状态向量（精选5篇）
状态向量 篇1
套利是投资者最为关注的内容, 也是投资者寻找的内容, 它充实着金融市场。套利是研究金融中均衡性和公平性的重要工具, 所以, 无论是理论还是实证, 套利一直都是金融领域研究的主要课题。
研究套利的理论有很多, 其中很多都是数理金融理论中最重要的理论基础, 这些既被用于研究套利, 也被用于导出数理金融中的其他结论。研究套利的方法很多, 如中性概率分布和状态价格向量, 也有很多方法来证明相关理论结论, 这些方法各有优劣, 可以从某些方面揭示套利的实质。
单纯从数学上看, 套利实际为两组线性不等式组的关系。本文利用线性不等式组、线性系统或线性锥系统的择一性和对偶性来构造状态价格向量, 并说明无套利与状态价格向量为一对偶关系, 进而说明中性概率分布和状态价格向量之间的关系。
一、预备知识
1、一些记号
设市场有n个风险资产, 每种资产在未来时刻1有l个状态, 第i个资产在第j个状态出现时的收益率为ri (j) , 价格为Pji (i=1, 2, …, n;j=1, 2, …, l) 。记:
投资策略向量 (资产组合) :x= (x1, x2, …, xn) T;
概率向量:p= (p1, p2, …, pl) T;
第i个资产在当前时刻0的价格 (初始价格) 为vi (i=1, 2, …, n) , 记:
初始价格向量:v= (v1, v2, …, vn) T;
Dv=diag (v1, v2, …, vn) ;
其中:Zji=Pji/vi (i=1, 2, …, n;j=1, 2, …, l) 为在时刻1状态j出现时第i个资产的总收益率, 有关系:
如果x∈R+n, x≠0, 则称x≥0, 同样可以定义x≥y。
2、择一定理
设A是矩阵, x、u是列向量。
引理1对齐次线性不等式组:
则 (Ⅰ) 有解的充分必要条件是 (Ⅱ) 无解。
引理2设x∈Rn、u∈Rm、A∈Rm×n;Cx为Rn中其锥, 其对偶锥为Cx*, 考虑线性锥系统:
则 (Ⅰ) 有解的充分必要条件是 (Ⅱ) 无解。
3、套利定理
引理3 (套利定理) 下列结论有且只有一个正确:
(Ⅰ) 存在投资策略x使得:Rx>0;
(Ⅱ) 存在概率向量p使得:RTp=0。
套利定理表明, 在所有的状态集合中, 要么一定有套利, 要么一定无套利。并且在无套利情况下, 存在一个概率分布, 在这个分布下, 每种投资的期望收益均为0, 这个概率分布也称为风险中性概率分布。
二、状态价格向量的构造
1、概念
套利机会:如果有投资组合x满足下列条件之一:
则称存在套利机会, 反之亦然。
即在0和1时刻资产组合价值的正负性不同, 则有套利机会。
状态价格向量:如果有α∈Rl满足:
则称向量α为支持资产系统P或Z的状态价格向量。
当资产系统存在价格向量时, 每种资产在0时刻的价格向量都可以用1时刻资产在各种状态的价格线性表示。
2、状态价格向量的构造
定理1资产系统不存在套利机会的充分条件是存在支持该资产系统的状态价格向量α∈R+++。
证明:由套利机会的定义, 不存在套利机会等价, 下列两组线性不等式组无解:
无解。
由引理1, 此二线性不等式组等价:
有解。
统一为:
有解。
记u=∈ulu0*, u0∈R+, ul∈R+l+, 有:
将Z=PDv-1代入上式, 即得:
证毕。
三、结论与讨论
判断套利的方法有很多种, 判断状态价格向量是否存在就是其中的方法之一。
从单纯数学角度上看, 判断套利只是关于一类线性不等式组的一个关系问题, 而择一定理正是处理和揭示这类线性不等式组一些性质的理论基础, 所以, 从简单思维上看是很容易将两者结合起来的。
以下是用择一定理来证明无套利与存在状态价格向量等价, 从证明过程可见, 证明过程简洁明了, 也很简单。
1、利用线性锥系统的择一定理 (引理2) 来证明这个结论
由引理2即可得到 (1) 式。
可见, 无套利与状态价格向量实为一对偶关系, 这为套利的应用提供了理论基础和广阔的领域。
2、套利定理 (引理3) 和定理1都是判断套利的等价条件
套利定理表明, 无套利的等价条件是存在风险中性概率, 使每种投资期望收益均为0的。
定理1表明无套利的等价条件是存在正状态价格向量, 使每种资产在0时刻的价格向量都可以用1时刻资产在各种状态的价格正线性表示。
由此可得, 存在风险中性概率和存在正状态价格向量也是等价的。
当然, 可以进一步讨论风险中性概率和状态价格向量之间的关系。
摘要：本文提出了证明无套利与存在正状态价格向量等价的新方法, 即利用择一定理证明, 同时也揭示了无套利与状态价格向量为一对偶关系, 进而说明存在中性概率分布和存在正状态价格向量是等价的。这种处理问题的方法为解决其他类似问题提供了一种新思路。
关键词：状态价格向量,套利定理,风险中性概率,择一定理
参考文献
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状态向量的扩展有限元方法研究 篇2
扩展有限元法[1,2](extended finite element method,XFEM)是在标准有限元方法的框架下，提出来的一种用于解决不连续问题的数值方法，在有限元近似函数中增加反映不连续问题的附加函数，具有划分网格与结构内部的几何和物理界面无关的优点，避免了常规有限元方法中的网格重构，简化了裂纹扩展过程的分析过程[3,4,5].
本文在前人的基础上尝试在哈密顿体系下建立哈密顿[6,7]正则方程的扩展有限元半解析法，从而实现将哈密顿正则方程求解单元位移和应力的优势与扩展有限元法处理裂纹不连续问题的优越性相结合，寻求一种新的计算方法，最后通过典型算例计算应力强度因子，并且进一步模拟裂纹的扩展，验证了本方法的可行性.
1 单位分解函数
为了描述结构的不连续性，在常规有限元中增加裂尖渐进函数和不连续函数，渐进函数用来描述裂尖的奇异性，不连续函数用来描述被裂纹截断区域的间断特性.所以单位分解函数的表达式为[8]
式中,i是所有节点集合，j是有裂纹穿过单元的节点集合，k是含裂纹尖端单元的节点集合，Ni,Nj,Nk分别是对应节点形函数，ui,aj,bαk分别为对应节点的位移.H(x)为跳跃函数，反映裂纹面位移的不连续性
式中，x是高斯点，x*是裂纹面上离x最近一点，n是x*处垂直于裂纹的法向量.图1为裂纹面及裂纹尖端在有限元网格中的示意图.
裂尖渐进函数
式中，r,θ为原点定义在裂纹尖端的极坐标值.
2 状态向量
对于各向同性、正交异性或各项异性弹性体，修正后的H-R变分原理可表示为[9,10,11]
式中,Q=[u v w]T,u,v和w分别是x,y和z这3个坐标方向上的位移分量;P=[σxzσyzσzz]T，σxz,σyz和σz为结构的平面外应力分量;H是哈密顿函数，V为结构体积，T=[TxTyTz]T,Tx,Ty和Tz分别为x,y和z这3个坐标方向上的外力,S为结构的表面积.
对任一点上的P和Q用形函数表示
式中,N=diag[ϕ]3×3,Pe=[σexzσeyzσezz]T,Qe=[uevewe]T,φ(x)={φ1(x),φ2(x),···,φn(x)}T为对应节点位移向量的形函数.
将式(5)代入式(4),进行变分并分步积分,暂不考虑边界项,得到哈密顿单元控制微分方程即
式中，Me,Ke,Fe的具体形式见文献[10].
再将式(6)进一步按照一般有限元法组装，可以得到单层板的控制微分方程，即状态向量方程
式中m表示第m板层.然后通过求解式(7)，得到每层板的位移和应力.值得提出的是求解式(7)后的标准形式为
计算式(8)中的eKmz采用精细积分法计算[12]，第2项的积分项采用五点抛物线规则计算.
3 计算应力强度因子
要模拟裂纹的开裂，就必须先计算应力强度因子，在本文中采用相互作用积分计算应力强度因子.相互作用积分是一个在包含裂纹尖端的回路Γ上的能量积分，它的表达式为[13,14,15]
其中，W(1,2)=σij(1)εij(2)=σij(2)εij(1)，状态1(σij(1),εij(1),ui(1))是真实应力-变形场的变量，状态2(σij(2),εij(2),ui(2))是附加应力-变形场的变量.
式(9)写成与应力强度因子的关系式
其中，E*=E(平面应力)，E*=E/(1-µ[2])(平面应变).(1)若令：KI(2)=1,KII(2)=0可以得到状态1的I型的应力强度因子KI(1).(2)同理若令KI(2)=0,KII(2)=1，就可以得到1状态的II型应力强度因子K(1)II.
4 裂纹开裂准则
由哈密顿体系下的扩展有限元计算得到应力场和位移场后，可以采用断裂力学的方法进行裂纹扩展分析.模拟裂纹扩展需要解决3个问题：(1)裂纹扩展的条件；(2)裂纹扩展的方向；(3)裂纹扩展的步长.本文采用最大周向拉应力准则解决前2个问题，裂纹开裂步长通常采用Paris公式[16,17]和预先设定.
根据文献[16],裂纹周向和切向应力表达式为
当周向应力达到最大时，裂纹将沿着垂直于周向应力的方向扩展，此时径向应力为0，周向应力为主应力，所以令τrθ=0，得到确定开裂角θ0的方程
求解式(13)得
将式(14)代入式(10)，便得到最大周向拉应力σθmax.
当时，发生断裂，因此相当应力强度因子
式(15)就是裂纹的扩展条件.
5 算例分析
算例1图2所示，有一块尺寸为W×L(W=2 m,L=4 m)的板,厚度为0.04 m,边界上受到单向拉伸应力σ=1 MPa,在板的左右两边各有一条裂纹并位于板的中央，长度为a=0.5 m，板的弹性常数为：E=210 GPa,µ=0.3.采用11×23计算网格，应力强度因子精确解为
表1给出了不同的裂纹长度对应的无量纲裂纹强度因子的表格的形式.从表1中知，本文得到解的误差小于3%.在划分网格较少(11×23)(图3)的情况下可以得到较高的精度，也表明，导入哈密顿理论是可行的.
算例2将算例1的模型进一步模拟裂纹扩展，采用11×21计算网格，开裂步长∆h为0.05 m.
图4为裂纹扩展路径(开裂步数为：5步)，表2和表3分别是裂纹扩展过程中左裂尖位置的坐标和右裂尖位置的坐标，从裂纹扩展图可知，该裂纹扩展过程符合I型裂纹扩展特性，几乎是沿着水平方向扩展，并且扩展结果和文献[5]的结果相吻合.
6 结论
本文基于扩展有限元法和修正后的H-R变分原理，分析材料的断裂问题，推导了弹性力学的哈密顿状态向量方程，此方程不仅可以同时得到单元的位移场和应力场而且在厚度方向是解析的，考虑了模型上表面和下表面的约束问题，使得求解更加精确，扩展有限元方法的运用不仅能够处理裂纹的不连续性，而且划分网格与裂纹的几何位置无关，裂尖处不需要细化网格，同时裂纹在发生扩展时，不需要再一次网格重构，提高了计算效率.
在数值算例中，基于状态向量方程和扩展有限元方法，研究了双边裂纹模型，在划分网格较少的情况下，计算了不同长度裂纹对应的应力强度因子，求得的结果和精确解很接近，表明了此方法的正确性.而且进一步模拟了裂纹的扩展，结果也和文献[5]一致.研究表明，基于哈密顿系统下的扩展有限元法，在划分网格比较少的情况下可以得到精度比较高的解，是一种比较好的求解方法!同时也为用此方法研究多裂纹情形提供了指导意义.
摘要：利用哈密顿正则方程的半解析法计算单元位移场和应力场,可以得到精度比较高的解.但此半解析法在计算应力尖峰区域时,该区域要细化网格.当裂纹扩展时,又要重新生成刚度矩阵进行求解,导致求解效率降低.利用扩展有限元处理裂纹的不连续性,当裂纹扩展时可以避免网格的重构.为充分利用状态向量方程和扩展有限元的优势,该文将两者结合起来分析材料的断裂问题:计算应力强度因子和模拟裂纹扩展.最后通过算例分析,验证了该文提出方案的可行性.
状态向量 篇3
随着能源危机的加剧以及人类环护意识的增强,风能以其技术程度、基础设施建设以及成本方面的优势日益受到重视。然而,高达10%~15%的运行和维护成本[1]严重制约着风力发电行业的发展。因此,从降低风电机组运行风险和减少风力发电的运行成本等方面考虑,在线的状态监测系统(CMS)在风力发电行业得到了飞速的发展。
现有状态监测技术中应用最广泛的是振动分析[2,3]、油液监测[4]以及电流(电压)信号分析[5,6]等。这些技术可以实现对目标对象运行状况的实时监测和在线分析,及时发现其故障隐患。因此,许多学者将其应用于评估风电机组关键部件或子系统[1,7]的运行状况,如叶片[8,9]、齿轮箱[2,4,10,11,12]、发电机[6,13]和轴承[14]等。然而,这些技术在一定程度上难以准确考虑风电机组各部件或子系统之间的相互作用和交叉耦合关系,即无法从整体层次上对风电机组的运行状态进行监控[3]。数据采集与监控(SCADA)系统是近几年应用于风电机组的状态监测系统,其主要功能为定期采集并记录风电机组各部件或子系统的状态数据。因此,如果能够利用现有的SCADA系统所获取的设备状态信息,结合状态监测,可以更好地反映设备运行状况,并减少风电机组对状态监测的要求。但是,现有SCADA系统大多缺乏有效的系统状态评估算法,导致SCADA系统无法判定风电机组整体的实时运行状态,只有当采样数据越限时,才能给出相应部件的报警信息,然而此时故障可能已经恶化到一定程度,如齿轮卡死、液压泵不工作等,无法起到预警作用。为实时掌握风电机组的运行状况、优化维修策略,建立基于SCADA监测数据的评估算法具有重要的学术价值和应用前景。
目前,已有相关文献研究了基于神经网络[11,12,15]、概率统计[16,17]以及基于物元分析的综合关联评判[18]等方法的风电机组状态评估模型,其基本思路有2种:一是从SCADA历史数据中挖掘已发生故障的相关信息,建立此类故障的辨识模型,如文献[15-16];二是从SCADA历史数据中挖掘正常运行时的相关数据,建立风电机组运行状态是否异常的判定模型,如文献[12,17]。前者要求具有大量的已发生故障的信息,对投入运行不久的风电机组来说,条件较难满足,且建立的模型受已知故障类型的限制,无法辨识未知故障。后者虽然可以规避以上不足,但现有的文献缺乏对风电机组整体运行状况的研究,例如:文献[12]对齿轮箱建立神经网络回归模型;文献[17]建立的功率曲线对比模型只以风速作为输入量。作为一个复杂的非线性耦合系统,上述模型显然无法精确描述风电机组的整体运行状况。
为充分考虑风电机组各部件或子系统之间的相互作用和耦合关系,本文利用数据挖掘技术,从SCADA历史监测数据中提取风电机组各部件或子系统之间的相互作用和耦合关系,建立了基于风电机组实时运行数据的回归预测模型。该模型与原有的SCADA报警系统集成为一个针对风电机组整体运行状态的在线评估方法。利用该方法,监测人员可依据SCADA报警系统、风电机组实时功率与预测功率的残差及其趋势,判断风电机组是否发生故障。
1 在线评估方法简介
本文研究所用SCADA系统是辽宁某风电场配备的SCADA系统,其包含离散量监测项目31个,连续量监测项目47个,共计78个监测项目。其中,离散量监测项目是指各个部件或子系统的开关量、动作量以及其他可由0,1等编码表示的状态量;连续量监测项目是指采样数据是变化缓慢的监测数值,如输出功率、风速等。
除非越限报警,否则连续量监测项目的数值无法与各部件或子系统的运行状况相对应。但是,离散量编码却能够直观地体现风电机组各部件或子系统的运行状态,因此,SCADA报警系统基本由离散量监测项目组成。图1按照监测位置列出了SCADA系统的离散量监测项目。
然而,仅依靠SCADA报警系统无法确切掌握风电机组的运行状况。一方面是因为离散量监测项目的报警阈值通常设置较宽泛,当系统发出报警时,故障可能已经恶化到一定程度,起不到预防故障的作用;另一方面,离散量监测项目通常只针对单个部件或子系统,而没有考虑部件间或子系统间的相互作用和耦合关系。因此,为提高SCADA报警系统的鲁棒性,实时在线监测风电机组整体运行状况,本文提出了一个基于SCADA报警系统与回归预测模型相配合的新的在线评估方法,详细评估流程如图2所示。
图2中,回归预测模型报警部分,残差的阈值可根据历史数据设定,通常为5%;残差趋势则根据统计过程控制(statistical process control,SPC)图的判异准则设定,具体内容参考文献[19]。SCADA系统报警部分,“相同异常点连续2次发生/7个监测周期内3次”考虑如下。
1)对于噪声引起的单次SCADA监测数据异常,忽略,继续实时监测。
2)发生噪声或单个早期缺陷时,若连续2次监测数据显示异常,则重新启动风电机组。通常,一些轻微故障,如桨叶不对称等,通过重启风电机组可以纠正。本流程耗时2个监测周期。
3)发生单个严重缺陷时,如果连续2次监测数据显示异常,且重新启动风电机组无效时(即风电机组重启后仍然显示相同的监测数据异常),则给出“报警”。本流程耗时3个监测周期。
4)相继发生多种缺陷或噪声时,若同一异常连续发生,则参考以上2条;若多种异常相继发生(涵盖最多3种异常的相继发生),且判断7个监测周期内任何一种异常发生次数为3次时,则重新启动风电机组。重启风电机组无效时(即风电机组重启后,前7个监测周期内发生的某种异常再现),则给出“报警”。本流程耗时8个监测周期。
2 基于支持向量回归的回归预测模型
建立回归预测模型的算法很多。其中,基于统计学习理论和结构风险最小化准则的支持向量回归(SVR)算法较好地解决了小样本、非线性和高位数等实际难题,并克服了神经网络等学习方法中网络结构难以确定、局部极小点、过学习与欠学习等不足[20],因此本文选择SVR算法建立回归预测模型。
SVR问题可以理解为:给定输入—输出样本集{(xi,yi)}(i=1,2,…,M),其中,xi是第i个m维输入向量,yi是第i个标量输出,M是样本数。通过函数g(x),将m维的输入向量映射到l(l>m)维的特征空间,SVR期望能在特征空间中构造一个最优超平面f(x)=WTg(x)+b,其中,W是l维的权重向量,b是偏置项,使得所有样本点到最优超平面的距离|yi-f(xi)|都不大于给定的精度ε(ε≥0)。考虑到误差,引入惩罚系数C(C>0)和非负松弛变量ξ和ξ*,于是构造最优超平面便转化为求解凸二次优化问题:
通过引入非负拉格朗日乘子αi和αi*,将式(1)的求解转化为其对偶问题的求解:
求解式(2)后,便得到最优超平面即回归函数为:
引入满足Mercer条件的核函数k(xi,x)代替gT(xi)g(x),则可以避免对映射函数g(x)的求解:
式(4)即为基于SVR的回归函数,系数αi,αi*以及b通过样本训练多次迭代得出。
图3是基于SVR的回归预测模型的建模流程。
2.1 输入量与输出量的确定
由于SCADA系统连续量监测数据中除与并网相关的电信号监测外,其余监测项目均是慢变量(采样周期通常为1 min),没有高频成分,无法利用传统的成熟的基于频谱分析的技术进行故障预警,因此,除了用于越限报警和生成系统报告外,连续量监测数据几乎没有其他作用。但不可否认,连续量监测数据包含了比离散量监测数据更多的状态信息,弃之可惜。所以,本文从实时掌握风电机组整体运行状况、提高风电机组并网运行的实时可靠性、优化机组维修策略、降低风力发电成本等角度考虑,利用数据挖掘技术,建立了基于风电机组连续量监测数据的SVR模型。图4按监测内容列出了SCADA系统共计47项的连续量监测项目。
风电机组运行过程中,叶轮将风能转化为旋转机械能,经传动系统,最终由发电机将旋转机械能转化为电能并向电网输出有功功率。风电机组各部件和子系统的相互作用和耦合都是为能量传递服务的,因此,本文选择“有功功率”作为SVR模型的回归输出。考虑到“总发电量”与SVR预测模型无关,因此舍弃;“转速设定值”对应着风电机组的额定功率,当叶轮转速高于“转速设定值”后,风电机组进入限功率运行,即不同“转速设定值”对应了风电机组不同的功率曲线,所以,从模型精确度考虑,可以针对不同“转速设定值”各自建立基于SVR的回归模型,而不将其作为输入量。最终,以图4中剩余的44项作为模型的输入量。
2.2 基于SVR的回归预测模型的建模与训练
通过对比,核函数选择径向基函数(RBF)。由于惩罚系数C和RBF核函数的核宽参数σ决定着SVR模型的性能,因此为了得到具有最佳泛化性能的SVR模型,本文通过网格法对模型中的参数(C,σ)进行不同的数值组合。通过比较各数值组合的最终拟合误差γ,选取误差γ最小的数值组合作为SVR模型的最优参数。为避免因样本分类带来的不必要误差,针对参数(C,σ)的每个数值组合,采用十折交叉验证法对样本进行10次训练和测试,以10次测试的拟合误差的均值作为该数值组合的最终拟合误差。
SVR模型的训练和测试程序可以通过已经编译好的LIBSVM工具箱直接调用,且网格法和十折交叉验证法均可以在LIBSVM工具箱中以参数形式进行设定。
3 实验验证
本文首先采用辽宁某风电场某台风电机组正常运行时的SCADA数据训练基于SVR算法的回归预测模型并验证其精确度,其次采用该机组发生故障前的SCADA数据验证本文所提出的在线评估方法的有效性和可行性。
3.1 基于SVR的回归预测模型训练与精确度验证
3.1.1 数据初处理
数据采集时间为2012-03-16T12:00:00—2012-04-15T24:00:00,SCADA系统采样频率是1次/min,共计约44 600×45组数据,其中44维针对SVR模型的输入量,1维针对SVR模型的输出量。对以上数据进行如下处理。
1)为避免风电机组故障对数据的影响,应确保所选数据前半个月内没有发生故障性维护停机。其中故障性维护停机不包含因风速过低导致的停机,以及因为异常导致的风电机组“安全停机”和重启。
2)依据风电机组实际的功率曲线,并考虑风速过大时的限功率运行,选择风速范围为[3,21]m/s,剩余样本约28 100×45组。
3)因为样本过多,因此依据风电机组的功率曲线,以“风速”大小作为参考,将样本群划分为18个子群,每个子群以50∶1的比例随机选取样本数据。对于不足3个样本数的子群,按照最少3个样本选取,最终得到579×45组样本数据,图5为对应“风速”的每个子群的样本数量分布图。
4)以2∶1的比例选取386×45组样本作为训练样本,剩余193×45组样本作为测试样本。
5)对数据进行归一化处理,以消除数量级的影响。
3.1.2 结果分析
图6给出了训练样本和测试样本的预测值与实际值的对比,其中训练样本和测试样本的相对均方根误差(RRMSE)分别为5.84%和5.58%,相关系数分别为0.999 5和0.999 3。由此可见,该模型的精度满足工业要求,且泛化能力强。
3.2 在线评估方法可行性验证
3.2.1 数据介绍
SCADA系统于2012-04-22T02:41:00因输出功率为负值而给出“总故障”报警。经维护人员确认,故障点为变桨系统,维修并更换元件导致停机约9h。但是,在对采样数据的确认中发现,故障发生前的所有离散量监测数据均为正常,表明故障报警前维护人员无法确切掌握风电机组的实际运行状况。
取SCADA系统报警前40 min的监测数据作为样本数据,检验本文所提出的在线评估方法能否对风电机组的早期故障进行预警。
3.2.2 结果分析
图7对比了故障前有功功率的回归预测值与实际值。从图中可以明显看出,40个样本的有功功率实际值均小于回归预测值,符合风电机组各部件或子系统相互耦合、相互影响的特性。40个样本的RRMSE为17.92%,其中第2,13个样本(图中用虚线框出)的RRMSE甚至高达30%以上。如此高的误差足以在故障发生前25min给出“风电机组已发生故障”的报警,避免故障的恶化及对电网安全运行造成的影响。
4 结语
现有针对风电机组状态监测的技术大部分聚焦于风电机组的关键部件或子系统,没有充分考虑风电机组各子系统或各部件之间的相互作用和耦合关系。因此,本文从风电机组的SCADA监测数据入手,给出了一个可以实时在线监测风电机组整体运行状况的方法。
本文利用SCADA历史数据中的连续量监测数据,建立了预测风电机组有功功率的SVR模型。该模型与SCADA报警系统相配合,组成了鲁棒性更强的在线评估方法。该方法不仅具有SCADA系统的越限报警功能、有功功率预测值与实际值的残差报警功能,还可以通过观察残差的变化趋势了解风电机组的运行状况。实例证明该方法可以及时发现风电机组的早期故障,防止故障的恶化,对于优化维修策略、降低风力发电成本、提高风电机组并网运行的实时可靠性具有实际意义。
下一步研究目标是提高基于SVR的回归预测模型的精度,并将本方案在商业风电场中应用以验证回归预测模型与SCADA系统相配合的实际效果。
状态向量 篇4
装备的技术状态受多种因素的影响, 各个影响因素之间呈动态非线性关系。随着科技含量的不断提高, 影响装备系统运行的因素不断增加。装备技术状态变化对武器系统的可用性、使用寿命、使用安全性以及毁伤效能等都有重要影响。因此, 对装备技术状态监控和预测是非常有意义的。
Vapnik[1]基于统计学习理论提出的支持向量机 (supportvectormachine, SVM) 是目前发展最快的机器学习方法。它最初用于模式识别, 随ε不敏感损失函数的引入, 现已扩展到非线性时间序列分析或非线性回归分析。支持向量机建立在有限样本条件下, 其核心思想就是学习机器要和有限样本相适应。支持向量机中的支持向量是通过解一个凸二次规划问题获得的, 因此保证得到的解是全局最优解。SVR基于结构风险最小, 较好地解决了小样本、非线性、过拟合、维数灾和局极小等问题, 泛化推广能力优异[2]。目前利用支持向量机预测时间序列已经达到很高的精度。有关研究表明, 支持向量机对于混沌时间序列也具有较好的预测性能[3]。
以装备部件某位置的振动烈度时间序列历史数据为基础, 引入分形理论中的相空间重构思想[4], ;利用支持向量机回归建立装备技术状态预测模型。
1分形理论
分形理论中, 一个重要的思想是重构相空间。相空间重构理论[4]是由Packgard等, Ruell和Takens在20世纪80年代首次提出来的。它的重大贡献在于证明了相空间重构能够保持时序所对应的原动力系统内在结构的几何不变性。
给定时间序列{xi}, i=1, 2, 3, …, n, 根据Takens定理[5], 只要找到一个合适的嵌入维, 即如果延迟坐标的维数m≥2D+1 (D是动力系统的关联维数) , 可以由观测输出xi得到一个新的重构系统, 并在拓扑等价意义下保持原系统的动力学性态, 重构的m维状态向量为:yi=[xi, xi+τ, xi+2τ, …, xi+ (m-1) τ], i=1, 2, …其中τ为正整数, 称为延迟时间;获取延迟坐标的最小整数m称为最小嵌入维数。
确定非线性时间序列重构的最佳延时τ和最小嵌入维数m是进行相空间重构的关键, m太小, 不足以展示复杂行为的细致结构, m太大, 则会使计算工作大大复杂化, 同时随之而引起的噪声的影响将不可忽视。
利用相空间重构理论获取时间序列的最小嵌入维数, 以此作为支持向量机输入的节点数目来建立预测模型。
2支持向量机原理
支持向量机是建立在有限样本条件下的机器学习的理论框架和学习方法。其核心思想就是学习机器要和有限样本相适应。支持向量机中的支持向量是通过解一个凸二次规划问题获得的, 因此保证得到的解是全局最优解。有关支持向量机的基本思想参见文献[6,7]。
本文研究的是非线性时间序列, 因此采用支持向量机非线性回归理论。设训练样本集 (xi, yi) , i=1, 2, …, n具有ε相似性, 即yi-f (xi) ≤ε, i=1, 2, …, n, 估计函数f (x) 可以这样确定:首先通过非线性变换将输入向量映射到高维特征空间, 在这个空间中构造最优决策函数, 在构造最优决策函数时应用结构风险最小化原则, 并利用原空间的核函数取代高维特征空间中的点积运算。
SVM估计函数为:
根据统计学习理论, 估计函数转化为如下优化问题
式 (2) 中C为惩罚因子, ξi, ξ*i表示松弛因子, ε为损失函数, 它能够忽略ε范围内的回归误差。其表达式为
式 (2) 一般采用对偶理论转化成二次规划求解。原约束表达式的对偶式为:
定义为核函数。支持向量机回归常用的核函数是径向基核函数, 表示为
根据Karush-Kuhn-Tucker定理, 可求得αi, α*i, b, 最终可得SVM回归函数为
3基于分形和支持向量机回归的装备技术状态预测模型
获取装备某状态时间序列数据{xi}, i=1, 2, 3, …, n, 采用相空间重构理论确定最小嵌入维数m, 将嵌入维数作为支持向量机输入的节点数, 建立训练样本:
根据回归函数式 (6) , 得到
(8) 式 (8) 中将其加入训练样本中, 即
则第二步预测:
一般地, 第n+s个样本的预测值为
式 (10) 中
4装备技术状态预测实例
装备部件某位置的振动烈度的时间序列数据[8]如表1所示, 根据样本数据建立其振动状态的支持向量机回归模型并进行预测。
4.1时间序列分维
采用Cao方法[9]确定时间序列的最小嵌入维数。结果如图1所示。E1 (m) 用于确定最小嵌入维数, E1 (m) 在随m的演变中趋于稳定时对应的m即为最小嵌入维数, 由此可知m=4;E2 (m) 用于判别一个时间序列是否具有分维特性, 一般对确定性混沌序列, E2 (m) 会渐渐趋于1。本文选取样本时间序列1-11预测时间序列12-15的值, 由于训练样本较少, E2 (m) 波动较大。
4.2 支持向量机回归训练
将确定的嵌入维数作为支持向量机回归预测的输入节点数目。考虑到支持向量机回归对输入节点没有量纲要求, 因此对训练样本进行数据的缩放处理, 本文将样本时间序列缩放10倍。建立的训练样本见表2。
采用LIBSVM工具[10]进行支持向量机学习训练。对样本进行交叉验证, 并利用grid-search方法自动搜索并非经验性地确定最佳惩罚参数、灵敏度及径向宽度等核函数参数, 核函数采用径向基核函数。模型的最优参数以MSE最小为原则。
通过对样本进行训练, 经过9次迭代, 确定模型的最优参数为:C=128, σ2=0.031 25, ε=
0.000 976 562 5。利用该模型对第12个振动烈度值进行预测, 结果为0.780 708, 将其加入训练样本继续训练并对第13个值进行预测, 以此类推得到各目标值的预测结果。
为验证时间序列分维的正确性, 取特征节点为3, 4, 5, 6时, 对目标值进行了预测, 其结果见表3。
注:误差一栏表示取最优节点数4时的相对误差。
表3的预测结果以及不同特征节点时预测值的走向表明, 时间序列分维的选择作为支持向量机输入节点的数目, 所建立的模型表达了振动烈度的发展趋势, 模型误差最小。
5 结束语
根据支持向量机回归建立了装备技术状态预测模型, 并依据分形中的相空间重构理论对时间序列分维获取最小嵌入维数, 以此作为支持向量机输入节点。应用实例表明, 该方法给出的支持向量机输入节点数是最优的;同时, 支持向量机预测模型给出的预测结果和真实值相比误差较小, 对装备技术状态预测和分析是可行和有效的。
摘要：基于分形和支持向量机回归理论, 建立了装备技术状态预测模型。将反映装备运行状态的特征数据作为时间序列, 首先进行相空间重构, 得到时间序列的最小嵌入维数, 以此作为支持向量机输入节点数。利用支持向量机对样本训练, 建立预测模型。以装备振动信号预测为实例, 表明将时间序列最小嵌入维数作为支持向量机输入节点数目, 所建立的模型是最优的。支持向量机预测结果和真实值相比误差较小, 可以满足装备技术状态分析和预测的要求。
关键词：技术状态预测,分形,相空间重构,支持向量机回归
参考文献
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[9]Cao L.Practical method for determining the minimum embedding di-mension of a scalar time series.Physcai D, 1997;110:43—44
状态向量 篇5
在实际工程中, 评估滚动轴承是否发生了故障是主要的问题, 而具体发生了什么故障则相对次要, 因为无论滚动轴承的哪个部件发生了故障都需要更换或检修。
实际工程中, 一般采用基于振动信号的监测和诊断方法。评估滚动轴承状态也主要基于振动信号的分析, 具体来说就是从振动信号中提取反映滚动轴承工作状况的特征参数, 再根据参数的变化情况对滚动轴承特征做出评判。常见的参数分为有量纲和无量纲两类, 有量纲的如有效值、峰值等;无量纲的有峭度、歪度等。其中只有有效值有ISO和国家标准等可以参考的具体标准。除此之外, 其他参数都没有标准可以参考。虽然计算这些参数比较容易, 但是存在如下问题:这些参数达到什么数值或什么标准就可以认定滚动轴承异常;能否采用单一参数轴承状态评估问题。如果不能, 如何联合多个参数进行分析。
上述问题较难确定, 是这些参数实际应用中面临的主要困难之一, 本文采用模式识别领域中的支持向量数据描述 (Support Vector Data Description, SVDD) 解决这一问题。
2. 描述振动信号特征的常用参数
滚动轴承的振动信号中蕴含了的状态信息, 这些信息可以通过均方根值、波形指标、峰值指标、峭度、歪度等参数反映出来。下面分别介绍这些参数的定义和计算方法, 并简述其意义。令x (t) 表示连续时间振动信号, 令x (i) , i=1, 2, 3……ns表示经采样得到的离散时间振动信号。
(1) 有效值 (均方根值)
定义为
实际计算公式
有效值也称均方根值, 用来反映信号的能量大小, 适用于具有随机性质的振动测量。并适用于反映各个滚动体在滚道上运动时, 由于制造精度差、工作表面点蚀产生的不规则连续型缺陷引起的振动。轴承磨损程度越高, 造成的振动越大, 有效值也就越高。有效值反应一个波形的整体总能量, 但无法反映短时脉冲振动波形的幅值。
(2) 峰值
其中, max (x (t) ) 表示x (t) 的最大值。可以反映轴承某一局部故障点的冲击力大小。冲击力越大, 峰值越高。在检测由裂纹、剥落等原因造成的冲击性振动方面, 峰值比有效值更有效。
(3) 波形指标
式中:μX———振动信号x (t) 的均值。
实际计算公式
(4) 峰值指标
实际计算公式
有效值虽然能反映出轴承工作表面因制造质量差或磨损引起的表面粗糙状况, 但不能反映轴承元件上的局部剥落、擦伤、刻痕、凹坑等一类离散型缺陷。这种离散型缺陷产生的脉冲波形总能量虽然不大, 但是波形的尖峰程度增加了。这种类型的故障, 用峰值指标描述较为合适。由于是一个相对比率, 该指标不受振动信号绝对幅值、传感器灵敏度、放大倍数、轴承尺寸和转速等的影响。
(5) 峭度
其中, σx为振动信号的标准差。
实际计算公式
峭度是四阶统计量, 由于轴承上的振动信号中混有很大噪声, 故障信号与噪声不易区分。峭度把幅值四次方处理, 高的幅值被特别突出出来, 低的幅值被抑制, 这样就可以在混有噪声的脉冲调制信号中把反映故障特征信息的脉冲提取出来。但由于其对大幅值比较敏感, 稳定性不好。
考虑到上述参数的原理和特点, 为了能够全面地刻画轴承的故障状态, 本文选取有效值、峰值、峭度三个特征进行联合分析。
3. 支持向量数据描述 (SVDD)
在得到一系列的参数后, 待解决的问题就是采用什么样的后续分析方法来分析这些参数, 使之应用于轴承的状态评估。首先, 这一方法要能够处理多参数问题;其次, 这一方法要能够基于已有的多参数样本做出判决, 给出轴承是否异常的结论。针对这样的需求, 本文采用统计模式识别领域的支持向量数据描述 (SVDD) 技术作为进一步的分析处理工具。
将从一个振动信号中提取的上述参数组成一个向量V= (v1, v2, v3) , 由向量V组成的空间称为输入空间, 可以通过映射函数Φ (V) 将其映射入特征空间, 其中V的三个元素分别为有效值、峰值指标、峭度;如果测量到了l组振动信号, 则可以计算得到由向量V的不同取值组成的样本:{V1, V2, V3, …Vl}。可以合理地假定, 滚动轴承的不同运行状态, 对应着向量空间中的不同区域, SVDD正是利用模式识别原理和最优化技术将这些异常区域与正常区域以一定方式区分开来的工具。
SVDD的原理可以简述为:在待检测对象特征空间 (Φ (V) 空间) 的样本中, 按照一定的最优化规则, 找出限数目的样本作为支持向量 (Support Vetors) ;这些支持向量组成的最小闭超球体包围的范围即为正常范围, 最优化得到的判别准则可以使异常样本与闭球内的样本区分开。
基于SVDD的异常检测问题, 可以最终转化为在映射控件中寻找满足一定条件的最优特征向量的问题, 并最终归结为如下最优化问题:
利用核函数技巧, 映射函数内积运算可以用核函数代替, K (x, y) =<Φ (x) , Φ (y) >, 其中核函数通常可以取高斯函数K (x, y) =exp (-x-y 2) /b2, b为尺度参数。最后, SVDD技术得到的异常检测判别式为
其中, R为最小闭球体的半径, 向量事先进行了2范数归一化, 使得 (12) 中的非线性函数大于零的样本可以视为正常轴承的样本, 否则视为异常样本。该二元分类问题可以推广到多分类问题。
4. 滚动轴承状态评估的实验研究
本文采用美国辛辛那提大学IMS实验室公开的滚动轴承全生命周期实验数据验证上述方法的有效性;该实验数据为安装在轴承座上的加速度传感器以20 480Hz采样频率采集到的振动信号, 每组信号采样点数20 480点, 两组信号采集间隔10min;前80h轴承运行良好, 80h后轴承产生磨损, 约115h时轴承磨损加剧, 约160h后轴承完全损坏。
图1为从共计982组振动信号中计算出的各种参数随时间的变化曲线, 从中可以看出有效值、峰值、均值、峭度四个指标的变化最为显著。但同时应该注意到, 轴承完全磨损后各个参数值反而下降。
图2为选取有效值、峰值、峭度三个参数进行联合分析的情况, 进行联合分析比单个参数单一分析更清晰地显示出轴承状态的变化过程。
图3为用前80h的数据作为正常样本, 选取有效值、峰值、峭度三个参数训练SVDD判决器后, 再用少量80h后的数据作为异常样本进行检验的效果。从图3中可以看到, 判决器成功地判别出了异常样本, 即成功地自动识别了轴承的异常状态。图3中的三维图底部的等高线图显示了被检验的样本与正常工况间的差异程度, 轴承损坏越严重样本就偏离等高线中心越远。基于此原则, 可以进行轴承状态的定量判别。
图4与图3的实验过程类似, 不同的是仅选择了峭度、峰值两个参数进行训练和检验。从图4中可以看出, SVDD也能够成功判别轴承异常工作状态, 左下角包围的封闭范围表示轴承处于正常工况, 被检验数据偏离该范围越远轴承的损坏也越严重。
5. 结论
利用多参数联合分析可以更加有效地对滚动轴承运行状态进行评估, 相对于单参数分析其优点是可以综合各个参数的优势;当轴承发生异常而单一参数未明确反映时, 多参数联合分析有可能反映其异常。利用SVDD技术, 既可以综合各个参数进行分析, 又解决了判决标准问题。即使用正常运行样本训练得到SVDD的正常范围之后, 偏离该范围的即为异常, 偏离越远, 故障越严重。多参数联合分析和SVDD技术, 可以对滚动轴承的灵活、准确的状态评估提供有效的支持。
摘要：综合了滚动轴承振动信号的峭度、有效值、峰值三个参数, 并用支持向量数据描述 (SVDD) 技术对振动信号进行联合多参数分析, 对滚动轴承的运行状态进行评估。实验数据表明, 此方法能够有效地判决滚动轴承是否异常, 并能够度量异常程度。
关键词：滚动轴承,状态评估,多参数联合分析,支持向量数据描述 (SVDD)
参考文献
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