系统方程（共12篇）
系统方程 篇1
0引言
基于二维指向镜的目标成像跟踪系统根据测量相机提供的目标视轴测量信息及指向镜法线轴角的耦合关系驱动二维指向镜电机,使得目标视轴与光轴重合(目标位于视场中心)[1,2]。传统万向支架方式的反射镜跟踪器通常使焦面入射光轴与外框架轴平行,进而跟踪器入射光轴相对于安装基座的角速率与两个框架角速率之间呈线性关系,且两个方向的角速率解耦,可独立闭环控制[3]。但是,传统机构配置会引入两大问题,首先,对于使用挠性枢轴作为支撑机构的高精度跟踪系统,传统指向镜机构配置的方位轴方向没有反射镜的二倍角效应,而运动范围又受枢轴特性的制约,在该方向上往往难以达到成像视场范围需求。其次,由于光轴和外框架轴位于一条直线上,造成光机主体在一个方向上过长,不利于光机主体的小型化和结构刚度的提升,如图1所示。
但是,跟踪器入射光轴与两个框架角之间的角速率关系将表现出强烈的非线性和相互耦合,必须通过对框架轴角速率与跟踪器光轴之间进行解耦,才能实现稳定、快速的成像跟踪控制环路[4]。文献[5]推导了倾斜二维指向镜光轴角速率与安装基座运动角速率和机构轴角速率的耦合方程,可以用于光轴指向惯性稳定和光轴惯性转率控制领域。但到目前为止,国内外仍没有倾斜二维指向镜实现目标成像跟踪的相关报道。与光轴惯性转率控制相比,倾斜二维指向镜跟踪系统需要在推导光轴角速率耦合关系的基础上,进一步获得目标在焦面上的投影在焦面投影坐标系下的运动速率与机构轴角的耦合关系,进而实现成像跟踪闭环控制[2]。本文针对非传统二维指向镜跟踪系统,建立跟踪入射角速率与框架角速率之间的耦合关系和解耦方程,为高性能反射镜跟踪系统设计和性能分析提供依据。
1系统方案和坐标系的定义
反射镜机构设计成非传统配置如图2所示。该方案使得俯仰和方位两个方向上反射镜都有一定的倍角,可以适当扩大成像视场,同时结构也可以设计得紧凑,实现小型化并提升结构刚度。
本文分析非传统反射镜成像跟踪系统的数学模型,得到uc和vc与二维反射镜轴角速率之间的耦合关系,为实现高性能反射镜成像跟踪系统提供依据。
1.1基座坐标系Oxyz
基座坐标系x轴沿光轴方向指向相机;y轴位于光机主体安装面内,当光轴绕y轴正方向转动时,光轴指向上方;z轴由右手法则确定,基座坐标系用B来表示。
1.2外环架坐标系Orez
外环架坐标系与基座坐标系有公共轴为z轴,r轴与x轴(或者e轴与y轴)的夹角定义为环架方位角,当φ=0时,外环架坐标系与基座坐标系重合。
1.3反射镜坐标系Oned
反射镜坐标系与外环架坐标系有公共轴e轴,n轴与r轴(或者d轴与z轴)的夹角定义为环架俯仰角,当θ=0时,反射镜坐标系与外环架坐标系重合,反射镜坐标系用M来表示。
1.4焦面投影坐标系Ouv
焦面坐标系所在平面为Oxyz坐标系下的x=f平面,其中f为相机焦距。u轴与y轴正方向平行,v轴与z轴负方向平行,坐标系原点位于光轴上,平行于光轴的光线成像汇聚于焦面坐标系原点。
1.5视轴坐标系Oijk
由基座坐标系绕z轴转过α角,得到中间坐标系Ox?y?z;再绕y?轴转过β角后得到,视轴坐标系使用P来表示。α、β分别称为光环方位角和光环俯仰角。
2坐标系及轴角耦合关系数学模型
在描述刚体角运动时,需要指明参考坐标系和投影坐标系,本文所定义的表示方式为:刚体A相对于参照坐标系B的角速率在C坐标系下的投影表示为:wCB.A ,ω投影在三个坐标轴的分量
2.1焦面投影与视轴相对运动角速率耦合关系
如图3所示,设目标在焦面坐标系下的测量信息坐标为us和vs,它们与光环方位角α和光环俯仰角β的关系为
其中:f表示相机焦距,α为光环方位角,β为光环俯仰角,角速率耦合关系可由式(1)求导得到:
另一方面,根据欧拉角速率耦合关系,视轴坐标系相对于基座坐标系的运动角速度在视轴坐标系下的表示可用光环角 ɑ,β及其角速率ɑ,β 表达为
将式(3)代入式(2)消去α 和 β,并注意到ωPPB ,在坐标轴i上的分量对目标在图像上的运动无贡献,即可得到焦面测量信息速率与视轴坐标系相对于基座坐标系相对运动角速率的耦合关系为
2.2反射镜对光轴角速率的变换关系
反射镜对于光轴运动角速率的变换关系可由图4表示[6],图中 是入射光惯性角速率分量, 是出射光惯性角速率分量, 是反射镜惯性角速率分量。图中 的传递关系表示绕反射镜法向的角速率分量对出射光的角速率无影响; 的贡献表示绕位于反射镜平面内两个正交轴的角速率分量对出射光角速率有2倍角速率耦合关系; 的耦合关系表示由于镜面反射,入射光平行于镜平面的角速率分量将反向。
2.3反射镜惯性角速率
根据角速率的叠加原理,反射镜的惯性角速率可以由基座的惯性角速率和反射镜相对于基座的角速率求和得到,即:
其中ωMB表示基座的惯性角速率,而反射镜相对于基座的角速率可写为
则反射镜相对于基座坐标系的角速率在反射镜坐标系下的表示可写为
2.4光环角速率与框架角速率耦合关系
设基座的角速率为ωBB ,入射光的角速率在镜面坐标系下投影为ωiM ,反射光的角速率在镜面坐标系下投影为ωoM ,反射镜方位轴和俯仰轴角速率分别为φ和θ。首先根据式(7)计算反射镜相对于惯性空间角速率,结合入射光惯性角速率和图4所示角速率耦合关系,得到出射光惯性角速率在反射镜坐标系下投影为
经过俯仰和方位两个框架投影变换后得到反射光惯性角速率在基座坐标系下的投影,其变换关系为
将反射光惯性角速率与基座惯性角速率相减,可以得到反射光坐标系相对于基座坐标系的角速率ωBB,o。经过光环框架方位角和俯仰角投影变换后得到反射光与基座相对角速率在视轴坐标系下的投影ωPB,o。利用式(4)的关系,计算得到焦面投影速率u 和v。
为了避免矩阵计算过于繁琐,在坐标系欧拉角变换过程中采用Pio-diagram表示法来代替欧拉角投影变换矩阵,如图5所示。上述坐标系及轴角耦合关系给出了基座角速率、入射光角速率以及反射镜角速率对目标在焦面上投影速率的贡献,其Pio-diagram图可用图6表示。
3焦面投影速率与轴角速率关系解耦
成像跟踪控制系统根据相机测量信息生成目标在焦面坐标系投影的角速率指令uc 和vc ,伺服控制系统将焦面坐标系下的速率指令变换到轴角坐标系下,生成方位轴和俯仰轴的轴角角速率φc和θc,进而驱动二维指向镜运动,形成成像跟踪闭环。由焦面投影角速率向方位轴和俯仰轴轴角速率变换是控制解耦关键。
为了考察二维指向镜轴角速率对焦面投影速率的贡献,将图6中的ωBB和Miω设为零,得到二维指向镜的框架角速率与目标在相机焦面上的投影运动速率之间的耦合关系如图7所示。
为了简化运算,将图7所示的耦合关系分解为三部分:反射镜耦合、框架耦合和焦面投影,其矩阵表达式为
其中:
其中下角标“c”表示跟踪控制器输出的速率指令,上式写出了焦面投影速率与轴角速率关系的完整解耦关系式。然而,从式(11)中TF的表达式可以看出,直接对式(10)中的各项求逆并做矩阵乘积计算量十分繁琐,难以直接应用于嵌入式计算机进行实时运算,需要对式(10)进行适当的近似。
通常高精度跟踪瞄准系统的测量相机视场小,精跟踪开始前,通过粗跟踪将目标引导进入精跟踪测量相机视场范围内。在精跟踪开始时,方位角α和俯仰角β 较小,可以忽略不计。则式(10)中的TF和TG为
此外,一些反射镜跟踪系统使用了挠性枢轴作为支撑机构,其转动范围受到限制。如果角运动范围较小的假设成立,还可对式(14)在指向镜机械工作点0? 和0? 附近进行一阶Taylor展开截断近似,进一步简化:式中0? 和0? 是常数,分别表示二维指向镜的方位轴和俯仰轴工作点, ?? 和 ?? 分别表示二维指向镜偏离工作点的方位角和俯仰角增量。
4数值仿真
根据前文建立的数学模型,建立如图8所示的Simulink仿真模型。通常情况下,一个最简单的成像跟踪控制环路可采用比例控制律[1]:其中:ku为u方向控制增益,kv为v方向控制增益。在比例控制律情况下,u、v方向在初始值分别为u0、v0的条件下其时域响应可以写为
若ku=kv ,则u(t )与v(t)的比值为一个常数,表示成像跟踪过程中,目标将在焦面上划过一条直线。因此,如果本文所建立的速率传递方程正确,采用上述比例控制律,在任意框架角情况下,成像跟踪过程中目标都应该以一条直线从初始位置运动到图像中央。
设系统控制增益 ku=kv=0.2 ,并假设二维指向镜的方位角为37°,俯仰角为14°,相机焦距50 mm,像元尺寸1 mm,初始目标偏离视场中心u方向20像元、v方向25像元。分别使用式(11)的完整解耦关系式、式(13)的简化形式和式(15)的线性化形式对轴角解耦实现成像跟踪控制。u方向和v方向的误差随时间曲线如图9所示。可以看出,使用本文解耦方法可以实现跟踪闭环的快速镇定,并且本文所提出的耦合关系简化和线性化方法所造成的镇定时间延长分别为0.019 s和0.024 s,对系统跟踪性能影响较小。
目标在焦面上的投影运动轨迹如图10所示,可以看出,使用完全解耦关系式时,目标沿连接初始位置与视场中心的直线回到视场中心,两向解耦关系正确。使用简化形式和线性化形式,目标轨迹与完全解偶的情况相比有小幅偏离。
从仿真结果看出,使用完全解耦能够实现精确的轴角解耦,但计算量较大。经线性化近似后,在小角度跟踪条件下,能够在不大幅影响镇定时间的前提下降低计算量,算法适合在数字计算机中实时运行。
5结论
本文给出了非传统反射镜跟踪系统的轴角控制速率方程,实现目标在图像上的运动指令解耦,可作为高性能反射镜跟踪控制系统的设计和性能分析依据。对推导结果进行了建模仿真,仿真结果验证了计算结果的正确性和近似方法的合理性。
系统方程 篇2
教学目标：
知识目标：掌握如何将参数方程化为普通方程；
能力目标：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法；
情感目标：
培养严密的逻辑思维习惯。
教学重点：参数方程化为普通方程
教学难点：普通方程与参数方程的等价性
教学过程：
一：复习引入：
课本第24页的例题2中求出点的轨迹的参数方程为：。
问题1：你能根据该参数方程直接判断点的轨迹图形吗？如果要判断点的轨迹图形，你有什么方法吗？
二：新课探究
1：问题2：结合前面的例子，从参数方程到普通方程有什么变化？你能从中得到什么启发？
2：试一试：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？
（1）（为参数）；
（2）（为参数）.3：例题讲解：
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？
4：问题3：将参数方程化为普通方程需要注意哪些要点？
5：变式练习：P26第4题
（1）（为参数）；
（2）（为参数）；
6：问题4：从以上例3和练习中你逐一能总结出消去参数的一些常用方法吗？
6：补充例题：
若直线（为参数）与直线垂直，则常数=________.7：变式练习：
（1）曲线的参数方程为，则曲线为（）.A．线段
B．双曲线的一支
C．圆弧
D．射线
（2）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数），圆的参数方程为（参数），则圆的圆心坐标为，圆心到直线的距离为。
三：课堂小结
（）
普通方程
参数方程
1:
2:
参数方程化为普通方程要注意哪些要点？
3:消去参数的一些常用方法:
四：作业
1：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。
（1）
（2）
(3)
2:（2008重庆模拟）若直线
与圆
参数方程与普通方程的互化 篇3
参数方程最初起源于力学及物理学，例如运动方程大都采用参数方程，其中参数t往往表示时间这一变量.高中数学中解析几何的核心思想是“用代数的方法研究几何问题”.在具体的问题解决中，“方程”的地位十分重要，运用代数方法通常是以“方程”为载体，“方程”架起了“代数”与“几何”之间的桥梁，从而使得解析几何变得如此丰富多彩.同学们在学习解析几何时，一定要认真理解每个曲线不同形式的方程，这是研究它们几何性质的基础.在直角坐标系下，曲线方程通常分为两大类：参数方程与普通方程.参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同的表达方式，它们在形式上、用途上、方法上各具特点又互相补充，研究它们之间的关系、实现它们之间的互化，有利于发挥它们彼此的长处，从而简化问题解决的过程.本文拟从互化的视角，以具体问题为例，介绍常见曲线的参数方程与普通方程的互化及其运用.
一、 两类方程互化的必然性及其策略
对于具体问题，有时我们要选择将一种曲线方程化为另一种曲线方程，简称“互化”.例如当点在曲线上任意运动时，我们常选择将普通方程化为参数方程来解决，这也是我们学习参数方程的主要目的，下文将重点阐述.而实际生活很多问题提炼的数学模型往往是参数方程的形式，例如物理学中的平抛运动，我们得到的是水平方向的位移、竖直方向的位移用时间表示的参数方程，如果要进一步研究其曲线时，我们就要将之化为普通方程.也有一些数学问题是由参数方程给出的，直接解决比较繁琐，必须将之转化为普通方程解决.例如：由参数方程x=cos θ+3,
y=sin θ(θ为参数）给出的曲线，很难发现其表示的曲线类型，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单.由参数方程可得：cos θ=x－3,
sin θ=y.因为sin2θ+cos2θ=1，所以x－32+y2=1，即表示的曲线是圆心（3，0），半径为1的圆.
将“参数方程”化为“普通方程”的过程本质上是“消参”，常见方法有三种：1．代入消参法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；2．三角消参法：利用三角恒等式消去参数；3．整体消参法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数.特别强调的是：“消参”仅仅是对代数式进行了简化，没有涉及到所消参数的范围，而两类方程中的变量x,y的范围必须相同，所以消参的同时一定要关注消参引起的“范围”变化.
例1
将下列参数方程化为普通方程：
（1）
x=t+1,
y=1－2t(t为参数）；（2）x=sin θ+cos θ,
y=1+sin 2θ(θ为参数）.
思
考通过两个例子，我们能体会到参数方程化为普通方程的注意点是哪些吗？
解
析
（1）因为x=t+1≥1，所以化为普通方程是y=－2x+3(x≥1).
这是以（1,1）为端点的一条射线（包括端点）.
（2）因为x=sin θ+cos θ=2sin(θ+π4)，所以x∈［－2,2］.
化为普通方程是x2=y,x∈［－2,2］.
评
注
上述例题我们很容易在转化过程中忽略变量的范围，如（1）中x=t+1≥1，(2)中x∈［－2,2］，因此在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.
例2
选择适当的参数，将下列普通方程化为参数方程：
（1）xy=9；（2）y2=x.
思
考选取的参数不同，同样的曲线方程写出来的参数方程是否一样呢？
解
析
（1）x=t,
y=9tt为参数;（2）x=t2,
y=tt为参数.
评
注
对于（1）的参数方程也可写成x=9t,
y=tt为参数，因此同一曲线的参数方程的形式可以不同，但（2）如果写成x=t,
y=tt为参数，则和原来的不等价，因为y≥0，只是y2=x的一部分.
因此，关于参数有几点说明：
① 参数是联系变数x,y的“桥梁”；
② 参数方程中参数可以是有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义；
③ 同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样；
④ 在实际问题中要确定参数的取值范围.
二、 参数方程的具体运用
1． 椭圆参数方程运用
若椭圆标准方程是x2a2+y2b2=1，其参数方程可设为：x=acos θ,
y=bsin θ(θ为参数），其中参数θ称为离心角.当点在椭圆上运动时，设点的坐标为(acos θ,bsin θ)，可以用一个变量θ表示点的两个坐标，体现了使用参数方程的优越性.
例3
已知A,B是椭圆x29+y24=1与坐标轴正半轴的两个交点，在椭圆第一象限的部分求一点P，使四边形OAPB的面积最大.
图1
解
析
设点P(3cos α,2sin α)，S△AOB面积一定，只需求S△ABP的最大值即可，即求点P到直线AB的距离最大值.
d=|6cos α+6sin α－6|22+32
=6132sin(π4+α)-1.
当α=π4时，d有最大值，此时面积最大，P坐标为(322,2).
评
注
如果不设参数方程，则必须设P点坐标，再利用点到直线的距离公式，这样处理比较困难.可以看出，关于点到直线距离的最值问题，借助椭圆参数方程，将椭圆上任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决，比用普通方程解决要方便一些.
2. 圆参数方程的运用
若圆的方程是x－a2+y－b2=r2，则其参数方程通常设为：x=a+rcos θ,
y=b+rsin θ(θ为参数），利用参数方程处理动点轨迹问题往往比较简单.
例4
如图2，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12,0），当点P在圆上运动时，线段PA中点M的轨迹是什么？
图2
解
析
设M(x,y)，圆x2+y2=16的参数方程为x=4cos θ,
y=4sin θ.
所以可设P(4cos θ,4sin θ)，由中点公式得M点轨迹方程为x=6+2cos θ,
y=2sin θ,再转化为普通方程得到：点M轨迹是以（6,0）为圆心，2为半径的圆.
评
注
也可利用普通方程解答：设M(x,y)，则P(2x－12,2y)，因为点P在圆x2+y2=16上，所以2x－122+2y2=16，即点M的轨迹方程为x－62+y2=4.
所以M的轨迹是以（6,0）为圆心，2为半径的圆.求轨迹方程时，参数方程也能展现出它的优越性，只需把动点的坐标分别用第三个量来表示即可.当然，如果想知道具体是怎样的曲线，还需化为普通方程来观察.
例5
已知点px,y是圆x2+y2－6x－4y+12=0上的点，求x+y的最值.
解
析
对于此题，我们可以通过两种方法的解答加以对比，从而体会参数方程的运用.
圆x2+y2－6x－4y+12=0，即x－32+y－22=1.
方法一：圆参数方程为x=3+cos θ,
y=2+sin θ,由于P点在圆上，可设P3+cos θ,2+cos θ.
x+y=3+cos θ+2+sin θ=5+2sinθ+π4，所以x+y最大值为5+2，最小值为5－2.
方法二：令x+y=z，因为圆x－32+y－22=1与直线x+y－z=0相切时，1=5－z2，所以z=5±2. 所以zmax=5+2 ，zmin=5－2.
故x+y最大值为5+2，最小值为5－2.
评
注
相比较而言，有关圆的问题，既可用参数方程，也可用普通方程解决，但对于椭圆，用参数方程解决要比较简单一点.
3. 直线参数方程的应用
如果直线经过点M0x0,y0，倾斜角为α的直线l的参数方程为 x=x0+tcos α,
y=y0+tsin α（t为参数），直线的参数方程中，它的形式、变量、常量要分清楚.
例如：x=3+tsin 20°,
y=tcos 20°（t为参数）倾斜角为70°.
又如：直线x+y－1=0的一个参数方程为x=1－22t,
y=22t（t为参数）.
直线的普通方程可以有若干个参数方程.
例6
已知直线l：x+y－1=0与抛物线y=x2交于A，B两点，求线段AB的长和点M－1,2到A，B的两点的距离之和.
思
考在学习直线的参数方程之前，我们会如何解决上述问题？
解
析
因直线l过点M－1,2,l的倾斜角为3π4，
所以它的参数方程为
x=－1+tcos3π4,
y=2+tsin3π4（t为参数），即x=－1－22t,
y=2+22t（t为参数） ①=1*GB3.
把①=1*GB3代入抛物线方程y=x2得t2+2t－2=0， 解得t1=－2+102，t2=－2－102.
由参数t的几何意义可得：AB=t1－t2=10， MA·MB=t1t2=2.
评
注
在学习直线的参数方程之前，我们会用如下方法解答：
由x+y－1=0,
y=x2得x2+x－1=0，解得x1=－1+52,
y1=3－52或x2=－1－52,
y2=3+52.
超越方程组求解喷淋系统阻力 篇4
以往我们在进行自动喷水灭火系统的水力计算时, 一般采用作用面积法或特性系数法, 为方便计算, 上述两种方法均有其计算假设, 与实际有所出入。下面我们针对几种计算方法做简要分析。
1 喷淋系统水力计算方法概述
1. 1 作用面积法
作用面积法是《自动喷水灭火系统设计规范》推荐的计算方法, 其根本的目的在于抑制一定面积下火灾的蔓延, 保证喷水强度不小于规范规定强度, 此处计算时假设作用面积内每只喷头的喷水量相同且均以最不利前喷头喷水量取值。此假设实际上减小了作用面积内的喷水量, 亦间接减小了喷淋系统的阻力。
1. 2 特性系数法
特性系数法是从系统设计的最不利点喷头开始, 沿程计算各喷头的压力、喷水量、管段累积流量、水头损失直至管段累积流量达到设计流量为止, 之后的管段流量不再累积, 只计算水头损失。此处假设在达到设计流量时, 喷头所保护的面积至少已经满足规范所规定的保护面积。此假设实际上很难满足实际的设计需要, 很大程度上受到建筑布局影响。
1. 3 超越方程组法
超越方程组法是在优先满足保护面积的前提条件下, 不做任何假设, 从系统最不利点喷头开始计算, 采用超越方程组沿程计算各喷头的压力、喷水量、管段累积流量、水头损失直至完成保护面积内所有喷头的计算为止, 保护面积之外的喷头不计算流量, 只计算水头损失。
2 房间布局及管道连接方式分析
2. 1 房间布局
上述三种方法都会受到房间布局及管道连接方式的影响, 但针对常规功能建筑, 常规布局, 中危险 Ⅰ 级所保护的面积为160 m2, 正方形布置喷头间最大间距3. 6 m, 距离墙边1. 8 m。按装修情况下普通石膏板吊顶布置下垂型喷头, 由图2 可知在最大距离布置下, 12 个喷头最大的保护面积为14. 4×10. 8 = 155. 52 m2, 而需要保护160 m2相应的作用面积, 则出现向长方向或向宽方向两个方向加长的变化。由图3 易知, 当宽方向加长时, 作用面积达到160 m2, 喷头数增加到最不利的16 只。且当喷淋系统的最不利点处在图3 的开敞空间时, 按规范要求开放的喷头数达到最不利的16 只。
2. 2 管道连接方式
由于不同的管道连接方式会造成沿程水头损失的不同, 在求解超越方程组的过程中, 每个喷头前后的边界条件不同, 得出的结果便会逐级变化, 影响最终结果。管道的连接方式往往由于主观原因而不同, 以图3 的喷头布置方式来讲, 会有大体上三种连接方式, 如图4 所示。在已知喷淋立管在本区域左侧方向时, 易知连接方式1 和连接方式2 所导致的管道计算当量长度是相同的且都小于连接方式3。管道连接方式3 主观的加长了最不利区域的管道当量长度, 虽然最不利区域后的干管长度有所减少, 但影响小于在最不利区域内产生的阻力。
3 最不利管段水力计算
首先在这里确定喷头的流量系数为K = 80, 最不利点处喷头的工作压力为0. 10 MPa, 喷淋系统需要保护的面积为160 m2, 作用面积内至少达到6 L/ ( min·m2) 的喷水强度。忽略各计算节点处由于喷头安装而使用的末端异径弯头和可能出现的延长管对计算结果的影响。据《美国工业防火手册》介绍: “经过实测, 自动喷水系统管道在使用20 年~ 25 年后, 其水头损失接近设计值[1], 及Hazen-Williams ( 海登—威廉) 公式结果”。在此沿程水头损失采取GB 50974—2014 消防给水及消火栓系统技术规范中10. 1. 2. 1 的方法[2]进行计算, 其相应公式如下:
其中, λ 值取自超越方程组的数值解, λ 采用迭代法计算; ε按镀锌钢管取0. 000 15; di为管道内径, 其值取管径减1 mm; ρ 为水的密度, 取999. 7 kg/m3; T为水温, 取10 ℃ 。
喷头的出流量公式为:
其中, K取80, 对于喷头a的P取0. 1 MPa, 得q = 80 L/min, 即4 /3 L/s。
计算过程中, 由于实际安装时使用到的弯头、三通等管件同样会产生相应阻力而影响计算结果, 我们这里采用当量长度法折算管件的影响, 其相应数据取自GB 50974—2014 表10. 1. 6-1。本案例中管段a-f的总当量长度为23. 6, 总水损25. 88 m; 管段a1-f的总当量长度18, 总水损23. 7 m, 无最不利点倒挂现象, 故节点a为最不利点。
由于最不利点压力已知, 管段a-f可以由式 ( 1) ~ 式 ( 6) 逐步计算直至节点f。对管段a1-f来讲, 这时我们已知节点f的压力, 各管段的管径及当量长度, 需要计算转输流量。此处我们需要建立24 元超越方程组 ( 本案例中每个管段和节点的节点流量q, 管段流量Q, 节点压力P, 管道流速v, 沿程损失阻力系数 λ, 水力坡度i均为未知数) , 利用MATLAB计算软件优化求解[3]方程组的数值解。得到转输流量后采用同样计算方法得出相应管段转输流量, 继续完成后续管段f-g, g-h及h-3 的计算得到节点g, h的压力。详细计算数据见表1。
由上述计算列表得出h-3 管段之后, 最不利流量认为恒定, 对应DN80 的i值为0. 590 921 2 m H2O / m; 对应DN100 的i值为0. 182 354 8 m H2O / m; 对应DN150 的i值为0. 022 087 4 m H2O / m。系统设计流量30.85 L/s, 系统的理论设计流量160×6/60=16 L/s, 区域内平均喷水强度30. 84×60 /160 = 11. 565 L/ ( min·m2) , 最不利点附近4 个喷头的平均喷水强度 ( 1. 33+1. 49+1. 47+1. 64) ×60 / ( 6.4×6. 25) = 8. 895 L / ( min·m2) 。
按原喷淋规范计算公式可得最不利点压力为0. 10 MPa时保护区域入口3 处的总流量为31. 44 L/s, 压力为67. 49 m H2O。对比后不难发现, 新公式的流量计算结果略小于原公式, 但水头损失减少10 余米。
4 超越方程组法计算
4. 1 末端压力对算法的影响
无论是作用面积法还是特性系数法, 其最不利点的压力由于其计算方式的限定都是以0. 1 MPa为基准进行计算的, 而实际不难看出, 仅此保护区内所需要的压力就超过了0. 5 MPa, 实际流量超过30 L/s, 平均喷水强度也达到了设计值的近2 倍。
根据设计要求, 我们应该满足保护区域内的平均喷水强度不低于设计喷水强度, 最不利点周围4 个喷头的平均喷水强度不低于设计喷水强度的85%[4]。又有GB 50084—2001 ( 2005 年版) 表5. 0. 1 内备注“系统最不利点处喷头的工作压力不应低于0. 05 MPa”的规定。此处取最不利点喷头保护半径1. 6 m计, 则最小压力值为[ ( 1. 6×2) 2× 6 /80]2/10 = 0. 058 98 MPa, 再进行计算, 计算结果见表2。
h-3 管段之后, 最不利流量认为恒定, 对应DN80 的i值为0. 352 318 1 m H2O / m; 对应DN100 的i值为0. 109 040 4 m H2O / m;对应DN150 的i值为0. 013 313 1 m H2O / m。实际喷水强度23. 75 ×6 /160 = 8. 9 L / ( min·m2) , 大于设计值。最不利点附近4 个喷头的平均喷水强度 ( 1. 02+1. 14+1. 13+1. 26) ×60/ ( 6. 4×6. 25) = 6. 825L / ( min·m2) , 满足设计要求。
按原喷淋规范计算公式可得最不利点压力为0. 589 8 MPa时保护区域入口3 处的总流量为24. 68 L/s, 压力为40. 92 m H2O。对比后仍然不难发现, 新公式的流量计算结果略小于原公式, 但水头损失减少约7 m。
故对于本文中的案例, 假设采取喷淋水泵直接从消防水池吸水的给水方式时, 则应选取的喷淋泵理论扬程为: Hb= Z + ∑hx+L150× 0. 013 313 1 + L100× 0. 109 040 4 + L80× 0. 352 318 1 +32. 28。 其中, Hb为水泵扬程; Z为喷淋最不利点高度与消防水池最低有效水位高度间的几何高差; ∑hx为水泵吸水口到最不利层水流指示器后的总水头损失 ( 包括信号阀及水流指示器) ; L150为最不利层水流指示器后到节点3 前DN150 的喷淋干管长度;L100为最不利层水流指示器后到节点3 前DN100 的喷淋干管长度; L80为最不利层水流指示器后到节点3 前DN80 的喷淋干管长度。水泵理论流量为23. 75 L/s。
4. 2 计算流程
对于超越方程组法, 有以下计算流程:
1) 确定实际工程的危险等级, 以及其对应所需要保护的面积和形状。
2) 明确保护区域内喷头位置和管道连接方式, 列出每段管道当量长度详表。
3) 确定最不利作用点, 根据其实际保护半径计算其最小所需压力, 但不小于0. 05 MPa。
4) 用顺序方法求解各管段参数至第一分叉点。
5) 列出超越方程组, 并利用计算工具求解第一分叉点另外一端的各管段参数。
6) 顺序计算至下一分叉点。
7) 重复第5) 步, 第6) 步直至完成保护区域内所有管段参数的计算。
8) 验证喷淋系统最不利点喷头开始作用时 ( 此处假定节点h之后到水流指示器的水头损失因流量变化而减小的部分忽略不计) , 其工作压力是否满足0. 1 MPa。
对于本文中讨论的情况, 有验证结果, 当火灾开始时, 最不利点处喷头工作压力为0. 206 MPa, 流量为1. 91 L/s, 满足喷淋试水要求。
5 实际工程设计中的相关问题及建议
5. 1 实际开放喷头数的影响
由于房屋造型多种多样, 最不利保护区域内开放喷头的数量受到房屋构型的影响可能出现最少需要13 个喷头的情况, 此时设计流量和喷水强度则会小于本文中所讨论的情况, 在设计计算过程中要注意喷水强度是否可以满足要求。
5. 2 非最不利层消防时的影响
非最不利层消防时, 由于减压孔板 ( 或减压阀组) 的局限性, 一般会使得压力比最不利层稍大, 此时实际喷水强度和喷水流量会大于设计值, 导致实际消防时间变小。此情况也与发生在最不利层的非最不利区域等效。
5. 3 末端压力选取对设计的影响
直接按0. 05 MPa计算及0. 10 MPa校核虽能满足火灾初期的喷水要求, 但其中在火灾末期其0. 05 MPa的工作压力并不一定能保证喷头的布置间距内水膜的全覆盖。当然, 此问题还与喷头布置高度、障碍物遮挡以及火灾发生位置有关。所以最佳办法是按喷头布置最不利间距先计算出末端所需压力, 再以此压力为基准完成计算和校验。
5. 4 工程设计计算时要注意的事项
超越方程组法虽能准确反映火灾时各喷头和管段的动作情况, 但是不可否认此方法的计算难度明显大于其他两种计算方法, 实际工程中还需要结合工程实际, 参照工程的性质及设计标准来选择较为合适的计算方法。
摘要：介绍了几种喷淋系统水力计算的方法, 对房间布局及管道连接方式进行了分析, 采用超越方程组法, 按最不利情况求解喷淋系统阻力, 研究了末端压力对算法的影响, 并阐述了超越方程组法的计算流程, 针对实际工程设计中存在的问题, 提出了相应的处理建议。
关键词：喷淋系统,水力计算,超越方程组
参考文献
[1]GB 50084—2001, 自动喷水灭火系统设计规范 (2005年版) [S].
[2]GB 50974—2014, 消防给水及消火栓系统技术规范[S].
[3]徐艳东, 孟晓刚.MATLAB函数库查询词典[M].北京:中国铁道出版社, 2005:429.
一元一次方程的分式方程练习题 篇5
2．分式方程 的解为
3．分式方程 的解为
4．若分式 的值为，则y＝
5．当x＝ 时，分式 与另一个分式 的倒数相等。6．当x＝ 时，分式 与 的值相等。7．若分式 与 的和为1，则x的值为
8．在x克水中加入a克盐，则盐水的浓度为
9．某公司去年产值为50万元，计划今年产值达到x万元，使去年的产值仅为去年与今年两年产值和的20%，依题意可列方程
10．AB两港之间的海上行程仅为s km，一艘轮船从A港出发顺水航行，以a km／h的速度到达B港，已知水流的速度为x km／h，则这艘轮船返回到A港所用的时间为 h。11．分式方程 的解为（）A． B． C． D．
12．对于分式方程 ,有以下说法:①最简公分母为(x－3)2；②转化为整式方程x＝2＋3，解得x＝5；③原方程的解为x＝3；④原方程无解，其中，正确说法的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1 13．对于公式，已知F，求。则公式变形的结果为（）A． B． C． D．
14．一个数与6的和的倒数，与这个数的倒数互为相反数，设这个数为x，列方程得（）A． B． C． D．
15．甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x个零件，列方程得（）A． B． C． D．
16．某面粉厂现在平均每小时比原计划多生产面粉330kg，已知现在生产面粉33000kg所需的时间和原计划生产23100kg面粉的时间相同，若设现在平均每小时生产面粉x kg，则根据题意，可以列出分式方程为（）
A． B．
C． D．
17．解方程。（1）（2）
18．一个工厂接了一个订单，加工生产720 t产品，预计每天生产48 t，就能按期交货，后来，由于市场行情变化，订货方要求提前5天完成，问：工厂应每天生产多少吨？
19．用价值100元的甲种涂料与价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料．其每千克售价比甲种涂料每千克售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多1元，求这种新涂料每千克的售价是多少元？
20．近几年高速公路建设有较大的发展，有力地促进了经济建设．欲修建的某高速公路要招标．现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，费用为120万元；若甲单独做20天后剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样所需费用110万元，问：（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少万元？
21．周末某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲、乙两组行进同一路程所用时间之比为2：3．（1）直接写出甲、乙两组行进速度之比．
（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有1．2 km，试求山脚到山顶的路程．
系统方程 篇6
关键词：解析几何；解析法；几何法
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）11-090-1
解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究几何图形的性质，即通过引进直角坐标系，建立点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，从而用代数方法研究几何问题。
苏教版高中数学必修2第二章《平面解析初步》以学生熟悉的直线、圆为模型，引导学生主动参与探索，通过在平面直角坐标系中建立直线与圆的方程，用坐标、方程等知识来刻画点、直线、圆等图形，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，逐步体会解析几何的基本思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
在解析几何教学中，教师一般通过如下过程引导学生：将几何问题代数话，用代数的语言描述几何问题及其关系，进而将几何问题转化成代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何意义；最终解决几何问题。
系统方程 篇7
如何建立力学系统的动力学方程是动力学中最古老且最基本的问题之一.自从17世纪牛顿发现动力学基本定律以来, 经过18, 19世纪欧拉, 达朗贝尔, 拉格朗日, 哈密顿, 高斯等著名数学力学家的努力, 现已发展出多种经典的动力学建模方法, 如动力学普遍方程, 第二类拉格朗日方程[1,2], 哈密尔顿原理, 高斯原理, Kane方程[3]等.这些方法基本上可以分为两类, 一类是典型的分析力学方法, 需要通过计算系统的某种动力学函数而得到系统的动力学方程, 如拉格朗日方程, 哈密尔顿原理;另一类方法虽也源于动力学普遍方程, 但其最终形式具有矢量力学的特点, 如Kane方程等.本文从虚位移形式的动力学普遍方程出发, 针对定常完整约束系统推导出一种用矩阵表示的伪线性形式的动力学方程, 这种方法无需计算系统的动力学函数, 只需写出质点系位置矢径与外力矢量的广义坐标表达式, 即可计算方程中的各系数矩阵, 从而得到系统的动力学方程.相比Kane方法, 本文所提出的方法在处理完整系统时更加简洁方便.
1 动力学方程的推导
假设一受到定常、完整约束的质点系, 其自由度数为N, 质点个数为n (n可为无穷大) , 用广义坐标表示的质点mi的矢径为ri=ri (q1, q2, ···, qN) , 理想约束反力为FNi, 非理想约束反力及主动力为Fi (i=1, 2, ···, n) , 则根据动力学普遍方程有
下面分别对式 (1) 两项进行简化.
首先对惯性力虚功进行简化
其中
其中
将式 (3) 代入式 (2) , 则惯性力虚功简化为
其次对主动力虚功 (含非理想约束反力) 进行简化
其中, 即为对应于广义坐标qj的广义力.
将式 (2) 与式 (8) 代入式 (1) 可得
由于系统为完整系统, 因此其广义虚位移前的各项系数皆应为零, 即
当j从1到N变化时, 式 (10) 可写成如下矩阵形式的动力学方程
其中
显然, 式 (14) 中的Qf也即分析力学中所定义的广义力.注意到方程 (11) 虽然表面看起来是广义坐标的线性微分方程, 但由于其系数矩阵一般并非常数矩阵, 而含有广义坐标参数, 因此该方程是动力学方程的伪线性矩阵形式.
由式 (12) ∼ (14) 可以看出, 动力学方程 (11) 中各系数矩阵中的元素仅与质点系的位置矢径及外力矢量有关, 只要写出位置矢径和外力矢量的广义坐标表达式, 即可代入矩阵进行求导和代数运算得到具体元素的广义坐标表达式, 最后再将所得各系数矩阵代入方程 (11) 即得到系统的动力学方程.同时可以看出, 这种方程不仅形式简洁, 而且计算格式整齐, 矩阵中各元素对广义坐标的求导顺序与矩阵的行列下标一致, 非常适合用计算机代数语言进行实现.对于一个具体系统而言, 只需输入质点系的各广义坐标表达式和外力矢量, 后面的数学方程推导过程则完全可由符号运算程序实现.因此, 这种矩阵形式的动力学方程为复杂系统动力学的计算机辅助建模提供了一种有效的途径, 也为计算动力学软件的开发提供了理论支撑, 因此具有潜在的工程应用价值.
2 算例
为验证本文所得到结果的正确性, 选取以下两个简单力学模型, 采用伪线性形式的动力学方程建立其数学模型.
算例1设铅垂面Oxy内一质量为m的滑块套在一作定轴转动的长度为l的杆上, 物块距离转轴的距离为ρ, 外力偶矩为Tθ, 杆的转角为θ, 不计杆的质量, 如图1所示.试建立其动力学方程.
显然, 系统的广义坐标为q1=ρ, q2=θ, 则质点个数n=1, 系统自由度N=2, 质点位置矢径的广义坐标表达式及其导数分别为
外力矢量则为F1=0-mgT
根据式 (12) ∼ (14) 计算可得
由式 (11) 得到系统的运动微分方程
算例2如果算例1中杆为质量为m1的均质杆, 其相对于转轴O的转动惯量为Jo, 杆的质量为m1, 滑块的质量为m2, 其他条件完全相同, 如图2所示, 试建立该系统的动力学方程.
此时广义坐标仍为q1=ρ和q2=θ, 且N=2, 但此时杆为分布质量体系, 因此n=∞.令r1表示滑块的矢径, ri (i=2, 3, ···) 表示杆上距离转轴为ξi的微元的矢径, 则
外力矢量则为
根据式 (12) ∼ (14) 可得到
由式 (11) 得到系统的运动微分方程
在以上两个例子中, 如果进一步进行运动学分析, 并与所得矩阵形式动力学方程中各项进行比较, 可以发现矩阵形式动力学方程广义坐标二阶导数项包含的是相对惯性力及切向牵连惯性力信息, 而一阶导数项包含的是法向牵连惯性力及柯氏惯性力的信息, 因此伪线性矩阵形式的动力学方程事实上已经将不同性质的惯性力进行了分离, 在某种程度上反应了系统的物理意义.可以断定, 这种物理意义也是具有一定普遍性的, 说明矩阵形式动力学方程虽来源于分析力学方法, 但也体现出某种程度牛顿力学的特点.
3 结论
对定常完整约束系统, 从虚位移形式的动力学普遍方程出发, 推导出一种用矩阵形式表示的动力学方程.这种方程在形式上是线性的, 但由于系数矩阵一般含有系统变量, 因此本质上是非线性系统的伪线性表达式.此外, 这种伪线性形式的方程不需要计算系统的动力学函数, 而仅仅利用质点系位置矢径与外力矢量的广义坐标及即可直接计算方程中的各系数矩阵, 从而得到系统的动力学方程, 为定常完整力学系统的动力学建模提供了一种新的方法.又由于该方程系数矩阵中各元素的表达式格式整齐, 因此也适于用计算机代数语言 (如Maple) 进行程式化推导, 为复杂力学系统的计算机辅助建模提供了一种途径.方程的正确性通过两个算例进行了验证, 所得结果也表明伪线性矩阵形式的动力学方程的二阶导数项与一阶导数项含有不同的惯性力, 即在普遍意义已将系统不同物理意义的惯性力进行了分离, 体现出矩阵形式动力学方程虽来源于分析力学方法, 但也有某种程度牛顿力学的特点.
参考文献
[1]官飞, 李苹, 罗远祥.理论力学 (第4版) .北京:高等教育出版社, 1995
[2]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学 (第7版) .北京:高等教育出版社, 2010
系统方程 篇8
山东半岛蓝色经济区旅游资源和旅游产业要素高度聚集、旅游经济规模较大、发展速度快, 旅游经济年均增长率达到20.73%。2012年山东半岛7个城市国际旅游外汇收入和入境旅游人次分别达到20.12亿美元和299.7万人次, 分别是山东省总量的68.80%和63.78%, 已成为山东省旅游业发达地区和区域旅游格局的核心地区。然而, 半岛地区旅游业在快速发展、游客规模不断激增的同时, 旅游环境承载要素增多且关系日趋复杂, 沿海城市岸线旅游功能开发无序、产业定位不合理、环境污染等使旅游环境承载压力日益突出。因此, 深入探讨旅游环境复合承载系统之间的互动耦合和协调发展的作用机制, 对提升旅游环境综合承载力, 推动半岛地区旅游业的可持续发展具有重要的理论价值和现实意义。
学术界对旅游环境承载力的理论分析及其应用研究逐步深入和丰富。国外学者对旅游环境承载力的研究起步较早, 在Lime、Stankey对旅游环境承载力进行深入分析后, 旅游环境承载力研究的广度和深度逐步加大。国内对旅游环境承载力的研究起步较晚, 20世纪80年代赵红红等[2]率先对旅游环境承载力的概念进行了介绍;保继刚[3]等国内学者开始对旅游环境承载力的概念、测度方法、构成系统、旅游环境容量等内容进行了较系统深入的研究。我国对旅游环境承载力测度方法的研究成果较丰富, 张广海等[4]、刘伟[5]和刘佳[6]在建立旅游环境承载力评价指标体系的基础上, 提出旅游环境可持续承载度的概念和测量模型;郑晖等[7]分别通过生态足迹和生态承载力方法对甘肃省人均生态足迹、人均生态承载力和人均生态赤字进行了动态分析。总体看, 绝大多数研究重视各子系统对旅游环境承载力综合系统的作用, 但对旅游环境承载子系统之间的作用机理研究相对不足。本文构建了旅游环境承载力的评价体系, 在对各个子系统之间耦合关系进行测算的基础上, 运用结构方程模型对旅游环境承载系统的整体演化过程进行分析, 提出相关对策建议, 为实现半岛地区旅游环境承载子系统均衡发展和整体承载能力的提升提供科学依据和决策支持。
1 指标选取、评价模型与研究方法
1.1 指标体系与数据来源
旅游环境承载系统是由旅游生态、旅游经济、旅游社会等环境承载子系统及其要素构成的复合系统。其中, 旅游生态环境承载子系统是半岛地区旅游发展得以实现的基本条件, 反映的是地区旅游资源状况及其生态质量;旅游社会环境承载子系统反映的是地区发展旅游业依靠的社会环境承载与发展能力;旅游经济环境承载子系统反映了半岛地区对其旅游业发展的经济承载能力, 旅游经济的提升必定会依赖于旅游环境资源, 同时也会对旅游资源产生影响。本文根据半岛地区旅游资源类型与特点、经济发展基础和人们生活方式对半岛地区旅游业的影响, 构建旅游环境承载力评价体系, 见表1。
旅游资源规模反映的是旅游资源的总体规模, 本文采用半岛地区国家A级以上景区个数来表征;旅游资源品味度反映的是旅游资源的价值, 采用国家4A和5A级旅游景区个数加以表征;旅游资源知名度反映的是旅游者对旅游资源的认可度, 在此利用中文三大搜索引擎百度、雅虎和谷歌分别搜索关键词“XX年+XX城市旅游”, 计算出三大引擎的网页篇数的平均值而获得。游客密度反映了旅游者的心理感觉, 游客密度增加, 游客的心理压力也随之增加, 其计算方式为旅游人数除以当地人口。依据数据的可获得性、准确性、可比性等原则, 选取的相关指标数据来源于2002—2012年《山东统计年鉴》、《中国城市统计年鉴》和《山东旅游统计便览》。
1.2 评价模型与研究方法
耦合度模型:为了初步研究旅游环境承载力各子系统间的相互关系, 将物理学中的耦合概念引入到本文, 耦合是指两个 (或两个以上的) 系统或运动形式通过各种相互作用而彼此影响的现象[8]。从协同学的角度看, 耦合作用和耦合程度决定了系统在达到临界区域时由无序走向有序的趋势[9]。本文中它描述了环境承载力各子系统之间通过各自的耦合因素彼此产生相互作用的程度。耦合度c的计算公式为:。式中, i=1, 2, 3;E1、E2、E3分别为旅游生态、旅游经济和旅游社会环境承载子系统的评价值;ai为表1中三级指标权重值;xi为第i个指标的标准化值;Ei值越大, 代表这个承载子系统的承载能力越强, 反之同理。耦合度c的取值范围为0—1, 值越大, 耦合性越好, 反之相互作用越小。
结构方程模型:结构方程模型 (Structural Equation Model, SEM) 是一种基于变量原始数据协方差矩阵分析变量之间关系的统计方法, 综合了回归分析、方差分析、确认因子分析、路径分析等多种统计数据分析工具, 能用来揭示多个自变量与多个因变量之间复杂交错的因果关系[10]。结构方程模型一般分为结构模型和测量模型, 结构模型反映了各个潜变量 (不能被直接地精确观测) 之间的关系, 测量模型反映的是各潜变量与观察变量 (又叫可测变量) 之间的关系, 其中观察变量含有误差项, 而结构变量不含误差项。从表1可知, 三大子系统层的各构成要素ηi与ζi是即为SEM方程中的“潜在变量”, Yn和Xn为SEM中决定每个潜在变量的可测变量。结构方程模型的运行过程包括模型设定、模型识别、模型求解、模型修正、模型评价和模型解释。为了考察模型的适当性和参数估计值的合理性, 通常会在模型求解后通过若干指标 (CMIN、DF、CMINDF、GFI等) 对模型拟合程度进行评估, 若模型能拟合样本数据, 表明模型成立, 否则应进行修正, 直至符合拟合指标要求。结构方程模型能为研究旅游环境承载力各子系统间的作用关系提供新的研究思路。
2 旅游环境承载系统耦合作用的时空演化特征
根据表1中的评价体系以及综合指数加权模型, 分别测算出半岛地区旅游环境承载力各子系统的承载指数, 根据耦合度模型以及2002年、2006年和2011年三个时间截面的旅游环境承载子系统的承载指数, 测算得出半岛地区旅游环境承载系统中两两子系统之间的耦合度, 结果见图1。
由图1 (上) 可知, 半岛各城市旅游生态环境承载指数逐年上升, 且差距逐年加大。青岛依据自身滨海特色和政府对环境质量的重视, 其旅游生态环境承载指数变化趋势明显, 一直处于各城市前列。潍坊积极应对生态危机, 其旅游生态环境承载能力增长趋势显著。滨州和东营的旅游生态环境承载能力仍有待提高。旅游经济环境承载子系统的发展趋势与旅游生态环境承载力较一致, 青岛呈增长趋势, 且排名第一, 滨州和东营的经济承载能力具有较大的提升空间。在旅游社会环境承载子系统方面, 各城市的承载力逐年增长, 且差距越为显著, 各城市承载力排名与其他两子系统的承载力排名一致。综上所述, 半岛地区各城市的旅游生态、旅游经济与旅游社会承载子系统的承载能力增长趋势具有同步性, 表明两两之间具有一定的关系。
从图1 (下) 可知, 旅游生态与旅游经济两承载子系统之间的耦合程度处于中等水平, 即抗耦合时期, 表明旅游生态与旅游经济环境承载力有所提升, 两者之间的影响开始显现。从时间变化来看, 两系统间耦合度逐渐上升的有青岛和滨州, 东营和潍坊呈现稳定状态, 烟台、威海和日照有所下降。从截面来看, 威海、日照两个子系统间作用较不明显;旅游经济与旅游社会承载子系统间的耦合程度也处于中等水平, 两者之间开始相互作用;从时间变化上看, 潍坊之外的城市两子系统之间作用逐渐明显。从截面来看, 青岛、东营、烟台、潍坊和滨州两系统正处于相互磨合阶段, 区域经济呈现多核心的结构特征;旅游生态与旅游社会承载子系统间的耦合程度相对较高, 处于系统良性耦合阶段, 表明两系统间开始相互磨合。从时间变化上看, 青岛、潍坊和滨州两子系统间影响较为稳定, 其他城市两系统耦合到现在开始呈现相互作用状态。从截面来看, 7个城市中两系统的相互作用程度相近。
3 旅游环境承载系统动态拟合与关联作用机制
3.1 基于结构方程模型系统关联、作用机制研究假设
根据上述分析可知, 半岛地区旅游环境承载子系统两两之间存在相互联系、互为因果的关系。这三个子系统对总体系统的作用可能是通过影响其他子系统而最终改变旅游环境承载力整体系统的运行状态。本文采用结构方程理论, 进一步揭示旅游环境承载力各子系统内部构成要素之间的作用关系。从表1可见, 在旅游环境承载系统的动态运转中, 由人构成的旅游社会承载子系统的变化为整体系统发生改变和发展的根本原因, 将直接或间接地对滨海旅游经济承载子系统的发展产生影响, 同时它也会对旅游生态承载子系统产生影响。结合上述分析和结构方程理论, 提出研究假设: (1) 旅游环境资源条件对旅游经济规模、旅游环境生态状况具有直接正路径影响; (2) 旅游环境生态状况对旅游经济压力具有直接正路径影响; (3) 旅游社会生活条件对旅游社会压力、旅游经济规模状况、旅游经济压力、旅游环境生态状况有直接正相关关系; (4) 旅游社会压力对旅游经济压力、旅游环境资源条件有直接正相关关系。在假设基础上, 建立结构方程模型的初步构想, 其中所涉及的6个潜变量包含旅游资源条件、旅游生态压力、社会生活条件和旅游社会压力4个自变量, 旅游经济规模和旅游经济压力两个因变量。
3.2 结构方程模型检验、拟合估计与模型修正
信度检验是结构方程模型对所用指标原始数据稳定性与一致性的检验, 主要反映原始数据内部之间的关系, 考证各项指标数据能否表达相同内容及其特征, 如指标数据选取合理, 数据一致性高[11]。本文采用衡量数据内部一致性方法 (Cronbach's Alpha) 来反映原始数据的信度, Cronbach's Alpha系数值大于0.7为高信度, 0.5为最低能被接受的信度值。信度检验结果显示, 子系统各要素的Cronbach's Alpha检验结果均在0.6以上, 整个系统的Cronbach's Alpha达到了0.84, 表明6个潜变量数据可靠性较高, 能进行半岛旅游环境承载力子系统各要素之间作用机理的拟合分析。
选取半岛7个城市2002—2011年6个潜变量的面板数据样本, 导入AMOS16.0软件中进行拟合运算, 结果见图2。本文采用CMIN/DF、RMR、GFI、CFI和IFI对结构方程模型的拟合度进行评价, 当2
由于概念模型构建或者数据收集上存在着一定的偏差, 结构方程的验证过程中需要多次修正才可能达到想要的效果。在模型修正时, 首先应考虑增列同一测量模型观察变量误差项间的协方差, 其次分析增列同为外因潜在变量不同测量模型的观察变量误差项间的协方差。遵照此原则, 对原模型进行逐步修正。因素负荷量值介于0.50—0.95之间, 表明结构方程模型的基本适配度良好[12]。从图2可知, 在6大要素间的载荷上, 旅游总收入 (X8) 因子负荷量超过了1;而在潜在因子间的关系上, 旅游社会压力和旅游经济压力的关系为-1.05, 生态压力对经济压力的关系达到2.27, 旅游社会条件和旅游生态压力关系达到1.39。对以上潜在因子间的作用路径, 可用CR的显著性来判定路径系数。从结果可以得知, 旅游资源条件对旅游生态压力、旅游生态压力对旅游经济压力、旅游社会条件对旅游经济压力、旅游社会压力对旅游经济压力作用路径系数所对应的CR和P值不显著, 即没有通过|CR|<1.96、P<0.05的拟合要求, 因此将这4条路径删除, 得出修正后的结构方程模型拟合图, (图3) 。由图3可知, CMIN/DF的值达到2.638>2, GFI、CFI、IFI均大于0.8, 表明模型拟合效果较好, 满足了最初的假设条件。
注:CMIN/DF=2.638, RMR=0.083, GFI=0.816, CFI=0.934, IFI=0.935。
3.3 蓝色经济区旅游环境承载系统关联机制分析
由图3可知, 旅游社会条件与旅游生态压力、旅游社会压力关系较密切, 载荷为0.94和0.98, 但对旅游经济规模的影响一般, 载荷为0.42, 表明随着外出旅游者人数增加, 给旅游资源和游客满意度带来了较大压力, 而旅游者人均消费有限, 使旅游经济规模的扩大受到限制。旅游社会压力对半岛地区资源条件的负荷系数为0.94, 表明游客人数增多给当地居民和旅游者带来了心理压力, 从侧面反映出旅游资源含量丰富, 对旅游者的吸引力增大。旅游资源条件与旅游经济规模的关系密切, 载荷为0.52, 半岛地区大力发展旅游业, 使旅游收入逐渐增长, 且占GDP比重也显著提高。由于半岛自身条件的限制, 在整个旅游环境承载系统运行过程中旅游资源条件对旅游生态压力、旅游生态压力对旅游经济压力、旅游社会条件对旅游经济压力、旅游社会压力对旅游经济压力作用不显著。
就各子系统关系而言, 半岛地区旅游社会环境承载子系统对旅游经济环境承载子系统的作用可分为直接和间接作用, 直接作用表现在本地旅游者人数增多, 给本地区带来的经济压力远远大于经济规模的提升, 这是由于旅游地对地区经济社会发展过于乐观, 忽视对地区经济压力的关注, GDP快速增长的背后是更多的资源投入和消耗。间接作用是指通过旅游生态承载子系统而起的作用, 半岛地区旅游生态环境承载子系统与旅游经济环境承载子系统间呈正相关关系, 社会进步和环境破坏带来的种种影响, 人们较重视环境保护与经济增长方式的转变, 经济的可持续发展必须要以环境的可持续发展为前提。环境污染和破坏会引发自然灾害, 给地区经济和旅游业带来直接损失, 经济发展也需要旅游环境提供各项资源, 而旅游环境承载力增加, 必然会带来经济规模增加和经济压力增大。
4 主要结论
本文采用综合指数模型、耦合度模型和结构方程模型理论, 对山东半岛蓝色经济区旅游环境各个承载子系统之间的作用机制进行系统分析, 研究表明: (1) 半岛地区7个城市各子系统的承载指数均呈增长态势, 且表现出显著的空间承载差异, 其中青岛、烟台、威海各子系统承载水平较高, 滨州各项承载指标均较低。 (2) 旅游环境各承载子系统之间存在相互耦合作用, 协调发展水平稳步上升。 (3) 旅游生态环境子系统对旅游经济环境承载子系统产生显著正影响, 旅游社会环境承载子系统不仅能直接作用于旅游经济环境承载子系统, 还能通过旅游生态环境承载子系统对旅游经济承载子系统产生正向影响力。因此, 为促进山东半岛蓝色经济区旅游环境综合承载能力和系统协调发展水平的稳步上升, 不仅要考虑各子系统对综合承载系统的影响, 还要考虑到各个承载子系统之间的相互关系, 以及旅游环境承载系统内部的动态演进过程。应积极提高旅游环境保护意识, 经济增长方式由粗放型转为集约型, 使旅游社会环境承载子系统对旅游经济环境承载子系统逐渐产生正向影响关系。为保证旅游经济环境承载力的稳定提升, 应对旅游生态环境承载力进行巩固与加强, 这不仅需要生态环境承载子系统自身的调节, 也需要旅游社会承载子系统及其要素的相应调整。总之, 在旅游业发展过程中应不断深化半岛旅游生态环境承载系统的基础作用, 加强旅游经济环境承载子系统的经济支撑能力和导向作用, 夯实旅游社会环境承载子系统的载体作用, 实现旅游生态、经济和社会环境子系统的协调、互动与融合, 以期推动山东半岛蓝色经济旅游业持续、稳定和快速发展。
参考文献
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[11]AMOS步步教程[EB/OL].http:/wenku.baidu.com/view/68eabele650e52ea551898af.html, 2011, 9, 10.
系统方程 篇9
高等职业教育是国民教育中高等教育的重要组成部分, 高职教育以培养面向生产、管理、服务等一线工作的高级技能型、应用型人才为基础, 培养的学生应具备熟练的职业技能, 走上工作岗位后具有持续的发展能力, 还应具有系统、扎实的专业应用知识。在职业教育课程教学改革的大潮中, 传统的数学教育正在向以培养学生数学素质为宗旨的能力教育转变。《常微分方程》课程是数学与应用数学专业开设的一门专业基础课, 它为相关的后继课程奠定了坚实基础。在高职数学教学改革的背景下, 高职数学中的常微分方程教学也要进行合理的改革, 使之更符合高职教育目标。
工作过程系统化是当前职教课改中的重要思想, 它关注人才的实践性和可持续发展的可能, 这在社会各行业高速发展的今天尤为重要。对于像数学类这种知识结构非常明确、每一个问题都指向一个成型的原理和公式的课程, 是不是天生就是学科体系、结果导向的呢, 我们是否可以基于数学学科的严谨的逻辑思维模式建构过程导向体系呢?针对《常微分方程》课程, 我们实施工作过程系统化的课程开发, 利用建模式数学教学的思想与构思, 对本课程进行教学改革的探讨与实践, 并取得良好教学效果。
二、教学改革举措
通过认真研究, 分析当前常微分方程的症结所在;重新建构课程体系, 不基于教材、打破以往教学模式, 以建模思想为主, 建构任务驱动模式, 完成课程开发。我们不是要将知识和任务进行简单的划分或累加, 而是要在熟悉相关知识的基础上学会综合性的分析与应用。建模是用数学研究已知世界、探索未知世界的重要方法, 数学本身的理论体系也是在认识世界的过程中逐步构建的。当我们面对一些纷繁复杂的客观问题时, 往往可以建立数学模型, 解决问题或找到解决问题的最佳方案。体现了数学建模思想在本课程的应用;模块式教学与知识点的融合;学生在任务驱动模式下的学习自主性开发。
我们努力探索适应新时期学生培养和教学改革的教学运行管理体制、机制、方法及手段、改革评价体制、提高常微分方程教学的整体质量。在微分方程模块中, 引入跟踪模型 (变量分离法) , RL串联电路 (线性微分方程和常数变易法) , 探照等反光镜 (变量替换法) , 使得用初等积分法求解常微分方程变得有声有色。
在课程的实践部分, 课程实施应坚持与专业模块相统一的任务驱动, 改变我们的教学模式, 贯彻以建模式为主的数学教学。在讲授常微分方程模型时, 强调如何用数学语言描述和简化实际问题, 利用了什么原理建立了模型, 如何求解和应用模型分析实际问题, 即“实际问题→常微分方程→求解→结果分析→模型改进→实际应用”的全过程, 使学生不仅掌握方程求解知识, 更重要的是建构方程解决问题的能力。
基于课程评价:评价知识能力和相关能力两个方面。虽然获得知识能力是学习的重要目标, 但就整个实践过程来讲它只是起点。评价将重在运用知识解决任务的过程和在过程中积累的经验、教训、思考等, 即在建模式思想的教学中, 模型的评价和再思考也是一个重点。
三、教学改革展望
在社会发展对人才的专业化要求更高, 更强调人们探索世界、解决不能预知结果的任务的本领而不是已经掌握了多少知识的今天, 工作过程系统化思想在教育中的价值得到了体现与重视。基于常微分方程这门课程, 我们讲授的不是一本教材, 而是一种教学设计, 一种课程设计, 它的载体比教材更丰富, 它的应用比知识更广泛。针对本门课程的研究思想将有利于数学专业的其他学科的教学改革。
当然, 教育的使命比课堂更深远, 那就是:培养具有较好的应用能力, 具有很好的发展前景的数学人。
摘要：本文结合职业教育院校教学改革形式, 针对常微分方程课程教学与评价中存在的问题, 以工作过程系统化思想为基础, 进行教学改革, 以完成学生在任务驱动模式下的学习自主性开发。针对本门课程的研究思想将有利于数学专业的其他学科的教学改革。
关键词：高等职业教育,工作过程系统化,常微分方程
参考文献
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[3]程国华.常微分方程教学体系改革初探[J].科教文汇 (下旬刊) , 2011 (04) .
系统方程 篇10
本文研究了非线性分数阶发展方程耦合系统的非局部柯西问题
这里0<p, q<1, cDp, cDq是两个分数阶导数, f, g:[0, ∞) ×E→E]和w:C ([0, ∞) ×E) →E是已知的满足假设条件的函数, u0, v0是Banach空间E中的元素.
Oldham和Spanier[1]中系统的陈述了分数阶微分方程的应用, 详细请参阅Miller和Ross[2]和Kilbas等人的[3]
分数阶微分方程耦合系统的研究是相当重要的, 很多人做了研究参阅参考[4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14].最近, Fang[15]研究了非线性分数阶微分方程奇耦合系统正解的存在性.Su[16]讨论了分数阶微分方程耦合系统边界值问题.Ahmad和Nieto[17]研究了三点边界问题的分数阶微分方程耦合系统存在性结果.
在本文中, 假设E是范数为|·|的Banach空间.令JR, C (J, E) 是从J到E, 范数为的连续函数Banach空间, 这里x∈C (J, E) .
对于E上的任意强连续半群 (即C0半群) {T (t) }t≥0, 在E上定义算子:
其定义域D (A) 是所有E上极限存在的x集合, 且是稠密的, A是闭的, 详情请参阅[13].
1预备知识
在本节中, 我们将介绍文中涉及到的空间、基本定义及用到的引理 (详见[18])
设B (E) 是E到E范数为||Q||B (E) =sup{|Q (u) |:|u|=1}的所有有界线性算子构成的空间, 这里Q∈B (E) , u∈E.全文中, 设A是E中一致有界算子C0半群{T (t) }t≥0上的无穷小生成元.明显的,
定义1.1函数的次数为α, 极限为0的分数阶积分定义如下:
假设右边是定义在[0, ∞) 上的点态, 其中Γ (·) 是gamma函数.
定义1.2下界为0的阶数为α函数f∈AC[0, ∞) 的Riemann-Liouville导数能够被写为:
定义:1.3阶数为α函数f∈AC[0, ∞) 的Caputo导数表示为:
注记1.1 (1) 如果f (t) ∈C1[0, ∞) , 则:
(2) 常数的Caputo导数等于0;
(3) 如果f是值域在E的抽象函数, 则:1.1—1.3中积分定义是在Bochner意义下得到的.
假设JR, 1≤p≤∞, 对于可测函数m:J→R, 定义范数
其中上的Lebesgue测度.令Lp (J, R) 是所有范数||·||LpJ<∞的Lebesgue可测函数m:J→R构成的Babach空间.
引理1.1 (H觟lder不等式) 如果|H|是Lebesgue可积的, 则可测函数H:[0, a]→E是Bochner可积的.
引理1.2 (Bochner'定理) 如果|H|是Lebesgue可积的, 则可测函数H:[0, 1]→E是Bochner可积的.
引理1.3 (Schauder不动点定理) 如果B是Banach空间E中的有界闭凸子集, F:B→B完全连续, 那么F在B内有一个不动点.
2主要结果
定义空间X={u (t) |u (t) ∈C ([0, 1], E) }和Y={v (t) |v (t) ∈C ([0, 1], E) }.依据[15]中的结论, X和Y是Banach空间.
对 (u, v) ∈X×Y令
显然 (X×Y, ||·||X×Y) 是一个Banach空间.
基于以上的论证, 给出方程组 (1.1) mild解的定义.
定义2.1若非局部的柯西问题 (1.1) 的解 (u, v) ∈X×Y满足下式:
称 (u, v) 是方程组 (1.1) 的mild解.
定义算子F:X×Y→X×Y,
其中
对任意的常数k, 设:
显然Uk在Banach空间X×Y中是有界闭凸子集.
在证明主要结果之前, 先介绍下面的假设.
(H1) 对任意t>0, T (t) 是一个紧算子;
(H2) 对每个t∈[0, 1]函数f (t, ·) :X→X和g (t, ·) :Y→Y是连续的, 任意 (u, v) ∈X×Y函数f (·, u) :[0, 1]→E和g (·, v) :[0, 1]→E是强可测的;
(H3) 对所有的 (u, v) ∈X×Y和几乎所有t∈[0, 1], 存在常数p1∈[0, p) 和q1∈[0, q) , 使得|f (t, u) |≤m1 (t) 和|g (t, v) |≤m2 (t) 成立;
(H4) w:C ([0, 1], E) →E是一致连续, 以及对所有x∈C ([0, 1], E) , 存在正常数L1, L2使得|w (x) |≤L1||x||+L2.
以下非局部柯西问题 (1) 的存在性结果是以Schauder不动点定理为基础.
定理1
定理2.1如果 (H1) - (H4) 满足, ML<1, 那么方程组 (1) 有mild解.
证明:对任意 (u, v) ∈Uk, 由于, 于是:
直接计算得到, 当t∈[0, 1]和p1∈[0, p) , 令:
利用引理:1.1 (Hlder不等式) 和 (H3) , 当t∈[0, 1], 得到:
类似的, 有:
因此, 对所有t∈[0, 1], 当s∈[0, t], |0∫∞θ (t-s) p-1hp (θ) T ( (t-s) pθ) f (s, v (s) ) dθ和0∫∞θ (t-s) q-1hq (θ) T ( (t-s) qθ) f (s, v (s) ) dθ|是Lebesgue可积的.由引理1.2 (Bochner'定理) , 对所有的t∈[0, 1], s∈[0, t], 可知0∫∞ (t-s) p-1hp (θ) T ( (t-s) pθ) f (s, v (s) ) dθ和0∫∞θ (t-s) q-1hq (θ) T ( (t-s) qθ) f (s, v (s) ) dθ是Bochner可积的.
接下来用Schauder不动点定理, 证明结果.
定义
其中
观察, Uk1显然是Banach空间X×Y中的有界闭的凸子集.
下面分两部分证明F在Uk1内有一个不动点.
第一步:F:Uk1→Uk1.
对所有的 (u, v) ∈Uk1和t∈[0, 1], 有:
类似的, 有:
因此, 对所有的 (u, v) ∈Uk1, 有F:Uk1→Uk1.
第二步:F是全连续算子.
因此, 推断出:
另一方面, 当t∈[0, 1]
即F1是连续的.同样的, 得到F2也是连续的.也就是, 算子F:Uk1→Uk1是连续的.
其次, 证明{F (u, v) , (u, v) ∈Uk1}是相对紧的.这就可以证明函数族{F (u, v) , (u, v) ∈Uk1}是一致有界和同等连续的.
对任意 (u, v) ∈Uk1有||F1v||≤k1, ||F2u||≤k1, 从而||F (u, v) ||≤k1.因此{F (u, v) , (u, v) ∈Uk1}是一致有界的.在下文中, 将证{F (u, v) , (u, v) ∈Uk1}是同等连续函数族.
对每个 (u, v) ∈Uk, 0≤t1<t2≤1, 得到:
其中:
运用 (11) 和 (12) 式中类似的证明, 得到:
当t1=0, 0<t2≤1, 很容易得到I3=0.当t1>0, ε>0足够小, 当θ∈ (0, ∞) , 有:
由于 (H1) 表明T (t) (t>0) 连续, 推断出F1是同等连续的.类似的F2也是同等连续的, 因此, F (Uk1) 是同等连续的.当t2-t1→0, 与 (u, v) ∈Uk1无关, | (F1v) (t1) - (F1v) (t2) |趋近于零.这意味着{F (u, v) , (u, v) ∈Uk1}是同等连续的.
方程发展史 篇11
（一） 属于算术方面的材料
大约在3 000年以前，中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中. 乘除的运算规则在后来的《孙子算经》（公元3世纪）内有了详细的记载. 中国古代是用筹来计数的，在我们古代人民的计数中，已利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示个位数、百位数、万位数等，用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显地表现出来. 《孙子算经》用十六字来表明它，“一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当”.
和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早. 乘法表中国古代叫“九九”，估计在2 500年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以“九九”来代表数学. 现在我们还能看到汉代遗留下来的木简（公元前1世纪）上面写有九九的乘法口诀.
现有的史料指出，中国古代数学书《九章算术》（公元1世纪前后）的分数运算法则是世界上分数运算方面最早的文献，《九章算术》的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样.
古代学习算术也从量的衡量开始认识分数，《孙子算经》（公元3世纪）和《夏侯阳算经》（公元6、7世纪）在论述分数之前都开始讲度量衡，《夏侯阳算经》卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等. ”这种以十的方幂来表示位率无疑的也是中国最早发现的.
在我国，小数很早就开始使用. 元朝（公元13世纪）时，刘瑾在《律吕成书》中提出了世界上最早的小数表示法，他把小数部分降低一格来表示. 如13.56作13 56. 公元3世纪《孙子算经》的物不知数题发展到宋朝秦九韶（公元1247年）的大衍求一术，这就是中国剩余定理，相同的方法欧洲在19世纪才进行研究.
宋朝杨辉所著的书中（公元1274年）有一个1-300以内的因数表，例如297用“三因加一损一”来代表，就是说，297=3×11×9，（“11=10+1”叫加一，“9=10-1”叫损一）. 杨辉还用“连身加”这名词来说明201-300以内的质数.
（二） 属于代数方面的材料
从《九章算术》卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了领先的地位.
《九章算术》方程章首先解释正负是确切不移的，正像我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容.
我们古代记载的方程在公元前1世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种. 一元二次方程是借用几何图形而得到证明. 不定方程的出现在两千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年. 具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中国在公元7世纪的唐代王孝通《缉古算经》已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答（可惜原解法失传了），不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金.
11世纪的贾宪已发明了和霍纳（1786～1837）方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记13世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献.
在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不提中国天元术的简洁明了. 四元术是天元术发展的必然产物.
级数是古老的东西，两千多年前的《周髀算经》和《九章算术》都谈到算术级数和几何级数. 14世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的一些发现，欧洲在18、19世纪的著作内才有记录. 11世纪时，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法.
历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的.
内插法的计算，中国可上溯到6世纪的刘焯，并且7世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算.
14世纪以前，属于代数方面的许多问题的研究，中国是先进国家之一.
18、19世纪由李锐（1773～1817），汪莱（1768～1813）到李善兰（1811～1882），他们在这一方面的研究也都发表了很多的名著.
11世纪，阿拉伯的阿尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根.
11世纪，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书《代数学》.
11世纪中叶，中国宋朝的贾宪在《黄帝九章算术细草》中，创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，并列出了二项式定理系数表，这是现代“组合数学”的早期发现. 后人所称的“杨辉三角”即指此法.
12世纪，印度的拜斯迦罗著《立刺瓦提》一书，是东方算术和计算方面的重要著作.
1202年，意大利的斐波那契发表《计算之书》，把印度—阿拉伯记数法介绍到西方.
1247年，中国宋朝的秦九韶著《数书九章》共十八卷，推广了“增乘开方法”. 书中提出的联立一次同余式的解法，比西方早五百七十余年.
1248年，中国宋朝的李治著《测圆海镜》十二卷，这是第一部系统论述“天元术”的著作.
1261年，中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》，用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和.
1274年，中国宋朝的杨辉发表《乘除通变本末》，叙述“九归”捷法，介绍了筹算乘除的各种运算法.
1280年，元朝《授时历》用招差法编制日月的方位表（中国王恂、郭守敬等）.
14世纪中叶前，中国开始应用珠算盘.
1303年，中国元朝的朱世杰著《四元玉鉴》三卷，把“天元术”推广为“四元术”.
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，早在公元前2000年左右，居住在底格里斯河和幼发拉底河的古巴比伦人已经能解一些一元二次方程. 而在中国，《九章算术》“勾股”章中就有一题：“今有户，高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”之后的丢番图（古代希腊数学家）、欧几里得（古代希腊数学家）、赵爽、张遂、杨辉对一元二次方程的贡献更大.
系统方程 篇12
现代电网运行工况复杂、难以预测。为提高计算速度,单纯地采用简化模型或改进算法无法取得突破性进展[1],为此,并行计算成为了解决此类问题的有效途径之一。
大部分电力系统并行计算都是针对稀疏线性方程组进行的。对于粗粒度并行结构而言,将线性方程组的系 数矩阵划 分为分块 对角加边 形式(BBDF),是提高并行计算效率的有效方法。文献[2-3]先把电力系统分割为若干联系松散的区域,再对各区域进行并行计算。文献[4-5]研究了电力系统潮流及暂态稳定计算的并行化方法。文献[6-7]在个人计算机(PC)机群下利用上述算法实现了暂态稳定的并行计算,主要是对方程组的求解过程实现了多机的并行化,并获得了显著的加速效果。近年来,多核CPU架构成为 总体的发 展趋势,文献[8]对此进行了研究,并在4核CPU机器上获得了3倍左右的加速效果。
并行体系架构的革新,使得把多个核心集成于同一块芯片上、以数量来弥补速度的不足成为可能。多核CPU架构是其 中的一种,众核图形 处理器(GPU)架构是另 一种。统一 计算设备 架构(computeunifieddevicearchitecture,CUDA)的问世,使得GPU具备了通用计算的能力,为大型电力系统并行计 算提供了 新的途径。 文献 [9-10]在CPU-GPU混合架构下,用稳定的双共轭梯度法实现了大型电力系统暂态稳定的超实时仿真计算。文献 [11]利用GPU以及广义 最小残差 方法(GMRES)实现了电力系统暂态稳定仿真计算,且在系统规模较大时取得了一定的成效。文献[12]利用GPU实现了基于隐式梯形积分的机电暂态稳定仿真计算。
对于大规模稀疏线性方程组并行求解问题,若采用BBDF划分方法,则在众核GPU架构下,BBDF划分是否仍能够胜任细粒度的并行结构,需要进一步研究与探讨;若采用迭代法,虽然非常适合于众核GPU架构,但预处理的选择问题却很难解决;若采用直接法,则虽然不存在难收敛的问题,但在CPU-GPU混合架构下,如何处理方程组的稀疏性,又是一个值得研究的问题。
为了解决这2个问题,本文首先论证了先排序BBDF划分方法对于细粒度并行计算的可行性,其次,利用GPU的线程块(block)和线程(thread)并行特性,对具有粗/细粒度两层并行结构的线性方程组,提出了面向稀疏线性方程组的直接求解方法。
1众核 GPU 并行环境介绍
NVIDIA公司在2007年推出了CUDA,使GPU能够用于 图像处理 以外的一 般计算。其 与CPU主要的区别在于,CPU拥有较少的核心数目,但功能强大;而GPU每个核心的处理能力不强,但一个芯片上能汇集众多的核心,如图1所示。
CUDA技术的程序执行模型如图2所示[11],其从硬件上支持两层的并行结构:线程和线程块。各个线程块间可以并行地执行,但相互之间不能高效地进行通信,可以形成粗粒度的并行。而同一线程块内的不同线程可共享内存,实现线程间同步,形成细粒度的并行。本文针对电力系统仿真计算的特点,研究基于线程块和线程上的并行,形成线程块间的粗粒度并行和线程间的细粒度并行。图2中,线程块和线程均以2维予以展示,分别用Block(i,j)(i=0,1,2;j=0,1)和Thread(i,j)(i=0,1,2,3;j=0,1,2)表示。但实际上采用1维、2维均可。
2电力系统仿真计算并行方案
考虑到电力系统有其特殊的稀疏结构,因此,直接采用针对满阵的求解方法[13],抑或是基于稠密分块的多波前方法[14],都是不合适的。
本节以暂态稳定计算为例,对电力系统仿真计算的并行方案进行简要介绍后,给出了基于先排序的BBDF划分方法能够应用于粗/细粒度并行结构的依据,然后介绍 了所提方 法的原理 和技术实现细节。
2.1电力系统仿真计算的并行方案概述
图3为用于暂态稳定计算的数学模型框架[15]。
系统中的绝大部分动态元件都是相互独立的,仅通过电力网络连接形成统一的整体。系统的数学模型可以描述 为如下一 般形式的 微分—代数方 程组:
式中:x为微分方程组中描述系统动态特性的状态变量;y为系统的代数变量。
常规解法有交替求解法和联立求解法。本文采用的是交替迭代求解法。但无论采取何种策略,在求解过程中都会形成大规模稀疏线性方程组,研究重点都是一致的(具体分析见附录A)。
2.2并行方案分析
对于粗粒度并行计算,首先要将方程组的系数矩阵A划分为形如式(3)的BBDF[2,3,4,6,8]。
式(3)的物理意义在于:将原始节点集合划分为若干互不关联的子集合和一个规模较小的联系节点集合(见图4)。其中,联系节点集合对应BBDF中的边界块Acc,各子集合对应BBDF中的对角块Aii,i=1,2,…,k。
一般观点认为,这种方法不适合于众核GPU。其原因在于,为了能够充分利用GPU的众多核心,需要将节点集合分为数量足够多的子集合,这会导致联系节点集合的规模急剧增大。然而,对于先排序的BBDF划分,事实却并非如此,具体分析如下。
假设已采用了最小度最小深度(MDML)法[16]对所有节点进行了重排序。由于所需要的子集合较多,故采用文献[8]提及的分区方法进行集合划分。在多核CPU环境下,子集合的个数Q一般取为2至4。但对于GPU来说,所需要的Q较大。以3872条母线系统为例,测试不同分区数对联系节点集合的影响,如图5所示,具体数字参考附录B。
曲线符合对数特征。对该曲线进行对 数拟合后,得到以下结果:
式中:Q为分区数;Y为联系节点集合所占百分比。
式(4)对图5曲线拟合程度较好,联系节点集合规模增加趋向平缓。当分区数为64时,联系节点集合仅占2%。因此,对大规模系统使用先排序BBDF方法将节点集合划分为几十个子集,是可行的。
2.3暂态稳定并行计算的具体设计
根据前文的研究,并将其应用到电力系统的暂态稳定分析中,可确定如下的计算方案:由CPU进行逻辑复杂的前期处理,在形成大规模稀疏方程组后,交由GPU进行方程的求解。以交替求解法为例,算法流程如图6所示,联立求解法类似。
图6中解算网 络方程的 具体流程 见图7。图7(a)为CPU并行处理 的流程,作为参考。图7(b)为本文的研究,不同于CPU,其额外拥有两步“数据”处理的操作,其原因为CPU与GPU拥有不同的内存空间,需要对其数据进行同步处理。
对于非解方程部分,其并行化则相对较为简单。由于各元件对系统的影响都较为独立,可以简单地分配到众多的核心中进行求解,具体参考 附录C。因此,仿真中并行化的难点在于前文重点分析的大规模稀疏线性方程组的求解。本文在进行因子分解时,根据GPU的特点,制定出以下两层并行结构。
1)线程块层面的并行结构
根据式(3),每个的因子分解相互独立,其可以交由GPU的多个线程块进行处理。然而与文献[8]类似,此时由于每个线程块之间不能简单地交互数据,故暂时不能修正由每个Aii因子分解时对Acc的影响,而只修正了Aci和Aic。此过程利用了GPU的线程块特性,实现了对方程组求解的粗粒度并行。
2)线程层面的并行结构
在每个线程块的因子化过程中,可派生多个线程对其进行并行化,实现细粒度的并行。为简单起见,以下面5阶的矩阵a为例说明。
在第i步,包含归一化和秩一修正2个过程。
归一化过程:i=1时,需要对a12,a14,a15进行归一化,其相互是没有关联性的。在实际操作过程当中,可以开辟32条线程。当需要归一化的元素个数少于32个时,某些线程实质上不需要进行操作。当元素个数多于32个时,某些线程会串行地对不止一个元素进行归一化。下文开辟多线程也类似处理。
秩一修正过程:i=1时,实际上需要进行处理的元素是a22,a24,a25,a42,a44,a45,a52,a54,a55。这些元素处于归一化时a12,a14,a15所在的列(第2,4,5列)与第2,4,5行的相交位置。而其他位置的元素无论其是否非零元,均不会受到影响。而需要修正的这些元素之间并不存在依赖关系,也可以实现线程级别的并行。
当i=1处理完毕时,以同样的策略处理i=2,3,…,直到处理完毕所有的行。此过程利用了GPU的线程特性,实现了对方程组求解的细粒度并行。
上述过程实现了对式(3)中各个子块的因子化。当每个分块处理完毕后,需要对Acc进行修正:
Acc 中的每个元素的修正均是独立的,可以同样地通过开辟 多个线程 进行处理。Acc修正完毕后,需要对Acc,new进行因子化,过程与之前每个分块的方法一致,这里不再重复。
当因子化过程完成以后,进入前代回 代过程。与因子化过程一样,前代也可以形成两层的并行。
1)线程块层面的并行:式(3)的每个对角块交由GPU的一个线程块处理。
2)线程层面的并行:同样以式(5)为例,假设右端项为[b1,b2,b3,b4,b5]T。当i=1时,首先对b1进行归一化处理,b2,b4,b5可以并行地进行修正。当i=2时,对b2进行归一化处理,而后b4,b5可以并行地进行修正。需要注意的是,此过程的修正仅针对Aii,i=1,2,…,k;对于边界系统,需要额外处理。
上述过程完成后,需要研究[Ac1,Ac2,…,Ack]对右端项的影响。由于此矩阵中的第i行会且只会影响到右端项对应的bi,因此可为受到影响的每个bi 开辟一个线程,进行并行处理。回代过程与之类似。因子化过 程和前代 回代过程 分别见附 录D图D1和图D2。
为了能够充分利用GPU的性能,实现过程中应尽量保证CUDA核心处于满负荷计算状态。在图D1所示的过程中多线程块多线程区域,共开辟了32×k条线程同时执行。在2.2节中已经予以说明,k可以取为较大的数值,且保持联系节点集合的规模在可以 接受的范 围内。若k>30,则32k>960,已经超过了CUDA核心的数目(本文测试环境GTX570为480个核心),足以给各个核心分配一定的计算量。这也是即便要付出增加联系系统规模的代价下,也要划分众多子网的原因。对于具体的某个CUDA核心,在某个分区不需要它的时候,可以由另外的分区 进行调用,以消除等 待时间。由于GPU可以在不同线程间几乎零延时地进行切换(即一个CUDA核心可以在不同线程间来回切换,而不需要额外的时钟周期),因此较多的线程可以在一定程度上均衡CUDA核心的计算量。
综上所述,本文结合GPU运行环境实现了两层并行结构的方法,实现了大规模稀疏线性方程组在GPU中的求解,并应用到电力系统暂态稳定计算中。
3算例测试与分析
3.1仿真环境及技术指标
本文使用VisualStudio2012作为开发 环境,nVidiaCUDAToolkit5.5作为GPU开发工具,采用C++及CUDA语言分别编写了运行于CPU上串行暂态计算程序和基于GPU的并行暂态计算程序。两种程序采用相同算法框架,并且都应用稀疏存储技术,区别在于线性方程组求解过程是在CPU还是GPU上进行。硬 件平台如 下:CPU为intelCorei52320/3 GHz,内存8 GB;GPU为nVidiaGeforceGTX570,运行环境MicrosoftWindows8.1x64。
主要测试算例参数见表1,其中7800案例为利用IEEE300系统倍增26倍形成,7744系统为利用3872系统倍增形 成。初始潮流 收敛且系 统稳定。微分方程采用改进欧拉法求解,代数方程采用高斯消元法直接求解,整体采用交替求解法。故障设定为某母线出线端发生三相接地短路,延时切除故障。计算步长为0.005s,数据采用双精度。
本文主要考察程序进行并行化后的效率提升,并用式(7)所示的加速比技术指标来表示。
3.2计算结果与分析
3.2.1计算参数设置及结果
由于在GPU上可调参数较多,例如分区个数、GPU上开辟的线程块数目、每个线程块内的线程数等均可调整,因此本文首先通过一系列的测试,确定参数的设置,具体设置见附录D。对于多线程块多线程区域每个线程块开辟32条线程、单线程块多线程区域开辟1024条线程能 够获得最 优的加速 效果。在此基础上,表2显示了不同分区数对结果的影响。
由于本文的设定为一个分区(即一个对角块)由GPU的一个线程块进行处理,因此表中的结果也即为线程块个数的设定。对多个案例测试的经验结果表明,分区个数(N为方程的总维数)时能够获得最优的效果。此时,每个分区的维数约为在上述设置下,联系系统的规模与各个子网的规模相差不大,前者约为单个后者的80%~90%。测试中发现,联系系统的运算时间(包括各个子网对联系系统的修正过程)大约为全部子网运算时间的50% ~60%,比重较大,因此再继续增大联系系统的规模就会影响并行效率。
根据以上结果,本文对测试案例进行分区时主要采取的设置参数如表3所示。
注:指导阈值为文献[8]分区方法的参数设置,即前驱节点数超过此值的节点,直接纳入到联系系统。
本文使用微软的VC编译器和英伟达的NVCC编译器分别进行了测试,结果如表4和表5所示。表4中,“GPU”指图7中由GPU进行的部分内容,其中包括了数据同步部分(即表5中的通信部分);“CPU”表示图7(a)部分内容,形成了与GPU部分的对照程序;“共同”则表示图6中为除网络方程求解外的其他内容,GPU程序和CPU对照程序均使用此部分内容,在计算加速比时将扣除此共同时间后再予以比较。
注:1四个案例仿真的总时长不一样,不可横向比较;2 共同及CPU 部分由 VC编译,GPU 部分由 NVCC编译。
注:GPU 部分扣除了通信时间。
从表4的结果可以看出,随着系统规模的增大,加速比的效率也随之增加,目前规模下可达3.84;在同等矩阵规模下,已经明显优于使用广义最小残差迭代法(GMRES)结合GPU所带来的加速比[11]。表5给出了各个案例下数据同步(即CPU、GPU内存间通信)所占据时间的比例,一般在50%~60%左右。若扣除此部分时间,只考察GPU和CPU在解稀疏方程组的加速效果,加速比则能够达到8以上。但在应用过程中,同步时间是必要的,表4的数据更具参考价值。
3.2.2计算结果分析
结合理论方法以及测试结果,具体分析如下所示。
1)经过预处理后,矩阵形成如式 (3)所示的形式;为每个对角块分配一个线程块,同时为每个线程块分配了32个线程,形成了两层的并行结构。结合稀疏技术后,每个CUDA核心仍可 以满负荷 地运行,充分发挥了GPU的性能,并获得了 良好的效果。
而在联系节点集合的处理上,由于其相对比较稠密,根据文献 [13],也能够有 效发挥GPU的作用。
2)本文最大的 加速比为3.84,小于文献 [1213]中的加速比。文献[12]使用判断某处是否为非零元素进行处理,相当于系数矩阵为满阵,本文采用此方法进行测试,结果如表6所示。表中时间为不同运行环境下,执行一次暂态稳定计算所耗时长。
从表6可以看出,结合满阵技术,在矩阵规模较小时已经能够有较高的加速比,但计算时间过长,远劣于应用稀疏技术时的结果,已经失去了加速的意义。此外,当使用满阵时,用于CPU和GPU之间的数据同步时间将会大大地增加,表6及文献[12]结果均表明,超过50%的解方程组时间将用于数据同步。当系统规模较大时,传输时间将增大到不可忍受的程度,且GPU将不足以一次性存下所有的数据。满阵的研究成果不可直接用于电力系统计算分析,因此也造成了暂态稳定并行计算的加速比比满阵研究结果稍差。
3)在硬件环境上,本文的GTX570对双精度的支持并不好。表7给出了CPU和GPU硬件特性比较[11]。
对于CPU,从单精度到双精度,浮点运算速度只下降了一半,但对于GTX570来说,下降为原来的1/8。如果GTX570的双精度性能能够达到与CPU一样,为单精度的1/2,理论上本文的加速比可在现有基础上再提升2倍以上,达到7~8倍的加速比。事实上,已经有高端的显卡Quadro6000能够做到这一点。
4)在理论上,直接法求解方程组的方法也制约了GPU的性能,在许多步 骤上出现 了“三角形 问题”,例如:假设需要对式(8)进行前代。
完成对a11的归一化后,可开辟4个线程对第2至5行进行秩一修正;但对a44归一化后,仅能开辟1个线程对第5行进行修正,即某些时刻只有少数的线程进行计算。由于单个CUDA核心的性能是远差于单个的CPU核心,因此这将会造成加速比的严重下降,拖累了整体的加速效果。此问题覆盖了因子分解和前代回代的大部分步骤,造成加速比低于理论上限。
本文的研究结果表明,尽管存在一些瓶颈,但利用了GPU实现求解电力系统中线性方程组的直接法后,在电力系统暂态稳定计算中依然能够有较好的加速效果,目前的测试环境下能够达到3~4倍的加速。当技术发展到目前高端水平的显卡能够普及时,加速比可望达到7~8倍。
4结语
本文在分析电力系统计算中大规模线性方程组的稀疏特点后,提出了稀疏线性方程组直接求解法在GPU上的并行化实现方法,形成了粗粒度和细粒度的两层并行结构,分别利用GPU的线程块应用到电力系统计算中。通过算例分析验证了方法的有效性。分析结果表明,目前在一般配置的电脑上已有3~4倍的加速效果,优于GMRES等迭代法在GPU上的效率提升,且远低于理论的上限值,存在着较大的改进空间;当矩阵规模扩大时,加速比提升更为显著,具有良好的发展前景。
向上海交通大学国家能源智能电网(上海)研发中心提供良好的科研条件表示感谢。
附录见本 刊网络版 (http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。
摘要：针对电力系统大规模线性方程组的稀疏特点,提出了基于图形处理器(GPU)的直接求解方法。该方法首先利用基于先排序的分块对角加边形式(BBDF)划分方法对方程组系数矩阵进行分割,形成具有粗粒度和细粒度两层并行结构的线性方程组,然后利用GPU的线程块和线程并行特性对其分别予以求解。将上述方法应用到电力系统暂态稳定计算中,并对其加速效果进行了测试。测试结果表明,在目前普及的设备上,所提方法可获得3~4倍的加速比;在高端设备上,能够获得7~8倍的加速比。