函数性质与基本函数

函数性质与基本函数（共12篇）

函数性质与基本函数 篇1

苏教版高中数学教材的第二章函数概念与基本初等函数中，“函数的基本性质”这部分内容是本章的重点，也是学习的难点。笔者通过经典例题的解答，逐一对学生在对这部分内容的掌握和运用上经常出现的一些错误和难点加以剖析。

一、易错点分析

1. 对函数单调性的概念不清，导致对函数单调性的判断出现偏差。

[例1]判断函数的单调性。

解：原函数可以转化为y=22x，该函数在R上是增函数，∴y=()-2x是增函数。

2. 对函数奇偶性定义的内涵理解不深，导致对函数在特定定义域上的奇偶性判断出现错误。

[例2]判断函数f (x) = (1-x)

解：f (x)=(1-x)有意义时必须满足

即函数的定义域是{x|-1≤x<1}，即函数定义域不关于原点对称，因此该函数既不是奇函数也不是偶函数。

3. 对函数奇偶性判断的方法局限于定义而不够灵活，导致判断结果的错误。

[例3]判断函数f (x)=ln()的奇偶性。

解：解法一：∵f(-x)=

∴f (x)是奇函数。

4. 对函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论这一点认识不深刻，导致增减区间判断的错误。

[例4]函数y=的单调增区间是_____________。

解：y=的定义域是[-3, 1]，又g (x)=3-2x-x2在区间[-3，-1]上是增函数，在区间[-1, 1]上是减函数，所以y=的增区间是[-3，-1]。

二、难点分析

1. 函数的作图。

函数的作图有两种需要注意：一类分段函数，另一类是特殊函数。下面给出两道题目及其解法作为例子：

[例5]作出下列函数的图像：y=|x-2|(x+1)。

解：当x≥2时，即x-2≥0时，

当x<2时，即x-2<0时，

所以

[例6]作出下列函数的图像:y=e。

解:当x≥1时, lnx≥0, y=e=x;

当0

所以

2. 函数单调性定义的应用。

[例7]若f (x)=在区间(-3，+∞)上是减函数，求a的取值范围。

由f (x) =在区间 (-2, +∞) 上是减函数

得f (x1) -f (x2) >0

3. 函数奇偶性、单调性的证明。

[例8]函数f (x)在(-1, 1)上有定义，f ()=-1，当且仅当0

解：证明：(1)由f (x)+f (y)=f ()，令x=y=0，得f (0)=0，令y=-x，得f (x)+f(-x)=f ()=f (0)=0。∴f (x)=-f(-x)。∴f (x)

为奇函数。

(2)先证f (x)在(0, 1)上单调递减。

∴f (x)在(0, 1)上为减函数，又f (x)为奇函数且f (0)=0。

∴f (x)在(-1, 1)上为减函数。

三、总结

由上面的例题分析可知，函数的基本性质部分内容的易错点主要集中在对基本概念理解的深度上，而将已掌握的知识点综合运用，用于解答各种综合问题是这部分内容的难点所在，需要学生对概念的深刻理解和较强的运算、逻辑推理的功底，对函数的基本性质的教学也应当重点集中在这些方面。

函数性质与基本函数 篇2

1．3 函数的基本性质

教案

1．3．1 单调性与最大（小）值

1、引入

观察如下函数图象，说说它们的图象是单调上升，还是单调下降，有没有最大值或最小值。P27

2、研究函数单调性

函数图象的单调上升或是单调下降，我们统称为这是函数的单调性。那么我们怎样研究判断函数的单调性？

首先，研究一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x的单调性。P27 如图所示

由图，可观察到函数f(x)=x的图象由左到右是上升的；而函数f(x)=x的图象在对称轴左侧是下降的，在对称轴右侧是上升的。所说的图象“上升”或“下降”反映的就是函数的单调性，那么，如何描述函数图象的“上升”“下降”呢？

以二次函数f(x)=x为例，结合图象，不难发现，图象在对称轴左侧是“下降”的，也就是在区间（-，0

222内，随着x的增大，相应的f(x)（即y值）反而减小；相反地，在对称轴的右侧图象是“上升”的，也就是在区间0，内，随着x的增大，相应的f(x)（即y值）也随着增大。

那么该如何去描述“在区间0，随着x的增大，相应的f(x)（即y值）也随着增大”？ 内，描述如下：在区间0，任取两个x1,x2，并且x1x2，得到f(x1)=x1，f(x2)=x2，内，22有f(x1)

23、增函数、减函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上任取的两个值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)

相反地，如果对于定义域I内某个区间D上任取的两个值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。这时区间D就叫单调减区间。

4、例题

P29 例1

例2 巩固练习

P32 练习1，2，3，4

1、已知函数f(x)=2x-mx+3，当x2,时是增函数，当x,2时是减函数，则f(1)等于（）

A．-3

B．13

C．7

D．含有m的变量

22、如果函数f(x)＝ax＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是

2__________．

5、函数的最值

再次观察P27 图1.3-2两个图象，我们发现函数f(x)=x的图象上有一个最低点（0，0），即对于任意的xR，都有f(x)f(0)。当一个函数的图象有最低点时，我们就说函数f(x)有最小值，这时的f(0)就是函数的最小值。那么f(x)=x有最低点吗？有最小值吗？

同样地，当一个函数的图象有最高点（a,b），也就是在定义域内，任意的一个x，都有

2f(x)f(a)，就说函数f(x)有最大值，这时的f(a)就是函数的最大值。

6、例题

P30 例3 例4 巩固练习： P32 练习5

1．3．2 奇偶性

1、观察P33 两图，讨论以下问题：（1）两函数图象关于什么对称？

（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？ 发现两个函数的图象都关于y轴对称。那么，如何利用函数解析式描述这两函数图象的这个特征呢？ 从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。

例如：对于函数f(x)=x，有：

f(-3)=9=f(3)；

f(-2)=9=f(2)；

f(-1)=9=f(1)。

也就是，对于函数f(x)=x定义域R内任意的一个x，都有f(-x)=（-x）=x=f(x)。这时我们称函数f(x)=x为偶函数。

2、偶函数定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

问：例如：P34，图1.3-8 两个函数也都是偶函数，它们的函数图象都关于什么对称？ 所以偶函数图象关于y轴对称。

3、观察P34，图1.3-9 两函数f(x)=x和f(x)=222221的图象，并完成下面两个函数值的对应表，你能x发现这两函数图象关于什么对称？两函数值对应表又是怎样体现这一特征的？

发现，两函数的图象都关于原点对称，由函数值对应表发现，当自变量x取一对相反数，相应的函数值f(x)也是一对相反数。

例如：对于函数f(x)=x，有：

f(-3)=－3=－f(3)；

f(-2)=－2=－f(2)；

f(-1)=－1=－f(1)。

也就是，对于函数f(x)=x定义域R内任意一个x，都有f(-x)=－x=－f(x)，这时我们称函数f(x)=x为奇函数。

4、奇函数定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。奇函数关于原点对称。

思考：若奇函数定义域中有0，则其图象必过原点，即f(0)=0。这句话对吗？

5、利用奇偶函数定义判断函数奇偶性

P35 例5 判断下列函数的奇偶性：

小结：要判断函数的奇偶性，首先，函数定义域必须是成对的相反数也，也就是定义域必须关于原点对称，然后根据f(-x)=f(x)或f(-x)=－f(x)来判断其奇偶性。

练习：P36 练习1

6、利用函数奇偶性比较函数值大小

如图，给出了偶函数y=f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小。

7、利用函数奇偶性求函数解析式

（-，）

已知，函数f(x)是定义在上的奇函数，当x>0时，f(x)=x（13x)，求：

（1）f(8)；

（2）当x<0时，f(x)的解析式。

三角函数的图像与性质 篇3

一、 三角函数的单调性与值域

三角函数的单调性问题主要有三类：一是判断三角函数的单调性；二是证明三角函数的单调性；三是三角函数单调性的应用. 前两类的“技术含量”低一点,而第三类才更能体现思维和能力.三角函数单调性的应用主要是利用三角函数的单调性求最值和定义域.

二、 三角函数的奇偶性与图像的对称性

反思 方法一是利用一条曲线关于某直线对称时的对称原理,方法二是根据已知的对称轴方程,选取了两个特殊点,建立起关于θ的方程.相比较而言,方法二简单一些,但是需要注意的是,选取的两个特殊点要恰当,如果选取(-π,y1)和(π,y1),那么就得sin(-π+θ)+3cos(-π-θ)=sin(π+θ)+3cos(π-θ)0=0,解不出θ.

三、 三角函数的周期性与图像的变换

三角函数图像的变换主要有两种：平移变换和伸缩变换. 其中平移变换较易,伸缩变换稍难,尤以水平伸缩变换(即周期的变换)较难,造成困难的原因主要是变换的“顺序”. 变换的顺序不同,变换就有所不同. 下面以y=sinx的图像到y=Asin(ωx+φ)的图像的变换为例说明其不同之处.

函数性质与基本函数 篇4

一、函数性质之奇偶性

1. 函数奇偶性的定义

根据课本的定义,( 1) 一般地,如果对于函数f( x) 的定义域内任意一个x,都有f( - x) = f( x) ,那么函数f( x) 就叫偶函数; ( 2) 如果对于函数f( x) 的定义域内任意一个x,都有f( - x) = - f( x) ,则函数f( x) 就叫奇函数.

在此需要注意并不是所有的函数不是奇函数就必为偶函数. 在判断一个函数的奇偶性时,教师应先给学生指出函数的定义域必须关于原点对称,若不对称,则该函数为非奇非偶函数; 如果定义域对称再对函数进行奇偶性的判断. 教师可举例f( x) =x1/2来说明什么样的函数属于非奇非偶函数. 因为此函数中根号下的数为非负数,所以x的范围为: x ≥0,该定义域不是关于原点对称的. 通过这个例子,学生们就会比较清楚非奇非偶是怎么一回事了.

2. 如何判断函数的奇偶性

上面已经教完定义,接下来教师应趁热打铁,马上出一道习题看学生是否已经掌握了根据定义判断函数奇偶性这一知识点,例如让学生求证函数的奇偶性并证明. 在解答的时候,教师应演示如何用定义来求证函数的奇偶性,并给出正确的书写格式. 因为通过笔者的教学经验,有部分学生解答方法是对的,但是有时候会把前提条件和结果倒过来写,导致考试失分.

二、函数性质之单调性

单调性在高中函数中也是非常重要的,要解函数单调性的题目,最关键的方法是要懂得画图,结合函数的曲线图便能清晰有序地解答相关题目,因此教师教授函数单调性应把重点放在利用图像来解题.

1. 培养学生动手画图的习惯

无论老师说或教多少遍,都比不上学生动手画一次. 只有学生动手画图,才能发现是否已掌握了其中的要领,所以教师要培养学生看题画图、以图形解题的好习惯,达到熟练地将抽象的函数关系用坐标系直观地表示出来,以形助数可以把复杂的问题简单化.

2. 给学生演示如何利用图像来解答函数单调性的题目

学习不单是学完就完成任务了,它的最终目的是要让所学者懂得学以致用. 要用图像来解答函数的单调性,首先要让学生搞清函数单调性的定义: 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1< x2时都有f( x1) < f( x2) ,那么f( x) 在此区间上为增函数; 若对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1< x2时都有f( x1) > f( x2) ,则f( x) 在此区间上为减函数.

在讲解完单调性的定义后,教师需要马上给学生一针强有力的“药剂”. 先让学生思考如何利用图像解答函数y = 2( x - 1)2- 1的单调性问题,再给学生演示解题的过程并指出要点. 如先分析此函数是二次函数,然后根据二次函数的性质和要素再画出正确及对应的图像. 如: ( 1) 正确判断二次函数的开口方向; ( 2) 找出该函数的对称轴; ( 3) 找出该函数的顶点坐标,以及用随意值求出两个除顶点以外的两个点的坐标. 再根据画出的图像,进行图像单调性的讲解, 什么样的图像属于单调递减或递增,分界线在哪里. 另外还需马上让学生课堂做对应的练习题进行强化巩固.

三、函数性质之最值

最值是高中阶段以及高考中很爱考的一个知识点,因为最值可以和很多不同类型的函数( 如指数函数、三角函数等) 结合在一起考,其复杂度是非常大的. 这要求学生的综合运用能力特别强,才能正确地利用其他函数的性质以及最值的性质来解答.

单调性经常被作为解最值的重要方法,不管是考查什么样的函数题目,求最值最常使用的方法就是利用函数的单调性. 教师应以实例进行说明最值和单调性之间的关系.如: 教师可以让学生分析上的单调性并求出最值,在讲解过程中要提醒学生解题时要注意把最终的式子以两个因数相乘的形式表现出来,否则无法比较f( x1) - f( x2) 的结果是大于0还是小于0,无法判断单调性. 最后则是把所求的函数顶点x坐标作为对称轴对函数的单调性在规定的区间上进行分析,并且强调学生要注意以及计算的准确性. 因为很多学生方法是掌握了,但是由于计算粗心却无法求出正确的最值.

数学的复杂性并不止于此,本文只是针对函数的三个基本性质进行说明. 对于高中数学函数的学习,学生应多角度审视,体验不同知识点结合在一起的巧妙以及成功正确解答之后的成就感与自信,增加学生对高中数学的兴趣.

摘要：函数是高中数学核心中的核心,它贯穿了整个高中的数学学习.如果不能好好掌握函数的性质部分,则整个高中的数学学习都会很困难.本文就函数的基本性质:奇偶性、单调性、最值这三个点的教学进行议论.

函数性质与基本函数 篇5

一、教学目标：

1.理解函数奇偶性的含义及其几何意义;2.掌握会判断函数的奇偶性;3.能用函数的奇偶性与图象的对称性解答有关问题

二、.教学重点：函数奇偶性的含义及其几何意义、函数奇偶性的判断及应用;教学难点：函数奇偶性的含义及其几何意义的理解.二、预习导学

（一）知识梳理

1．一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.2．一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.（二）

1.奇、偶函数的图象有怎样的对称性? 提示:偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称.2．若函数f(x)=0,x∈[-a,a](a>0),试判断函数f(x)的奇偶性.提示:∵f(x)的定义域为[-a,a](a>0),且关于原点对称,又∵f(x)=0,∴f(-x)=0.∴f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x).∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.三、问题引领，知识探究

1.分析奇函数、偶函数的定义,它们的定义域有什么特点? 提示:由定义知,-x与x要成对出现,所以定义域应关于原点对称.2.在判断函数奇偶性时,能用特值代替吗? 提示:不能.奇偶性是对定义域内的所有自变量的取值而言的.例1判断下列函数的奇偶性: 1(1)f(x)=x+2x;(2)f(x)=x2-|x|+1;(3)f(x)=3x+1.解:(1)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又 f(-x)=x∴f(x)是奇函数.(2)f(x)的定义域为R,关于原点对称, 又f(-x)=(-x)2-|-x|+1=x2-|x|+1=f(x), ∴f(x)是偶函数.(3)f(x)的定义域为R,f(1)=4,f(-1)=-2, ∴f(1)≠f(-1),f(-1)≠-f(1).∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.练习1f(x)=x+x，判断函数的奇偶性: 思路分析:判断函数的奇偶性,首先要判断函数定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=(-x)+(-x)=-(x+x)=-f(x), ∴函数f(x)是奇函数.例2判断函数f(x)=的奇偶性.思路分析:分x>0和x<0两种情况计算f(-x),然后再判断f(-x)与f(x)的关系.解:函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.①当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x).②当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x).由①②知,当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时, 都有f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.练习2.判断函数f(x)=的奇偶性.解:函数的定义域关于原点对称.当x>0时,-x<0，333

11(x)=-f(x), 2x2xf(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);当x<0时,-x>0, f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴对于定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.例3已知函数f(x)=是奇函数,求实数b的值.思路分析:由f(x)是奇函数可得恒等式f(-x)=-f(x),从而列出关于b的方程,求出b的值.解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), 即=-,∴-x+b=-(x+b),即2b=0, ∴b=0.练习3若函数f(x)=2x+(a-1)x+2是偶函数,则实数a的值是

.答案:1 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).∴2x-(a-1)x+2=2x+(a-1)x+2,即2(a-1)x=0.∵上式对任意x都成立,∴a-1=0,即a=1.函数奇偶性可按如下方法判断:(1)判断所给函数的定义域是否关于原点对称;(2)当函数的定义域关于原点对称时,判断f(-x)与f(x)的关系: 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则函数为偶函数;如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则函数为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则函数既是奇函数又是偶函数.如果函数的定义域不关于原点对称,或在函数f(x)定义域内存在一个x,不满足f(-x)=-f(x)也不满足f(-x)=f(x),则函数既不是奇函数又不是偶函数.四、目标检测

1.已知函数f(x)是定义在区间[a-1,2a]上的奇函数,则实数a的值为()A.0

B.1

C.D.不确定

2.函数f(x)=x+的奇偶性为()

2222A.奇函数 B.偶函数

D.非奇非偶函数 C.既是奇函数又是偶函数

3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()A.y=x+1 C.y=

4．4.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)的值是

.B.y=-x D.y=x|x| 2 答案: 1.C 2.D 3.D.-3 2

五、分层配餐

一次函数图像与性质的重难点讲析 篇6

1. 一次函数的图像与性质是怎么得到的？

一次函数是我们学习的第一种函数，函数的图像与性质又是我们研究函数的重要手段，所以我们在学习一次函数的图像时，一定要理解其性质的含义.

我们在学习一次函数的图像和性质时，只画出了几个特殊的函数图像，通过这几个一次函数的图像总结所有一次函数图像的规律，即由特殊总结归纳一般规律，这是我们认识事物特征的重要方法.

通过描点法画出几个一次函数的图像，我们归纳出一次函数的图像是“一条直线”的规律，又由“两点确定一条直线”得出作一次函数的图像的

由图可知：该函数图像不经过第四象限.

一、 重点透析

1. 一次函数的图像与性质是怎么得到的？

一次函数是我们学习的第一种函数，函数的图像与性质又是我们研究函数的重要手段，所以我们在学习一次函数的图像时，一定要理解其性质的含义.

我们在学习一次函数的图像和性质时，只画出了几个特殊的函数图像，通过这几个一次函数的图像总结所有一次函数图像的规律，即由特殊总结归纳一般规律，这是我们认识事物特征的重要方法.

通过描点法画出几个一次函数的图像，我们归纳出一次函数的图像是“一条直线”的规律，又由“两点确定一条直线”得出作一次函数的图像的

由图可知：该函数图像不经过第四象限.

一、 重点透析

1. 一次函数的图像与性质是怎么得到的？

一次函数是我们学习的第一种函数，函数的图像与性质又是我们研究函数的重要手段，所以我们在学习一次函数的图像时，一定要理解其性质的含义.

我们在学习一次函数的图像和性质时，只画出了几个特殊的函数图像，通过这几个一次函数的图像总结所有一次函数图像的规律，即由特殊总结归纳一般规律，这是我们认识事物特征的重要方法.

通过描点法画出几个一次函数的图像，我们归纳出一次函数的图像是“一条直线”的规律，又由“两点确定一条直线”得出作一次函数的图像的

函数性质与基本函数 篇7

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时学生必须考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解：设矩形的长为x米，则宽为(50-x)米，由题意得：

S=x (50-x)，故函数关系式为：S=x (50-x)。

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0

即：函数关系式为：S=x (50-x) (0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，学生必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响，若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性;若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，学生应注意函数定义域。如：

例2：求函数的值域。

错解：令，则2x=t2+3,

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞)上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1。故所求的函数值域是[1，+∞)。

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，学生若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

三、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例3：指出函数f (x)=log2 (x2+2x)的单调区间。

解：先求定义域：

∵x2+2x>0，∴x>0或x<-2，∴函数定义域为(-∞，-2)∪(0，+∞)。

令u=x2+2x，知在x∈(-∞，-2)上时，u为减函数;在x∈(0，+∞)上时，u为增函数，

又∵f (x)=log2u在[0，+∞)是增函数。

∴函数f (x)=log2 (x2+2x)在(-∞，-2)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数。

即函数f (x)=log2 (x2+2x)的单调递增区间(0，+∞)，单调递减区间是(-∞，-2)。

如果在做题时，学生没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解。在做练习或作业时，只是对题型、套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

四、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例4：判断函数y=x3, x∈[-1, 3]的奇偶性。

解：∵2∈[-1, 3]而-2埸[-1, 3]，

∴定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称，

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是非奇非偶函数。

如果学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出解题思维的敏捷性。

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

∵f (-x) = (-x) 3=-x3=-f (x) ,

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是奇函数。

错误剖析：以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。

综上所述，在求解函数关系式、单调性、奇偶性等问题中，如果我们能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，有利于培养学生思维的创造性。

参考文献

[1]田万海.数学教育学.浙江教育出版社.

[2]庄亚栋.高中数学教与学.中学数学教与学编辑部出版.

凸函数的性质与应用 篇8

凸函数是一类非常重要的函数, 广泛应用于数学规划、控制论等领域, 它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式诸方面都有广泛的应用.

2. 凸函数的定义

我们首先给出凸函数的定义.

定义设f (x) 为定义在区间I上的函数, 若对I上的任意两点x1, x2和任意实数λ∈ (0, 1) 总有f (λx1+ (1-λ) x2) ≤λf (x1) + (1-λ) f (x2) , 则称f (x) 为I上的凸函数.

3. 凸函数的几个简单性质

性质1若f (x) 为区间I上的可导函数, 且f (x) 为I上的凸函数, 则f' (x) 为I上的增函数.

证明任取两点x1, x2 (x1

由于f (x) 是可导函数, 令h→0+时可得, 所以f' (x) 是增函数.

性质2若f (x) 为区间I上的二阶可导函数, 且f (x) 为I上的凸函数, 则f″ (x) ≥0.

证明由性质2得, 若f (x) 为I上的凸函数, 则f' (x) 为I上的增函数, 由此可得, 对任意x0∈I, 当x≠x0时, 有0, 令x→x0, 即得f″ (x0) ≥0.

因为x0是任意的, 所以有f″ (x) ≥0成立.

性质3若f (x) 在[a, b]为凸函数, 则f (x) 在[a, b]上连续.

证明任取x∈ (a, b) , 取δ充分小, 使x+δ∈ (a, b) , 由性质1得, 当δ>0时,

当δ<0时,

故f (x+δ) -f (x) →0, (δ→0) .所以f (x) 在[a, b]上连续.

性质4若f (x) 在[a, b]为凸函数, 则f (x) 在[a, b]上连续.

证明任取x∈ (a, b) , 取δ充分小, 使x+δ∈ (a, b) , 由性质1得

故f (x+δ) -f (x) →0, (δ→0) .所以f (x) 在[a, b]上连续.

4. 凸函数的应用

在许多问题证明中, 我们常常遇到一些不等式的证明, 其中一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙.

例1若x>0, y>0, 求证:x+y≥2槡xy. (均值不等式)

证明令, 它在 (0, +∞) 上是凹函数, 任取x, y∈ (0, +∞) , 由凹函数的定义, 则有

证明设f (x) =ex, 因f″ (x) =ex>0, 所以f (x) 是严格凸函数.

由凸函数的定义可知

例3证明younger不等式:xαyβ≤αx+βy (x, y, α, β均为正数, α+β=1) .

证明令f (x) =ln (x) , 则, f (x) 为凹函数, 从而ln (αx+βy) ≥αlnx+βlny=ln (xαyβ) .

参考文献

[1]郑维行, 王声望.实变函数与泛函分析概要[M].北京:人民教育出版社, 1980.

[2]同济大学应用数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

二次函数的图像性质与字母系数 篇9

1. 二次项系数a及其意义。

二次项系数a不但决定了二次函数图像的开口方向, (当a>0时, 抛物线开口向上;当a<0时, 其开口向下) , 它还决定开口的大小。也就是说, 当二次函数a的绝对值相同时, 这些抛物线的形状完全相同, 反之也成立。因此抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 可以由抛物线y=ax2 (a≠0) 平行移动得到。

2. 常数项c的意义。

对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 来说, 当x=0时, y=c, 即抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 总是经过 (0, c) 。当c>0时, 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴;当c<0时, 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴;当c=0时, 抛物线经过原点。反过来, 当抛物线与时, 抛物线经过原点。反过来, 当抛物线与y轴的交点坐标已知时, 其二次函数解析式中的常数项c的值也就决定了。

3. 一次项系数b的意义。

当二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 中的二次项系数a及一次项系数b一旦确定, 这个函数的对称轴:x=-b2a直线 (顶点的横坐标) 就唯一确定了。反之亦然。

例1已知二次函数y=-x2+3x, 则其图像大致位置是 ()

二、二次函数图像的顶点坐标与字母系数

对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) , 其图像顶点坐标是, 这是二次函数的一个重要性质, 也是同学们必须要知道的, 它不但决定了二次函数的顶点位置, 同时也确定了函数的最大值或最小值。

例2已知:抛物线y=x2-8x+c顶点在x轴上, 则c的值是 ()

简析:由于抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上, 则其顶点的纵坐标为0, 即, 故选D。

三、抛物线与轴交点与字母系数

求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 与x轴的交点, 即求函数y=ax2+bx+c (a≠0) 中当y=0时的自变量x的值, 得到横坐标x的值, 其纵坐标为0。当方程ax2+bx+c=0中的b2-4ac>0时, 说明抛物线与x轴有两个不同的交点;当b2-4ac=0时, 抛物线与x轴有唯一的交点;当b2-4ac<0时, 抛物线与x轴没有交点。

例3求当m取什么值时, 抛物线y= (m-1) x2-2mx+m-2与x轴有两个不同的交点。

简析:要使抛物线y= (m-1) 2-2mx+m-2与x轴有两个不同的交点, 方程 (m-1) 2-2mx+m-2=0应有两个不相等的实数, 故b2-4ac>0且m-1≠0解得且m≠1.

注意这里容易忽视m≠1≠0的条件。

例4抛物线y=x2-2 (m+1) x+m2+4m-3与x轴的两个交点A、B分别在原点的左、右两侧, 且m为不小于0的整数, 求这个函数的解析式。

简析:设抛物线与x轴的两个交点坐标为A (x1, 0) , B (x2, 0) , 故x1, x2应为方程x2-2 (m+1) x+m2+4m-3=0的两个根, 由题意可知得:b2-4ac>0, x1x2<0且m≥0的整数, 求得m=0, 所以函数的解析式为y=x2-2x-3。

四、二次函数的对称性与字母系数

由于关于某直线对称或关于某点对称的两个图形是全等形, 故关于两标轴对称或关于抛物线顶点对称的两个抛物线的形状大小也是一样的, 只是它们的开口方向或顶点坐标、对称轴或它们与两坐标轴的交点不同而已。因此, 当已知一条抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) , 我们可以求出它关于两坐标轴对称或关于其顶点对称的抛物线的解析式。

1. 关于两坐标轴对称。

(1) 关于x轴对称。

求与抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于x轴对称的抛物线解析式时, 由对称性可知, 它们的形状完全一致, 只是开口方向相反, 与y轴的交点坐标由原来的 (0, c) 变为它关于x轴的对称点 (0, -c) 。故其关于x轴对称的抛物线解析式为y=-ax2+bx+c (a≠0) 。这里的二次项系数a, 一次项系数b和常数项c) 正好与原来抛物线解析式的系数互为相反数。

(2) 关于y轴对称。

求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于y轴对称的抛物线的解析式, 这时它的形状、开口方向与y轴的交点坐标都一样, 也就是二次项系数和常数项不变, 只是对称轴由原来的直线变成了直线也就是一次项系数与原来抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 的一次项系数互为相反数, 故与抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于y轴对称的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c (a≠0) 。

2. 关于抛物线的顶点对称的抛物线。

求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于其顶点对称的抛物线的解析式, 这时两个抛物线的顶点、对称轴、形状完全一致, 只是开口方向相反, 故所求的抛物线解析式为:

例5求抛物线y=x2-2x-3关于其顶点为中心对称的抛物线的解析式。

简析:抛物线y=x2-2x-3= (x-1) 2-4, 其顶点坐标是 (1, -4) , 对称轴是直线x=1。所以所求抛物线的解析式为:y=- (x-1) 2-4=-x2+2x-5

五、二次函数图像的形状、位置与字母系数的范围

由二次函数图像的一些特殊形状、位置可以确定字母系数的数值或范围。

例6已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像与x轴交于点A (1, 0) 和点B (b, 0) , (点B在点A的右侧) 。与y轴交于点C (0, 2) , 请说明a、b、c的乘积是正还是负?

简析:由题意, 所以a、b异号, 又因为函数图像与y轴交于点 (0, 2) , 所以c=2>0, 所以a、b、c的乘积是负数。

综上, 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的字母系数a、b、c与它的图像性质之间的关系相当密切, 加强二次函数的字母系数的研究, 对探讨二次函数的图像性质大有裨益。

摘要：我们知道, 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的字母系数确定了 (可以用待定系数法确定a、b、c的值) , 它的图像和性质也就决定了;反过来当已知二次函数的图象或它的一些性质, 也可以求出它的字母系数的值或字母系数的范围。

函数性质与基本函数 篇10

函数是在探索具体问题的数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要数学概念, 是研究现实世界变化规律的重要数学模型。在初二已学习过一次函数的相关内容, 学生对函数已经有了初步的认识, 在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念, 为后续学习产生积极影响。本节课的反比例函数图象与性质, 旨在让学生进一步熟悉做函数图象的主要步骤。即:列表, 描点, 连线。通过对反比例函数图象的全面观察和比较, 发现函数自身的规律, 进行语言表述, 从而得出反比例函数的主要性质。在第一课时, 学生已经得到了相应的结论, 本节课在此基础上进一步巩固所学内容。对于反比例函数的增减性, 学生掌握较差, 我们可通过练习得出y=x (k≠0) 中k值的几何意义。实际上, 本节课就是一节习题课, 如何上好一节习题课, 并有效地进行师生间的互动是对我的挑战。

课堂上先复习反比例函数的概念以及它的图象, 回忆性质并列成表格的形式, 以便于学生理解记忆, 然后通过练习进一步巩固所学知识。

例⑴:已知点A (2, y1) , B (1, y2) , C (-1, y3) , D (-2, y4) 都在反比例函数y=6/x的图象上, 比较y1, y2, y3, y4的大小。

学生基本都能得出正确结果, 并有不同的做法, 经过总结归纳出三种方法。

方法一:分别求出y1, y2, y3, y4的值;

方法二:通过反比例函数的增减性来判断;

方法三:画草图, 通过观察图象来比较大小。

我对学生的表现进行了鼓励:大家能用所学的知识解决这个问题, 并有不同的方法, 说明大家都用心思考了这个问题, 在此基础上, 我们再来看例⑵, 大家能解决么?此时, 学生们都在积极思考下一个问题。

例⑵:已知点A (x1, y1) , B (x2, y2) 都在反比例函数y=6/x的图象上, 且x1>x2, 比较y1, y2的大小。

此题对于学生有难度, 学生受上一题的影响, 很容易根据增减性得出y1x2, 可得出y1x2>0; (2) x1>0>x2; (3) 0>x1>x2。

这样处理这道例题, 比我直接给出正确答案效果要更好, 学生的印象也更为深刻。从第二天作业的反馈中也可以看出, 学生对这类型的题掌握得不错。如果这道例题没有经过由错误到正确的过渡, 学生在今后很容易犯这样类似的错误, 这还要“归功”于**同学呢。

《数学课程标准》指出:“数学教学应该建立在学生认识发展水平和已有的知识经验基础上, 教师激发学生的学习积极性, 向学习者提供充分从事数学活动的机会。帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的知识与技能, 数学思想和方法, 获得广泛的数学活动的机会。帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的知识与技能, 数学思想和方法, 获得广泛的数学活动经验。学生是学习的主人, 教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”

因此, 面对新课程, 教师首先要转变角色, 确认自己新的教学身份。在学生学习的过程中, 要由管理者变为组织者, 由传授者变为协助者, 由仲裁者变为促进者。但要真正具体落实到课堂教学上, 我有时仍然感到迷惘, 甚至是无所适从。往往在课堂上还是滔滔不绝地讲, 学生死气沉沉地听;接二连三地问, 学生断断续续地答。“如何根本性地改变教师角色, 实现学生自主学习”这个问题显得尤为突出。在课堂上应该让学生自主活动、合作学习。教育心理学家早已作出论断:教师讲, 学生听, 学生只能记得15%;如果学生自己看书, 可以记得其中的25%;如果既看又听, 效果不再是两者的代数和, 而是65%。这是一个很大的飞跃。如果不仅用耳听, 而且动眼看, 动手做, 动嘴讲, 特别是多动脑筋, 效果自然会更好。因此, 我们可以让学生尝试错误, 这种错误出现后, 教师应善于捕捉这种机会, 将它转化为学生学习探究的课题, 调动学生的探究积极性, 在教师的引导下, 通过自主学习、小组合作、共同探讨等教学手段, 让学生自己纠正错误, 得出正确的结论。这样, 学生的印象会更深刻, 学习的效果也会更好。

在今后的教学中, 我将不断地反思自己教师角色的定位:

1.要做学生学习的促进者。学生自我建构知识的前提还是先有参与的意愿。“兴趣是最好的老师”, 因而教师要熟练驾驭教材及与之相关的拓展知识, 把科学性与趣味性有机地结合起来。然后为学生主动探究提供足够的时间和空间, 并且在学生的合作探究过程中, 不断给以鼓励, 最大限度地促进学生参与探究新知的活动。

函数性质与基本函数 篇11

一、f（x）与y的区别

在研究函数性质之前，先弄清楚f（x）的意义，f（x）是指以x为自变量，对应法则为f，得到的函数值为f（x）。例如：f（1）表示自变量的值取1，对应法则为f，对应的函数值为f（1）。这里的对应法则f是一个抽象的概念，当对应法则具体的情况下，如f（x）=|x+3|-6，这时就说明对应法则为“自变量加3取绝对值之后再减去6”，相应的f（-7）=-2就是在这种对应法则下得到的结果。

在高中阶段，函数值通常用f（x）和y两个符号表示。根据以上分析可以看出，f（x）能够表达出自变量取到何值时得到相应的函数值，如上题中的f（-7）=-2就是说自变量取-7的时候，相应的函数值为-2。而写成y=-2则只能说明函数值为-2，至于自变量的值则无法体现，有可能是-7也有可能是1。由此可见f（x）表达出的含义要比y表达出的含义具体得多，符号f（x）集中反映了函数的三个基本要素。

分析清楚单调性定义的内涵后，函数单调性反映的图像特征就可以相应地表示出来，自变量越大，对应的值越大，此时作出的图像就是一个从左往右上升的图像，反之所作出的图像就是从左往右下降的图像。

三、对称性和奇偶性的定义分析

课本中只对函数的奇偶性定义描述为：定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）为奇函数；反之，定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）为偶函数。

区别于函数的单调性，奇偶性研究时所取自变量是针对定义域内的任意一个数，而不是定义的某个部分；同时奇偶性研究时，首先取定义域内的两个相反数x和-x，这就说明这两个相反数都必须在定义域中，由此可见定义域必须关于原点对称。由于x和-x对应的值分别是f（x）和f（-x），因此f（-x）=-f（x）表示函数值是相反数，而f（-x）=f（x）表示函数值是相等的。

把符号语言转化为文字语言就是：当自变量相反时，对应的值也相反，说明函数f（x）是一个奇函数；当自变量相反，对应的值相等，说明函数f（x）是一个偶函数。

从以上文字语言分析中不难得出奇、偶函数相应的图像分别是关于原点对称和关于y轴对称的图像。

由于函数的奇偶性是函数对称性的一种特殊情况，因此将函数的奇偶性推广后，可以将函数的对称性定义描述为：定义域内的任意一个x，都有f（a-x）=-f（a+x），那么函数f（x）关于点（a，0）对称；反之，定义域内的任意一个x，都有f（a-x）=f（a+x），那么函数f（x）关于直线x=a对称。

观察到定义中自变量的取值分别为a-x和a+x，可得两个自变量是以a为中点的自变量，一方面说明对称性研究中定义域必须是关于a对称的。另一方面可以拓展为以a为中点的两个自变量。当具备满足条件的两个自变量对应的值为相反数或相等时，相应的都可以得到定义中的结果。如f（2a-x）=f（x）表示f（x）关于直线x=a对称；而f（2-x）=-f（3+x）表示f（x）关于点（2.5，0）对称。

四、周期性的定义分析

课本中对函数的周期性定义的描述为：对于函数f（x），如果存在一个非零实数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T就叫这个函数的一个周期。

周期性中自变量的取值分别是x+T和x，而且x是定义域内的任意一个数，其中的T是一个非零实数，既可以是正数又可以是负数。从x+T和x中可以看出这两个变量的关系是间隔|T|个单位，它们对应的值分别是f（x+T）和f（x）。根据定义，对应值之间的关系是f（x+T）=f（x）。

据此分析可以得出周期性相应的文字语言是：如果间隔为|T|个单位的两个自变量对应的值相等，那么函数f（x）就是周期函数。

由此可见，周期函数是以|T|为单位，图像周而复始不断重复出现。据此可得出，周期函数的周期不止一个，任意一个nT（n∈Z且n≠0）都可以表示该函数的一个周期。

将以上的分析整理成表格如下：

函数性质与基本函数 篇12

二、利用坐标轴上点的特征确定抛物线与坐标轴的交点坐标

三、灵活运用待定系数法

在学习待定系数法求二次函数的解析式时, 分清已知点的情况设解析式就行了。如果已知点中有顶点坐标就设所求解析式为y=a (x-h) 2+k, 其中h、k直接用顶点坐标取代;如果已知点中没有顶点坐标, 则设为标准式y=ax2+bx+c (a≠0) 。当已知条件不是以坐标的形式给出的, 而是一个几何图形, 则要自己建立平面直角坐标系, 把平面进行划分。例如, 下面这道题:

例, 要建立横截面如图一所示的厂房, 下部是矩形, 上部是抛物线形, 宽AB=8m, 高OC=4m, 要做一个模板, 需要求出抛物线的解析。

分析:由题设可知, 没有点的坐标, 只有一些数据, 要求解析式需要建立坐标系来确定点的位置。如何建立坐标系, 大家的意见可能不一致, 有学生也许会主张以点A为坐标原点, 建立如图二所示的坐标;也有学生以点O为原点, 建立如图三所示的坐标;还有学生以点B为原点, 建立如图四所示的坐标。由于所建坐标不同, 相应的解析式也不同。比如, 图二所示, 根据已知确定顶点坐标为 (4, 4) , 则可设解析式为y=a (x-4) 2+4;图三的顶点坐标为 (0, 4) , 则设为y=ax2+4;图四的顶点坐标是原点, 直接设为y=ax2。