向量坐标

2024-10-12

向量坐标（精选9篇）

向量坐标篇1

1.利用向量坐标运算求参数

分析非零向量共线时有两种情况:同向或反向, 因此需要对求出的n值进行讨论且验证.在已知两向量求参数的问题中, 参数一般设置在两个位置, 一是向量坐标中, 二是相关向量用已知两个向量的含参关系式表示, 解题时可根据本题中共线且同向的特点来解决.

解由题设得

2.利用向量坐标运算解平几题

例2已知平行四边形ABCD的三个顶点A, B, C的坐标分别是 (-2, 1) , (-1, 3) , (3, 4) , 求顶点D的坐标.

分析1利用“两个向量相等, 则它们的坐标相等”, 解题过程中应用了方程思想.

3.利用向量坐标运算解三点共线问题

例3已知A (-1, -1) , B (1, 3) , C (2, 5) , 试判断A, B, C三点之间的位置关系.

分析先要探究三个点组合成两个向量, 然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.

解在平面直角坐标系中作出A, B, C三点, 观察图形, 我们猜想A, B, C三点共线.下面给出证明.

且直线AB, AC有公共点A,

故A, B, C三点共线.

4.利用向量求解解析几何问题

分析本题是向量的相等且是向量的数乘关系, 由向量关系转化为坐标关系, 建立关于x, y的方程, 则可以把该问题转化为解析几何问题求解.

解可设P (x0, y0) , Q (x, y) , 则

点D的坐标为D (x0, 0) ,

5.利用向量的坐标运算求解关于向量的信息题

例5已知向量u= (x, y) , 与向量v= (y, 2y-x) 的对应关系用v=f (u) 表示,

(2) 求使f (c) = (p, q) (p, q为常数) 的向量c的坐标.

分析本题需要找出映射v=f (u) 的对应关系, 此处的变量为向量的坐标, 因此可通过坐标运算来解决问题.

向量坐标篇2

教学目标：

1.知识与技能：

理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量坐标的运算。2.过程与方法：

在对平面向量坐标表示及坐标运算的学习过程中使学生的演绎、归纳、猜想、类比的能力得到发展，利用图形解决问题，也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性。3.情感、态度与价值观：

通过本节课的学习，使学生感受到数学与实际生产、生活的密切联系，体会客观世界中事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。教学重点：

平面向量的坐标表示及坐标运算。教学难点：

平面向量坐标表示的意义。教学方法：

结合本节课的目标要求、重难点的确定以及学生实际思维水平，教学设计中采取启发引导、类比归纳、合作探究、实践操作等教学方法。教学手段：

投影仪、多媒体软件教学过程 1.情境创设

教师借助多媒体动画演示人站在高处抛掷硬物的过程作为本节课的问题情境引入课题，引导学生注意观察硬物下落轨迹，提出问题：结合同学们的生活常识及物理学知识，想一想硬物的速度可做怎样的分解？

学生回答：速度可按竖直和水平两个方向进行分解

设计目的：情境与生活联系，激发学生学习兴趣，同时为下面展开的知识做

好铺垫。

2.展开探究

问题一：平面向量的基本定理内容是什么？教师请一学生回答，同时投影出示其内容。问题二：向量能不能象平面坐标系中点一样给出坐标表示呢？我们如何表示更加

合理呢？

组织学生谈论，给出各种想法，教师做点评归纳。投影展示：将一任意向量a置于直角坐标系中，给出向量的起点、终点坐标，并提出问题问题三：既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗？

设计目的：此问题引发学生联想，对平面向量坐标表示方法具有指导性作用。教师讲授：在直角坐标系内，我们分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj ,我们把叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标，(x,y)式叫做向量的坐标表示。

3.深化理解

一.平面向量坐标表示的的理解提出问题：

(1)、如果以原点O作为起点作一向量OA=a（投影动画同步演示），那么点A的位置是否可以唯一确定呢？

(2)、点A的坐标与向量OA的坐标之间有什么关系？(3)、两个向量相等的充要条件利用坐标如何进行表示呢？

(4)、如果我们将一个平面向量在直角坐标系中作任意平移（不该表大小和方向），那么它的坐标会改变吗？

组织学生以小组为单位展开探究交流活动，在讨论后回答上述问题，可师生共同完善答案，归纳如下:

(1)、点A的位置受向量OA决定，唯一确定。

(2)、以原点O为起点的向量OA的坐标和终点A的坐标事完全相同的。(3)、两个平面向量相等的充要条件是两个向量的坐标相同。

(4)、在直角坐标系中平面向量在大小和方向不变的前提下自由移动，它们的坐标就是相同的。

设计目的：让学生在合作探究中去主动学习，不仅锻炼了解决问题的能力，还培养了探究协作的能力。

出示练习：用基底i、j分别表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标（图略）。教师让学生独立完成，之后借助投影让个别学生展示完成情况，教师点评。设计目的：增进了所学新知的内化。

二、平面向量的坐标运算

提出问题：通过以上研究，我们了解了平面向量的坐标表示，向量是可以进行运

算的，如何运用所学的知识进行两个向量的和与差的坐标表示及实数与向量积的坐标表示呢？

投影出示：已知向量a=（s，t），b=(m,n)，求向量a+b，a-b, λa的坐标

学生展开讨论，可能给出多种推导方法，教师要耐心给与点评，并做最后归纳。（1）向量加减法的坐标等于向量坐标的加减法。

（2）实数与向量的积的坐标等于是属于向量坐标的积。

（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点坐标教师提问：设AB是表示向量a的有向线段，点A(s,t)，B(m,n)，那么向量a的坐标如何表示？

学生结合向量坐标运算可得出答案，a=(m-s,n-t)，教师强调

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。设计目的：此环节教师充当引导者，以学生为主体，让学生在讨论思考中享受成功的快乐。

4.例题剖析

例

1、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。

变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标，使这四点成为平行四边形的四个顶点。

教师给学生充足时间独立思考，适当时可提示作图理解，而变式对学生来说

难度增大，要鼓励学生大胆尝试，独立求解，并提示要考虑图形的多种画法。设计目的：通过例题和变式综合考查学生对本节所学知识的理解和掌握程度，也促进学生应用知识解决问题的能力。

5.课堂小结

请学生对本节课内容作归纳，不足之处师生补充完善，最后教师作总结式说明。1.向量的坐标表示是向量的另一种表示形式，也可以称之为向量的代数表示，其背景是平面向量的基本定理。

2.向量的坐标表示为我们进行向量的运算提供了方便。

3.向量的坐标表示使得我们借助数的运算对图形的几何性质展开研究，体现了数形结合思想方法的应用。

前面我们还学习了这留待我们下一节再来研究。

6.布置作业（1）.课后习题

（2）如何运用向量坐标来表示和判定共线向量呢？让学生预习下节内容。

7.板书设计

平面向量的坐标运算

1.平面向量的坐标

例1

变式定义

解：

解：（1）

（2）

（3）

平面向量坐标运算的教学反思篇3

关键词：坐标运算;向量共线;学生主观能动性

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）12-031-02

一、概述

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。向量的坐标表示,实际是向量的代数表示。引入向量的坐标表示可以使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.而平面向量的坐标运算是常考的知识点,运用向量方法解决解析几何和立体几何中的有关知识,有时候显的非常方便.通过平面向量的坐标运算,我们可以培养学生的归纳、猜想、演绎能力,通过代数方法解决几何问题,提高学生用数形结合思想解决问题的能力。

本节的教学重点是:平面向量的坐标运算

本节的教学难点是:对平面向量共线的坐标表示的理解

二、课程内容设计

1、平面向量得坐标运算

本部分内容比较简单,直接运用向量在基底下的表示形式讲解即可.然后进行小结,然后

再让学生做4道练习;

2、平面向量共线的坐标表示

有向量共线的判定定理: ,将两向量用坐标表示,消元,得到共线的坐标表示 ,然后比较两式的优缺点,并告诉学生消元的时候不能直接两式相除的理由,最后再通过练习强化.最后通过边讲边练,让学生充分动手,动脑,动眼达到掌握本节内容的目的。

但是,在课程内容设计上,我把平面向量的坐标运算和平面向量共线的坐标运算放一起讲解了。课后反思,内容过于大了,一方面学生在接受上有一定的困难,另一方面在细节问题上就很难把握的好,一节课45分钟,在这么短的时间内让学生掌握住如此多的知识,难度很大,同时,一味地赶进度,带来的直接后果就是学生学而不精,对深层的问题,没有实质性的认识,只会死记公式,做原题,对于变形题目,学生仍然无从下手。

三、学生水平分析

本班学生,通过前面几次考核,大部分学生的知识基础和接受的能力还是可以的,20%的学生是很聪明的,通过自己看书,能够基本掌握本节内容,30%的学生在课堂上能够跟上我的思路,通过讲解,也能很快掌握,30%的学生勉强能跟上我的思路,但需要时间消化,剩下20%的学生,如果不预习课本,基本上上课很难听懂,即使提前预习了,也不一定能跟的上.事实证明:我对本班学生的分析还是很不到位的,学生在接受新知识方面,大部分学生还是有一定困难的.

1、课程引入

上课之前,我已经让学生提前预习,因此,我个人认为本节内容,大部分学生都能懂,对平面向量的运算法则,学生再比较数的运算,能很好的理解.因此,在课堂引入过程中,我直接引用平面直角坐标系中的基底: ,有 , 得到: ， ,于是

所以 ,同理: , .如此教学,学生能很快掌握住平面向量坐标的运算法则,但在教学的过程中,我一直未引入平面直角坐标系,导致的直接后果是学生不能够运用数形结合思想,甚至不明白为什么有可得到 .对于 , ,我们有，学生虽然能很快记住这种运算,但却不明白是如何得来了,这是教学的一个失误.

2、习题处理

在处理练习上,我高估了学生的水平,对学生的认知能力没有一个清楚的认识,在应该点评的地方却未做点评,导致学生虽然知道错了,却不知道错在何处,下次再做到这种题型,还是很有可能出现问题.例如:

(3).若 ,且,则点的坐标为.

(4).已知平行四边形的三个顶点 ,则点的坐标为.

这两个小题,我在下面巡视学生做的情况时,发现有一部分学生做错,都是很典型的错误，第4小题有学生得到两个答案,为了赶进度,我只是简单地对了答案，并没有把详细的解题过程写出来,导致的直接结果就是学生仍然不明白.反思后觉得这两个小题应该详细的讲解，以免学生以后出现类似的问题,同时要对学生的认知水平有个清晰的认识.

在平面向量共线问题中,设 , ,其中  ,有平面向量共线的判断定理可得:存在实数 ,使得 ,进而得到 ,两式消去 ,得到 ,在这个过程中应该让学生自己去消 ,学生中肯定存在直接两式相除的,这样就可以引导学生,相除的时候应该注意什么,从而得出分类讨论,进一步把分类讨论思想灌输给学生

(1)已知 , ,且 ,则 .

(2)已知且 ,则

(3)若向量与共线且方向相同,则

以上3题,是让学生到黑板上做的,我只让学生写了答案,并没给出过程,这是一个失误.在教学的过程中,学生做题的过程才是重要的,对于第3题,我只是简单的提示了一下,仍然是高估了学生,有一部分学生不明白为什么只有一个答案。

3、发挥学生主观能动性

在解题的过程中,应该充分发挥学生的主观能动性,学生的思维是灵活的,只要给他一丝春风,他就会给你一片灿烂的花园.

例1 已知 ,试判断三点之间的位置关系

变式:已知向量 ,若三点共线,则.

在这个例题讲解中,我只给了两种方法,如果我当时给一点时间让学生自己再思考,学生肯定能想到更多很好的方法,这是我应该反思的地方。在做下面的变式时,我让一个学生到黑板上去做,这个学生在做到因式分解时,迟迟写不出来,由于时间关系,我没让她再做下去。课后反思,既然让学生做了,就应该让她做完,也许她会做,就是算的慢点,如果中途制止她,很有可能会打击她学习的积极性。作为教师,我们应该充分相信学生,充分发挥他们的主观能动性,给他们创造奇迹的机会和平台。

4、对学生能力估计不足

在课堂教学之前,做为教师,我应该对学生有个充分的估量,在这些容易错的地方,学生会出现那些错误,学生会用什么方法解决此题,我应该事先有个充分的估量,不至于课堂教学中,出现我没预料到的情况,造成教学的被动。

总之，在本节课的教学反思中,我学到了很多东西.作为教师,我们只是组织者,推进者和指导者,我们应该把更多的主动权交给学生,让学生充分发挥自己的主观能动性,去创造奇迹,让他们的思维更灵活,情感升华更彻底,知识的获得将更完善。

参考资料

[1] 张惠英.关于《平面向量》教学的几点建议[J].教育实践与研究,2005(11).

[2] 褚人统.平面向量解题策略与方法. [J].数理化解题研究(高中版),2009(01).

解读平面向量的坐标运算篇4

重点1平面向量的坐标表示

在直角坐标系内, 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i軆、j軆作为基底, 任一向量a軆.由平面向量的基本定理可知, 有且只有一对实数x、y, 使得a軆=xi軆+yj軆, 则 (x, y) 叫做向量a軆的 (直角) 坐标, 记作a軆= (x, y) .其中x叫做a軆在x轴上的坐标, y叫做a軆在y轴上的坐标, a軆= (x, y) 叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为 (x, y) .

疑难点分析:

(1) 在直角坐标平面内, 以原点O为起点的向量, 点A的位置被向量唯一确定, 所以的坐标就是点A的坐标, 反之也对.

(2) 向量的坐标表示, 实质上就是向量的代数表示, 引入向量的坐标表示后, 可使向量运算完全代数化, 达到数形的统一, 从而使许多几何问题的证明转化为数量运算, 使证明得以简化.

例如:已知ABCD是正方形, BE//AC, AC=CE, EC的延长线交BA的延长线于F.求证:AF=AE.

分析:运用向量知, 欲证:AF=AE, 即证:.为此, 可以建立平面直角坐标系, 求出E、F的坐标.

证明:以正方形ABCD的边CD所在直线为x轴, C点为原点建立直角坐标系, 设正方形的边长为1, 则A (-1, 1) , B (0, 1) , 设E (x, y) , 则

又由AC=CE及CE及A (-1, 1) , C (0, 0) , E (x, y)

可得:x2+y2=2 (2)

点评:本题是一个由向量的坐标运算解决平面几何问题的典例, 关键在于建立坐标系, 设出各项观点, 将问题转化为坐标运算问题.

(3) 特例

重点2平面向量的坐标运算

(1) 两个向量和与差的坐标运算:若

(2) 实数与向量积的坐标运算:若

(3) 向量的坐标表示:若A (x1, y1) , B (x2, y2) 则向量

疑难点分析:

Ⅰ.有了以上运算法则就可以将向量的运算从几何运算转化到代数运算上来, 那将是很熟悉、很简单的事情.

Ⅱ.在进行坐标运算时, 要注意向量的坐标与点的坐标不是一回事, 向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.只有起点在原点时, 向量的坐标才与终点的坐标相同.

Ⅲ.相同的向量, 坐标是相同的, 也就是说, 向量通过平移, 尽管起点与终点都变了, 但平移的向量的坐标是不变的.

Ⅳ.求一个向量时, 可以先求出这一向量的起点和终点坐标.

重点3向量平行的坐标表示

若.凡遇到与平行有关的问题时, 一般要考虑运用向量的充要条件, 这是用向量化证明平面问题的方法.运用得当, 将事半功倍.

疑难点分析:

本节的难点有两处: (1) 关于向量平移前后的坐标不变问题; (2) 如何把向量问题转化为坐标问题来解决.即需要将题目中的几何问题解析化.上面所举这一例题说明了这一点.

难点剖析:

只要是相等向量, 它们的坐标依然相等.这一点在坐题中往往被忽略, 特别是学习了平移知识后, 很容易把问题忽略, 在此特别提醒学生注意.

本内容的数学思想方法是数形结合的思想方法, 向量的坐标表示实际上是向量的代数表示.引入向量的坐标表示后, 使向量运算完全代数化.向量运算转化为代数运算, 实现了数形的紧密结合.

一一对应原理:任何一个平面向量都有唯一的坐标表示, 但是每一个坐标表示的向量却不唯一.也就是说, 向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系, 但和起点为坐标原点的向量是一一对应的关系.

向量坐标篇5

知识要点精讲

知识点1平面向量的坐标表示

在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

a＝xi＋yj ①

我们把（x，y）叫做向量a的直角坐标，记作：a＝（x，y）②

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示，与a相等的向量的坐标也为（x，y）．

解题方法、技巧培养

出题方向1 求向量的坐标

（1）已知A（1，3），B（－3，2），求a的坐标；

（2）已知A（2，－1），a＝（4，1），求B点坐标；

（3）已知B（－1，2），a＝（5，－2），求A点坐标．

点拨只有起点在坐标原点的向量才能用终点坐标表示，其它向量的坐标都要用其终点坐标减去其起点坐标表示．

出题方向2 向量的坐标运算

例2 已知a＝（1，2），b＝（3，4），求－2a＋3b，4a－2b的坐标．

［答案］ ∵ －2a＝（－2，－4），3b＝（9，12），∴ －2a＋3b＝（－2，－4）＋（9，12）＝（7，8）．

∵ 4a＝（4，8），2b＝（6，8），∴ 4a－2b＝（4，8）－（6，8）＝（－2，0）．出题方向3 由向量相等则它们的坐标相等来求某些点的坐标

［答案］设顶点D的坐标为（x，y），点拨平面向量相等的代数表示沟通了数与形的联系．

例4 已知向量a＝（3，－2），b＝（－2，1），c＝（7，－4），若c＝ma＋nb，求m，n．［解析］先求ma＋nb，再根据向量相等即向量坐标对应相等，列出方程组求m，n．［答案］ ma＋nb＝m（3，－2）＋n（－2，1）＝（3m－2n，n－2m）．

∵ c＝ma＋nb，∴（7，－4）＝（3m－2n，n－2m）．

出题方向4 利用向量共线的坐标表示的充要条件解决有关直线平行、三点共线问题例5 已知a＝（2，k），b＝（2k，3k＋1），若a∥b，求k的值．

［解法二］ ∵ a∥b，∴ 2（3k＋1）－k（2k）＝0，即k2－3k－1＝0．

点拨两种表达式不同，但实质是一样的．

点拨在证明必要性时，不需要像证明充分性一样，将A、B、C三点所在直线与坐标轴垂直的情况单独证明，因为那是显然成立的．

易错易混点警示

（1）混淆向量坐标与点的坐标是向量坐标运算中常见的错误之一；

（3）向量平行的充要条件与后面向量垂直的充要条件混淆．

学法导引

1．理解向量的坐标表示的含义：向量的坐标表示是向量的一种表示形式

向量坐标表示的背景是平面向量基本定理；每一个向量都可用唯一一个有序数对来表示：向量的坐标与向量的起点、终点无关，只与起点终点的相对位置有关．

坐标助你轻松攻克向量问题篇6

向量坐标的引入使向量代数化, 将数与形紧密结合起来, 可使几何问题的解答化为数量运算.恰当的在向量问题中使用坐标法, 就能够化繁为简、化难为易, 轻松攻克向量问题.

总结用坐标法解决向量问题, 如果有明显直角或一些特殊角存在, 即可利用条件建立直角坐标系, 尽可能使图象位于第一象限, 这样可使点坐标更加简洁.如若没有明显建系条件, 可依据题目条件, 极端特殊化使一些直角出现, 同时赋予线段长度, 这样可以使问题大大简化, 降低运算量, 使问题快速、准确地解决.

对向量法与坐标法的一些认识篇7

一、有些问题选用坐标法比向量法简单

例1.证明三角形三条中线共点

证法2 (坐标法) 如图2, 依次为D、E、F三边的中点, 取ΔABC为坐标系的原点, 建立仿射坐标系。

点评:在教学实践中, 我们看到证法2学生更容易掌握和理解, 而证法1学生的解答过程书写上问题多, 主要表现在向量的分解定理不会用或用不好。如何用向量法求解则要在具体解题过程中让学生慢慢体会。

二、有些问题选用向量法比坐标法简单

点评:在以上两种证明方法中, 向量法显然比坐标法简洁易懂。在解析几何中, 还有许多公式 (如距离公式、位置关系的代数条件等等) 的推导和一些命题的证明, 用向量法去处理往往可以使问题化难为易, 化繁为简。

三、有些问题选用向量法与坐标法繁简相当

例3.证明四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点, 且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍。

用坐标法解决问题, 关键在于建立适当的坐标系, 涉及距离、角度等度量问题时, 采用直角系更方便, 而对于涉及相交、共线等仿射性质的问题时, 采取仿射系与直角系其结论是相同的, 有时采用仿射系 (如例1、例3) 将会更方便, 建立坐标系的原则是使图形中尽可能多的顶点在坐标轴上。用向量法解决问题时, 前提是会将几何命题与向量间的关系互译, 关键在于选择适当的基向量, 借助向量的运算, 并用基向量表示其它向量。在具体问题中, 选用向量法还是坐标法应具体问题具体分析, 多角度思考问题有利于培养学生思维的灵活性、深刻性, 提高学生的数学能力。

参考文献

[1]吕林根, 许子道.解析几何[M].北京:高等教育出版社.2006.

[2]朱德祥.高等几何[M].北京:高等教育出版社.1987.

坐标法在向量最值问题中的应用篇8

究其败因,正是向量的抽象性使问题的理解出现了困难,如何突破这一障碍显得异常重要.“坐标法”可以使向量运算完全代数化,使问题的求解变得简单易行,这就是一把“金钥匙”,不管它是数量积的最值问题,还是向量模的最值问题,一切处理起来都会显得那么直观、自然.

本文从两个不同的角度展示了“坐标法”对处理平面向量的最值问题的独特作用,希望能给读者对向量问题的求解提供启示和帮助.

一、不建系,直设坐标

传统意义上的“坐标法”在应用时,往往必先建立起坐标系,这让我们不得不在题意中寻觅建系的合适条件,而对于某些没有任何“几何条件”的问题,很容易陷入困境,甚至让人不知所措.实际上,每一个向量在平面直角坐标系内都可以用一有序实数对唯一表示,这启发我们:在利用向量的坐标运算解决问题时,坐标系如何建立有时并不重要,只需将向量置于平面直角坐标系内即可.

评注:本题的处理过程将“坐标法”发挥得淋漓尽致,让人惊叹不已.问题的成功解决,给我们提供了一种崭新的解题思路,让我们的思维打开了“一扇窗”,吹进了一股股清新的空气.

二、先建系,再设坐标

先根据题设条件建立坐标系是“坐标法”应用时的常规做法,这就需要我们对于某些“几何特征”特别敏感,比如向量的模、角度或向量之间的关系等,因为不同的建系方法会带来不一样的解题效果.

例2:(2008年浙江理科卷第9题)已知是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足,则的最大值是( )

A.1 B.2 C%D

评注:借助了重要不等式a2+b2≥2ab的等价变形,使问题的解决简洁明快,这在向量模的有关最值问题中经常出现,需要引起我们的重视.

评注:利用数量积的定义,将向量∴a的模的问题巧妙地与二次方程的根的判别式结合起来,从而使问题迎刃而解.

评注:文[1]、文[2]的解法十分繁琐,之所以会出现这一情况,最关键的问题还在于建系的选择上:文[1]重在图形对称性的思考,文[2]重在条件”几何意义的理解 ,两者殊途同归,却唯独忽视了条件的重要性.实际上, 选择最佳的方式建系, 垂直关系才是我们最应优先把握的.例4的求解方式给我们的解题提供了很好的经验,值得我们用心体会与思考.

向量坐标篇9

关键词：平面向量,坐标法,平面直角坐标系

平面向量中的最值与范围问题是一个热点, 也是一个难点, 这类问题的题型是根据已知条件求某个量的最值、范围, 如模、夹角、系数数量积等, 解决这一类问题的关键是建立求解目标的函数关系式, 通过函数的值域解决问题, 而平面向量兼顾“数”与“形”的双重身份, 所以解决这类问题的一种基本思想就是数形结合. 而坐标法作为实现平面向量几何问题代数化的一种体现, 所以有必要对坐标法在向量中的应用做进一步的研究.

坐标法是通过建立直角坐标系, 把几何问题转化为代数问题, 使得向量的运算完全代数化的一种方法. 本文主要是结合近几年的各地高考题模拟题来说明坐标法的应用.那么什么样的题目适合用坐标法呢? 如题目中, 已经有些元素被量化了, 如有直角、有长度、有角度等, 那么是不是可以考虑选择坐标法来解决问题.

高考试卷、模拟卷等经常会有一些向量的应用的题目, 特别是求值、求最值问题往往难度都比较大, 但是如果能够根据条件, 适当建立直角坐标系, 则问题即可迎刃而解. 如本文根据近两年常遇到的一些质检题、高考题, 谈谈关于坐标法在解决平面向量中的最值问题的一些应用.

例1 ( 2013福建省质检8) 在矩形ABCD中, AB = 1, λ, μ∈R, 则的最大值为 ( ) .

分析如图, 建立平面直角坐标系, 则

设 P ( x, y) , 则

转化为线性规划问题, 可行与域为四分之一圆

当直线z = x + y与圆. 选 B.

例2 ( 2009安徽理数) 给定两个长度为1的平面向量它们的夹角为120°, 点C在以圆O为圆心的圆弧OA上变动, 若 ( x, y∈R) , 则x + y的最大值是 ________.

分析以O为原点, OA所在直线为x轴, 过O垂直于OA的直线为y轴, 建立平面直角坐标系, 则A ( 1, 0 ) ,

因为点C在以圆O为圆心的圆弧OA上变动, 所以C ( cosθ, sinθ) , 其中0≤θ≤ (2π) /3.

当且仅当θ =π/3时等号成立. 所以x + y的最大值是2.

例3如图, 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起, ∠ACB = 45°, ∠DEB = 60°, 若, 则x = ________, y = _______.