高中数学平面向量专题

高中数学平面向量专题（共11篇）

高中数学平面向量专题 篇1

一．基础题组

1.【2014届广东高三六校第一次联考理】已知单位向量i,j满足(2ji)i，则i,j夹角

为（）

A．B．46C．2D． 3

32.【浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试数学试题（理科）】在ABC中，cos18,cos72,2cos63,2cos27，则ABC面积为()

A．2 4B．2C．D．2 2

23.【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷理】已知||=3，||=5，且ab=12，则向量在向量上的投影为（）

A．125B．3C．4D．

54.【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学（理科）】已知

1|a|1，ab,ab221,则a与b的夹角等于（）2

C.60°D.120°A．30° B.45°

5.【南充市2014届高考适应性考试（零诊）试卷】已知向量OA(3,4)，OB(6,3)，OC(2m,m1)，若AB//OC，则实数m的值为（）

A．131B．-3C．D． 557

6.【重庆南开中学高2014级高三9月月考（理）】已知向量a(x1,2)，b(2,1)，且

ab，则x（）

12B．1C．5D．0 A．

7.【湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中学2014届高三10月联考】已知向量ab2,8，ab8,16，则a与b夹角的余弦值为（）A.D.636363B.C.6565655 1

3B4,18.【湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中学2014届高三10月联考】已知点A1,3，则与AB同方向的单位向量是（）A.,3

544334B.C.,,55555

D.43, 55

9.【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】已知△ABC是边长为1的等边三

→→→→角形，P为边BC上一点，满足PC＝2BP，则AB·AP＝．

rr10.【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】已知｜a｜＝1，｜b｜

rrrra，b的夹角为，则｜a－b｜的值为_________． 6

二．能力题组

1.【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】非零向量a,b使得abab

成立的一个充分非必要条件是()

abA.ab0B.abC.D.a//b |a||b|

2.【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】已知ABC的外接圆半径为1，圆心为

O，且3OA4OB5OC0，则 OCAB的值为（）116A.B.C.5 5 5

3.【广东省韶关市20914届高三摸底考试（理）】若|ab||ab|2|a|，则向量ab6 D.5的夹角为（）

A．

6B.

3C.25D.36

4.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试（理）】如图，在ABC中，点D是BC边上

靠近B的三等分点，则AD（）

1221A．ABACB．ABAC33331221C．ABACD．ABAC 3333

5.【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷理】设P是函数yx2（x0）的图x像上任意一点，过点P分别向直线yx和y轴作垂线，垂足分别为A,B，则PAPB的值是．

6.【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】已知直线ya交抛物线yx2

于A,B两点.若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为.7.【浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试数学试题（理科）】在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足AM2PM,则PAPBPC的值为___________________.

三．拔高题组

1.【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】在平面直角坐标系中，O是坐

标原点，若两定点A,B

2，则点集

P|,2,,R所表示的区域的面积是.2.【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】在平面四边形ABCD中，点E,F分别是边AD,BC的中点，且AB2，EF1，CD．若ADBC15，则ACBD的值为____．

3.【浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试数学试题（理科）】(本题满分14分)b＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61.已知a＝4(1)求a与b的夹角θ；(2)若cta(1t)b，且bc0，求t及c

4.【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学（理科）】（本题满分14分）已知两个不共线的向量,，它们的夹角为，且||3，||1，x为正实数．

(1)若2与4垂直，求tan；

(2)若

直？

6，求|xab|的最小值及对应的x的值，并判断此时向量a与xab是否垂

高中数学平面向量专题 篇2

一、函数与方程的思想

在平面向量中, 如果涉及向量相等、向量的模及夹角之间的关系等问题时, 常常需要利用方程的思想, 建立方程 (组) 来解决;如果在向量中涉及与向量相关的最值及参数的取值范围等问题时, 常常需要建立某个变量的函数来解决。

例1已知向量, 求|a+b|的最大值。

分析:根据条件只须建立|a+b|关于变量θ的函数, 再利用三角函数的性质求得最大值。

点评:本题利用向量的模的求法, 建立|a+b|关于θ的函数, 再利用求三角函数最值的方法使问题获得解决。

二、分类讨论的思想

在平面向量中有时需要对向量的方向讨论;有时需要对向量夹角的大小讨论;有时在处理向量与几何图形时, 需要对涉及的边与角的大小及位置关系进行讨论。

例2已知平行四边形的三个顶点A (2, -3) , B (-2, 4) , C (-6, 1) , 求平行四边形的第四个顶点D的坐标。

分析:本题没有给出四边形的四个顶点的顺序, 所以应以AB、AC、BC为对角线分别求解。

解:设D点的坐标为 (x, y) 。

(1) 以AC为对角线, 即四边形为ABCD, 设AC与BD的交点为O, 由A (2, -3) , C (-6, 1) , 得O的坐标为 (-2, -1) , 又B, D的中点为O, 所以D点的坐标为 (-2, -6) 。

(2) 以AB为对角线的第四个顶点D的坐标为 (6, 0) 。

(3) 以BC为对角线的第四个顶点D的坐标为 (-10, 8) 。

点评: (1) 对于未画出图形的问题要注意顶点的不同位置情况。 (2) 本题若改为:“已知平行四边形ABCD的三个顶点A (2, -3) , B (-2, 4) , C (-6, 1) , 求第四个顶点D的坐标”, 则答案是D (-2, -6) 。

三、数形结合思想

向量是区别于数量的一种量, 它由大小和方向两个因素确定。研究的内容大都与图形有关, 所以向量是数形结合的典范。由于向量的加法、减法都是用几何法 (作图) 来定义的, 因此在向量中应用数形结合的思想一般利用三角形法则或平行四边形法, 则通过构造三角形, 解三角形获解。

例3已知a, b是两个非零向量, 且│a│=│b│=│a-b│, 求a与a+b的夹角。

分析:根据题设条件, 可构造以a与b为邻边的菱形, 运用菱形的性质及等边三角形的性质即可简便求解。

解:如图, 在平面内任取一点O, 作

∴OACB为菱形, OC平分∠AOB, 这时,

由于│a│=│b│=│a-b│, 即OA=OB=BA,

∴△AOB为正三角形, 即∠AOB=60°。故∠AOC=30°。

即a与a+b的夹角为30°。

高中数学平面向量专题 篇3

【关键词】 平面向量；思维能力

思维能力是学生智力水平发展的重要表现，是学生学习能力提升的重要条件，也是学生学习素养树立的重要“构建”。常言道，“质疑是思维发展的重要源泉”。古语云：“小疑则小进，大疑则大进”，可见，思考、分析等学习活动在学生思维能力培养和提升上具有显著的促进和推动作用。当前，新课标已成为学科教育教学的“方向标”和“指南针”，如何让学生在学习知识、探知问题中，能动思维、自主分析、有效反思特性有效锻炼，已成为教师开展教学活动的重要任务，也成为需要教学工作者迫切解决的教研课题。平面向量章节作为“数”与“形”的有效结合体，是高中数学知识体系的重要组成部分，与三角函数、立体几何以及一元二次不等式等章节存在密切关联，同时，在高中数学章节体系中占有较大比重，也是高考试题命题的重点。平面向量的内在特性，也为培养学生思维能力提供了鲜活载体和有效平台。

一、凸显平面向量知识生活特性，创设融洽情境，激发学生思维内在潜能

数学学科作为基础性知识学科，源自于现实生活，服务于现实生活。生活性是数学学科的重要内在特性之一。思维活动，特别是创新思维活动，不仅需要学生具有一定的学习基础，还要求学生必须具有良好的学习情感。因此，高中数学教师在平面向量章节教学中，要将学生学习情感激发作为思维能力培养的“首要条件”和“先决条件”，抓住平面向量知识内容与现实生活问题之间的密切联系，设置具有生活性、现实性的教学情境，引导学生感知，激发学生情感，使学生在积极情感驱使下，“愿意思考”成为自觉行动。

如在教学“向量的概念及表示”内容时，由于学生对“零向量、平行向量、相等向量、共线向量”等知识理解具有一定困难，导致学生思考分析的主动性没有得到激发。此时，教师抓住向量与现实生活的关联特性，设置了“有一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里，到达B点，然后改变方向向西偏北50°走了200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100公里达到D点，试作出向量AB，BC，CD，并求出向量AD绝对值的值。”生活性，将向量概念知识与现实中的汽车行驶方向有机结合，从而使学生内在潜能得到激发，主动参与探知活动，能动分析问题，打下有效思维情感基础。

二、凸显平面向量解法规律特性，注重问题教学，传授学生分析问题方法

问题：已知A（-2，-3），B（4，1），延长AB至点P，使|AP|=3|PB|，求点P的坐标。

分析：本题考查向量的定比分点坐标公式的运用。可以从两个方面进行问题的考虑。一是考虑点P为分点，可以应用定比分点坐标公式求点P的坐标；二是通过图像法，作出符合问题条件的函数图像，如图所示，通过对图像的分析，可以知道，点B是AP的内分点，这样就可以得到λ＞0，此时只要求出λ，就可以由定比分点坐标公式求出P（x， y）。

这时让学生结合该问题的分析过程，进行解题活动。解题过程略。这时，教师与学生共同思考、探求该问题解答的策略和方法。在师生共同分析、总结基础上，学生得到该类型问题解答一般方法：

利用向量定比分点坐标公式求点的坐标时，起点、分点和终点课根据问题需要而确定，所选分点不同，λ的值也随之变化。上述第二种解法，是把向量的定比分点坐标公式看成是一个等量关系，利用解方程的思想处理问题，此种解答比较灵活，在实际解答时，可以进行充分运用。

在上述平面向量问题案例教学活动中，教师在认真研析教学内容基础上，通过设置典型问题案例，引导学生开展问题分析活动，找寻解答问题的“切入点”和思路，指导学生进行解题活动，并与学生共同探寻该类型问题解答的基本方法。这样，就将思考分析问题方法渗透到解题过程中，使问题探究分析的过程变为领会和掌握解题方法的过程，促进了学生问题解答方法的有效掌握。

三、凸显平面向量内涵综合特性，重视思想积淀，培养学生良好思维习性

平面向量章节知识与其他章节知识内容一样，不仅章节内知识点内容丰富，同时还与其他章节存在密切而又复杂的联系。这就为学生良好数学思想的锻炼和形成，提供了实践的有效平台。但由于高中生思维活动易出现思考分析不完备、解题思路不正确、遗漏问题隐含条件等方面的缺点，教师就可以将平面向量综合性问题作为学生思维能力提升的重要载体，引导学生对问题解答过程进行辨析评价活动，将辨析评价过程变为思维素养完善和提升的过程。

问题：已知向量 =（cos3/2x，sin3/2x）， =（cosx/2，-sinx/2）且x∈[0，π/2]，求（1） ；（2）若f（x）= -2λ| + |的最小值是-3/2，求λ的值。

上述问题案例是有关平面向量的一道综合性问题案例。教师在该问题教学活动中，先引导学生进行问题条件分析，然后让学生阐述该问题解答方法和思路，最后，学生进行问题解答活动。学生在解答问题过程中，认识到该问题解答过程中，不仅运用平面向量章节的知识点，还运用到三角函数的知识点内容。同时，在解题思想的运用上，不仅运用函数思想，而且对λ取值范围解答时还运用到分类讨论思想，这样，学生在综合性问题解答中，思维素养能够得到有效锻炼和提升。

高中数学平面向量的数量积教案 篇4

前面已学习了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量的数量积。教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。

在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量夹角对数量积符号的影响;然后由投影的概念得出了数量积的几何意义;并由数量积的定义推导出一些数量积的重要性质;最后“探究”研究了运算律。

教学目标：

(一)知识与技能

1.掌握数量积的定义、重要性质及运算律;

2.能应用数量积的重要性质及运算律解决问题;

3.了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直共线等问题，为下节课灵活运用平面向量数量积解决问题打好基础。

(二)过程与方法

以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过例题分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。

(三)情感、态度与价值观

创设适当的问题情境，从物理学中“功”这个概念引入课题，开始就激发学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，加强数学与其它学科及生活实践的联系。

教学重点：

1.平面向量的数量积的定义;

2.用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。

教学难点：

平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用。

教学方法：

启发引导式

教学过程：

(一)提出问题，引入新课

前面我们学习了平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、以及数乘运算，它们的运算结果都是向量，既然两个向量可以进行加法、减法运算，我们自然会提出：两个向量是否能进行“乘法”运算呢?如果能，运算结果又是什么呢?

这让我们联想到物理中“功”的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，F与s的夹角是θ，那么力F所做的功如何计算呢?

我们知道：W=|F||s|cosθ，

功是一个标量(数量)，而力它等于力F和位移s都是矢量(向量)，功等于力和位移这两个向量的大小与它们夹角余弦的乘积。这给我们一种启示：能否把功W看成是两向量F和s的一种运算的结果呢，为此我们引入平面向量的数量积。

(二)讲授新课

今天我们就来学习：(板书课题)

2.4平面向量的数量积

一、向量数量积的定义

1.已知两个非零向量 与 ，我们把数量| || |cosθ叫做 与 的数量积(或内积)，记作 ，即 =| || |cosθ ， 其中 θ是 与 的夹角。

2.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即 =0

注意：

(1)符号“ ”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”代替。

(2) 是 与 的夹角，范围是0≤θ≤π，(再找两向量夹角时，若两向量起点不同，必须通过平移，把起点移到同一点，再找夹角)。

(3)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量。而且这个数量的大小与两个向量的模及其夹角有关。

(4)两非零向量 与 的数量积 的符号由夹角θ决定：

cosθ

= cosθ = 0

cosθ

前面我们学习了向量的加法、减法及数乘运算，他们都有明确的几何意义，那么向量的数量积的几何意义是什么呢?

二、数量积的几何意义

1.“投影”的概念：已知两个非零向量 与 ，θ是 与 的夹角，| |cos( 叫做向量 在 方向上的投影

思考：投影是向量，还是数量?

根据投影的定义，投影当然算数量，可能为正，可能为负，还可能为0

|(为锐角 (为钝角 (为直角

| |cos( | |cos( | |cos(=0

当(为锐角时投影为正值;当(为钝角时投影为负值;当(为直角时投影为0;当( = 0(时投影为 | |;当( = 180(时投影为 (| |

思考： 在 方向上的投影是什么，并作图表示

2.数量积的几何意义：数量积 等于 的长度| |与 在 方向上投影| |cos(的乘积，也等于 的长度| |与 在 方向上的投影| |cos(的乘积。

根据数量积的定义，可以推出一些结论，我们把它们作为数量积的重要性质

三、数量积的重要性质

高中数学平面向量专题 篇5

要点透视：

1．正弦定理有以下几种变形，解题时要灵活运用其变形公式．

（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

abc（2）sinA＝，sinB＝，sinC＝： 2R2R2R

（3）sinA：sinB：sinC＝a：b：c．

可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中的边角关系转化，如常把a，b，c换成2Rsin A，2Rsin B，2Rsin C来解题．

2．判断三角形的形状特征，必须从研究三角形的边与边关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，找出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断．

3．要注意利用△ABC中 A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本关系式

BCAsin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)=－sinA，sin＝cos等，进行三角变换的运2

2用．

4．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，应选用正弦定理还是余弦定理进行求解．

5．应用解三角形知识解实际问题的解题步骤：

（1）根据题意画出示意图．

（2）确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元和末知元．

（3）选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性．

（4）给出答案．

活题精析：

例1．(2001年全国卷)已知圆内接四边形ABCD的边长是AB＝2，BC＝6，CD=DA＝4，求四边形ABCD的面积．

要点精析：本题主要考查三角函数的基础知识，以及应用三角形面积公式和余弦定理解三角形的方法，考查应用数学知识分析、解决实际问题的能力．

解：如图所示，连BD，四边形ABCD的面积

11S=SABDSCDB=AB·AD·sinA+BC·CDsinC，2

21∵ A＋C=180°，∴ sin A= sin C，于是 S=(2×4＋4×6)·sin A=16sin A． 2

222在△ABD中，BD=AB＋AD－2AB·ADcosA＝20－16cosA．

在△CBD中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcosC＝52－48cosC．

213又cosA=－cosC, cosA=－, ∵ A∈(0, π), ∴ A=π, sinA=.232

3∴ S=16×=8.2

例2．（2004春北京卷）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对

边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及bsinB的c值。

要点精析：（1）∵ a，b，c成等差数列，∴ b2=ac．

又a2－c2=ac－bc，∴ b2＋c2－a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理得

b2c2a21cosA==．∴ A=60°； 22bc

bsinA（2）解法1：在△ABC中，由正弦定理得sinB=，a

bsinBb2sin6032∵ b=ac，∠A=60°，∴ ==sn60=． cca2

11解法2.在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB，∵ b2=ac，22

bsinB3∠A＝60°，∴ bcsinA＝b2 sinB，∴ ＝sinA＝.c2

例3．（2001年上海卷）已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长度．

13要点精析：∵ S=absinC，∴sinc=，于是∠C=60°或∠C=120°． 22

又∵ c2＝a2+b2－2abcosC，当∠C=60°时，c2＝a2＋b2－ab，c

当∠C=120°时，c2=a2＋b2＋ab，c，∴ c

.练习题

一、选择题

tanAa

21．在△ABC中，若，则△ABC是（）tanBb2

A．等腰（非直角）三角形B．直角（非等腰）三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

ABab2．在△ABC中，tan，则三角形中（）2ab

A．a＝b且c>2aB．c2=a2＋b2且a≠b

2cD．a=b或c2=a2+b2

3．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（）

33A．20(1+)mB．20(1+)m 32

C．20(1+)mD．30m

4．设α，β是钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（）

1A．tanαtanβ<1B．sinβ<2C．cosβ>1D．tan(α+β)

5．已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）C．a=b=

A．1

C．0

56．△ABC的三边分别为 2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3（m＞0），则最大内角的度数为（）

A．150°B．120°C．90°D．135°

二、填空题：

abc7．在△ABC中，已知A=60°，b=1，S△ABC=3，则 sinAsinBsinC

1138．△ABC的三边满足：，则∠B＝ abbcabc

4129．在△ABC中，已知sinA=，sinB=，则sinC的值是.51

310．在△ABC中，BC边上的中线长是ma，用三边a，b，c表示ma，其公式是.三、解答题

11．设a，b，c是△ABC中A，B，C的对边，当m>0时，关于x的方程b(x2＋m)＋c(x2－m)－

ax=0有两个相等实根，且sinCcosA－cosCsinA=0，试判断△ABC的形状。

12．已知⊙O的半径为R，若它的内接三角形ABC中，等式2R(sin2A－sin2C)=(2a－b)sinB成立，（1）求∠C的大小；

（2）求△ABC的面积S的最大值．

13．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．

（1）试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式；

（2）当a等于多少时，S有最大值并求出最大值；

（3）当a等于多少时，周长l有最小值并未出最小值．

14．在△ABC中，已知面积S＝a2－(b－c)2，且b＋c=8，求S的最大值．

CCCC15．在△ABC中，m(cos,sin)，n(cos,sin)，且m与n的夹角是． 22222

（1）求C；

高中数学平面向量专题 篇6

教材：复习四——平面向量的数量积及运算律

目的：要求学生对平面向量的数量积的概念理解更清晰，并能教熟练地应用于平

行、垂直等问题。

过程：

一、复习：

1．定义、其结果是一个数量。

2．a•b>00≤<90；a•b=0==90 即ab；a•b<090<≤180 3．性质1 —5 4．运算律

二、例题：

1．已知|a| = 5，|b| = 8，a 与b的夹角为60，求 |a + b |

解：a•b = |a||b|cos60 = 5×8×

1= 20

∴|a + b |2 =(a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a•b = 129

∴|a + b | =

2．求证：|a + b |≤|a| + |b|

证：|a + b |2 =(a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a•b = |a|2 + |b|2 + 2|a||b|cos

≤ |a|2 + |b|2 + 2|a||b| =(|a| + |b|)2

即：|a + b |≤|a| + |b|

3．设非零向量a、b、c、d，满足d =(a•c)b (a•b)c，求证：ad

证：内积a•c与a•b均为实数，∴a•d = a•[(a•c)b (a•b)c] = a•[(a•c)b]  a•[(a•b)c]

=(a•b)(a•c)(a•c)(a•b)= 0

∴ad

4．已知非零向量a、b，满足a ±b，求证：ba垂直于a+b的充要条件是|a| = |b| 证：由题设：ba与a+b均为非零向量

必要性：设ba垂直于a+b，则(ba)(a+b)= 0

又：(ba)(a+b)= b2  a2 = |b|2  |a|2∴|b|2  |a|2 = 0即：|a| = |b|

充分性：设|a| = |b|，则(ba)(a+b)= b2  a2 = |b|2  |a|2 = 0

即：(ba)(a+b)= 0∴(ba)(a+b)

5．已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直，a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角。

解：由(a + 3b)(7a  5b)= 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0①(a  4b)(7a  2b)= 0  7a2  30ab + 8b2 = 0②两式相减：2ab = b2代入①或②得：a2 = b2

设a、b的夹角为，则cos =abb21

|a||b|2|b|2

2

∴ = 60

D

6．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。证：设== a , == b A

C

a

∵ABCD为菱形∴|a| = |b|

b B

∴ACBD=(b + a)(b  a)= b2  a2 = |b|2  |a|2 = 0∴

7．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。证：设BE、CF交于一点H，A

= a, = b, = h,E

F

则BH= h  a , CH= h  b , BC= b  aH

∵BHAC,CHAB B

D

C

∴

(ha)b0

(ha)a0

(ha)b(hb)ah(ba)0

∴AH

又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点

关于高中“平面向量”的教学体会 篇7

关键词：平面向量 数形结合 向量法 教学体会

现行高中第五章"平面向量"是高中数学新增内容之一。 该内容的引入既丰富了高中数学的内容，又体现了向量作为数学工具的重要性。通过利用向量去解决一些实际问题，深化了数学知识间的关联性和系统性，为更好地学好高中数学奠定了良好的基础。向量的基础知识较多，且与其他很多部分知识都有联系，如向量与函数的联系、向量与三角函数的联系、向量与立体几何的联系、向量与解析几何的联系等。因此，有必要加强对向量这一章节的进一步研究和总结。

一、从运算的角度来讲，向量可分为三种运算

（一）几何运算

本章教材给出了三角形法则，平行四边形法则，多边形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，从中去体会数形结合的数学思想。

（二）代数运算

（1）加法、减法的运算法则；（2）实数与向量乘法法则；（3）向量数量积运算法则。

（三）坐标运算

在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用"解析法"来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。

二、教学内容 、要求、重点与难点

（一）本章教学内容可分成两块：第一向量及其运算，第二解斜三角形

1、平面向量基本知识，向量运算。具体教学内容有： 向量、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的数量积及运算律。

2、平面向量的坐标运算， 联结几何运算与数量运算的桥梁。具体教学内容体有： 平面向量的坐标运算， 向量加减运算、实数与向量的积运算、平面向量的数量积的坐标表示。

3、平面向量的应用， 具体教学内容有：线段的定比分点，平移，正弦定理， 余弦定理，解斜三角形应用举例，实习作业。

（二）教学要求

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用；掌握平移公式。

（三）教学重点

向量的几何表示，向量的加、减运算及实数与向量的积的运算，平面向量的数量积，向量的坐标运算，向量垂直的条件，平面两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐標公式，平移公式，正、余弦定理。

（四）教学难点

向量的概念，向量运算法则及几何意义的理解和应用，解斜三角形等。

三、本章的特点

教材编排的特点决定了在教学中处理本章时，有别于其它章节。

1、教材在本章处理上，充分体现了数形结合的思想。 首先教材通过求小船由A地到B地的位移来引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，以平面几何知识为背景。在概念、法则及例题的编辑上都尽量配了图形，并安排了较多的作图练习、看图练习及作图验证练习等，为学生积极参与教学活动提供了条件，为发挥学生学习的主体作用提供了条件，这样既抓住了平面向量的特点，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解。

2、利用"向量法"解决实际问题是本章的显著特点之一。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法--向量法； 向量法能将技巧性解题化成算法性解题，正、余弦定理的推导就采用了向量法，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。

四、教学体会

依据教学内容、要求及本章的特点，根据学生认知水平和近几年的教学实践，对"平面向量"教学有如下的教学体会：

1、认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。

2、在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。

3、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高"向量法"的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。

（作者单位：江苏省滨海中学）

参考文献：

[1]中学数学室编著.全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（下）[M]. 人民教育出版社.

高中数学平面向量专题 篇8

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作 a(x,y)…………○

2式叫做向其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y).特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 1

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定.设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1）若a(x1,y1)ab(x1x2,y1y2)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j 即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB=OBOA=(x2，y2)(x1，y1)=(x2 x1，y2 y1)（3）若a(x,y)和实数，则a(x,y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

三、讲解范例：

例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标.例2 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2，2)当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，0)

例4已知三个力F1(3，4)，F2(2，5)，F3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标.解：由题设F1+F2+F3=0 得：(3，4)+(2，5)+(x，y)=(0，0)32x0x5即： ∴ ∴F3(5，1)45y0y1

四、课堂练习：

1．若M(3，-2)N(-5，-1)且 MP12MN，求P点的坐标

2．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则AB2BC=.3．已知：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求证：四边形ABCD是梯形.五、小结（略）

六、课后作业（略）

七、板书设计（略）

高中数学平面向量专题 篇9

今天朱老师上数学教研组内的公开课，我也很兴奋地参加了听课活动。朱老师上的平面向量分解在物理学力的分解中有着重要的应用。朱老师还是很认真对待公开课的，他平时喜欢嘻嘻哈哈的，但接受任务后独自静静地对着电脑和教材思考如何上好这堂课。周三早晨过来他就很认真地校对教案，反复的整理教案，他的认真专注和反复推敲的态度是很值得我们实习学生学习的。

上课先复习线性运算的定义，然后通过平行四边形法则引出向量分解与分向量的定义，在通过例1强化分向量的概念；接着是本课的重点：动手操作画已知向量在固定两个向量的方向上的分向量。最后通过例3强化用向量的线性组合表示向量的分解。

这堂课值得我学习的地方是：

（1）讲话必要的停顿，能给学生必要的思考时间；重点关键处适当重复

（2）课前准备相当充分，准备课堂的例题复印纸，这样既能节约课堂时间，同时也为学生动手分解向量提供操作机会

（3）假如时间来不及可以预先把例题抄在黑板上，节约时间

（4）在教如何对平面的向量进行分解时，边引导边操作，师生共同合作

（5）提示差不多，三分之二的同学题目做好后可以把答案写在很班上。课堂时间是宝贵的，不可能全部的学生个个过关否则会影响课堂进度的。速度慢的同学可以课下单独辅导。

（6）向量的分解的题目难点分层训练，设计合理，符合学生的认知结构。

但是每堂课必然有着遗憾，朱老师的课也不例外。有同学回答问题错误时，朱老师未能给予他评价分析，而是直接请另一位同学补充；分解向量的步骤不是很明确，最好把步骤文字化，特别是构造平行四边形的关键就是过直线外的一点作已知直线的平行线。

接着我去听了傅老师的《平面向量的分解（2）》，同样的内容不同的老师的教学风格不同因而他们的课堂印象也不同。朱老师应该是属于严谨沉思型的，而傅老师是激情四射型的。傅老师也是先复习线性运算的定义，找同学回答答错后老师直接修正没有过多耽误时间。接着通过平行四边形的加法法则引出三个向量的关系，从而引出向量的分解与分向量的定义。傅老师上课的语言很随和：“我们来找一个同学回答问题”“找同学来补充一下”，反思自己的课堂中常用的.是“抽”，似乎师生的关系是不平等的。傅老师黑板的例1也是课前画好的，但是相比较而言，傅老师运用彩色粉笔恰到好处，知与求相当分明。反思自己很喜欢彩色粉笔，但是没能有突出强调的效果。还有上新课时很多题目还是由老师亲自完成，找同学尝试的话可能耽误教学的进度。反思自己我很喜欢拖课，假如合理处理师生的互动的时间，或许我能改掉这个习惯。此堂课可惜的是向量分解的作图过程没有细致化，可能部分困难生自已作分向量时会有障碍的，跟不上节奏。

听了两位老师的课后，我清楚的知道本节课的重点：

（1）求作已知向量在不同方向上的分向量

高中数学平面向量专题 篇10

一、 直线的方向向量与平面的法向量的定义

1 直线的方向向量

我们把直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量.

2 平面的法向量

如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，如果n⊥α，那么向量n叫做平面α的法向量.

二、 直线的方向向量与平面的法向量的求法

1. 直线的方向向量的求法

方法一：设直线方程y=kx+b，则其方向向量为m=(1,k).

方法二：设直线方程Ax+By+C=0，则其方向向量为m=(-B,A).

方法三：设A(x1,y1)、B(x2,y2)、（x1≠x2）在直线L上,则其方向向量为m=1,y2-y1x2-x1.注：(1) 当直线L与x轴垂直时，设A(x1,y1)、B(x1,y2)在直线L上，则m=0,y2-y1x2-x1为直线L的一个方向向量；（2） 设A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)在直线L上,则其方向向量为m=1,y2-y1x2-x1,z2-z1x2-x1( x2≠x1)为直线L的一个方向向量.

2. 平面的法向量的求法

高中数学平面向量专题 篇11

A.＝－＋

B.＝－

C.＝＋

D.＝－

【答案】　A　如图所示，在△ABC中，＝－.又∵＝3，∴＝＝－，∴＝＋＝－＋.2．(2015·安徽，8，中)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是()

A．|b|＝1

B．a⊥b

C．a·b＝1

D．(4a＋b)⊥

【答案】　D　如图，在等边△ABC中，＝2a，＝2a＋b，∵＋＝，∴＝b.又∵||＝2，||＝2，∴|b|＝2，|a|＝1，a与b的夹角为120°，∴a·b＝|a||b|cos

120°＝－1.∴A，B，C不正确．

4a＋b＝＋＝2，又⊥，故D正确．

3．(2015·课标Ⅱ，13，易)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．

【解析】　因为λa＋b与a＋2b平行，所以存在实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，由于a，b不平行，所以解得λ＝.【答案】

4．(2015·江苏，6，易)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．

【解析】　由ma＋nb＝(9，－8)得，m(2，1)＋n(1，－2)＝(9，－8)，即(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴解得∴m－n＝－3.【答案】　－3

5．(2015·北京，13，易)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝，若＝x＋y，则x＝________；y＝________.【解析】　如图，在△ABC中，＝＋＋

＝－＋＋

＝－＋＋(－)

＝－，∴x＝，y＝－.【答案】　　－

1．(2013·辽宁，3，易)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为()

A.B.C.D.【答案】　A　＝(3，－4)，||＝5.与同方向的单位向量为＝.故选A.2．(2012·广东，3，易)若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝()

A．(－2，－4)

B．(2，4)

C．(6，10)

D．(－6，－10)

【答案】　A　＝＋＝－＝(－2，－4)，故选A.3．(2014·浙江，8，中)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则()

A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}

B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}

C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2

D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2

【答案】　D　根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}的大小不确定；因为|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2ab，|a－b|2＝|a|＋|b|2－2a·b，则当a·b≥0时，max{|a＋b|2，|a－b|2}＝|a|2＋|b|2＋2a·b≥|a|2＋|b|2；

当a·b<0时，max{|a＋b|2，|a－b|2}

＝|a|2＋|b|2－2a·b≥|a|2＋|b|2，即总有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，故选D.4．(2012·安徽，8，中)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是()

A．(－7，－)

B．(－7，)

C．(－4，－2)

D．(－4，2)

【答案】　A　由题意，得||＝10，由三角函数定义，设P点坐标为(10cos

θ，10sin

θ)，则cos

θ＝，sin

θ＝.则Q点的坐标应为.由三角函数知识得10

cos

＝－7，10sin＝－，所以Q(－7，－)．故选A.5．(2014·北京，10，易)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.【解析】　∵λa＋b＝0，∴λa＝－b.∴|λa|＝|b|，∴|λ|·|a|＝|b|，∴|λ|·1＝，∴|λ|＝.【答案】

6．(2014·课标Ⅰ，15，中)已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．

【解析】　由＝(＋)可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC＝90°，所以与的夹角为90°.【答案】　90°

7．(2014·陕西，18，12分，中)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．

(1)若＋＋＝0，求||；

(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．

解：(1)方法一：∵＋＋＝0，又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，∴解得x＝2，y＝2，即＝(2，2)，故||＝2.方法二：∵＋＋＝0，则(－)＋(－)＋(－)＝0，∴＝(＋＋)＝(2，2)，∴||＝2.(2)＝(x，y)，＝(1，2)，＝(2，1)．

∵＝m＋n，∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，∴

②－①得，m－n＝y－x，令m－n＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值，故m－n的最大值为1.思路点拨：(1)根据向量相等，求出P点坐标后求||；

(2)根据向量相等，将m－n转化为x，y的关系，变换为线性规划问题．

考向1　平面向量的线性运算

向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

(1)交换律：

a＋b＝b＋a；

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差

a－b＝a＋(－b)

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ>0时，λa与a的方向相同；

当λ<0时，λa与a的方向相反；

当λ＝0时，λa＝0

(1)结合律：λ(μ

a)＝λμ

a＝μ(λa)；

(2)第一分配律：

(λ＋μ)a＝λa＋μ

a；

(3)第二分配律：

λ(a＋b)＝λa＋λb

(1)(2014·课标Ⅰ，6)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝()

A.B.C.D.(2)(2013·四川，12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．

【解析】(1)如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝·2＝.(2)如图，因为ABCD为平行四边形，所以＋＝＝2，已知＋＝λ，故λ＝2.【答案】(1)A(2)2

【点拨】　解题(1)时注意向量加法平行四边形法则的运用；解题(2)的思路是在平行四边形中把＋用表示，结合已知条件求出λ的值．

向量的线性运算的解题策略

(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．

(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．

(2014·福建，10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于()

A.B．2

C．3

D．4

【答案】　D　依题意知，点M是线段AC的中点，也是线段BD的中点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4，故选D.考向2　共线向量定理、平面向量基本定理及应用

1．向量共线的判定定理和性质定理

(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线．

(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.(3)A，B，C是平面上三点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得＝＋λ(如图所示)．

2．向量共线定理的应用

(1)证明点共线；

(2)证明两直线平行；

(3)已知向量共线求字母的值(或范围)．

3．平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．

(2)平面向量基本定理的实质

平面向量基本定理反映了利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．

4．平面向量基本定理的应用

(1)证明向量共面，如果有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，那么a，e1，e2共面．

(2)根据向量基本定理求字母的值(或范围)．

(1)(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是()

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)

B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)

C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)

(2)(2013·江苏，10)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

(3)(2015·安徽阜阳一模，14)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．

【解析】(1)方法一：若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，则e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，因为≠，所以e1，e2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量a＝(3，2)表示出来，故选B.方法二：因为a＝(3，2)，若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μ

e2，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μ

e2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以解得所以a＝2e1＋e2，故选B.(2)∵＝＋＝＋＝＋(－)＝－，又＝λ1＋λ2，∴λ1＝－，λ2＝.∴λ1＋λ2＝.(3)方法一：由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，则＋＋＝0，得＋＋＝0，得＋＝0.又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得

解得

所以λ＋μ＝.方法二：连接MN并延长交AB的延长线于T，由已知易得AB＝AT，∴＝＝λ＋μ，∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝.【答案】(1)B(2)(3)

【点拨】　题(1)利用平面向量基本定理求解；解题(2)的思路是先在△ABC中用和表示，然后根据已知条件对应求出λ1，λ2；解题(3)时注意基底的选取．

1.求解向量共线问题的注意事项

(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．

(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程，A，P，B三点共线⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内任一点，t∈R)．

(5)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路

(1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．

(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．

零向量和共线向量不能作基底，基向量通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．

(2012·大纲全国，9)△ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝()

A.a－b

B.a－b

C.a－b

D.a－b

【答案】　D　∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°，∴AB＝，CD＝.∴BD＝，AD＝，∴AD∶BD＝4∶1.∴＝＝(－)

＝a－b.考向3　平面向量坐标运算的应用

1．平面向量的坐标运算

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．

(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．

2．向量平行的坐标表示

(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0.(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0.a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．

3．平面向量中的重要结论

(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．

(3)G为△ABC的重心⇔＋＋＝0

⇔G，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．

(1)(2012·重庆，6)设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()

A.B.C．2

D．10

(2)(2013·北京，13)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．

【解析】(1)由⇒⇒

∴a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝.(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3),．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即

解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.【答案】(1)B(2)4

【点拨】　解题(1)时注意应用向量平行与垂直的坐标表示；解题(2)的关键是建立平面直角坐标系，正确写出a，b，c的坐标，利用a，b，c之间的关系，列出方程组求解．

向量坐标运算问题的一般思路

向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．以向量为载体，可以解决三角函数、解析几何中的有关问题．

(2014·陕西，13)设0<θ<，向量a＝(sin

2θ，cos

θ)，b＝(cos

θ，1)，若a∥b，则tan

θ＝________．

【解析】　因为a∥b，所以sin

2θ＝cos2θ，2sin

θcos

θ＝cos2θ.因为0<θ<，所以cos

θ>0，得2sin

θ＝cos

θ，∴tan

θ＝.【答案】

1．(2015·河北邯郸一模，5)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则等于()

A．－2

B．2

C．－

D.【答案】　C　由题意得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，∵(ma＋nb)∥(a－2b)，∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，∴＝－，故选C.2．(2015·青海西宁质检，6)已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为()

A．P在△ABC内部

B．P在△ABC外部

C．P在AB边所在直线上

D．P是AC边的一个三等分点

【答案】　D　∵＋＋＝，∴＋＋＝－，∴＝－2＝2，∴P是AC边的一个三等分点．

3．(2015·山东日照一模，5)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于()

A.a＋b

B.a＋b

C.a＋b

D.a＋b

【答案】　B　如图，∵△DEF∽△BEA，∴DF∶BA＝DE∶BE＝1∶3，过点F作FG∥BD交AC于点G，∴FG∶DO＝2∶3，CG∶CO＝2∶3，∴＝b，∵＝＋＝＝a，∴＝＋＝a＋b.故选B.4．(2015·吉林长春调研，7)已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋b＋c＝0，则角A为()

A.B.C.D.【答案】　A　∵G为△ABC的重心，∴＋＋＝0.∵a＋b＋c＝0，∴＋＝0，∴a－c＝0，b－c＝0，∴a＝c，b＝c，∴cos

A＝

＝＝，∴A＝.5．(2014·广东佛山二模，6)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是()

A．2

B．4

C．6

D．8

【答案】　D　方法一：由题意可得，＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，所以＝－＝(a－1，1)，＝－＝(－b－1，2)．

又∵A，B，C三点共线，∴∥，即(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又∵a>0，b>0，∴＋＝·(2a＋b)＝4＋≥4＋4＝8，当且仅当＝时，取“＝”．故选D.方法二：kAB＝，kAC＝，∵A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即＝，∴2a＋b＝1，所以＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，∴＋的最小值是8.思路点拨：先由A，B，C三点共线，找出a，b的关系，然后把“1”代换，利用基本不等式求解．

6．(2015·河南开封月考，13)平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(－1，c)(c>0)，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则实数λ，μ的值分别是________．

【解析】　∵||＝2，∴||2＝1＋c2＝4，c>0，∴c＝.∵＝λ＋μ，∴(－1，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)，∴λ＝－1，μ＝.【答案】　－1，7．(2015·山西临汾模拟，15)如图，△ABC中，＋＋＝0，＝a，＝b.若＝ma，＝nb，CG∩PQ＝H，＝2，则＋＝________．

【解析】　由＋＋＝0，知G为△ABC的重心，取AB的中点D，则＝＝＝(＋)＝＋，由P，H，Q三点共线，得＋＝1，则＋＝6.【答案】　6

8．(2014·山西阳泉三模，14)设O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为________．

【解析】　设AC，BC的中点分别为M，N，则已知条件可化为(＋)＋2(＋)＝0，即2＋4＝0，所以＝－2，说明M，O，N三点共线，即O为中位线MN上的一个三等分点，S△AOC＝S△ANC＝·S△ABC＝S△ABC，所以＝3.【答案】　3

1．(2015·山东，4，易)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝()

A．－a2

B．－a2

C.a2

D.a2

【答案】　D　∵＝＋，且＝，∴·＝(＋)·＝·＋2＝||||cos

60°＋||2＝a2＋a2＝a2.故选D.2．(2015·重庆，6，易)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()

A.B.C.D．π

【答案】　A　设|b|＝x，〈a，b〉＝θ，则|a|＝x，a·b＝x2cos

θ.∵(a－b)⊥(3a＋2b)，∴(a－b)·(3a＋2b)＝0，∴3a2＋2a·b－3a·b－2b2＝0，即3×x2－x2cos

θ－2x2＝0，∴cos

θ＝，∴cos

θ＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故选A.3．(2015·湖北，11，易)已知向量⊥，||＝3，则·＝________．

【解析】　·＝·(＋)

＝2＋·＝9.【答案】　9

1．(2014·重庆，4，易)已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()

A．－

B．0

C．3

D.【答案】　C　2a－3b＝(2k－3，－6)，由(2a－3b)⊥c，得4k－6－6＝0，解得k＝3.故选C.2．(2013·湖北，6，易)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为()

A.B.C．－

D．－

【答案】　A　由＝(2，1)，＝(5，5)，得·＝15，||＝5.∵·＝||||cos

〈，〉，∴||cos

〈，〉＝＝＝.故选A.3．(2013·湖南，8，中)已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为()

A.－1

B.C.＋1

D.＋2

【答案】　C　建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知a⊥b，且a与b是单位向量，∴可设＝a＝(1，0)，＝b＝(0，1)，＝c＝(x，y)．

∴c－a－b＝(x－1，y－1)，∵|c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即点C(x，y)的轨迹是以M(1，1)为圆心，1为半径的圆．而|c|＝，∴|c|的最大值为|OM|＋1，即|c|max＝＋1，故选C.4．(2012·广东，8，难)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝()

A.B．1

C.D.【答案】　C　根据题中给定的两个向量的新运算可知a∘b＝＝＝，b∘a＝，又由θ∈可得

θ<1，由|a|≥|b|>0可得0<≤1，于是0<<1，即b∘a∈(0，1)，又由于b∘a∈，所以＝，即|a|＝2|b|cos

θ.①

同理>，将①代入后得2cos2θ>，又由于a∘b∈，所以a∘b＝2cos2θ＝(n∈Z)，于是1<<2，故n＝3，∴cos

θ＝，|a|＝|b|，∴a∘b＝×＝，故选C.5．(2014·江西，14，中)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos

α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos

β＝________．

【解析】　a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8.∵|a|2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－12×1×1×＝9，∴|a|＝3.∵|b|2＝(3e1－e2)2＝9＋1－6×1×1×＝8，∴|b|＝2，∴cos

β＝＝＝.【答案】

6．(2012·安徽，14，中)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．

【解析】　由向量的数量积知－|a||b|≤a·b≤|a||b|⇒|a|·|b|≥－a·b(当且仅当〈a，b〉＝π时等号成立)．

由|2a－b|≤3⇒4|a|2－4a·b＋|b|2≤9⇒9＋4a·b≥4|a|2＋|b|2≥4|a||b|≥－4a·b⇒a·b≥－(当且仅当2|a|＝|b|，〈a，b〉＝π时取等号)，∴a·b的最小值为－.【答案】　－

思路点拨：先由|2a－b|≤3找出a·b与|a|·|b|之间关系，再利用基本不等式及数量积的定义求最值．

7．(2014·安徽，15，难)已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成．记S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①S有5个不同的值；

②若a⊥b，则Smin与|a|无关；

③若a∥b，则Smin与|b|无关；

④若|b|＞4|a|，则Smin＞0；

⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，则a与b的夹角为.【解析】　S有3种结果：

S1＝a2＋a2＋b2＋b2＋b2，S2＝a2＋a·b＋a·b＋b2＋b2，S3＝a·b＋a·b＋a·b＋a·b＋b2，故①错误．

∵S1－S2＝S2－S3＝a2＋b2－2a·b

≥a2＋b2－2|a||b|＝(|a|－|b|)2≥0，∴S中的最小值为S3.若a⊥b，则Smin＝S3＝b2，与|a|无关，故②正确．

若a∥b，则Smin＝S3＝4a·b＋b2，与|b|有关，故③错误．

若|b|>4|a|，则Smin＝S3＝4|a||b|cos

θ＋b2>－4|a||b|＋b2>－|b|2＋b2＝0，故④正确．

若|b|＝2|a|，则Smin＝S3＝8|a|2cos

θ＋4|a|2＝8|a|2，∴2cos

θ＝1，∴θ＝，故⑤错误．

【答案】　②④

考向1　平面向量的垂直与夹角

1．平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos

θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos

θ.规定：0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos

θ的乘积．

两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．

2．平面向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则

(1)e·a＝a·e＝|a|cos

θ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)cos

θ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则

(1)a·b＝x1x2＋y1y2.(2)|a|＝.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.(3)cos

θ＝.(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．

(1)(2014·四川，7)平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝()

A．－2

B．－1

C．1

D．2

(2)(2014·天津，8)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝()

A.B.C.D.(3)(2013·山东，15)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．

【解析】(1)c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.由两向量的夹角相等可得＝，即为＝，解得m＝2.(2)以，为基向量，则·＝(＋λ)·(＋μ)＝μ2＋λ2＋(1＋λμ)·＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1.①

·＝(λ－1)·(μ－1)＝－2(λ－1)(μ－1)＝－.②

由①②可得λ＋μ＝.(3)∵⊥，∴·＝0，∴(λ＋)·＝0，即(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝0.∵向量与的夹角为120°，||＝3，||＝2，∴(λ－1)||||·cos

120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.【答案】(1)D(2)C(3)

【点拨】　题(1)考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式，求解时先进行运算，最后代入坐标，使解题过程简洁；题(2)根据条件把，分别用，表示，然后根据向量数量积公式得方程组求解；解题(3)的方法是根据·＝0列出等量关系求出λ.平面向量数量积的应用

(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos

θ＝(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题．

(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．

(1)(2011·课标全国，10)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

p1：|a＋b|>1⇔θ∈

p2：|a＋b|>1⇔θ∈

p3：|a－b|>1⇔θ∈

p4：|a－b|>1⇔θ∈

其中的真命题是()

A．p1，p4

B．p1，p3

C．p2，p3

D．p2，p4

(2)(2014·湖北，11)设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．

(1)【答案】　A　∵|a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|>1，则(a＋b)2>1，∴a2＋2a·b＋b2>1，即a·b>－，∴cos

θ＝＝a·b>－，∴θ∈；

若|a－b|>1，同理求得a·b<，∴cos

θ＝a·b<，∴θ∈，∴p1，p4正确，故选A.(2)【解析】　∵a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，∴(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.【答案】　±3

考向2　平面向量的模及其应用

求平面向量的模的公式

(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝；

(2)|a±b|＝＝；

(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.(1)(2014·课标Ⅱ，3)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()

A．1

B．2

C．3

D．5

(2)(2014·湖南，16)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．

【解析】(1)由|a＋b|＝得a2＋b2＋2a·b＝10，①

由|a－b|＝得a2＋b2－2a·b＝6，②

①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1，故选A.(2)方法一：设D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1可知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．

又＋＋＝(－1，0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)，∴|＋＋|＝，问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值．

∵圆心C(3，0)与点P(1，－)之间的距离为＝，故的最大值为＋1.方法二：设D(x，y)，则由||＝1，得(x－3)2＋y2＝1，从而可设x＝3＋cos

α，y＝sin

α，α∈R.而＋＋＝(x－1，y＋)，则|＋＋|＝

＝

＝＝，其中sin

φ＝，cos

φ＝.显然当sin(α＋φ)＝1时，|＋＋|有最大值＝＋1.方法三：＋＋＝＋＋＋，设a＝＋＋＝(2，)，则|a|＝，从而＋＋＝a＋，则|＋＋|＝|a＋|≤|a|＋||＝＋1，当a与同向时，|＋＋|有最大值＋1.【答案】(1)A(2)＋1

【点拨】　解题(1)时注意先求模的平方，再用加减运算求解；题(2)方法一利用几何意义将问题转化为几何问题；方法二采用换元法将问题转化为求三角函数的最值；方法三利用向量运算性质求解．

1.求向量的模的方法

(1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算．

(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．

2．求向量模的最值(范围)的方法

(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．

(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．

(2015·河南开封模拟，14)已知向量a与b垂直，|a|＝2，若使得(a－c)·(b－c)＝0的c的模的最大值为，则|b|＝________．

【解析】　因为(a－c)·(b－c)＝a·b＋c2－(a＋b)·c＝0且a与b垂直，所以c2＝(a＋b)·c，|c|＝|a＋b|cos

θ≤|a＋b|(θ为a＋b与c的夹角)，由题意知|a＋b|＝＝＝＝，得|b|＝1.【答案】　1

1．(2015·河北承德质检，4)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是()

A．a∥b

B．a⊥b

C．|a|＝|b|

D．a＋b＝a－b

【答案】　B　因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，所以a⊥b.故选B.2．(2015·浙江温州二模，5)已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)2＝1，则a与b的夹角等于()

A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

【答案】　C　设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|·cos

θ＝，且|a|＝1，所以|b|cos

θ＝.①

又|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1，即1＋|b|2－1＝1，故|b|＝1.②

由①②得cos

θ＝.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°.故选C.3．(2015·河南驻马店质检，6)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为()

A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰直角三角形

【答案】　C　因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，∵－＝，∴(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形，故选C.4．(2015·上海嘉定模拟，15)已知i，j，k表示共面的三个单位向量，i⊥j，那么(i＋k)·(j＋k)的取值范围是()

A．[－3，3]

B．[－2，2]

C．[－1，＋1]

D．[1－，1＋]

【答案】　D　由i⊥j，得i·j＝0，又i，j为单位向量，∴|i＋j|＝＝，则(i＋k)·(j＋k)＝i·j＋(i＋j)·k＋k2

＝(i＋j)·k＋1＝|i＋j|cosi＋j，k＋1

＝cosi＋j，k＋1，又∵－1≤cosi＋j，k≤1，∴(i＋k)·(j＋k)的取值范围是[1－，1＋]．故选D.5．(2015·福建莆田一模，6)已知a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则(a－b)·c的取值范围是()

A．[0，1]

B．[－1，1]

C．[－，]

D．[0，]

【答案】　C　由a，b为单位向量和|a＋b|＝1的几何意义，可知|a－b|＝，设a－b与c的夹角为θ，则(a－b)·c＝|a－b||c|·cos

θ，∵cos

θ∈[－1，1]，∴(a－b)·c的取值范围为[－，]．

6．(2014·湖南九校联考，9)对于非零向量m，n，定义运算“*”：m*n＝|m||n|sin

θ，其中θ为m，n的夹角，有两两不共线的三个向量a，b，c，下列结论正确的是()

A．若a*b＝a*c，则b＝c

B．(a*b)c＝a(b*c)

C．a*b＝(－a)*b

D．(a＋b)*c＝a*c＋b*c

【答案】　C　a，b，c为两两不共线向量，则a，b，c为非零向量，故A不正确；设a，b夹角为θ，b，c夹角为α，则(a*b)c＝|a||b|·sin

θ·c，a(b*c)＝|b||c|sin

α·a，故B不正确；a*b＝|a||b|sin

θ＝|－a||b|sin(π－θ)＝(－a)*b.故选C.7．(2015·山东淄博一模，14)若a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈，则b与a－b的夹角的取值范围是________．

【解析】　设＝a，＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，因为|a|＝|b|，所以四边形OACB是菱形，设∠BOC＝θ，则∠OBC＝π－2θ，在△OBC中，由正弦定理可得＝，化简得cos

θ＝，由λ∈得∈，所以θ∈，所以b，a－b＝θ＋∈.【答案】

8．(2014·江西南昌二模，12)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：

①若a·b＝a·c，则b＝c；

②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，则k＝－3；

③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．

【解析】　命题①明显错误．由两向量平行的充要条件得1×6＋2k＝0，k＝－3，故命题②正确．由|a|＝|b|＝|a－b|，再结合平行四边形法则可得a与a＋b的夹角为30°，命题③错误．

【答案】　②

1．(2015·天津，14，中)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．

【解析】　如图，分别过C，D作CN⊥AB于N，DM⊥AB于M，则AM＝BN＝，∴CD＝MN＝1.∴·＝(＋)·(＋＋)

＝2＋·＋·＋·＋·＋·

＝4－1－2－λ＋λ＋λ·

＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即λ＝时等号成立，此时·有最小值.【答案】

2．(2015·江苏，14，难)设向量ak＝(k＝0，1，2，…，12)，则

(ak·ak＋1)的值为________．

【解析】　ak·ak＋1

＝·

＝coscosπ＋·

＝coscosπ＋sinsinπ＋sincosπ＋cossinπ＋coscosπ

＝cos＋sinπ＋coscosπ，(ak·ak＋1)＝12cos＋sinπ＋coscosπ

＝6＋0＋4

＝9.【答案】　9

3．(2015·浙江，15，难)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝.若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝______，y0＝________，|b|＝________．

【解析】　∵e1·e2＝|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝.不妨设e1＝，e2＝(1，0，0)，b＝(m，n，t)．

则由题意知b·e1＝m＋n＝2，b·e2＝m＝.解得n＝，m＝，∴b＝.∵b－(xe1＋ye2)

＝，∴|b－(xe1＋ye2)|2＝＋＋t2.由题意，当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，|b－(xe1＋ye2)|2取到最小值1.此时t2＝1，故|b|＝

＝＝2.【答案】　1　2　2

4．(2015·广东，16，12分，易)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin

x，cos

x)，x∈.(1)若m⊥n，求tan

x的值；

(2)若m与n的夹角为，求x的值．

解：(1)∵m＝，n＝(sin

x，cos

x)，m⊥n，∴m·n＝sin

x－cos

x＝0，即sin

x＝cos

x，∴tan

x＝＝1.(2)由题意知，|m|＝＝1，|n|＝＝1，m·n＝sin

x－cos

x＝sin.而m·n＝|m|·|n|·cos〈m，n〉

＝cos＝.∴sin＝，又∵x∈，x－∈，∴x－＝，∴x＝.1．(2012·湖南，7，中)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝()

A.B.C．2

D.【答案】　A　∵·＝·(－)＝·－2＝1，∴·＝5，即2×3cos

A＝5，∴cos

A＝.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos

A＝3，∴BC＝，故选A.思路点拨：先根据数量积求出角A的三角函数值，再由余弦定理求BC.2．(2012·江西，7，中)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝()

A．2

B．4

C．5

D．10

【答案】　D　方法一：以C为原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系．设A(a，0)，B(0，b)，则D，P.从而|PA|2＋|PB|2＝＋＝(a2＋b2)＝10|PC|2，故＝10.方法二：因为－＝，且＋＝2，两式平方相加得22＋22＝2＋42＝42＋42＝202，故＝10.3．(2014·安徽，10，难)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acos

θ＋bsin

θ，0≤θ＜2π}，区域Ω＝{P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则()

A．1＜r＜R＜3

B．1＜r＜3≤R

C．r≤1＜R＜3

D．1＜r＜3＜R

【答案】　A　由题意，可取a＝(1，0)，b＝(0，1)，则＝(，)，＝(cos

θ，sin

θ)，＝(－cos

θ，－sin

θ)，∴||2＝(－cos

θ)2＋(－sin

θ)2

＝5－2(cos

θ＋sin

θ)

＝5－4sin.∵0≤θ<2π，∴≤θ＋<，∴1≤||2≤9，即1≤||≤3.因为C∩Ω为两段分离的曲线，结合图象(如图)可知，1

A.B.C.D.【答案】　A　如图，＝－，＝－，∵·＝－，∴(－)·(－)＝－，·－·－·＋·＝－.又＝λ，＝(1－λ)，代入上式得

(1－λ)·λ－(1－λ)·－·λ＋·＝－.(*)

∵△ABC为等边三角形，且||＝||＝||＝2，∴·＝||·||·cos

60°＝2×2×＝2，||2＝4，||2＝4，代入(*)式得4λ2－4λ＋1＝0，即(2λ－1)2＝0，∴λ＝，故选A.5．(2014·江苏，12，易)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．

【解析】　由题意，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－，所以·＝

·

＝2－·－2，代入数据得2＝25－·－×64，解得·＝22.【答案】　22

6．(2012·北京，13，中)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．

【解析】　①以D点为原点，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的直角坐标系，则D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，C(1，0)．设E(x，1)，那么＝(x，1)，＝(0，1)，∴·＝1.②∵＝(1，0)，∴·＝x.∵正方形的边长为1，∴x的最大值为1，故·的最大值为1.【答案】　1　1

7．(2012·上海，12，中)在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2，1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．

【解析】　方法一：因为点M，N分别在边BC和CD上，可设＝＝k∈[0，1]，则·＝(＋)·(＋＋)

＝(＋k)·(＋＋k)

＝　2＋·＋k·＋k·＋k　2＋k2·＝4＋2×1×－4k＋2×1×k＋k－1×2×k2＝5－2k－k2＝－(k＋1)2＋6∈[2，5]，k∈[0，1]．

方法二：建立平面直角坐标系，如图．

则B(2，0)，C，D.令＝＝λ，则M，N.∴·＝·＋λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.∵0≤λ≤1，∴·∈[2，5]．

【答案】　[2，5]

8．(2013·江苏，15，14分，易)已知a＝(cos

α，sin

α)，b＝(cos

β，sin

β)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；

(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．

解：(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)因为a＋b＝(cos

α＋cos

β，sin

α＋sin

β)＝(0，1)，所以

由此得，cos

α＝cos(π－β)．

由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin

α＋sin

β＝1，得sin

α＝sin

β＝.又α>β，所以α＝，β＝.考向1　平面向量在平面几何中的应用

向量在几何中的应用

(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：

a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，常用公式：

cos

θ＝＝.(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模

|a|＝＝或

|AB|＝||＝.(1)(2013·福建，7)在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为()

A.B．2

C．5

D．10

(2)(2013·天津，12)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．

【解析】(1)·＝(1，2)·(－4，2)＝0，故⊥.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝·||·||＝××2＝5，故选C.(2)方法一：由题意可知，＝＋，＝－＋.因为·＝1，所以(＋)·＝1，则2＋·－2＝1.①

因为||＝1，∠BAD＝60°，所以·＝||，因此①式可化为1＋||－||2＝1.解得||＝0(舍去)或，所以AB的长为.方法二：以A为原点，AB为x轴建立如图的直角坐标系，过D作DM⊥AB于点M.由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝，DM＝.设|AB|＝m(m＞0)，则B(m，0)．

C，D.因为E是CD的中点，所以E.所以＝，＝.由·＝1，可得＋＝1，即2m2－m＝0，所以m＝0(舍去)或.故AB的长为.【答案】(1)C(2)

【点拨】　解题(1)的关键是利用向量证明AC⊥BD；解题(2)的方法一是利用平面向量运算，将，用已知向量表示，然后求解；方法二是建立合适的平面直角坐标系，用坐标法求解，准确写出点的坐标是关键．

用向量解决平面几何问题的步骤

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

(2013·课标Ⅱ，13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．

【解析】　方法一：·

＝·(－)

＝2－2＝22－×22＝2.方法二：以A为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A(0，0)，E(1，2)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，＝(1，2)，＝(－2，2)，则·＝(1，2)·(－2，2)＝1×(－2)＋2×2＝2.【答案】　2

考向2　平面向量在三角函数中的应用

与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题．解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．

(1)(2014·山东，12)在△ABC中，已知·＝tan

A，当A＝时，△ABC的面积为________．

(2)(2013·辽宁，17，12分)设向量a＝(sin

x，sin

x)，b＝(cos

x，sin

x)，x∈.①若|a|＝|b|，求x的值；

②设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．

【解析】(1)在△ABC中，·＝||·|·cos

A＝tan

A，∴||·||＝＝＝.由三角形面积公式，得S＝|AB|·|AC|sin

A＝××＝.(2)①由|a|2＝(sin

x)2＋(sin

x)2＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈，∴sin

x＝，∴x＝.②f(x)＝a·b＝sin

x·cos

x＋sin2x

＝sin

2x－cos

2x＋

＝sin＋，当x＝∈时，sin取最大值1.∴f(x)的最大值为.【点拨】　解题(1)的关键是利用向量知识求出||·||的值；解题(2)时注意角x的取值范围．

向量与三角函数综合问题的特点与解题思路

(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法．

(2)对于三角函数求最值问题，大都有两种形式：一种是化成y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，另一种是化成y＝asin2x＋bsin

x＋c或y＝acos2x＋bcos

x＋c的形式．

(2015·安徽宣城模拟，17，12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝1.(1)判断△ABC的形状；

(2)求边长c的值；

(3)若|＋|＝2，求△ABC的面积．

解：(1)由·＝·＝1，得bc·cos

A＝ac·cos

B，由正弦定理，即sin

Bcos

A＝sin

Acos

B，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B，即△ABC是等腰三角形．

(2)由·＝1，得bc·cos

A＝1，又bc·＝1，则b2＋c2－a2＝2，又a＝b，∴c2＝2，即c＝.(3)由|＋|＝2，得2＋b2＋2＝8，∴b＝2，又c＝，∴cos

A＝，sin

A＝，∴S△ABC＝bc·sin

A＝×2××＝.1．(2015·安徽铜陵质检，6)已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上存在一点P使·有最小值，则点P的坐标是()

A．(－3，0)

B．(2，0)

C．(3，0)

D．(4，0)

【答案】　C　设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．

·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)

＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，·有最小值1.此时点P的坐标是(3，0)．

2．(2015·湖北宜昌一模，6)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3＋4＋5＝0，则△AOC的面积为()

A.B.C.D.【答案】　A　由题设，得3＋5＝－4，即9＋2×3×5·＋25＝16，∴cos∠AOC＝－，∴sin∠AOC＝，S△AOC＝×1×1×＝.3．(2015·辽宁大连质检，8)设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，·的值等于()

A．0

B．2

C．4

D．－2

【答案】　D　由题意得c＝＝，S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，此时∠F1PF2＝120°，||＝||＝2.所以·＝||

||cos

120°＝2×2×＝－2.4．(2014·湖南长沙二模，6)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝()

A．2

B.C．－

D.【答案】　D　以A为原点，AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图．

设B(xB，0)，D(0，1)，C(xC，yC)，＝(xC－xB，yC)，＝(－xB，1)，∵＝，∴xC－xB＝－xB⇒xC＝(1－)xB，yC＝，＝((1－)xB，)，＝(0，1)，·＝.5．(2014·河北石家庄一模，6)已知点G为△ABC的重心，∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是()

A.B.C.D.【答案】　C　设BC的中点为M，则＝.又M为BC中点，∴＝(＋)，∴＝＝(＋)，∴||＝.又∵·＝－2，∠A＝120°，∴||||＝4.∴||＝

≥＝，当且仅当||＝||时取“＝”，∴||的最小值为，故选C.6．(2015·河南周口一模，14)已知点O为△ABC的外心，且||＝4，||＝2，则·＝________．

【解析】　因为点O为△ABC的外心，且||＝4，||＝2，所以·＝·(－)

＝·－·

＝||||cos〈，〉－||||·cos〈，〉

＝||||×－||||×＝6.【答案】　6

7．(2015·山东临沂质检，14)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．

【解析】　由余弦定理，得

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos

B

＝(2)2＋22－2×2×2cos

30°＝4，∴AC＝2，∴AC＝BC＝2，∴∠CAB＝30°，∠DAC＝60°.AD＝1，∴AE∈[1，2]，∵＝＋μ，∴||2＝(＋μ)2

＝||2＋|μ|2

＝1＋(2)2μ2＝1＋12μ2，∴μ2＝，∵||∈[1，2]，∴μ2∈，∴μ∈.【答案】

8．(2015·山西太原一模，14)设G是△ABC的重心，且sin

A·＋3sin

B·＋3sin

C·＝0，则角B的大小为______________．

【解析】　∵sin

A·＋3sin

B·＋3sin

C·＝0，设三角形的边长顺次为a，b，c，由正弦定理得a·＋3b·＋3c·＝0，由点G为△ABC的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：

3＝＋，3＝＋，3＝＋，代入上式得：a(＋)＋3b(＋)＋3c(＋)＝0，又＝＋，上式可化为：

a(2＋)＋3b(＋)＋3c·(－＋2)＝0，即(2a－3b－3c)＋(－a－3b＋6c)＝0，则有

①－②得3a＝9c，即a∶c＝3∶1，设a＝3k，c＝k，代入①得b＝－k，∴cos

B＝＝＝，∴B＝.【答案】

9．(2014·江西五校联考，17，12分)已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；

(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos

B＝bcos

C，求函数f(A)的取值范围．

解：m·n＝sincos＋cos2

＝sin＋×cos＋

＝sin＋.(1)∵m·n＝1，∴sin＝，cos＝1－2sin2＝，cos＝－cos＝－.(2)∵(2a－c)cos

B＝bcos

C，由正弦定理得(2sin

A－sin

C)·cos

B＝sin

Bcos

C，∴2sin

Acos

B＝sin

Ccos

B＋sin

Bcos

C，∴2sin

Acos

B＝sin(B＋C)．

∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin

A，且sin

A≠0，∴cos

B＝，B＝.∴0

一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)

1．(2015·湖南株洲质检，4)已知向量a＝(3，4)，b＝(sin

α，cos

α)，且a∥b，则tan

α＝()

A.B．－

C.D．－

【答案】　A　方法一：∵a∥b⇒a＝λb，则(3，4)＝λ(sin

α，cos

α)，∴即tan

α＝.方法二：∵a＝(3，4)，b＝(sin

α，cos

α)，且a∥b，∴3cos

α－4sin

α＝0，即tan

α＝＝.2．(2013·大纲全国，3)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝()

A．－4

B．－3

C．－2

D．－1

【答案】　B　∵m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由题意知(m＋n)·(m－n)＝0，即－(2λ＋3)－3＝0，因此λ＝－3.故选B.3．(2015·浙江杭州二模，6)设A，B，C为直线l上不同的三点，O为直线l外一点．若p＋q＋r＝0(p，q，r∈R)，则p＋q＋r＝()

A．－1

B．0

C．1

D．3

【答案】　B　由已知得＝－－，而A，B，C三点共线，所以－＋＝1，所以p＋q＋r＝0.4．(2015·福建福州一模，6)如图，设向量＝(3，1)，＝(1，3)，若＝λ＋μ，且λ≥μ≥1，则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是()

【答案】　D　设C(x，y)．∵＝λ＋μ＝λ(3，1)＋μ(1，3)＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，∴解得

∵λ≥μ≥1，∴故选D.5．(2015·黑龙江伊春质检，6)已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120°，若(a＋mb)⊥a，则实数m的值为()

A．1

B.C．2

D．3

【答案】　D　∵(a＋mb)⊥a，∴(a＋mb)·a＝0，∴|a|2＋m·|a|·|b|cos

120°＝0，即9＋m·3×2×＝0，∴m＝3.故选D.6．(2015·河南中原名校联考，4)已知不共线向量a，b，|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝1，则|a－b|＝()

A.B．2

C.D.【答案】　A　由a·(b－a)＝1得a·b－a2＝1，∴a·b＝5.∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×5＋9＝3，∴|a－b|＝.故选A.7．(2013·广东，10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：

①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；

②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；

③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；

④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μ

c.上述命题中的向量b，c和a在同一个平面内且两两不共线，则真命题的个数是()

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】　B　对于①，因为a与b给定，所以a－b一定存在，可表示为c，即c＝a－b，故a＝b＋c成立，①正确；对于②，因为b与c不共线，由平面向量基本定理可知②正确；对于③，以a的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb有交点，这个不一定满足，故③错误；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必有|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④错，因此正确的有2个．故选B.8．(2015·山西晋中十校联考，6)已知O为原点，点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，a)，其中常数a>0，点P在线段AB上，且有＝t(0≤t≤1)，则·的最大值为()

A．a

B．2a

C．3a

D．a2

【答案】　D　∵＝t，∴＝＋＝＋t(－)

＝(1－t)＋t＝(a－at，at)，∴·＝a2(1－t)，∵0≤t≤1，∴0≤·≤a2.9．(2015·安徽安庆一模，6)已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O一定为△ABC的()

A．外心

B．内心

C．垂心

D．重心

【答案】　C　由2＋2＝2＋2，得2＋(－)2＝2＋(－)2，∴·＝·，∴·＝0.∴O在边AB的高线上．

同理，O在边AC，BC的高线上，则O为△ABC的垂心．故选C.10．(2015·江西宜春一模，11)已知定义在区间(0，3)上的函数f(x)的图象如图所示，若a＝(f(x)，0)，b＝(cos

x，1)，则不等式a·b<0的解集是()

A．(0，1)

B．(0，1]

C．(0，1)∪

D．(0，1]∪

【答案】　C　∵(0，3)上的函数f(x)的图象如图所示，a＝(f(x)，0)，b＝(cos

x，1)

∴当x∈(0，1)时，f(x)<0，cos

x>0；

当x∈时，cos

x≥0，f(x)≥0；

当x∈时，f(x)>0，cos

x<0，∴a·b＝f(x)cos

x<0的解集是(0，1)∪.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

11．(2011·江苏，10)已知e1，e2

是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若

a·b＝0，则实数k的值为________．

【解析】　a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)

＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e

＝k＋(1－2k)cos－2＝0，解得k＝.【答案】

12．(2015·山东烟台质检，14)△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝(3c－b，a－b)，n＝(3a＋3b，c)，m∥n，则cos

A＝________．

【解析】　∵m∥n，∴(3c－b)c＝(a－b)(3a＋3b)，即bc＝3(b2＋c2－a2)，∴＝，∴cos

A＝＝.【答案】

13．(2015·江西南昌一模，12)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(cos

α，sin

α)(α∈R)，实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－3)2＋n2的最大值为________．

【解析】　方法一：由ma＋nb＝c，可得

故(m＋n)2＋(m－n)2＝2，即m2＋n2＝1，故点M(m，n)在以原点为圆心，1为半径的圆上，则点P(3，0)到点M的距离的最大值为|OP|＋1＝3＋1＝4，故(m－3)2＋n2的最大值为42＝16.方法二：∵ma＋nb＝c，∴(m＋n，m－n)＝(cos

α，sin

α)(α∈R)．

∴m＋n＝cos

α，m－n＝sin

α.∴m＝sin，n＝cos.∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＋9

＝10－6sin.∵sin∈[－1，1]，∴(m－3)2＋n2的最大值为16.【答案】　16

14．(2012·江苏，9)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．

【解析】　方法一：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(，0)，D(2，0)，E(，1)，设F(x，2)，∴＝(x，2)，＝(，0)，∴·＝x＝，∴x＝1，∴F(1，2)，∴·＝(，1)·(1－，2)＝.方法二：·＝||||cos∠BAF＝，∴||cos∠BAF＝1，即||＝1，∴||＝－1，·＝(＋)·(＋)

＝·＋·＋·＋·

＝·＋·

＝×(－1)×(－1)＋1×2×1＝.【答案】

三、解答题(共4小题，共50分)

15．(12分)(2015·山东德州一模，16)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos

B，－sin

B)，且m·n＝－.(1)求sin

A的值；

(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．

解：(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cos

B－sin(A－B)sin

B＝－，所以cos

A＝－.因为0

A＝＝＝.(2)由正弦定理，得＝，则sin

B＝＝＝，因为a>b，所以A>B，则B＝，由余弦定理得

(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1，故向量在方向上的投影为

||cos

B＝ccos

B＝1×＝.16．(12分)(2014·广东惠州三模，18)在△ABC中，AB边上的中线CO＝2，若动点P满足＝sin2θ·＋cos2θ·(θ∈R)，求(＋)·的最小值．

解：因为＝sin2θ·＋cos2θ·，又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以C，P，O三点共线，且sin2θ，cos2θ∈[0，1]，所以点P在线段OC上，故(＋)·＝2·，设||＝t，t∈[0，2]，则(＋)·＝2t(2－t)×cos

180°

＝2t2－4t＝2(t－1)2－2，所以当t＝1时取最小值－2.17．(12分)(2015·重庆育才中学月考，17)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若m＝，n＝(－2，cos

2A＋1)，且m⊥n.(1)求角A的大小；

(2)当a＝2，且△ABC的面积S＝时，求边c的值和△ABC的面积．

解：(1)由于m⊥n，所以m·n＝－2sin2＋cos

2A＋1

＝1－2cos2＋2cos2A－1

＝2cos2A－cos

A－1

＝(2cos

A＋1)(cos

A－1)

＝0.所以cos

A＝－或cos

A＝1(舍去)，又A∈(0，π)，故A＝.(2)由S＝及余弦定理得

＝absin

C，整理得

tan

C＝.又C∈(0，π)，所以C＝.由(1)知A＝，故B＝C＝.又由正弦定理＝得c＝2，所以△ABC的面积S＝acsin

B＝.18．(14分)(2013·重庆二模，20)如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，＝＋，四边形OAQP的面积为S.(1)求·＋S的最大值及此时θ的值θ0；

(2)设点B的坐标为，∠AOB＝α，在(1)的条件下求cos(α＋θ0)．

解：(1)由题意知A，P的坐标分别为(1，0)，(cos

θ，sin

θ)．

∵＝＋＝(1，0)＋(cos

θ，sin

θ)＝(1＋cos

θ，sin

θ)，∴·＝(1，0)·(1＋cos

θ，sin

θ)

＝1＋cos

θ.由题意可知S＝sin

θ.∴·＋S＝sin

θ＋cos

θ＋1

＝sin＋1(0<θ<π)．

∴·＋S的最大值是＋1，此时θ0＝.(2)∵B，∠AOB＝α，∴cos

α＝－，sin

α＝.∴cos(α＋θ0)＝cos

＝cos

αcos－sin

αsin