系上，已知一个定点P（x0,y0）和一条定直线l： Ax+By+C=0，那么如何求点P到直线l的距离d？(请学生思考并回答)

学生1：先过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则|PQ|就是点P到直线l的距离d；然后用点斜式写出垂线方程，并与原直线方程联立方程组，此方程组的解就是点Q的坐标；最后利用两点间距离公式求出|PQ|。

接着，教师用投影出示下列5道题(尝试性题组)，(1)求P（2 ,1）到直线l：x=3的距离d;（答案：d=1）(2)求P（x0,y0）到直线l：By+C=0（B≠0）的距离d；（答案：）

(3)求P（x0,y0）到直线l：Ax+C=0（A≠0）的距离d；（答案：）

(4)求P（2 ,1）到直线l：的距离d；（答案：）

(5)求P（x0,y0）到直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距离d。第（1）容易、（2）和（3）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论；第（4）题虽然运算量较大，但按照刚才学生1回答的方法与步骤，也能顺利解出正确答案；第（5）题虽然思路清晰，但由于字母参数过多、运算量太大行不通。学生们陷入了困境。

2．启发引导，学生走出困境(2分钟)

教师：根据以上5位学生的运算结果，你能得到什么启示？学生2：当直线的位置比较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离容易求得，而当直线是倾斜位置时则较难；含有多个字母时虽然想起来思路很自然，但具体操作起来因计算量很大而无法得出结果。

教师：那么，练习（5）有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根据刚才的第（2）、（3）的启示，借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢？教师：能否用其它方法，不求点Q的坐标，求线段PQ的长度?

学生：放在三角形---特殊三角形---直角三角形中．教师：如何构造三角形？第三个顶点选在什么位置？学生：可过P点做x,y轴的平行线与直线的交点R、S.请同学们思考怎样求点到直线的距离。

3．点到直线的距离公式的推导过程(17分钟)学生思考回答下列想法：

方法1:利用直角三角形的面积公式(学生自学)

如图1，过点P作x、y轴的垂线分别交直线l于S、R，则由三角形面积公式可得

方法2:利用余弦值推导

指导学生自学教材的证明过程，培养学生的数学阅读能力和获取信息的能力．

解析几何与三角函数结合如下图,过P作PM⊥x轴交l于M，构造直角△PQM,怎样用|PM|表示|PQ|？，点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式为：

方法3:利用向量推导

已知直线的法向量，则，如何选取法向量？直线的方向向量，则法向量为，或，或其它．由师生一起分析得出取＝．教师板演：，由于点Q在直线上,所以满足直线方程 ,解得

4．点到直线的距离公式的应用(13分钟)用公式解决课题引入时提出的问题.例1 求点到下列直线的距离： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 分析：⑴

可能会有学生在代人公式计算时，忘掉绝对值符号．教师要给予纠正，强调距离是一个非负数． ⑵

教材上的解法是结合图形直接得到点到直线的距离，也可能会有学生是直接代人公式计算，教师指出对于或的特殊情况，一般结合图形直接得到结论． ⑶

部分学生可能会对代入公式后计算得0这一结果感到困惑，教师要引导学生思考此时点与直线的位置关系，指出当点落在直线上时公式仍然成立． ⑷

在补充的问题⑷中所给出的直线方程不是一般式，所以在代人公式计算前，学生必须将直线方程化为一般式，以便确定

教师评析：向量是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是高中数学知识的交汇点．而且这种方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法．

与开题呼应！

公式的巩固,强调运用公式时的注意事项.系数，从而达到强调公式运用前提的目的．

教师：使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式，以便确定系数的值，这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．

例2 ⑴已知点到直线的距离为，求的值；⑵已知点到直线的距离为，求的值．教师：如何求实数的值？解：⑴

⑵

教师：这两问直线方程中参数的几何意义是什么？学生：⑴中表示直线的斜率； ⑵中表示直线在轴上的截距．教师：两个小问的几何意义是什么？

学生：⑴点到两条直线的距离相等，所以点在两条直线所成角的角平分线上；⑵所得的两条直线互相平行且距离为2．（教师利用几何画板进行数学实验）

三、课时小结(2分钟)本课主要学习了以下内容：

⑴ 点到直线的距离公式的推导中不同的思路：利用直角三角形的面积公式、利用余弦值、利用平面向量； ⑵ 点到直线的距离公式：点到直线（其中）的距离说明：对于的特殊情况时公式仍然适用． ⑶ 应用点到直线的距离公式的前提条件．

四、课后作业

1、课本习题7.3的第13题----16题；

2、总结写出点到直线距离公式的多种方法．

能力提升,求参数的值及几何意义.教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容．

板书设计

课题：点到直线的距离

推导点到直线的距离方法:

方法1: 利用直角三角形的面积公式推导

方法2: 利用余弦值推导方法3:利用向量推导点到直线的距离:

教学反思

本节课花了大量的时间在思考多种方法推导点到直线的距离公式,在课堂上展示了四种方法,让学生至少掌握一种推导方法,主要注重培养了学生的思维,所以练习的量少了点,对于公式运用的巩固还有待加强.公式的应用: 例1

例2

课堂小结

《点到直线的距离》说课稿篇3

一、教材的地位和作用

“点到直线的距离”是在研究了直线的方程和两直线的位置关系的基础上, 探索点与直线位置关系由定性到定量的转变, 既是对前面知识体系的完善, 又为后面研究直线与圆、圆与圆的位置关系奠定基础, 具有承上启下的作用。同时, 教师可通过对点到直线距离公式的推证促使学生建立感性认识, 并借以培养学生的联想和迁移能力, 逻辑思维能力, 归纳转化能力, 同时发展学生的求异思维能力。

二、学情分析

1.知识与能力。

学生已经学习了两点之间的距离公式, 具备直线的有关知识, 如交点、垂直、三角形、两点间距离公式等。学生对坐标法解决几何问题有了初步的认识。

2.学生实际。

据调查, 职校学生中有近一半对文化课学习抱以“温吞水”态度, 有20%左右的学生认为文化课没必要学, 甚至有10%的学生干脆放弃文化课。数学课堂上经常出现“教师费力讲, 学生无心听”的现象。究其原因, 学生本身的思想不重视、学习习惯差等固然是一方面, 但我认为教师的教学艺术也是一个主要方面。因此在教学时, 我尽可能创设多形式多亮点的学习情境, 充分调动学生的积极性。

三、目标分析

我根据美国教育家布卢姆提出的认知、能力、情感三大教育目标, 结合本单元教学目标和学生实际学习能力, 特制定以下教学目标。

1.认知目标。

理解点到直线的距离公式的推导过程并能用公式进行计算, 领会理解渗透于公式推导过程中的数学思想 (如化归思想、数形结合、分类讨论等) , 掌握应用这些思想来研究数学问题的方法。

2.能力目标。

通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结, 发现问题, 解决问题, 培养学生思维的灵活性、严谨性、深刻性和对知识的迁移、联想和探索创新能力。

3.情感目标。

通过公式的推导, 培养学生主动探索、勇于发现的科学精神, 培养学生的创新意识和创新精神;通过对不同方法的探索, 激发学生的学习兴趣和探索欲望, 并对学生进行养育教育和从特殊到一般的辩证唯物主义教育:培养学生会用联系的观点看问题, 并能认识到事物之间在一定条件下是可以转化的意识。

四、教材重点和难点分析

根据教学目标, 教师应有一个让学生参与实践—探索发现—总结归纳的探索认知过程。我特确定如下重点与难点。

重点:点到直线距离公式的推导和应用。

难点:点到直线距离公式的推导。

1.难点的确定

根据学生的认知水平, 学生比较容易接受具体的、特殊的事物, 而对抽象的含字母的点与直线方程的接受需要一个过程。所以把对公式的推导确定为本节课的难点。

2.难点的突破

在教学过程中, 教师应通过精心设置问题, 启发学生根据问题的条件和结论所提供的信息, 结合已经具备的知识能力, 探索解决问题的思路和寻求解决问题的方法, 应着眼于培养学生的逻辑推理能力, 使学生对同一个问题进行多角度、全方位的考察分析, 灵活地运用多种方法解决。这是本知识中掌握重点、突破难点的关键。

五、教法分析

数学教学的核心是学生的“再创造”, 教师不能将既有的知识灌输给学生, 而应通过精心设置的一个个问题链, 激发学生的求知欲, 最终在教师的指导下发现问题、解决问题。为了充分调动学生的积极性, 教师应使学生变被动学习为主动学习, 采用“启发式教学法”。

为真正实现以学生为主体的教学, 起关键作用的是设计出有利于学生参与教学内容的组织形式。因此, 教师不能照本宣科, 而应采用将一般化为特殊的方法, 引导学生通过对一个特殊问题全方位的观察研究、分析解决, 在此基础上对知识进行拓展、延伸, 最终将特殊问题还原到一般问题。在整个教学过程中, 我采用启发、提问、设问、训练结合、适时点拨的教学方法, 把学生的注意力紧紧吸引在解决问题上, 让学生的思维活动在老师的引导下层层展开, 让学生大胆参与课堂教学, 使他们“听”有所“思”, “练”有所“获”, 使传授知识与培养能力融为一体。

六、教学程序设计

本节课的教学过程中我设计了以下教学环节。

1.创设问题情境

本节课的课题引入方式有多种, 可以通过实际问题引题, 也可以直接引题。教材是这样提出问题的:“在例6中, 我们已经求出图7-19中△ABC的AB边上的高CD所在直线的方程, 那么如何计算AB边上的高 (即CD的长) 呢?”这样在已经学习过的例题中进一步创设问题情景, 激发了学生的好奇心和探索欲望。

2.学生自主探究与研讨

因为刚学过如何求两点间的距离、如何求直线的方程、如何求两直线的交点, 学生自然会想到下面的方法:首先求出AB边所在直线的方程, 接着求出过点C且与直线AB垂直的直线方程, 再求出这两条直线的交点, 即垂足D的坐标, 最后应用两点间的距离公式求CD的长。

3.师生共同辨析研讨

教师首先要肯定学生的探究, 然后给出点到直线距离的一般定义。这是一个由特殊到一般的过程。然后为了得到公式, 再从一般到特殊。在这题中, 其实求的就是点C (6, 7) 到直线lAB:3x+4y-12=0的距离。

在肯定了学生的分析后, 我将这种方法定为思路一。

思路一:先求直线AB的方程, 再求直线AB和直线CD的交点, 用两点间的距离公式求|CD|。

接下去我进一步引导, 得到下面三个思路。

思路二:过点C作垂直于坐标轴的直线PS、PR, 求S、R的坐标 (S、R为直线AB上的点) , 利用等面积法求|CD|。

思路三:因为直线AB的斜率就是直线AB的倾斜角的正切值, 所以可以利用三角函数的定义求|CD|。

思路四:点P为直线AB上的任一点, 建立|CP|的一个函数关系式, 求最小值|CD|。

以上四种方法介绍的目的, 是为了让学生学会从不同的角度分析问题、解决问题, 让学生学会引申问题、变更问题, 以培养学生发现问题、提出问题的创造能力。

根据教材需要, 我在课堂上推证思路三, 其他三种思路的推证留给学生课后完成, 必要时进行课外辅导。

最后, 再由特殊到一般。得到点M (x0, y0) 到直线l:Ax+By+C=0的距离公式

在上述公式的推导中, 是假设了A≠0且B≠0。我还进一步引导学生验证A=0或B=0时点到直线的距离, 当然验证的结果是公式同样成立。

4.公式应用

应用一:基本练习。

应用二:求例6中AB边上的高|CD|, 以及教材中的例10。

应用三:提高练习 (求圆的切线方程) 。

5.课堂小结

让学生大胆发言, 归纳总结本节课的收获, 我及时点评并归纳总结, 通过大屏幕展示出来, 使学生对所学内容有一个系统的认识。

点到直线距离公式的证法探究篇4

定理已知直线l的方程为Ax+By+C=0 (AB≠0) , 点P (x0, y0) , 那么点P到直线l的距离是 $\frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

证法1 如图1, 设点Q (x, y) 是直线l上任意一点, 则|PQ|的最小值就是点P到直线l的距离.

$\begin{array}{l} | Ρ Q |^{2} = (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} \\ = (x - x_{0}) + (- \frac{A x + C}{B} - y_{0})^{2} \\ = x^{2} - 2 x_{0} x + \frac{A^{2} x^{2} + 2 A C x + C^{2}}{B^{2}} \\ + \frac{2 A y_{0} x + 2 C y_{0}}{B} + y_{0}^{2} + x_{0}^{2} ‚ \\ B^{2} | Ρ Q |^{2} = (A^{2} + B^{2}) x^{2} \\ + 2 (A B y_{0} + A C - B^{2} x_{0}) x \\ + B^{2} x_{0}^{2} + B^{2} y_{0}^{2} + 2 B C y_{0} + C^{2} . \end{array}$

$\begin{array}{l} 故 B^{2} | Ρ Q |_{\min}^{2} \\ = \frac{B^{2} (A^{2} x_{0}^{2} + B^{2} y_{0}^{2} + C^{2} + 2 A B x_{0} y_{0} + 2 A C x_{0} + 2 B C y_{0})}{A^{2} + B^{2}} ‚ \\ | Ρ Q |_{\min}^{2} = \frac{(A x_{0} + B y_{0} + C)^{2}}{A^{2} + B^{2}} . \end{array}$

即P点到直线l的距离为 $\frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

证法2 如图2, 过点P作PH⊥l, 垂足为H, 易知直线PH的方程为Bx-Ay+Ay0-Bx0=0.联立方式组

${\begin{cases} A x + B y + C = 0 ‚ \\ B x - A y + A y_{0} - B x_{0} = 0 ‚ \end{cases}$

解得点H的坐标为

$(\frac{B^{2} x_{0} - A B y_{0} - A C}{A^{2} + B^{2}} ‚ \frac{A^{2} y_{0} - A B x_{0} - B C}{A^{2} + B^{2}}) .$

$\begin{array}{l} 则 | Ρ Η | = [(x_{0} - \frac{B^{2} x_{0} - A B y_{0} - A C}{A^{2} + B^{2}})^{2} \\ + (y_{0} - \frac{A^{2} y_{0} - A B x_{0} - B C}{A^{2} + B^{2}})]^{\frac{1}{2}} \\ = \frac{| A x + B y + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} . \end{array}$

即点P到直线l的距离是 $\frac{| A x + B y + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

证法3 如图3, 过点P作PH⊥l, 垂足为H, 再过P点作y轴的平行线交直线l于点M.易知点M的横坐标为x0, 又点M在直线l上, 故点M的纵标为 $- \frac{A x_{0} + C}{B}$ , 有

$| Ρ Μ | = | y_{0} + \frac{A x_{0} + C}{B} | = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{| B |} .$

设直线l的倾斜角为α, 则∠P=α或∠P=π-α, 有

$\tan ∠ Ρ = - \frac{A}{B} 或 \tan ∠ Ρ = \frac{A}{B} .$

则 $\cos ∠ Ρ = \frac{| B |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

在Rt△PHM中,

$\begin{array}{l} | Ρ Η | = | Ρ Μ | \cos ∠ Ρ = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{| B |} \cdot \frac{| B |}{A^{2} + B^{2}} \\ = \frac{| A x + B y + C |}{| A^{2} + B^{2} |} . \end{array}$

即点P到直线l的距离为 $\frac{| A x + B y + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

证法4 如图4, 过点P作PH⊥l, 垂足为H, 过P分别作y轴与x轴的平行线, 分别交直线l于M, N两点.则 $Μ (x_{0} ‚ - \frac{A x_{0} + C}{B}) ‚ Ν (- \frac{B y_{0} + C}{A} ‚ y_{0}) ‚$ 有

$\begin{array}{l} | Ρ Μ | = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{| B |} ‚ \\ | Ρ Ν | = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{| A |} ‚ \\ | Μ Ν | = \sqrt{(x_{0} + \frac{B y_{0} + C}{A})^{2} + (- \frac{A x_{0} + C}{B} - y_{0})^{2}} \\ = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C | \sqrt{A^{2} + B^{2}}}{| A B |} . \end{array}$

在Rt△MPN中,

$| Ρ Η | = \frac{| Ρ Μ | \cdot | Ρ Ν |}{| Μ Ν |} = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

即点P到直线l的距离为 $\frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

证法5 如图5, 过P作直线l的平行线l′, 易知直线l′的方程为Ax+By-Ax0-By0=0.设直线l, l′分别交x轴于M, N两点, 则 $Μ (- \frac{C}{A} ‚ 0) ‚ Ν (\frac{A x_{0} + B y_{0}}{A} ‚ 0) ‚$ 有

$| Μ Ν | = | \frac{A x_{0} + B y_{0}}{A} + \frac{C}{A} | = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{| A |} .$

过N作NH⊥l, 垂为H, 且设直线l的倾斜角为α, 则∠NMH=π-α或∠NMH=α, 有

$\tan ∠ Ν Μ Η = \frac{A}{B} 或 \tan ∠ Ν Μ Η = - \frac{A}{B} ‚$

得 $\sin ∠ Ν Μ Η = \frac{| A |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

在Rt△MNH中,

$| Ν Η | = | Μ Ν | \sin ∠ Ν Μ Η = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

即点P到直线l的距离为 $\frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

证法6 如图6, 过点P作PH⊥l, 垂足为H, 且设l与x轴交点为M.易知直线l的一个法向量n= (A, B) , 而 $Μ (- \frac{C}{A} ‚ 0)$ , 则 $\vec{Μ Ρ} = (x_{0} + \frac{C}{A} ‚ y_{0})$ , 有

$| \vec{Ρ Ν} | = \frac{| \vec{Μ Ρ} \cdot n |}{| n |} = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

即点P到直线l的距离为 $\frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

证法7 如图7, 设以P为圆心的圆的方程为 (x-x0) 2+ (y-y0) 2=r, 易知当此圆与直线l相切时, r的值即为点P到直线l的距离. 联立方程组

${\begin{cases} (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2} ‚ \\ A x + B y + C = 0 ‚ \end{cases}$

消去y并整理得

(A2+B2) x2-2 (B2x-AC-ABy0) x

+B2x $_{0}^{2}$ +B2y $_{0}^{2}$ +2BCy0+C2-B2r2=0.

Δ=4 (B2x0-AC-ABy0) 2-4 (A2+B2) (B2x $_{0}^{2}$

+B2y $_{0}^{2}$ +2BCy0+C2-B2r2) .

令Δ=0, 整理得

(A2+B2) r2=A2x $_{0}^{2}$ +B2y $_{0}^{2}$ +C2+2ABx0y0

+2ACx0+2BCy0

= (Ax0+By0+C) 2,

即 $r = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

即点P到直线l的距离为 $\frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

经检验以上公式对A=0或B=0也适合.

点到参数曲面的最小距离的研究篇5

在机器人中普遍存在的碰撞检测场合[1],以及在数控加工中需要计算加工刀具与加工物体的最小距离以求不划破被加工物体等,都要求解点到曲线曲面的最小距离[2]。计算机图形学中的碰撞检测与动画模拟,同样也经常需要用到物体间的距离计算[3,4,5]。

对于给定点Q,若在参数曲面上某点处M达到,则向量与M点处的法向量是平行的,因此可以得到一个方程组。对于方程组的求解[6,7,8],则应用计算复杂度较低的离散牛顿法,即将其迭代区间进行细分并在各个细分区间中应用离散牛顿迭代算法。

本研究探讨求点到参数曲面的局部极值距离的计算方法,并通过实例验证该算法的有效性。

1 算法思想

参数曲面:

其中:u∈[a,b],v∈[c,d]。

设P(u,v)是参数曲面(1)上的任一点,则点P(u,v)的法向量为:

本研究先求给定点Q到参数曲面S的最小距离dsmin;参数曲面S上的一点P(u,v)处的法向量是唯一的;给定一个点Q,若Q到参数曲面S的局部极值距离(包含极大与极小)在参数曲面上某点P处达到,则应有向量与P点处的法向量是平行的,也就是两者的叉积为零向量,即:

因此可以得到求最小距离dsmin的算法思想如下:

首先,据式(3)得到由3个关于未知数u和v的方程联立的方程组,求解此方程组而得出点Q到参数曲面S的所有极值距离D1,D2,…,Dn。在得到了所有的局部极值距离之后,再利用文献[9]的方法,求出点Q到参数曲面的边界线的最小距离De,则就可以得到ds min=min{De,D1,D2,…,Dn}。

下面详细介绍求解Q到参数曲面S的所有局部极值距离D1,D2,…,Dn。

2 点到参数曲面的局部极值距离

参数曲面S∶P=P(u,v),每个点P的法向量NP由式(2)得到。若参数曲面S上的点P满足极值距离条件,则应有P满足式(3),而式(3)是一个方程组,不妨记之为:

利用向量形式:

式(4)可以记为:

式(5)是一个方程个数大于未知数个数的非线性方程组。

2.1 解非线性方程组的迭代法

设有非线性方程组:

式中:fi(x1,x2,...,xn)—实变量的非线性函数,它是给定的多元函数(i=1,2,...,n)。

而对式(6)可用向量形式表示,引进记号:

于是式(6)可写为:

对于式(8)的求解,最常用的方法也是最基本的迭代方法即牛顿法,牛顿法的处理过程如下:

对于非线性方程组F(X)=0,其中:F(X)=(f1(X),f2(X),...,fn(X))T,由fi(X)偏导数做成的矩阵记为J(X)或F'(X):

本研究设X*为F(X)=0的解,且设X(k)=(x1(k),x2(k),...,xn(k))为X*的近似解,现利用多元函数fi(X)在X(k)的泰勒公式有:

如果用式(10)中线性函数Pi(X)近似代替fi(X),且有线性方程组:

本研究将上述方程组的解作为X*的第k+1次近似解X(k+1)。

将式(11)写成矩阵形式,即:

如果J(X(k))为非奇异矩阵,则得到牛顿迭代公式:

求解非线性方程组F(X)=0牛顿方法或者用下面形式:

所以由牛顿法计算公式(13)可知,每计算一步X(k)→X(k+1),需要:

(1)计算矩阵J(X(k))及F(X(k));

而在实际中有很多问题的F'(X)计算很复杂。此时,本研究将F'(X)的元素用相应的差商代替,即:

其中,h足够小,且:

则J(X(k))ΔX(k)=F(X(k))变为:

2.2 点到参数曲面的局部极值距离的求解

对于式(5),虽然不能直接用2.1节中的讨论过的离散牛顿法,但对它进行稍微的变形就可以适用式(5),变形的离散牛顿法如下:

取初值X=(u,v),t,h>0,0

(1)计算fi(x)→B(i),其中i=1,2。

(2)若满足,则再判断是否有f3(u,v)<ε,若同样满足则方程组的一组实数解为X=(u,v)T;计算过程结束;否则继续。

(3)计算fi(x)→A(i),其中i=1,2,...,n;其中X1=(u+h,v)T,X2=(u,v+h)T。

(4)解线性代数方程组AZ=B,其中Z=(z1,z2);且计算β=1-(z1+z2)。

(5)计算u-hz1/β→uX=(u,v)T,v-hz2/β→v。

(6)t×h→h,转(1)。

上述过程一直进行到X满足精度要求为止。由此利用变形的离散牛顿法可以求出达到局部最小距离的点P1,P2,...,Pn。

3 实例

本研究采用的实例是一个双二次Bezier曲面,即,u,v∈[0,1],其9个控制顶点是:

应用本研究的算法计算给定点Q到此双二次Bezier曲面的最小距离的结果如图1、图2所示。

图1中给定点Q=(-1.440000,5.680000,-1.280 000),所求的最小距离dsmin=10.314 6;图2中给定点Q=(-0.906 667,-0.773 333,0.320 000),所求的最小距离dsmin=4.267 38。

4 结束语

对于参数曲面,如果在参数曲面S上的R点达到由给定点Q到曲面S的局部极小或局部极大距离,那么应有Q点到R点的向量与R点的法向量是平行的,由此得到一个方程组。通过解这个方程组就可以得到Q点到曲面S的局部极值距离,再与Q点到曲面S的边界线上的最小距离进行比较,便得到给定点Q到曲面S的最小距离。

由上述算法可知,算法的关键部分在于方程组的求解。而对于方程组的求解则是今后所要完善的地方。本研究采用离散牛顿法来解非线性方程组,但是离散牛顿法是一种迭代算法,而且只是一种局部收敛算法,其结果非常依赖于所给定的初值。所以在本研究的算法中将求根的区域进行了足够小的划分,并在每个小的区域中使用离散牛顿法以求出其所有根。本研究用Open GL[10,11]进行了实现,从所做实验的例子来看,效果也是非常不错的。

摘要：针对求最小距离常用的搜索算法,其稳定性和有效性通常不高的问题,研究了如何求点到参数曲面的最小距离。采用了基于参数曲面的几何特性,将求最小值问题转化为方程组求解问题,应用计算复杂度较低的离散牛顿法,并且将其迭代区间进行了细分,并在各个细分区间中应用离散牛顿迭代算法,增强了算法的稳定性。研究结果表明,离散牛顿法有较好的稳定性和有效性。

关键词：参数曲面,最小距离,离散牛顿法

参考文献

[1]SNYDER J M,WOODBURY A R,FLEISCHER K,et al.In terval Methods for Multi-Point Collisions between Time-De pendent Curved Surfaces[C]//Proceedings Siggraph93,New York,1993:321-334.

[2]LENNERZ C,SCH MER E.Efficient Distance Computa tion for Quadratic Curves and Surfaces[C]//2nd Conference on Geometric Modeling and Processing,GMP'02,2002:60-69.

[3]CHEN X D,YONG J H,ZHENG G Q,et a1.Computing minimum distance between two implicit algebraic surfaces[J].Computer-Aided Design,2006,38(10):1053-1061.

[4]JIMNEZ P,THOMAS F,TORRAS C.3D collision detection:a survey[J].Computers&Graphics,2001,25(2):269-285.

[5]JOHNSON D E,COHEN E.A Framework for Efficient Minimum Distance Computations[C]//Proceedings of the1998 IEEE International Conference on Robotics&Automation,Leuven,998:3678-3684.

[6]冯果忱.非线性方程组的迭代解法[M].上海:上海科学技术出版社,1989.

[7]易大义,沈云宝,李有法.计算方法[M].杭州:浙江大学出版社,2002.

[8]周立春,陈健,林海波,等.内螺旋曲面数控拉刀设计及应用研究[J].轻工机械,2011,29(3):35-38.

[9]钱春.基于区间牛顿法的点到参数曲线最小距离的计算方法[J].机电工程,2010,27(1):82-84.

[10]廖朵朵,张华军.OpenGL三维图形程序设计[M].北京:星球地图出版社,1996.

【点到线的距离】推荐阅读：

点到直线的距离教案06-10

距离测量05-12

检测距离05-26

防护距离07-13

监测距离07-13

距离模型07-24