距离向量（精选6篇）
距离向量 篇1
0 引言
在平面解析几何中,我们曾经用代数的方法来解决集合问题,空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。和解决平面问题相仿,我们先是给出空间直角坐标系的定义,接着给出空间中任意一点的坐标表示,和平面上任意两点间的距离相仿我们给出空间中任意两点间的距离公式,向量是我们解决空间解析几何问题的一个重要工具,同时向量的方法也是力学,物理学以及其他应用学科的一个好的方法,我们在引入向量概念的基础上,给出向量的加减数乘的概念,同时要会应用向量来解决空间几何中的问题,大家需要注意的是,向量的方法是我们解决以后问题的一个重要的方法。
解析几何中常见的距离有:点到平面的距离、点到直线的距离,异面直线间的距离。这些距离的求解,有的化归为两点间的距离、有的用面积公式、有的用矢量积,方法各异,思路不一。本文旨在将上述距离的求解思路与公式统一起来,而实现这一愿望的有效工具是向量的内积,因为内积可以捕捉住:长度、角度、垂直、投影等几何概念,可以说内积是这些几何概念的精炼。下面先给出一些相关概念与结论。
定义1:n维欧氏空间V的子空间V1的正交补是V中正交于V1中一切向量的向量全体V1⊥。由线性代数的理论知道:有限维欧氏空间V的子空间V1有唯一的正交补空间V1⊥;对V中每一个向量α,可唯一地写成α=β+γ,其中β∈V1,γ∈V1⊥,β叫做向量α在子空间V1上的正射影,γ称为α关于V1的正交分量。计算β和γ的公式为:设e1,e2,…,ek(k≤n)是V1的标准正交基,则
定义2:所谓线性空间Rn的线性流形,即为:
其中V1为Rn的子空间,α0为Rn的固定向量,且V1的维数称为流形的维数。
1 向量到线性流形的距离的定义及求解公式
定理1:Rn中由向量α给出的点到线性流形P=V1+α0的距离是所给出的点到流形的点的距离的最小值,也就是向量α-ξ的长度的最小值,其中ξ是P中的向量。证明:这个距离等于向量α-α0关于线性子空间V1的正交分量γ的长度,而V1的平移产生流形P。
证:根据题意:ξ∈P,β∈V1,β+α0∈P。所以β+α0-ξ∈V1。又因为α-α0=β+γ,其中β∈V1,γ∈V1⊥,故(α-α0)-β=γ∈V1⊥,于是|α-ξ|2=|[(α-α0)-β]+[β-(ξ-α0)]|2=|γ|2+|β-(ξ-α0)|2≥|γ|2
所以最小距离是:|γ|
定理2:线性流形P1=V1+α1和P2=V2+α2之间的距离是P1和P2中任意两点距离的最小值。证明这个距离等于向量α1-α2关于线性子空间W=V1+V2的正交分量的长度。
证:设ξ1∈P1,ξ2∈P2,而α1-α2在W上的正交射影为β,则有α1-α2=β+γ其中β∈W,γ∈W⊥,因为β∈W=V1+V2,故β=β1+β2,其中,βi∈Vi(i=1,2,),于是β+(ξ1-α1)-(ξ2-α2)∈V1+V2=W,由此可见(α1-α2)-β与β+(ξ1-α1))-(ξ2-α2)正交,从而:
这样我们便证明了线性流形P1和P2的距离等于α1-α2关于线性子空间W=V1+V2的正交分量的长度|γ|。为了使距离公式的表示简单,我们引进格拉姆行列式的概念。
定义3:n维欧氏空间中向量α1,α2,…,αk的格拉姆(Gram)行列式是k阶行列式:
2 向量到线性流形距离的应用
2.1 求点到平面的距离
定理3:Rn中由向量α0=(x10,x20,…,xn0)给出的点到平面
W={(x1,x2,…,xn)∈Rn│a1x1+a2x2+…anxn=c}的最短距离等于:
证:平面W上的点可看成线性流形P=V+α,其中V为过原点的一个平面,它构成Rn的子空间,即V={(x1,x2,…,xn)∈Rn│a1x1+a2x2+…anxn=0},α是平面W上任一点,容易看出V的正交补空间V⊥,恰好是由向量η=(a1,a2,…,an)生成的一维子空间。由定理1知,点α0=(x10,x20,…,xn0)到平面W的距离等于向量α0-α在V上正交分量γ的长度,容易算出向量,γ的长度为:
2.2 求点到直线的距离
定理4 Rn中由向量α给出的点到直线l:χ=ρt+α0(其中ρ∈Rn,α0∈Rn,t∈R)的距离借助格拉姆行列式表示为:
证直线l上的点可看成线性流形P=V+α0,其中V为过原点的一条直线,它构成Rn的子空间,即V={ρt│t∈R},由定理1知,Rn中由向量α给出的点到直线l的距离,等于向量ζ=α-α0在V上正交分量γ的长度,而
2.3 求两条异面直线的距离
定理5 Rn中两条异面直线l1:χ=ρ1t+α1,l2:χ=ρ2t+α2(其中ρ1与ρ2线性无关ρ1,ρ2,α1,α2∈Rn,t∈R)的距离
证直线li上的点可看成线性流形Pi=Vi+αi(i=1,2),其中Vi为过原点的一条直线,它构成Rn的一个子空间,即Vi={ρit│t∈R},由定理2知,Rn中两条异面直线的距离,等于线性流形P1和P2的距离,等于α1-α2关于线性子空间W=V1+V2的正交分量的长度|γ|。容易看出W是由ρ1与ρ2生成的子空间。记ζ=α1-α2,ζ在子空间W上的正射影为β,设β=k1ρ1+k2ρ2,则由γ=ζ-β⊥W得γ⊥ρ1,γ⊥ρ2。故k1,k2满足方程组:
解得其中D是方程组的系数行列式,Di(i=1,2)是把D的第i列换成常数列所得的行列式。于是:
k2[(ρ2,ζ)-k1(ρ2,ρ1)-k2(ρ2,ρ2)](注意第二个和第三个中括号的值为0)=(ζ,ζ)-k1(ζ,ρ1)-k2(ζ,ρ2)
故定理成立。顺便说明一点,R3中两条异面直线距离的求解要简单一些。由于R3中由ρ1与ρ2生成的子空间W的正交补空间W⊥是一维子空间,显然W⊥是由ρ1×ρ2向量生成的,从而向量ζ=α1-α2在W上的正交分量。利用121212混合积,可将|γ|用格拉姆行列式来表示。
推广定理4、定理5的结论,就可得到如下点到线性流形距离的统一公式。
定理6 Rn中由向量α给出的点到线性流形P=V1+α0的距离d,借助格拉姆行列式,可由下列公式而计算:
其中α1,α2,…,αk为线性子空间V1的基。用类似定理5的证明方法来证明。
参考文献
[1]北京大学编.高等代数[M].北京:人民教育出版社,1978.
[2]黄惇.格拉姆行列式的几个重要结论[J].数学通报,1995,(4).
用平面法向量求空间距离和夹角 篇2
空间向量是数学的一个新工具, 利用它处理立体几何问题往往可以省去许多麻烦, 其突出的特点是以算代证. 求空间角和距离时, 并不用知道垂线在哪里, 也不必作出要求的角, 只要按固定的方法一步一步地算下去, 就能得出你所要的结论. 本文结合具体案例, 介绍用平面的法向量来求解这类问题.
一、求点到平面的距离
例1在单位正 方体ABCD A1B1C1D1中, E, F分别是AB, BC的中点. 求点D到平面B1EF的距离.
评析解这类问题的基本思路是:
如图2, 点B到平面α的距离
在 Rt△ABC 中,
二、求平行平面之间的距离
例2在长方体ABCD - A1B1C1D1中, 已知AB = a, BC = b, CC1= c, 求平面A1BD和平面B1D1C的距离.
解如图3, 建立空间直角坐标系, 则D (0, 0, 0) , A1 (b, 0, c) , B (b, a, 0) , C (0, a, 0) .
令 x = ac, 则 y = - bc, z = - ab.
所以, n = (ac, - bc, - ab) .
要求平面A1BD和平面B1D1C的距离, 只需求点C到平面A1BD的距离, 则
评析解这类问题的基本思路是:
若平面α∥平面β, 求平面α和平面β 之间的距离可转化为平面α内的任一点到平面β 的距离.
三、求异面直线的距离
例3在单位正方体ABCD - A1B1C1D1中, 已知M, N分别是BB1, B1C1的中点, P是线段MN的中点. 求DP与AC1的距离.
解如图4, 建立空间直角坐标系, 则B1 (0, 0, 0) , A (0, 1, 1) , C1 (1, 0, 0) , D (1, 1, 1) , P (1/4, 0, 1/4) .
设过DP且平行于AC1的平面α的方程为A2x + B2y + C2z + e = 0.
因为DP∈α, 所以A2+ B2+ C2+ e = 0,
评析解这类问题的基本思路是:
求异面直线l1, l2的距离, 只需过直线l2作平面α∥l1, 则可转化为求直线l1上任一点到平面α的距离.
四、求直线与平面的距离
例4在直四棱柱ABCD - A1B1C1D1中, 底面为直角梯形ABCD, CD⊥AD, AB = 2, AD = 3, DC = 6, AA1= 6, M, N分别是C1D1, CC1的中点. 求MN与平面AD1C的距离.
解如图5, 建立空间直角坐标系, 则D (0, 0, 0) , A (3, 0, 0) , C (0, 6, 0) , D1 (0, 0, 6) , M (0, 3, 6) , N (0, 6, 3) .
令 x = 2, 则 y = z = 1.
要求MN与平面AD1C之间的距离, 只需求点N与平面AD1C的距离.
评析解这类问题的基本思路是:
求直线l与平行平面α的距离, 可转化为求直线l上一点到平面α的距离.
五、求直线和平面所成的角
例5在长方体ABCD - A1B1C1D1中, AB = 2, AA1=AD = 1, 求AB与平面AB1C所成的角.
解如图6, 建立空间直角坐标系, 则D (0, 0, 0) , A (1, 0, 0) , C (0, 2, 0) , B1 (1, 2, 1) .
设平面AB1C的法向量为n = (x, y, z) .
故AB与平面AB1C所成的角为arcsin1/3.
评析解这类问题的基本思路是:
如图2, 直线l∩平面α = A, B是直线l上的一点, BC⊥α于点C, 则∠BAC为直线l与平面α所成的角.
设平面法向量为n, 则
六、求二面角
例6在正方体ABCD - A1B1C1D1中, 求二面角A BD1- A1的度数.
解设正方体为单位正方体. 如图7, 建立空间直角坐标系, 则D (0, 0, 0) , A (1, 0, 0) , D1 (0, 0, 1) , B (1, 1, 0) , A1 (1, 0, 1) .
所以α = 60°.
又易知二面角A - BD1- A1的平面角为α, 因此, 二面角A - BD1- A1为60°.
距离向量 篇3
路由器根据路由表转发数据分组, 路由表的各项路由信息取决于路由协议, 其核心是路由选择算法, 路由选择算法计算路径的方法一般利用评价因子、权重及算法思想的差异来划分。下面介绍较常用的动态路由协议--路由信息协议RIP的配置及其应用。
1工作原理
RIPv1是分布式的基于距离向量的路由选择协议, 优点是简单, 要求网络中的所有路由器都要维护从自身到其余目的网络的距离记录, RIPv1协议按如下方法定义“距离”:路由器到直连的网络的距离定义“1”;路由器到非直接的网络的距离是所经过的路由器数“+1”。“+1”是因到目的网络后就直接交付, 而到直接连接的网络的距离已定义为1;每经过一个路由器, 距离就“+1”。RIPv1认为“好的”路由是它通过的路由器的数目最少, 允许一条路径最多包括15个路由器, “距离”为16时相当于不可达, 只适用于小型因特网。RIPv1协议没有负载平衡的特性, 不能在两个网络之间同时适用多条路由。RIPv1选择具有最少路由器的路由, 即使存在另一条高速具有较多的路由的路由器。
2改进的RIPv2
距离矢量路由协议的路径的基本评价因子采用跳数作为衡量标准, RIPv1协议的收敛过程较快, 虽然算法实现和配置都较为简单, 但是路由更新采用与相邻路由器定期进行路由信息交换的机制, 易形成路由环路;也不支持VLSM。因此对其改进得到RIPv2。
虽然RIPv2本身没多少改变, 但改进了性能 (路由评价因子仍是跳数及最大跳数15) :
提供前缀路由, 在路由更新中发送子网掩码信息, 支持在同一AS中使用VLSM;更新信息中提供了认证机制, 路由信息的可信性与安全性均增强了。RIPv2向下兼容RIPv1。
3应用举例
建立路由表:路由器刚开始工作时, 只知到直连网络的距离;此后, 每一路由器只和数目有限的相邻路由器交换并更新路由信息。经若干次更新后, 全部路由器都会知道到达本AS中任一网络的最短距离和下一跳路由器的地址。
应用举例:已知路由器A有表1所示的路由表。
现在收到相邻路由器X发来的路由更新信息, 见表2所示。
试求出更新后路由器A的路由表。
解答:如同路由器一样, 不需要知道该网络的拓扑。
先把表2的距离都加1, 并把下一跳路由器都改为X, 得下表3:
把表3的每一行和表1进行比较:
第1行的Net1在表1中没有, 把这一行添加到表1中;
第2行Net2在表1有且下一跳地址也是X, 距离增大, 要更新;
第3行Net3在表1中没有, 把这一行添加到表1;
第4行Net6在表1中有, 但下一跳路由器不同, 比较距离, 新的路由器的距离2, 小于原来表中的8, 要更新;
第5行Net8在表1中有, 但下一跳路由器不同, 比较距离, 新的路由器的距离是4, 原来表中的是4, 不更新;
第6行Net9在表1中有, 不同下一跳路由器, 于是比较距离, 新路由器的距离6, 大于原表中的距离, 不更新;
因此, 得出更新后的A的路由表如表4所示:
结论
RIPv2是RIPv1的改进版本, 它保留了RIP的大部分特点, 增加了支持VLSM和CIDR的功能, 在其路由更新信息中会发送子网掩码信息, 其应用性更强。
摘要：路由表是根据路由选择协议来获得表中的各项路由信息的, 而路由选择协议的核心是路由选择算法。在此基础上, 提出了基于距离向量的路由选择协议 (RIP) 及应用。
关键词：路由选择,网关协议,距离向量
参考文献
[1]李太君、林元乖等.《计算机网络》 (第1版) .北京:清华大学出版社.2009年7月.
[2]林元乖编著.《计算机网络实验教程》.北京:机械工业出版社.2012年6月.
[3]李莉, 李然, 鲍嘉伟.RIP路由协议测试软件的设计与实现[J].现代电信科技.2015 (01) :7-11.
[4]张樱子.RIP协议在GPON OLT上的实现[D].武汉邮电科学研究院.2012.
距离向量 篇4
由于电网故障或设备检修经常会造成一些负荷的停电,其中包括一些重要的负荷,如何为停电的负荷搜索其他可用的供电恢复路径,以快速恢复供电是调度人员工作中经常遇到的问题,即供电路径搜索的问题[1]。因此,有必要针对失电负荷恢复供电路径搜索算法进行研究。
与失电负荷恢复供电研究相关的是配电网故障恢复控制,目前有很多关于配电网故障恢复研究的文献。文献[2]指出地区电网的故障恢复问题是一个多目标、多约束、复杂的优化问题。目前研究故障恢复的方法较多,人工智能技术得到了广泛关注,如专家系统[3,4]、遗传算法[5,6,7,8]、蚁群算法[9]、Petri网[10]、多代理系统[11,12]和差分进化算法[13,14]等。然而上述方法针对特定网络结构分析各有其特点,但不能有效适应地区电网故障在线快速恢复,难以为调度员提供实时、合理的故障恢复控制策略。文献[1]提出电气岛划分的概念,通过拓扑分析将电网分解为若干电气岛,利用“电气岛+边界条件”的概念搜索失电孤岛的供电路径,基于树搜索法中的宽度优先搜索法进行分层搜索。但对于环形网络,这种搜索方法容易漏掉潜在的供电路径;而且由于是从失电孤岛出发去搜索带电岛,这样搜索到的供电路径顺序不符合调度操作规程,即送电时应从电源侧逐级向负荷侧闭合开关。为解决这一问题,文献[1]对电气岛增加了两个新的属性,来记录由带电岛返回失电孤岛的路径,但这样处理增加了内存开销,不利于程序处理的简洁与快速。电气岛划分的概念可以避免在为失电孤岛寻找电源时大量搜索节点链接支路,而是采用直接搜索对侧电气岛的带电性质,因而大大提高了搜索速度。为此针对失电孤岛供电路径搜索算法的研究还有进一步的发展空间。
本文在文献[1]的基础上,受因特网路由选择协议的启发,利用电气岛之间的边界联系,提出一种基于距离向量的供电路径搜索算法。通过建立各个电气岛之间的路由表,将失电孤岛的供电路径搜索问题转换为路由表更新问题,利用各个电气岛最终的路由表项目便可以直观、快速地找到失电孤岛的最短供电路径,并且供电路径的顺序满足调度操作规程。
1 距离向量算法
在信息通信领域,路由器作为网络拓扑中的一种中间结点,在推动计算机网络互联方面扮演了重要角色。路由选择算法分为交互协议和本地计算,其本质是在交互协议的基础上,通过选择适当的标准和有效的选择策略进行本地计算,最终获得最优路由。路由选择定义为把消息从信息源经过网络传送到目的地的行为,主要进行协议交互和本地计算两个基本动作。其中协议交互主要完成网络中距离向量、路径向量和链路状态的查找和传送;本地计算则是根据协议交互获得的距离向量、路径向量和链路状态进行路由表的更新处理,确定数据发送的最优路径[15]。
路由选择协议中的内部网关协议RIP(routing information protocol)是一种基于距离向量的分布式路由选择协议,根据RIP,网络中每一个路由器都要维护从它本身到达其他任意一个目标网络的路由信息。定义路由器到达直接相连的网络的距离为1;定义路由器到达非直接相连的网络的距离为路径上所经过的路由器数加1。RIP中的“距离”也被称为“跳数”(hop count),把信息的传递比作在路由器之间的跳跃,规定每经过一个路由器,跳数就加1。这里的“距离”实际上指的是“最短距离”。RIP中将从源头到达目的地所经过的路由器数目最少的路由定义为最优路由,即跳数最少。
更新路由表时,每个路由器只与相邻的路由器进行协议交互,也就是交换各自的路由信息,交换的路由信息是本路由器当前所知道的所有路由信息[16]。初始化的路由器仅仅知道与其直接相连的网络的距离,将这个距离定义为1。在此之后,每一个路由器只和数目有限的相邻的路由器进行协议交互,并更新各自的路由表项目。经过若干次的更新之后,网络中的每一个路由器最终都会知道从它本身到达本网络中任意一个网络的最短距离和下一跳的路由器地址。RIP的收敛过程较快,即在自治系统中所有结点都得到正确的路由选择信息的过程。RIP令互联网中的所有路由器都与自己的相邻路由器不断交换路由信息,并不断更新其路由表,使得从每一个路由器到每一个目的网络的路由都是最短的。虽然所有的路由器最终都拥有了整个自治系统的全局路由信息,但由于每一个路由器的位置不同,它们的路由表自然也不同。本文按照该协议的思路,提出一种基于距离向量的失电孤岛搜索算法。
2 供电路径搜索
根据文献[17-20]中的拓扑分析方法,相互连接的无阻抗设备汇聚成一个等值节点,通过等值节点相连的有阻抗设备汇聚成一个电气岛。电气岛内部设备彼此连通,即内部各处带电状态一致;电气岛之间彼此不连通。当系统发生负荷失电时,利用拓扑分析程序,将电网划分为若干彼此不连通的电气岛,通过判断岛内设备带电状态,将全部电气岛分为带电岛和不带电岛两大类。根据电气岛划分规则可见,带电岛内部有电源,可作为失电负荷恢复供电的电源。对于不带电岛,有3 种情况:第1 种是故障岛,这种电气岛由于岛内设备故障或检修致使设备不可用;第2种是无源岛,这种电气岛内既无电源又无失电负荷,但其岛内设备正常,可以通过投入运行来为失电负荷供电,如备用设备可划归并入这种电气岛;第3种是失电孤岛,这种岛内无电源,但有失电负荷,需要为其恢复供电。某地区电网经过拓扑分析之后形成的电气岛之间的联系图如图1所示。
定义电气岛边界为不同电气岛之间呈断开状态的无阻抗设备,相当于电气岛间的备用通路,边界一经操作合上,两电气岛即合并形成同一个电气岛。需要说明的是,并不是呈断开状态的无阻抗设备就是边界,只有两端是不同电气岛的无阻抗设备才是边界。
为了说明本文的搜索算法,将故障岛之外的每个电气岛看成一个路由器,各自有一张初始路由表,表示该电气岛与相邻电气岛之间的连接关系,然后根据距离向量算法进行路由表更新,最终获得所有电气岛的全网路由表,进而从中选出失电孤岛的供电路径。路由表结构分为目标岛、距离和路径,以孤岛1的路由表为例,路由表信息如表1所示。
路由表中第1行表示:失电孤岛1 至带电岛2距离为1的路径A;路由表中第2 行表示,失电孤岛1至无源岛3距离为1的路径C。
2.1 初始路由表形成规则
电气岛的初始路由表表示该电气岛与相邻电气岛之间的联系,初始路由表的形成可以根据电气岛边界来确定。依次处理电气岛的边界,按照路由表的结构形成初始路由表的项目。在处理边界的过程中需要注意,若一个电气岛仅和故障岛相连,或者一个电气岛所有的边界只和故障岛相连,则该岛不会在恢复路径中体现,于是将该岛排除在更新列表之外,更新列表中的所有电气岛均要进行下一步路由表更新处理。将所有除故障岛以外的电气岛处理完毕后,各个电气岛的初始路由表也就最终形成。
初始路由表的具体形成流程如图2所示。
2.2 路由表更新规则
路由表的更新处理是为了获取每个电气岛到网络中任意一个电气岛的最短路径,当然从中可以获取失电孤岛到达各个带电岛的最短路径,即为失电孤岛搜索若干条恢复供电的最短路径。更新过程中,每一个电气岛只和数目有限的相邻电气岛交换并更新路由信息。当电气岛获取到相邻电气岛的路由表信息后,根据距离向量算法,在原来的距离上加1,路径之前加上相应的边界。若本电气岛的路由表中没有目标岛,会将新的目标岛加入本路由表项目中;若目标岛在本岛路由表中,则判断距离是否更短,如果比本岛路由表项目中的距离更短,则更新距离和相应的路径,如果相等则把该条路由信息加入路由表,原路由信息不变,否则返回处理下一条路由信息。经过若干次更新后,所有的电气岛最终都会知道到达本电网系统中任何一个电气岛的最短距离和相应的最短路径。
路由表更新的具体流程如图3所示。所有电气岛路由表更新结束后,失电孤岛的路径就可以直接从孤岛路由表中查找,查找方法为:在孤岛路由表项目中查找目标岛为带电岛的路由表项目,其路径即为该失电孤岛的供电路径。在调度操作规程中规定,送电时从电源侧逐级向负荷侧闭合开关,则可以通过从带电岛的路由表中查找失电孤岛,方法同上。然后再根据约束潮流模型针对所有供电路径进行筛选,并计算网损,根据网损和操作步骤进行恢复方案排序,为调度员恢复操作提供辅助决策功能。
针对配电网中多为树状的结构,部分会采用“手拉手”多电源的方式。本文算法基于对网络进行拓扑分析结果进行处理,经过网络拓扑分析,无阻抗设备汇聚为等值节点,由等值节点连接的有阻抗设备汇聚为一个电气岛,拓扑分析方法不仅适用于链式网络和环网,而且对于“手拉手”多电源供电方式的环网同样适用,避免了在为失电孤岛寻找电源时大量搜索节点链接支路,然后根据本文搜索算法进行处理。如果和分布式电源(DG)带电源孤岛电源之间多电源连接,存在不同电源之间的联系,则必须要考虑同期,本文方法在给出的恢复方案中检测到多电源连接时,会生成同期检查报告提示调度员。本文的搜索算法给出的是恢复策略,具体实现由现场操作人员在操作时进行同期检查。
3 恢复方案校验
针对搜索得到的失电孤岛供电方案,首先进行校验排序,每个负荷属性都有对应的等级和大小。等级较高的负荷对应的恢复方案优先校验,相同等级的负荷按其负荷大小进行排序校验。之后依次检验岛内功率平衡和最优潮流。
3.1 电源配置校验
边界合上后会出现电气岛合并,此时无需再重新对全网进行拓扑分析,而是进行动态拓扑分析,即直接修改恢复方案中所涉及的电气岛内设备属性。对新形成的电气岛首先进行电源配置校验,即有功功率配置和无功问题。按式(1)和式(2)进行校验,对恢复方案进行初筛,并生成相应问题报告。
式中:PGmax为岛内有功电源容量;QGmax为岛内无功电源总容量;PD为岛内有功负荷;QD为岛内无功负荷;K1为有功平衡可靠系数;K2为无功平衡可靠系数。
对满足功率配置要求的恢复方案再进行最优潮流计算,校验其电压质量和线路传输容量是否满足规定要求。不满足的不再进行最优潮流校验。
3.2 最优潮流校验
由于常规的潮流计算只是完成某一种具体运行方式下的计算功能,并不能有效验证供电方案是否合理,因此采用最优潮流验证方案的可行性。一种供电方案可理解为一种网络拓扑结构,在给定机组出力约束和负荷条件下,利用最优潮流可以验证某一种供电方案是否满足设备安全运行,这是常规潮流计算无法达到的功能。
本文以系统网损最小为目标函数,所采用的最优潮流数学模型如下所示:
式中:nbr为支路数;SB为系统所有节点集合;SG为发电机节点集合;SC为无功补偿节点集合;SL为支路集合;Gij和Bij为节点导纳矩阵中的元素,Yij=Gij+Bij;θij为节点i,j之间的相角差;Pi和Qi分别为节点有功和无功注入;PGi,PmaxGi,PminGi分别为发电机有功出力及其上、下限;QGi,QmaxGi,QminGi分别为发电机无功出力及其上、下限;QCi,QmaxCi,QminCi分别为无功补偿装置出力及其容量限制;Pl和Pmaxl分别为支路有功功率及其传输上限;Vi,Vmaxi,Vmini分别为节点电压及其上、下限。
内点法在收敛性、计算速度等方面具有无可替代的优势,已广泛应用于研究各种大规模、复杂的线性规划问题,以及各种二次规划和非线性规划问题。原对偶内点法是按照目标函数的导数信息确定搜索方向的,因此收敛速度较快。该算法较为成熟,应用广泛,解析过程清晰,结果的可信度高,并且这种算法对初始点的选择不敏感,可以直接采用非内点来启动算法。原对偶内点法虽然其方法本身需要大量的求导、求逆运算,但是采用导纳稀疏阵进行存储,对计算机的存储量要求降低,可以大大提高程序运行的效率。考虑原对偶内点法所具有的以上特点,本文在计算最优潮流问题上选择原对偶内点法。
其基本思想是:引入松弛变量将函数不等式约束转化为等式约束及变量不等式约束,用拉格朗日乘子法处理等式约束条件,用内点障碍函数法及制约步长法处理变量不等式约束条件,导出引入障碍函数后的库恩—图克最优化条件,并用牛顿—拉夫逊法对其进行求解。
4 算例分析
采用IEEE 14节点标准测试系统对本文算法进行验证测试。将线路6-12和线路13-14设置为热备用。本文对IEEE 14节点标准测试系统的可调措施选择为发电机有功、无功出力和无功补偿装置,基准功率为100MVA,其中发电机有功、无功出力数据如表2所示,无功补偿装置所在节点为节点9,最大补偿容量为0.5(标幺值)。表中:Gi为发电机序号;Bus为发电机所在母线号;Pmax和Pmin分别为发电机有功出力上、下限(标幺值);Qmax和Qmin分别为发电机无功出力上、下限(标幺值)。
在线路6-13故障情况下进行拓扑分析,得到如图4所示的电气岛联系图。
采用本文算法,故障岛不会出现在恢复方案,所以故障岛不在初始化列表内。初始化后各电气岛路由表如表3所示。
所有电气岛经过一次路由表更新,便可以得到各个电气岛最终的路由表信息,可见距离向量算法收敛较快,如表4所示。
由电气岛最终路由表可以得到失电孤岛4的供电方案由两个:方案1,由带电岛1经过开关A和D获得供电;方案2,由带电岛1经过开关C和F获得供电。而采用深度优先树形搜索,如果先从失电孤岛1经无源岛2搜索,则搜索到带电岛1停止,带电岛1标记为已处理,之后在经由无源岛3搜索时不会再搜索带电岛1,这样就漏掉了可能的供电路径CF,反之亦然。
之后分别对两种供电方案进行最优潮流验证,采用MATLAB编程,平均值启动,最大迭代次数为50,结果用标幺值表示,如表5所示。
根据最优潮流结果,选择方案2,依次合上开关C和开关F,由备用线路6-12向负荷节点12和13进行供电。
5 结语
本文受因特网路由选择协议算法的启发,提出一种基于距离向量的失电孤岛供电路径搜索算法。该算法与其他基于图论的搜索算法不同,更侧重于各电气岛之间的联系,通过路由表的更新,找到失电孤岛恢复供电的多种可能路径。
经IEEE 14节点标准测试系统验证分析,该方法高效可行,编程简单,而且针对环形结构的网络收敛速度更快。在路由表的更新过程中即可判断各个路径的长短,供电路径与树形搜索相比更加完整,可直接得到符合调度规程的供电方案,缩短了恢复供电时间。该算法可以应用在目前的操作票系统上,为调度员执行事故或检修后恢复操作提供辅助决策功能。
摘要：由于电网故障或设备检修造成负荷失电,为失电负荷寻找供电路径成为目前许多电网分析软件的必备功能。通过拓扑分析程序将电网划分为若干电气岛,传统的根据树搜索法的孤岛恢复供电路径搜索算法,在路径的搜索上存在不足。文中受因特网路由选择协议算法的启发,将各类电气岛看成路由器,提出一种基于距离向量的搜索算法,通过对各电气岛初始路由表的形成和对路由表的更新处理,最终获得电气岛的全网路由表,通过该路由表可以得到所有可能并且符合调度规程的失电孤岛供电路径。利用内点法最优潮流对搜索得到的供电方案进行可行性验证。以IEEE 14节点标准测试系统为例,验证了该算法的可行性。
距离向量 篇5
一、利用法向量求点到平面的距离
若 A∈α,n是平面α的法向量,点P到平面α的距离:
例1 在长方体A1B1C1D1- ABCD中,AB = 4,AD = AA1= 2,求点D到平面AD1B1的距离.
解 建立如图所示的空间直角坐标系D1- xyz,则D1( 0,0,0) ,A( 2,0,2) ,B1( 2,4,0) ,D( 0,0,2) ,设平面AD1B1的法向量为n = ( x,y,z) ,则:
令 y = 1,则 x = -2,z = 2,故 n = ( -2,1,2) .
而 所以点D到平面AD1B1的距离为
二、利用法向量求直线到与它平行的平面的距离
例2在长方体A1B1C1D1- ABCD中,AB = 4,AD = AA1= 2,求DC1到平面AD1B1的距离.
解∵DC1∥AB1,
∴DC1∥平面D1AB1.
由DC1上的任意一点到平面D1AB1的距离就是直线DC1与平面D1AB1的距离.
∴D点到平面AD1B1的距离就是直线DC1与平面D1AB1的距离.
由例1解题过程可知直线DC1与平面AD1B1的距离为4 /3.
三、利用法向量求两平行平面的距离
例3在长方体A1B1C1D1- ABCD中,AB = 4,AD = AA1= 2,求平面D1AB1与平面DBC1的距离.
解在两个平行平面中,其中一个平面内任意取一点到另一个平面的距离等于这两个平行平面的距离. 显然平面DBC1内的一点D到平面AD1B1的距离. 于是问题就转化为先求平面AD1B1的法向量,再利用法向量求D点到平面AD1B1的距离. 解题过程与例1相同,故平面AD1B1和平面DBC1的距离为4 /3.
四、利用法向量求两异面直线的距离
例4在长方体A1B1C1D1- ABCD中,AB = 4,AD = AA1= 2,求异面直线AD1与C1D的距离.
距离向量 篇6
高分辨雷达接收的目标回波占据多个距离分辨单元,形成目标的一维高分辨距离像,反映了目标散射点在雷达视线上的分布情况,为物理特性相似的复杂目标分类提供了必要的信息来源[1]。但是,一维距离像敏感于目标姿态角的变化。因此,采用合适的特征提取和分类方法,是正确识别目标的关键。
支持向量机(SVM)最早由Vapnik提出,是结构风险最小化(SRM)思想的具体实现,其结构简单且具有全局最优性能[2,3]。故应用SVM可设计高性能的一维距离像分类器。
此外,在模式识别领域得到成功应用的还有零空间(null-space)方法[4],零空间方法主要是利用类内散布矩阵的零空间特性结合Fisher准则求解最优的线性子空间。
本文结合上述方法,提出了一种新的方案:用SVM方法计算不同类别的支持向量集(SVs),通过SVs估算类间散布矩阵Sb及类内散布矩阵Sw,再由Sb,Sw构建的Fisher判别式分析中应用其零空间特性,建立一个最优变换矩阵,对每类目标进行特征提取。
2 支持向量集
2.1 两类目标的支持向量集
对非线性可分的训练样本集:
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可以通过非线性变换转化为某个高维空间中的线性问题,即xi→Φ(xi),Φ(xi)是xi的高维空间表示,Φ是隐函数,无需知道函数的具体形式。于是训练样本集变为:
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在高维特征空间中利用SVM方法求支持向量集,方法如下:
SVM分类面函数表示为:
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最大化分类间隔等价于如下优化问题:
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约束条件:
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其中:undefined。
若Φ(xi)不是支持向量,则αi=0,否则αi≠0,且式(3)的等号成立,即:
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定义支持向量集[5]:
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SV1表示正例支持向量集,SV2表示反例支持向量集。
2.2 多类支持向量集
对多类问题,本文选用相对简单且有效的一对多方法。假设训练样本集一共有C个类别,该方法需要构造C个SVM分类器,第i(i=1…C)个分类器将第i类与其余的类别分开。
在构建第i个分类器时,设第i类为正例集合,即yj=1,Φ(xj)∈i,其余类别为反例集合,即yj=-1,Φ(xundefined)∉i。根据式(5)的定义得到属于第i类的正例支持向量集,在此定义为SVi。同理,可得到总共C个类别的支持向量集,记为:
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3 最优变换矩阵
3.1 利用支持向量构造Fisher判别式
设Φ(xij)∈SVi(j=1,2,…,Ni)为第i类目标的第j个支持向量,其中Ni为第i类目标支持向量的个数。计算类间散布矩阵Sb和类内散布矩阵Sw:
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其中:undefined表示第i类支持向量的均值向量。构造Fisher判别式:
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w是整个支持向量空间(设所有支持向量个数为N)的线性组合:
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因此,Fisher优化准则变成如下形式:
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其中Kb,Kw为核矩阵,定义为[6]:
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其中:
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K(·)为核函数,本文选用高斯核函数。
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3.2 利用零空间特性求解最优变换矩阵
为使式(12)取最大,传统的方法是通过对KundefinedKb进行主成分分析,求解较大特征值对应的特征向量构造变换矩阵,忽略了类内散布矩阵Kw的零空间特性。零空间是由特征值为零的特征向量构成的矩阵,使得式(12)的分母为零,此时若分子>0,必然有最好的可分性。研究表明零空间方法求变换矩阵优于其他的子空间方法[4]。
下面给出一种有效的零空间方法,并用其求解最优变换矩阵。
令Kt=Kw+Kb,可以证明:
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其中n为支持向量维数,N为支持向量集的样本个数,C为类别数。由于支持向量的数量通常都比较少,因此n>N,rank(Kb)=C-1。
求解变换矩阵步骤如下:
(1) 去除Kt的零空间
对Kt进行特征分析,得到投影空间P,P由Kt的非零特征值对应的特征向量构成。其后,用P修正类内散度矩阵Kw,得到K′w。
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(2) 求K′w的零空间
对K′w特征分解,去掉大于零的特征值对应的特征向量,通常保留C-1个特征向量,并构造矩阵Y:
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(3) 最优变换矩阵
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W由具有最优可分性的C-1个向量构成。同时,可以证明式(12)中分子K″b=WTKbW是非奇异的[4]。
4 基于最优变换矩阵的目标识别
将式(16)中的第i(i=1,…,C)类目标的均值向量mi向最优变换矩阵W投影[4]:
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投影矢量yi作为第i类目标的库模板矢量。则总的库模板矢量为:
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设待测样本作非线性变换后向最优变换矩阵投影得到yt,计算欧式距离:
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若:
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则判定目标属于第k类。
5 实验结果
本文采用的实测数据是ISAR雷达对空中3种飞机(安-26,奖状,雅克-42)所成的距离像。采样点数为256。试验数据为3种飞机任取一段的260幅距离像,用隔一取一方法将距离像分为训练样本集和测试样本集。
识别前做如下处理:
归一化:将每幅距离像用总能量归一。
距离对准:利用Fourier变换的平移不变性,将一维距离像做Fourier变换即可对齐。
实验:对训练和测试数据应用本文方法(SVN),基于所有训练样本的核 Fisher方法(转换矩阵求解采用零空间方法,KFN),基于所有训练样本的核Fisher方法(转换矩阵求解用传统的主成分分析方法,KFP)和基于一对多方法的多类支持向量机方法 (MSVM)进行识别实验 。结果列于表1中。
从表1可以看出,对于几种基于核函数的分类识别方法,本文提出的方法(SVN)好于其他三种。SVN利用SVM方法求解属于不同类别的支持向量,进而对支持向量进行Fisher判别分析,将两类问题扩展到多类,同时结合了零空间方法求解最优变换矩阵,使得识别性能得到改善。
6 结 语
本文通过对核支持向量的Fisher分析,结合零空间方法,获取最优变换矩阵,对雷达目标目标一维距离像进行识别实验。实验结果表明:仅利用支持向量集训练分类器,就能取得与基于全部训练样本得到的分类器略好的性能;零空间方法求解变换矩阵优于其他子空间方法。因此SVN方法能改善对雷达目标的识别性能。
参考文献
[1]周代英.雷达目标一维距离像识别研究[D].成都:电子科技大学,2001.
[2]边肇褀,张学工.模式识别[M].2版.北京:清华大学出版社,2000.
[3]Vapnik N.The Nature of Statistical Learning Theory[J].New York:Springer Verlag,1995:1-188.
[4]Liu Wei,Wang Yun-hong.Null Space-based Kernel FisherDiscriminant Analysis for Face Recognition[C].(In):Pro-ceedings of the 6th International Conference on AutomaticFace and Gesture Recognition,Seoul,Korea,2004:369-374.
[5]张宝昌.基于支持向量的kernel判别分析[J].计算机学报,2006,29(12):85-92.