向量方法（精选12篇）
向量方法 篇1
平面向量作为一种工具性知识引入到高中教材, 给许多平面几何问题的求解带来了巨大的方便, 特别是在处理度量、角度、平行、垂直等问题时, 平面向量有其独到之处.但同时也因向量的表达形式和运算形式的灵活性, 许多学生对于运用向量解题不太习惯, 感到无从下手, 往往是既花费大量时间又效果甚微.
学生此题的得分非常低, 全班仅有几名同学拿到了满分.大部分同学不是无从下手, 就是花了许多时间却只解出一部分, 不能做出最终的结果.其实解这道题目的方法有很多, 整理一下发现它们涵盖了平面向量的很多解法, 不失为平面向量的典型题目.现整理如下:
分析:上述计算中涉及到两个变量a、t, 许多学生的计算能力不过关, 或者没有一定的自信, 很难算出最终的结果.为了减少计算, 针对这类填空题可从特例出发, 以下两种特殊算法值得一试.
特例2设梯形ABCD为直角梯形, ∠C=∠D=90°, 此时以C为坐标原点, CB为x轴, CD为y轴, 建立直角坐标系.这种情况下即使高CD不固定, 计算也简化不少.当然也可再固定CD=1, 就更容易获得结果了.
解法3:几何性质法 (几何法) 结合平行四边形的性质:如图4, 平行四边形ABCD和直线l, 过四个顶点分别作四条平行线, 交l于E、F、G、H四点, 则有结论AE-DE=BF-CG.
以上三种解法各有优缺, 适合不同类型的向量题, 就上题而言解法2、解法3明显优于解法1, 选择解法2、解法3的同学不仅节约了很多计算的时间, 正确率相对要高很多, 尤其是解法3更是既迅速又准确.所以平面向量的解法选择尤为重要, 探索平面向量的解法也十分必要.一般来说可如下归纳:
一、适合坐标法的情况
1.题目中已有坐标
例2 (2009年江苏高考第15题) 设向量a= (4cosα, sinα) , b= (sinβ, 4cosβ) , c= (cosβ, -4sinβ)
(1) 若a与b-2c垂直, 求tan (α+β) 的值.
(2) 求|b+c|的最大值
(3) 若tanαtanβ=16, 求证:a∥b.
分析:简单运用两向量平行、垂直的充要条件和向量模的公式即可.
2.题目中所给图形或条件中有直角
分析:以AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系, 运用已知条件解出A、B、E、F四点的坐标, 再运用数量积公式就可.
3.题目中所给图形具有对称性等特征适合建系
分析:可以以BC为x轴, BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系, 非常容易求出A、B、D三点的坐标, 再代入计算即可.
二、适合几何法的情况
1.基向量法
当题中所给条件涉及两个不共线的非零向量时, 或知道它们的模, 或知道它们的夹角等, 我们就要考虑基向量的方法了.
2.几何性质法
从向量加减法的几何意义出发, 三角形和平行四边形在平面向量中有特殊含义, 巧妙运用好这两个特征图形在解题中往往有意想不到的效果.
例8已知a, b是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量c满足 (a-c) · (b-c) =0, 则|c|的最大值是__________.
分析:可把a, b, c, 移至共起点的三个向量, 起点为O, 终点分别为A, B, C.由 (a-c) · (b-c) =0, 点C的轨迹是以AB为直径的圆, 运用圆的有关知识解答该题就可以了.
另外针对平面向量的填空题, 特例的方法也不容忽视.很多问题从特殊化方法入手进行探求, 往往可以迅速准确地获得答案.
分析:可把直线特例为平行于底边或者直接特例为中线都可以顺利解出该题.
以上是优化平面向量解题常用的几种方法, 在解决平面向量问题时, 减少运算量、加快解题速度的方法还有不少, 只要我们在平时的练习中多实践、多总结, 肯定能做到以简驭繁、事半功倍.我们在数学解题教学中, 要注意发展学生个性心理, 形成数学精神, 培养学生灵活运用知识, 对复杂问题或较难的问题有种激流勇进, 不怕出错的数学精神.这就要求我们教师在平时的教学过程中做到以下几点:
(1) 教会学生审题, 培养学生思考的习惯
审题是发现解法的前提, 其重要性可用一句话来概括:“问题想得透彻, 意味着问题解决了一半”.教师要教会学生怎样去审题, 培养学生良好的思考习惯, 就应从学生审题这一环节开始抓起, 引导学生参与多角度观察, 找联系, 由表及里抓本质.
(2) 一题多解或一法多用, 开拓学生思维广度
思路开阔, 能全面地分析问题, 多方面地思考问题, 多角度地研究问题, 关于对数学问题的特征、差异和隐含关系等进行具体分析, 作出广泛的联想.因而在解题教学中多采用一题多解或一法多用, 可以有的放矢地引导学生不拘泥于教材中的已有结论和方法, 用新颖的数学方法去研究解决新问题.
(3) 和学生一起改造题目, 多设置些变式题目, 调整学生思维深度
在解题教学中要注重学生数学思维的智力品质的培养, 对于数学问题的思考, 能够抓住问题的本质和规律深入细致地加以分析和解决, 而不被一些表面现象所迷惑.善于引申问题, 把思维向纵深发展, 使思维达到突破常规的灵活变通的特征.
向量方法 篇2
支持向量机方法预测离子通道蛋白
讨论一种基于蛋白质结构域的方法预测离子通道蛋白.通过将蛋白质的.结构域转化成为固定长度的向量,使用支持向量机方法进行离子通道蛋白的预测,并将预测结果与线性判别分析以及利用InterPro与GO映射规则进行预测的结果进行了比较.通过留一法交叉验证,取得最好的预测效果,敏感度为95.9%,专一性为98.3%.
作 者：涂白 毕然 作者单位：华中科技大学生命科学与技术学院,武汉,430074刊 名：计算机与数字工程 ISTIC英文刊名：COMPUTER AND DIGITAL ENGINEERING年，卷(期)：35(10)分类号：Q816关键词：离子通道 结构域 支持向量机 基因本体
平面向量中的数学思想方法 篇3
一、化归思想
侧1 若α，β∈0，π），求满足cosα+cosβ-cos（α+β）=3/2的α，β值。
解：原等式化为（1-cosβ）cosα+sinβsinα=构造向量α=（1-cosβ，sinβ），b=（cosα，sina）。
由，可得
由，可得，即，所以，即得。同理可得。故。
评析：向量的引入大大拓宽了本题的解题思路，利用向量这个工具解题，可以简捷、规范地处理三角函数中的许多问题。
二、函数与方程思想
例2 已知向量a，b不共线，，若A，B，D三点共线，求实数k的值。
解：因为而a与b不共线，所以。
又A，B，D三点共线，所以共线。由两个向量共线，可知存在实数A，使得，即2a+kb=λa-4λb。
因为向量a与b不共线，所以由平面向量基本定理可得
评析：利用两个向量共线的条件与平面向量基本定理解题，其实质是解二元一次方程组问题。
三、分类讨论思想
侧≥ 试确定由向量所作的△ABC，它的一个角为直角时的k值。
解：①当A为直角时，由，得2×。②当B为直角时，，由，得2×，即。③当C为直角时，由，即
综上可知，或或
评析：解此题时有些同学容易考虑不周，以偏概全，只解一种情况（即A为直角时），应引起大家注意。
四、数形结合思想
例4 求，的值。
解：如图1所示，将边长为1的正七边形ABCDEFG放入直角坐标系中，则AB=（1，O），
由，可得
基于支持向量机分类的回归方法 篇4
统计学习理论起源于20世纪60年代晚期[1],在其后的20多年里,涉足这一领域的人不多。这期间,前苏联人Vapnik和Chervonenkis做了大量开创性、奠基性的工作,这些工作主要是纯理论性的,故当时未引起人们的重视。到了90年代中期,人们提出了理论严谨的结构风险最小化原理,并在此基础上创造性地产生了一种新的机器学习算法--SVM[2,3],基于统计学习理论的SVM方法是现代智能技术的一个重要分支。支持向量机算法是一个凸二次优化问题,保证找到的解是全局最优解;能较好在解决小样本,非线性和高维数,局部极小点等实际问题。SVM采取折中考虑经验风险和置信范围以取得实际风险最小化的思想,实现了结构风险最小化(SRM),从而避免了过学习现象的出现。在保证分类精度的前提下,提高了分类器的泛化能力。基于结构风险最小化原理的思想同样被成功地应用于函数回归,出现了理论依据更好的回归方法。
1. 支持向量机分类介绍
支持向量机是从求解线性可分情况下的最优超平面发展而来的,这个平面可通过采取平分最近点法和最大间隔法得到。引入对偶问题可证得这两种方法得到的是同一个超平面,或者得到的超平面具有平行的法方向[4],所以本文采用的是由最大间隔分类法导出的支持向量回归机的仿真实验来说明问题。
1.1 平分最近点法
设训练集T={(x1,y1),…,(xl,yl)},其中xi∈Rn,yi∈{1,-1}。对于线性可分(二分类)情形,通过找到T中两个凸壳的最近点c和d而采取平分最近点法求出唯一的分划超平面能将训练集中的两类点完全正确的分开。而正类点集的凸壳中的任一点和负类点集凸壳的任一点可分别表示为。其中α1,…αl满足(1)所以要找到c和d,只需在约束(1)下,求解以u=(α1,α2,…,al)T为变量的函数的极小点,这样便可得到两个凸壳的最近点。c和d连线中点且与这条直线垂直的直线就是所求的分类超平面,可用点法式求得。对应于中非零的向量称为相应分类问题的支持向量。
对于线线性不可分问题,通过引入参数D<1,使0≤αi≤D,使两类相交的凸壳缩小不再相交。这时就可以对缩小后的两个凸壳进行“平分最近点”了[5]。
1.2 最大间隔法
这种方法的基本思想可用图1的情况来说明。设样本为n维向量,某区域的k个样本及其所属类别表示为:(xi,yi),i=1,2,…,xi∈Rn,yi∈{+1,-1}。图中三角形和圆分别代
表两类样本,H为分类面。H1、H2平行于分类面,且过各类中离分类面最近的样本,其上的训练样本点称作支持向量(SV),它们之间的距离叫做分类间隔(margin)。所谓最大间隔法就是要求分类线不但能将两类正确分开,而且使分类间隔最大。设样本满足yi[(w·xi)+b]≥1,i=1,2,…k,则样本间分类间隙为2/‖w‖,使分类间隙最大等价于使‖w‖最小,因此满足此条件且使最小的分类面就是最优分类面,即最优超平面。这样,构造最优超平面的问题就转化为以下带约束条件的极小值求解问题:
通过求解得最优解。因此所求的决策函数为:
对于线性不可分问题,只要引入惩罚参数C和松弛变量ξi就可得到不可分情形下的线性分类器,这正是软边缘算法[6]。
对于非线性分类器的设计问题,可引入核函数通过输入空间到特征空间的非线性映射将其转化为高维问题加以解决,在这个高维空间中寻找输入变量和输出变量之间的一种非线性关系,其基本结构如图2所示。而决定非线性分类器的优化问题正是线性可分情形时的适当变形,即将输入空间的欧氏内积变为核函数。
对于分类问题,一般都是采取求解最大间隔法的对偶问题来获得最优超平面,因为由该法得到的决策函数仅依赖于输入(xigxj),(xigx),i,j=1,…k和K(xi,xj),K(xi,x),i,j=1,…k。
2. 基于分类的回归方法
回归问题的数学描述:设给定训练集T={(x1,y1),…,(xl,yl)}∈(X×Y)l,其中xi∈X=Rn,yi∈Y=R,i=1,…l寻找Rn上的一个实函数f(x),以便用y=f(x)来推断任一模式x对应的y值。假定训练集是按X×Y上的某个概率分布P(x,y)选取的独立同分布的样本点,又设给定损失函数c(x,y,f),试寻求一个函数f(x),使得期望风险R[f]=∫c(x,y,f)dP(x,y)达到极小。
不难看出,回归问题和分类问题的结构相同,不同之处仅在于它们的输出yi和Y的取值范围不同,在分类问题中,输出只允许取两个值(或有限个值),而在回归问题中,输出可取任意实数。对于回归问题,我们通常选取ε-不敏感损失函数[7]c(x,y,f(x))=|y-f(x)|ε,其中|y-f(x)|ε=max{0,|y-f(x)|-ε},ε是事先给取定的一个正数。损失函数可用图3表示。为研究分类与回归的关系,将训练集T中每个训练点的y值分别增加ε和减少ε,得到正类点和负类点,可表示为:
其中:这时就可对变换后训练集进行分类了,从而得到回归函数。可以看出当ε充分大时,分类超平面总是存在的,而最小的能使超平面存在的ε值εmin就是最优值。
2.1 基于平分最近点法分类的回归方法
当ε>εmin时,两类凸壳线性可分,得到下列最优化问题:
ui≥0,vi≥0,i=1,…l(7)。在求得其最优解后,便可得到两凸壳的最近点:。并取,得分划超平面为,整理后可得线性回归函数:y=(wgx)+b,其中。
当ε>εmin的线性不可分时,可选取合适的参数D,使两类凸壳适当缩小不再相交,转变为线性可分问题。这时(7)式变为D≥ui≥0,D≥vi≥0,i=1,…l。
2.2 基于最大间隔法分类的回归方法
对于由式(4)所示的线性分类问题的训练集,可采用最大间隔法得到分类函数,从而转化为回归函数,于是得到如下优化问题:
其中求得到该问题的最优解后,便可得到分划超平面。整理后得到线性回归函数:y=(wgx)+b,其中。对于线性不可分问题,可对每个训练样本引入松弛变量ξl≥0和惩罚参数C。从而(8)式加上约束条件(9)式左面加上ξl。可以证明通过选择合适的ε,(8)和(9)等价于:
(10)(11)把上式转化为对偶问题得到支持向量回归机算法:
(13)αi,,i=1,2,…,l.(14)。解以上式子,可得最优解:,如果或就称训练集中的输入xi为支持向量。计算;选择的一个正分量,并据此计算,这时可得到回归函数y=(wgx)+b。对于线性不可分问题,只需把引入惩罚参数C使。对于非线性不可分问题,选择适当的正数ε和C,使,并选择适当的核K(x,x'),使(12)式转化为如下形式:(15)
这时可以得到回归函数:
3. 方法应用举例
设训练集T={(x1,y1),…(x50,y50)}是根据单变量函数:
Ys=(1-x+2x2)gexp(-0.5x2)在受到随机噪声干扰下产生的。确切地说,x1,…,x50是在[-4,4]上均匀分布的50个点,而Y1=Ys1+0.2|Ysj|maxg(2ζt-1)/2,i=1,…,50,j=1,…,50其中ζl服从均匀分布的随机数,数值范围(0,1)。下面根据按上述方式构造的训练集计算回归函数。我们用(15)式所示的支持向量回归机求解回归问题,选取Gauss径向基核函数。参数选ε=0.2,C=100,仿真结果如图(4)。关于参数的选取,理论上可以得出越小,支持向量个数越多,但计算复杂。惩罚因子C越大,要求学习机越精确的学习该样本,训练时间也越长,所以C不宜过大。
多项式拟合选8阶,如图5所示。由于受到澡声的污染,多项式拟合得到的回归函数图5存在的误差明显比图4 大,又由于多项式拟合选取的是左除,拟合的阶次受到限制,所以本文提出的回归方法优于多项式拟合得到的回归函数。
4. 结束语
SVM在近几十年里越来越受到人们的重视,在本文采用的将回归问题转化为SVM分类问题求解而得到的支持向量回归机具有很好的可靠性,但如何结合结实际问题构造核函数是极其重要也是最困难的问题,构造更紧的误差的界及给出其技术理论上的证明也是急待解决的问题。
参考文献
[1]Vapnik,V.An overview of statistical learning theory(J).IEEE Transactions on Neural Networks,1999,10(5):988-999.
[2]Vapnik,V.The nature of statistical learning theory[M].Berlin:Springer-Verlag,1995.
[3]Cortes,C.Vapnik,V.Support vector networks. Machine learning(J),1995,20(1):1-25.
[4]Bennett K,Bredensteiner E.Duality and Geometry in SVM Classifiers.In:Proc.of Seventeenth Intl.Conf.on Machine Learning, Morgan Kaufmann,a Francisco:2000:57～64.
[5]陶卿，孙德敏，范劲松，等．基于闭凸包收缩的最大边缘线性分类器(J)．软件学报，2002，13(3)：404-409
[6]Cortes,C.Prediction of generalization ability in learning machines[D].Department of Computer Science,University of Rochester,1995.
改进的向量多边形变形方法研究 篇5
提出改进的一种基于变形点检测的图形顶点对应方法和一种基于插值初始多边形、目标多边形对应边向量及其旋转变换矩阵的多边形变形方法,并给出了具体的`算法流程.
作 者：章银娥 车建仁 作者单位：章银娥(江西省赣南师范学院数计系,江西,341000)
车建仁(广东省广州市房地产测绘研究所,广州,510030)
向量方法 篇6
关键词：水平集方法；支持向量机；特征提取
中图分类号：TP391.41文献标识码：A文章编号：1007-9599 (2012) 01-0000-02
Image Feature Extraction Study Based on Support Vector Machine Classification Level Set Methods
Wang Nan,Li Zheng
(School of Computer and Information Engineering Henan University,Kaifeng475001,China)
Abstract:This article proposes a level set method based on support vector machine classifier for image feature extraction method,in level set method for extracting image features in the application,by improving the energy level sets functions,the introduction of regional information,can extract the image inside and outside the boundaries of the target,and convergence speed.Feature extraction from image by nonlinear support vector machine classifier after treatment image classification.
Keywords:Level set method;Support vector machine;Feature extraction
一、引言
随着数字化技术的发展，特别是计算机和互联网的普及，各行各业时时刻刻都产生大量的图像数据。基于图像的各种计算机视觉系统、图像检索系统等逐渐受到广泛的关注，在这些系统中，图像的特征提取是这些系统的核心任务。
水平集方法(Level Set method)由Osher和Sethian于1988年提出的，用来解决界面的运动问题，因其具有拓扑结构自动识别和易于实现等优点而迅速应用于各个领域。水平集方法自提出以来，已在界面演化、流体力学、燃烧、材料力学、图像处理、计算机视觉等领域得到了广泛的应用。尤其是在图像分割与目标轮廓提取中，与主动轮廓模型相结合来做数值计算，较好地克服了传统参数主动轮廓模型（Snake）的缺点，自适应曲线拓扑结构变化，并具有稳定唯一的数值解。水平集方法的这些良好特性已经引起了人们越来越多的关注，已有很多成功的应用。
本文利用水平集方法对图像进行轮廓特征提取，利用支持向量机分类方法进行图像的分类处理。如下图所示：
二、图像特征提取框架
图像的内容特征包括图像的外观特征（颜色、纹理、形状）和语义。其中，图像的颜色、纹理、形状等外观特征被认为是较低层次上的特征，具有相对直观的特点；而语义是较高层次上的特征，具有相对主观抽象的特点。
本文主要采用基于形状特征来提取图像特征。形状特征一般有两类表示方法，一类是轮廓特征，另一类是区域特征。图像的轮廓特征主要针对物体的外边界，而图像的区域特征则关系到整个形状区域。本文所采用的水平集方法就是通过对边界特征的描述来获取图像的形状参数。
三、水平集方法基本思想及其对图像有效特征的提取
（一）水平集方法的基本思想
在水平集方法中，平面闭合曲线 ，它被隐含地表达成三维的连续的函数曲面 中的一个具有相同函数值的同值曲线，在这里当 ，称为零水平集， 称为水平集函数。由于在高维中不仅易于拓扑变换，而且无需重新参数化，计算更加精确，所以水平集方法可以非常容易的向更高位推广。
（二）水平集方法对图像的特征提取
Chan和Vese结合水平集和Mumford-Shah模型提出的C-V水平集模型，提取目标边界时不依赖图像的梯度，而是利用特定目标灰度的一致性，对图像梯度不突出或边缘不连续的图像能实现很好的分割。
Mumford和Shah提出了结合图像边界和区域的分割模型，即Mumford-Shah模型，该模型完全基于图像数据的驱动来完成分割，不需要待分割图像区域的任何先验知识。
其能量泛函构造如下：
（3-1）
为原始图像，其定义域为 ，C为图像的边缘曲线，通过同时优化 的近似u及其图像的边界C使以上参量泛函最小化。式中第一项为曲线长度项，控制图像边缘粗糙程度；第二项为图像数据项，控制处理后的图像相似性；第三项为正则项，控制分割图像的光滑性。此模型将边缘检测、区域分割和图像恢复综合在一起，是当前比较好的图像分割模型。
结合水平集方法，设图像M(x，y)的定义域为 ，闭合曲线C将其分为两个区域：目标 和背景 ，分别在C的内外部，且这两个区域的平均灰度为 和 ，构造能量函数：
（3-2）
式子中， 为图像任意演化曲线， 为C的长度， 为C包含的区域面积， 为曲线内部， 为曲线外部。只有当演化曲线 位于图像中同质区域的边界处时，上式中 的值取最小值，就能得到全局最优分割。在水平集方法的特征提取中，构造合适的水平集函数是至为重要的.能量函数（3-2）中的内部能量采用符号距离函数(Signed Distance Function，SDF)，为了确保平集函数始终为符号距离函数，避免演化过程中对水平集函数的不断重新初始化.在外部能量中，引入区域信息.
利用水平集方法提取有效表征的特征算法过程为：（1）给定初始的轮廓曲线；（2）计算闭合曲线能量函数的梯度；（3）沿梯度下降的方向更新曲线；（4）如能量函数最小，则停止迭代过程，否则转入（3）.
四、支持向量机分类器
（一）支持向量机的分类机理
支持向量机算法具有良好计算的有效性、健壮性和稳定性等优点，已广泛的应用到模式识别和分类领域，构造的所有分类器均收敛。支持向量机分类器具有良好的非线性分类及泛化能力，可用于图像的分类。其核函数是处理非线性问题的基础，选择及设置将直接影响系统的运行速度和泛化能力。本文将采用非线性支持向量机分类算法。
（二）核函数
选择不同的核函数 ，可构造不同的支持向量机，常用的核函数如下：
（1）生成多项式的核： 为阶数。
（2）生成径向基函数的核： ；
（3）生成Sigmoid的核： ，S是Sigmoid函数。
首先采用水平集方法对图像进行分割，提取目标与背景的形状特征参数；选取最有效的特征数据组合，将其输入支持向量机进行分类学习训练，实现对目标特征的有效提取。实验结果表明，使用该方法获得的图像特征提取效率较高，在同等条件下，速度优于人工神经网络。
五、结论
由于图像特征提取方法具有较高的提取效率，所以得到了广泛的应用。目前图像特征提取技术得到了越来越多学者的关注，但是仍存在不足和有待解决的问题。本文通过改进水平集能量函数，在无初始化水平集模型中引入区域信息，融合区域信息的水平集分割方法，使得同时可以提取图像目标的内外边界，并且收敛速度快。提取有效的图像特征之后用支持向量机非线性分类器对目标图像进行分类。在支持向量机分类过程中选择不同的核函数就构造出不同的支持向量机，因此我们需要针对不同的处理对象选择合适的支持向量机分类器。
参考文献：
[1]S.Osher and J.A.Sethian.Fronts propagating with curvature dependent speed：Algorithms based on Hami-lton-Jacobi formulations.Journal of Comp.Phy,1988,79(1):12-49
[2]王文惠,周良柱.基于内容的图像检索技术的研究和发展[J].计算机工程与应用,2001,5:54-56
[3]T.F.Cha,L.A.Vese,AetiveContourswithoutEdges.IEEETrans.onI.geprocessing,2002,10,2
[4]张清勇.支持向量机在肝脏B超图像识别中的应用研究[D].湖北:武汉理工大学,2009
一种新型的标准向量差分压缩方法 篇7
关键词：向量差分,差分压缩,分段距离标记
1 概述
随着系统芯片集成度的日益提高，芯片系统(SoC)越来越大的测试数据量不仅给传统的外部自动测试设备(ATE)的存储器和带宽提出更高的要求，同时也需要了大量的测试时间。为解决这种矛盾，通常有使用内建自测试(BIST)和减少芯片系统测试数据量的方法。对于这两种解决方法，内建自测试硬件开销低，但需要耗费大量的测试时间;减少芯片系统测试数据量通常使用数据压缩技术，对于众多的压缩方法均要求和测试向量长度一样长的循环移位寄存器及和ATE通讯握手协议复杂要求的不足。
本文所设计的标准向量差分压缩方法是，先使用标准向量差分法对测试向量进行差分，得到一条差分序列数据流，对该流使用分段距离标记法实现压缩，因此压缩率较高，同时使用的寄存器很少，并且与ATE通讯握手协议比较简单。
2 标准向量差分法
常见的向量差分方法是对相邻两条向量之间进行差分，标准向量差分法则是使用一条标准向量始终与其他向量进行差分，其实现方法是：选择测试集中某条测试向量为标准向量，其他向量均与之逐位地进行比较，若相同位置上为相异位，则此位置标记为1;否则此位置记为0，从而得到与标准向量差分后的差分向量。
设向量长度为L位，则原差分方法所需CSR长度与向量等长即L位。采用标准向量差分方法之后，将标准向量数据保存到ROM之中。假设标准向量以每列8位共「L/8骎列的形式保存于ROM中，则向量差分时仅需8位寄存器。每次从ROM中读取1列数据到8位寄存器中，再移位出来，同时从ATE上获取相应位置的翻转信号，两者进行”异或”操作，实现差分。每隔8个时钟后，再从ROM中读取下1列数据到寄存器中，以同样的方式操作。
为使标准向量与其余向量之间距离值个数总和达到最小，设计以下算法，描述如下：
1)建立一个加权完全无向图G，图中每个顶点表示一条测试向量，顶点的集合记为V，每两个顶点之间的权值表示两个测试向量之间的距离值个数。
2)选取一条测试向量作为标准向量，以此测试向量对应的顶点为起始顶点，将其加入结果集合C中。
3)接着从V—C中寻找与起始顶点相连的权值最小的一条边，并将与此条边相连接的顶点也加入到结果集合C中。并对标准向量的无关位进行确定化。
重复这一步骤，直到标准向量与V—C中向量差分所得的距离值个数都超过上限值为止。
运用上述算法，以顶点加入集合C的次序作为标准向量差分的次序，得到差分向量，再按照差分次序依次连接成一条差分序列数据流。对于V—C中的测试向量，不作任何压缩。
3 分段距离标记压缩法
上述算法将会形成的差分向量序列数据流，具有0的游程长度(即距离值)总体成递减的趋势。因此差分序列流中的距离值长度位数在总体上也呈递减趋势。根据此特点，以距离值长度将差分序列流划分为若干段，每段之内以最大距离值的二进制位数作为此段中所有距离值长度，称为分段距离标记压缩法。
由于差分序列中距离值长度在总体上呈递减趋势，可以通过如下算法实现对其分段：从差分序列中选取出最大的距离值长度K1，找出此距离值长度最后一次出现的位置，以此位置作为差分序列分段的分段处，将差分序列分为AB两段，A段中的距离值长度一律取K1位。对于B段差分序列，选出其最大的距离值长度K2，以同样的方式继续分段，直至分段处位置接近差分序列尾部为止(以分段处落在最后一条差分向量中为标志)。
差分序列每段之间的距离值长度是不同的，这需要一个计数值来表明何时改变距离值长度。假设某段距离值序列中距离值长度都为K，则在此段距离值序列之前增加一个K位的数值，以表示此段中所有距离值的个数。解压过程中，当距离值个数递减为0时，表明距离值长度将发生改变。
4 解压电路
解压电路是由一个有限状态机FSM，存放标准向量的ROM，距离值计数器，距离值个数计数器和若干位的寄存器组成。如图1所示。
解压步骤如下：先把标准差分算法中不作任何压缩的V—C测试向量，直接传送到被测电路(CUT)上进行测试。之后，每隔m个时钟，从ROM中读取一列共m位数据到m位的寄存器中(这里m取8位)。ROM中的标准向量数据读至最后一列后，再从第一列开始读取，重复使用。从ATE上读取距离值到可变长度的距离值计数器中，读取相应数据于距离值个数计数器中。每时钟寄存器移出一位数据，距离值计数器递减1，当计数器递减为0时，发出flip信号，与寄存器移出的数据进行”异或”操作之后，送入被测电路中。同时距离值个数计数器减1，若距离值个数计数器不为0，装载下一个距离值数据于距离值计数器中;若其值为0，则返回flag信号，距离值长度发生变化，移入新的距离值和距离值个数到相应计数器中，继续递减。
5 结束语
本文提出向量差分压缩方法，压缩率较高，差分所需寄存器很少，并且与ATE通讯握手协议比较简单，与FDR码编码方法相比具有更高的压缩率和更好的综合性能。
参考文献
[1]梁华国,方祥圣,蒋翠云,等.一种选择折叠计数状态转移的BIST方案[J].计算机研究与发展,2006,(2):343-349.
[2]Tehranipour M.,Nourani M.and Chakrabarty K.Nine-Coded Compression Technique with Application to Reduced Pin-Count Testing and Flexible On-Chip Decompression.Proc.IEEE/ACM Design,Automation and Test in Europe(DATE)Conference,pp.1284-1289,2004.
[3]朱里,汪国有,张磊,等.基于小波变换的低通系数差分的图像压缩算法[J].华中科技大学学报,2006(8):1-3.
一种半监督支持向量机优化方法 篇8
目前, 半监督学习在机器学习领域发展迅速, 主要是由于无标签样本的获得较容易并且经济。半监督学习就是通过少量的有标签样本和大量的无标签样本来学习分类机, 从而获得更好的推广能力。半监督支持向量机是采用支持向量机来解决半监督问题的方法, 已经有大量的学者从事这方面的研究, 并取得了很好的效果。首次相近的研究是Vapnik[1]提出的直推式支持向量机。Joachims[2]首次编码实现了支持向量机软件包svmlight (其中包括直推式支持向量机) 后, 大量解决半监督支持向量机的非凸问题的研究随后出现。相关的研究包括局部组合搜索[2]、梯度下降[3]、连续优化技术[4]、凸凹过程[5,6]、半正定编程[7,8]、不可微方法[9]、决定退火[10]、分枝界定法[11,12]。与支持向量机不同的是半监督支持向量机的原始问题是非凸的, 上面所提到的方法都是为解决这个非凸问题提出的。
分布估计算法是进化计算领域新兴的一类随机优化算法, 是当前国际进化计算领域的研究热点。它是遗传算法和统计学习的结合, 通过统计学习的手段建立解空间内个体分布的概率模型, 然后对概率模型随机采样产生新的群体, 如此反复进行, 实现群体的进化[13]。
因为半监督支持向量机的原始问题最终可归结为一个组合优化的问题, 而分布估计算法是可以解决组合优化问题的一种方法。本文的目的就是采用分布估计算法来解决半监督支持向量机的组合优化问题, 基于该原理, 提出了一种基于分布估计算法的半监督支持向量机优化方法EDA_S3VM, 给出了理论分析和实验结果。实验结果表明, EDA_S3VM与其它一些半监督支持向量机算法相比有更高的分类准确率。
1 半监督支持向量机
半监督支持向量机是采用间隔最大化思想对少量的有标签样本和大量无标签样本进行分类。与支持向量机不同, 除了确定ω和b (ω为垂直于分类超平面的向量, b为一个分类阈值) 外, 半监督支持向量机把无标签样本的标签作为需要优化的参数。从而得到一个在标准支持向量机上的组合优化问题。下面给出了半监督支持向量机的工作原理, 这里只考虑二分类问题。
训练样本包括l个有标签样本{ (xi, yi) }
式中:yu=[yl+1…yn]T, 为无标签样本的标签;C、C*分别为有标签样本和无标签样本上的征罚参数;ξi为样本xi对应的松弛变量, ξi≥0, 1≤i≤n;p为ξi上的指数级。
由式 (1) 可知
其中:
则问题转化为
取p=2, 并且令C=C*, 问题进一步转化为
令函数:
原问题变为最小化函数I, 注意到I有3个变量ω、b和yu。
解决思路有2种:
(1) 连续优化
将原问题中的yu用sgn (ωxi+b) 来代替, 这样原问题就转化为一个在ω和b上的连续优化问题。采用这种方法的有参考文献[3,4,5,6]。
(2) 组合优化
对于给定的一个yu, 在ω和b上的优化就是一个标准的支持向量机。定义
原问题变为在一组有限空间中求最小化J的组合优化问题, 对于每个J的求解都是一个标准支持向量机。采用这个思路的方法有参考文献[2]、[7,8,9,10]。本文采用的方法就是基于这一思路。
为了防止不平衡结果的发生, 需要考虑平衡约束:
式中:r为有标签样本中正标签所占的比例。
2 分布估计算法
分布估计算法采用类似遗传算法中的种群进化模式, 通过概率模型的学习和采样来对问题进行求解。它通过一个概率模型描述候选解在空间的分布, 采用统计学习手段从群体宏观的角度建立一个描述解分布的概率模型, 然后对概率模型随机采样产生新的种群, 如此反复进行, 实现种群的进化, 直到终止条件[13]。
分布估计算法的基本步骤如下:
(1) 基于图的群体初始化
考虑到样本的分布, 在进行群体初始化时采用聚类假设, 即距离近的样本具有相同的类别标签。这样给每个样本赋一个标签, 每个基因位置的概率值是通过计算它周围相应标签的比例而产生的。例如通过Dijkastra求得所有样本的距离矩阵E, 得到概率向量p= (p1, p20, …, pu0) , 根据该概率模型产生初始群体。
(2) 选择优势群体, 更新概率模型
通过适应值函数J (yu) 计算各个个体的适应值, 如果符合终止条件, 输出结果, 否则继续执行。适应值函数是采用间隔最大化思想的函数, 因此, 选择适应值最大的N个个体组成优势群体D
(3) 随机采样
根据概率模型p采样M次, 得到新一代群体, 返回步骤 (2) 继续执行。
3 半监督支持向量机优化方法EDA-S3VM
式 (7) 为目标函数, yu∈{-1, 1}u, 描述解空间的概率模型用简单的概率向量p= (p1, p2, …, pu) 表示, p表示群体的概率分布, pi∈[0, 1], 表示基因位置i取1的概率, 1-pi表示基因位置i取0的概率。
基于分布估计算法的半监督支持向量机优化方法EDA-S3VM的伪代码如图1所示。
输入:l个有标签的样本{ (xi, yi) }
输出:ω、b和yu
1 t=0
2 do {
3 if t=0
4 初始化群体D0
5 利用标准支持向量机求解每个个体的适应值
6 else
7 通过概率模型抽样得到DSampled
8 利用标准支持向量机求解每个个体的适应值
9 利用更新方法通过Dt-1、DSampled和D
10 根据选择方法选择集合D
11 根据学习方法计算D
12 t=t+1
13 } until终止标准成立
图1 基于分布估计算法的半监督支持向量机
优化方法EDA-S3VM的伪代码
4 实验结果及分析
4.1 数据集
实验的目的是检验采用分布估计算法进行半监督支持向量机优化后在不同数据集上的分类效果。数据集包括2个人工数据集和3个公共数据集。其中人工数据集包括一个线性可分的点集 (下面用Point表示) 和一个“Two moons”数据集, 公共数据集包括g50c、Ciol20和Uspst。表1给出了实验数据集的特征描述, 其中, c表示样本类别的个数, d表示样本的特征数, l表示有标签的样本数, n表示所有样本总数。
4.2 实验结果及分析
对于Point数据集, 在2个样本集上进行, 其中一个数据集包括2个有标签样本 (正负类各一个) 、100个无标签样本, 另外一个数据集包括2个有标签样本 (正负类各一个) 、200个无标签样本, 结果如图2所示, 其中右上方的“+”表示正类有标签样本, 左下方的“+”表示负类有标签样本, 右上方的“·”表示正类无标签样本, 右下方的“*”表示负类无标签样本。图2 (a) 中, EDA-S3VM找到了2类样本的最优分类面, 而图2 (b) 中, EDA-S3VM的分类效果较差, 并未找到最优解, 原因是分布估计算法采用的概率模型的学习和采样方法可能导致算法陷入局部最优。
然后, 通过实验来验证EDA-S3VM算法在4种真实数据集上对无标签样本的分类错误率, 并与cS3VM、∇S3VM和S3VMlight算法进行比较。由于这些算法的效果都会受参数σ与C取值的影响, 对每个数据集, 每一种算法在同样参数设置下采用交叉验证的方式取实验结果的平均值。在实验中进行如下设置:粒子的种群规模对算法的运行速度有直接影响, 一般可取10～40, 本实验取20;算法的终止条件为达到最大迭代次数或连续10次解不发生变化。表2给出了不同算法的分类错误率。
从表2可看出, EDA_S3VM与其它几种算法相比, 在测试样本上的分类错误率都有所降低。
5 结语
针对分布估计算法可解决半监督支持向量机的组合优化问题, 提出了一种基于分布估计算法的半监督支持向量优化方法EDA_S3VM。在人工数据集和公共数据集上的实验结果表明, EDA_S3VM与其它一些半监督支持向量机算法相比有更高的分类准确率。该方法可以推广到多分类问题与非线性问题, 对于多分类的问题采用一对多的策略变为二分类问题, 对于非线性的问题采用核方法来解决。由于分布估计算法在解决非线性、变量耦合的优化问题上的优势, 其在非线性支持向量机优化上的应用能得到较好的效果, 但由于进化算法的迭代过程导致了算法计算效率的下降, 如何加快算法的收敛速度是进一步研究的方向。
浅析平面向量求模的两种方法 篇9
一、平方法
用平方法求向量的模时, 可先考虑欲求向量的平方, 应用向量的运算公式、法则求出其平方值, 然后再利用公式, 将其两边开平方即可求得.现举例解析如下:
二、坐标法
通过以上几例的解析可以看出, 应用平方法求向量的模不仅切实可行、有法可循, 而且能避繁就简, 独辟蹊径, 体现了数学的化归思想.而采用坐标法求向量的模, 条理性更强, 具体操作更简单, 更具备模式化的优点.得出向量坐标, 代入公式即可.这两种方法各有优点, 侧重不同, 当向量用坐标表示时, 坐标法更适用, 而在向量没有坐标时, 平方法就能大显身手.
摘要：平面向量是高中数学中很重要的一部分, 也是历年高考的必考内容, 而求向量的模又是向量运算问题中的常见题型.向量的模的运算没有专门的法则, 一般都是通过余弦定理计算两个向量的和、差的模.多个向量的合成用正交分解法, 如果要求模则一般需要先算出合成后的向量.模是绝对值在二维和三维空间的推广, 可以认为就是向量的长度.推广到高维空间中被称为范数.
状态向量的扩展有限元方法研究 篇10
扩展有限元法[1,2](extended finite element method,XFEM)是在标准有限元方法的框架下，提出来的一种用于解决不连续问题的数值方法，在有限元近似函数中增加反映不连续问题的附加函数，具有划分网格与结构内部的几何和物理界面无关的优点，避免了常规有限元方法中的网格重构，简化了裂纹扩展过程的分析过程[3,4,5].
本文在前人的基础上尝试在哈密顿体系下建立哈密顿[6,7]正则方程的扩展有限元半解析法，从而实现将哈密顿正则方程求解单元位移和应力的优势与扩展有限元法处理裂纹不连续问题的优越性相结合，寻求一种新的计算方法，最后通过典型算例计算应力强度因子，并且进一步模拟裂纹的扩展，验证了本方法的可行性.
1 单位分解函数
为了描述结构的不连续性，在常规有限元中增加裂尖渐进函数和不连续函数，渐进函数用来描述裂尖的奇异性，不连续函数用来描述被裂纹截断区域的间断特性.所以单位分解函数的表达式为[8]
式中,i是所有节点集合，j是有裂纹穿过单元的节点集合，k是含裂纹尖端单元的节点集合，Ni,Nj,Nk分别是对应节点形函数，ui,aj,bαk分别为对应节点的位移.H(x)为跳跃函数，反映裂纹面位移的不连续性
式中，x是高斯点，x*是裂纹面上离x最近一点，n是x*处垂直于裂纹的法向量.图1为裂纹面及裂纹尖端在有限元网格中的示意图.
裂尖渐进函数
式中，r,θ为原点定义在裂纹尖端的极坐标值.
2 状态向量
对于各向同性、正交异性或各项异性弹性体，修正后的H-R变分原理可表示为[9,10,11]
式中,Q=[u v w]T,u,v和w分别是x,y和z这3个坐标方向上的位移分量;P=[σxzσyzσzz]T，σxz,σyz和σz为结构的平面外应力分量;H是哈密顿函数，V为结构体积，T=[TxTyTz]T,Tx,Ty和Tz分别为x,y和z这3个坐标方向上的外力,S为结构的表面积.
对任一点上的P和Q用形函数表示
式中,N=diag[ϕ]3×3,Pe=[σexzσeyzσezz]T,Qe=[uevewe]T,φ(x)={φ1(x),φ2(x),···,φn(x)}T为对应节点位移向量的形函数.
将式(5)代入式(4),进行变分并分步积分,暂不考虑边界项,得到哈密顿单元控制微分方程即
式中，Me,Ke,Fe的具体形式见文献[10].
再将式(6)进一步按照一般有限元法组装，可以得到单层板的控制微分方程，即状态向量方程
式中m表示第m板层.然后通过求解式(7)，得到每层板的位移和应力.值得提出的是求解式(7)后的标准形式为
计算式(8)中的eKmz采用精细积分法计算[12]，第2项的积分项采用五点抛物线规则计算.
3 计算应力强度因子
要模拟裂纹的开裂，就必须先计算应力强度因子，在本文中采用相互作用积分计算应力强度因子.相互作用积分是一个在包含裂纹尖端的回路Γ上的能量积分，它的表达式为[13,14,15]
其中，W(1,2)=σij(1)εij(2)=σij(2)εij(1)，状态1(σij(1),εij(1),ui(1))是真实应力-变形场的变量，状态2(σij(2),εij(2),ui(2))是附加应力-变形场的变量.
式(9)写成与应力强度因子的关系式
其中，E*=E(平面应力)，E*=E/(1-µ[2])(平面应变).(1)若令：KI(2)=1,KII(2)=0可以得到状态1的I型的应力强度因子KI(1).(2)同理若令KI(2)=0,KII(2)=1，就可以得到1状态的II型应力强度因子K(1)II.
4 裂纹开裂准则
由哈密顿体系下的扩展有限元计算得到应力场和位移场后，可以采用断裂力学的方法进行裂纹扩展分析.模拟裂纹扩展需要解决3个问题：(1)裂纹扩展的条件；(2)裂纹扩展的方向；(3)裂纹扩展的步长.本文采用最大周向拉应力准则解决前2个问题，裂纹开裂步长通常采用Paris公式[16,17]和预先设定.
根据文献[16],裂纹周向和切向应力表达式为
当周向应力达到最大时，裂纹将沿着垂直于周向应力的方向扩展，此时径向应力为0，周向应力为主应力，所以令τrθ=0，得到确定开裂角θ0的方程
求解式(13)得
将式(14)代入式(10)，便得到最大周向拉应力σθmax.
当时，发生断裂，因此相当应力强度因子
式(15)就是裂纹的扩展条件.
5 算例分析
算例1图2所示，有一块尺寸为W×L(W=2 m,L=4 m)的板,厚度为0.04 m,边界上受到单向拉伸应力σ=1 MPa,在板的左右两边各有一条裂纹并位于板的中央，长度为a=0.5 m，板的弹性常数为：E=210 GPa,µ=0.3.采用11×23计算网格，应力强度因子精确解为
表1给出了不同的裂纹长度对应的无量纲裂纹强度因子的表格的形式.从表1中知，本文得到解的误差小于3%.在划分网格较少(11×23)(图3)的情况下可以得到较高的精度，也表明，导入哈密顿理论是可行的.
算例2将算例1的模型进一步模拟裂纹扩展，采用11×21计算网格，开裂步长∆h为0.05 m.
图4为裂纹扩展路径(开裂步数为：5步)，表2和表3分别是裂纹扩展过程中左裂尖位置的坐标和右裂尖位置的坐标，从裂纹扩展图可知，该裂纹扩展过程符合I型裂纹扩展特性，几乎是沿着水平方向扩展，并且扩展结果和文献[5]的结果相吻合.
6 结论
本文基于扩展有限元法和修正后的H-R变分原理，分析材料的断裂问题，推导了弹性力学的哈密顿状态向量方程，此方程不仅可以同时得到单元的位移场和应力场而且在厚度方向是解析的，考虑了模型上表面和下表面的约束问题，使得求解更加精确，扩展有限元方法的运用不仅能够处理裂纹的不连续性，而且划分网格与裂纹的几何位置无关，裂尖处不需要细化网格，同时裂纹在发生扩展时，不需要再一次网格重构，提高了计算效率.
在数值算例中，基于状态向量方程和扩展有限元方法，研究了双边裂纹模型，在划分网格较少的情况下，计算了不同长度裂纹对应的应力强度因子，求得的结果和精确解很接近，表明了此方法的正确性.而且进一步模拟了裂纹的扩展，结果也和文献[5]一致.研究表明，基于哈密顿系统下的扩展有限元法，在划分网格比较少的情况下可以得到精度比较高的解，是一种比较好的求解方法!同时也为用此方法研究多裂纹情形提供了指导意义.
摘要：利用哈密顿正则方程的半解析法计算单元位移场和应力场,可以得到精度比较高的解.但此半解析法在计算应力尖峰区域时,该区域要细化网格.当裂纹扩展时,又要重新生成刚度矩阵进行求解,导致求解效率降低.利用扩展有限元处理裂纹的不连续性,当裂纹扩展时可以避免网格的重构.为充分利用状态向量方程和扩展有限元的优势,该文将两者结合起来分析材料的断裂问题:计算应力强度因子和模拟裂纹扩展.最后通过算例分析,验证了该文提出方案的可行性.
向量方法 篇11
关键词：必修4；向量；物理
G633.7
向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象【1】.围绕此目标，人教A版必修4在“2.5.2 向量在物理中的应用举例”中给出了例3、例4及习题4（A组）三道题，三道题的解答都用到直角三角形的知识，笔者认为可以不用直角三角形运算，而是直接用向量的知识进行运算，使过程更为简洁，让学生更深刻地体会向量的工具性.
例1（人教A版必修4第111页例3） 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？
课本的解答：不妨设 ，由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道
通过上面的式子，我们发现：当 由 逐渐变大时， 由 逐渐变大， 的值由大逐渐变小，因些 由小逐渐变大，即 之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.
修改的解答：不妨设 ，由向量的平行四边形法则，力的平衡的知识，有
即
将上面的式子两边平方得
以下同课本的解答.
例2 （人教A版必修4第112页例4） 一条河的两岸平行，河的宽d=500m，一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度 ，水流速度 ，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1min）？
课本的解答： ，
所以 .
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min.
修改的解答：由 得
所以
以下同课本的解答.
例3（人教A版必修4第113页A组第4题） 平面上三个力 作用于一点，且处于平衡状态， 与 的夹角为 ，求：（1） 的大小；（2） 与 夹角的大小.
教参的解答：设 的合力为F，F与 的夹角为 ，则
的夹角为 .
说明：由于没有学习正弦定理、余弦定理，可有如图所示的方法作高求解.
修改的解答：（1）由 得 ，
所以 ，
即 .
（2） 设 与 夹角为 ，由 得 ，
则 ，
所以， 与 夹角的大小为 .
例4（人教A版必修4第113页B组第2题） 一条河的两岸平 行，河的宽度
d=500m，一艘船从A出发到河对岸，已知船的静水速度 水流速度
2km/h.要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的比值必须最小，此时我
们分三种情况讨论：
（1）當般逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上述三种情况，是否当船垂直于对岸行驶时，与水流成直角时，所用时间最短.
教参的解答：设 与 的夹角为 ，合速度为 ， 与 的夹角为 ，行驶距离为d，则 ， .
所以，当 时，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.
修改的解答：设 与 的夹角为 ，合速度为 ， 与 的夹角为 ，行驶距离为d，则 ， ， ， .
.
所以，当 时，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.
说明：修改的解答稍有计算量，但用向量运算代替了直角三角形运算，同时，不需要分三种情况讨论，解题思路显得更为干净.
例5（人教A版必修4第119页第14题） 如图所示，支座A受 两个力的
作用，已知 与水平线成 角； 沿水平方向；两个力的合力
100N，求角 以及合力F与水平线的夹角 .
解：由 得
所以， ，
由 得
所以， .
参考文献：
[1]人民教育出版社 课程教材研究所 普通高中课程标准实验教科书 第101-107页
[2]中学数学课程教材研究开发中心 数学必修4 A 教师教学用书
作者简历：
向量方法 篇12
基于图像的人体运动分析如今正受到广泛的关注, 作为计算机视觉中的热门领域之一, 人体运动分析在智能监控、智能机器人、医疗、交通等科学研究和生活的多个方面具有广泛的应用前景。人体检测是人体运动分析的基础, 因此, 人体检测也受到越来越多的关注及研究。然而, 由于人体非刚性的特点及运动时自身形态多样的变化, 同时还受到光照、衣着、复杂多变的背景因素的影响, 怎样才能快速且准确的从背景当中检测出人体, 仍然是一个研究的热点难点。
纵观目前已有的文献, 人体检测方法大致可以分为以下三类: (一) 模板匹配。通过提取运动前景并将其与人体形状模板进行匹配从而判断是否为人体目标, 如头肩模型匹配等。该方法为较早期的人体检测方法, 由于人体形态的多样性, 使得该方法所能达到的效果有限, 目前该方法已经很少被使用。 (二) 基于Haar特征的方法。由Papageorgiou使用的Haar特征结合分类器识别的方法, 由于其速度快、精度高, 已成功被应用在人脸检测当中。人体脸部的特性使人脸检测能较好的和Haar特征方法结合, 但人体检测与人脸检测不同, 受衣服色泽与背景颜色对比影响严重, 使得Haar特征方法在人体检测中的表现不尽如人意。 (三) 基于梯度方向直方图的方法。由Dalal等人提出的梯度方向直方图 (Histograms of Oriented Gradients, 以下简称HOG) 方法, 通过对局部图像的梯度和方向分布情况的描述, 提取了图像局部区域的梯度方向直方图作为检测特征, 并应用训练得到的分类器进行检测识别, 可以对人体进行有效的检测, 且有较高精度, 被当下大多数研究者所采用。但同时我们发现, HOG特征方法存在特征窗口提取单一, 训练速度较慢等问题。为了更好的解决HOG特征应用于人体检测中的问题, 本文提出一种基于Adaboost的多尺度人体检测方法, 算法整体流程如图1:
1 HOG特征的提取
HOG是目前效果较好的人体检测算法, 它是一种基于机器学习的静态图像人体检测算法, 是一种局部描述特征, 通过表征局部区域的边缘及梯度, 可以描述局部区域内目标的梯度结构和目标形状。HOG在被称为cell和block的小块上进行区域范围内的计算, 其中, cell由一些相邻像素组成, block又是由相邻的cell组成, 因此, HOG特征具有较强的鲁棒性。HOG特征的有效性源于其对局部图像的梯度和方向分布情况描述的同时, 能对人体轮廓、边缘信息进行表述, 而且对光照的变化不敏感。相较于其他特征算法, HOG更适用于人体检测, 本文提出的HOG特征提取过程如图2:
同时, 作者采用一些默认的基本参数设定:人体检测图像为64×128像素, 均转化为灰度图像;不使用Gamma校正等预处理, 图像不做平滑处理;用中心对称算子[-1, 0, 1]计算梯度;梯度方向角为0~180°无符号方向角, 分为9个区域;采用L2-norm的block归一化方法。具体实验方法步骤如下:
(1) 首先, 讲输入图像转化为灰度图, 遍历一次图像, 以每个像素为单位计算其梯度方向及幅值。梯度作为HOG特征的核心内容, 计算梯度值直接决定着分类器分类效果的优劣, 本文采用简单的一维中心对称算子[-1, 0, 1]计算图像中像素的水平及垂直梯度, 梯度方向计算采用公式 (1) 、模值计算采用公式 (2) :
其中, 为当前点的像素值。
(2) 将图像以上下左右相邻的4×4像素作为一个基础特征窗口cell, 将cell中像素点的梯度角按0~180°分为每20°一个区域, 统计梯度方向直方图, 生成一个9维向量的基础特征。4×4像素cell将64×128图像分为512个cell。
(3) 采样窗口block由上下左右相邻的4个cell, 即2×2的cell所组成, 将每个cell中的基础特征向量按顺时针串联为一个36维特征向量, 64×128像素的图像此时被分为128个不重叠的采样窗口。这128个36维向量即为所提取的HOG特征。
(4) 对以上提取出的block中的直方图向量进行一次L2-norm归一化, 具体方法为:
其中, v表示归一化前的特征向量, 表示一个趋近于零的数, 目的是防止分母为零。
(5) 本文所采用的多尺度梯度向量直方图方法, 即将原本单一大小的HOG特征采样窗口按照不同的比例重新生成, 在2:2的block的基础上, 增加1:2和1:4的采样窗口, 通过缩小采样窗口至1:2, 能将图像细致的特征传递的图像信息表现的更加明显, 通过放大采样窗口至1:4, 是根据人体本身天然的特性, 将轮廓化的人体图像信息体现出来。重复 (1) 至 (4) 的过程, 提取出不同尺度框架下的HOG特征, 采用Adaboost训练分类器, 进行图像信息分类和人体检测判别。
通过以上过程, 便可提取出能有效表征图像的HOG特征, 接下来, 便可使用该特征训练分类器。
2 分类器的训练
Adaboost算法是一种统计分类方法, 他由Boosting算法发展而来, Freund和在1995年提出了这种算法, 众多实验表明, Adaboost可以明显地提高分类精度。利用Adaboost分类器与HOG特征相结合的方法, 需要从大量多维的HOG特征中选出对分类结果更有效的特征作为弱分类器, 并最终构造一个强分类器用于人体的检测。所谓弱分类器, 就是能根据某些单一特征进行分类的分类器, 对精度要求低, 达到50%以上即能使用, 尽管每一个弱分类器的分类效果很差, 但如果将这些弱分类器按照一定的规则组合, 便能形成一个精确度高的强分类器, 达到级联的效果。Adaboost算法的流程如下:
(3) 给定需要循环迭代的层数T, 对每一层迭代:
3) 选择相对每一个样本分类误差最少的分类器, 即最优的弱分类器。
4) 更新样本权重。
得到强分类器后, 便可使用测试样本完成人体检测, 整个训练检测过程如图3所示:
本文使用SVM作为Adaboost算法中的弱分类器, 由线性SVM组成最后得出的强分类器。利用以上过程能够训练出多个具有较强分类能力的分类器, 但我们还可以进一步得到经过组合的最终级联分类器。级联分类器的组合规则并没有明确的规定, 只需遵循在人体图像被正确分类的同时减少非人体图像的误判, 尽可能的保证人体图像的通过。
3 实验结果
作者采用INRIA人体检测库进行训练检测实验, 该人体检测库分为测试集与训练集两部分。训练集中包含2400张行人图片的正样本和1200张不包含任何人体的负样本图片;测试集中包含1120张正样本图片及450张负样本图片。该库中行人体态形状多种多样, 背景丰富, 是一个较为复杂的行人样本库, 训练过程在一台Pentium Dual-Core, 3.20GHz, 4G内存的计算机上进行时间约为一天。用文中提出的行人检测算法性能与Dalal提出的原始HOG特征人体识别算法以及Haar特征性能比较如表1。
由实验结果比较表可见, 相比于目前流行的传统Haar特征和HOG特征, 本文采用方法可以获得更高的检测率, 在充分利用图像信息的情况下, 能取得较好的人体检测效果, 但同时, 由于本文所采用的多尺度采样窗口, 使得图像中一些其他信息也被纳入判别范围, 导致在检测率增高时误检率也相应的增高, 但误差在可接受范围之内。
4 结束语
本文使用了一种多尺度的梯度向量直方图与Adaboost结合的方法进行人体检测, 这种检测算法运行速度快, 通过提取不同尺度下的HOG特征, 将图像中的人体信息更全面的表现出来, 并结合Adaboost, 以SVM作为弱分类器, 训练出精度更高的人体检测识别分类器。通过实验对比证明了本文的行人检测算法在INRIA人体检测库上取得了令人比较满意的结果。之后的研究将在此基础之上进一步缩短算法的训练时间, 降低误检率, 使算法的实用性更强。
由实验结果比较表可见, 相比于目前流行的传统Haar特征和HOG特征, 本文采用方法可以获得更高的检测率, 在充分利用图像信息的情况下, 能取得较好的人体检测效果, 但同时, 由于本文所采用的多尺度采样窗口, 使得图像中一些其他信息也被纳入判别范围, 导致在检测率增高时误检率也相应的增高, 但误差在可接受范围之内。
参考文献
[1]Papageorgiou C, Poggio T.A TrainableSystem for Object Detection[J].International Journal o f ComputerVision, 2000, 38 (1) :15-33.
[2]Dalal N, Triggs B.Histogramsof Oriented Gradients for HumanDetection[C]//Proceedings ofthe 2005 IEEE Computer SocietyConference on Computer Vision andPattern Recognition.Washington:IEEE Computer Society, 2005:886-893