平面向量的复习

平面向量的复习（通用7篇）

平面向量的复习 篇1

在高三的复习中, 老师们都认为《平面向量》这一章较简单.高考对向量的考查难度不大, 最多到中等难度, 而且以基本题型为主.但在复习的过程中会发现, 学生对知识的学习有一定的困难, 要使学生掌握这部分知识和提高解决问题的能力, 除了节奏快、容量大之外, 还需要高度提炼题型, 高度概括结论, 这样才能发展学生分析问题、解决问题的能力.本人在复习的过程中, 总结题型如下, 经调查统计, 对学生的发展有很大的帮助.

一、以初中平面几何图形为载体, 考查向量的基本知识

例如, 如图所示, 考查三点共线的结论.对这种题型, 学生感觉无从下手, 就需要老师总结结论, 教给学生解决问题的方法.

结论如下:已知undefined, 求证A, B, C三点在一条直线上的充要条件是:有不全为0的实数l, m, n使得la+mb+nc=0且l+m+n=0.

例 如图所示, 在△ABC中, 点M是BC的中点, 点N在AC上, 且AN=2NC, AM与BN相交于点P, 求AP ∶PM的值.

undefined

undefined

∵B, P, N三点共线,

undefined

若学生对初中平面几何有扎实的基础知识, 可过M点作BN的平行线MD, 可知D为NC的中点, 很快可得出AP ∶PM=4∶1.

二、向量与三角函数综合题是高考考查的重点

因为这类综合题, 既能考查向量的知识, 也能全面考查三角函数的知识, 是复习的重中之重.

例 已知向量undefined

(1) 当undefined时, 求向量a, b的夹角;

(2) 当undefined时, 求c·d的最大值;

(3) 设函数f (x) = (a-b) · (c+d) , 将函数f (x) 的图像按向量m平移后得到函数g (x) 的图像, 且g (x) =2sin 2x+1, 求|m|的最小值.

此题属于中等题, 但有较强的综合性, 既考查了三角函数, 也考查了向量, 还考查了平移, 涉及的基本知识很多.

此题第 (1) (2) 问较容易, 答案:

(1) a, b的夹角为undefined

(2) 当undefined时, c·d的最大值为undefined

undefined

设m= (s, t) , 由平移公式可得undefined

易知|m|的最小值为undefined

此题也可由初中学过的知识, 左加右减得到答案.下面将着重介绍平移的实质.

三、在向量复习中, 学生对平移公式的理解是难点

虽然已经是复习阶段, 但大多数同学并不理解公式的本质, 我认为, 在讲解时要和初中的左加右减结合起来, 这样才能使学生突破难点.

在讲课时, 若给学生出一道题:将函数y=-x向左平移1个单位, 写出其解析式:.

在检查中发现, 很多同学的答案为:y=-x+1.

为什么写成此答案?究其原因是把平移的实质未搞清楚, 把初中的左加右减和现在的平移公式未结合起来, 在这里应讲清楚:平移的实质是x, y的变化, 而不是-x的变化, 把原式中的x换成x+1, 所以答案是y=- (x+1) 即y=-x-1.从向量的平移来理解, 向左平移1个单位, 即向量a的横坐标为-1, 向上向下未平移, 即向量a的纵坐标为0, 所以平移向量a= (-1, 0) .这样讲解之后, 学生可结合初中的左加右减, 对平移公式的学习就非常容易, 即突破这一难点.

由上可以看出, 在高三的复习中, 我们既不能上平平淡淡的基础课, 也不能上没有提升能力的综合课.我们在复习中既要联系以前的知识, 又要复习现在的的知识, 帮助学生梳理知识, 融会贯通, 同时要让学生自己学会总结知识, 这样才能提升学生的能力.

摘要：对《平面向量》的复习, 如何复习才能提高效率?本人在复习中总结了以下几点:一、以初中平面几何图形为载体, 考查向量的基本知识;二、向量与三角函数综合题是复习的重点;三、在向量复习中, 加强学生对平移公式的理解.

关键词：充要条件,向量与三角函数,平移,平移公式

平面向量的复习 篇2

教学目标

重点：平面向量数量积的定义及其坐标表示；数量积的几何意义、向量法在平面几何中的应用． 难点：用向量法解决平面几何问题时，如何建立平面几何与平面向量之间的联系．

能力点：在运用向量方法解决平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题过程中，进一步发展学生的运

算能力和解决实际问题的能力．

教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构．

自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻．

易错点：(1)忽视两向量垂直的概念是针对两非零向量的而致错；

(2)对两向量夹角的定义理解不清致错；

(3)把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上而致错；

(4)混淆点的坐标与向量的坐标致错．

学法与教具

1．学法：讲授法、讨论法．2．教具：投影仪．

二、【知识梳理】

1．平面向量的数量积

(1)数量积的定义

已知两个非零向量a与b，我们把数量abcos叫做a与b的数量积(inner product)（或内积），记作ab，即ab=abcos，其中是a与b的夹角．

(2)数量积的几何意义

数量积ab等于a的长度a与b在a方向上的投影bcos的乘积，或等于b的长度b与a在b方向上的投影acos的乘积．

(3)数量积的性质

b0． ①aba

②当a与b同向时，ab=ab；当a与b反向时，ab=ab；特别地，aa=a，所以

2a记作a2． aa

③abab

(4)数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数，则：

bba； ①a

②(a)b(ab)a(b)； ③(ab)cacbc．(5)数量积的坐标表示

已知两个非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)，则abx1x2y1y2． 由此可得：

2①a

x1y1或a

②abx1x2y1y20； ③设为a、b的夹角，则cos

ab



|a||b|2．平面几何中的向量方法

用向量法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

在上述步骤中，把平面几何问题转化为向量问题是解决问题的关键一步，转化方法大致有两种思路：第一，选取恰当的基向量；第二，建立坐标系．

3．向量法在物理中的应用

向量有丰富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的数量积的物理背景是力所做的功．因此，用向量可以解决一些物理问题．向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获的结果解释物理现象．用向量法解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助我们建立数学模型．

三、【范例导航】



例1（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足 APAB，

CP2，则 AQ1AC,R.若BQ

2

2【分析】由题意可知ABAC0，根据BQCP(1)ACAB2，解方程可以求得的值.



c0，【解答】如图，设ABb，ACc，则b1，c2，b



又BQBAAQb(1)c，CPCAAPcb，由BQCP2得，[(1)]()(14(1)2，即32,所以

2.3【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题.2

变式训练1(2011·江苏卷10)已知e1,e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2,bke1e2, 若







ab0，则k的值为

答案：

4

2解析：abe12e2keeke12kee2ek12kcos0，12212

13

解得k

.4

例2(2012·江苏9)如图，在矩形ABCD

中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD

上，若ABAFAEBF的值是．【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量的数量积等于0，得到结果.



【解答】因为AFADDF，

ABAFABADDFABADABDFABDF







DF1CF1.所以，AEBFABBEBCCFABCFBEBC1)12 所以





【点评】本题主要考查平面向量的数量积的运算.解题的关键是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.变式训练2(2012·湖南文15)如图4，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，AP3且APAC=

答案：18



解析：设ACBDO，则AC2ABBO，

所以，2

APACAP2ABBO2APAB2APBO2APAB2APAPPB2AP18



例3.证明：对于任意的a1、a2、b1、b2R，恒有不等式a1b1a2b2a1a

2

b

12b2．

【分析】此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关

【解答】设a(a1,a2)，b

(b1,b2),222

则a，bb1b2 ba1b1a2b2，aa12a2

因为abab，ba所以a

b

所以a1b1a2b2a1a2



b

2b2.【点评】

变式训练3.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A(cos,sin)，B(cos,sin)，试用A、B两点的坐标表示AOB的余弦值.答案：cosAOBcoscossinsin

解析：因为A(cos,sin),B(cos,sin),

所以OA(cos,sin)，OB(cos,sin)

OAOB

那么，cosAOBcoscossinsin.OAOB

四、【解法小结】

1．准确把握平面向量数量积的重要性质：设a(x1,y1)，b(x2,y2)

(1)aba b0x1x2y1y20，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算；

a=a2a

与a(2)a

转化．

(3)cos

ab

a、b的夹角，也可用来求

|a||b|直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有区别)，还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式

用于求参数的值或范围．

2．向量解决几何问题就是把点、线、平面等几何元素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果 翻译成关于点、线、平面的相应结果，可以简单表述为“形到向量向量的运算数到形”.3．明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识：

(1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量mv是数乘向量；

(3)功即是力F与所产生的位移s的数量积.五、【布置作业】

必做题： 1．（2012·辽宁卷）已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b

π2．（2012·上海卷）在平行四边形ABCD中，∠AAB、AD的长分别为2、1.若M、N

分别是边

→→|BM||CN|→→

BC、CD，则AM·AN的取值范围是________．

→→|BC||CD|

→→→→

3．（2012·北京卷）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为__ __.DE·DC的最大值为________．

4．在边长为1的正三角形ABC中，则ABBCBCCACAAB________．.必做题答案：

1．因为|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0，所以a⊥b，答案选B.点评：本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．

→→→→→→→→→

2．令BM＝nBC(0≤n≤1)，则DN＝(1－n)DC，在平行四边形ABCD中，AM＝AB＋nAD，AN＝AD＋(1－→→→→→→→n)AB，所以AM·AN＝(AB＋nAD)·[AD＋(1－n)AB]＝－n2－2n＋5，→→而函数f(n)＝－n2－2n＋5在[0,1]上是单调递减的，其值域为[2,5]，所以AM·AN的取值范围是[2,5]． →→3．以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x,1)，0≤x≤1，→→→→所以DE＝(x,1)，CB＝(0,1)，可得DE·CB＝x×0＋1×1＝1.→→→→→因为DC＝(1,0)，所以DE·DC＝x，因为1≥x≥0，所以(DE·DC)max＝1.

CACAAB= 4．ABBCBC

311100

ABBCcos120BCCAcos120CAABcos1200

2222

点评：利用数量积的定义求解时，务必要注意两向量夹角的大小.两向量夹角的定义前提是两向量的起

00

点要重合，对于本题要特别注意：向量AB与BC,BC与CA,CA与AB的夹角不是60，而是120.选做题：



1．已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝（－3，4）垂直的单位向量，求a的终点坐标.2．如图，在ABC中，ADDB，AEEC，CD与BE交于F，证明：CF2FD.选做题答案：

1.设a的终点坐标为(m,n),则a＝(m,n),



3(m3)4(n1)0由题意 2

2(m3)(n1)

1由①得：ｎ＝

① ②

（3ｍ－13）代入②得25ｍ－15Oｍ＋2O9＝O

41911m,m,192118152

5或解得∴a的终点坐标是（,)或(,)

5555n2.n8.1255

点评：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，2.本题选自《学生自主学习丛书·数学》P122，例2.

六、【教后反思】

1．本教案的亮点是：(1)用结构图呈现本章知识，直观简明；(2)知识梳理部分十分详实且分类明晰；(3)例题具有典型性且解法总结到位，变式练习有效，讲练结合教学效果明显；(4)在作业的布置上，选择了部分高考题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用．

平面向量的复习 篇3

教学目标：

（1） 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.

（2） 掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律.

（3） 掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件.

（4） 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

（5） 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.

（6） 掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式.

教学重点：

通过题组训练，使学生对向量的相关概念和公式作进一步理解.

教学难点：

准确灵活地利用向量的概念和公式解题.

师：有吗？

注：此时的我已胸有成竹了，因为我想起了2000年北京春季高考试题．

生5：我肯定结论不成立．因为我记得一个结论：当抛物线方程是y2=2px时，满足条件的直线过定点（2p,0)，这时候，|OP|怎么可能是定值呢？

这一解释得到了同学的认可．

师：实践出真知，如果还有同学有疑惑，不妨课后你去推导一下，这里我突然想到了这样一个高考题，当我们今天研究到这种程度，这一题我想我们不少同学已能够到口答的水平了．

平面向量的复习 篇4

高三数学复习课教学, 是高中数学教学的重要课型.平面向量是高中数学的新增内容, 也是新高考的一个亮点.作为高三教学一线的教师, 如何引导学生在高三数学复习过程中抓住根本, 合理利用时间, 提高学习效率, 是高三数学复习课必须追求的目标.因此, 结合自己高三数学教学的实际情况, 进行了《平面向量在解析几何中的应用》高三复习课, 以求在教与学的过程中提高学生学习向量的兴趣, 让学生树立并应用向量的意识.

1 背景

向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用, 它具有代数形式和几何形式的“双重身份”, 能融数形与一体, 能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合, 形成知识交汇点.而在高中数学体系中, 解析几何占有着很重要的地位, 有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂, 不妨运用向量作形与数的转化, 则会大大简化过程.结合我校开展的构建研究系性学习教学模式研究的课题, 开设本节《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习课, 通过问题的探究、合作解决, 旨在进一步探索研究系性学习教学模式, 使学生树立并增强应用向量的意识.正因为如此, 本节课这样设计:

1) 教育家赞可夫说“要以知识本身吸引学生学习, 使学生感到认识新事物的乐趣, 体验克服困难的喜悦”;教育心理学认为:思维是从提出问题开始的;美国心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生应有一个先决条件, 就是学生需掌握原理, 形成类比, 才能让迁移到具体的类似学习中.”因此首先通过两个旧问题的引入解决, 让学生体会向量的工具性特点, 体会向量解题的优越性.

2) 通过问题的探究解决, 由此让学生发现, 用向量法的最大优点是思路清晰, 过程简洁, 有意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过:学习的最好刺激是对所学材料的兴趣, 简单的重复将会引起学生大脑疲劳, 学习兴趣衰退.这充分揭示方法求变的重要性, 如果我们能重视向量的教学, 必然能引导学生拓展思路, 减轻负担.

2 问题

例1.利用向量知识来推导点到直线的距离公式.

已知点P坐标 (x0, y0) , 直线l的方程为Ax+By+C=0, P到直线l的距离是d, 则

证明:当B≠0时, 在直线l上任取一点, 不妨取, 直线l的法向量, 由向量的射影长知识得点P到直线l的距离等于向量在向量方向上的射影长度d,

当B=0时, 可直接有图形证明 (略) .

点评:比较传统证明方法, 避免了复杂的构图过程, 应用向量来证, 简单易懂, 充分体现了向量的工具性和优越性.

例2. (2009浙江文) 已知椭圆的左焦点为F, 右顶点为A, 点B在椭圆上, 且BF⊥x轴, 直线AB交y轴于点P.若, 则椭圆的离心率是 ()

点评:对于对解析几何中与平面向量结合的考查, 既体现了几何与向量的交汇, 也体现了数形结合的巧妙应用解决与角有关的一类问题, 总可以从数量积入手.

例3.已知定点A (-1, 0) 和B (1, 0) , P是圆 (x-3) 2+ (y-4) 2=4上的一动点, 求|PA|2+|PB|2的最大值和最小值.

点评:有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现, 但如果运用向量知识来解决, 也会显得自然、简便, 而且易入手.

3 反思

由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”, 使向量与解析几何之间有着密切联系, 而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查, 这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中, 应抓住时机, 有效地渗透向量有关知识, 树立应用向量的意识.那么如何树立应用向量的意识, 从本节课案例得到以下启发:

第一, 如何树立应用向量的意识, 在教学中应先从学生熟悉的平面几何问题入手, 让学生体会向量的工具性.

第二, 如何树立应用向量的意识, 应充分挖掘课本素材, 在教学中从推导有关公式、定理, 例题讲解入手, 让学生去品位、去领悟, 在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性, 逐渐形成应用向量的意识.

第三, 如何树立应用向量的意识, 在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论, 加以引申, 使之成为解题方法, 体会向量解题的优越性.

平面向量的复习 篇5

2.平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一.高考常设置1个客观题或1个解答题，对平面向量知识进行全面的考查，其分值约为10分，约占总分的7%.近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义;二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等问题中的应用.

1.高考试题预测

(1)分析近几年高考对三角函数与三角恒等变换部分的命题特点及发展趋势，以下仍是今后高考的主要内容：

①三角函数的图象与性质是高考考查的中心内容，通过图象求解析式、通过解析式研究函数性质是常见题型.

②解三角函数题目的过程一般是通过三角恒等变换化简三角函数式，再研究其图象与性质，所以熟练掌握三角恒等变换的方法和技巧尤为重要，比如升幂(降幂)公式、asin x+bcos x的常考内容.

平面向量的数量积 篇6

1.热点预测：2016年高考对向量的长度与夹角仍将重点考查，运用数量积来解决一些与解析几何相关的数学问题也是一种新的趋势。

2.趋势分析：一般以选填题形式出现，难度较易；也可能在解答题中利用数量积运算作为过渡。

【考试说明】

1.能准确回忆并叙述平面向量数量积的含义及其几何意义。

2.了解并能说出平面向量的数量积与向量投影的关系。

3.掌握数量积的坐标表达式，并会进行平面向量数量积的运算。

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

【过程与方法】

通过基本知识篇、考点探究篇两大模块，采取课前热身尝试、小组合作探究、知识归纳提升、畅所欲言解题方法等形式来完成本节内容的学习。

【情感态度价值观】

激情投入，大胆尝试与质疑，积极在组内以及班上展示自己的风采，运用集体的智慧解决疑难问题，体验自主学习与合作学习的快乐，培养自己严谨思考的习惯。

【教学重难点】

运用平面向量的数量积准确求解垂直与夹角等相关问题。

基础知识篇

一、知识梳理

（一）向量的数量积

1.向量数量积的概念

五、课堂小结

（一）你觉得本节课的重点是什么？你最大的收获是什么？

（二）对于你来说，本节内容的难点在哪里？你是这么处理的？

六、布置分层作业

（一）课时作业：1——6

（二）尝试近五年高考题：1——6

平面向量数量积的求法 篇7

例1 如图1所示，在△ABC中，AD⊥AB，=，=1，求·的值.

解析： 向量的模已知，向量的模以及它与向量的夹角∠DAC未知，但是cos∠DAC可以通过解三角形知识求得.

由三角函数诱导公式知： cos∠DAC=sin+∠DAC，因为AD⊥AB，所以∠BAD=，那么cos∠DAC=sin（∠BAD+∠DAC）=sin∠BAC.

在三角形ABC中，由正弦定理可得：=，则ACsin∠BAC=ACcos∠DAC=BCsinB.

因为=1，=，所以·=cos∠DAC=sin∠BAC=sinB=sinB==，即·的值是.

【点拨】 在向量数量积的运算中，若各相关向量模长及其夹角的余弦值可以通过三角形有关知识求得，可考虑运用解三角形的方法求解.

化归为基向量求解

例2 如图2所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，求·的值.

解析： 向量，的模长与夹角均未知，而向量，的模长及其夹角均已知，故可视，为基向量，通过向量的加、减法，将·“化归”为基向量，之间的数量积，进行求解.

因为DC=2BD，所以=，·=（+）·=+·. 又=-，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，所以+·=+（-）·（-）=（+2）·（-）=（1-8+·）=（-7+2cos120°）=-，即·的值是-.

【点拨】 在所求的向量数量积中，向量的模长与夹角未知，但与此有关的向量的模长与夹角已知，此时可考虑利用“化归”思想，把已知模长与夹角的向量作为基向量，将所求向量“化归”为基向量再来求解.

利用向量的射影性质求解

例3  如图3-1所示，在圆O中，若弦AB=3，弦AC=5，求·的值.

解析： 例3中向量，的模长及夹角均未知，而，的模长已知，但夹角∠CAB又未知，难以以此作为基向量，考虑到圆的特性，选择用向量数量积的射影性质进行运算，是一个极好的途径.

延长AO交圆O于点D，如图3-2所示，则AD是圆O的直径，故AC⊥CD，AB⊥BD. ·=·（-）=（·-·）.

由向量射影性质可知： cos∠CAD=，又AC=5，所以·=cos∠CAD=2=25.同理可得：·=2=9.所以·=（25-9）=8，即·的值是8.

【提示】 =（+）是例3中BC经过圆心时的特殊情况，若例3为选择题或者填空题，可假设BC经过圆心，能更快捷地得出答案，节约做题时间.

【点拨】 在两个向量数量积的运算中，若其中一个向量的模长已知，另一个向量的模长与它们间的夹角均未知，但未知向量的模与夹角的积可通过射影的形式来确定的，可考虑用向量的射影性质来求解.

利用“极化恒等式”求解

在这里提到了一个概念：极化恒等式.那么，什么是极化恒等式呢？在△ABC中，O是BC边上的中点，如图4-1所示，则·=AO2-OC2.

证明： 由于O为BC的中点，则有 =（+），==（-）？圯=-，=+，故·=（ -）·（ +）=2-2=AO2-OC2.

极化恒等式的几何意义为：向量数量积可以表示为以这组向量为邻边的三角形的第三边中线与第三边边长一半的平方差.

例4 在△ABC中，设P0是边AB上一定点，满足P0B=AB且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则

.

（A） ∠ABC=90°   （B） ∠BAC=90°

（C） AB=AC （D） AC=BC

解析： 例4用一般的方法求解会感到有点棘手，但若能根据题设条件，充分利用向量数量积的重要性质——极化恒等式进行推理，则求解并不困难.

如图4-2，取BC的中点D，则由极化恒等式可知：·=2-2，·=2-2，由·≥·恒成立，可知2-2≥2-2，即2≥2恒成立. 由于P0是边AB上一定点，P是动点，所以，只能是P0D⊥AB（点到直线的垂线段最短）.

取AB中点M，连结CM，因为P0B=AB，所以P0D是△BMC的一条中位线，所以P0D∥MC.因为P0D⊥AB，所以MC⊥AB.在△ABC中，MC既是AB边上的垂线，又是中线，所以AC=BC， 故选D .

【点拨】 在向量数量积的运算中，若所求向量的模长与夹角均不确定，而由这两个向量组成的三角形的第三条边边长以及第三条边上的中线长度已知，可考虑用“极化恒等式”来求解.

利用向量坐标表示法求解

例5 在平行四边形ABCD中，∠DAB=，边AB，AD的长分别为2，1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足=，求·的取值范围.

解析： 求解例5可以视，为基向量进行运算，但考虑到图形的特点，也可以选用坐标的方式进行求解.

以A为坐标原点、向量所在直线为x轴建立直角坐标系，如图5所示.因为AB=2，AD=1，∠DAB=，所以A（0，0），B（2，0），C，，D，.

由于=，故==.设Nx，，其中≤x≤，则=-x，=-x，M2+-x，-x.

根据题意，=x，，=-，，所以·=x-+=-+x+=-x-2+6，其中≤x≤，故2≤·≤5，所以·的取值范围是[2，5].

【点拨】 在向量数量积的运算中，若相关向量均可以方便地用坐标形式来表示的，用坐标形式求解不失为一种便利的方法.

利用函数与方程的思想求解

例6 设=1，若=2，求·的最大值.

解析： 无论用以上介绍的哪一种方法求解例6，都会涉及变量（参数）问题，但有关向量的模与夹角均可以用同一变量表示出来，不妨考虑用函数思想进行探究.

设=m，则=2=2m. 如图6所示，在△ABC中，由三边关系可得2m-m≤1，2m+m≥1？圯≤m≤1，所以·=·cos∠ACB=2m2cos∠ACB.

由余弦定理知：cos∠ACB= ，所以·=2m2×=.因为≤m≤1，所以·=≤=2，即·的最大值为2.

【点拨】 在向量数量积的运算中，若所求向量及其夹角均可用同一个（或两个相关）变量表示，可以考虑运用函数与方程的思想进行求解.

利用解三角形方法求解

例1 如图1所示，在△ABC中，AD⊥AB，=，=1，求·的值.

解析： 向量的模已知，向量的模以及它与向量的夹角∠DAC未知，但是cos∠DAC可以通过解三角形知识求得.

由三角函数诱导公式知： cos∠DAC=sin+∠DAC，因为AD⊥AB，所以∠BAD=，那么cos∠DAC=sin（∠BAD+∠DAC）=sin∠BAC.

在三角形ABC中，由正弦定理可得：=，则ACsin∠BAC=ACcos∠DAC=BCsinB.

因为=1，=，所以·=cos∠DAC=sin∠BAC=sinB=sinB==，即·的值是.

【点拨】 在向量数量积的运算中，若各相关向量模长及其夹角的余弦值可以通过三角形有关知识求得，可考虑运用解三角形的方法求解.

化归为基向量求解

例2 如图2所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，求·的值.

解析： 向量，的模长与夹角均未知，而向量，的模长及其夹角均已知，故可视，为基向量，通过向量的加、减法，将·“化归”为基向量，之间的数量积，进行求解.

因为DC=2BD，所以=，·=（+）·=+·. 又=-，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，所以+·=+（-）·（-）=（+2）·（-）=（1-8+·）=（-7+2cos120°）=-，即·的值是-.

【点拨】 在所求的向量数量积中，向量的模长与夹角未知，但与此有关的向量的模长与夹角已知，此时可考虑利用“化归”思想，把已知模长与夹角的向量作为基向量，将所求向量“化归”为基向量再来求解.

利用向量的射影性质求解

例3  如图3-1所示，在圆O中，若弦AB=3，弦AC=5，求·的值.

解析： 例3中向量，的模长及夹角均未知，而，的模长已知，但夹角∠CAB又未知，难以以此作为基向量，考虑到圆的特性，选择用向量数量积的射影性质进行运算，是一个极好的途径.

延长AO交圆O于点D，如图3-2所示，则AD是圆O的直径，故AC⊥CD，AB⊥BD. ·=·（-）=（·-·）.

由向量射影性质可知： cos∠CAD=，又AC=5，所以·=cos∠CAD=2=25.同理可得：·=2=9.所以·=（25-9）=8，即·的值是8.

【提示】 =（+）是例3中BC经过圆心时的特殊情况，若例3为选择题或者填空题，可假设BC经过圆心，能更快捷地得出答案，节约做题时间.

【点拨】 在两个向量数量积的运算中，若其中一个向量的模长已知，另一个向量的模长与它们间的夹角均未知，但未知向量的模与夹角的积可通过射影的形式来确定的，可考虑用向量的射影性质来求解.

利用“极化恒等式”求解

在这里提到了一个概念：极化恒等式.那么，什么是极化恒等式呢？在△ABC中，O是BC边上的中点，如图4-1所示，则·=AO2-OC2.

证明： 由于O为BC的中点，则有 =（+），==（-）？圯=-，=+，故·=（ -）·（ +）=2-2=AO2-OC2.

极化恒等式的几何意义为：向量数量积可以表示为以这组向量为邻边的三角形的第三边中线与第三边边长一半的平方差.

例4 在△ABC中，设P0是边AB上一定点，满足P0B=AB且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则

.

（A） ∠ABC=90°   （B） ∠BAC=90°

（C） AB=AC （D） AC=BC

解析： 例4用一般的方法求解会感到有点棘手，但若能根据题设条件，充分利用向量数量积的重要性质——极化恒等式进行推理，则求解并不困难.

如图4-2，取BC的中点D，则由极化恒等式可知：·=2-2，·=2-2，由·≥·恒成立，可知2-2≥2-2，即2≥2恒成立. 由于P0是边AB上一定点，P是动点，所以，只能是P0D⊥AB（点到直线的垂线段最短）.

取AB中点M，连结CM，因为P0B=AB，所以P0D是△BMC的一条中位线，所以P0D∥MC.因为P0D⊥AB，所以MC⊥AB.在△ABC中，MC既是AB边上的垂线，又是中线，所以AC=BC， 故选D .

【点拨】 在向量数量积的运算中，若所求向量的模长与夹角均不确定，而由这两个向量组成的三角形的第三条边边长以及第三条边上的中线长度已知，可考虑用“极化恒等式”来求解.

利用向量坐标表示法求解

例5 在平行四边形ABCD中，∠DAB=，边AB，AD的长分别为2，1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足=，求·的取值范围.

解析： 求解例5可以视，为基向量进行运算，但考虑到图形的特点，也可以选用坐标的方式进行求解.

以A为坐标原点、向量所在直线为x轴建立直角坐标系，如图5所示.因为AB=2，AD=1，∠DAB=，所以A（0，0），B（2，0），C，，D，.

由于=，故==.设Nx，，其中≤x≤，则=-x，=-x，M2+-x，-x.

根据题意，=x，，=-，，所以·=x-+=-+x+=-x-2+6，其中≤x≤，故2≤·≤5，所以·的取值范围是[2，5].

【点拨】 在向量数量积的运算中，若相关向量均可以方便地用坐标形式来表示的，用坐标形式求解不失为一种便利的方法.

利用函数与方程的思想求解

例6 设=1，若=2，求·的最大值.

解析： 无论用以上介绍的哪一种方法求解例6，都会涉及变量（参数）问题，但有关向量的模与夹角均可以用同一变量表示出来，不妨考虑用函数思想进行探究.

设=m，则=2=2m. 如图6所示，在△ABC中，由三边关系可得2m-m≤1，2m+m≥1？圯≤m≤1，所以·=·cos∠ACB=2m2cos∠ACB.

由余弦定理知：cos∠ACB= ，所以·=2m2×=.因为≤m≤1，所以·=≤=2，即·的最大值为2.

【点拨】 在向量数量积的运算中，若所求向量及其夹角均可用同一个（或两个相关）变量表示，可以考虑运用函数与方程的思想进行求解.

利用解三角形方法求解

例1 如图1所示，在△ABC中，AD⊥AB，=，=1，求·的值.

解析： 向量的模已知，向量的模以及它与向量的夹角∠DAC未知，但是cos∠DAC可以通过解三角形知识求得.

由三角函数诱导公式知： cos∠DAC=sin+∠DAC，因为AD⊥AB，所以∠BAD=，那么cos∠DAC=sin（∠BAD+∠DAC）=sin∠BAC.

在三角形ABC中，由正弦定理可得：=，则ACsin∠BAC=ACcos∠DAC=BCsinB.

因为=1，=，所以·=cos∠DAC=sin∠BAC=sinB=sinB==，即·的值是.

【点拨】 在向量数量积的运算中，若各相关向量模长及其夹角的余弦值可以通过三角形有关知识求得，可考虑运用解三角形的方法求解.

化归为基向量求解

例2 如图2所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，求·的值.

解析： 向量，的模长与夹角均未知，而向量，的模长及其夹角均已知，故可视，为基向量，通过向量的加、减法，将·“化归”为基向量，之间的数量积，进行求解.

因为DC=2BD，所以=，·=（+）·=+·. 又=-，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，所以+·=+（-）·（-）=（+2）·（-）=（1-8+·）=（-7+2cos120°）=-，即·的值是-.

【点拨】 在所求的向量数量积中，向量的模长与夹角未知，但与此有关的向量的模长与夹角已知，此时可考虑利用“化归”思想，把已知模长与夹角的向量作为基向量，将所求向量“化归”为基向量再来求解.

利用向量的射影性质求解

例3  如图3-1所示，在圆O中，若弦AB=3，弦AC=5，求·的值.

解析： 例3中向量，的模长及夹角均未知，而，的模长已知，但夹角∠CAB又未知，难以以此作为基向量，考虑到圆的特性，选择用向量数量积的射影性质进行运算，是一个极好的途径.

延长AO交圆O于点D，如图3-2所示，则AD是圆O的直径，故AC⊥CD，AB⊥BD. ·=·（-）=（·-·）.

由向量射影性质可知： cos∠CAD=，又AC=5，所以·=cos∠CAD=2=25.同理可得：·=2=9.所以·=（25-9）=8，即·的值是8.

【提示】 =（+）是例3中BC经过圆心时的特殊情况，若例3为选择题或者填空题，可假设BC经过圆心，能更快捷地得出答案，节约做题时间.

【点拨】 在两个向量数量积的运算中，若其中一个向量的模长已知，另一个向量的模长与它们间的夹角均未知，但未知向量的模与夹角的积可通过射影的形式来确定的，可考虑用向量的射影性质来求解.

利用“极化恒等式”求解

在这里提到了一个概念：极化恒等式.那么，什么是极化恒等式呢？在△ABC中，O是BC边上的中点，如图4-1所示，则·=AO2-OC2.

证明： 由于O为BC的中点，则有 =（+），==（-）？圯=-，=+，故·=（ -）·（ +）=2-2=AO2-OC2.

极化恒等式的几何意义为：向量数量积可以表示为以这组向量为邻边的三角形的第三边中线与第三边边长一半的平方差.

例4 在△ABC中，设P0是边AB上一定点，满足P0B=AB且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则

.

（A） ∠ABC=90°   （B） ∠BAC=90°

（C） AB=AC （D） AC=BC

解析： 例4用一般的方法求解会感到有点棘手，但若能根据题设条件，充分利用向量数量积的重要性质——极化恒等式进行推理，则求解并不困难.

如图4-2，取BC的中点D，则由极化恒等式可知：·=2-2，·=2-2，由·≥·恒成立，可知2-2≥2-2，即2≥2恒成立. 由于P0是边AB上一定点，P是动点，所以，只能是P0D⊥AB（点到直线的垂线段最短）.

取AB中点M，连结CM，因为P0B=AB，所以P0D是△BMC的一条中位线，所以P0D∥MC.因为P0D⊥AB，所以MC⊥AB.在△ABC中，MC既是AB边上的垂线，又是中线，所以AC=BC， 故选D .

【点拨】 在向量数量积的运算中，若所求向量的模长与夹角均不确定，而由这两个向量组成的三角形的第三条边边长以及第三条边上的中线长度已知，可考虑用“极化恒等式”来求解.

利用向量坐标表示法求解

例5 在平行四边形ABCD中，∠DAB=，边AB，AD的长分别为2，1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足=，求·的取值范围.

解析： 求解例5可以视，为基向量进行运算，但考虑到图形的特点，也可以选用坐标的方式进行求解.

以A为坐标原点、向量所在直线为x轴建立直角坐标系，如图5所示.因为AB=2，AD=1，∠DAB=，所以A（0，0），B（2，0），C，，D，.

由于=，故==.设Nx，，其中≤x≤，则=-x，=-x，M2+-x，-x.

根据题意，=x，，=-，，所以·=x-+=-+x+=-x-2+6，其中≤x≤，故2≤·≤5，所以·的取值范围是[2，5].

【点拨】 在向量数量积的运算中，若相关向量均可以方便地用坐标形式来表示的，用坐标形式求解不失为一种便利的方法.

利用函数与方程的思想求解

例6 设=1，若=2，求·的最大值.

解析： 无论用以上介绍的哪一种方法求解例6，都会涉及变量（参数）问题，但有关向量的模与夹角均可以用同一变量表示出来，不妨考虑用函数思想进行探究.

设=m，则=2=2m. 如图6所示，在△ABC中，由三边关系可得2m-m≤1，2m+m≥1？圯≤m≤1，所以·=·cos∠ACB=2m2cos∠ACB.

由余弦定理知：cos∠ACB= ，所以·=2m2×=.因为≤m≤1，所以·=≤=2，即·的最大值为2.