特征向量提取

2024-07-26

特征向量提取（精选8篇）

特征向量提取篇1

0 引言

特征向量提取和特征选择的基本任务是研究如何从众多特征中求出那些对于分类识别最有效的特征,从而实现特征空间维数的压缩,特征提取和选择的优劣很大程度的影响了分类器的设计和性能。因此,特征提取是模式识别的三大核心问题之一[1]。本文针对特征向量提取提出了基于搜索树和解数的分支界定算法,总的搜索方案是沿着搜索树自上而下,从左到右进行,树的每一节点代表一种特征组合,在搜索树中考虑了所有可能的组合。

本算法利用了可分性判据的单调性,采用分支界定策略,合理地组织搜索过程,使其有可能避免计算某些特征组合,同时又保证选择的特征子集是全局最优的,从根本上提高了用于特征向量提取的基于搜索树的分支界定算法的效率[2]。

1 搜索树原理分析

树的每一个节点表示一种特征组合。根节点代表所有的特征组合,子节点代表的特征向量比其父节点代表的特征少一个,同父的各子节点的特征组合中丢弃不同的一个特征后余下的特征,节点上的标志表示被丢弃的特征序号,各叶节点代表各种不同的待取特征数的组合。S(n,d)共有Cnd各叶节点,沿树的纵向看,每去掉一个特征称为树的一级,所以,要想从n个特征中选出d个特征,全树就应该有n-d级,根节点表示为0级,叶节点为n-d级。级也称深度,可用s表示,具有深度s的节点代表n-s个特征。用Xl表示含l个特征的特征集,Xs表示舍弃s个特征后余下的特征,Χs表示可供第s级当前节点的子节点数。由于在第s级某当前节点的每个子节点要舍弃Χs中互不相同的一个特征,从而对于这个节点在确定它的下一级(s+1)可以丢弃一个特征的实际方案时,必须使这一级任一子节点丢弃一个特征后Xs+1(至少)还剩下(n-d)-(s+1)个特征以供后面每级丢弃一个特征,对某子节点而言,它及其左边父节点已丢弃的特征,以后不在要丢弃的特征组之内,得出子节点数qs=rs-(n-d-s-1)。

2 生成解数的原理分析

将搜索树S(n,d)定义成一个四元组T(n,d)=(N,E,R,L),N表示节点集合{η};E是边集,其元素是e(η,ηc)表示父、子节点所代表特征的关系,子节点ηc代表的是从其父节点η代表的特征去掉一个后留下的特征;R是根节点,代表n个特征组成的集合Xn;L是叶节点集,其每个元素代表d个特征的组合,是一个可能解。

为迭代构造搜索树[3],令Ns={ηη∈N,η的浓度不大于s},Es={e(η,ηc)|e∈E,η,ηc∈Ns},Ls Ns是子树叶节点集,叶节点具有s深度,定义T(n,d)的s深度子树T s(n,d)=(Ns,Es,R,Ls),可知,它是T(n,d)去掉深度大于s的节点和相应边后的结构,即T s(n,d)=T(n,ns)。当在规定根节点、叶节点代表的特征数目而生成树之后不再考虑节点特征因素时,也即只考虑树结构,并令T s(n,d)表示T s(n,d)的树结构,可知T(n,d)的子树T s(n,d)和T(d+s,d)的树结构相同,有如下关系:T s(n,d)=T(d+s,d),可据递推方法产生解树。

3 基于解数的分支界定法的可分性判据分析

就可分性判据而言,本算法提供了利用JB、JC、JD三种判决准则进行判决。设两类都是正态分布,p(x| w1)～N(μ1,∑1),p(x|w2)～N(μ2,∑2),变换后的判据JC是W的函数,记为JC(W).

其中M=(μ1-μ2)(μ1-μ2)′,JB=JC(s=1/2)。

对于多元正态分布的两类问题,设p(x| w1)～N(μ1,∑1),p(x| w2)～N(μ2,∑2),经变换散度判据JD可写成W的函数[2,4,5]:

其中,M=(μ1-μ2)(μ1-μ2)′,当时∑1=∑2=∑时,JB,JC,JD三种判据分述如下:

4 仿真分析

(1)产生均值变化显著,方差不变的正态随机样本

运行程序,提取特征,结果为:

(2)产生均值变化不明显,方差变化显著的正态随机样本

运行程序,提取特征,结果为:

5 结论

本文针对两类问题的不同显著特征的情况,利用基于搜索树的分支界定法进行了特征提取,在确定搜索树是采用了递推算法,由子树不断的添加一个特征并由子数的叶节点“长”出新的叶节点的方法产生搜索树,同时利用判据J值的单调性,提高了基于搜索树的分支界定算法的运行效率。从仿真结果看出,在均值变化显著,方差基本没变化的服从正态随机样本情况下,利用该算法提取的有效特征分别为第二个、第三个和第五个;在对服从正态分布的样本,其均值变化不明显,方差变化显著的情况下,利用基于搜索树的分支界定算法提取的特征分别为第三个、第五个和第七个,与实际分析的结果相同。验证了基于搜索树的分支界定算法提取特征的正确性和算法的高效性。

摘要：着重分析了基于搜索树和解数的分支界定算法在特征向量提取中的应用,阐述了搜索树的形成原理、解数的生成过程及可分性判据。通过matlab仿真,验证了该算法在特征提取应用中的有效性和合理性。

关键词：分支界定法,搜索树和解数,特征向量提取,可分性判据

参考文献

[1]Yu B,Yuan B.A More E ffic ient B ranch and Bound A l-gorithm for Feature Selection[J].Patern Recogn ition,1993,26:883-890.

[2]孙即祥.现代模式识别[M].北京:国防科技大学出版社,2002,190-240.

[3]王思臣,于潞.分支界定法及其在特征选择中的应用研究[J].现代电子技术,2008,273(10):142-144.

[4]李国正.特征选择若干新方法的研究[D].上海:上海交通大学,2004.

[5]虞华.基于雷达回波的特征选择与分类识别方法的研究[D].长沙:国防科技大学,2003.

例谈高考中向量考点的命题特征篇2

1. 以平面几何知识为依托命题

命题思路：命题人利用向量形的特征，以平面图形为载体，以平面几何知识为背景进行命题．

例1 （2010全国卷2（理））△ABC中，点D在AB上，CD平方∠ACB．若CB=a，CA=b，|a|=1，|b|=2，则CD=（）

A. 13a+23b

B. 23a+13b

C. 35a+45b

D． 45a+35b

方法解析：因为CD平分∠ACB，由角平分线定理得ADDB=CACB=2，所以AD=23AB=23（CB-CA），所以CD=CA+AD=23CB+13CA=23a+13b，故选B．

例２（2007天津）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则AD·BC=_________．

方法解析：因为DC=2BD，所以AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13（AC-AB）=23AB+13AC，

所以AD·BC=23AB+13AC·AC-AB=-23AB2+13AB·AC+13AC2=-83-13+13=-83．

例３（2007江西）如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N,若AB=mAM，AC=nAN，则m+n的值为_________．

方法解析：OM=AM-AO=1mAB-12（AB+AC）=1m-12AB-12AC，同法求得ON=-12AB+1n-12AC，因为M，O，N三点共线，所以存在非零实数λ，使得OM=λON，即1m-12=-12λ，

1n-12λ=-12，

所以1m-121n-12=14，化简得m+n=2．

规律小结：解这一类向量问题，经常要求解题者能运用平面几何的知识，在图形中确定比较方便的一对基底，将相关的向量进行线性表示，再利用向量的共线或垂直或向量的各种运算获得答案．

2. 以三角（函数）知识为依托命题

命题思路：命题人根据向量夹角的概念以及夹角余弦公式，用平面图形或坐标平面做载体，以三角（函数）知识为转化途径进行命题．

例4 （2008浙江(文)16）已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·（a-b）=0，则|b|的取值范围是_________．

方法解析：设a与b的夹角为α，由b·（a-b）=0，得|b|·|a|cosα-|b|2=0，因为|a|=1，所以|b|=0，或|b|=cosα，α∈［0，π］，所以|b|∈［0，1］．

例5 （2009安徽（理））给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为12°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若OC=xOA+yOB，其中x,y∈R，则x+y的最大值是_________．

方法解析：设 ∠AOC=α，

OC·OA=xOA2+yOB·OA，

OC·OB=xOA·OB+yOB2，

即cosα=x-12y，

cos（120°-α）=-12x+y，

∴ x+y=2cosα+cos2π3-α=cosα+3sinα=2sinα+π6，α∈0，2π3．

例6 （2010天津文数）如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC=3BD，|AD|=1，则AC·AD=（）

A. 23

B. 32

C. 33

D． 3

方法解析：AC·AD=|AC|·|AD|cos∠DAC=ACcos∠DAC=ACsin∠BAC=ACsin∠BAC=BCsinB=BC·ADBD=3．故选D．

规律小结：解这一类最值问题或范围问题，经常要求解题者能利用向量的夹角与向量的数量积关系，将问题转化为三角（函数）问题，再利用解三角形知识，或三角函数知识，最终获得答案．

3. 以解析几何知识为依托命题

命题思路：命题人利用向量坐标的特征，以坐标平面中的图形与曲线为载体，以解析几何知识为依托进行命题．

例7 （2011安徽（理）21）设λ＞0，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线y=x2上运动，点Q满足BQ=λQA，经过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足OM=λMP，求点P的轨迹方程．

方法解析：由BQ=λOA知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P（x,y），Q(x,y1).M（x,x2），则x2-y1=λ（y-x2），则y1=（1+λ）x2-λy ①

再设B（x2，y2），由BQ=λOA，得（x-x2，y1-y2）=λ（1-x，1-y1），

解得x2=（1+λ）x-λ，y2=（1+λ）y1-λ=（1+λ）2x2-λ（1+λ）y-λ，②

又点B在抛物线上y=x2上，所以（1+λ）2x2-λ(1+λ)λ-λ=［（1+λ）x-λ］2，化简得λ(1+λ)(2x+y)=λ(1+λ），因为λ＞0，所以2x-y-1=0，故所求点P的轨迹方程为2x-y-1=0．

规律小结：解此类问题，要求解题者能将向量的线性表示转化为坐标形式，从而得到相关点坐标之间关系，再根据解析几何有关知识获得答案．

4. 以函数、不等式知识为依托命题

命题思路：命题人以向量模的公式或数量积运算为媒介，以函数或不等式知识为落脚点进行命题．

例8 （2010全国卷1文）已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么PA·PB的最小值为（）

A. -4+2

B. -3+2

C． -4+22

D. -3+22

方法解析：

法一：如图所示：设PA=PB=x(x＞0),∠APO=α,则∠APB=2α，PO=1+x2，sinα=11+x2，PA·PB=x2cos2α=x2（1-2sin2α）=x2（x2-1）x2+1，令x2+1=t，t≥1，PA·PB=y，则y=t+2t-3≥22-3，当且仅当t=2时取等号．

法二：以O为圆心OP所在直线为x轴，与OP垂直的直线为y轴建立直角坐标系，则圆的方程为x2+y2=1，设A(x1，y1)，B（x1-y1），P（x0，0）

PA·PB=（x1-x0，y1）·（x1-x0，-y1）=x21-2x1x0+x20-y21，由AO⊥PA，得（x1，y1）·（x1-x0，y1）=0，即x21-x1x0+y21=0，所以x1x0=1．

PA·PB=x21-2x1x0+x20-y21=x21-2+x20-（1-x21）=2x21+x20-3≥22-3.

规律小结：对于向量中最值问题以及讨论参数的取值范围等问题，除了用前面所说的转化为三角(函数)解决外，还可以通过合理选定自变量,建立目标函数，然后利用基本不等式或求导数的方法解决．

通过以上对向量考题的分析得出启示：(1) 在向量的教与学过程中，要重视向量自身以及向量与其它知识之间的内在联系，研究掌握向量数与形兼备、数与形互相转化的特征与方法；（2）聚焦向量与其它知识的交汇点，在教与学的过程中，形成知识网络，做到点面的结合，在知识交融与转化过程中提升對向量问题的理解；(3) 教师要引导学生自主学习，合作探究，在解决问题的实践中去感悟、体会，总结规律和方法，提高探究能力、反思能力以及综合运用知识的能力，优化思维品质．

特征向量提取篇3

我国自行研制生产的许多新型装备伺服系统采用伺服驱动器作为放大部件,执行电机为无刷直流电机。伺服驱动器的作用是控制执行电机,因此,其能否正常工作直接影响到装备的性能指标。然而伺服驱动器很容易发生故障,根据有关统计数据,在伺服系统中,伺服驱动器发生故障概率最大,达到故障全部概率的31%[1]。因此,研究伺服驱动器的测试技术,对其故障特征进行分析,可提高装备的快速保障能力和维修水平,对提高反应速度、满足装备使用人员和维修人员的需求具有一定的现实意义。

在伺服驱动器的常见故障中,有一类是“功率主电路开关管开路故障”。当发生开路故障的某个开关管不影响伺服电机启动时,伺服驱动器仍然能够驱动伺服电机运行,这类隐蔽故障导致隐患存在。因该故障不仅会影响伺服驱动器的性能,并且可能导致故障范围的进一步扩大,因此对此类故障进行识别十分重要。当伺服驱动器功率变换主电路中的功率开关管发生开路故障时,伺服驱动器输出的三相电流波形将发生变化[2,3]。并且不同的功率开关管发生故障,将导致输出的三相电流波形发生不同的变化。因此,根据功率变换主电路输出的电流信号对其进行故障诊断,已经成为常用方法,即电机电流分析法[4～6]。过去较多地使用傅立叶变换来对电流信号进行分析和处理,力求实现功率主电路的故障诊断。而对于功率主电路故障检测的有效性在很大程度上依赖于对故障突变信号的分析、处理和故障特征的提取方法。傅立叶变换在对较平稳信号的分析和处理方面具有很大优势,而对故障突变信号的处理则不够灵活和有效,有时很难提取出故障突变信号的特征,不利于实现对故障性质、原因和严重程度的诊断。小波变换克服傅里叶变换的不足,能够有效地对故障信息中的微弱突变信息进行识别,由于小波变换自身的特点,利用其独特的多分辨率分析,在故障检测中可以从有关信号中有效地提取出故障信息。

本文针对伺服驱动器功率主电路的开关管开路故障具有隐蔽性强、不易识别的特点,提出一种通过小波多分辨率分析从伺服驱动器的输出电流信号中提取开关管开路故障特征向量的方法。

1 基于小波多分辨率分析的频带能量分析法

通过信号的正交小波分解来实现信号的多分辨分析,其基本算法是Mallat提出的基于时间和尺度的二进分割快速算法,即著名的“Mallat塔形算法”,Mallat算法实现无冗余的正交分解。通过信号的正交小波分解,信号被分解到一系列频带上,且各频带互不相交。在确定的小波母函数和采样频率下,每个频带范围由尺度决定[7]。正交小波分解的结果既不冗余,也不损失原信号的任何信息。当伺服驱动器功率变换主电路中的不同功率开关管发生开路故障时,其输出故障电流信号将包含不同的谐波成分,在不同的频带上谐波能量所占的比例将发生变化,因此,伺服驱动器输出的故障电流信号经小波分解后在各频带上的投影是不同的,即故障电流信号在各频带投影序列的能量是故障类型的一种表现形式[8]。所以,可以通过对伺服驱动器的输出电流信号进行正交小波分解,然后计算分解后各尺度空间的信号能量,最后将这些能量值按尺度大小排列成的向量作为故障特征向量,这样的分析方法称为频带能量分析法[9～11]。

采用频带能量分析法从伺服驱动器输出电流信号中提取故障特征向量的具体步骤为:

(1)将相电流信号进行N层小波分解,得到第1层到第N层共N个小波系数序列{dj,k,j=1,2,……,N}。

(2)计算各层小波系数序列的能量。用Ej表示第j层小波系数序列{dj,k,j=1,2,……,N}的能量,有

式中,dj,k为第j层小波系数序列中的第k个分量,n为第j层小波系数序列中分量的个数。

(3)特征向量的构成。按尺度顺序,以各层小波系数序列的能量为元素,组成一个与伺服驱动器输出电流信号对应的序列{Ej,j=1,2,……,N},则可由此构成对应的故障特征向量u=(E1,E2,……,EN)。

(4)归一化处理。由于伺服驱动器功率主电路开关管出现故障会改变其输出电流信号在各频带内的能量大小与比例,当该能量较大时,故障特征向量u中的每一个分量就是一个比较大的数值,这会对后续的数据运算和分析造成一些不便。因此,通常还要对故障特征向量进行归一化处理,即通过计算各频带能量在总的能量中的比例来构造一个新的故障特征向量:

利用故障特征向量即可对伺服驱动器功率主电路的不同工作状态进行确定,从而实现其故障模式的识别。

2 仿真验证

2.1 伺服驱动器仿真模型建立

伺服驱动器的功能是控制电动机的转速,因此它是一个自动调速系统。以本文所研究的某型迫榴炮的伺服驱动器为例,它采用数字信号处理器(DSP)作为主控芯片,完成电流调节器与转速调节器的双闭环控制,并实现执行电机的换相控制,其中转速调节器和电流调节器都使用PI控制算法。DSP还通过软件的方式实现PWM调速的功能。功率变换主电路采用三相全控桥式电路,其导通方式采用三相六状态180°导通方式,即每一瞬间有三只功率开关管同时导通,每隔1/6电角度周期(60°电角度)换相一次,每个功率开关管导通180°。

根据以上对某型伺服驱动器工作原理的分析,在Matlab/Simulink中建立其仿真模型(见图1),图中的子系统33Decoder为换相控制功能模块。转速调节器ASR采用的比例系数为10,积分系数为6,电流调节器ACR采用的比例系数为10,积分系数为6。逻辑模块Logical Operator1和Logical Operator2是在下一步模拟伺服驱动器中功率开关管发生故障时用的。

2.2 故障特征提取方法的仿真验证

在图1模型中,2个逻辑模块Logical Operator1和Logical Operator2都被设置为与门(AND),然后就可以通过设置2个信号源fault signal1和fault signal2来模拟功率开关管V1和V4的工作状态。

设置信号源fault signal1和fault signal2都一直为1,则功率变换主电路正常工作,仿真得到此种工作状态下伺服驱动器空载时输出三相电流的波形(见图2)。

设置信号源fault signal1一直为0,而fault signal2一直为1,则可模拟功率变换主电路中开关管V1发生开路故障而其余5个开关管正常工作的状态,仿真得到此工作状态下伺服驱动器空载时输出三相电流的波形(见图3)。

设置信号源fault signal1一直为1,而fault signal2一直为0,则可以模拟功率变换主电路中开关管V4发生开路故障而其余5个开关管正常工作的状态,仿真得到此种工作状态下伺服驱动器输出三相电流的波形(见图4)。

利用前面所述频带能量分析法对信号进行分析时,需要选取适当的小波基函数。在小波分析中,小波基函数选择具有很大的灵活性,一方面为解决不同的问题提供灵活性;一方面也增加应用小波分析处理问题的多样性和主观性,导致解决问题的难度增大。针对不同的具体问题可选择不同的小波基函数,目前尚没有一个公认的法则来选择小波基函数及最佳小波基,在解决实际问题过程中可采用试验比较的办法来选择[12]。通过多次尝试和比较,采用db3小波对电流信号进行5层分解可以提取出反映功率变换主电路工作状态的故障特征向量,且运算量适当,易于实现。由于开关管V1和V4在功率主电路A相的桥臂上,它们发生故障对A相输出的电流波形影响最大,因此,利用频带能量分析法对伺服驱动器在上面3种工作状态下输出的A相电流信号进行分析,得到归一化处理前后的故障特征向量(见表1,2)。

由表2可知,在功率变换主电路3种不同工作状态下,得到3个不同的故障特征向量,且它们的部分分量之间存在着显著的差别,因此,可以利用这些故障特征向量之间的差别,对伺服驱动器功率主电路不同工作状态进行确定,从而实现其故障诊断。功率主电路在其它工作状态下故障特征向量的提取过程与上面的过程类似,在此不再赘述。由上可知,分别利用从A相、B相、C相输出电流信号中提取的故障特征向量可以对相应相桥臂2个功率开关管的工作状态进行确定。

通过上面仿真验证,说明小波多分辨率分析提取伺服驱动器功率主电路中,开关管开路故障特征向量的有效性。在具体的实现中,通过拔掉在实际伺服驱动器驱动板电路中用于传递主电路功率开关管控制信号的光耦,来模拟功率开关管的开路故障状态。在不同状态下,使伺服驱动器运行,多次采集伺服驱动器输出的电流样本数据,通过频带能量分析法从这些电流信号中提取出对应的故障特征向量。再从这些故障特征向量中选取一个典型的向量,并确定一个适当的阈值,将它们存放在程序中。在测试过程中,就采集伺服驱动器当前输出电流的数据,并从中提取故障特征向量,然后将提取到的故障特征向量与程序中存放的功率主电路不同工作状态所对应的典型特征向量进行比较,从而完成其故障诊断[13]。

3 结语

关于特征值与特征向量的教学体会篇4

线性代数作为数学的一个重要分支, 是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。一般来说, 各种实际问题在大多数情况下可以线性化, 随着计算机技术的发展及其应用的普及, 线性化了的问题又可以计算出来, 线性代数正是解决这些问题的有力工具。

在矩阵计算中, 我们遇到的主要有以下三个基本问题。

(1) 求解线性方程组, 即给定n阶非奇异方阵A和n维向量B, 求一个n维向量x使得Ax=b。

(2) 计算一个矩阵的特征值和特征向量, 即给定一个方阵A, 求它的全部特征值或部分特征值, 或者相应的特征向量。

(3) 求超定方程的最小二乘解, 即给定m×n阶矩阵 (m≥n) 和m维向量b, 求n维向量x使得‖Ax-b‖2=min{‖Ay-b‖2:y∈Rn}。

在大量的科学研究中, 如流体力学、固体物理、量子物理、化学工程、航空航天工业、水力发电、化学工程、电机工程、信号处理和控制、网络排队、软件可靠性等, 经常都归结为一个矩阵计算问题。上述问题数值求解的理论研究, 算法开发和相应的软件设计是当今计算数学研究领域中的重要课题, 国际上对此研究极为重视。

如考虑如下微分方程的数值解,

设Ω是xy平面中的具有正方形边界坠Ω的一个有界区域, 考虑Laplace方程的第一边值 (Dirichlet) 问题, 由有限差分法, 离散后化为求解如下线性方程组:

其中A非奇异。

在工程技术中, 经常会遇到矩阵特征值的问题, 例如各种振动问题都可以归结为对矩阵特征值的计算。如弹性系统的振动模型, 按照力学的有关理论可以导出系统的运动方程, 在系统中, 要求系统中每个物体位移的问题就转化称为求系数矩阵A的特征值λ和特征向量x的问题。

二、教授矩阵特征值与特征向量的困难

在高等教育出版社出版的同济大学数学系编写的工程数学—线性代数 (第五版) 教材[1]中, 第五章讲相似矩阵及二次型, 从该章第二节到第四节讲授特征值, 特征向量和矩阵对角化理论。从特征值与特征向量概念以及求法, 关于对应于不同特征值的特征向量线性无关的定理, 讲到相似矩阵具有相同的特征值、与对角矩阵相似的充要条件, 再到对称矩阵对应不同特征值的特征向量相互正交的性质, 从而获得对称矩阵必存在正交矩阵使其相似于对角矩阵的结论。这短短三节将特征值、特征向量、对角化的问题讲解得十分清楚、简洁。但学生认为这部分内容要完全理解是非常困难的, 究其原因有二:一是为什么要引入特征值与特征向量他们不理解;二是因为不理解而不能很好地接受这个概念以及不明白后面两节的用意, 虽使用各种类型的习题对其进行巩固, 但仍感到不能清楚地理解概念的本意。

三、矩阵特征值与特征向量的讲授方法

引言中的那些典型的例子, 涉及学科的交叉问题, 对于本科低年级的学生来说, 作为引例是有一定难度的, 下面本着数学来源于实际并还原于实际的原则, 结合生态模型的简单应用探讨特征值与特征向量理论的讲授方法。

下面例子的过程分析对理解教材中的特征值与特征向量概念是十分有益的。

考察栖息在同一地区的兔子和狐狸的生态模型, 对两种动物的数量的相互依存关系可以用以下模型描述。

其中xn, yn分别表示第n年的时候, 兔子和狐狸的数量;x0, y0分别表示开始观察的时候, 兔子和狐狸的数量, 令

首先我们可以写出上述模型的矩阵形式如下:

我们可以看到, 向量x乘以一个矩阵A之后有非常简单的形式, 等同于乘以一个数。

这就启发我们思考, 对于任意一个给定的矩阵, 是否我们总可以找到一个数λ和一个非零的向量x, 使得:

由此可以预测n年后两种动物的数量没有发生改变, 即已经到达了生态平衡。

以上运算中, 表达式Aα0=α0反应了矩阵A与某个向量的乘积等于一个常数乘以这个向量。让我们再看一个数值算例, 设矩阵A和向量x分别为:

这样我们就得到了矩阵特征值和特征向量的定义。如果纯量λ和非零向量x恰好满足这个方程, 那么λ称为A的一个特征值, 而x称为A的属于λ的特征向量。显然这两个概念不可避免地要成对出现, 并且特征向量不能为零向量。

四、结语

暂且不说特征值和特征向量的其他作用, 仅从代数角度看, 它们也是非常有意义的, 因为根据定义, 特征向量是这样一些向量, 它们乘以一个矩阵之后有非常简单的形式, 等同于乘以一个纯量。这样在计算方阵的n次幂时可以大大地简化计算。

摘要：从矩阵特征值和特征向量的理论与实际应用两方面, 结合自己的教学体会与认识, 阐释了如何进行线性代数课程的课堂教学, 能收到良好教学效果。

关键词：特征值,特征向量,教学方法,教学效果

参考文献

[1]北京大学数学系.高等代数 (第三版) .北京:高等教育出版社, 2003.

特征值与特征向量研究性教学设计篇5

关键词：特征值,特征向量,研究性教学设计

特征值与特征向量是重要的线性代数概念, 在工程领域和经济领域具有广泛的应用。例如工程技术中的振动问题和稳定性问题, 往往归结为求一个方阵的特征值与特征向量, 特征值与特征向量的有关理论也常常用于讨论线性微分方程的求解问题[1]。这些都说明方阵的特征值与特征向量具有实际意义和广泛的应用价值, 而且概念很抽象, 其性质具有探索性, 适合运用研究性教学, 有利于培养学生的自主探索能力与创新能力。本文在已有的理论研究基础上, 结合我校大学公共数学研究性教学实践, 主要就研究性教学过程设计展开研究, 并在学生的合作参与下, 对方阵的特征值与特征向量研究性教学案例进行了实践研究。

一、问题情境的创设

通过矩阵及与矩阵相关知识的学习, 认识到矩阵的运算是非常重要的, 但是矩阵的运算往往比较复杂麻烦, 如何简化矩阵的运算及相关问题是一个值得研究的问题。

引例:计算

通过计算让学生发现问题、提出问题, 并自主探索。

猜想1:对任意的正整数n有:

思变:对以上矩阵中元素稍作改变, 再让学生计算, 一般来说, 上述结论就不成立了。

问题1:对于满足什么条件的矩阵与向量能使上述结论成立?

猜想2:设A为n阶方阵, x为n维非零列向量, λ为实数, 如果Ax=λx, 那么就有Anx=λnx.

问题2:对于n阶方阵A, 满足条件Ax=λx的λ和x怎么求?

问题3:对于n阶方阵A, 满足条件Ax=λx的λ和x具有什么性质?

二、问题探索

通过以上问题分析, 学生根据已有知识感性认识到结论的正确性, 关键的工作是要对以上猜想进行严格的证明。

探索1:运用数学归纳法易证猜想1与猜想2的正确性, 问题1得到解决, 并给出方阵的特征值与特征向量的概念。

探索2:通过化归变形解决问题2。

Ax=λx有非零解圯 (A-λE) x=0有非零解圯|A-λE|=0, 解得所有λi, i=1, 2, …, n圯 (A-λiE) x=0, 求得λi对应的基础解系。

归纳求方阵的特征值与特征向量的一般方法: (1) 求解特征方程|A-λE|=0的所有根, 特征方程是一元次方程, 在复数域上有n个根 (重根重复算) λ1, λ2, L, λn, 就是所求矩阵的特征值; (2) 对每一个λi求出对应的齐次方程 (A-λiE) x=0基础解系, 相应基础解系的线性组合就为对应λi对应的全部特征向量。

探索3:设A=diag (a11, a22, L, am) , 则有:

(1) A的特征值为λ1=a11, λ2=a22, L, λn=ann;

(3) 如果|A|≠0, A-1的特征值为a11-1, a22-1, …, ann-1;

(4) An的特征值为an11, an22, L, annn;

(5) λi对应的特征向量xi=ki (0, L, 0, 1, L, 0) T, 1在第I位, ki≠0的常数。

以上结论易证, 并作一般性猜测, 设A= (aij) n×n, 其特征值为λ1, λ2, …, λn, 探索3中 (1) 显然一般不成立, (2) (3) (4) 不难证明有相同的结论, 仅有 (2) 的证明麻烦一点, 可以先用2阶的特例, 利用一元二次方程根与系数的关系证得。由此可归纳出特征值的性质。探索3中的结论 (5) 的一般性猜测无类似结论, 由探索2知道, 一般求特征值和特征向量过程很麻烦, 尤其当n较大时, 求解的工作还是困难的, 这也激发了作进一步探索的兴趣。

定义矩阵的行列互逆变换[2]: (1) 互换i、j两行, 同时互换i、j两列; (2) 第行乘以不为零的数k, 同时第i列乘以不为零的数 (3) 第j行的k倍加到第i行 (ri+krj) , 同时第i列的倍加到第j列 (cj-kci) .

令a12+k (a22-a11) -k2a21=0, 那么易验证a11+ka21和a22-ka21就是特征方程λ2- (a11+a21) λ+a11a21-a12a21=0的特征根, 当然以上的工作比直接求特征方程的根感觉还要麻烦, 但是, 它具有潜在的意义并继续实施行列互逆变换, 假设a11+ka21≠a22-ka21, 使其成为对角矩阵,

如果a11+ka21=a22-ka21, 那么不一定能通过行列互逆变换将其对角化。

探索5:n阶方阵A= (aij) n×n通过行列互逆变换对角化解决方法探讨 (说明:本文仅探讨对角化方法, 化到不能化为止, 回避标准型的提出) 。

事实上, 2阶方阵的对角化方法可推广到高阶方阵, 主要解决以下基本模块的对角化, 其中b=aij+k (ajj-aii) -k2aji, 令b=aij+k (ajj-aii) -k2aji求出k, 再代入。

在利用初等矩阵变换方法求逆矩阵的启发下, 尝试以下的行列互逆变换:

观察A、E2的变化, 不难发现A化为对角矩阵的同时求出了特征值, 而E2变换后的列向量恰好是本列中上方特征值所对应的特征向量。

显然, 通过以上的分块矩阵的行列互逆变换, 不仅求出了特征值, 还求出了特征值所对应的特征向量, 由此可得:

猜想3:方阵An、En构成列分块矩阵, 对其实施行列互逆变换, 当An化为对角阵时, 对角线上的元素就是An对应的特征值, 而En的每一列向量恰好是变换成An所在列的特征值对应的特征向量。

事实上, 猜想3并不严密, 当学习矩阵可对角化的条件后, 学生可以完善本猜想, 并完成证明, 本文再通过一个例子说明行列互逆变换方法对求矩阵的特征值与特征向量的有效性与简捷性, 并不要求完成严格的理论证明。

本题中所求矩阵无法通过行列互逆变换完全对角化, 但是特征值与特征向量依然求出, 对角线上元素依然是特征值, 且两个相等的特征值2, 仅有第二列的2对应其特征向量特征值4对应特征向量 (1, -1, 1) , 事实上, 与用一般方法求的结果是一致的, 此3阶矩阵仅有两个不同的特征值, 两个相等的特征值2对应的特征向量为k (-1, 1, 1) , 而前一例子两个相等的特征值λ1=λ2=-2对应的特征向量为x1=k1 (1, 0, -1) T、x2=k2 (1, 0, -1) T有所不同, 关于这一点是由矩阵本身确定的, 与求解方法无关, 随着进一步学习问题就清楚了。

三、问题小节

1. 由引例探讨引出了特征值与特征向量的概念, 归纳

特征值与特征向量的性质, 认识了解特征值与特征向量能简化矩阵运算的有关问题。

2. 通过对问题的探究找到了求特征值与特征向量的

一般方法, 但由于过程麻烦, 继续探究后, 发现了行列互逆变换求特征值与特征向量的简捷方法。

3. 矩阵行列互逆变换对角化的计算方法与技巧。

四、特征值与特征向量的应用与素质拓展

1. 了解特征值与特征向量在矩阵运算和工程技术领

域的应用情况, 学生通过查阅有关资料完成特征值与特征向量应用的总结报告。

2. 通过查阅资料加强对行列互逆变换求特征值与特征向量方法的理论认识, 完善猜想3, 并进行理论证明。

3. 指导学生查阅相关资料, 尝试其他求特征值与特征向量的方法。

五、结束语

特征值与特征向量是线性代数的重要概念, 相关内容丰富, 应用广泛, 研究方法灵活多变;概念本身具有实际背景意义, 问题的探究解决有利于培养学生的研究能力与创造能力, 相关结论的应用有利于培养学生的发散思维与创新精神。总之, 特征值与特征向量科学有效地采用研究性教学, 有利于培养学生数学研究能力与创新能力。

参考文献

[1]牛莉.线性代数 (第二版) [M].北京:中国水利水电出版社, 2009.

特征向量提取篇6

力学对数学有很大的依赖性，没有学好数学想要成为力学家是很难想象的.甚至可以说没有学好数学就无法学好工科的其他课程.所以，作者要求自己大学一年级的学生一定要学好数学.像线性代数、微积分、空间解析几何等知识在力学中无处不有.下面以特征值和特征向量知识在力学中的运用为例做一介绍.

1 特征值和特征向量知识在求主应力和主方向中的运用

某一点的应力状态由6个应力分量决定，可以写成应力矩阵的形式[1]

如果能将式 (1) 中的非对角线元素变为0，这时剪应力为0，根据主应力的定理：某一个面上只有正应力而无剪应力时，这个正应力为主应力.式 (1) 为实对称矩阵，总是可以对角化，也就是说通过初等变换可以把应力矩阵变为如下对角线

式 (2) 中的非对角线元素为剪应力，这时剪应力为0.因此，式 (2) 中的对角线元素分别为第一、第二和第三主应力.求主应力就变为求下列特征值方程的特征值

3个特征值对应的特征向量是3个主平面的法线方向，而根据不同的特征值对应的特征向量正交可知3个主应力的方向是相互正交的.

2 特征值和特征向量知识在求结构动力学问题中的运用

无阻尼多自由度系统的动力学微分方程总是可以写成[2]

其中，M为系统质量矩阵，K为系统刚度矩阵，x为位移列向量.

求解式 (4) 的广义特征值方程为

系统的固有频率ωi2=λi，每一个特征值对应一个特征向量，对特征向量进行归一化就得到每一固有频率对应的振型如果系统刚度矩阵线性相关，则系统存在刚体运动，存在固有频率为零的情况.

3 特征值和特征向量知识在求结构临界屈曲力中的运用

结构屈曲的特征方程为

其中，K为系统刚度矩阵，Kσ为系统几何刚度矩阵，x为位移列向量.最小特征值λmin (载荷因子) ，即为屈曲临界载荷的表征.不同的特征值对应不同的特征向量xi，这个特征向量也可叫屈曲模式.

4 结论

在教学实践中，作者给学生上《弹性力学》课时，发现很多同学在学了材料力学后，很难记住材料力学中求二维问题的主应力公式，但是如果知道了求主应力就是求应力矩阵的特征值问题时，他们就能很快求出主应力和主应力的方向即使记忆力好的学生，他们也许在一两年内还记得材料力学中计算主应力的公式, 但是，若干年后，再问他们，还能记得这些公式的学生应该所剩无几了.在学习和教学的过程中，对知识点进行总结，要学会从全局出发，对知识进行串联、串讲.

参考文献

[1]王敏中, 王炜, 武际可.弹性力学教程.北京:北京大学出版社, 2002

特征向量提取篇7

随着Internet和多媒体技术迅速发展, 网络图像迅猛增加, 快速、准确找到用户感兴趣图像问题引起广大学者的关注。基于内容的图像检索 (CBIR) 具有检索速度快、精度高等优点, 成为信息领域的一个研究热点[1]。

CBIR系统包括特征提取、相似性度量、检索结果反馈等步骤[2]。特征提取是图像自动检索的基础, 其结果优劣直接影响后继的图像检索结果[3]。纹理不依赖于颜色和亮度变化, 可以定量描述图像内容的空间信息, 已经有许多文献提出各种基于纹理的图像检索算法, 其中局部二值模式LBP (Local Binary Pattern) 是一种有效的纹理特征提取算法, 在图像检索中应用最为广泛[4,5,6]。Brushlet算法是一种多尺度几何分析工具, 可以提取纹理特征频域信息, 在纹理图像分析应用广泛, 并取得不错的效果[7]。但是对于两幅具有相似子带统计特性或LBP直方图特征的图像, 采用单一LBP特征或Brushlet特征对图像纹理进行描述是不完全准确的, 导致图像检索结果可能是错误的。相关反馈技术主要用于准确实时的跟踪用户的查询需求, 来提高图像检索精度。支持向量机 (SVM) 作为当前一种最有效的分类技术, 十分适合于图像检索, 成为当前主要的图像检索反馈器[8]。

为了提高图像检索准确性, 提出一种LBP和Brushlets特征融合和支持向量机反馈的图像检索方法。首先分别提出图像的LBP特征和Brushlets特征, 然后对多特征进行融合, 进行优势互补, 然后采用欧式距离对查询图像进行检索, 最后采用支持向量机进行反馈, 并通过粒子群算法对支持向量机参数进行优化, 进一步提高图像检索效果。

1 纹理图像特征提取及相似度度量

1.1 提取LBP特征

1) 基本LBP算子

基本LBP算子为一个大小为3×3的矩形块, 其由1个中心像素和8个邻域像素组成, 每一个像素都对应于1个灰度值。LBP算子首先将8个邻域像素的灰度值矩形块中心像素灰度值进行比较, 如果大于中心值则标记“1”, 否则标记“0”, 然后顺时针方向8个二进制值组成一个二值矩阵, 将其作矩形块的特征值, 这样该特征值可以描述邻域内像素点的灰度相对中心点的变化情况[9]。LBP算法的作用过程如图1所示。

2) 扩展LBP算子

设gc、gp分别表示中心像素和邻域像素的灰度值, 那么扩展LBP算子的计算公式为:

式中, P是邻域像素数;R为环形邻域的半径;且有:

为使算子具有旋转不变性, 对LBP特征值进行处理:

式中, ROR为循环移位操作符;ri代表旋转不变。

首先采用扩展LBP算子提取图像的纹理特征, , 然后统计特征值的直方图和归一化处理。一幅花卉图像的局部纹理直方图如图2所示。

1.2 Brushlet域特征提取

Brushlet变换可以对Fourier域进行有效分解[10]。Fourier平面经过Brushlets一层分解分成4个象限, 分解后的系数由4个子带组成, 对应的方向为, k=0, 1, 2, 3。Brushlets对每个象限进一步分解, 分解后的系数由16个子带构成, 环绕着中心的4个子带为低频纹理分量, 其余为高频纹理。Brushlets的分解方向如图3所示。

此外, Brushlet为复值函数, 其系数由实部和虚部组成, 它们均基于中心反对称, 图像Barbara的Brushlets分解结果如图4所示。

令表示Brushlet分解后的系数, 而实部和虚部的第n个子带分别记为, n=1, 2, …, 4l, 则第n个子带模值的均值μn和标准差σn分别为:

式中, i=1, 2, …, M;j=1, 2, …, N, M和N是每个子带的行数和列数。

图像最终的特征为:

1.3 相似度度量

当前有多种相似度度量算法应用于图像检索系统之中, 本文选择马氏距离作为相似度衡量标准, 定义如下:

其中, C是特征向量的协方差矩阵;f (x) 和f (y) 表示图像X和Y所特征向。

考虑图像的Brushlet特征和LBP特征, 两幅图像X和Y的距离定义为:

式中, DB (X, Y) 和DLBP (X, Y) 分别表示Brushlet特征和LBP特征距离, k1 (0≤k1≤1) 为加权系数。

2 支持向量机的学习反馈

支持向量机是一种现代统计学习方法, 无需具备问题先验知识, 具有较好的推广能力, 应用于图像检索可改善图像检索结果。

2.1 支持向量分类机

对两类线性分类问题, 通过非线性映射函数φ (x) , 将原始数据映射到高维特征空间进行分类, 最优分类超平面为:

其中, w表示权值矢量, b表示阈值。

基于结构风险最小化原则, 最优分类平面应该满足如下约束条件:

引入非负松弛变量ξi以提高支持向量机泛化能力, 分类问题变成为:

约束条件为:

式中, C为误差惩罚因子。

通过引入Lagrange乘子算法, 将上述式 (11) 分类优化问题转化为对偶问题进行求解, 即:

约束条件为:

其中, αi>0对应的点称为支持向量。

对于非线性分类问题, 通过引入核函数将式 (14) 进行转化, 即:

式中, k (xi, xj) 为核函数。

支持向量机的最优分离超平面分类决策函数为:

2.2 支持向量分类机的图像检索反馈过程

图像自动检索反馈实质是一个二分类问题, 基于支持向量机的图像检索反馈思想为:首先将对图像进行初步检索, 将检索结果前N幅图像作为训练集, 用户标记出正样本, 训练集输入到支持向量机进行训练, 得到图像分类器, 然后用该分类器对计算每幅图像相对距离, 最后按距离大小进行排序, 输出最终结果。具体过程如下:

1) 利用某种图像自动检索算法进行初步检索。

2) 对检索结果的前N幅图像进行标记, 得到正样本 (I+) 和负样本 (I-) 。

3) 构建支持向量机的训练集 (xi, yi) , 则有

4) 利用支持向量机对图像训练集进行学习, 并建立图像分类器 (没有引入符号函数目的是为了输出与查询图像的距离) :

5) 对于图像库中每一幅图像X, 计算score (Yi) =-f (xi) 。

6) 对全部图像根据score的值按从小到大进行排序, 并返回结果。

3 仿真实验

3.1 实验环境及数据来源

为了验证本文图像检索算法的有效性, 在CPU为AMD Athlon Dual Core 4000+2.11GHz, RAM 2G, 操作系统是Windows XP SP2的环境中, 采用Matlab 7.1进行仿真实验。实验图像来自Corel图像库, 图像库包含有10类图像, 每一类中具有100幅的相似图像。采用平均查全率来评价算法性能:

式中, k为图像库中总的图像数目, Ni为每类图像总数目, ni为检索得到的正确图像数目。

3.2 结果与分析

1) LBP特征的测试

不考虑Brushlet特征条件下, 选择3×3邻域, 对LPB特征测试, 选择小波变换、直方图均衡、离散余弦变换特征提取算法进行对比实验, 相似度度量均采用马氏距离进行检索, 结果如图5所示。

从图5可知, LBP算法的平均查全率明显高于对比算法, 说明LBP算法具有一定的优势。

2) Brushlet特征的测试

采用小波变换和Brushle对图像提取特征, 然后根据马氏距离计算公式得到N幅图像的平均查全率, 如图6所示。

由图6可知, 随着相似图像数量增加, 两种算法平均查全率均相应提高, 但是, 在相同条件, Brushlet检测结果要优于小波变换, 这主要是由于Brushlets算法描述多个方向的信息。

3.3 多特征融合算法的测试

本文多特征融合算法与单一LBP特征和Brushlets特征算法的检索结果见表1所示。从表1可知, 本文多特征融合算法的平均查全率比单独LBP特征和Brushlets特征算法分别提高了8.93%和18.66, 这主要是由于多特征融合算法充分利用LBP和Brushlet各自优点, 进行优势互补, 取得了比较理想的检索结果。

4 支持向量机反馈的检索结果

对于公共汽车图像, 采用马氏距离进行图像相似性判断, 得到的初次检索结果如图7所示, 从图7可知, 该方法虽然取得较好的检索结果, 但是有3幅不相关图像, 因此通过用户反馈标记训练集, 并通过支持向量机学习得到图像检索分类器, 并输出反馈后的图像检索结果, 如图8所示。从图8可知, 经过支持向量机反馈检索, 可以得到更高的查准率。

5 结语

针对单一图像特征的缺陷, 将采用LBP算法和Brushlet算法分别提取图像特征, 并引入支持向量机对图像初步检索结果进行反馈检索。仿真结果表明, 本文算法提高了图像检索效果, 能够更准确地查找到用户所需的图像。

参考文献

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[8]姚雪彦.基于多尺度几何分析和LBP的图像检索技术研究[D].河南:河南大学, 2011.

[9]韩合民, 郭宝龙, 赵连凤.基于兴趣点颜色及纹理特征的图像检索算法[J].计算机工程, 2008, 34 (10) :184-186.