广义估计方程（共4篇）
广义估计方程 篇1
节点电压分析法[1]是一种规范且系统的电路分析方法,规范是指一组关于节点电压的方程建立有规可循,或者说算法明晰,易于掌握和应用,系统是指虽然解变量不是支路电压和支路电流,但当求得了各独立节点电压后,可以十分方便地求得支路电压和支路电流。但是,当电路中含有无伴独立电压源和受控电压源支路(后文统称无伴电压源支路)时,往往需要引入辅助解变量方能完整地应用节点电压分析法进行分析,这不仅增加了解变量和方程的数目和求解难度,而且也破坏了节点电压分析法的规范性。针对这一问题文献[2,3,4,5,6,7,8,9]进行了分析和研究,提出了具有建设性的改进方法和思路,但是缺乏系统的理论分析和论证,也没有形成与基本节点电压分析法相统一的分析方程建立算法。针对上述问题,本文在文献[10]的基础上通过理论分析与论证,引入广义节点并归纳和建立与其对应的分析方程建立算法。理论分析和算例表明,本文提出的广义节点方程建立算法及其电路分析方法,是对现有节点电压分析法的引申和完善,对解决含有无伴电压源支路的电路问题是十分有效的。
1 广义节点及其方程建立算法分析[10]
图1所示为含有电压源支路的一个电路的局部。尽管任何元件与电压源的并联最终等效为该电压源本身,但为了方便后面的分析及问题的一般性,在这里给电压源并接上一个电导和一个电流源。
若用节点电压分析法建立关于节点j和k的方程,则需设定电压源支路的电流。设电压源支路的电流为iu,根据节点电压分析法,节点j和k的节点电压方程分别为:
若将两式相加,则:
若将连接于节点j和k之间的所有电导支路的总电导记为G0,如图1所示,一端仅接于广义节点内节点j的所有电导支路的总电导记为Gj,一端仅接于广义节点内节点k的所有电导支路的总电导记为Gk,则:
故:
若将连接于节点j和k之间的电流源支路的总电流记为is,如图1所示,一端仅接于节点j且流入节点j的所有电流源支路电流代数和记为isj0,一端仅接于节点k且流入节点k的所有电流源支路电流代数和记为isk0,则:
故:
将式(4)、式(5)代入式(3),得:
此时,式(6)可以认为是广义节点电压方程。
显然,跨接在广义节点内两个节点间的电导、电流源对广义节点电压方程的建立没有影响。既然如此,也可以将它们纳入广义节点内。
由式(6)总结出图1所示广义节点方程的建立规范如下:
(1)自电导。它指即广义节点内各节点电压变量的系数,等于相应节点与广义网孔外所有节点间共有电导支路上电导的总和,其值为正。以图1为例,节点电压uj的系数等于Gj,节点电压uk的系数等于Gk。
(2)互电导。它指即广义节点外其他节点电压变量的系数,等于相应节点与广义节点内每一节点间共有的电导支路上电导总和的负值,其值为负。以图1为例,第m个节点电压um(m≠j,k)的系数等于Gjm+Gkm。
(3)广义节点总电流源电流。它指流入广义节点中电流源电流的代数和,流入广义节点为正,流出为负。
尽管没有引入辅助解变量,但由于节点方程减少了,必须添加辅助方程方能求解。辅助方程为广义节点内节点电压与电压源电压间的关系式。
2 算法讨论和推广
分两种常见的情况对上述结果与结论进行讨论和推广,如下:
(1)情况1:两个电压源支路依次相连接,如图2所示。设两电压源均为已知的独立源。
将节点j,k,l及连接3个节点中任意两个节点的电导与电流源看作一个广义节点。一端仅接于广义节点内节点j,k,l中所有电导支路的总电导依次记为Gj,Gk和Gl,三者中均不包含3个节点相互之间电导支路上的电导,即不包含G01,G02和G03;一端仅接于节点j,k,l且流入节点j,k,l的所有电流源支路电流代数和依次记为isj,isk和isl,且三者中均不包含相互之间电流源支路上的电流,即不包含is1,is2和is3。
由节点电压分析法,3个节点的节点方程依次为:
以上三式相加并整理得:
式(10)即为图2所示广义节点方程。显然,该方程的建立算法与前面总结出的算法完全一致。可以推理出,若有两个及其以上的电压源支路按图2的方式依次首尾连接,则这些电压源支路的所有端节点及连接于其中任意两个电压源、电导和电流源就构成了一个广义节点,与该广义节点对应的节点方程按前述算法即可建立。
(2)情况2:3个电压源支路共点相连接,如图3所示。设3个电压源均为已知的独立源。
从前面两种情形的分析可以得出,跨接在广义节点内任意两个节点间的电导、电流源对广义节点电压方程的建立没有影响,同时任何元件与电压的并联最终等效为该电压源本身,既然如此,后面的讨论中不再考虑。
在图3中有4个节点,即j,k,l,m,若在用节点电压分析法分析时,参考节点不在其中,在各种参数的符号标记与前面相同的情况下,这4个节点的节点电压方程依次为:
以上四式相加并整理得:
式(15)记为图3所示广义节点的方程。显然,该方程的建立算法与前面总结出的算法完全一致。同样可以推理出,若有3个及其以上的电压源支路按图3的方式共节点连接,则这些电压源支路的所有端节点就构成了一个广义节点,与该广义节点对应的节点方程按前述算法即可建立。
综合以上两种情况可以推理得出,在探讨广义节点方程的建立问题时,可将广义节点定义为广义节点是由若干相连接的独立电压源支路、受控电压源支路及其端节点,以及跨接在任意两个端节点间的电导、电流源构成的,是一个完整电路的局部。
3 算例
算例1:求图4所示电路中2 A电流源的输出功率[4]。
解:选择如图4所示的参考节点,则独立节点有6个,分别记为n1,n2,n3,n4,n5和n6,记包含节点n2,n3和n6的广义节点为g。
按照节点和广义节点方程建立算法,列写节点方程:
辅助方程:
联立求解得:
计算2 A电流源的输出功率为:
2 A电流源的功率小于零,则为其释放功率。
算例2:列写图5所示电路的分析方程,并求解20Ω电阻的端电压uk及20Ω电阻支路的电流iR[4]。
解:选择200 V电压源的负极端节点为参考节点,则独立节点有4个,分别记为:n1,n2,n3,n4。其中,n2,n3,n4包含在广义节点g中,如图5所示。
由于节点n1的节点电压已知,故只需对广义节点g列写节点电压方程。
按照节点和广义节点方程建立算法,列写节点电压方程:
辅助方程:
联立求解得:un1=200 V,un2≈109.1 V,un3≈-254.5 V,un4≈145.5 V
则:
对包含无伴独立电压源、受控电压源支路的电路问题,采用节点电压分析法分析时,往往需要引入辅助解变量方能建立起完整的分析方程,但从两个算例可见,引入广义节点及其节点方程建立算法,则不需增加辅助解变量,且一个广义节点的节点方程可以等价于其内所有节点方程的代数和,解变量及方程总数减少。尽管仍需添加一定数量的辅助方程,但相对节点方程的列写而言十分简单。因此,引入广义节点及其节点方程建立算法,对解决含有无伴电压源支路的电路问题是行之有效的。
4结语
从本文给出的算法可见,广义节点方程的建立算法与一般节点方程的建立算法基本一致,因此,确保了节点电压分析法的规范性和一致性,易于学习、掌握和应用。尽管是局限于电阻电路来探讨的,但同样适合于应用节点电压分析法分析正弦稳态电路或其他变换域电路时所遇到的同样问题。
摘要：通过引入由若干互连的无伴电压源支路及其端节点组成的广义节点,采用节点分析法和加减消元法,探究广义节点方程的建立规范和方法,建立了广义节点方程建立算法,解决了用节点电压分析法分析含有无伴电压源支路电路时所遇到的困难,确保了节点电压分析法的规范性和一致性,并可使所列节点电压方程尽量减少。理论分析和实例表明,这里提出的算法对于解决含有无伴电压源支路的电路具有很大的优越性。
关键词：节点电压分析法,无伴电压源,广义节点方程,算法
参考文献
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广义估计方程 篇2
证明了一类广义Boussinesq型方程Cauchy问题整体解的存在性与唯一性,并给出解在有限时刻爆破的`充分条件.
作 者：王艳萍 郭柏灵 WANG Yanping GUO Boling 作者单位：王艳萍,WANG Yanping(郑州航空工业管理学院数理系,郑州,450015;应用物理与计算数学研究所,北京,100088)
郭柏灵,GUO Boling(应用物理与计算数学研究所,北京,100088)
广义估计方程 篇3
设A=A(x)是一个定义在Rn上的复L∞系数的n阶方阵,且满足一致性椭圆条件:存在用L表示二阶散度型椭圆算子,即Lf=-div(Af).设0<β<n利用算子的谱理论,算子L的β阶广义分数次积分定义为
容易看出,当L=-Δ时,L-β2就是经典的β阶分数次积分算子.给定函数b(x),由L-β2和b(x)生成的广义分数次积分交换子[b,L-β2]定义为
分数次积分算子是分析数学中一类非常重要的算子,并且它的Hardy-Littlewood-Sobolev型不等式在偏微分方程等领域的研究中也发挥着关键作用.分数次积分及其交换子的研究取得了丰富的研究成果,例如参见综合文章[1]及其中的参考文献.本文的主要目的是研究与二阶散度型椭圆算子L相关的广义分数次积分算子与BMO函数生成的交换子在加权Lebesgue空间上的有界性.我们首先回顾Muckenhoupt权[2,3].设1<p<∞如果对任意的方体Q,成立
那么称ω∈Ap.设1<p1,p2<∞,我们称ω∈A(p1,p2)是指
容易知道
设f∈L1loc(Rn),如果
那么称f∈BMO(Rn).这里,Q为Rn中的方体,
用pt(x,y)表示解析半群的热核,我们知道当A是实矩阵,或者A是n≤2的复矩阵或者当n≥3时是Hlders连续时,pt(x,y)具有Gaussian上界,即成立.
本文主要结果如下.
定理设满足(4)式,b∈BMO,到从加权上的有界算子,即存在常数C>0,使得
证明由文献[4],我们有
其中
注意到在定理条件下,算子的具有下面加权有界性结果[4]
所以,根据Hardy-Littlewood极大函数的(p,p)型不等式和(5)式,我们有
其中,
广义估计方程 篇4
随着电力电子技术飞速发展,各种敏感、变频设备在电力系统中的广泛应用,电压暂降问题现已成为威胁设备安全和正常稳定运行的严重动态电能质量问题。即使短时电压暂降也可能引发敏感设备故障或停运,造成重大的经济损失[1]。本文主要采用电压暂降频次[2]作为指标来准确刻画和估计电网中电压暂降信息。
母线节点上安装电能质量监测仪可直接记录此节点发生的电压暂降频次,但出于经济性考虑,为使电网建设成本最小化,优化配置后电网中监测仪安装的数量变得有限[3,4,5,6],如何利用监测节点发生的电压暂降频次来准确估计未装监测设备母线节点的暂降频次,进而获得整个电网的电压暂降信息,是一项具有重要现实意义的研究课题[7,8,9]。
系统故障受网络拓扑、故障类型、故障点、故障阻抗、变压器接线方式等多种不确定性因素影响,增加了评估难度。现有方法主要分两类: 基于实测的统计分析法[6,8,9,10]和基于随 机建模的 随机估计法[7,8,9]。实测统计法合理的精确度需要很长的测量周期,需要安装监测设备,成本较高,且统计故障率易受天气因素、绝缘子污秽程度以及人为因素等外界影响[11]。随机估计法主要分临界距离法和随机故障点法[9]。基于此我国学者王宾较早提出电压暂降状态估计方法[4],该方法采用最小二乘法搜索故障点所在路径,进而估计非监测点电压暂降幅值特征,但该方法只局限于简单辐射性电网,不适用于环网; 文献[9]采用随机故障点法将线路故障段均一划分得到电压暂降状态估计方程,但此方法获取较高的精确度需要设置较多的故障点,计算量较大,并且对如何合理地设置故障点数目和位置至今没有统一标准。本文将解析法[12,13]和随机故障点法相结合,利用节点阻抗矩阵,根据电压暂降幅值对传输线故障距离的解析式计算得到各种短路故障情况下各电压限值对应的临界故障点,合理划分线路故障区间可大量减少计算量的同时满足评估精度的要求。
2 VSSE 的基本原理
状态估计中,通用的数学表达式为:
式中,H为量测矩阵,本文和文献[5]相似,H中每个元素表示装有量测设备的母线节点记录的电压暂降频次,暂降电压对应于一个预先设定的临界电压值; 状态变量X基于故障位置的概念,X中每个元素表示线路故障区间发生故障频次[14]; M为量测量和状态变量的关系矩阵; I为测量误差,可忽略不计[8]。式( 1) 中相关变量矩阵具体形成阐述如下。
3 VSSE 建模
首先,假设电网有N个节点,L条支路,监测仪的数量设为C,显然,本文讨论的问题中C < N。
3. 1 量测矩阵 H 的建立
H由C个监测仪记录量测的电压暂降频次数据直接形成。通常,暂降表示故障发生时母线残余电压小于预先设定的临界电压值。若是三相不对称故障,母线残余电压取其中电压幅值最小的一相。
给定一个临界电压值V,得到相对应的量测量HV。HV中每个元素表示母线残余电压低于临界电压值V时相应的监测仪记录的暂降次数。因此,HV中共包含C个元素,且都为整型。
3. 2 状态变量矩阵 X 的建立
随机故障点法的基本思想为: 预先随机设定系统中的故障点,通过计算这些故障点故障所引起的电压暂降,来具体分析其具体的特征量信息。如图1所示,图中横轴代表故障线路的百分比,t1表示预先设定的临界电压阈值。若故障点数选取过少,线路故障区间随机划为0 ~ p1,p1~ p2,p2~ 1,由于实际母线电压包含在p1~ p2区间内,这对于发生在p1~ p2区间故障点检测与估计将造成不准确,进而导致评估结果精度变差。反之一味增加故障点数则会加大计算冗余度。如何设置故障点的位置与数目对电压暂降状态估计分析计算至关重要。
为了合理划分线路故障区间,可以利用解析法分析系统短路故障,基本原理如图2所示。假定线路p-q上的节点r处发生故障,节点k为监测点。
监测点处的电压Ek根据叠加原理可以用故障前的电压Ek0和节点阻抗矩阵表示:
式中,Zkr、Zkq、Zkp、Zpq分别为阻抗矩阵Z中节点k、r、p、q间的互阻抗; Zrr、Zpp、Zqq代表节点r、p、q的自阻抗; zpq代表线路p-q段的阻抗。
基于此,本文将解析法和故障点法相结合合理确定线路故障区间。如图3所示,为简单起见,此事例中只包含一条被监测的母线m1和一条待估计母线m2,图中表示系统中沿某条线路li发生故障时在母线m1和m2求得的残余母线电压的幅值。对于预先设定的电压阈值为t1,利用上述方法推导得到系统故障时节点电压对输电线路故障距离的函数表达式,再对应不同的电压暂降临界值得出线路上的临界故障点,将线路li划分为0 ~ p1,p1~ p2,p2~ p3,p3~ 1四个区段。
用上述方法遍历系统中所有线路L则可获得全网在电压阈值t1下线路总的故障区间P1。状态变量矩阵X1中每个元素表示每个故障区间内发生的故障次数。
3. 3 关系矩阵 M 的建立
由式( 1) 可知,矩阵M1( 对应临界电压值t1) 表示状态变量矩阵X1与量测量矩阵H1之间的关系。建立M1具体步骤如下:
( 1) 由3. 2节方法求得全网在电压阈值t1下线路总的故障区间P1;
( 2) 根据电网的参数和拓扑结构,随机模拟发生P1个故障区间内短路故障。
( 3) 分别计算出故障区间P1内发生短路故障时在C个安装在母线节点监测仪记录的母线残余电压。
将计算得出的电压值与相应的临界电压值比较形成关系矩阵M1。M1为二进制矩阵,M1中每个元素对应一条被监测母线与一个故障区间发生故障的关系,其值为1或0,即:
式中,A表示故障区间p发生故障时在监测母线产生的残余电压低于临界电压值t1; B表示故障区间p发生故障时在监测母线产生的残余电压高于临界电压值t1。
通过图3,易理解M1的形成,图中假设只有一条被监测的母线m1,则M1为:
由于p1,p4所在故障区间内发生故障求得母线m1残余电压小于t1,则,同时表示在母线m1引发电压暂降;
同理m1( 1,2) = m1( 1,3) = 0,因为在p2所在故障区间内发生故障求得母线m1残余电压大于t1,表示未引发母线m1电压暂降。
考虑整个电网所有输电线路,新的列将被加入矩阵M1,每一列对应线路的一个故障区间。值得注意的是,矩阵M1仅仅取决于被考虑电网的性质,对于一个给定电网和一个给定临界电压值只需要估算一次。
需要说明的是,电网中监测仪的安装数量与位置会影响VSSE的精度,本文监测仪安装配置采用文献[6,12]的方法,保证系统中任何位置发生故障至少能被一台监测仪测量记录。如此,M1中每列至少包含一个非0元素,即M1行满秩。
3. 4 VSSE 一般化
设定一个临界电压值t,则
考虑整个电网,VSSE一般形式为:
式中,Ht1,Ht2,…,Ht T为量测量,表示在监测母线在给定临界电压值t = t1,t2,…,tT时监测仪记录相对应的电压暂降频次; Mt1,Mt2,…,Mt T为临界电压值t= t1,t2,…,tT时相对应的二进制关系矩阵; X为状态变量。
式( 3) 可简化写为:
4 基于广义逆算法求解 VSSE
4. 1 状态变量 X 的求取
传统的状态估计方程往往是超定的,然而由于量测量不足,本文中由于监测仪的数量少于母线节点数,即C < N,式( 7) 为欠定方程或者叫病态方程。针对该问题,文献[12]采用了整数线性规划( ILP)的方法,但此方法求解速度较慢,文献[15,16]分别采用神经网络算法( ANN) 和遗传算法( GA) 通过迭代寻优的方法求解欠定方程组,相比ILP算法提高了计算效率。但GA算法对于求解高维度、多局部极值复杂问题,在迭代的过程中可能导致算法陷于局部最优的情况,在收敛速度和精度上难以达到期望要求[9],且该方法在交叉和变异时参数的选择目前大部分依靠主观经验,这严重影响解的品质。基于此本文则采用广义逆算法[15,16,17],此方法本身没有算法参数约束问题,且相对于ILP、ANN、GA算法,该方法不需要迭代,不存在收敛性问题,由于此方法计算复杂度较小,计算历时明显减少,同时也适合任何复杂电网。
基于广义逆算法理论,对于式( 7) ,易证明关系矩阵M满足Moore-Penrose方程[9],本文中由于优化配置使得电网中任意位置发生故障至少能被一台监测仪所检测,因此关系矩阵M中每列元素至少有一个非零元素,即M行满秩,所以存在M的Moore-Penrose逆为[11]:
结合式( 8) 则式( 7) 解为:
定理可证明方程组MX = H为欠定方程组时,解X = M+H不但是最小二乘解,而且是具有极小范数的最小二乘解,或最佳逼近解[12,16],简记为LNLS解。利用广义逆算法的求解结果实质上是满足以下约束条件:
式中,min‖x‖_2表示状态变量的最小二次范数。
4. 2 电压暂降频次的估计
为估计全网的电压暂降频次,还需建立关系矩阵Mtnm,和3. 3节中M矩阵建立相似,不同的是Mtnm中考虑的是未安装监测仪的母线节点。Mtnm的元素形成如下:
式中,A表示故障区间p发生故障时在未被监测母线产生的残余电压低于临界电压值t; B表示故障区间p发生故障时在未被监测母线产生的残余电压高于临界电压值t。
将求得的关系矩阵Mtnm与状态变量相乘即可得带估计母线节点的电压暂降频次:
结合式( 10) ,则式( 11) 转化为:
式中,Htnm中每个元素表示电压阈值t下,未安装监测仪母线节点的电压暂降频次。
5 算例仿真
利用上述方法应用于IEEE30节点标准测试系统,系统数据由文献[18]提供,电网接线图如图4所示,由6个发电厂、30条母线、37条传输线和10台变压器组成。本文模拟故障为三相短路故障,不对称故障参看文献[15],本文不再赘述。利用GA算法和广义逆算法仿真结果对比如图5 ~ 图7所示。
图5 ~ 图7分别描绘电压阈值设置为0. 7pu、0. 9pu、0. 8pu时实际母线电压暂降频次和估计的暂降频次,误差结果见表1和表2,误差定义为:
表1和表2误差结果表明广义逆算法精度明显优于遗传算法,利用该方法估计出平均电压暂降频次和实际值非常接近,其有效性和准确性显著。表3为针对不同阶数网络两种算法在Matlab中运算时间结果对比。从表3明显可以看出,由于广义逆算法无需迭代,计算历时相比遗传算法大幅度减少,比如针对IEEE-30节点电压阈值设为0. 7pu时,运用GA算法需要1087s,但通过广 义逆算法 只需要9. 53s的短暂时间。
( 单位: s)
另外,注意到随着设定电压阈值的降低,平均误差也随之升高,这是由于电压阈值设置越低,对应监测仪的监测范围随之减小,评估结果误差会相应增加。
6 结论