复变函数与积分变换

复变函数与积分变换（通用9篇）

复变函数与积分变换 篇1

“复变函数”与“积分变换”是理工科高等院校的一门重点数学课程，它们是许多专业课的理论基础。对后继专业课的学习起着举足轻重的作用,而且为培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力等有举足轻重的作用。本文从以下三个方面给出《复变函数与积分变换》的教学的实践探索

1 注重教师形象强调学习意义

第一堂课上课一定要注意老师自身的形象,注重仪表让学生觉得你是一位有品位的教师。老师的一言一行,穿着打扮都会在学生的心目中留下深刻印象,学生渴望从教师身上学到一切有用的知识。你想在学生心目中留下一个怎样的形象最好就在第一堂课中给学生这种印象。给学生上第一堂课要做到亲切友好,易于接近,不要让学生对你敬而远之,要建立良好的师生关系。因为只有亲其师才能信其道。

第一堂课应该强调学习复变函数[1]与积分变换的意义。当我们发现知识对我们的意义时,学得最好。讲一些本课程的来龙去脉,复变函数与积分变换[2]以高等数学为先修课,一些专业课程,例如,电磁场与电磁波，电路,自动控制,信号系统等,在本课程后开设,它为某些专业课提供必备的数学理论与数学基础。高等数学的主要内容是实函数的微积分,复变函数实际上是将微积分推广到复数域上,研究的内容基本和微积分类似,微分、积分、级数等,几何理论等等,复函数有很多性质和实函数性质类似,但也有很多是本质的不同,学习复变函数要注意复变函数和实变函数的区别和联系,抓住这些就更容易学好这门课。复变函数与积分变换是一门内容丰富、应用广泛的数学学科,它的建立和发展与解决实际问题的需要联系密切,其理论与方法被广泛应用在自然科学的许多领域,是机械、电子工程、控制工程,理论物理与流体力学,弹性力学等专业理论研究和实际应用中不可缺少的数学工具。让学生对学习这门课程有个总体的规划。熟悉学时分配及基本要求,准备适当的参考书。

2 明确教学目的抓好趣味教学

教学首要目的便是培养、激发学生对本门课程学习的兴趣。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候,就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题,他在运用复变函数论解决流体力学和航天力学方面的问题上也做出了贡献。在教学过程中不失时机地向学生介绍相关数学家的人物传记。比如:拉普拉斯变换,介绍拉普拉斯[3](Pierre-Simon Laplace,1749-1827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家,法国科学院院士。拉普拉斯曾任拿破仑的老师,所以和拿破仑结下不解之缘。拉普拉斯和当时的拉格朗日(Lagrange)、勒让德(Legendre)并称为法国的3L,不愧为十九世纪初数学界的巨擘泰斗。另外,著名的欧拉公式eix=cosx+isinx,它指出了三角函数与指数函数间的联系,非常值得学习。由此,引导学生自发查阅其他数学家故事,自觉学习数学家的品质,激发学生学习兴趣。只有学得有趣,才会产生学习的欲望,主动去学,才能学得好。

3 学习方法指导师生共同进步

对于大二学生,有一定的自学能力。但面对《复变函数与积分变换》这门课程,课时少,内容广泛,枯燥。师姐师兄的学习方法值得借鉴。老生常谈的五部曲非常有用,它们是:预习、听课、复习、作业、答疑。学习时抓住复变函数和高等数学的异同点。教师强调以后学习中会抓好章节复习课的教学,让学生有准备。经验告诉我们,课后复习温故知新,学完每1-2个章节应及时做好小结。学生归纳出重点、疑点、易错点。可借助计算机教学,省时、直观。进一步提炼数学方法,有的一题多解。如类比法:在复变函数以“解析函数”为中心,类比高等数学中“函数的导数”概念,“复变函数的积分”类比“高等数学的积分学”,“泰勒级数”与“洛朗级数”对比,“Fourier变换”与“Laplace变换”性质,简单应用对比。让学生回头看学过的东西,简单明了。

另外,适当开设讨论课,让学生提前准备。如“幂级数”学完后,“洛朗级数”开设对比讨论课。复变函数与积分变换的教学虽然课时少,但适当加强讨论课的教学以培养学生的自主学习能力很必要,拿出部分内容让学生走上讲台,让学生开始实现从“听众”到“演员”的角色转换,体现学生在学习中主体地位,同时培养了学生分析问题,运用所学的知识解决问题的能力,从而提高学生的素质。

总而言之,我们要尽量让课堂教学的形式多样,可以制作精美的课件,只要我们有这份认真对待工作的热情,我们就一定会认真上好以后的每一堂课的。《复变函数与积分变换》的教学是一门综合教学技能,更是一门艺术,如何提高其教学成效,培养学生的学习能力,还需要我们认真研究和不断探索。

摘要：本文从三个方面给出了《复变函数与积分变换》的教学的实践探索,有利于教学。

关键词：复变函数,积分变换,教学,实践

参考文献

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].4版.高等教育出版社.

[2]张元林.积分变换[M].4版.高等教育出版社.2003.

[3]王幼军.拉普拉斯概率理论的历史研究[M].上海交通大学出版社,2007.

复变函数与积分变换 篇2

第七次课 教学目标：导出解析函数的高阶导数，学会运用高阶导数公式计算复积分。

讲课段落：

 Cauchy积分高阶导数定理的背景；  多连通域的Cauchy积分高阶导数定理  运用高阶导数公式计算复积分。知识要点：

 对每个自然数

n，在D内定义函数

f()Fn(z)d n(z)则对zD，有

Fn(z)nFn1(z)

 对每个自然数n，f(z)在D内处处有n阶 导数，且对zD 有 f(n)n!f()(z)dn1 2i(z) 由于f(z)uxivxvyiuy，而高阶导数定理认定，一但

f(z)解析 则f(z)也解析，自然更有f(z)连续，从而可知ux,vx,uy,vy都连续。

 设D为单连域，f(z)在D内连续，若对

复变函数与积分变换 篇3

关键字 独立学院；复变函数与积分变换；教学改革

中图分类号：G642.0 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2016）14-0105-02

独立学院作为一种新型的办学模式，在高校扩招的浪潮中应运而生，宗旨是培养社会急需的应用型人才。它的招生一般是按照当地三本或者比三本线高一点儿录取，学生有自己的特点：学习的主动性不强，学习基础相对薄弱，学习兴趣不高，等等。复变函数与积分变换作为一门应用广泛的数学基础课程，它就像高楼的地基。针对三本学生的特点，如何把这地基打牢、打稳？

1 独立学院复变函数与积分变换教学存在问题分析

学生方面 独立学院的招生一般是按照当地三本分数线或者三本分数线多一点儿录取，学生的基础相对普通的一、二本院校学生要薄弱，尤其对数学这类基础课程更是望而生畏。复变函数的学习必须要以高等数学作为基础，虽然学生在大一用了一学年的时间学习高等数学，但是对高数知识的掌握并不是很牢固，所以在用高数知识解决复变函数问题时，学生感觉非常吃力。慢慢地就导致对这门课程的学习热情锐减，上课不专心，比如玩手机、睡觉甚至缺课。再者，独立学院的学生普遍的学习积极性与主动性比普通的一、二本院校要差，作业主动思考的比较少，抄袭的现象比较严重，课上集中精神配合教师上课的学生比较少，课上没有掌握的知识，利用课后复习或者积极请教教师的学生比较少。

教师方面 独立学院的教师一般分为专职与兼职教师。兼职教师一般是普通一、二本院校的在职或者退休教师，他们长期教的是基础和学习积极性比较好的一、二本学生。而兼职教师一般是普通高校的刚毕业研究生，教学经验不足，而且教学方法与模式一般都按照毕业院校的方法与模式进行。所以，无论是专职还是兼职教师，对于三本学生的具体情况不是很了解，难以做到因材施教。往往，教师认为自己已经讲得很详细、分析很到位了，但学生反映太难、太快，听不懂。

课时方面 虽然复变函数与积分变换是很多专业课程的基础课，有着重要的作用，但大部分高校此课程的课时都比较少，基本是32或者48课时。而复变函数包括复数，复变函数的微分、积分、基数、留数，积分变换包括Fourier变换与Laplace变换，内容非常丰富。

2 独立学院复变函数与积分变换教学改革探讨

为了增强复变函数与积分变换的教学效果，针对以上问题，从教学方法、教学手段、教学内容、教材改革以及考核方式等方面，探讨独立学院复变函数与积分变换教学改革。

教学方法 首先，复变函数与积分变换这门课程主要有两部分，一部分是复变函数，一部分时积分变换。其中，复变函数以理论为主，积分变换要以复变函数作为基础，以应用为主。复变函数是高等数学中实数域向复数域的扩展，所以复变函数中大部分概念都与高等数学中的概念类似，性质也相同。同时，很多复变函数问题的求解需要借助高等数学的相关知识。所以，教师在教学方法上可以采取类比法。比如复变函数在一点极限的定义，本来极限的概念很抽象，不好理解，教师可以先让学生回顾高数中函数在一点的极限定义，然后给出复变函数在一点极限定义。教师可以引导学生先思考它们之间的相同与不同之处，充分调动学生的积极性，带着问题去听课，不仅师生之间可以有良好的互动，学生也会对自己总结的知识有很深的印象。

其次，三本院校的学生基础相对薄弱，对于授课过程中一些定理的作用与使用方法，教师可以采用归纳总结式教学方法。比如对于复变函数的积分，方法有很多，在讲完所有积分方法时，引导学生对积分的方法做个总结，这对理解和掌握所学的知识是非常必要的。

教学内容 三本院校的办学宗旨是培养应用型人才，所以在授课过程中，教师应该按照这个宗旨合理安排教学内容。首先，对于一些理论性较强的定理，可以不讲它的证明，直接给出，要求学生会使用解决问题即可。其次，针对课时少、内容多，而每个专业对该课程的需求不一样，教师可以根据所带学生的专业，对授课内容做合理的调整。最后，复变函数和积分变换作为数学基础课，比较枯燥，如果能在授课过程中给出知识点在相应实际生活中的应用，教学效果会很好。

比如在讲解Cauchy积分公式时，由Cauchy积分公式推导出等式：

它的含义是一个解析函数在圆周上的平均值等于它在圆心的值。接着给学生举例，比如要测量地球球心的温度，可以先测量地表的温度，算平均值得到球心的温度。在授课过程中加入这样的实例，不但可以提高学生的上课积极性，也可以加强学生对知识的理解。

教学手段 改变传统的板书教学法，利用板书与多媒体相结合的形式授课。一方面，一些书上有的定理通过PPT演示，可以缩短板书时间，有效提高上课效率；另一方面，有的概念比较抽象，比如用复球面表示点等，可以借助PPT直观地给学生演示，方便学生理解。当然，传统的板书还是要有的，三本学生的基础稍微差些，对于例题的分析还是采取板书形式，带着他们边分析边求解比较好。这样既能让他们对分析有接受的时间，又能对他们的掌握情况有更清楚的把握，有效地提高学生对知识的掌握程度。

加强考核方式 学生平时的学习是知识积累的过程，考试是测量学生对知识掌握程度的手段。而学习只有靠平时的积累和期末的总体复习，才能对整个课程有个全面深刻的理解和把握。但是，现在有些学生平时上课不注意听讲，作业基本靠复制，甚至还有的就干脆不来上课，考试基本靠突击，能理解的就理解，理解不了的就死记硬背，考试结束后全部忘记，造成后续专业课程学习的困扰。

因此，考核过程中可以增加平时表现的成绩，由考勤、作业以及平时学习态度组成。平时上课可以采取抽查方式考勤，采取量化方式，缺一次扣相应平时分数。对于作业上交的考核也可与考勤一样，采取量化方式，一次不交扣相应的平时分数。为了避免学生抄袭作业，可以在讲解作业时采用提问方式抽学生来讲解，回答不出来，但作业是对的，可以酌情扣掉平时分。当然，在平时上课提问过程中，对积极回答问题、表现好的学生，可以加平时分。善罚分明，让学生重视平时的学习，才能更好地静心理解所学知识，为后续专业课程的学习打下坚实的基础。

3 结束语

总之，独立学院的教学改革是一个不断摸索的长期过程，还有很多地方需要不断探讨研究。复变函数与积分变换课程作为一门工程基础数学课程，是后续专业课程学习的基础，只有从独立学院学生角度出发，结合独立学院办学宗旨，探讨出符合独立学院实际的教学方法，才能让独立学院的复变函数与积分变换课程的教学越来越好，越来越有特色，才能给后续专业课程的学习打下坚实的基础。

参考文献

[1]西安交通大学高等数学研究室.复变函数[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]盖云英，包革军.复变函数与积分变换[M].北京：科学出版社，2007.

[3]冯丽萍.《复变函数与积分变换》教学的研究[J].科技视界，2016（3）：197.

复变函数与积分变换 篇4

关键词：课程建设,复变函数,积分变换,教学实践

理工科高等学校都为电类及电类相关专业的本科生都开设了《复变函数与积分变换》课程, 通过本课程的学习, 使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论与方法, 以及它们的应用, 为有关后续课程的学习奠定坚实的数学基础、提供必需的数学工具。随着教学改革的深入, 承担教学任务的《复变函数与积分变换》课程的教师对《复变函数与积分变换》课程的进一步改革认识也更明确。在新的历史时期, 我们的课程也要做到与时俱进。从对工科本科生培养的一般要求, 后续课程的学习和科学研究的工作需要, 在进一步加强学生复变函数与积分变换数学理论知识传授的同时, 重点增加数学理论知识在专业领域实际应用案例教学等实用性训练, 使学生更确实地体会到数学与现代工业科学的紧密联系。

一、教师队伍的建设

1. 团队精神。

(1) 课程组应通过建立团队合作的机制, 改革教学内容和方法, 开发教学资源, 促进教学研讨和教学经验交流, 推进教学工作的传、帮、带和老中青相结合, 提高教师的教学水平。 (2) 以《复变函数与积分变换》课程组为建设单位, 在多年的教学改革与实践中形成教学团队, 具有明确的发展目标、良好的合作精神和梯队结构, 老中青搭配、专业技术职务结构和知识结构合理, 在指导和激励中青年教师提高专业素质和业务水平方面成效显著。 (3) 课程负责人具有较深的学术造诣和创新性学术思想;长期致力于本团队建设, 坚持在本校教学第一线为本科生授课。品德高尚, 治学严谨, 具有团结、协作精神和较好的组织、管理和领导能力, 通过有效的团队管理, 形成了强大的团队凝聚力和创造力。 (4) 课程组成员积极参加教学改革与创新, 改革教学模式, 及时更新教学内容。

2. 教师行业企业经历。

课程组教师参与到研究所科研项目或企事业单位的工作中, 通过与科研技术人员和企事业单位工作人员的交流、对实际问题的深入了解、有效的数学方法的使用, 在很大程度上丰富了教师的实践经验, 为数学理论与现代工程技术的有机结合提供了桥梁和纽带, 有助于更新原有知识体系, 提高了教师的学术水平, 实现教学理念的转变, 使基本的数学理论与其实际应用紧密结合。

3. 青年教师培养。

课程组要高度重视青年教师培养工作, 形成了规范的培养程序。我们提出如下做法: (1) 实行导师制, 促使青年教师尽快过好教学、科研关。安排具有副高以上职称且作风正派、品行端正、治学严谨、教学水平较高的教师做指导教师。指导教师的主要任务是对青年教师在教书育人、教案编写、课堂板书、讲课方式、教学方法研究、实践技能培养途径、科研方法与程序、科研报告与论文写作以及自学提高等方面进行具体指导, 并定期检查、年终写出考核评语, 帮助他们制订个人成长计划或职业生涯规划, 落实培养措施。 (2) 实行上课前试讲制度, 使教学质量得到保证。青年教师到课程组后, 安排“助课”任务, 同时认真备课。在正式上课前, 在数学基础教学部所有教师参加范围内进行试讲, 并就试讲情况提出具体参考建议。对试讲合格者, 才允许承担课程主讲任务。 (3) 加强教学检查和督导。要求青年教师积极参与课程建设工作, 使青年教师在具体实践中迅速成长。对青年教师的教学、实验课讲授、备课、讲授等情况实行动态管理和指导, 每学期要对每位教师听课2~3次, 进行即时在线督导。 (4) 鼓励青年教师积极参加学校、学院组织的青年教师授课比赛等各种教学竞赛活动, 创造机会让青年教师脱颖而出。 (5) 教学、科研上逐步压担子, 保证教学、科研质量和水平的稳步提高。随着教学各环节的熟悉和经验的积累, 要从教学的质和量上提出更高的要求, 根据各系情况逐步压担子, 以便使他们早日成为教学骨干。

二、教学方法的改革

为了做好本课程的教学, 课程组在重视传统课堂教学的基础上, 还应采取多种方式提高学生主动学习的积极性, 提高学生综合应用知识的能力, 达到深化理论学习, 提高应用能力的目的, 从而取得较好的教学效果。

1. 重视课堂教学, 激发学生学习兴趣。

主讲教师要充分做好课前准备, 努力激发学生对该课程的学习兴趣, 吸引学生的注意力, 由浅入深, 由简单到复杂。举例时尽量结合实际生活应用, 学生就不会感到所学内容抽象和空洞, 而是与实际有着紧密联系, 从而增强学习的主动性和目的性。对教学内容中的难点和重点着重进行分析和讲解, 尽可能从不同角度对问题做详尽的解释和说明, 掌握好讲课节奏, 突出重点, 解决难点。

2. 注重理论背景和思想方法。

复变函数与积分变换内容的改革在重视理论研究的同时, 也要兼顾到实际应用, 在研究的主要内容、特色、体系结构和所要解决的主要问题等方面, 要围绕有利于学生的发展来进行。在课堂教学中, 特别强调理论的应用性, 尽量减少对理论的推导证明, 但是要求学生必须了解它的思想和方法。

3. 加强与实际问题联系的方法。

在讲授复变函数与积分变换的一些理论时, 结合实际问题, 使学生真正感受到课程的一些理论与方法的应用, 充分调动学习的积极性。如在讲Cauchy积分公式时, 让学生思考如何测得地心的温度这一问题, 如果能测得地球表面各点的温度, 则可利用Cauchy积分公式来测得地心的温度;讲共形映射时, 指出许多地质测量等工程技术人员利用该原理来处理一些不规则图形, 如把扇形变换为矩形, 而保持各采点的性质不变等。

4. 采用类比式教学方法。

在教学过程中注重类比引导, 深刻理解复变函数与高等数学的区别与联系, 逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。例如, 在复变函数的讲授中, 引导学生对复变函数中的函数、极限、导数、积分等概念与高等数学中函数、极限、导数、积分等概念进行比较, 找出相同点与不同点, 这样有利于学生的理解和记忆。同时, 引导学生在比较中自己思考, 进而得出自己的一些结论。

5. 主体与客体双向交流的教学方法。

在教学活动中, 多注重学生主体的意识, 寻找适当的切入点或兴奋点, 以激发学生学习的主观能动性, 以便较好的实现教学的目的。在强调以学生为主的同时, 也必须加强教师在教学活动中的主导作用。以教师为主导, 以学生为主体, 教与学的关系是以学为主, 教要服务于学、启发于学、促进于学, 只有双方互动起来, 才能搞好教与学。如在介绍解析函数的概念时, 教师可稍加引导, 启发学生归纳出函数的解析性与可导性的关系, 进一步加深对柯西—黎曼方程作用的理解。

参考文献

[1]侍爱玲, 白羽, 张蒙.类比建构对复变函数教学的启示[J].中国科技信息, 2010, (18) .

[2]熊春连, 陈翠玲, 段华贵.工科复变函数中的迁移教学[J].大学数学, 2010, (2) .

[3]姜淑珍.关于复变函数论教学方法的思考[J].长春师范学院学报, 2004, (5) .

复变函数与积分变换 篇5

作为一种有力的工具, 复变函数论广泛的应用于自然科学的众多领域, 如理论物理、空气动力学、流体力学等。它的主要研究对象是解析函数。

1 留数简述[1]

留数理论在解析函数的积分计算有重要价值, 同时为计算某些类型的实函数的定积分提供了有效的方法。当z0为f (Z) 的m阶极点时, 有统一的极点处留数计算公式:

接下来用Matlab的Web功能实现留数运算。

2 matlab web server概述及配置[2]

2.1 概述

基于matlab的web应用的形式是, 用户通过Internet将数据发给matlab web server, 然后借助matlab强大的计算, 获得结果。浏览器客户通过Tcp/ip协议请求web服务器, 而matlab web服务代理筛选所有的请求, 如果是matlab web请求, 则交由matlab webServer程序处理, 否则由标准的web服务器来处理。

2.2 配置matlab web server[3]

在matlab安装目录toolboxwebserverwsdemos下, 将matweb.conf和matweb.exe复制到apache的cgi-bin目录下以方便调用, 并配置matweb.conf。本系统用到了ylres.m和fhres.m两个m文件, 在matweb.conf中加入其配置参数。

3 留数计算的web实现

3.1 是有理分式的情形

(1) 接收输入html表单的输入值。

第一步:创建表单action参数用来指定服务器。

第二步:创建隐藏域用以指定对应的m文件, 用Value参数填写应用程序入口。

第三步:添加两个输入参数"fenzi"和"fenmu"的文本输入域, 创建表单的提交按钮。

过程指定程序入口为ylres.m, 给定参数fenzi和fenmu, 最后提交按钮。默认求的极点及极点处留数。

(2) 创建matlab web应用程序的M文件。

第一步:定义函数名, 初始化返回的参数。

第二步:得到分子的系数fenzi, 分母的系数fenzi。

第三步:计算有理分式的留数。可以用matlab信号处理工具箱中的函数residue, 应用该函数, 可以求出有理分式的留数。当函数无重极点时, 使用语法为:

其中r是部分分式的留数数组, p是极点数组。调用如下:

第四步:输出参数到1.html中, 并调用htmlrep函数将结果返回给输出文件。

3.2 不是有理分式的情形

(1) 接收输入html表单的输入值。此步骤与有理分式情形的不同是:将指定的m文件改为fhres。第三步中的参数改为name="hanshu"value=" (1-exp (2*z) ) /z^3"、name="jidian"value="0"和name="jieshu"value="2"。

(2) 创建matlab web应用程序的M文件。

第一步:定义函数名, 初始化返回的参数。

第二步:得到f (x) 的表达式hanshu, 极点jidian, 和极点的重数jieshu。

第三步:当函数f (x) 的形式不是有理分式时, 求函数在极点处的留数的方法是先判断极点的重数, 然后利用matlab的运算功能根据留数计算公式, 可以求出留数的解析形式。该部分默认求在z=0处的留数。调用如下:

其中fz为 (z-z0) mf (x) 在matlab中表达式, s为所求留数的表达。

第四步:输出参数到2.html中, 并调用htmlrep函数将结果返回给输出文件。

(3) 创建输出文件。

输出文件:用$r$和$p$可以显示出留数和极点。其中的$是必须的, r、p为M文件的输出变量。

4 总结和讨论

随着远程教学的开展, 开发基于Web的“复变函数与积分变换”CAI显得十分迫切。网络上实现留数的求解是“复变函数与积分变换”课程的延伸, 而且也充分展示了MATLAB符号运算功能及数学运算工具箱的优势, 可作为教学的辅助手段应用于课程的远程教育。

参考文献

[1]华中科技大学数学系.复变函数与积分变换 (第三版) [M].高等教育出版社, 2008, 6.

[2]王素立, 等.MATLAB混合编程与工程应用编著[M].清华大学出版社, 2008, 5.

复变函数与积分变换 篇6

一、各章重点、难点、考点及典型例题解析

第一章：复数。重点：复数的运算，以及用复数方程表示曲线，用不等式表示区域。难点：复数方程表示曲线，不等式表示区域。考点： (1) 求已知复数的实部、虚部、模、辐角及复共轭; (2) 复数的三种代数表示; (3) 复数的八种运算; (4) 区域、简单曲线的概念; (5) 用复变数方程表示曲线，用不等式表示区域。

典型例题解析：

例:求复数的模、辐角、辐角主值及其共轭。

分析：所给复数为代数式，按模、辐角、辐角主值及其共轭的定义做即可，注意该复数在第二象限。

第二章：解析函数。重点：函数解析性的判别，掌握和运用柯西——黎曼条件，能从已知调和函数求其共轭调和函数。难点：函数解析性的判断，已知调和函数求其共轭调和函数。考点：①复变函数与映射的概念;已知映射和原像，求像;②复变函数的导数及求导方法;③解析函数的判断及其性质;④C-R条件及其应用;⑤已知调和函数求其共轭调和函数;⑥初等函数的定义及性质。

典型例题解析：

例：讨论下列函数的可导性与解析性，并在其可导区域内求其导数：ω=2-z+2z2。

分析：讨论函数的可导性与解析性，要紧扣ω=f (z)在点z可导与在区域D内可导的定义，以及f (z)在D内解析的充分必要条件：u (x, y), v (x, y)在D内处处可微且它们满足C-R条件。

解:v=4xy-y, 显然u (x, y) 、v (x, y) 在全平面可微.

∵, u (x, y) 、v (x, y) 满足C-R条件.因此ω=2-z+2z2, 在全平面上解析:

第三章：复变函数积分。重点：柯西定理;柯西积分公式及高阶导数公式的用法。难点：复变函数积分的计算。考点：①复变函数积分的五个性质;②利用原函数计算解析函数的积分;③用参数法计算复变函数的积分;④用柯西定理计算解析函数沿闭曲线的积分;⑤掌握柯西定理的推广;⑥掌握柯西积分公式;⑦掌握解析函数的高阶导数公式;⑧解析函数的一个等价概念。

典型例题解析：

例:计算积分的值, 其中C为正向圆周|z|=1。

分析:在围道|z|=1内, 函数仅有一个奇点z=1/2, 可由高阶导数公式计算积分值。

第四章：级数。重点：函数展开成泰勒级数;在不同环域内展开成罗朗级数;孤立奇点类型的判别。难点：函数展开成罗朗级数;孤立奇点类型的判别。考点： (1) 用比值法和根值法求幂级数的收敛半径; (2) 利用奇点求幂级数的收敛半径; (3) 利用常用的五个初等函数的泰勒展开式求另一些函数的泰勒展开式，并且能够确定其收敛半径; (4) 将一些简单的函数在不同的环域内展开成罗朗级数; (5) 孤立奇点的分类及其判别方法。

典型例题解析：例：将函数，在z=1处展开成泰勒级数。

分析：先将f (z)变成部分分式，化繁为简，再分别展开计算。

第五章：留数。重点：留数的计算及应用留数计算某些定积分。难点：留数的计算。考点： (1) 留数的定义; (2) 留数定理，利用该定理计算围道积分; (3) 留数的计算; (4) 利用留数计算下列三种类型的积分。

典型例题解析:例:利用留数求函数的积分。

分析：计算围道积分有两种基本方法，一是利用柯西积分公式或者高阶导数公式;二是利用留数定理。

解：由(z-2) (z2+1)=0得奇点z=2, z=±i.仅z=±i在围道|z|=3/2内，且为一阶极点.

方法二:利用留数定理I=2πi{Res[f (z) , i]+Res[f (z) , -i]}=4πi/5.

第六章：保角映射。重点：保角映射的概念和分式线性映射。难点：以分式线性函数为主的复合函数的映射。考点：①旋转角、伸缩率;②已知一点，求关于一圆周的对称点;③利用保交比性求映射;④三类典型映射的公式;⑤已知原像和映射，求像;⑥已知原像和像，求映射。

典型例题解析：

例试求一ω=f (z)，它把z平面上的区域保角映射成W平面上的单位圆域|ω|<1，且使z=1+i, 0分别映射成ω=0, 1.

分析：我们先将第一象限映射成上半平面，再将上半平面映射成单位圆内部，最后一复合即可。

解：(a)作变换ω1=z2，它把区域0

(b) 作变换它把上半平面0

综上所述，把z平面上的区域0

第七章：积分变换。重点：计算函数的傅里叶变换;傅里叶变换的微分和积分性质以及用傅里叶变换解某些积分方程。拉普拉斯变换的性质;海维赛德展开式;用拉普拉斯变换解微分方程或微分方程组;难点：用傅里叶变换的性质计算某些函数的傅里叶变换，用拉普拉斯变换的性质计算某些函数的拉普拉斯变换。考点：傅里叶变换、逆变换;拉普拉斯变换、逆变换。

二、学习方法

1. 在学习教材某一章之前，掌握本章的学习目的与要求，以及考核知识点与考核要求。

2. 阅读教材时，对基本概念必须深刻理解，对基本理论必须彻底弄清，对基本方法必须牢固掌握，一般说来，在未达到上述要求之前，不宜学习新的内容。

3. 在学习过程中，要求即动脑，右动手，既要思考问题，又要进行演算。要把教材中的定理证明、公式推导、例题计算再推证一遍，从中了解推理和计算中的关键所在并训练解题能力。

4. 做作业是理解、消化和巩固所学知识，培养分析问题、解决问题及提高运算能力的重要环节。

总之，只要能够把握各章节的重点、难点、考点，并做适量的题目，一定能够学好该门课程。

参考文献

复变函数与积分变换 篇7

《复变函数与积分变换》是我校工科专业一门重要的基础课程, 是很多专业课程的重要的理论基础。本课程对培养学生数学素质、逻辑思维、分析问题和解决问题的能力有重要的作用和意义。该课程无论在教学、科学研究和项目开发中都处于非常重要的地位, 提高此课程的教学效果, 具有重要的现实意义。

我们在《复变函数与积分变换》课程的教学过程中遇到如下问题:学生普遍认为课本内容抽象、难懂, 相关公示和概念讲解多;课堂讲解以论述为主, 内容既多又复杂, 重点不突出, 听起来感觉单调、乏味;教学内容结合各专业技术应用的内容很少, 严重脱离学生熟悉的专业环境, 缺少学习兴趣。因此需要在目前的教学环境下, 综合应用多种不同的教学方式, 激发学生学习的兴趣和热情。

二、基于任务驱动的研究性教学

任务驱动教学是一种以建构主义理论为基础的教学方法, 建构主义学习理论认为:知识不是通过教师传授得到的, 而是学习者在教师的帮助下, 利用必要的学习资料, 通过建构方式获得的。这里的建构既包括对新知识意义的建构, 又包括对原有经验的改进和重组[1]。任务驱动就是在学习的过程中, 学生在教师的帮助下, 通过对学习资源积极主动地应用, 以完成一个个具体的任务为线索, 教师依据课堂教学目的和教学内容的需要, 依据专业不同引出具体创新点, 引导学生参与分析、讨论、评价等活动, 与以往的传统教学方式相比, 主要提倡使用理论联系实践结合的互动教学, 任务驱动教学法有利于培养学生独立分析问题、解决实际问题的能力以及创新意识和创新能力, 促使学生重视科研项目实践。

研究性教学, 指的是学生在教师指导下, 根据各自的兴趣、爱好和条件, 选择不同的研究课题, 独立自主地开展研究, 从而培养创新精神和创造能力的一种学习方式[2,3]。这种教学方法的本质是学生不再是被动地接受知识, 而且通过在学习过程中的自主选择和自我设计, 学生可以充分挖掘自身的潜力, 实现个性化发展。

三、任务驱动模式教学实践

作为任务驱动的教学, 我们在授课过程中, 遵照Willis提出的模型来进行架构。将教学任务分解成前期任务、执行任务和评价机制这一教学模式;任务的实现分三个步骤完成, 即课堂讲授由教师讲解、演示教学内容并引出需要使用的相关定理和公式;接着是任务的主体, 提出任务之后, 教师不要过早指导学生应该“怎么做”, 而是要和学生分析讨论, 引导学生逐步理解问题的实质, 明确“做什么”;然后帮助学生将任务分解, 产生一系列子任务, 学生通过团队协作实现;最后再由教师对任务完成的情况给出最终评价结果。

根据上述框架, 在《复变函数与积分变换》课程中, 将教学分为三基理论导入和三元驱动 (兴趣驱动、竞赛驱动和项目驱动) 主动学习环节。三个环节以三基理论为教学内容, 强调通过课堂教学完成大纲规定的基本概念、基本理论、基本方法, 提高学生的理论学习能力;以三元驱动主动学习为中心环节, 强调将课内和课外自主学习相结合, 充分发挥教师主导作用, 激发学生专业知识学习的原动力, 提高学生创新热情, 培养学生的主动探索和主动学习的能力;充分发挥网络技术, 挖掘网络课堂和教学资源, 通过技术创新创造软硬件资源。

三基理论导入:此环节由教师根据本科生学科专业、学习基础、自学能力、学习兴趣的不同层次, 实行多元化、分层次教学模式。避免教师独角戏的讲法, 实现解惑、答疑和启发性的过程, 在教学中采取了灵活多样的教学方法, 教师讲授为主, 学生自主学习为辅, 遵循课堂中注重互动讨论、学习中关注实际应用, 讲授法与讨论法相结合、启发与具体实例相结合等教学方法, 结合《复变函数与积分变换》课程特点精心选择和梳理各章节的教学方法。

三元驱动主动学习:该课程理论内容和概念较多、内容抽象, 在教学过程中, 我们需要特别注重讲解课程内容的重要性和实用意义。该环节根据专业引导学生逐步实现兴趣驱动、竞赛驱动和项目驱动过渡。学生初步接触复变函数和积分的变换思想很迷惑, 因此需要针对具体专业引入示例来提高学生的学习兴趣, 从而使学生深入进去后自发运用信息技术, 采取主动的学习策略;学生对内容产生了浓厚的兴趣后, 引导学生参加相关的数学建模竞赛, 提高数学创造性思维、团队协作能力和沟通能力, 以竞赛的方式进一步激励复变函数应用性的个性化学习, 将理论联系实际, 提高了学生的荣誉感和对理论学习的热情, 充分发挥了学科竞赛的带动价值;最后积极组织学生参与到教师的实际科研项目中, 引导学生参加学校的创新实验, 利用复变函数和积分变换的基础知识解决实际项目中的难点, 将建立的数学模型转换、指导和应用于相应的工程应用模型, 培养学生学以致用的科研水平。

如在讲解傅里叶变换时, 引入对其物理意义的阐述。傅里叶变换是将信号从时域转换到频域, 这样在时域上一些交叉在一起的、看不出来的信号的特性, 在频域上就很明显地能看出来了, 如下图2-图5所示:

图2与图3两个信号的波形在时间轴上, 很容易分辨出来。但是图4是两个信号的叠加, 就无法通过直观的方法识别出具体的信息。但是通过傅里叶变换转换到频域上, 如图5所示可以十分清晰地分辨出图4是由两个信号组成的, 频率大的信号的幅值比较大。这样学生就将专业实践与复变函数知识有机地结合起来。

四、结束语

《复变函数与积分变换》课程教学质量的好坏, 是各工科专业的学生后续专业课程的数学基础, 因此提高《复变函数与积分变换》的教学质量, 任务是艰巨的, 需要我们讲授工科专业课基石——数学的教师保持持续的教学方式探索。通过本文讨论的教学改革与实践, 《复变函数与积分变换》的教学质量有了一定提高, 取得了初步成效。

参考文献

[1]何克抗.建构主义——革新传统教学的理论基础[J].电化教育研究, 1997, (3) .

[2]高莉.基于探究型学习的《数字信号处理》课程教学实践[J].中国电力育, 2008, (3) :54-55.

复变函数与积分变换 篇8

目前《复变函数与积分变换》的教学大都以教师、课堂、课本为中心, 在教学中沿袭着讲—听—考的教学模式。 在这种传统的教育模式下, 学生在学习上往往采用了背例题, 封闭记忆性的学习方法, 无法体会该课程的用途, 不能适应新世纪对人才培养模式的要求。

究其原因, 有以下三点:第一, 侧重数学理论。在《复变函数与积分变换》有限的学时中, 课堂上一般以数学系统理论知识为主, 应用性知识为辅, 其学时比例大约为5:1。 第二, 与专业课脱节。 作为一门专业基础课, 《复变函数与积分变换》的教学内容并没有与专业课产生紧密的联系。第三, 教学效果有待提高数学的教学以板书为主, 虽然容易引导学生思路, 但是方式较死板, 属于灌输式教育, 使得学生感觉枯燥无味, 教学效果不能达到预期。

2 《复变函数与积分变换》课程要解决的问题

2.1更新教学内容, 设定科学明确的教学目标

教师应该使学生在学习和掌握该课程的基本理论与方法的基础上, 对后继课程的学习要有所帮助;故教师的教学不能仅以学生学到知识为目标, 还要使学生在学法上得到某种启示, 将核心放在思路、方法、能力的培养上, 将教学课程变成一种研究创造的课程, 不是简单的传输, 要鼓励学生积极主动地参与教学活动, 使他们了解该课程在现代工业领域的实际应用情况, 培养学生一定的实践能力和创新能力。

2.2优化教学过程

(1) 加强与《高等数学 》的衔接性

《复变函数 》是 《高等数学 》的后继课程, 是高等数学的继续和发展, 傅里叶变换也是在傅里叶级数基础上的继续, 因此《复变函数与积分变换》和《高等数学》有着千丝万缕的联系, 搞好与高数相关知识的衔接不仅有利于学好复变函数与积分变换自身的内容, 更有利于深化掌握高等数学的知识。 高数中的相应概念只是推广后的一种特殊情况, 它们之间既有区别又有联系, 必须弄清这种区别和联系。

(2) 与专业相结合, 实现学以致用

对于非数学专业的学生, 适当减少理论性较强的推导和证明, 强调概念的产生过程所蕴含的思想方法; 在积分变换内容的讲解过程中, 结合专业后续课程介绍一些与其专业相关联的背景分析与方法运用, 使得内容生动有趣。 其次, 提倡多样化的教学方式, 注重多种教学方法的选择与综合运用。

2.3重建教学评价体系

第一, 运用类比法, 采用启发式教学。

复变函数的内容安排与高等数学的安排有相似之处, 都包含连续、微分、积分、级数这几部分, 在第一节课就要让学生了解到该门课是把高数中的连续、微分、积分、级数等理论拓广到复变函数情形, 在接下来章节教学过程中让学生找到复变函数与高等数学中的有相同名称的概念, 让他们发现这些概念的区别与联系, 这样整个教学过程中都是在比较中回顾旧知识, 同时也在比较中学习新知识, 每一个环节总是在启发学生主动思考, 逐步培养同学们的类比思维方法。

第二, 增加互动环节, 培养发散思维。

作为教师可以以课堂讨论、提问的方式引导学生对所学知识进行概括与总结, 让学生将知识经过自己头脑的分析, 综合变成自己可以运用自如的知识体系, 让学生从不同角度总结归纳。 习题课上多使用一题多解, 启发学生对于一个问题从多个角度思考, 举一反三, 触类旁通。

第三, 理论联系实际, 培养学生的应用创造能力。

由于复变函数与积分变换在工科中应用的广泛性, 教会学生如何使用该门课程的知识解决实际问题, 培养应用性人才又是一个重要的环节。 在具体的教学中, 可根据专业需要, 采用案例式教学, 给出实际问题、分析问题, 让学生参与到整个过程中来, 这样学生可进一步的将理论联系实际, 把积分变换作为工具应用在各自专业领域解决实际问题。教师在平时的教学中也可向学生介绍一些本课程较前沿的应用成果, 或者积极鼓励学生参与科研项目, 多渠道加强师生交流, 让他们接触新的东西, 了解科学前沿, 培养他们在专业领域的远大抱负。

第四, 教师与学生共同学习, 采用多种手段提高课堂教学效率。

运用多媒体辅助手段, 选择较成熟的数学软件 (如Matlab) , 通过计算机动画模拟、图形显示、声像处理及文字说明等方式向学生展现一个图文并茂、数形结合的形象、直观的教学环境、从而扩大课堂的信息量, 有效地刺激学生的形象思维。 如用计算机直观演示常用工程函数的拉氏变换等, 加深学生对拉氏变换概念的理解及方法的应用。

第五, 改革考核方式, 实现多维评价。

该课程的传统考核方式比较单一, 通常采用闭卷考试。 这种考核方式常常引起学生死记硬背, 考完容易遗忘等现象, 对培养学生的创新能力极为不利。 教师在第一节课应该严明纪律, 使考核贯穿在整个教学过程中来, 平时的教学中增加一些评分标准, 比如课堂提问、不定期的课堂练习、撰写课程小论文、课程笔记的系统性与完整性等, 将这些作为每位学生的平时成绩, 从而将教学目的与考核结果有机地结合起来。

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2013.

[2]殷志祥等.高等数学[M].合肥:中国科学技术大学出版社, 2012.

[3]西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].北京:高等教育出版社, 2013.

复变函数与积分变换 篇9

“复变函数与积分变换”是我校工科专业一门重要的基础课程, 是很多专业课程的重要的理论基础。本课程对培养学生数学素质、逻辑思维、分析问题和解决问题的能力有重要的作用和意义。通过复变函数和积分变换课程的学习, 从微观的角度使学生了解复变函数与积分变换课程的知识体系, 掌握复变函数和积分变换课程的基本概念、基本理论和基本方法, 从课程的角度上使学生了解复变函数和积分变换课程的发展和应用新方向。由于复变函数部分理论性强, 概念多, 规律多, 内容抽象, 积分变换部分运用了级数、广义积分、留数等数学知识大量推演, 给教学工作增加了一定难度。因此, 如何全面贯彻落实科学发展观, 进一步深化本学科专业教学改革, 以“质量工程”建设为契机, 培养社会和企业真正需要的应用型人才, 是数学专业急需进行深入研究和探讨的问题。为了改革传统的复变函数和积分变换教学模式一向以学科知识为核心, 缺乏对理论创新、技术创新实践的教学方式, 本文提出了以设计为导向, 以培养个人能力 (包括自学能力和创新能力) 、团队能力和系统的适应与调控能力为主要目标的CDIO教育理念;提出了以项目设计为载体, 以项目学习为手段的人才培养模式。为保证教学质量, 在教学方式上采用探究式课堂教学与实践教学, 在教学管理上采用科学的教学质量保障体系, 积极探索改革并设计出新的有利于促进大学生创新思维和创新能力培养的应用型人才培养模式。

二、CDIO工程教育模式

CDIO作为当今国际高等工程教育的一种创新模式, 是2001年由麻省理工学院 (MIT) 和瑞典皇家工学院等四所大学共同倡导、合作开发的一个国际工程教育开发项目, 是一种新型的教育模式。CDIO代表构思 (Conceive) 、设计 (Design) 、实现 (Implement) 和运作 (Operate) , 它以产品研发到产品运行的生命周期为载体, 让学生以主动的、实践的、课程之间有机联系的方式学习工程。CDIO模式强调以学生为主体, 强调“做中学”, 要求教师根据各专业不同的培养目标, 选择和专业方向及就业方向相关的实际项目或完整的项目案例, 经过精心筛选和分析, 以课堂讨论的形式让学生分组完成。通过讨论可以让他们学会合作交流, 培养他们的合作与沟通能力, 强化他们的团队精神;通过分组可以激发他们的竞争意识, 培养他们自主学习的能力, 并将所学知识用于实践, 在实践中发挥创新潜能。

三、CDIO教学改革实施措施

1. 改革培养计划。

吸收CDIO教育思想精髓, 研究制定符合工科院校复变函数与积分变换的教学计划。教学课程精心规划和设置独具特色的构思、设计、实施、运行项目 (CDIO项目) , 以引导学生对课程的学习兴趣。对难以理解的概念采用案例教学, 学习探索、综合应用知识, 锻炼独立处理的问题能力, 提升团队精神, 学习基本项目的组织、管理方法, 培养解决问题、创新理论的能力。

2. 立体化教学模式的研究。

构建尊重个体差异、面向主体、突出精英的立体化教学模式。为了区分教学对象的多元化、层次性并突出教学内容的差异性, 针对本科生学习程度、自学能力、学习兴趣的不同层次, 实行多元化、分层次教学模式, 使学生在学习中点面结合, 广博与纵深相结合。立体化的教学模式包括立体化的教学资源和立体化的教学方式, 教学资源如纸质的教材、多媒体的光盘、网络课程中的丰富资源等, 教学方式包括课堂教学中的理论讲授和集中辅导、习题教学中的讲练结合、网络教学中的自主学习和合作学习, 充分体现教师的主导作用和学生的主体地位, 将传统的课堂延伸到不受时间和空间限制的网络中, 最大限度地利用各种教学资源, 提高教学质量, 保证育人质量。

3. 改革教学方法。

教师学习和理解CDIO的理念, 将CDIO理念落实到每门课程的教学和实践之中。CDIO要求教师在教学之前先搞清楚所授课程在本专业知识结构中的地位和作用, 以相互有机联系的方式传授知识和培养能力。教师应以培养目标为导向, 明确列出每门课程的知识点和学习的要求, 以及对CDIO的能力培养的贡献, 并以布鲁姆认知深度的六个级别表示, 使学生对所学习的专业知识形成较清醒的认识。在教学过程中教师应从实际或已有知识中提出问题, 引导学生思考, 应用所学知识探究新的规律和知识。

教学充分考虑复变函数和积分变换在整个数学体系中的地位, 在前期高等数学课程学习给学生建立起的知识基础和思维方法的基础上, 将复变函数与积分变换课程的内容架构与前期数学课程通过主教材遥相呼应, 编写教学日历、教案, 课堂教学采用多种教学方法呈现教学内容。例如, 对复数及其四则运算、复函数极限、连续、导数、积分、数项级数、幂级数的概念与基本运算部分采用与高等数学中相应知识类比的教学方法, 获得了很好的教学效果。遵循认知规律组织教学, 提高课堂教学课程学习的效果。遵循认知教学规律内容, 采用知识背景—问题产生—建立概念—发现定律—建立体系—发展理论—应用理论为展开方式, 强调概念的产生过程所蕴含的思想方法。在完成了概念的产生到理论体系的建立之后, 又以回到实际问题的解决来收尾。例如, 对传统内容体系进行变动。在不违背逻辑性和系统性的前提下, 从教学的角度出发调整了部分内容的编写顺序, 如将定理—定理—例题改为定理—例题—定理;在内容的完整性方面有所改进, 如解析函数沿简单正向闭曲线的积分为零, 反之也给以交待。做到既遵从了客观事物发展的规律, 也与学生的认知规律、思维方式做到了有机统一, 传授给学生数学的思想, 数学研究问题的方法, 培养了学生应用知识的意识。提供不同层次不同类型的习题, 提高学生的数学能力。课程教学实施提供了丰富变化的课后习题, 按基本题目、综合题目、逻辑与推理型题目、扩展思维及精彩题目构成的大量习题, 给了教师选择、学生练习和思考的空间。例如, 题目条件与要证明的结论不完全对应, 这就要求学生分解题目, 在不同的条件假设下讨论推演结论, 它培养的是学生的数学能力, 工科学生将来遇到的问题的环境要比课堂上有限的讲授复杂得多, 习题的这种变化对教会学生数学的思想方法是有益的, 而且实际中学生也比较感兴趣。

突出数学思想方法的讲解, 实现课程教学的目的。数学教学的目的不仅是要传授给学生必要的数学知识, 更主要的是要使学生学会数学的思想方法, 形成应用数学知识的意识和创新的思想。因此, 我们在本课程的教学过程中特别突出了数学思想方法的挖掘、整理和讲解, 例如, 通过积分变换介绍了数学变换的思想, 通过柯西公式介绍了边界决定内部的数学思想, 通过复函数的展开介绍了数学逼近的思想等。

四、结束语

教学改革的任务是艰巨的, 它要求我们要不断地更新知识, 不断追踪学科前沿, 不断丰富提高自己, 也要求我们树立新的教育观念, 把“素质教育”和“能力培养”放在教育的首位。把学生素质的提高、综合能力的培养贯穿到我们今后教学改革工作中的始终。

摘要：本文将CDIO模式引入到“复变函数与积分变换”教学过程中, 综合多种教学方法和手段, 提出了以CDIO培养计划为指南、以立体教学模式为导向, 探索了教学方法的改革。这些措施有助于加深学生对基础知识的巩固和理解, 对学生的自学能力、团队沟通能力、综合运用知识的能力和创新能力能起到较好的促进作用, 实现了教学目标。