北京交通大学复变函数

2024-06-13

北京交通大学复变函数（精选7篇）

北京交通大学复变函数篇1

第二章

复变函数

第一节

解析函数的概念及C.-R.方程

1、导数、解析函数

定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。如果极限

存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。

定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。解析函数的导（函）数一般记为或。

注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，则称在处可导。

注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；

注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；

注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。

解析函数的四则运算：

和在区域内解析，那么，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。

复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，那么复合函数在内解析，并且有

求导的例子：

（1）、如果（常数），那么；

（2）、，；

（3）、的任何多项式

在整个复平面解析，并且有

（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。

2、柯西-黎曼条件

可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：

定理2.1

设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：

1、实部和虚部在处可微；

2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）

证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时

其中。比较上式的实部与虚部，得

因此，由实变二元函数的可微性定义知，在点可微，并且有

因此，柯西-黎曼方程成立。

（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：

设则由可微性的定义，有：

令，当（）时，有

令，则有

所以，在点可微的。

定理2.2

设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：

1、实部和虚部在内可微；

2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）

关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：

注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；

注解2、解析函数的导数形式更简洁：

公式可避免利用定义计算带来的困难。

注解3、利用两个定理，可以判断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解析。

3、例题

例1

证明在任何点都不可微。

解，四个偏导数在复平面内连续，但任何点都不满足方程，故在任何点都不可微。

例2

试讨论定义于复平面内的函数的可导性。

解：

四个偏导数在复平面内连续，且在复平面内满足方程，故在复平面内处处可导。

例3

设函数在复平面可导，试确定常数之值。

解

由方程

得

（1）

（2）

由（1）

得

（3）

由（2）

得

（4）

（5）

解（3），（4），（5）得。

第二节

初等解析函数

1、幂函数

利用对数函数，可以定义幂函数：设是任何复数，则定义的次幂函数为

当为正实数，且时，还规定。

由于

因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子

个数。

2、幂函数的基本性质：

1、由于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数；

2、当是正整数时，幂函数是一个单值函数；

3、当（当是正整数）时，幂函数是一个值函数；

4、当是有理数时，幂函数是一个值函数；

5、当是无理数或虚数时，幂函数是一个无穷值多值函数。

设在区域内，我们可以把分成无穷个解析分支。对于的一个解析分支，相应地有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则，的这个单值连续分支在内解析，并且,其中应当理解为对它求导数的那个分支，应当理解为对数函数相应的分支。

对应于在内任一解析分支：当是整数时，在内是同一解析函数；当时，在G内有个解析分支；当是无理数或虚数时，幂函数在内有无穷多个解析分支，是一个无穷值多值函数。

例如当是大于1的整数时，称为根式函数，它是的反函数。当时，有

这是一个值函数。在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得得区域内，它有个不同的解析分支：

它们也可以记作，这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致。

当不是整数时，原点及无穷远点是的支点。但按照a是有理数或者不是有理数，这两个支点具有完全不同的性质。

为了理解这些结论，我们在0或无穷远点的充分小的邻域内，任作一条简单闭曲线围绕0或无穷远点。在上任取一点，确定在的一个值；相应地确定,在的一个值。现在考虑下列两种情况：

(1)

是有理数，当一点从出发按反时针或顺时针方向连续变动周时，从连续变动到，而则从相应地连续变动到,也即第一次回到了它从出发时的值。这时，我们称原点和无穷远点是的阶支点，也称为阶代数支点。

（2）不是有理数时，容易验证原点和无穷远点是的无穷阶支点。

当不是整数时，由于原点和无穷远点是的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连续曲线作为割线，得一个区域。在内，可以把分解成解析分支。

关于幂函数当为正实数时的映射性质，有下面的结论：

设是一个实数，并且。在平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域。考虑内的角形，并取在内的一个解析分支

当描出内的一条射线时（不包括0），在平面描出一条射线。让从0增加到（不包括0及），那么射线扫过角形，而相应的射线扫过角形，因此把夹角为的角形双射成一个夹角为的角形，同时，这个函数把中以原点为心的圆弧映射成中以原点为心的圆弧。

类似地，我们有，当是正整数时，的个分支

分别把区域双射成平面的个角形

.3、例题

例1、作出一个含的区域，使得函数

在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在点的值。

解：由于

我们先求函数的支点。因为的支点是0及无穷远点，所以函数可能的支点是0、1、2及无穷远点。任作一条简单连续闭曲线，使其不经过0、1、2，并使其内区域含0，但不包含1及2。设是上一点，我们确定、及在这点的值分别为

。当从按反时针方向沿连续变动一周时，通过连续变动可以看到，增加了，而

没有变化，于是在的值就从

连续变动到

因此0是函数的一个支点；

同时，任作一条简单连续闭曲线，使其不经过0、1、2，并使其内区域含1，但不包含0及2。设是上一点，我们确定、及在这点的值分别为

。当从按反时针方向沿连续变动一周时，通过连续变动可以看到，增加了，而没有变化，于是在的值就从

连续变动到

因此1也是函数的一个支点；

同理，2和无穷远点也是它的支点。

支点确定后，我们作区域，把函数分解成单值解析分支。

首先，在复平面内作一条连接0、1、2及无穷远点的任意无界简单连续曲线作为割线，在所得区域内，可以把分解成连续分支。例如可取作为复平面上这样的割线，得区域。

其次，任作作一条简单连续闭曲线，使其不经过0、1、2，并使其内区域包含这三个点中的两个，但不包含另外一点。设是上一点，确定在的一个值，同样的讨论，有当从沿连续变化一周回到时，连续变化而得的值没有变化。

所以，我们可以作为割线如下，取线段及从2出发且不与

相交的射线为割线，也可以把分解成连续分支。例如取在所得区域内，可以把w分解成连续分支。例如可取及作为复平面上的割线，得区域。

求在上述区域中的一个解析分支

在的值。

在，取

于是在或内，可以分解成两个解析分支

由于所求的分支在的值为，可见这个分支是

由下图可以得到，在或内处，因此的所求分支在的值是

.例2、验证函数在区域内可以分解成解析分支；求出这个函数在上沿取正实值的一个分支在处的值及函数在下沿的值。

证明：我们有

则0及1是的三阶支点，而无穷远点不是它的支点。

事实上，任作一条简单连续闭曲线，使其内区域包含0、1，设是上一点，确定在的一个值，当从沿连续变化一周回到时，连续变化而得的值没有变化。

因此，在区域内，可以把分解成解析分支。现在选取在上沿取正实值的那一支，即在上沿，其中，根号表示算术根。求这一支在的值。

在上沿，取。于是所求的一支为

其中，根号表示算术根。求这一支在的在内处

于是的指定的一支在处的值是

.最后，考虑上述单值分支在下沿取值的情况。在区域内，当沿右边的曲线，从上沿变动到下沿时，没有变化，而减少了，于是在的下沿，有

当沿左边的曲线，从上沿变动到下沿时，增加了，而

没有变化，于是在的下沿，有

因此，无论怎样，当在的下沿时，上述单值分支的值是

.注解1：

对具有多个有限支点的多值函数，不便采取限制辐角范围的办法，而是首先求出该函数的一切支点，然后适当联结支点以割破复平面，于是，在复平面上以此割线为边界的区域内就能分出该函数的单值解析分支。因为在内变点不能穿过支割线，也就不能单独绕任一支点转一整周，函数就不可能在内同一点取不同的值了。

注解2：

解例1，例2这类题的要点，就是作图观察，当动点z沿路线（在内，且不穿过支割线）从起点到终点时，各因子辐角的连续改变量：，即观察向量的辐角的连续改变量。由此可计算。

北京交通大学复变函数篇2

关键词：教学内容,方法和手段,效果评价

大学数学课程一直困扰着很多学生和数学教师, 众多高校数学教师在为此不懈地探索、研究, 积累了丰富的经验。本文从数学的应用性出发, 以复变函数课程为例, 站在学习者的角度, 在强调数学思想的介绍基础上, 探讨目前大学数学教育在教学内容、教学方法和手段、教学效果评价三方面存在的问题及对策。

一、数学的广泛应用性

数学来源于实践, 数学主要是在解决各领域中各类实际问题而产生, 并通过抽象和概括转化为数学问题, 从而发展起来的。反过来, 数学为解决实际问题提供了思想方法、计算工具和理论论证。因此数学的一个重要特征就是应用的广泛性。对多数人来说, 对数学的学习源于其广泛应用性。

二、大学数学教育存在的问题

数学最本质的就是其思想。能否把数学思想很好地介绍给学生, 取决于学生是否有兴趣, 而实用性恰是兴趣的重要源泉。

生活中, 我们更喜欢说:“我可以给你什么?”而不是:“你想要什么?”因为后者需要我们付出更多努力而不是信手拈来, 逐渐地, 人的兴趣被压抑和扼杀了。这是非常糟糕的现状。作为高校数学教师能做点什么呢?我们从学和教两方面来分析:一方面, 学习分为两个大的层次, 首先是学以致用, 其次才是兴趣使然。事实上, 多数人对于多数课程的学习都属于第一层次。另一方面, 在教授环节中, 教育理念是教育成败的关键。教材的内容, 体现着作者的教育理念;教师授课过程和考察制度体现着教师的教育理念。

那么, 作为教师我们必须做到:结合学习者和讲授者两方面因素, 倾听、感悟学习者的心声, 理解学习者的困惑, 站在学习者的立场来分析大学数学教育中问题的根源所在、寻找对策。

1. 教学内容。

目前数学教材普遍问题总结为: (1) 序言或绪论部分过于精致, 不能激发学生对该课程的足够期待。 (2) 教学内容的展开枯燥、机械。抽象地陈述定义、定理, 而很少提及它们的产生背景和应用;很少阐述如何去发现问题、分析问题和解决问题等。这难以培养、激发学生的学习兴趣和创新能力, 这使数学学习成为机械地记忆、复制过程。 (3) 教学内容重理论轻应用, 重知识的完整性轻发展线索。很少介绍知识的背景材料和具体应用, 而只关注知识本身;对定义及定理证明缺少必要的分析和概括。这样学生头脑里会产生很多问题却得不到解答, 困惑使学习数学变得痛苦。 (4) 教学内容重细节轻整体, 这样即使学生掌握了书中的各个细节, 但是对于理论发展脉络不清楚, 这门课实际上就是肢体完整但失去了灵魂。 (5) 课后习题缺乏创新性、思考性和应用性。

2. 教学方法和手段。

目前, 大学数学教育在教师的工作强度、学时减少的压力及秉承传统的习惯等因素下, 在教学方法和手段方面主要问题表现为: (1) 学生处于被动接受状态, 没有处在主体地位。老师通常是把定义、定理、推论及相关证明逐一给出, 而对于证明思路没有足够的分析, 不考究为什么, 学生通常做的事情只是理解和记忆, 然后套用所学, 而缺乏创新思考。 (2) 强调知识的逻辑线索, 忽略了知识的发展线索, 违背了人的认知规律。 (3) 过于强调细节, 忽略知识的整体结构。通常是详尽地证明定理、问题求解过程等, 而常常忽略从整体上把握一节课乃至整本书的结构框架、关系框架以及此刻与其他相关课程的关联。 (4) 没有恰当利用现代化教学资源。一种是教师没有利用现代化教学资源。另一种是现代化教学资源利用过多或不当:有些老师定理证明甚至整节课都用幻灯片, 这对学生来说整节课就像走马观花一样, 根本提不上课程的整体性。

3. 考核模式。

目前, 高校在课程考核方式和内容上, 普遍是“重知识和理论, 轻能力和应用, 忽略创新”: (1) 考核内容不科学。考核内容多局限于基本知识和理论, 这导致记忆性内容所占比重过大, 缺乏对学生实际应用能力和创新能力的综合考察。 (2) 考核方式单一。通常采用闭卷笔试的理论考核, 平时成绩基本上取决于出勤和作业情况, 而作业情况的真实性较差, 故对学生学习过程的考核通常并不奏效, 导致很多学生“平时不学习、考前背几天、考后就忘掉”的学习状态。因此考核模式及内容亟待改革。

三、问题的解决对策

我认为作为大学数学教师, 能够做到:站在学生的角度上, 以“数学的应用性”为主线, 遵循人类认知的客观规律, 充分发挥现代手段, 展现在数学“冰冷美丽”背后的数学本质, 渗透数学思想, 就已经是完美了。

1. 教材或教学内容, 应该把学习者都当作是该领域中不谙世事的孩子而不是经历风霜的长者。

对抽象的数学概念、定理, 在陈述上要尽量直观、通俗。

2. 给学生一个精彩的绪论。

当学一门新课时学生都会有这些问题:为什么要学这门课程?这门课程是怎样产生和发展起来的?学这门课有什么用?怎么学?作为教师, 必须在第一次课给学生一个精彩的绪论, 来回答这些重要而关键的问题, 激发学生的学习兴趣。

3.“数学的应用性”要贯穿于教学及考核环节。

在绪论、每一章开头、习题、作业、考试试题及考核模式, 除了基本知识和理论外, 还要体现出数学的应用性, 从而去考察学生的思考能力、创新能力。在考核中制定更为科学合理的学生成绩评价方法: (1) 开卷和闭卷结合。对于复变函数课程的重要内容如解析函数的判别和构造、解析函数的洛朗展开、留数定理、共形映射等必须熟练掌握, 其他内容适当了解即可; (2) 提高平时成绩的真实有效性:坚持随机点名、不定期的课堂测验、每章结束时要求学生撰写总结小论文, 督促学生积极思考, 力求听懂学会。

4. 遵循人类认知的客观规律, 展现出在数学“冰冷美丽”背后的数学本质。

数学家H·弗赖登塔 (1908~1990) 说过:“没有一种数学思想, 以它被发现时的那个样子发表出来。一个问题被解决以后, 相应地发展成一种形式化的技巧, 结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽。”事实上, 通常教科书里陈述的数学, 往往是“冰冷的美丽”, 令人步履维艰.因此, 数学教师的责任在于把数学的学术形态转化为教育形态, 使学生既能高效率地进行火热的思考, 又能比较容易接受、理解隐藏在“冰冷美丽”背后的数学本质。教师需做到以下几点:

(1) 尊重学生的主体地位, 充分发挥教师的主导地位。一勺盐是难以下咽的, 但把盐放入汤中既美味又营养。将数学融入实践应用中来教学, 才能显示数学的活力和魅力。在教学中, 要通过创设良好的问题情境, 引导学生观察、思考、探索, 通过自己的亲身实践, 充分发挥学生学习的主动性。

(2) 以理论的发展线索, 展现完整的学习内容。正如柯朗说过:“只有在以达到有机整体为目标的前提, 只有在内在需要的引导下, 自由的思维才能做出有科学价值的成果。”所以在教学中: (1) 要充分介绍知识的产生背景, 因为任何一门数学课程都要兼顾理论研究和实际应用, 数学理论演变的过程往往就是一段让同学们感兴趣的历史, 可以再现数学先哲们思考问题的方式, 可以窥视他们是如何探索真理的, 从而激发学生的兴趣、启发学生怎样去思考问题、引发学生的期待; (2) 要以理论的发展线索来展开教学, 学生就如同追随着知识发展的脚步一道走来, 而后再与学生共同分析总结逻辑线索; (3) 要先抓住整体框架, 再进行细节展开, 这样更利于对知识的整体把握; (4) 要注意与相关知识的对比, 找出差别与联系, 从而把数学各分支紧密联系起来; (5) 要强调对概念的准确理解和掌握 (因为各种推理论证都是在寻求不同概念之间的关系, 对概念准确到位的理解和掌握是进行推理论证的前提) ; (6) 要强调对解决问题思路的分析过程, 而不是只要证明过程; (7) 要引导学生发现抽象的形式理论的实质和思想方法, 变抽象为通俗、具体, 从而会拉近学生与数学的距离。

例如:在绪论部分, 首要是要学生明确:“微积分主要讨论的是实变数函数的微分和积分, 从字面看, 似乎只是将实数变成复数, 那么运算规则及定理应该是一样的, 为什么还要再开一门复变函数呢?”这一问题, 以极限及微分定义、函数可微与导函数可微的关系为例来说明复变函数并非是微积分从“实数到复数”的平凡推广, 而是有本质的不同:微积分中函数一次可微分, 其导函数未必连续从而比一定二次可微分, 但是由于复变函数可微分是很强的一个条件, 所以函数一次可微分, 就会任意次可微分。除了强调复变函数中某些概念及其性质呈现出的差异这些知识点外, 在教学中还应使学生明确概念推广所遵循的一些基本原则。一方面, 概念的推广必须满足相容性, 例如当复数域上函数限制到实数域时, 必须与实函数的一切性质相吻合。另一方面, 概念推广要尽可能保持原对象的性质, 尤其是运算性质。

(3) 遵循人类记忆规律 (见艾宾浩斯记忆曲线) , 提高学习效率。

5. 根据教学内容、教学对象和教学目标, 恰当运用板书和多媒体进行教学。

参考文献

[1]张恭庆.谈数学职业[J].数学通报, 2009, (7) :1-7.

[2]张奠宙.微积分教学:从冰冷的美丽到火热的思考[J].高等数学研究, 2006, (2) :2-4.

北京交通大学复变函数篇3

读《复变函数》与《积分变换》有感

在学了《高等数学》之后，我们进一步学习《复变函数》和《积分变换》这两本书，这两本书是《高等数学》的微积分扩展和延伸，还有将复数将以深入学习和扩展，并引入函数的概念。因此感觉有一定的深度和难度。它们都利用数学的理论来解决实际问题。

复变函数中有很多概念，其中理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们有许多相似之处，但是复变函数与实变函数有不同之点。就拿第一章来说，复数与复变函数，本课程研究对象就是自变量为复数的函数。在中学阶段，我们已经学习过复数的概念和基本运算。本章将原来的基础上作简要的复习和补充。然后再介绍在复变平面上区域以及复变函数的极限和连续性等概念，为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础。概括一下，以前学过方程x2=-1是无解的，因而设有一个实数的平方等于-1。第一节是复习原来的内容，然后逐步引入函数的概念。再引进对复变函数的表达式和复变函数重幂与方根以及加减法研究。由于上学期，我们学习函数概念中，引入极限的概念，然而复变函数也有极限特性。所以对复变函数极限分析有着相似之处，因此可以借鉴学函数极限方法来研究复变函数，然而复变函数又有其独特特性，研究时必然会给我们带来很多困难和意想不到的问题，所以就是它的不同之处。后面将复变函数引入微积分的概念，刚开始觉得挺好学，按照以前学微积分的思想就能接纳复变函数的微积分，当我遇到了用函数微积分解决复变函数时，复变函数的转化和变形却是难题，但是经过一番努力，我逐渐领悟到复变函数在微积分在数学中的独特魅力。

在学习复变函数中，要勤于思考，善于比较分析其共同点，更要领越复变函数的独特魅力，如果这样才能抓住本质，融会贯通。

而《积分变换》研究的是将复杂的运算转化为较简单的运算。本书讲解了积分在数学中的应用，常用的两种积分变换Fourier变换和Laplace变换。利用Fourier变换和Laplace变换将复杂的积分转化为简单的积分变换，有利于对复杂积分的求解，所以学习《积分变换》的思路就不像学习《复变函数》一样，它的解题思路和《积分变换》截然不同，就拿Fourier变换而言，先引进Fourier定理，然后利用Fourier定理解决数学中一些难解的积分，用积分变换也可以解决工业中一些工程计算。其重在积分变换。对于积分变换理论的学习，有助于解决我们在工业设计中遇到的问题，但对与此书着重对积分变换的思想培养和应用。当我开始学习《积分变换》时，感觉无从下手，尤其是对积分的变换，一看到积分变换的过程就很头疼，不知道从哪个地方开始下手，当学到Laplace变换时，才发现积分变换有它的一定的规律，只要把Fourier变换的思路用在Laplace变换，就会简化对Laplace变换的学习，我才明白Fourier变换只是学习积分变换的一种方法，第一种内容学会了，后面的内容就迎刃而解了。

复变函数中积分的计算篇4

纵观复变函数的发展史, 我们不难看出复变函数在解决实际问题中的重要性.解析函数作为复变函数的主要研究对象, 而解析函数的性质许多是由复变函数的积分来获取的, 故而, 掌握并且灵活运用复变函数积分的计算尤为重要, 复积分中的柯西积分定理是理论的关键所在, 而由其产生的柯西公式、幅角原理、留数定理等都与积分的计算息息相关.其中, 积分在孤立奇点的计算要运用到洛朗展式.级数与积分的结合在计算的运用将复变函数这一理论推向了又一高峰.文章重点介绍留数与幅角原理、级数法、柯西公式法进行复积分计算的方法, 使得计算更为方便.

一、柯西公式

柯西定理是复变函数论的重要基础之一, 也是复变函数论的核心定理.柯西公式以及留数定理也是由其发展得出的结论.

柯西定理:设f (z) 是单连通区域D内的解析函数.

(1) 设C是D内任一条简单闭合曲线, 那么∫Cf (z) dz=0, 在这里沿C的积分是按反时针方向取.

(2) 设C是在D内连接m和n两点的任一条简单曲线, 那么沿C从m到n的积分的值由m和n决定, 不依赖于曲线C, 这个积分也可记作∫mnf (x) dx.

柯西定理讨论一个区域D上的复函数在什么条件下在D上积分与路径无关, 最简单的柯西积分定理的形式为:当D是单连通区域, 而f (z) 是D上的解析函数时, 以下3个互相等价的结论成立: (1) f (z) 在D内沿任意可求长曲线积分与路径无关. (2) f (z) 在D内沿任意可求长闭曲线积分为零. (3) f (z) 在D上有原函数.如果在连续函数类中讨论, 则以上定理还是可逆的.

二、级数法

将函数展开成泰勒级数或者洛朗级数可以解决复变函数中的复积分问题.

泰勒级数:设f (z) 在区域D内解析a∈D, 若K:|z-a|

(1) 称为f (z) 的洛朗展式.

注:同一函数在不同的圆环内的洛朗展式不同.

所以, 原式=2πi+0=2πi.

三、留数与幅角原理

留数定理:D是复平面上的游街区域, D的边界是一条或者有限条闭合曲线C.函数f (z) 在D内除去有孤立奇点外在每一点都解析, 且它在C上每一点也解析, 则我们有

这里沿C的积分是按关于区域D的正向取的.

留数理论及其应用是复变函数论在发展过程中的重要推动力之一.在复分析中, 留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具, 也可以用来计算实函数的积分.通过留数定理的运用, 我们能够更快捷地计算积分.在应用留数定理时, 我们需要认真分析所积函数f (z) 的孤立奇点, 根据孤立奇点的类型来解决不同问题.在三种类型的孤立奇点中, 在级点的留数的方法又是多种多样, 由级点的阶数不同, 我们能运用不同的方法来计算留数.

解依题意得:

而Res (f, 2) =-1,

故而, 由留数定理我们可知:原式=-2πi.

四、总结

类比建构对复变函数教学的启示篇5

1. 类比建构理论

类比建构是从特殊到特殊，根据两个或两类事物在某些属性上都相同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或相似的一种逻辑推理方法, 也是人们思维活动中经常被采用的方法。这正如苏联心理学家谢切洛无所说的：“分辨出对象的某种属性，最初是靠类比达到的。”而学习使学生在已有知识结构的基础上，将新知识纳入原有的命题网络，从而对新的信息进行主动地选择、加工、建构、最终赋予其意义。经常地类比乃是学习的一个较好的方法。通过类比建构，即可看到他们之间的紧密联系，又可看到他们之间的深刻差异，从而在分析和解决实际问题的能力方面获得系统的提高。

2. 类比建构理论在教学中的应用

2.1 注意复函数与实函数的类比，建构复变函数的基本理论

复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因此它们之间既有许多相似之处，也有不同之处。在讲授复变函数时，通过前后知识的比较，利用类比建构理论将高等数学中已有的概念和理论过渡推广到复变函数。如此方法使学生既复习了原有知识，又容易快速接受新知识，达到了较好的学习效果。

例如，复函数与实函数的研究的范围不同。顾名思义，复变函数就是以复数为自变量的函数。实变函数就是以实数为自变量的函数。因此要认清复数与实数的区别。实数可以比较大小。而复数不可以。复数可以象实数一样进行和差积商的运算，只是在运算过程中有了新的规律，要利用复数模的知识。因此使得复数的代数运算 (包括乘幂与方根) 有了更快捷的形式，并且有了更优美的性质。若将复函数w=f (z) 看成自变量z的点函数，便成了一元函数。而实一元函数y=f (x) 又是学生很熟悉的，因而与实一元函数的极限进行对比，易于理解和掌握。一元函数复函数极限与实函数极限的定义的形式都一样，都是利用“ε-δ”定义的，但是复变函数中z→z0在复平面上可以是z沿任何方向或任何曲线趋向于z。而实变函数中x→x0只能沿实轴从x左右两边趋向于x0，即z→z0与z→z0的方式是不同的，由此导致了复变函数与实变函数在连续、可导、可微等定义方面虽然形式相同，实则又存在着不同。因为函数的连续，可导，可微等都是在极限的基础上展开的。又可将复函数w=f (z) 与实二元函数极限定义类比。一个复数z=x+iy本质上由一对有序实数 (x, y) 唯一确定，复变函数w=f (z) 可看成关于x和y的函数，其极限定义可与实二元函数的极限定义比较，其相似成分较之是一元函数要多一些，不同的地方主要是一个复变函数确定两个实二元函数，复变函数的极限存在与否取决于两个实二元函数的极限存在与否。两个实二元函数的极限都存在才称复变函数的极限存在。

又如, 复变初等函数是实初等函数的推广, 它与实初等函数有许多相同之处, 但也有很大区别。以三角函数sinx为例, 定义从实数推广到复数后, 其原有的周期性、奇偶性、求导公式及三角恒等式一些基本性质保持不变, 但其有界性在复数内不再成立。

复函数的连续性概念、可导可微概念、积分概念、级数概念都与实函数中相关概念极其相似，教学中都可以应用类比，将新概念对照旧知识，从而加深学生对复变函数概念的理解和掌握，建构复变函数的基本理论，并能体会到解析函数理论是解决多种问题的一个强有力的工具，从而在分别分析和解决实际问题的能力方面获得系统的提高。

2.2 注意复变函数的内部联系，建构复变函数的逻辑关系

复变函数论是一个逻辑性很强的大系统。复变函数教材中的每个概念、定理、公式都是按照严格而有秩序的逻辑体系展开和发展。在教学中充分注意复变函数的系统性、知识结构的整体性、可以使学生对复变函数的体系有清晰了解，有利于学生掌握教材各部分知识的逻辑关系，加深对知识的理解和巩固。复变函数以几个重要定理作为复函理论的支柱，它们在复函理论中起着极重要的地位和作用。深刻理解这几个定理就能把复函理论的重点，避免知识复杂而不得要领。

如留数定理是复变函数论中的重要组成部分, 在复变函数理论的发展和应用中都有重要意义。作为复变函数的积分和复变函数的级数相结合的产物, 留数定理与复变函数的积分有着深刻的内在联系。利用留数定理可以分别得到复变函数积分中的柯西定理、柯西公式和高阶导数公式。实际上柯西定理是被积函数在积分区域内为解析函数的留数定理;柯西公式是被积函数在积分区域内有一阶极点的留数定理;高阶导数公式是被积函数在积分区域内有n+1阶极点的留数定理。而在计算留数时其中一种办法是利用其洛朗级数的系数，这样留数及留数定理实质上是将积分计算和级数展开两块内容做了一个桥梁的沟通。而柯西定理又是解析函数理论的基础，它揭示了解析函数的一个深刻性质，积分与路径无关。作为这个定理的广泛应用，它又通过柯西公式表现出来，即将解析函数f (z) 表示成了一个线积分：, 解析函数f (z) 在区域D内的值完全可由边界C上的值决定。借助柯西积分公式可证明解析函数具有各级导数, 而各级导数也都是解析的。这是解析函数与实可微函数的本质区别。

这种很强的内在联系，可以帮助我们详细地去理解解析函数的各种整体与局部性质。所以在教学中需要有意识的将这种关联知识进行串联，让学生明确各章知识之间的内在联系，建构复变函数的逻辑关系，从而培养学生的逻辑思维能力，提高学生对知识的综合总结能力。

2.3 注意复变函数的内容与外部的结合，建构复变函数的实际应用

复变函数与数学外部如物理、工程等有关学科都有不同程度的联系，特别是复变函数的理论与方法在解决流体力学、电磁学、空气动力学等物理和工程技术中都有广泛应用。

如解析函数f (z) =u (x, y) +iv (x, y) ，从纯理论讲，它是区域到区域的映射。而实际应用中它可代表某种平面的流动特征，可以刻画流体区域D内流动的复势。留数，从理论上讲，是对洛朗展式逐项积分唯一留下的数。而实际应用上，可表示某些奇点的实际内容，如流量、环量等，从而显示出奇点的实际内容。

了解复变函数理论在实际中的广泛应用，正是复变函数的生命力所在，在教学中注意理论与实际的结合，配合学生的专业实际，建构复变函数的实际应用，有针对性的引导学生进行应用能力的训练，既可提高学生解决实际问题的能力，也激发了学生的学习热情。

3．结束语

总之在复变函数的教学过程中，要带领学生不断回忆高数中的知识，并从中联想如果放到复变函数中会有什么区别，然后进行类比，认识到复变函数与实函数的区别与联系，又要注意复变函数知识的内在联系，理论知识与实际应用的结合。利用类比建构理论让学生在最短的时间内从高等数学转入复变函数的学习中来，使学生比较轻松的学习这门课程，进一步提高教学效果。

参考文献

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M], 第四版.高等教育出版社.2005.

[2]罗智囊, 周幼林.建构主义对复变函数与积分变换教学的启示[J].宜宾学院学报.2005.

[3]陈泽凡.复变函数与复变函数教学[J].益阳师专学报.1993.

北京交通大学复变函数篇6

关键词：课程建设,复变函数,积分变换,教学实践

理工科高等学校都为电类及电类相关专业的本科生都开设了《复变函数与积分变换》课程, 通过本课程的学习, 使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论与方法, 以及它们的应用, 为有关后续课程的学习奠定坚实的数学基础、提供必需的数学工具。随着教学改革的深入, 承担教学任务的《复变函数与积分变换》课程的教师对《复变函数与积分变换》课程的进一步改革认识也更明确。在新的历史时期, 我们的课程也要做到与时俱进。从对工科本科生培养的一般要求, 后续课程的学习和科学研究的工作需要, 在进一步加强学生复变函数与积分变换数学理论知识传授的同时, 重点增加数学理论知识在专业领域实际应用案例教学等实用性训练, 使学生更确实地体会到数学与现代工业科学的紧密联系。

一、教师队伍的建设

1. 团队精神。

(1) 课程组应通过建立团队合作的机制, 改革教学内容和方法, 开发教学资源, 促进教学研讨和教学经验交流, 推进教学工作的传、帮、带和老中青相结合, 提高教师的教学水平。 (2) 以《复变函数与积分变换》课程组为建设单位, 在多年的教学改革与实践中形成教学团队, 具有明确的发展目标、良好的合作精神和梯队结构, 老中青搭配、专业技术职务结构和知识结构合理, 在指导和激励中青年教师提高专业素质和业务水平方面成效显著。 (3) 课程负责人具有较深的学术造诣和创新性学术思想;长期致力于本团队建设, 坚持在本校教学第一线为本科生授课。品德高尚, 治学严谨, 具有团结、协作精神和较好的组织、管理和领导能力, 通过有效的团队管理, 形成了强大的团队凝聚力和创造力。 (4) 课程组成员积极参加教学改革与创新, 改革教学模式, 及时更新教学内容。

2. 教师行业企业经历。

课程组教师参与到研究所科研项目或企事业单位的工作中, 通过与科研技术人员和企事业单位工作人员的交流、对实际问题的深入了解、有效的数学方法的使用, 在很大程度上丰富了教师的实践经验, 为数学理论与现代工程技术的有机结合提供了桥梁和纽带, 有助于更新原有知识体系, 提高了教师的学术水平, 实现教学理念的转变, 使基本的数学理论与其实际应用紧密结合。

3. 青年教师培养。

课程组要高度重视青年教师培养工作, 形成了规范的培养程序。我们提出如下做法: (1) 实行导师制, 促使青年教师尽快过好教学、科研关。安排具有副高以上职称且作风正派、品行端正、治学严谨、教学水平较高的教师做指导教师。指导教师的主要任务是对青年教师在教书育人、教案编写、课堂板书、讲课方式、教学方法研究、实践技能培养途径、科研方法与程序、科研报告与论文写作以及自学提高等方面进行具体指导, 并定期检查、年终写出考核评语, 帮助他们制订个人成长计划或职业生涯规划, 落实培养措施。 (2) 实行上课前试讲制度, 使教学质量得到保证。青年教师到课程组后, 安排“助课”任务, 同时认真备课。在正式上课前, 在数学基础教学部所有教师参加范围内进行试讲, 并就试讲情况提出具体参考建议。对试讲合格者, 才允许承担课程主讲任务。 (3) 加强教学检查和督导。要求青年教师积极参与课程建设工作, 使青年教师在具体实践中迅速成长。对青年教师的教学、实验课讲授、备课、讲授等情况实行动态管理和指导, 每学期要对每位教师听课2~3次, 进行即时在线督导。 (4) 鼓励青年教师积极参加学校、学院组织的青年教师授课比赛等各种教学竞赛活动, 创造机会让青年教师脱颖而出。 (5) 教学、科研上逐步压担子, 保证教学、科研质量和水平的稳步提高。随着教学各环节的熟悉和经验的积累, 要从教学的质和量上提出更高的要求, 根据各系情况逐步压担子, 以便使他们早日成为教学骨干。

二、教学方法的改革

为了做好本课程的教学, 课程组在重视传统课堂教学的基础上, 还应采取多种方式提高学生主动学习的积极性, 提高学生综合应用知识的能力, 达到深化理论学习, 提高应用能力的目的, 从而取得较好的教学效果。

1. 重视课堂教学, 激发学生学习兴趣。

主讲教师要充分做好课前准备, 努力激发学生对该课程的学习兴趣, 吸引学生的注意力, 由浅入深, 由简单到复杂。举例时尽量结合实际生活应用, 学生就不会感到所学内容抽象和空洞, 而是与实际有着紧密联系, 从而增强学习的主动性和目的性。对教学内容中的难点和重点着重进行分析和讲解, 尽可能从不同角度对问题做详尽的解释和说明, 掌握好讲课节奏, 突出重点, 解决难点。

2. 注重理论背景和思想方法。

复变函数与积分变换内容的改革在重视理论研究的同时, 也要兼顾到实际应用, 在研究的主要内容、特色、体系结构和所要解决的主要问题等方面, 要围绕有利于学生的发展来进行。在课堂教学中, 特别强调理论的应用性, 尽量减少对理论的推导证明, 但是要求学生必须了解它的思想和方法。

3. 加强与实际问题联系的方法。

在讲授复变函数与积分变换的一些理论时, 结合实际问题, 使学生真正感受到课程的一些理论与方法的应用, 充分调动学习的积极性。如在讲Cauchy积分公式时, 让学生思考如何测得地心的温度这一问题, 如果能测得地球表面各点的温度, 则可利用Cauchy积分公式来测得地心的温度;讲共形映射时, 指出许多地质测量等工程技术人员利用该原理来处理一些不规则图形, 如把扇形变换为矩形, 而保持各采点的性质不变等。

4. 采用类比式教学方法。

在教学过程中注重类比引导, 深刻理解复变函数与高等数学的区别与联系, 逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。例如, 在复变函数的讲授中, 引导学生对复变函数中的函数、极限、导数、积分等概念与高等数学中函数、极限、导数、积分等概念进行比较, 找出相同点与不同点, 这样有利于学生的理解和记忆。同时, 引导学生在比较中自己思考, 进而得出自己的一些结论。

5. 主体与客体双向交流的教学方法。

在教学活动中, 多注重学生主体的意识, 寻找适当的切入点或兴奋点, 以激发学生学习的主观能动性, 以便较好的实现教学的目的。在强调以学生为主的同时, 也必须加强教师在教学活动中的主导作用。以教师为主导, 以学生为主体, 教与学的关系是以学为主, 教要服务于学、启发于学、促进于学, 只有双方互动起来, 才能搞好教与学。如在介绍解析函数的概念时, 教师可稍加引导, 启发学生归纳出函数的解析性与可导性的关系, 进一步加深对柯西—黎曼方程作用的理解。

参考文献

[1]侍爱玲, 白羽, 张蒙.类比建构对复变函数教学的启示[J].中国科技信息, 2010, (18) .

[2]熊春连, 陈翠玲, 段华贵.工科复变函数中的迁移教学[J].大学数学, 2010, (2) .

[3]姜淑珍.关于复变函数论教学方法的思考[J].长春师范学院学报, 2004, (5) .

北京交通大学复变函数篇7

一数学分析在复变函数中的应用

由复变函数的定义可知, 一个复变函数实际上是由两个二元实函数所确定的, 即对任意在定义域内的z=x+yi, f (z) =u (x, y) +iv (x, y) , 其中x, y, u, v都为实数。因此研究复变函数的一些性质可以通过研究这两个二元实函数来解决。下面主要介绍数学分析知识在复变函数的连续性、可微性和可积性三方面的应用。

1.在连续性中的应用

例1:判断f (z) =Rez在z=1+i点处的连续性。

解:令z=x+yi, 则f (z) =Rez=x, 即u (x, y) =x, v (x, y) =0。

2.在可微性中的应用

在复变函数和数学分析中可微的定义是相同的, 由它们的定义可得下面的定理。

例2:判断函数f (z) =z2的可微性。

3.在可积性中的应用

由复变函数的积分定义可知:

二复变函数在数学分析中的应用

由于不是所有可积函数都可求出其原函数, 因此在数学分析中要求出一些积分值是很困难的。而其中有一些积分可利用复变函数的留数知识来计算。下面介绍利用留数计算三种类型的实积分。

参考文献

[1]余家荣.复变函数 (第四版) [M].北京:高等教育出版社, 2010