向量混合积

向量混合积（精选4篇）

向量混合积 篇1

由边的中点联想到三角形的两心———重心、外心, 分别用重心、外心去替换边的中点, 得到此题的两个变式.

解法2因为

过O点分别作OE⊥CB, OF⊥CA, E、F为垂足.因为

两点确定一条直线, 得到变式3.

解法与变式2的解法1相同 (略) .

用三角形的内心替换边的中点, 得到变式4.

如图3, 过I点分别作ID⊥CA, IE⊥CB, IF⊥AB, D、E、F为垂足, 则

由内切圆的切线性质可得

注此题将向量的数量积整体化归为切线长, 再利用切线长定理求解, 方法独特, 避繁就简.

向量混合积 篇2

下面把向量外积定义为：

a×b=|a|·|b|·Sin.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1)外积的反对称性：

a×b=-b×a.这由外积的定义是显然的。

2)内积(即数积、点积)的分配律：

a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c.这由内积的定义a·b=|a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。

3)混合积的性质：

定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：

i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。

从而就推出：

ii)(a×b)·c=a·(b×c)

所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).由i)还可以推出：

iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)

我们还有下面的一条显然的结论：

iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。

下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。

设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有

r·(a×(b+c))

=(r×a)·(b+c)

=(r×a)·b+(r×a)·c

=r·(a×b)+r·(a×c)

=r·(a×b+a×c)

移项，再利用数积分配律，得

r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0

这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即

a×(b+c)-(a×b+a×c)=0

所以有

a×(b+c)=a×b+a×c.证毕。

三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。

下面把向量外积定义为：

a×b=|a|·|b|·Sin.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1)外积的反对称性：

a×b=-b×a.这由外积的定义是显然的。

2)内积(即数积、点积)的分配律：

a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c.这由内积的定义a·b=|a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。

3)混合积的性质：

定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：

i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。

从而就推出：

ii)(a×b)·c=a·(b×c)

所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).由i)还可以推出：

iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)

我们还有下面的一条显然的结论：

iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。

下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。

设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有

r·(a×(b+c))

=(r×a)·(b+c)

=(r×a)·b+(r×a)·c

=r·(a×b)+r·(a×c)

=r·(a×b+a×c)

移项，再利用数积分配律，得

r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0

这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即

a×(b+c)-(a×b+a×c)=0

所以有

平面向量数量积的应用 篇3

一、数量积在证明平面几何命题上的应用

1. 勾股定理

RTΔABC中, ∠C=90°, 则││2+

证明:∵

2. 菱形ABCD中, 求证:AC⊥BD

证明:∵

因为ABCD是菱形, 所以AB=AD, 所以

3. 长方形ABCD中, 求证:AC=DB

证明:因为ABCD是长方形, 所以

4. 正方形的对角线垂直平分。

综合2, 3的证明即可。

二、数量积在推导定理公式上的应用

1. 推导正弦定理

如图, 取与AC垂直的单位向量e, 则向量与在单位向量方向上的射影相等, 即

同理:

2. 推导点到直线间距离公式

直线l的方程为Ax+By+C=0, 点P的坐标为 (x0, y0) , 在直线l上任取一点A (x1, y1) , 则直线l的法向量为n= (A, B) , 因此点P到直线l的距离为

3. 求异面直线之间的距离

12022-向量数量积的运算律 篇4

制作人：张明娟审核人：叶付国使用时间：2012-5-8编号：12022 学习目标：

1、掌握平面向量数量积的运算律及其运算；

2、通过向量数量积分配律的学习，体会类比、猜想、证明的探索性学习方法；

3、通过解题实践，体会向量数量积的运算方法.学习重点：向量数量积的运算律及其应用.学习难点：向量数量积分配律的证明.重点知识回顾：

1、两个向量的夹角的范围是：；

2、向量在轴上的正射影

正射影的数量为；



3、向量的数量积（内积）：a·b=；

4、两个向量的数量积的性质：

（1）ab；

（2）aaa

（3）cos=；

向量数量积的运算律

1（）abba;

(2)(

(3)(aa)ba(b)(ab)ab;b)cacbc平面向量数量积的常用公式

(1)(a

2(2)(ab)(a

证明：（1）

（2）

b)a2abbb)ab22

典例剖析：

例

1、已知a=6，b=4，a与b的夹角为600，求：（1）b在a方向上的投影；

（2）a在b方向上的投影；

（3）a 2ba3b

例02、已知a与b的夹角为120，a=2，b=3，求：（）ab；（2）a

b；（3）（2a

1（4

5 b）（a3b）

1,a与b夹角为120，问t取何值0

t

例

a3、已知=3，b=4，（且a与b不共线），当且仅当k为何值时，向量akb与akb 互相垂直？

变式：已知a=1, b=2, a与ab垂直.求a与b的夹角.练习题:求证菱形的对角线互相垂直.例

04、已知a=2，b=4，a,b120，求a与ab的夹角.课堂小结：

跟踪练习：

1、下列运算不正确的是（）

A.abcabcB.abcacbc

C.mabmambD.abcabc

2、设e、e，则2e

12是两个单位向量，它们的夹角为6001e23e12e2（A.99

2B.2C.8D.83、已知a7, b7，ab7，则a与b的夹角为（）；

4、已知：向量a与b的夹角为1200，且a4，b2，求：