平面向量的数量积

平面向量的数量积（共12篇）

平面向量的数量积 篇1

平面向量的数量积是一个非常重要的概念, 利用它可以容易的证明平面几何的许多命题。例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、长方形的对角线相等、正方形的对角线垂直平分等。也可以利用它推导正弦定理、推导点到直线间距离公式、求异面直线之间的距离。

一、数量积在证明平面几何命题上的应用

1. 勾股定理

RTΔABC中, ∠C=90°, 则││2+

证明:∵

2. 菱形ABCD中, 求证:AC⊥BD

证明:∵

因为ABCD是菱形, 所以AB=AD, 所以

3. 长方形ABCD中, 求证:AC=DB

证明:因为ABCD是长方形, 所以

4. 正方形的对角线垂直平分。

综合2, 3的证明即可。

二、数量积在推导定理公式上的应用

1. 推导正弦定理

如图, 取与AC垂直的单位向量e, 则向量与在单位向量方向上的射影相等, 即

同理:

2. 推导点到直线间距离公式

直线l的方程为Ax+By+C=0, 点P的坐标为 (x0, y0) , 在直线l上任取一点A (x1, y1) , 则直线l的法向量为n= (A, B) , 因此点P到直线l的距离为

3. 求异面直线之间的距离

对于在棱长为a的正方体中, M、N分别为A1B1, BB1所在棱的中点, 利用向量求异面直线AM与CN所成角的方法是众所周知的, 你能利用向量的方法求出两异面直线AM与CN的距离吗?

如图, 建立直角坐标系D—xyz, 则A、M、C、N四点的坐标分别为 (a, 0, 0) 、

设与都垂直的向量为n= (1, x, y)

∴则n= (1, 4, -2)

所以异面直线AM与CN的距离为

平面向量的数量积 篇2

1、教学主要内容

(1)平面向量数量积及其几何意义

(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题

2、教材编写特点

本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到层上启下的作用。

3、教学内容的核心教学思想

用数量积求夹角，距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化归思想以及数形结合思想。

4、我的思考

本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。因此，让学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。

二、学生分析

1、在学平面向量的数量积之前，学习已经认识并会找向量的夹角，及用坐标表示向量的知识。因此，对于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=)，容易进行相应的简单计算，但对于理解这个式子上存在一定的问题，因此，需把a·b=∣a∣∣b∣ cosθ转化到图形

a·b=∣OM∣·∣OB∣=∣b∣cosθ∣a∣

即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并记忆。

对于cosθ= ，等的变形应用，同学们甚感兴趣。

2、我的思考

对于基础薄弱的学生而言，学习本节知识，在处理例题成练习上，计算量不易过大。

三、 学习目标

1、知识与技能

(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。

(2)平面向量数量积的应用。

2、过程与方法

通过学生小组探究学习，讨论并得出结论。

3、情感态度与价值观

培养学生运算推理的能力。

四、教学活动

内容 师生互动 设计意图 时间 1、课题引入 师：请同学请回忆我们所学过的相关同里的运算。

生：加法、减法，数乘

师：这些运算所得的结果是数还是向量。

生：向量。

师：今天我们来学习一种有关向量的新的运输，数里积(板书课题) 由旧知引出新知，让学生知道我们学习是层层深入，知识永不止境，从而把学生引入到新的课程学习中来。 3min 2、平面向里的数量积定义 师：平面向星数量积(内积或点积)的定义：

已知两个非零向星a·b，它们的夹角是θ，则数量∣a∣·∣b∣cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b=∣a∣∣b∣cosθ，注：①a·b≠a×b≠ab

②O与任何向量的数里积为O。 直接给出定义，可以让学习对新知识的求知数得到满足，并对新知识的探究有一个方向性。 5min 3、几何意义 师：同学们猜想

a·b=∣a∣∣b∣cosQ

用图怎么表示

生：a·b=∣a∣·∣b∣cosθ

=∣OM∣·∣OB∣

师：数里积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影∣b∣cosθ的面积。

师：请同学们讨论数量积且有哪些性质

通过自己画图培养学生把问题转化到图形上，到图形上解决问题的能力。

5min 性 质 师：同学们a·b为非零向果，a·b=∣a∣·∣b∣cosθ。当θ=0°，90°，180°时，a·b有什么性质呢。

生：①当θ=90°时

a·b= a·b=∣a∣·∣b∣cosθ

②当a与b同向时

即θ= 0° ，则a·b=∣ a∣·∣b∣

当a与b反向时，

即θ= 180°，则a·b=∣ a∣·∣b∣

特别a·a=∣ a∣2 成 ∣ a∣= a·a

③∣a∣·∣b∣≤∣ a∣ ∣b∣

学生自己的探究性质，体会并深入理解向里数量的运算性质。 8min 生：①a·b= b·a(交换)

平面向量数量积考点突破 篇3

一、直接利用定义或公式

例1 （1）（2014·重庆）已知向量a与b的夹角为60°，且a=（-2，-6），|b|=10，则a·b=.

（2）（2015·广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB=（1，-2），AD=（2，1），则AD·AC=.

解析：（1）因为a=（-2，-6），

所以|a|=（-2）2+（-6）2=210，

又|b|=10，向量a与b的夹角为60°，

所以a·b=|a|·|b|·cos60°=210×10×12=10.

（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC=AB+AD=（1，-2）+（2，1）=（3，-1），

所以AD·AC=2×3+1×（-1）=5.

评注：利用定义法直接求向量的数量积难度不大，只需记住数量积的定义公式和坐标运算公式.

例2 （2014·江西）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα=13，向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β，则cosβ=.

解析：因为a2=（3e1-2e2）2=9-2×3×2×cosα+4=9，所以|a|=3，b2=（3e1-e2）2=9-2×3×1×cosα+1=8，所以|b|=22，a·b=（3e1-2e2）·（3e1-e2）=9e21-9e1·e2+2e22=9-9×1×1×13+2=8，所以cosβ=a·b|a|·|b|=83×22=223.

评注：已知非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），它们的夹角为θ，则cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x21+y21·x22+y22，利用这个公式可直接求出两个向量的夹角.

二、构造基底

例3 （2015·山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则BD·CD=（）

A. -32a2

B. -34a2

C. 34a2

D. 32a2

解析：因为AD与AB的模都为a，且它们的夹角为∠BAD=180°-∠ABC=120°，

故可将AD与AB作为基底向量分别表示出BD与CD，于是

BD·CD=（AD-AB）·（-AB）=-AB·AD+AB2=-a·acos120°+a2=32a2，故选D.

评注：基底法作为向量数量积运算的基本方法之一，必须首先选择基底向量，作为基底向量，它们必须不共线，且它们的模与夹角必须都已知，或经过计算可以求得.

例4 （2015·天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE=λBC，DF=19λDC，则AE·AF的最小值为.

解析：因为DF=19λDC，DC=12AB，

CF=DF-DC=19λDC-DC=1-9λ9λDC=1-9λ18λAB，

AE=AB+BE=AB+λBC，

AF=AB+BC+CF=AB+BC+1-9λ18λAB=1+9λ18λAB+BC，

AE·AF=（AB+λBC）·（1+9λ18λAB+BC）=1+9λ18λAB2+λBC2+（1+λ1+9λ18λ）AB·BC

=1+9λ18λ×4+λ+19+9λ18×2×1×cos120°

=29λ+12λ+1718≥229λ·12λ+1718=2918，

当且仅当29λ=12λ，即λ=23时AE·AF的最小值为2918.

评注：本例以向量AB，BC作为基底，利用数量积定义，最终把原问题转化为一元函数的最值问题.

三、建立坐标系

例5 （2014·天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF.若AE·AF=1，则λ的值为 .

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（-1，0），B（0，-3），C（1，0），D（0，3）.设E（x1，y1），F（x2，y2），

由BC=3BE，得（1，3）=3（x1，y1+3），

可得E（13，-233）；

由DC=λDF，得（1，-3）=λ（x2，y2-3），可得F（1λ，3-3λ）.

∵AE·AF=（43，-233）·（1λ+1，3-3λ）=103λ-23=1，∴λ=2.

评注：解析法又叫坐标法，即恰当建立直角坐标系，将平面向量坐标化，可使向量数量积运算程序化，从而减少思维量.

例6 （2015·福建）已知AB⊥AC，|AB|=1t，|AC|=t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP=AB|AB|+4AC|AC|，则PB·PC的最大值等于（）

A. 13 B. 15 C. 19 D. 21

解析：以点A为原点，AB，AC的方向分别为x轴、y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则AB=（1t，0），AC=（0，t），AP=（1，4），所以PB=AB-AP=（1t-1，-4），PC=AC-AP=（-1，t-4），

所以PB·PC=-（1t-1）-4（t-4）=-（1t+4t）+17≤-21t4t+17=13，当且仅当t=12时取等号.故选A.

评注：因为题中出现两向量垂直，故可以它们所在的方向为x轴、y轴的正方向建立坐标系，从而利用向量的坐标运算公式，轻而易举地把向量数量积的最值问题转化为函数最值问题，这种向量问题代数化的方法，往往对向量中的最值问题十分有效.

巧用平面向量的数量积解题 篇4

一、夹角问题

例1 如图1, 已知位于同一个平面内的等腰直角三角形ABC, CDE, ∠ACB=∠DCE=90°, 求AD与BE所成的角.

解析:因为undefined

所以undefined

又由undefined知

undefined,

undefined

而α+β=180°⇒cosα+cosβ=0,

故undefined

所以AD与BE所成角为90°.

拓展与引申

任两个不共线非零向量 a= (x1, y1) , b= (x2, y2) , θ为a与b的夹角, θ∈[0, π], 由夹角公式

知:

cosθ的正负由分子 x1x2+y1y2 确定.于是得如下结论:

(1) θ为锐角⇔x1x2+y1y2>0⇔a·b>0 (θ≠0) ;

(2) θ为直角⇔x1x2+y1y2=0⇔a·b=0;

(3) θ为钝角⇔x1x2+y1y2<0⇔a·b<0 (θ≠π) .

其中, 条件 (2) 也是证明垂直问题的重要方法.特别地, 若要求出 a与b的夹角θ的大小, 则须计算出undefined或undefined的值.

二、面积问题

例2 若O为坐标原点, A、B为抛物线undefined上的点, 设S△AOB=t·tan∠AOB, 求 t 的最小值.

解析:由条件S△AOB=t·tan∠AOB, 与undefined比较可知

undefined

而undefined故可考虑用向量的数量积.

设 lAB与 y 轴交于点M (0, a) , 则 lAB:y=kx+a.

由

所以

undefined

undefined

故当 a=p 时, undefined

评注:与传统的求三角形面积方法相比, 本题用向量的数量积巧妙地避开了求三角形的底和高 (本题中△AOB的底和高都非定值) , undefined和条件S△AOB=t·tan∠AOB联系得更紧密, 从而使问题向着有利的方向发展.

反思:本题中, △AOB的面积 , t, tan∠AOB都是变量, 因此用传统的方法难以入手, 而用向量的数量积却巧妙地解决了这一问题.仔细思考后可以发现, 平面向量的数量积公式 a·b=|a||b|cosθ和三角形的面积公式undefined存在着千丝万缕的关系, 因此可用undefined来求三角形的面积.而 a·b可转化为坐标运算, 这正是解析几何的基本思想所在.

三、证明不等式

例3 设 a, b∈R+, 且 a+b=1, 求证undefined

分析:若设undefined, 由M的结构让我们联想到M是两个向量的数量积, 可构造向量:undefined, 由向量不等式:m·n≤|m||n|即可证明.

证明:构造向量undefined,

因为 m·n≤|m||n|,

所以undefined

评注:本题由不等式的条件和结构, 最直接的想法是运用基本不等式

反思:本题若改为:设 a, b∈R+, 且 a+b=1, 求证undefined

因为 a, b 的系数不等, 运用基本不等式困难.此时, 可构造向量:

undefined,

由m·n≤|m||n|即可证明.因此, 在此类问题中, 运用向量不等式更具有一般性.

拓展与引申

1.设 a, b是两个非零向量, θ为 a与b 的夹角.

由 a·b=|a||b|cosθ,

可得a·b≤|a||b|,

即 (a·b) 2≤|a|2|b|2. (*)

当 a, b同向时等号成立.

2.上述不等式有两个重要模式值得关注:

(1) 结构的完整性:

|a|2, |b|2以及 (a·b) 2这三个式子必须整体出现, 不可分解;

(2) 结构的独立性和方向性:

|a|2和|b|2地位平等, 相互独立, 一般位于不等式 (*) 的大边.解题时, 根据需要其中的一个可以游离到不等式的另一边, (a·b) 2在不等式的小边.透彻认知这些模式, 为有效构造向量提供了导向.

由于不等式 (*) 的独特结构, 使得某些含有乘积之和或乘方之和的不等式, 在应用均值不等式证明比较困难时, 应用 (*) 可迎刃而解.

四、求最值

例4 若undefined, 求 x+y 的最小值.

解析:由条件undefined联想到不等式 (*) .

而undefined应是两个向量对应坐标的乘积之和.构造向量

undefined

由 m·n≤|m||n|, 可得

undefined,

即undefined,

所以undefined

当且仅当undefined, 即undefined时, x+y 有最小值undefined

反思:若将此题变为: (x-1) 2+ (y-2) 2≤1, 求3x+4y 的最大值与最小值.

解析:由目标式3x+4y 联想到不等式 (*) .而3x+4y 应是两个向量对应坐标的乘积之和.

先构造向量m= (x-1, y-1) , 为了与条件吻合, 再构造 n= (3, 4) , 则

[3 (x-1) +4 (y-2) ]2

= (3x+4y-11) 2

≤[ (x-1) 2+ (y-2) 2] (32+42)

≤25.

所以-5≤3x+4y-11≤5,

即 6≤3x+4y≤16.

故3x+4y的最大值为16, 最小值为6.

平面向量的数量积 篇5

本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义;二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念;二是几何意义和运算律;三是两个向量的模与夹角的计算。

二、教学目标：

1.了解向量的数量积的抽象根源。

2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角

3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义

4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算

三、重、难点：

【重点】1.平面向量数量积的概念和性质

2.平面向量数量积的运算律的探究和应用

【难点】平面向量数量积的应用

课时安排：

2课时

五、教学方案及其设计意图：

1.平面向量数量积的物理背景

平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F的所做的功为W ，这里的(是矢量F和s的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢?以此为基础引出了两非零向量a， b的数量积的概念。

平面向量数量积(内积)的定义

已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos(叫a与b的数量积，记作a(b，即有a(b = |a||b|cos(，(0≤θ≤π).

并规定0与任何向量的数量积为0.

零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a(b = |a||b|cos(无法得到，因此另外进行了规定。

3. 两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作 =a， =b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.

， 是记法， 是定义的实质――它是一个实数。按照推理，当 时，数量积为正数;当 时，数量积为零;当 时，数量积为负。

4.“投影”的概念

定义：|b|cos(叫做向量b在a方向上的投影。

投影也是一个数量，它的符号取决于角(的大小。当(为锐角时投影为正值;当(为钝角时投影为负值;当(为直角时投影为0;当( = 0(时投影为 |b|;当( = 180(时投影为 (|b|. 因此投影可正、可负，还可为零。

根据数量积的定义，向量b在a方向上的投影也可以写成

注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分。

5.向量的数量积的几何意义：

数量积a(b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos(的乘积.

向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用。其几何意义实质上是将乘积拆成两部分： 。此概念也以物体做功为基础给出。 是向量b在a的方向上的投影。

6.两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，则

(1) a(b ( a(b = 0;

(2)当a与b同向时，a(b = |a||b|;当a与b反向时，a(b = (|a||b|. 特别的a(a = |a|2或

(3)|a(b| ≤ |a||b|

(4) ，其中 为非零向量a和b的夹角。

例1. (1) 已知向量a ，b，满足 ，a与b的夹角为 ，则b在a上的投影为______

(2)若 ， ，则a在b方向上投影为 _______

平面向量的数量积在解题中的应用 篇6

1. 判断几何图形的形状

例1 己知[A(1，2)、B(4,0)、C(8,6)、D(5,8)，]试判断由此四点构成的四边形[ABCD]的形状.

分析 先在坐标平面内找到点[A、B、C、D]的大致位置，再利用向量依次判断它是否为平行四边形、是否为矩形或菱形、是否为正方形．

解析 [∵AB]=(4,0)-(1,2)=(3,-2)，[DC]=(3,-2)，

[∴AB=DC]，∴四边形[ABCD]是平行四边形.

[∵AD]=(5,8)-(1,2)=(4,6),

[∴AB⋅AD]=3×4+(-2)×6=0.

[∴AB⊥AD].∴四边形[ABCD]是矩形.

[∵AC]=(8,6)-(1,2)=(7,4)，[BD]=(5,8)-(4,0)=(1,8)，

[∴AC⋅BD]=7×1+4×8=39≠0.

[∴AC]与[BD]不垂直.

综上可知，四边形[ABCD]是矩形.

点拨 （1）判断四边形的形状，结论有以下几种情况：梯形、等腰梯形、直角梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形；判断三角形的形状，结论有以下几种情况：等腰三角形、正三角形、直角三角形、等腰直角三角形、钝角三角形、锐角三角形．（2）边与边相等关系，可通过向量的模的相等关系去判断，即通过两点间的距离公式去解决；线段的垂直关系，可通过向量的数量积为零去解决；钝角、锐角的问题，可借助向量的夹角获得解决．

判断图形的形状最易出现的问题是解决不彻底，如本题：得到[AB=DC]时，确定四边形ABCD为平行四边形就结束.

2. 解析几何中的三点共线问题

例2 已知三点[A(0,-1)、B(2,3)、C(3,5)，]求证：[A、B、C]三点共线．

分析 转化为向量问题，即推证向量[AB]与[AC]的夹角的余弦值为1即可．

证明 法一：由[A(0,-1)、B(2,3)、C(3,5)]可得[AB]=(2，4)，[AC]=(3，6)，设[AB]与[AC]的夹角为[θ],

则[cosθ=AB⋅ACABAC=(2,4)⋅(3,6)4+16⋅9+36]

[=2×3+4×625×35=3030=1].

∴[AB]与[AC]的夹角为[0°]，故[A、B、C]三点共线.

法二：[∵AB]=(2，4)，[AC]=(3，6)，

∴[AB=23AC]，即[AB]与[AC]共线.

∴[A、B、C]三点共线.

法三：由[A(0,-1)、B(2,3)、C(3,5)]得，

[AB=22+（3+1）2=25]，

[BC=（3-2）2+（5-3）2=5]，

[AC=32+（5+1）2=35]，

∴[AB+BC=AC].

∴[A、B、C]三点共线.

点拨 （1）在证法一与证法二中，应注意：[AB]与[AC]对应的有向线段有公共点[A]的隐含条件，进而才有[A、B、C]三点共线的结论. （2）本题的证法较多，除用向量法解决之外，还可用以下方法：①证明直线[AB]与[AC]的斜率相等；②证明[A]点坐标满足直线[BC]的方程；③证明点[A]到直线[BC]的距离为零．

3. 与解析几何中轨迹有关的问题

例3 已知点[A(0,1)，B(0,-1)，C(1,0)，] [O]为原点，动点[P]满足[AP⋅BP=2PC2]，求向量[OP]与[OC]的夹角的取值范围．

分析 设[P]点的坐标，利用条件中的向量等式确定[P]点的轨迹，进而求出向量[OP]与[OC]的夹角的取值范围.

解析 设点[P(x,y)],则[AP=(x,y-1),] [BP=(x,y][+1),][PC=(1-x,-y).]

∴[AP⋅BP=x2+(y-1)(y+1)=x2+y2-1],

[PC2=(1-x)2+(-y)2=x2+y2-2x+1].

[∵AP⋅BP=2PC2],

∴[x2+y2-1]=[2（x2+y2-2x+1）].

即[(x-2)2+y2=1].

∴动点[P]的运动轨迹是以点[M(2,0)]为圆心且半径为1的一个圆，如图.

过原点作圆[M]的切线，切点为[E]，则[ME=1]，[∠OEM=π2]，

又[OM=2]，∴[sin∠MOE=MEOM=12].

∴[∠MOE=π6].

∵[OC]与[x]轴同向，∴由图知，向量[OP]与[OC]的夹角的最大值为[π6]，最小值为0，故这两个向量的夹角的取值范围是[0，[π6]].

点拨 用点的坐标表示条件中的向量等式，使得条件变得明朗，便于下一步的转化，得到[P]点的轨迹是一个圆后，利用数形结合的思想求角的取值范围. 如果利用[cosθ=OP⋅OC|OP||OC|]求角的取值范围，则求解过程较为繁琐．

4. 构造向量求平面几何中的角

例4 如图，正方形[OABC]的两边[AB、BC]的中点分别为[D]和[E]，求[∠DOE]的余弦值.

分析 创造使用求角公式的条件，为此需求[OD]·[OE].

解 [OD]=[OA]+[AD]=[OA]+[12][AB]，

[OE]=[OC]+[CE]=[OC]+[12][CB]，

∴[OD]·[OE]=([OA]+[12][AB])·([OC][12]+[CB])=[OA]·[OC]+[12]([AB]·[OC]+[OA]·[CB])+[14][AB]·[CB]

∵[OA]⊥[OC]，[AB]⊥[CB]，

∴[OA]·[OC]=0，[AB]·[CB=0].

又∵[AB]=[OC]，[OA]=[CB]， [|AB|=|CB|]，

∴[AB]·[OC]=[AB2]=|[AB]|2=[|CB|2=OA⋅CB].

于是[OD]·[OE]=[12](|[AB]|2+|[AB]|2)=|[AB]|2，

又|[OD]|2=|[OA]|2+|[AD]|2=|[AB]|2+[14]|[AB]|2

=[54]|[AB]|2，

∴[cos∠DOE=OD⋅OE|OD|⋅|OE|]=[|AB|2|OD|2]=[|AB|254|AB|2]=[45.]

平面向量的数量积 篇7

一、借助定义和几何意义直接求解数量积

例1若向量a,b满足|a|=|b|=1,a,b的夹角为60°,则a·a+a·b=______.

点评若借助定义求解平面向量数量积时要注意弄清楚两向量的夹角和模长;若借助几何意义求解平面向量数量积时要注意数量积的几何意义就是一向量的模与它在另一向量方向上的投影的乘积.

二、借助零向量求解数量积

点评借助零向量即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”,再合理使用向量的移项以及平方等变形,求解数量积.

三、借助平行向量与垂直向量求解数量积

例5如图,在Rt△ABC中,已知BC=a,CC若长为2a的线段PQ以点A为中心,问PBBQ与

点评借助平行向量与垂直向量即借助向量的拆分,将待求的数量积转化为有垂直条件关系或平行向量关系的向量数量积,借助a⊥b,则a·b=0等解决问题.

四、借助转化基底法求解数量积

点评借助转化基底法即将待求向量的数量积转化为题目中能求解的数量积.一般当向量的模或夹角不明确,且建立直角坐标系后,相关点的坐标不易求出.而题目已知两条线段长或一条线段长和以此线段为一边的角度时,常常以这两个向量作为平面上所有向量的一组基底(据平面向量基本定理易得),将要求的向量用这组基底表示出来.

结束语

综上所述,平面向量数量积的运算有两种形式:一是依据模和夹角,二是利用坐标运算,向量的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统使它成为“重要工具”和“桥梁”,具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择(注:有时同一个题目可以用两种形式来求解).在教学中,教师应当指导学生理解并掌握平面向量数量积,教会学生在不同的条件下怎样正确地使用这些知识.经过长期培养,学生就能够全面地看待问题,由此提高解决平面向量题的效率.

平面向量的数量积 篇8

关键词：平面向量,数量积,求解方法

一、定义法

从定义来看求两个非零向量的数量积关键要弄清楚两向量的模和夹角;若从数量积的几何意义来看就是一向量的模与它在另一向量方向上的投影的乘积．

例1(1)在△ABC中，

(2)已知圆O:x2+y2=4，直线l:x-3y+3=0与圆O交与A,B两点，则

解(1)如图1，在△ABC中

(2)如图2，过点O作OC垂直于AB于点C，由点到直线的距离公式可得在Rt△OAC中，

二、坐标法

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2．用此方法解决向量数量积问题，必须先建立合适的平面坐标系，把向量坐标化．

例2(1)如图3，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，点M,N分别是AB,BC的中点，点P是△ABC(包括边界)内任一点．则的取值范围为_____．

(2)如图4，在ABCD中，已知AB=2,AD=1，∠DAB=60°，点M为AB的中点，点P在CD上运动(包括端点)，则的取值范围是______．

解(1)以C为坐标原点，CA,CB分别为x轴和y轴建立如图5所示的直角坐标系，易知

所以

根据线性规划可得

(2)以A为坐标原点，AB为x轴建立如图6所示的直角坐标系，则

点评当向量的模或夹角不明确，且所给平面图形方便建立直角坐标系，并容易写出各涉及点坐标时，常常利用坐标法将向量坐标化求数量积．

三、分解转化基底法

平面向量基本定理:如果e1,e2是同一个平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中我们把不共线的两个向量e1,e2叫做这一平面内所有向量的一组基底．

例4在Rt△ABC中，C=90°，AC=4则

可以作为平面所有向量的一组基底．

平面向量的数量积 篇9

一、定义法

已知两个非零向量a与b, 它们的夹角是θ, 则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积, 记作a·b, 即有a·b=|a||b|cosθ, θ∈[0, π].特别需要注意:寻找两个向量夹角θ时, 一定要使得a与b的起点相同.

例1 (1) 在△ABC中, a=5, b=8, C=3π, 则

(2) 已知圆O:x2+y2=4, 直线l:x-3y+3=0与圆O交于A、B两点, 则

(2) 如图2, 过点O作OC垂直于AB于点C,

例2已知点F是椭圆=1 (a>b>0) 的左焦点, A、B分别是椭圆的左、上两个顶点, 椭圆的离心率为, 点C在x轴上, BC⊥BF, B、C、F三点确定的圆M恰好与直线l1:x++3=0相切.

(1) 求椭圆的方程;

(2) 过点A的直线l2与圆M交与P、Q两点, 且=-2, 求直线l2的方程.

解: (1) 略.椭圆方程为:

(2) 如图3, 圆M的方程为: (x-1) 2+y2=4

所以点M (1, 0) 到直线PQ的距离为d=1.

设直线PQ的方程为y=k (x+2) , 即kxy+2k=0, 从而

解得k=±, 所以直线l2的方程为:y=± (x+2) .

点评:当题中已知a, b的模或夹角时, 将向量的数量积用定义式来转化, 比较简洁.

二、坐标法

设a= (x1, y1) , b= (x2, y2) , 则a·b=x1x2+y1y2.

例3 (1) 如图4, 在等腰直角三角形ABC中, AC=BC=1, 点M, N分别是AB, BC的中点, 点P是△ABC (包括边界) 内任一点.则的取值范围为_____.

(2) 如图5, 在平行四边形ABCD中, 已知AB=2, AD=1, ∠DAB=60°, 点M为AB的中点, 点P在CD上运动 (包括端点) , 则的取值范围是____.

解: (1) 以C为坐标原点, CA、CB分别为x轴和y轴建立如图6所示的直角坐标系, 易知A (1, 0) , N (0, ) , M () 设P (x, y) ,

(2) 以A为坐标原点, AB为x轴建立如图7所示的直角坐标系, 则A (0, 0) , B (2, 0) , D () , M (1, 0) .

例4已知圆C过点P (1, 1) , 且与圆M: (x+2) 2+ (y+2) 2=r2 (r>0) 关于直线x+y+2=0对称.

(1) 求圆C的方程;

(2) 设Q为圆C上的一个动点, 求的最小值.

解: (1) 略.圆C的方程为x2+y2=2.

点评:当向量的模或夹角不明确, 且所给平面图形方便建立直角坐标系, 并容易写出各涉及点坐标时, 常常利用坐标法将向量坐标化求数量积.

三、基底法

平面向量基本定理:如果e1, e2是同一个平面内两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的任一向量a, 有且只有一对实数λ1, λ2, 使a=λ1e1+λ2e2.其中我们把不共线的两个向量e1, e2叫做这一平面内所有向量的一组基底.

解: (1) 如图11, 因为→AC与→BD不共线, 所以→AC、→BD可以作为平面所有向量的一组基底.

(2) 如图12, 取BC边的中点D, 连结AD、DO, 因为不共线, 所以可以作为平面所有向量的一组基底.

点评:当向量的模或夹角不明确, 且建立直角坐标系后, 相关点的坐标不易写出, 而题目已知两条线段的长时, 常常以这两个向量作为平面上所有向量的一组基底, 将要求的向量通过构造三角形, 借助三角形法则, 转化为基底的和或差, 从而使问题得到解决.

平面向量的数量积 篇10

二、题型2:优化三个点

三、题型3:优化复杂图形

例谈向量的数量积及其应用 篇11

例1：已知向量 （1）若 ，求θ； （2）求 的最大值。

分析：（1） =0，从而运用向量数量积的坐标运算；（2）求向量的模，一般两种解决方法，一是先把

坐标化，二是先对 平方化。

解：①因为 ，所以 =0即 ，得

，又 所以 。

②因为

所以当 时， 的最大值为5＋4=9，从而

的最大值为3。

点评：向量的数量积与三角函数综合题型，实质是借助向量的工具性，考查三角函数的有关知识的，其基本思路是将向量转化为代数运算。

例2：已知 ，求函数f（x）的最大值。

分析：本题如果用常规的函数求最值的方法较繁琐，构建向量，用 则 可将其转化为向量的数量积运算，然后由数量积的性质 即可得解。

解：由2-4x2≥0得设 与 的夹角为θ，则

。当且仅当θ=0取得上式“=”，此时

得 ，所以，函数f（x）的最大值为 。

点评：本题是实数中的根式问题，根据向量数量积的坐标运算巧妙地引入向量，用向量数量积的 进行求最值。运用向量解决此类问题的关键是构建向量模型，从而运用向量知识解答。

例3：已知椭圆 长轴的两个端点分别为A、B，右准线l与长轴的交点为D，设P是l上异于D点的任意一点，直线AP，BP分别交椭圆于M，N（不同于A、B）两点，问点B能否在以MN为直径的圆上？试说明理由。

分析：欲判定点B是否在以MN为直径的圆，由圆的性质可得只需判断∠MBN能否为直角即可，这样问题就转化为向量

⊥ 能否成立问题，从而利用 =0来判定能否成立。

解：由题意可得，A（-2，0），B（2，0），设M（x0，y0），P（4，t），∵M，P，A三点共线，∴kMA=kPA即 ，∵点M（x0，y0）在椭圆上，∴ ，则

。

∵x0＜2∴2-x0＞0∴ 即 与 的夹角为锐角，∴∠MBN为钝角，由圆的性质知，点B不在以MN为直径的圆上。

点评：本题考查解析几何中的夹角问题，利用向量来处理，避免了利用直线与曲线列方程组及直线的斜率是否存在的讨论，使运算过程简洁，思路清晰。

平面向量的数量积 篇12

例1在平面直角坐标系x Oy中,∠xOy=135°,斜坐标定义:如果(其中e1、e2分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量),则(x,y)叫做P的斜坐标,已知P的斜坐标是

.

分析:本题是新定义问题,这里定义了斜坐标,则在求解时抓住斜坐标定义解决.

评注:根据斜坐标的意义,表示出向量,再利用向量模的公式求向量模的模.

二、向量数量积在平面几何中的应用

利用向量数量积及运算律解决几何问题一般分为三步:一是用向量表示几何关系;二是进行向量运算;三是还原为几何结论.

例2如图1,在四边形ABCD中,AB=CD,但不平行,点M、N分别是AD、BC的中点,MN的延长线与BA、CD的延长线分别于点P、Q,求证:∠APM=∠DQM.

分析:证明两角相等,可以通过两角的某一三角函数值相等来证明,但是要注意两角要在三角函数的同一单调区间上.

评注:充分利用几何中的量化关系来解决该问题,当然要注意两角要在同一单调区间上才能正确求解.

三、向量中的最值问题

与向量有关的最值问题常常需要转化为函数的最值问题,特别是二次函数与三角函数,即寻找变量,借助于向量数量积的坐标运算构造函数再利用函数的性质求其最值.

分析:在代数式中含有两个变量k和t,根据题中的已知条件m⊥n,可列出变量k和t的关系,再通过消元的办法将(k+t2)/t化简成含有一个变量的式子,再利用函数的性质求最值.