方程函数

方程函数（精选12篇）

方程函数 篇1

函数与方程的思想是中学数学的基本思想, 下面通过例题说明函数与方程思想在解题中的作用.

1.函数的思想, 是用运动和变化的观点, 分析和研究数学中的数量关系, 建立函数关系或构造函数, 运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题, 从而使问题获得解决

例1若正数a, b满足ab=a+b+3, 求ab的取值范围.

解这道题看上去似乎与函数无缘, 但是经过变形, 可以把它转化为某一个变量的函数

由ab=a+b+3, 得

显然 (1) 式表示a的函数, 要求此函数的值域, 首先确定其定义域.

回到已知, 因为b>0, 所以

∵a>0, ∴a+3>0, ∴a-1>0, 即a>1.

当且仅当, 即a=3时, 上式等号成立.

故ab的取值范围是[9, +∞) .

评析不是函数看做函数, 这不正是函数思想的实质吗?

2.方程的思想, 就是分析数学问题中变量间的等量关系, 建立方程或方程组, 或者构造方程, 通过解方程或方程组, 或者运用方程的性质去分析、转化问题, 使问题获得解决

例2定义在 (-∞, +∞) 上的任意函数f (x) 都可以表示成一个奇函数g (x) 和一个偶函数h (x) 之和.如果f (x) =lg (10x+1) , x∈ (-∞, +∞) , 那么 () .

A.g (x) =x, h (x) =lg (10x+10-x+2)

解析本题所给内容虽是高等数学中的一个命题, 但从方程的观点看, 由已知条件有

f (x) =g (x) +h (x) , (1)

∴f (-x) =g (-x) +h (-x) .

∵g (x) 为奇函数, h (x) 为偶函数,

∴g (-x) =-g (x) , h (-x) =h (x) .

∴f (-x) =-g (x) +h (x) . (2)

(1) (2) 可以看做是以g (x) 和h (x) 为未知数的“二元一次方程组”, 解这个方程组, 得

将f (x) =lg (10x+1) 代入, 得

故应选C.

评析 (1) 在求出g (x) =后, 可直接代入 (1) 式求h (x) .

(2) 根据选择题的特点, 在求出g (x) =后, 便可否定A, B, D.

3.结语

方程在中学数学中的应用是非常广泛的, 可以说, 它贯穿于整个中学数学的始终.特别是方程思想和观点, 对于培养学生良好的数学素质和思维品质, 开发智力, 实现等价转化, 都起着重要的桥梁和纽带作用.

函数思想具有创造性, 对能力的要求较高.它是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括, 是在知识和方法反复学习运用中抽象出的带有观念性的指导方法.

总之, 教师在教学中要注意启发学生领悟蕴涵在知识和解题过程中的函数和方程的思想, 用它来指导学生解题, 不断提升学生的数学素养与思维品质.

方程函数 篇2

学时: 1学时

[学习引导]

一、自主学习

1.阅读课本 页

2.回答问题：

(1)课本内容分成几个层次?每个层次的中心内容是什么?

(2)层次间有什么联系?

(3)二分法求函数零点的步骤是什么?

3.完成课本 页练习及习题4-1.

4.小结

二、方法指导

1.本节课内容的重点：利用二分法求方程的近似值.

2.认真体会数形结合的思想.

3.注意用计算器算近似值的步骤

【思考引导】

一、提问题

1. 为什么要研究利用二分法求方程的近似解?

2. 如何用框图表述利用二分法求方程实数解的过程?

二、变题目

1. 设f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x(1，2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0则方程的根落在区间( )

A.(1.25,1.5) B.(1,1.25)

C.(1.5,2) D.不能确定

2. 用二分法求方程 在区间(2，3)内的实根，取区间中点为 ，那么下一个有根的区间是 。

3. 借助科学计算器用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确到0.1)

【总结引导】

1. 任何方程，只要它所对应的图象是连续曲线，而且有实根，就可用二分法借助于计算器或计算机求出方程根的近似值，二分的`次数越多，根就越精确.二分法体现了无限逼近的数学思想

2. 利用二分法求方程近似解的步骤是：

① 确定区间[ ]，使 在[ ]上连续，且 ;

② 求区间 的中点 ;

③ 计算 ;

(1) 若 则 就是方程的解

(2) ，则方程的解 ;

(3) ，则方程的解 .

(4) 判断是否达到精确度要求，若区间两端点按精确度要求相等，则得到方程的近似解.

【拓展引导】

1.函数 的零点所在的大致区间是( )

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

2.有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球?要求次数越少越好.

3. 某同学解决一道方程近似解的问题解答如下：求方程2x3-6x2+3=0的近似实数解(精确到0.01).

解: f(-1)=-50,f(3)=30,

可以取初始区间[-1，3]，以后用二分法逐步求解，请问他的解答正确吗?

高一数学教案：函数与方程参 考 答 案

【思考引导】

一、提问题

1.因为二分法求方程实数解的思想是非常简明的，利用计算器能很快解决近似值问题.二分法的基本思想也将在以后的学习中不断帮助我们解决大量的方程求解问题.

2.利用二分法求方程近似解的过程，可以简约地用右图表示.

【变题目】

1、 A 2、(2,2.5)

3、 【解析】：原方程即2x+3x=7,令 f(x)=2x+3x-7 ,用计算器作出函数f(x)=2x+3x-7 对应值表：

x 0 1 2 3 4 5 6 7

f(x)=2x+3x-7 -6 -2 3 10 21 40 75 142

f(1) f(2)0 取区间[1,2]

区间 中点的值 中点函数近似值

(1,2) 1.5 0.33

(1,1.5) 1.25 -0.87

(1.25,1.5) 1.375 -0.28

(1.375,1.5) 1.4375 0.02

(1.375,1.4375)

由于 |1.375-1.4375|=0.06250.1

此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。

【拓展引导】

1.(C) 在 上是增函数， 0

时 在(0，1)内无零点。

在(1，2)和(3，4)内均无零点。

而 ,故 在(2，3)内至少有一个零点。

2.三次

3.提示：不正确。对于这样的高次方程，首先要确定它的实数解的个数，一般可以利用函数的单调性或函数的图像来确定。

对于此题：

方程函数 篇3

本讲重点考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想. 题型为选择题或填空题，若求函数零点的问题，难度较易；若利用零点的存在求相关参数的值的问题，难度稍大. 分值为5分.建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力. 在高考中分值为5～12分.

命题特点

结合这几年考题，这部分内容的命题主要有如下特点：（1）考查具体函数的零点的取值范围和零点个数，注意根的存在性原理的运用.（2）利用二分法求方程的近似解. （3）利用函数零点求解参数的取值范围，考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想.（4）考查二次函数、指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题.（5）合理选择变量，构造函数模型，求两变量间的函数关系式，从而研究其最值.

1. 函数零点和零点个数判断：这类题型以小题为主，是数形结合的具体应用，抓住方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想.

例1 （1）函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）上的零点个数是 （ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

（2）函数[f（x）=2x|log0.5x|-1]的零点个数为 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析 （1）法一：∵函数y=2x与y=x3-2在R上都是增函数，

故f（x）=2x+x3-2在R上是增函数，

又f（0）=-1，f（1）=1，即f（0）·f（1）<0

故f（x）在（0，1）上有惟一零点.

法二：令f（x）=0，即2x+x3-2=0，则2x-2=-x3.

在同一坐标系中分别画出y=2x-2和y=-x3的图象，由图可知两个图象在区间（0，1）上只有一个交点，

∴函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）内有一个零点.

（2）函数的零点等价于[y=（12）x与y=log0.5x]图象交点个数，在同一直角坐标系下分别画出其图象及可作出判断.

答案 （1）B （2） B

点拨 本题（1）是利用函数单调性与根的存在性原理结合判断.题（1）法2和题（2）是利用数形结合法判断零点个数.对函数零点个数的判断可从以下几个方面考虑：（1）结合函数图象；（2）根据零点存在定理求某些点的函数值；（3）利用函数的单调性判断函数的零点是否惟一.

2. 二次函数零点问题：前面已介绍过，二次函数是中学阶段应用非常广泛的函数，结合二次函数特征，也会出现零点问题.

例2 （1）已知α，β是方程x2+（2m-1）x+4-2m=0的两个实根，且α<2<β，求m的取值范围；

（2）若方程x2+ax+2=0的两根都小于-1，求a的取值范围.

解析 （1）设f（x）=x2+（2m-1）x+4-2m.

∵α，β是方程f（x）=0的两个根，且α<2<β，

∴f（2）<0，即22+2（2m-1）+4-2m<0，得m<-3.

（2）设f（x）=x2+ax+2， f（-1）=1-a+2，Δ=a2-8.

由题意得，[f（-1）>0，Δ≥0，-a2<-1，]∴[22≤a<3].

点拨 结合二次函数图象探求二次方程根的分布是解决此题的关键.熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确解决二次函数零点的关键. 用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨很容易导致解题出错.主要抓住如下几点：（1）二次项系数符号；（2）判别式；（3）对称轴；（4）所给分界点的函数值的符号.

3. 利用函数零点求解参数的取值范围.

例3 （1）已知函数f（x）=[2x，x≥2，x-13，0

（2）已知函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2.若在区间[-1，3]上，函数g（x）=

f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围为 .

解析 （1）在同一个直角坐标系中作出函数y=f（x），y=kx的图象，函数y=f（x）图象最高点坐标为A（2，1），过点O，A的直线斜率为2.x≥2时，f（x）=[2x]单调递减且f（x）>0，直线y=kx过原点，所以斜率0

（2）依题意得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即函数f（x）是以2为周期的函数. g（x）=f（x）-kx-k在区间[-1，3]上有4个零点，即函数y=f（x）与y=k（x+1）的图象在区间[-1，3]上有4个不同的交点. 在坐标平面内画出函数y=f（x）的图象（如图所示），注意到直线y=k（x+1）恒过点（-1，0），由图象知，当k∈[0，14]时，相应的直线与函数y=f（x）在区间[-1，3]上有4个不同的交点，故实数k的取值范围是[0，14].

答案 （1）[0，12] （2）[0，14]

点拨 （1）是分段函数的零点问题，这里直线y=kx过原点，将其绕着原点旋转就可以得出结果.（2）是周期函数零点问题，关键要能准确判断周期并作出一个周期内的图象再解题.利用函数零点求参数范围要注意构造两个函数，利用数形结合的方法求解，通常还要给参数赋予几何意义.

4. 函数模型及应用：这类问题主要是将实际问题构造数学模型，利用以学数学知识求解.

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例4 如图，建立平面直角坐标系[xOy]，[x]轴在地平面上，[y]轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程[y=kx-120（1+k2）x2][（k>0）]表示的曲线上，其中[k]与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标[a]不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

[y（千米）][x（千米）][O]

解析 （1）在[y=kx-120（1+k2）x2（k>0）]中，令[y=0]得， [kx-120（1+k2）x2=0].

由实际意义和题设条件知[x>0，k>0].

∴[x=20k1+k2=201k+k≤202=10]，当且仅当[k=1]时取等号.

∴炮的最大射程是10千米.

（2）∵[a>0]，∴炮弹可以击中目标等价于存在[k>0]，使[ka-120（1+k2）a2=3.2]成立.

即关于[k]的方程[a2k2-20ak+a2+64=0]有正根.

由[Δ=-20a2-4a2a2+64≥0]得，[a≤6].

此时，[k=20a+-20a2-4a2a2+642a2>0]（不考虑另一根）.

∴当[a]不超过6千米时，炮弹可以击中目标.

点拨 利用函数解决实际问题主要有以下步骤：（1）审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质，初步选择模型；（2）建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题（这是解题关键）；（3）解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；（4）还原：回到实际问题，检验结果的实际意义，给出结论.

备考指南

1. 要强化训练零点求法，函数与方程的转化技巧，会结合图象利用数形结合判断零点个数、零点所在区间. 掌握函数性质与方程根与系数关系的综合应用问题，总结基本解题规律.

2. 建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力. 要求会理解题意，将实际问题抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题.

限时训练

1. 函数[f（x）=lnx+2x-6]的零点所在的区间为 （ ）

A. （1，2） B. （[32]，2）

C. （2，[52]） D. （[52]，3）

2. 某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y=f（x）的图象大致为 （ ）

[y][x][O][1] [A] [y][x][O][1][B][y] [x][O][1][C] [y] [x][O][1][D]

3. 若a

A. （a，b）和（b，c）上 B. （-[∞]，a）和（a，b）上

C. （b，c）和（c，+[∞]）上 D. （-[∞]，a）和（c，+[∞]）上

4. 函数f（x）=2x-[2x]-a的一个零点在区间（1，2）上，则实数a的取值范围是 （ ）

A. （1，3） B. （1，2）

C. （0，3） D. （0，2）

5. 函数f（x）=[x-cosx]在[0，+∞）上 （ ）

A. 没有零点 B. 有且仅有一个零点

C. 有且仅有两个零点 D. 有无穷多个零点

6. 二次函数[f（x）=x2-bx+a]的部分图象如图，则函数[g（x）=lnx+f ′（x）]的零点所在的区间是 （ ）

A. [14，12] B. [12，1] C. [1，2] D. [2，3]

[y][x][O][1][1] [y][x][O][7][11][4 6]

（第6题） （第7题）

7. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N*）为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大 （ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

8. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y=f（x），则y=f（x）的图象是 （ ）

[y][x][O][2][10][1][5] [y][x][O][2][10][1][5] [y][x][O][2][10][2][10] [y][x][O][2][10][2][10]

A B C D

9. 假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=[M02-t30]，其中M0为t=0时铯137的含量. 已知t=30时，铯137含量的变化率是-10ln2（太贝克/年），则M（60）= （ ）

A. 5太贝克 B. 75ln2太贝克

C. 150ln2太贝克 D. 150太贝克

10. 若偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x2，则关于x的方程f（x）=[110x]在[0，103]上根的个数是 （ ）

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下，那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根为 （精确到0.1）.

[f（1）= -2＼&f（1.5）=0.625＼&f（1.25）=-0.984＼&f（1.375）=-0.260＼&f（1.4375）=0.162＼&f（1.40625）=-0.054＼&]

12. 已知函数f（x）= [x2，x≤0，f（x-1），x>0，]g（x）=f（x）-x-a，若函数g（x）有两个零点，则实数a的取值范围为 .

13. 函数f（x）=（x-1）sinπx-1（-1

14. 将一个边长分别为a，b（0

15. （1）求函数f（x）=x3-2x2-x+2的零点；

（2）已知函数f（x）=ln（x+1）-[1x]，试求函数的零点个数.

16. 设函数f（x）=[xx+2]-ax2，a∈R.

（1）当a=2时，求函数f（x）的零点；

（2）当a>0时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点；

（3）若函数f（x）有四个不同的零点，求a的取值范围.

17. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元. 为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10[a-3x500]万元（a>0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.

（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

18. 某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4m. 这种薄板须沿其对角线折叠后使用. 如图所示，ABCD（AB>AD）为长方形薄板，沿AC折叠后AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好.

（1）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；

（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？

（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ [B′][A][D][C][B][P]

方程函数 篇4

对任意正整数n, 令S (n) 表示Smarandache 函数, 其定义为使 n|m! 的最小的正整数m, 即S (n) =min{m∶n|m!, m∈N} 。如果n=p${}_1^{\alpha {}_1}$p${}_2^{\alpha {}_2}$…p${}_k^{\alpha {}_k}$为n的标准因子分解式, 则由定义容易推出$S(n)=\underset{1\le i\le k}{{\displaystyle \max }}\{s(p{}_i^{\alpha {}_i})\}$, Smarandache 教授在文献[1]中介绍了这个函数并要求我们研究它的性质。Euler函数φ (n) 表示所有不超过n且与n互素的正整数的个数。

马金萍老师在文献[2]中研究了方程φ (n) =S (n) , 并给出了它的全部解n=1, 8, 9, 12, 18。本文在研究张文鹏老师《初等数论》[3]的基础上, 利用初等方法研究方程φ (n) =S (n2) 和φ (n) =S (n3) , 并给出了它们的全部正整数解, 也就是要证明下面的:

定理1 方程φ (n) =S (n2) 有且仅有四个解n=1, 24, 25, 50。

定理2 方程φ (n) =S (n3) 有且仅有四个解n=1, 48, 49, 98。

用初等方法直接证明定理, 为此我们先要引入一个引理:

引理[4] 如果p为一素数, 那么S (pk) ≤kp;如果k<p, 那么S (pk) =kp, 其中k为任意给定的正整数。

设n=p${}_1^{\alpha {}_1}$p${}_2^{\alpha {}_2}$…p${}_k^{\alpha {}_k}$为n的标准因子分解式,

令$S(n)=\underset{1\le i\le k}{{\displaystyle \max }}\{S(p{}_i^{\alpha {}_i})\}=S(p{}^{\alpha }),n=p{}^{\alpha }n{}_1$。其中p为素数且 (n1, p) =1, 则

$S(n{}^2)=\underset{1\le i\le k}{{\displaystyle \max }}\{S(p{}_i^{2\alpha {}_i})\}=S(p{}^{2\alpha })$。

由φ (n) 的定义可得φ (n) =p${}_1^{\alpha {}_1-1}$ (p1-1) p${}_2^{\alpha {}_2-1}$ (p2-1) …p${}_k^{\alpha {}_k-1}$ (pk-1) =

φ (pα) φ (n1) =pα-1 (p-1) φ (n1) 。令φ (n) =S (n2) , 则有pα-1 (p-1) φ (n1) =S (p2α) 。

显然n=1是方程φ (n) =S (n2) 的解, 如果n>1我们将分类讨论如下:

(1) 令α=1。

如果p=2, 则S (n2) =S (22) =4, φ (n) = (2-1) φ (n1) ,

由φ (n) =S (n2) 可得φ (n1) =4, 所以n1=5,

即n=2×5, 但φ (2·5) =4≠S (22×52) =10, 所以n=2×5不是此方程的解。

如果p≥3, 由引理可得S (p2) =2p,

φ (n) = (p-1) φ (n1) , 所以2p= (p-1) φ (n1) , 解得当p=3时, φ (n1) =3, 此式无解。

(2) 令α=2。

如果p=2, 则S (n2) =S (24) =6=φ (n) =2 (2-1) φ (n1) , 此式无解。

如果p=3, 则S (n2) =S (34) =9=φ (n) =3 (3-1) φ (n1) , 此式无解。

如果p=5, 则S (n2) =S (54) =20=φ (n) =5 (5-1) φ (n1) ,

解得φ (n1) =1, 即n1=1, n=52=25和n1=2, n=52×2=50是方程的解。

如果p≥7, 则S (n2) =S (p4) =4p=φ (n) =p (p-1) φ (n1) ,

由于p-1>4, 故上式无解。

(3) 令α=3。

如果p=2, 则S (n2) =S (26) =8=φ (n) =4 (2-1) φ (n1) ,

解得φ (n1) =2, n1=3即n=23×3=24是方程的解。

如果p=3, 则S (n2) =S (36) =15=φ (n) =32 (3-1) φ (n1) , 此式无解。

如果p=5, 则S (n2) =S (56) =25=φ (n) =52 (5-1) φ (n1) , 此式无解。

如果p=7, 则S (n2) =S (76) =42=φ (n) =72 (7-1) φ (n1) , 此式无解。

如果p>7, 则S (n2) =S (p6) =6p=φ (n) =p2 (p-1) φ (n1) ,

由于p-1>6, 所以此式无解。

(4) 令α=4。

如果p=2, 则S (n2) =S (28) =10=φ (n) =23 (2-1) φ (n1) , 此式无解。

如果p≥3, 由引理可得S (p8) ≤8p,

由φ (n) =p3 (p-1) φ (n1) 和p3>8p可得φ (n) >8p, 故此式无解。

(5) 令α=5

如果p=2, 则S (n2) =S (210) =12=φ (n) =24 (2-1) φ (n1) , 此式无解。

如果p≥3, 由引理可得S (p10) ≤10p,

由φ (n) =p4 (p-1) φ (n1) 和p4>10p可得φ (n) >10p, 故此式无解。

(6) 令α≥6

如果p≥2, 由引理可得S (p2α) ≤2αp,

由φ (n) =pα-1 (p-1) φ (n1) 和pα-1>2pα可得φ (n) >2pα, 故此式无解。

结合以上的 ⑴ 到 ⑹ , 我们可得方程φ (n) =S (n2) 有且仅有四个解n=1, 24, 25, 50.

这就证明了定理1, 用同样的方法我们可以证明定理2。

参考文献

[1]Smarandache F.Only problems, not solutions.Chicago:Xiquan Publishing House, 1993

[2]Ma J P, An equation involving the Smarandache function.Scientia Magna, 2005;2:89—90

[3]张文鹏.初等数论.西安:陕西师范大学出版社, 2007

方程函数 篇5

关于Smarandache函数两个方程的研究

对于?n∈N,ω(n)表示n的所有不同的素因数的个数, s(n)是Smarandache可乘函数.研究了方程s(n)=2ω(n)和方程s(n2)=2ω(n2)的可解性,并给出它的`正整数解的公式.

作 者：陈斌 李保英 CHEN Bin LI Bao-ying 作者单位：渭南师范学院数学与信息科学系,渭南,714000刊 名：科学技术与工程 ISTIC英文刊名：SCIENCE TECHNOLOGY AND ENGINEERING年，卷(期)：20099(20)分类号：O.156.4关键词：Smarandache可乘函数 方程的解 解的个数

方程函数 篇6

【例题】（2012年高考湖北文）函数f（x）=xcos2x在区间[0,2π]上的零点个数为（　　）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】 D.

【解析】由f（x）=xcos2x=0，得x=0或cos2x=0.其中，由cos2x=0，得2x=kπ+■(k∈Z)，故x=■+■(k∈Z).又因为x∈[0,2π]，所以x=■，■，■，■，所以零点的个数为1+4=5个，故选D.

【说明】函数f（x）=xcos2x=0在区间[0,2π]上的零点个数就是确定方程xcos2x=0在区间[0,2π]上根的个数，当这个方程容易求根时，可以通过直接求根来确定原函数的零点的个数.

【变式1】(2102年高考北京文)函数f（x）=x■■-（■）■的零点个数为（　　）

A． 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B.

【解析】因为函数f（x）=x■-（■）■在定义域[0,+∞）上是增函数，且f（0）=-1＜0，f（1）=1-■=-■＜0，所以由函数零点的存在性定理知f（x）=x■■-（■）■存在唯一的零点x0，且x0∈（0，1），故选B.

【说明】所谓函数零点的存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是f（x）=0方程的根.当满足条件f（a）·f（b）＜0时，为了保证y=f（x）在区间（a，b）内只有一个零点，我们必须说明y=f（x）在区间（a，b）内单调.

【变式2】(2012年高考湖南)设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f ′（x）是f （x）的导函数，当x∈[0,π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π） 且x≠■时 ，（x-■）f ′（x）＞0，则函数y=f（x）-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为（　　）

A. 2 B. 4 C. 5 D. 8

【答案】Ｂ.

【解析】由当x∈（0，π） 且x≠■时 ，（x-■）f ′（x）＞0，知x∈[0,■)时，f ′（x）<0，f（x）为减函数：x∈（■,π]时，f ′（x）＞0，f（x）为增函数，又x∈（0,π]时，0＜f（x）＜1，在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=f（x）的图像如下，由图知y=f（x）-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.

【说明】当所给函数不单调且对应方程无法直接解出时，往往可利用函数性质画出函数图像，进而从图像中直接“读出”答案.本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.

【变式3】（2012年高考福建理）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=a2-ab,a≤bb2-ab,a＞b设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________.

【答案】（■，0）．

【解析】由新定义得f（x）=（2x-1）2-（2x-1）（x-1），（x-1）2-（2x-1）（x-1），■=2x2-x，x≤0-x2+x，x＞0所以可以画出草图，若方程f（x）=m有三个根，则0＜m＜■，且当x＞0时方程可化为-x2+x-m=0，易知x2x3=m，当x≤0时方程可化为2x2-x-m=0，可解得x1=■，所以x1x2x3=m·■，又易知当m=■时m·■有最小值，所以■×■＜m·■＜0，即■＜x1x2x3＜0.

【说明】本题将方程的根的问题转化为两个两数图像的交点问题，求解这类问题的关键是构造函数，并作函数图像.本题属于新概念型题目，考查了根据条件确定分段函数解析式的能力，以及数形结合的思想和基本推理与计算能力，难度较大．

【变式4】（2012年高考天津文）已知函数y=■的图像与函数y=kx的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是 .

【答案】0＜k＜1或0＜k＜2.

【解析】 函数y=■=■，当x＞1时，y=■=x+1=x+1，当x＜1时，y=■=-x+1=-x-1，-1≤x＜1x+1，x＜-1综上函数y=■x+1，x≥1-x-1，-1≤x＜1x+1，x＜-1作出函数的图像，要使函数y与y=kx有两个不同的交点，则直线y=kx必须在深色或浅色区域（阴影部分）内（如图），B（1，2），D（-1，0），则此时当直线经过右上阴影部分（浅色）区域时，k满足1＜k＜2，当经过左下阴影部分（深色）区域时，k满足0＜k＜1，综上实数k的取值范围是0＜k＜1或1＜k＜2.

【说明】本题与变式3相似，两个函数一定一动，故只需将“定函数”图像做出后，再将另一个含参数的“动函数”的图像旋转，便可找到所求参数的取值范围.解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．

从以上分析可以看出，判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体问题灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理进行判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图像判断．

类题练习:

1.“a＜-2”是“函数f（x）=ax+3在区间[-1，2]上存在零点”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

答案：A；解析：f（x）=ax+3在区间[-1，2]上存在零点，则f（-1）f（-2）＜0，即（3-a）（2a+3）＜0，∴a＞3或a＜-■，∴“a＜-2”是“a＞3或a＜-■”的充分不必要条件，∴“a＜-2”是“函数f（x）=ax+3在区间[1,2]上存在零点”的充分不必要条件.

2. 函数f（x）=x+2-2x在定义域内零点的个数是（　　）

Ａ. 0 Ｂ. 1 Ｃ. 2 Ｄ. 3

答案：D；解析：在同一坐标系中画出函数y=x+2与y=2x 的图像，可以看到2个函数的图像在第二象限有2个交点，在第一象限有1个交点，所以函数f（x）=x+2-2x在定义域内有3个零点.

3. 已知函数f（x）=ex，x≥0-2x，x＜0则关于x的方程f [ f（x）]+k=0，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有1个不同实根；②存在实数k，使得方程恰有2个不同实根；③存在实数k，使得方程恰有3个不同实根；④存在实数k，使得方程恰有4个不同实根；其中假命题的个数是（　　）

A． 0 B． 1

C． 2 D． 3

答案：C． 解析： 当x≥0， f（f（x））=f（ex）=■，当x＜0，f（f（x））=f(-2x)=e-2x,当x≥0,y=■是增函数，x＜0,y=e-2x是减函数，由f [ f（x）]+k=0得f ( f（x）)=-k方程f ( f（x）)=-k解的个数即y=-k与y=f ( f（x）)的图像交点的个数，由图像得当1≤-k≤e，有1个解；当-k≥e时有2解.

4. 设函数f(x)（x∈R）满足f(-x)=f(x)，f(x)=f(2-x)，且当x∈[0，1]时，f (x)=x3. 又函数g(x)=xcos（πx），则函数h(x)=g(x)-f(x)在[-■，■]上的零点个数为( )

A.5 B. 6 C. 7 D. 8

答案: B；解析：因为当x∈[0，1]时，f(x)=x3. 所以x∈[1，2]时，（2-x）∈[0，1]，f(x)=f(2-x)=(2-x)3，当x∈[0，■]时，g(x)= xcos（πx）;当x∈[■，■]时，g(x)= -xcos（πx），注意到函数f(x)、 g(x)都是偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，g（■）=g（■）=0，作出函数f(x)、g(x)的大致图像，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间[-■，0]、[0，■]、[■，1]、[1，■]上各有一个零点，共有6个零点，故选B.

5.已知函数f(x)＝■,x≥2（x-1）3，x＜2若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．

答案：(0,1).解析：f(x)=■（x≥2）单调递减且值域为

(0,1]，f(x)=（x-1）3（x＜2）单调递增且值域为（-∞，1），函数f(x)的图像如图所示，故f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）．

（作者单位：江苏省太仓高级中学）

函数与方程思想及其应用 篇7

方程思想是未知和已知的思想, 是先分析问题中的各个变量及其关系, 列出方程 (组) 、不等式 (组) , 然后通过求方程 (组) 、不等式 (组) 的解 (集) , 使问题得以解决的数学思想.

函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助相关初等函数的性质, 处理有关求值、解 (证) 不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题研究中, 通过建立函数关系式或构造中间函数, 把所研究的问题转化为讨论函数有关性质的问题, 化难为易, 化繁为简.方程思想的应用可分为逐步提高的四个层次:⑴解方程;⑵含参数方程的讨论;⑶转化为对方程的研究, 如直线与圆锥曲线的位置关系、函数的性质;⑷构造方程求解.

一、三个“二次” (一元二次方程、二次函数、一元二次不等式) 中的函数与方程思想

二、数列中的函数与方程思想

三、三角中的函数与方程思想

四、解析几何中的函数与方程思想

五、立体几何中的函数与方程思想

(Ⅰ) 求V (x) 的表达式;

(Ⅱ) 当x为何值时, V (x) 取得最大值?

函数方程有效解题方法探析 篇8

一、换元法

换元法指的是通过换元, 用“新元”代替原表达式中的“旧元”, 从而求得f (x) 。

二、赋值法

赋值法指的是在函数定义域内, 给自变量以某些特殊值, 从而猜测、推求函数的表达式的方法.

【例2】求f (x) , x∈Q, 使其满足f (xy) =f (x) f (y) 一f (x+y) +1, x, y∈Q (1)

F (1) =2 (2)

解:先在 (1) 中令x=y=0, 解得f (0) =l,

再在 (1) 中令x=l, Y=-l, 得f (-1) =f (1) f (-1) , 由 (2) 得f (-1) 一0,

在 (1) 中令y=l, 由 (2) 即得f (x+1) =f (x) +1.

递推得

三、柯西法

柯西法是先求出自变量x取正整数 (即x∈N*) 时函数方程的解, 然后依次求出x∈Z, x∈Q, z∈R时函数方程的解。它是求解涉及定义在R内的连续函数或单调函数的函数方程所采用的方法.

【例3】设f是定义在R上的不恒为0的连续函数, 且∀x, y∈R, 满足

求f (x) .

解: (1) 当自变量为正整数时, 对∀x∈R, 设x=y, 由 (1) 有

令y=2x, 则

归纳地, 设f (kx) =[f (x) ]k (k∈N*) , 则

令x=1, 由 (3) 得f (n) =an.

(2) 当自变量取整数时, 令y=0, 由 (1) 得f (0) =1, 则∀x∈R, 有1=f (0) =f (x-x) =f (x) f (一x) ,

∵f (x) 不恒为0, 则∀x∈R, f (x) ≠0.

事实上, 若存在x。, 使得f (x。) =0, 则∀x∈R, f (x) =f[x。+ (x—x。) ]=f (x。) ·f (x—x。) =0, 这与f (x) 不恒为0矛盾,

∴f (x) 恒不为0.

(3) 当x=n/m∈Q, (n∈N*, m∈Z, (m, n) =1) 时, 显然由 (2) 、 (3) 知

(4) 当x∈R时, 存在{xn}, x∈Q, 使n→∞limxn=x.

不难验证f (x) =ax满足给定的方程.

∴方程的解为f (x) =ax.

摘要：解函数方程没有一般的方法, 需要有较强的解题技能和技巧, 本文通过例题介绍函数方程的几种有效解法。

关键词：函数方程,解题,方法

参考文献

[1]俞宏毓:《函数方程的一些解法》, 《数学通讯》, 2005年第10期。

浅析高中数学函数与方程思想 篇9

在高考中主要考查的是函数的概念、性质及图像的应用, 包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面。

方程的思想, 就是分析数学问题中变量间的等量关系, 建立方程或方程组, 或者构造方程, 通过解方程或方程组, 或者运用方程的性质去分析、转化问题, 使问题获得解决。方程思想是动中求静, 包括研究运动中的等量关系数法、换元法、转换法和构造方程法四个方面。

函数思想与方程思想的联系十分密切。解方程f (x) =0就是求函数y=f (x) 当函数值为零时自变量x的值。求综合方程f (x) =g (x) 的根或根的个数就是求函数y=f (x) 与y=g (x) 的图象的交点或交点个数。参数方程f (x, y, t) =0具有函数因素, 属能随参数的变化而变化的动态方程。它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点, 而是具有某种共性的几何曲线。正是这些联系, 促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换, 丰富了数学解题的思想宝库。

一、显化函数关系

在高中数学的很多解题过程中, 可以将原有的隐含的函数关系凸显出来, 从而用函数的知识和方法来使问题得到解决。

例1:在数列{an}中, a1=15, 以后各项为 an+1=an-2, 求数列{an}的前n项和的最大值。

二、转换函数关系

在研究函数的性质, 数列和圆锥曲线等恒成立问题中逆求参数的取值范围, 按照原来的函数很难解决时, 当我们转换思维角度, 放弃题设的主参限制, 从其他的角度重新设变量, 利用新的函数关系, 使原问题获解。

例2:已知函数$f(x)=\lg \frac{1+2{}^x+4{}^x\cdot a}{a{}^2-a+1}$, 其中a为常数, 若当x∈ (-∞, 1]时, f (x) 有意义, 求实数a的取值范围。

三、构造函数关系

在我们解决一些非函数问题的时候, 通过联想、抽象、概括等方法, 构造出一定的函数关系, 利用函数的思想方法使原来的问题得到解决, 这是用函数思想解题的更高层次的体现。在构造的时候, 要认真审题, 发现题目中的可以类比、联想的条件, 促进思维迁移。

例3:求函数$y=(\log {}_{\frac{1}{4}}x){}^2-\log {}_{\frac{1}{4}}x{}^2+5,x\in [2,4]$的值域。

解:令$t=\log {}_{\frac{1}{4}}x,x\in [2,4],t\in [-1,-\frac{1}{2}]$, 函数y=t2-2t+5= (t-1) 2+4, 在$t\in [-1,-\frac{1}{2}]$上单调递减, 所以函数的值域为$\frac{25}{4}\le y\le 8$。

点拨解疑:通过构造辅助函数$t=\log {}_{\frac{1}{4}}x,x\in [2,4],t\in [-1,-\frac{1}{2}]$, 借助函数的单调性, 运用复合函数的单调性, 求原函数的值域。

四、建立方程模型

例5:甲、乙两地相距s千米, 汽车从甲地匀速驶到乙地, 速度不得超过c千米/小时, 已知汽车每小时的运输成本 (以元为单位) 由可变部分和固定部分组成, 可变部分与速度v (km/h) 的平方成正比, 比例系数为b, 固定部分为a元。

(1) 把全程运输成本y (元) 表示为v (km/h) 的函数, 并指出这个函数的定义域;

(2) 为了使全程运输成本最小, 汽车应以多大速度行驶?

分析:本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识, 还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力。学会将实际问题抽象转化为具体的函数问题, 不要忽略对参变量的限制条件。技巧与方法: ①读题;②建模;③求解;④评价。

五、待定系数法

一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式, 这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组, 其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数, 或找出某些系数所满足的关系式, 这种解决问题的方法叫做待定系数法。

例5:是否存在常数 a, b, c, 使得等式$1\cdot 2{}^2+2\cdot 3{}^2+3\cdot 4{}^2+\cdots +n(n+1){}^2=\frac{n(n+1)}{12}(an{}^2+bn+c)$对于一切自然数n都成立?并证明你的结论。

六、转换方程形式

例6:设二次函数f (x) =ax2十bx十c (a> 0) , 方程f (x) -x=0的两个根满足$0＜x{}_1＜x{}_2＜\frac{1}{a},$

(1) 当x∈ (0, x1) 时, 证明x<f (x) <x1;

(2) 设函数f (x) 的图象关于直线x=x0对称, 证明$x{}_0＜\frac{x{}_1}{2}$。

分析:本例是有一定难度的代数推理题, 审题中要细心分清函数f (x) 与方程f (x) -x=0是两个不同的条件, x=x0是函数f (x) 的对称轴, x1, x2则是方程f (x) -x=0的根, 它们之间的联系通过a, b, c隐蔽地给出, 因而充分利用二次函数的性质, 引进辅助函数g (x) =f (x) -x, 凸现已知条件的联系, 是解题的关键.

例谈函数与方程的应用 篇10

关键词：函数与方程,应用

视角一构造函数或方程来解决问题

例1已知集合, 则集合M表示的图形是___?

分析:本题关键是找到变量x, y的关系, 直接化简会很复杂, 如果移项变形, 化为, 构造函数会轻易解决.

解析:构造一个常见的函数, 则g (x) 为R上的增函数, 且为奇函数.又已知等式可化为, 于是g (x) =-g (y) =g (-y) , 因此x=-y, 即x+y=0.所以, 集合M表示的图形是直线.

点拨:本题难在对所给的式子不会化简, 导致半途而废.因为所给式子中有两个变量x, y, 如果把所给等式整理为, 不难发现能构造函数f (x) =x+x2+1 (x∈R) 来解决.

视角二函数方程思想在不等式中的应用

例2已知在区间[-1, 1]上是增函数, (1) 设关有两个非零实根为x1, x2.问:是否存在实数m, 使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1, 1]恒成立?

解析:关于的方程可以化为.解得x=0或x2-ax-2=0.由于Δ=a2+8>0, 所以方程x2-ax-2=0有两个非零实根x1, x2.计算|x1-x2|, 由x1+x2=a, x1x2=-2得.本题等价于是否存在m, 使不等式.对a∈A, t∈[-1, 1]恒成立.把看作关于a的函数, 则①式等价于m2+tm+1≥Tmax (a) ②.由于a∈A, 则, 从而②式转化为m2+tm+1≥3, 即m2+tm-2≥0③.对t∈[-1, 1]恒成立.我们又可以把③式的左边看作关于t的函数.记g (t) =m2+tm-2=mt+m2-2.对m=0和m≠0分类研究.若m=0, ③式化为g (t) =-2≥0, 显然不成立;若m≠0, g (t) 是t的一次函数.要使g (t) ≥0对t∈[-1, 1]恒成立, 只要g (-1) ≥0及g (1) ≥0同时成立即可, 如图1, 图2.

解不等式组得m≤-2或m≥2.所以存在实数m, 使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A, t∈[-1, 1]恒成立, 其取值范围是{m|m≤-2或m≥2}.

点拨: 在做题时要格外的注意对于题意的理解以及计算时的分类.

视角三函数方程思想在数列中的应用

例3已知等差数列{an}, 其前n项和为Sn, 是否存在常数k, 使得成立?

解析:设存在常数k, 使成立, 令an=pn+q (p、q为常数) , 则k (pn+q) 2-1=S2n-Sn+1①.又, 代入①式变为, 所以由②得p=0或kp=3/2.若p=0, 代入③、④不成立;将kp=3/2代入③, 得q=-p/4, 代入④得kp2/16-1=-p+p/4, 即, 所以p=32/27, 从而得出q=-8/27, k=81/64.所以存在常数k, 使得成立.

点拨: “假设 — 推证 — 定论”是解答此类问题的三个步骤. 本题通过设等差数列的通项公式an= pn +q ( p、q为常数) , 构造方程, 从而自然地解决了此问题.

参考文献

[1]陈江华.函数与方程思想在高中数学中的应用[J].读与学教育教学版, 2014 (3) .

方程函数 篇11

例1若关于x的方程x+1-x=m有两个不等的实根，求实数m的取值范围.

解析本题的常规解法是换元法.令t=x+1≥0，从而x=t2-1，转化为一元二次方程t2-t-1+m=0有两个不等的非负根问题.

如果将方程变形为x+1=m+x，令f(x)=x+1，g(x)=x+m.图1

分别作出f(x)=x+1(x≥-1)与g(x)=x+m(x≥-m)的图象.

如图1，g(x)表示以（-m,0）为端点、位于x轴上方的动射线，而f(x)的图象则由幂函数y=x的图象向左平移一个单位得到.

从图中可以看出，当-m=-1,即m=1时,射线与曲线恰有两交点.

当射线与曲线相切，即方程x+1=m+x只有一个解时，由x2+(2m-1)x+m2-1=0的判别式Δ=(2m-1)2-4(m2-1)=0,解得m=54.

结合图形，得：1≤m＜54.

例2设a为常数,试讨论方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根的个数.

解析本题的常规解法是将方程等价变形为：(x-1)(3-x)=a-x，x-1＞0,3-x＞0,a-x＞0,

然后用二次方程的相关知识解决.

如果此时能够联系函数的图象，则解决过程会相当简捷！

原方程等价于：-x2+5x-3=a,1＜x＜3,x＜a,

图2

令f(x)=-x2+5x-3(1＜x＜3)，g(x)=a,如图2，分别画出这两个函数的图象，动直线y=a与曲线y=-x2+5x-3(1＜x＜3)交点的个数对应方程解的个数.

从图中可以看出，当a≤1或a＞134时，两者无交点，即方程没有实根；当a=134或1＜a≤3时,方程只有一个实根；当3＜a＜134时，方程有两个实根.

思考为什么不直接考虑利用函数f(x)=(x-1)(3-x)=-x2+4x-3(1＜x＜3)与函数g(x)=a-x(x＜a)的位置关系来求解？

由此思考，我们会发现：在用图象法解题时，既要注意问题转化的等价性，也要考虑作图的可行性和简洁性.

例3若方程4x+(k-2)2x+2k-1=0的两根中，一根小于0，另一根在0和1之间，求k的取值范围.

解析换元，令2x=t，t＞0.问题转化为关于t的一元二次方程t2+(k-2)t+2k-1=0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，这样就把方程根的分布问题转化为函数的零点问题.

如图3所示，函数f(t)=t2+(k-2)t+2k-1的图象开口向上，零点t1∈(0，1)，t2∈（1，2），所以

f(0)＞0,f(1)＜0,f(2)＞0,

图3

即2k-1＞0，1+(k-2)+2k-1＜0，4+2(k-2)+2k-1＞0，

解得12＜k＜23.

例4判断函数f(x)=log2x+x2-2x-1的零点的个数.

解析本题很多同学会考虑直接用二分法来解，但在解题过程中发现存在两个难点：① 二分法只能够解决零点的存在性问题，却不能很好地说明零点的个数，进一步解决还需要利用函数的单调性，而本题中函数的单调性不是很明确；② 用二分法时，对区间（a,b）的端点值难以选定，故解题方向不是很明确.

因此，我们可以换一个角度，转化为借助图象研究方程log2x=-x2+2x+1的根的个数问题.

图4

令f(x)=log2x,g(x)=-x2+2x+1=-(x-1)2+2,如图4，分别作出它们的图象，从图中可以看出，两者只有一个交点，即方程log2x=-x2+2x+1只有一个解.

例5已知f(x)=(x+1)|x+1|-x-m，若函数f（x）有三个不同的零点，求实数m的取值范围.

解析本题中的函数比较复杂，乍看有无从下手的感觉.不妨将问题转化为求关于x的方程(x+1)|x-1|=x+m有三个不同的实数解时实数m的取值范围,利用函数的图象来帮助思考.

图5

设g(x)=(x+1)|x-1|=x2-1,x≥1,1-x2,x＜1,

分别画出函数y=g（x）的图象与y=x+m的图象（如图5）.

于是，问题转化为求当直线y=x+m与曲线y=g(x)有三个不同的公共点时在y轴上的截距m的取值范围，即求动直线y=x+m从过点（1，0）到与y=1-x2(x＜1)有一个交点时，在y轴上的截距m的取值范围.

由y=1-x2,y=x+m,得x2+x+m-1=0,所以Δ=1-4（m-1）=5-4m=0,即m=54.又直线y=x+m过点（1，0）时m=-1，故实数m的取值范围是-1＜m＜54.

通过以上几个例子我们可以体会到，用图象法研究方程根和函数零点的状况，其本质是一种数形结合思想，是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过对图形的认识、数形的转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.

巩 固 练 习

1. 方程lgx+x=3的解所在区间为()

A. (0，1)B. (1，2) 

C. (2，3)D. (3，+∞)

2. 函数f(x)=12x-lnx的零点的个数是()

A. 0B. 1 C. 2D. 3

3. 已知关于x的方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的两个实根x1,x2满足x1＜32＜x2，则实数m的取值范围是______.

4. 当k取何值时，方程|x2-4x+3|=kx有三个实数根？

巧用换元法解函数方程 篇12

对于一般的方程问题, 常用常规方法进行求解, 而对于一些特殊的代数方程用常规方法求解往往难以奏效, 若能针对方程的特点, 巧妙地运用换元代换, 常可化难为易、化繁为简, 找到解题的捷径。解特殊方程常用的方法有:观察法、配方法、换元法、巧用韦达定理等。然而有些方程又不是用以上方法所能求解的, 此时, 可用换元的思想求解。

方程与函数的关系密切, 函数y=f (x) , 当y=0时, 就转化为方程f (x) =0, 可见, 函数与方程是可以转化的, 而且这种转化在解方程中起着非常重要的作用, 下面介绍几道运用换元思想解方程的典型例子。

例1定义在R+上的函数f (x) 满足关系式, 求f (x) .

基本思路:作代换, 化为方程组.

经检验上述f (x) 是原方程的解.

说明:将函数方程中的变量进行适当变换, 转化为一个关于未知函数的代数方程组, 解此代数方程组后, 得出原函数方程解, 我们常称这一解题思路为换元法.由于代换后的函数未必与原函数方程等价, 所以, 应当将所得解代入原函数方程检验.

例2设F (x) 是对除x=0及x=1以外的一切实数有定义的实值函数, 且, 求F (x) .

基本思路:换元得方程组.

分别把 (1) 、 (2) 式中的y、z换成x, 得

经检验上述F (x) 满足条件.

说明:利用一次换元, 出现了新的函数形式, 此时无法通过消元求出所求函数.可考虑再进行一次换元, 使得出现的函数形式个数与方程个数一致, 从而可根据方程组的解法解出所求函数.

例3解函数方程f (x+y) +f (x-y) =2f (x) cosy. (1)

基本思路:二元为一元, 取值转化.

解:已知函数方程中出现两个独立的变量x、y, 不妨设其中一个变量为常量.

令x=0, y=t, (1) 式化为

令, 则f (x) =acosx+bsinx (a、b为常数) .2

验证:f (x+y) +f (x-y)

说明:本题给的条件所确定的函数不唯一, 这取决于两个起始值f (0) 和

例4设函数f (x) 对所有x>0有意义, 且满足下列条件:

⑵f (x) 在 (0, +∞) 上递增.

求f (1) .

基本思路:把f (1) 看作已知, 得含a为自变量的函数, 利用递增得a的方程, 解得a.

解:设f (1) =a, 当x=1时, 由⑴可知af (a+1) =1.

运用换元思想解方程的关键是针对所要解决的具体问题, 根据题目的具体形式选准换元的方法, 使问题获得妙解。总之, 通过换元把某些非常规的方程问题转化, 将能达到化难为易, 化繁为简的目的。

摘要：函数思想是一种非常重要的数学思想, 是中学数学的两大支柱之一。函数的本质是数集间的一种对应关系, 函数是贯穿中学数学内容的一根主线。函数的思想就是用运动和变化的观点, 集合与对应的思想, 去分析和研究数学问题中的数量关系, 建立函数关系或构造函数, 运用函数的图象和性质去分析问题, 从而使问题获得解决。