广义矩估计

2024-07-14

广义矩估计（精选4篇）

广义矩估计篇1

1 引言

多维分形模型因其在高频时间序列波动率“长记忆效应”研究中的独特优势而日益受到计量学者的关注。多维分形过程能够对金融时间序列收益率的各阶矩及其相关性进行精细的数理建模, 较传统的单整 (或分整) 模型而言, 多维分形模型对金融序列波动率变化的非对称性以及时变层次结构的具有更强的解释力。Calvet和Fisher (2001) 在多维分形模型中引入了基于泊松连续时间弱收敛的马尔可夫转换过程, 为多维分形过程的极大似然估计 (MLE) 提供了理论基础[1]。Calvet和Fisher (2004) 运用MLE进行实证研究的结果显示, 马尔可夫转换模型的中期和长期估计和预测结果在统计特性上明显优于主流的GARCH和FIGARCH模型[2]。

本文的写作基于以下两个目的:其一, 由于基于MLE的多维分形估计不便于用计算机实现, 本文拟提出多维分形马尔可夫转换模型的广义矩阵估计 (GMM) 作为一种替代估计方法。GMM方法的估计软件已经非常成熟, 便于在各类实证研究中加以推广;其二, 本文拟在GMM估计的基础上对Calvet和Fisher (2004) 的二项式最优预测模型进行修改, 提出线性估计模型, 并用实证数据对GMM估计及模型的统计性质进行分析, 实证结果也将证实将马尔科夫转换模型向多维扩展以及引入GMM估计方法的必要性。

2 多维分形马尔可夫转换模型

及其估计方法比较

在传统的二项式模型以及Black-Scholes模型中, 资产价格运动的时间间隔被设定为等分的n个单位时间间隔, 在每一个单位间隔t=T/n中, 资产价格服从几何布朗运动。在多维分形模型中, 时间间隔的分割因子不再是常数1/n, 而是被随机化为一个随机变量。相应地, 单位时间间隔的个数也被随机化[3,4]。这时, 资产价格x (t) 将服从以下的多维分形自回归过程 (MMAR) :

$x (t) = B_{Η} [θ (t)] (1)$

它是一个指数为H的增量分形布朗运动, 并服从多维分形累积分布θ (t) 。若令H=0.5, 则资产价格过程将具备大多数标准资产定价模型所要求的鞅性 (Martingale) 及双曲线自协方差 (即长记忆性) 和肥尾性。这一性质与金融时间序列的实证数据非常吻合。

为克服MMAR模型因复合性和非平稳性带来的应用方面的局限性, Calvet和Fisher (1999, 2004) 提出了基于泊松到达时间的连续时间多维分形模型, 并证明了其渐进 (弱) 收敛性[1,2]。引入泊松复合过程后, MMAR模型转化为马尔可夫转换多维分形过程 (MSM) , 其收益率为:

$x_{t} = σ_{t} μ_{t} (2)$

其中, μt为服从标准正态分布的“新息” (innovations) , 波动率行为由k个波动分量M (1) t, M (2) t, …, M (k) t及常数标准差因子σ决定, 即:

在时刻t, 波动分量M (i) t以概率γi进行更新, 以概率1-γi保持不变。更新概率γi由下式决定[2]:

$γ_{i} = 1 - (1 - γ_{1})^{(b^{k - 1})} (4)$

式中, 参数γ1∈[0, 1], b∈ (0, ∞) 。

为考察MSM模型的时变特性, 定义矩估计量:

$Μ o n (Τ, q) = E [ξ_{t + Τ, Τ}^{q} ξ_{t, Τ}^{q}] (5)$

其中, q=1, 2; T=1, 5, 10, 20。

利用现有的随机过程软件, 用迭代GMM算法得到如下两种估计法的Monte Carte模拟结果[7], 均列于表1。

注: 表中m0为分形算子; Ti (i=1, 2, 3) 为样本容量范围 (分别取2500、5000、10000) ; FSSE为有限样本标准差 (finite sample standard error) , RSE为均方根误差 (roo tmean square error) 。

与Calvet和Fisher (2004) 的四参数模型[2]相比较, 本文经修正后的两参数模型 (式 (5) ) 在有效性方面更为突出。同时, 分形算子m0的估计值 $\bar{m}$ 0的有偏性及均方根误差几乎不受参数选择的影响。而方差因子σ的估计值 $\bar{σ}$ 则随m0的增大而逐渐增大。这可以解释为随分形算子的增大, 收益率序列的波动性逐渐增大。

就MLE和GMM两种估计方法的比较而言, σ的估计量在GMM下的有效性不如MLE。但我们注意到, MLE的有效性优势主要来自于样本标准差, 在使用均方根误差时, GMM估计的有效性损失并不严重。而在大样本情况下, GMM估计的可计算性更强; m0的估计量方差在GMM下是MLE的2.5～6倍, 波动性明显较强。且ξt值越大, 样本容量越小, m0的真实值越低; MLE估计的有偏性独立于总体参数选择, 而GMM估计的参数有偏度则在m0=1.3～1.5范围内下降了50%。其总体参数有偏度为零;在统计模拟的可操作性方面, GMM估计的整个Monte Carlo模拟过程表现良好, 没有出现非收敛或数据溢出的情况。

注: 表中m0为分形算子; k为波动分量维数; FSSE为有限样本标准差 (finite sample standard error) , RMSE为均方根误差 (root mean square error) 。

与表1的相应估计结果比较可以发现, 波动分量维数的增加对二项式模型的估计结果几乎没有影响。一方面, 高维波动分量变化频率很小, 对式 (5) 所示的对数差分项几乎不产生额外的增量影响; 另一方面, 由于每一次迭代的初始数据基本保持不变, 尽管有限样本标准差FSSE以及均方根误差RMSE变化很大, 但标准差因子的估计值 $\bar{σ}$ 却变化很小。分盐算子m0对波动分量维数k的非敏感性对于模拟估计过程来说是一条非常好的统计性质。

最后, 本文对对数正态模型运用GMM法进估计。Mnote Carlo模拟后的估计参数如表3所示。

注: 表中λ为对数正态过程参数; k为波动分量维数; FSSE为有限样本标准差 (finite sample standard error) , RMSE 为均方根误差 (root mean square error) 。

样本容量仍然固定为T=5000; 波动分量维数的取值范围为8, 10, 15, 20; 过程参数λ在区间 (0, 0.2) 上有递增的异方差, 取λ等于0.05、0.10、0.15三个值分别进行Monte Carlo模拟。模拟的结果跟二项式模型下的情况并无很大差异。有偏性仍然是适中的, 过程参数λ对维数k的敏感性很小。

3 MSM模型广义矩估计的实证运用

在实证上, 将结合我国和美国的实证数据, 并运用GMM模型对对数正态模型进行参数估计, 分别考察我国和美国资本市场的分形特性 (长程相关性) 。实证数据分别是道琼斯工业指数 (DOW) 、上证综合指数 (SH) 以及我国5年期记账式国债利率 (CB) 的日收盘价格, 并将各价格换算为收益率的形式, 即rt=lnpt-lnpt-1. 数据时间跨度为1995年7月至2008年4月, 数据来源为国际货币基金组织 (IMF) 发布的宏观经济数据库 (光盘版) 。波动分量维数k分别取5、10、15、20, GMM估计能够顺利展开, 实际的估计结果如表4。

数据来源: 国际货币基金组织宏观数据库 (光盘版) 。注: $\hat{S}$ 为均方误差的估计值。括号内为5%显著水平下的t检验值。

与MLE估计形成强烈对比的是, GMM估计方法在k≥5以后, 随着波动率维数的增加, 各估计参数非但没有发生数据溢出和发散现象, k≥15以后的估计值及其t检验值均明显地趋于收敛为常数。这一特性使得GMM估计方法在多维条件下相对于MLE估计的优势凸显出来。

进一步, 为考察MSM模型在分析市场分形性质中的统计特性, 运用GMM估计法估计重标极差 (R/S) 法下的修正Hurst (Lo, 1991) 指数, 并通过方差分析, 将经验估计结果与各波动维度下的模拟估计值进行总体均值比较检验, 分析经验结果与模拟结果之间的差异。分析结果如表5。

数据来源: 国际货币基金组织宏观数据库 (光盘版) 。注1: EMP为实证数据估计值, 其他为各波动维度下的模拟估计值。括号内为5%显著水平下的注2:黑体带花号估计值为总体均值检验拒绝了均值相等的原假设, 模拟参数与实证估计值存在明显差异。

无论是实际经验数据估计参数还是模拟估计参数都落在区间 $(\frac{1}{2} ‚ 1)$ 之间, 说明各市场均存在长期记忆性 (长程相关性) 。模拟值在维数越大的情况下越接近实际估计值, 证实了将马尔科夫模型向多维扩展的必要性以及用GMM替代MLE进行模拟资产定价的必要性。方差分析显示, 在波动维度较小 (k=5) 的情况下, 模拟值与实际值之间存在显著差异, 波动维度大于等于10以后, 道琼斯指数和上证指数的总体均值检验均接受了均值相等的原假设, 也就是说它们的实际观测值序列估计值和模拟值序列估计值基本拟合。国债利率指数的各维度模拟值均与实际观测值存在明显差异, 原因可能是因为目前我国在确定国债抵押同业拆借利率时基本采用的是静态的期限结构定价法, 而MSM模型则是基于动态随机分析方法的缘故。关于这一点的深层次原因, 有待于进一步的研究。

摘要：在广义矩估计法 (GMM) 的基础上, 提出基于连续时间以及任意维离散时间多维分形过程的参数估计方法。一方面, 这一方法吸取了Calvet和Fisher (2001) 多维分形马尔可夫模型的长处, 可以比较方便地对时间序列的非平稳性和复合过程进行处理;另一方面, 本文模型又克服了极大似然法 (MLE) 和贝叶斯方法在大样本条件下其波动率序列参数估计难以用计算机实现的缺陷。Monte Carle模拟的结果显示, GMM估计在二项式模型和对数正态分布模型中具有非常优良的统计性质。实证运用的结果也证实了GMM估计方法在大样本多维度下的统计优势及其必要性。

关键词：马尔可夫转换,多维分形,波动率,GMM估计

参考文献

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[5]Hansen L P.Large sample properties of generalizedmethod of moments estimators[J].Econometrica, 1982, 50:1029~1054.

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[7]Hansen L P, Heaton J, Yaron A.Finite-sampleproperties of some alternative GMM estimators[J].Journal of Business&Economics Statistics, 1996, 14:262~280.

[8]Lo A W.Econometrica, 1991, 59:1279~1313.

广义矩估计篇2

一、研究设计及模型构建

1、理论模型

从柯布—道格拉斯生产函数出发, 同时引入金融发展水平作为一个独立影响因素, 用于表示资本的有效利用系数, 即把金融发展水平F当作一项“投入”用于生产过程。同时设K=K0F, F=F1F2, F1和F2分别表示正规金融资本与民间金融资本的有效利用系数, 那么柯布—道格拉斯生产函数将变换为如下形式:

再得出 (2) 式:

本文为了考察经济产出增长与民间金融发展之间的关系, 如果不考虑技术进步、正规金融发展水平和资本投入的变化, 则经济产出与民间金融发展水平变化的关系式可表示为:

其中c为常数, 即c=m AK0βF1β, c>0。

设民间金融发展水平F2β=IF, 接着对 (7) 式两边取对数求导得:

以上说明了理论上民间金融发展水平与经济增长呈线性关系, 于是本文将式 (4) 作为实证分析的理论基础, 可得到本研究的基本计量模型:

2、实证模型构建

考虑到本文的研究目的, 即为了揭示民间金融发展水平的区域经济增长差异情况, 结合 (5) 式建立如下的动态面板回归模型:

其中αi, 为截距项, 代表个体效应 , εi, t为随机扰动项, αi和i, t独立同分布;p1和p2为变量所选取的滞后阶数。

式中, Ln GDP, 用于表示区域经济增长, 用取了对数的国民收入来度量, 数据来源于各省不同年份的《统计年鉴》;Ln IF用于表示民间金融发展, 对其规模和发展水平也无法进行精确的统计, 本文笔者选取了各省份不同年份的《非国有经济年鉴》中“非国有投资”指标中的“自筹”及“其他资金来源”两部分的数据作为民间金融规模的值。鉴于2000年金融环境相对开放, 因此本文数据以2000—2012年为样本期。另外, 因不可避免地会存在内生性造成的估计偏差, 因此, 本文采用系统广义矩估计方法 (SGMM方法) 来对模型 (6) 进行估计。

二、民间金融推动经济增长的区域实证

1、系统广义矩估计结果

为研究不同地区民间金融发展水平对区域经济增长的差异影响, 首先依据本文所建的动态面板回归模型 (6) 将全国作为一个整体面板进行分析, 接着将全国31个省市自治区份划分为东、中、西三个区域, 1然后分别建立子动态面板回归模型进行估计。目前在动态的面板回归模型中, 得到变量的滞后阶数为P1=P2=3。结果见表1。

注: 括号中的数值表示 t 统计量 ***、**、* 分别表示该估计量在 1%、5%、10%的显著性水平下显著。

2、模型检验

考虑到仅仅依据T统计量的显著性来确定滞后阶数可能存在不科学性, 为了证明变量的滞后阶数选择是否合理, 采用Sargan统计量来检验模型是否存在过度识别的问题, 以说明滞后阶数选择的稳健性和参数估计的一致性。检验结果如表2所示:

由表2中得知, 利用SGMM方法建立的动态面板回归模型可以揭示我国民间金融对区域经济增长的差异动态效应。

注:估计结果报告中括号数值为 P 值;面板单位根检验形式设定为: 含截距项不含趋势项;LLC 和 IPS 检验是对面板残差进行的平稳性检验, 其原假设为存在单位根。

3、结果分析

根据表2的估计结果可知:民间金融对区域经济增长有着显著的正向影响。民间金融规模每增加1%, 可以导致经济增长0.2562%;就各区域来分析 , 其中东部地区本年度民间金融规模每增加1%, 经济增长0.2623%, 表明东部民间金融发展对经济增长的促进作用已超过对全国的整体影响, 而中、西部地区的民间金融发展对经济增长的促进作用依然低于对全国的整体影响, 本年度民间金融规模每增加1%, 中、西部地区经济分别增长0.2138%和0.1944%。

不论是全国还是其他不同区域的和值均为正且高度显著, 说明民间金融发展对区域经济增长都有一定的正向滞后作用, 上一年度民间金融规模每增加1%, 可以导致全国经济增长0.3409%, 使东、中、西部地区区域经济分别增长0.2134%、0.2837% 、0.3142%, 上两年度民间金融规模每增加1% , 可以导致全国经济增长0.4231%, 东、中、西部地区区域经济分别增长0.3344%、0.3873%、0.4325%; 也可反应东、中、西部三个地区区域经济增长随着时间推移对民间金融的依赖大致呈现出西部地区依赖程度最大, 中部地区次之, 东部地区最小;影响系数的正向作用在第一年逐渐增强, 在第二年则达到最大。

度量了滞后一年的GDP对当期GDP形成的动态效应, 全国以及东、中、西不同区域的值均为正且显著, 说明上一年度的GDP形成对当年区域经济增长有显著正向作用, 上一年度的GDP每增加1%, 可以导致全国经济增长0.2120%, 东部地区经济增长0.2325%、中部地区经济增长0.1837%、西部地区经济增长0.1436%, 这种正向作用表现在西部地区最小, 中部地区次之, 东部地区最大。

三、结论与启示

本文认为, 总体上民间金融发展对区域经济增长存在影响, 其正向促进作用表现得与当期不同, 表现为西部地区最大、中部次之、东部最小的地区差异。同时, 民间金融规模的扩大对经济增长的促进在第一年逐渐增强, 在第二年则达到最大。

结合本文研究结果, 考虑到民间金融发展已成为了推动我国区域经济增长的重要力量, 我们应当充分认识到其积极的一面并加以利用, 对民间金融采取支持的态度, 采取适当的措施加以规范和引导。目前, 民间金融市场监管普遍缺位, 所以, 首先从制度上规范民间金融, 加强政府对于民间金融的监管与引导, 健全金融监管体制。其次, 完善金融市场体系, 创新民间金融支持区域经济发展, 引导民间金融机构实现合法化、规范化, 使民间金融健康有序发展。

参考文献

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[5]潘士远, 罗德明.民间金融与经济发展[J].金融研究, 2006, (4) .

[6]刘民权, 徐忠, 俞建拖.信贷市场中的非正规金融[J].世界经济, 2005 (7) :4-5.

Copula函数中参数的矩估计篇3

在获得一组数据样本的情况下, 设 (x1, y1) , …, (xn, yn) 为来自联合分布H (x, y) 的二元观测样本, 为了得到Copula的具体表达式, 对Copula中参数θ的估计显得尤为重要。为了得到θ精确的估计值, 首先自然会想到用极大似然估计法对参数θ进行估计。Genest (1995) 提出使用半参数法[1]对数据进行研究, 利用经验分布对参数进行估计, 从而得到估计参数值 $\hat{θ}$ 。这种方法的优点是简捷, 易于编程, 且不需给出边缘分布的具体形式, 利用经验分布代替边缘分布进行估计。Joe (2005) 提出另一种参数估计法——两步法[2] (IFM) , 由于两步法与极大似然估计法在有些情况下几乎有相同的效果, 特别是两步法比极大似然估计法更容易计算, 因此受到了人们的欢迎。根据矩估计思想提出一种新的参数估计方法, 姑且称之为:矩估计法。由于∂C (u, v) /∂u是在[0, 1]上服从均匀分布的随机变量, 据此给出关系式 $\frac{1}{n}$ $\sum_{i = 1}^{n}$ $(\frac{\partial C_{i} (u, v)}{\partial u} - \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{12}$ , 利用该关系式给出估计Copula中参数θ的矩估计。同时对由此矩估计法得到的结果进行模拟分析, 最后利用实例对其进行了验证, 说明矩估计法得到的参数估计的有效性。

1 理论基础

假设 (X, Y) 是个连续的二维随机变量, F1 (x;α1) 和f1 (x;α1) 是X的累积分布函数和概率密度函数, F2 (y;α2) 和f2 (y;α2) 是Y的累积分布函数和概率密度函数。Sklar在1959年提出了著名的Sklar定理如下:

Sklar 定理设随机变量X, Y的联合分布函数是H (X, Y) , 其边缘分布函数分别是F1 (X) , F2 (Y) , 那么, 存在Copula函数C, 使得H (X, Y) =C (F1 (X) , F2 (Y) ) 对所有的X1, X2∈ $\bar{R}$ 成立。若F1和F2都是连续的, 则C是唯一的。

通过Sklar定理可以看出, 任何一个二维的分布函数可以被它们的边缘分布函数和它们的Copula函数唯一确定。因此, Copula函数Cθ (F1 (X) , F2 (Y) ) 中参数θ的估计非常值得我们研究。国内外许多学者已经做了广泛的研究, 比如极大似然估计法 ([ML]) 、半参数法[1]、两步法[2] (Inference function for margins[IFM]) 、解析法等, 各种方法各有各的优缺点。在探讨了以上各种Copula参数估计方法的优劣之后, 提出一种新的参数估计方法:矩估计法。下面先介绍此法的理论基础。

定义1 (Rosenblatt 积分变换[3]) 令X= (X1, X2, …, Xd) 是一随机向量, 其边际分布为Fi (xi) =P (Xi≤xi) , 条件分布函数为F (Xi≤xi|X1=x1, …, Xi-1=xi-1) , i=1, 2, …, d, 则X= (X1, X2, …, Xd) 的Rosenblatt积分变换为T (X) = (T1 (X1) , T2 (X2) , …, Td (Xd) ) , 其中Ti (Xi) 定义为:T1 (X1) =P (X1≤x1) , T2 (X2) =P (X2≤x2|X1=x1) , …, Td (Xd) =P (Xd≤xd|X1=x1, …, Xd-1=xd-1) 。这里随机变量Zi=Ti (Xi) , i=1, 2, …, d是[0, 1]上的均匀分布且相互独立。

对于Rosenblatt 积分变换的更详细情况, 可以参考Breymann et al. (2003) [4]的文献。

定理1 设C (u, v) 是某一含有参数θ的Copula函数, 则∂C (u, v) /∂u～U (0, 1) 。

证明因为在给定U=u时V的条件分布为

$\begin{array}{l} C_{u} (v) = Ρ (V \leq v | U = u) = \\ \lim_{Δ u \to 0} \frac{C (u + Δ u, v) - C (u, v)}{Δ u} = \frac{\partial C (u, v)}{\partial u} 。 \end{array}$

所以, 根据Rosenblatt 积分变换, ∂C (u, v) /∂u在[0, 1]上服从均匀分布。

定理2 设 $\frac{\partial C_{1} (u, v)}{\partial u}, \dots, \frac{\partial C_{n} (u, v)}{\partial u}$ 为i.i.d.样本, 则 $\frac{1}{n}$ ∑ $(_{i = 1}^{n} \frac{\partial C_{i} (u, v)}{\partial u} - \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{12}$ 。

证明因为 $\frac{\partial c (u, v)}{\partial u}$ 在[0, 1]上服从均匀分布, 故 $E (\frac{\partial (u, r)}{\partial u}) D (\frac{\partial C (u, v)}{\partial u}) = \frac{1}{n}$ $\sum_{i = 1}^{n}$ $\frac{\partial C_{i} (u, v)}{\partial u} - \frac{1}{2}$ 2, 而 $D (\frac{\partial C (u, v)}{\partial u}) = \frac{1}{12}$ , 所以,

$\frac{1}{n}$ $\sum_{i = 1}^{n}$ $\frac{\partial C_{i} (u, v)}{\partial u} = \frac{1}{12}$ 。

该定理在理论上保证了对Copula参数估计的可行性。

定理3 设 $\frac{\partial C_{1} (u, v)}{\partial u}, \dots, \frac{\partial C_{n} (u, v)}{\partial u}$ 为i.i.d.样本, 则 $\sqrt{12 n} (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial C_{i} (u, v)}{\partial u} - \frac{1}{2})$ 渐近服从N (0, 1) 。

证明因为 $\frac{\partial C (u, v)}{\partial u} \sim U (0, 1)$ , 故有

$E (\frac{\partial C_{k} (u, v)}{\partial u}) = \frac{1}{2} ‚ D (\frac{\partial C_{k} (u, v)}{\partial u}) = \frac{1}{12} ‚ k = 1, 2, \dots, n$ 。

根据Lindeberg-Levy定理可得:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to \infty} Ρ [(\sum_{k = 1}^{n} \frac{\partial C_{k} (u, v)}{\partial u} - \frac{1}{2} n) / \sqrt{n / 12} < x] = \\ \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- t^{2} / 2} d t ‚ \end{array}$

所以, $\sqrt{12 n}$ $(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial C_{i} (u, v)}{\partial u} - \frac{1}{2})$ 渐近服从N (0, 1) 。

该定理保证对Copula参数进行检验的新方法是可行的。

由格里汶科定理知, 对任意给定的自然数n, 设X1, X2, …, Xn是取自总体分布函数为F (X) 的一个样本, Fn (X) 为其经验分布函数, 记:Dn=sup|Fn (X) -F (X) |, 则有

$Ρ (\lim_{n \to \infty} D_{n} = 0) = 1$ 。

这表明:Fn (X) 在整个数轴上以概率1一致收敛到F (X) , 因此当样本容量足够大时Fn (X) 能够很好地拟合总体分布F (X) 。

2 模拟分析

在定理2的保证下, 可以利用 $\frac{1}{n}$ $\sum_{i = 1}^{n}$ $\frac{\partial C_{i} (u, v)}{\partial u} - \frac{1}{2}$ $^{2} = \frac{1}{12}$ 这个等式, 对Copula的参数进行估计, 具体做法如下:

(1) 产生一列容量为n的样本{u1, v1}, …, {un, vn}, 利用该样本对应产生一列容量为n的服从U (0, 1) 的样本 $\frac{\partial C_{1} (u, v)}{\partial u}, \dots, \frac{\partial C_{n} (u, v)}{\partial u}$ ;

(2) 在理论上有 $\frac{1}{n}$ $\sum_{i = 1}^{n}$ $\frac{\partial C_{i} (u, v)}{\partial u} = \frac{1}{12}$ 下, 但在轴取样本的情况下, 等式未必成立, 这时利用Matlab 6.0中的fminbnd函数, 求出使 $(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (\frac{\partial C_{i} (u, v)}{\partial u} - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{12})^{2}$ 达到最小值的θ, 从而达到求解的目的。

为了更好地对问题进行说明, 选取以下三种Copula族进行模拟分析:

(1) Clayton Copula: (u-θ+v-θ-1) -1/θ;

(2) Frank Copula:-θ-1lg ([1+ (e-θu-1) ×

(e-θv-1) / (e-θ-1) ]) ;

(3) Plackett Copula:

[1+ (θ-1) (u+v) -{{1+ (θ-1) (u+v) }2-4θ (θ-1) uv}1/2]/{2 (θ-1) }。

随机模拟生成组容量都为N=1 000的样本, 为了消除随机性误差, 采取重复模拟, 重复次数M=250, 所求θ的估计 $\hat{θ} = Μ^{- 1}$ $\sum_{i = 1}^{Μ} \hat{θ}_{i}$ , 均方误差MSE=M-1 $\sum_{i = 1}^{Μ} (\hat{θ}_{i} - θ_{0})^{2}$ 代表各个估计参数偏离真实值的程度, 其中θ是Copula参数的真实值, $\hat{θ}$ i的求解是利用MATLAB软件中的fminbnd函数对其求值, 进行Copula参数估计, 结果见表 1。。

从上面分析结果可以看出, 所求的估计值均比较接近真实值, Copula族的MSE均比较小, 有的甚至接近于零, 这说明了该估计方法具有较好的稳定性。从而证明了估计方法在实际求解过程中是切实可行的, 而且是可靠有效的。

3 实证分析

为了说明所提方法的可行性, , 下面选取2003年3月3日至2007年3月16日的上证A股指数和上证B股指数的每日收盘价来进行实证分析 (数据来源大智慧软件可免费下载) , 将Pt定义为每日的收盘价, 将收益率定义为Rt=100×log (Pt/Pt-1) , 得到1 000组有效数据, 考察上海股市上证A股指数和上证B股指数相关结构。

第一步, 利用经验分布函数, 将沪深股市金融市场间收益率序列 (xt, yt) 转化为新的序列 (ut, vt) , 利用MATLAB软件画出它们的散点图 (图1) , 其中 $u_{t} = \hat{F}_{x} (x_{t}), v_{t} = \hat{F}_{y} (y_{t}) ‚ t = 1, \dots, Τ$ 分别是X, Y的经验分布函数。通过散点图发现, 沪深股市间具有很强的尾部相关性。这里我们选择 Frank Copula , Clayton Copula及Placket Copula这三种Copula函数进行分析。

第二步, 利用改进的经验分布函数 $\tilde{F}$ $_{x} (x), \tilde{F}_{y} (y)$ 代替真实的分布函数F (x) , F (y) , 改进的经验分布函数表达式为:

$\tilde{F} (x) = {\begin{cases} 0, 当 x < x_{(1)} \\ (n_{j} (x) - \frac{1}{2}) / n, \\ 当 x_{(j)} \leq x < x_{(j + 1)}, j = 1, \dots, n \\ 1, 当 x_{(n)} \leq x \end{cases}$

采用矩估计法对真值θ进行估计, 得到结果见表2 (其中C1=max[ (u-θ+v-θ-1) -1/θ, 0]是Clayton Copula, C2=-θ-1log ([1+ (e-θu-1) (e-θv-1) / (e-θ-1) ]) 是Frank Copula , C3=[1+ (θ-1) (u+v) -{{1+ (θ-1) (u+v) }2-4θ (θ-1) uv}1/2]/{2 (θ-1) }是Placket Copula) 。

第三步, 利用∂C (u, v) /∂u在[0, 1]上服从均匀分布。由P-P散点图[5]思想, 若某个Copula C (u, v) 能较好地拟合一组数据, 则 (i/ (n+1) , ∂C (u, v) /∂u) 点应分布在y=x上下, 其中 (∂C (u, v) /∂u) i为∂C (u, v) /∂u的第i个顺序统计量, 下面对相应的P-P图进行图形评价, 见图2～图4。

从图2图～图4, 可以发现Frank Copula函数是最适合该数据的Copula函数, 从而达到了参数估计的目的。而且从图3可以看出, Frank Copula能很好地把这一数据拟合好, 从而验证了矩估计法的可行性。

摘要：针对Copula中参数θ的估计问题, 基于C (u, v) /u服从U (0, 1) , 利用关系式n1∑i=n1 Ci (uu, v) -122=112提出Copula中参数θ的矩估计, 并对几种常见的Copula函数进行模拟论证。最后运用国内上证A股指数和上证B股指数进行了实证分析, 说明这种估计方法的有效性。

关键词：Copula函数,矩估计,随机模拟,上证指数

参考文献

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[3] Rosenblatt M.Remarks on a multivariate transformation.The Annalsof Mathematical Statistics, 1952;23:470—472

[4] Breymann W, Dias A, Embrechts P.Dependence structures for multi-variate high-frequency data in finance.Quantitative Finance, 2003;1:1—14

广义矩估计篇4

20世纪90年代以来,随着生产、投资、贸易等活动全球化的发展,FDI技术国际化载体作用引起了人们越来越多的关注,FDI会通过竞争效应、示范效应、劳动力流动和垂直关联等途径促进本地企业或东道国生产率提升,即FDI具有正向的技术溢出效应。但部分实证结果得出与之不一致的结论,例如,苏楠和曹晅(2012)采用2000年～2010年省级面板数据用广义矩估计方法分析FDI行业特征和技术溢出对地区生产率的影响,发现FDI对我国内资企业生产率的影响为负向,这说明FDI的技术溢出机制至少在一定程度上是失效的[1]。因此学者们将目光转向自主创新的问题,我国自主创新活动在2000年前后开始出现爆发性增长,从发明专利申请授权量来看,国内发明专利申请授权量从2000年的6177件增长到2010年79767件,数量增长了近12倍;从创新资源投入来看,国内R&D支出总额由2000年的2050.2472亿元上升到2010年7507.9775亿元。在整体迅猛增长的同时,我国地区创新差异却越来越明显。根据金祥荣和余冬筠(2010)的计算,如果以创新产出率衡量各省单位研发投入得到的创新数量,则各省之间创新产出率的差异呈现扩大趋势[2]。

现有关于自主创新的文献表明,企业家精神对提高本地区生产率起到非常重要的作用。关于企业家精神的定义,学者们有不同理解。熊彼特认为企业家精神的核心是创新,与追求成功、冒险精神、事业心、首创性相联系。德鲁克认为企业家精神的实质在于变革,进而引发社会的进步。国内学者叶勤(2000)认为创业是企业家精神的基础,创新是核心[3]。基于以上的观点,本文所讨论的企业家精神是指企业家创新和创业精神的统一。对于企业家精神对地区生产率的影响,国内外学者进行了大量卓有成效的研究。李宏彬等(2009)采用1983-2003年省际面板数据实证分析后指出,企业家精神对我国地区生产率存在显著的正效应,其中,创业精神的积极影响在1%水平上显著,其每增加一个标准差,生产率年均增长率会提高21.88%,而创新精神的正效应不显著[4]。李杏(2011)指出,企业家精神对地区生产率有重要影响,企业家精神增长百分之一,实际人均GDP年均增长率提高0.4%[5]。杨宇、郑垂勇(2008)提出我国东、西部地区创业对地区全要素生产率的影响更大,而中部地区创新对其的影响更大[6]。Arrow(1962)认为,企业家精神是通过知识溢出进而促进地区生产率提升的,知识溢出会提高地区生产率,但知识不会自动转变为有用知识,在它们之间存在“过滤器”机制[7],并且,Braunerhjelm 等(2010)指出企业家精神就是推动知识溢出并实现其商品化的机制之一[8]。本文沿袭以上理论文献的思路,以新古典增长模型为框架,实证分析地区生产率和企业家精神之间的关系。文章的创新点如下:采用省级面板数据,与Keilbach和Audretsch (2004a, 2004b)[9,10]的研究方法不同,我们将创新精神和创业精神看作为与本地区全要素生产率相关的地区技术能力看待,而不是类似劳动力和资本投入这样的地区资源,从动态角度检验这些能力和地区生产率的关系,并且,我们还要对创新精神只是促进地区生产率提升的必要条件,而不是充分条件进行证明。

2 模型的建立及数据说明

2.1 建立计量模型

Solow(1956)的新古典增长模型认为,不能由劳动力和资本要素投入来解释的增长部分可以作为技术进步和知识存量增加的结果[11]。借鉴C-D生产函数形式,地区产出Y由有效劳动投入量L、物质资本存量K和全要素生产率A共同决定,用方程可表示为

Y=Af(K,L) (1)

在方程(1)中,我们将技术进步的变化作为影响生产率或投入要素使用效率的外生变量,因此经济增长依靠于生产要素(劳动和资本)的可获得性,以及它们的使用效率(Romer, 2007)[12]。

因为地区能力代表资源利用效率,我们应该考虑将地区能力(创新精神IE和创业精神BE)作为提高生产率的无形要素,因此我们将它们加入到方程(1)变量A中,其中A=A(IE,BE)。与厂商理论基本原理一致,创造新知识和创办新企业的能力在不同地区之间是异质的,该异质性可以部分解释地区的经济表现。

将劳动力L和资本K均归入地区资源类别中,而将创新精神IE和创业精神BE作为“地区能力”(这两要素决定了地区全要素生产率A)。在规模报酬不变的情况下,我们可以得到方程(2)

$\frac{Y}{L} = A (Ι E, B E) f \frac{Κ}{L} (2)$

结合方程(1)和方程(2),我们可以建立初步计量模型

PGDP=γ0+γ1·IE+γ2·BE+γ3·k+ε (3)

其中,PGDP为人均收入,表示地区生产率水平,IE为创新精神,BE为创业精神, k为人均资本,ε为随机误差项。

为进行GMM分析,在方程(3)的基础上添加时间维度和动态因素以及对外贸易系数、人力资本、政府购买、FDI技术溢出、信贷支持等五个控制变量,于是得到的最终计量模型为

PGDPit=γ0+γ1PGDPit-1+γ2BEit+γ3IEit+γ4kit+γ5OPENit+γ6HRit+γ7GOVit+γ8FDIit+γ9Credit+μi+ηt+εit (4)

方程(4)中,下标i表示省(市、区),t表示时期,PGDPit、BEit、IEit、kit、OPENit、HRit、GOVit、FDIit、Credit分别为第i省第t期的地区生产率、创业精神、创新精神、人均资本、对外贸易系数、人力资本、政府购买、FDI技术溢出、信贷支持;μi为个体效应,ηt为时间效应,εit为干扰项,μi～i.i.d(0,σ $_{μ}^{2}$ ),εit～i.i.d(0,σ $_{ε}^{2}$ ),E[μi·εit]=0。

2.2变量说明

(1)因变量为地区生产率指标,用实际人均GDP来度量(2000年为参照年份)。(2)自变量为创业精神指标。创业精神是新创企业的行为,一般是用企业所有权比率、自我雇佣比率、企业进入和退出率来度量。由于数据获得的有限性,本文选用地区个体和私营企业安排的就业人数占总就业人数的比重来度量。(3)自变量为创新精神指标。创新精神一般是用R&D投入、专利数量、新产品价值来度量。由于数据获得的有限性,本文选用地区R&D经费内部支出占固定资产投资的比重来度量;(4)自变量为人均资本指标,用地区单个就业人员平均支配的固定资本来度量。(5)控制变量: 为地区对外贸易系数指标,用地区国际贸易总额占国内生产总值的比重来度量; 为人力资本指标,用地区高校本(专)科毕业生占地区人口数的比重来度量; 为政府购买指标,用地区政府购买占国内生产总值的比重来度量,其中,用政府最终消费支出替代政府购买。为FDI技术溢出指标,用地区实际利用FDI占国内生产总值的比重来度量; 为信贷支持指标,用地区各项贷款余额占国内生产总值的比重来度量。本文使用的数据是根据历年《中国统计年鉴》、《中国科技统计年鉴》以及省(市、区)统计年鉴的统计数据整理计算得到。为了分析企业家精神对生产率影响的空间性差异,我们按照国家统计局三大经济地带的划分方法,将我国31个省(市、区)分别归类为东部经济地带、中部经济地带、西部经济地带三大部分,其中,东部经济地带包括北京、天津、河北、辽宁、上海、江苏、浙江、福建、山东、广东、海南11个省(市);中部经济地带包括山西、吉林、黑龙江、安徽、江西、河南、湖北、湖南8个省;西部经济地带包括内蒙古、广西、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆12个省(市、自治区)。在模型(4)中,因变量与扰动项相关,从而固定效应OLS估计量和随机效应GLS估计量都有偏。为了解决上述估计问题,本文使用stata10.0软件采用GMM分析方法对动态面板数据模型(4)进行估计。

数据来源:历年《中国统计年鉴》《中国科技统计年鉴》和省(市、区)统计年鉴

3 结果分析

由表2可以看出,从全国整体来看,创新精神变量IE的系数为1.542805,t值为1.76,统计量仅在10%水平上显著,显然创新精神对整体生产率的正向影响偏弱。创业精神变量BE的系数为0.4571712,t值为1.53,显然创业精神对整体生产率的正向影响不显著。究其原因主要有如下几点:第一是R&D投入相对不足。《中国科技统计年鉴》数据显示,2010年东部经济地带、中部经济地带和西部经济地带R&D经费内部支出占地区生产总值的比重分别为1.149%、0.7078%和0.4833%,只有目前世界领先国家R&D占GDP平均比重3%的38.3%、23.593%和16.11%,与它们相比存在相当大的差距。第二是风险投资行政功能突出,缺乏完善的运行环境。第三是高校研究开发和成果转化脱节、满足市场与企业需要的、实用性的项目偏少,技术创新转化率不高。第四是科技人员的作用尚未得到充分发挥。第五是创新文化相对缺失。第六是民营企业存在融资渠道狭窄、综合实力不强等问题。

注:括号内为t统计值,“*”、“**”、“***”分别表示在10%、5%和1%的水平上显著。“[ ]”内为统计量的概率值。

分组回归结果显示:除了东部经济地带创新精神变量IE与创业精神变量BE的估计系数为正、且统计量在10%水平上显著外,中西部经济地带均为不显著正数或负数,这说明创新精神与创业精神对不同地区生产率的影响偏弱,资本和劳动力投入数量的增加仍然是我国经济高速增长的主要动力,创新与创业精神对地区生产率的正效应仅仅在东部经济地带成立,中西部经济地带均不显著,呈现割裂状态。这与东部经济地带较高的R&D投入强度、风险投资初具规模、高校技术创新产业化率较高、创新文化比较浓厚、民营企业融资创新、综合实力较强以及勇于创业、求真务实的民性特征等分不开的。

如果继续对创新进行讨论,创新既包括原创性的、真正的创新,也包括模仿性的创新。模仿性的创新主要是指当地企业把外部市场的产品在性能、外观等方面进行改造以便于满足本地市场需求,此类型“创新”产品通常仅相对于本企业或地区而言。模仿性创新产品在技术水平和市场不确定性方面大大降低,由于已经被外部市场消费者认同,因此一般也不存在消费者接受风险。真正的革新性创新往往先期研发投入巨大,而且在知识商业化过程中,由于经常存在不确定性,不但需要企业家敢于承担风险,而且需要有相对完善的外部条件,如风险投资、金融信贷支持和知识产权保护等。当企业从事真正创新时,在市场竞争中生存机会才能上升,这样才意味着成功的市场开发,企业家精神对地区生产率才会具有实质上的促进作用。目前我国大部分省(市、区)尚未具备这些条件,或者还比较缺乏,因此企业倾向于进行模仿性创新,这也导致目前“山寨产品”在市场上泛滥的局面。因为这一类型的创新需要承担的风险和不确定性要小得多,需要更多的是企业的学习和模仿能力,因此企业家的创新精神对地区生产率的影响就会大大降低,也就是说创新精神只是促进地区生产率提升的必要条件,而不是充分条件。

4 结论及对策建议

实证检验了企业家精神对地区生产率的影响,得出如下结论:第一,创新精神与创业精神皆是提高地区生产率的动力,但创新精神与创业精神对地区生产率的正向影响偏体较弱;第二,从全国整体来看,创新精神对全国整体生产率存在在10%水平上显著的正效应,而创业精神对其的积极影响不显著;第三,从分组回归结果来看,除了对东部经济地带生产率的促进效应在10%水平上显著外,创新精神和创业精神对中西部经济地带生产率不存在显著性影响。

为了提高地区创新与创业精神,促进地区生产率水平提升,我们提出以下五点建议:一是改善风险投资的资本结构及运作环境。首先大力支持民间及境外风险投资的发展,积极建立政府与企业相结合的股份制风险投资公司,并强化其市场功能。其次,支持风险投资公司参与效益欠佳的上市公司重组,具备条件的可买壳在上海或深圳证券市场上市;对于风险投资境外上市,管理层收购以及其他企业进行股权收购等行为给予政策与税收等方面的支持。二是强化市场导向,优化选题,促进高校技术创新转化率的提升。建议高校科研人员重视对市场的调查与研究,精心筛选出满足企业实际需要的、创新性突出的科技攻关课题,开发出具有较大市场需求的新产品、新工艺、新技术,进一步增强研究成果的经济价值与实用价值。三是实行科技人员产权激励制度。首先在加大知识产权保护的同时,建立具有权威性的专业技术中介体系与技术交易网络平台,使得愿意转让的科技成果能够得到合理的评估;其次,在东部经济地带进行技术入股市场化实验,不受国家规定的35%的技术股份额的限制,完全由市场和企业决定技术股的份额。四是培育积极创新的文化氛围。积极营造创业光荣,允许创业失败的浓厚创新氛围;对创业成功者给予奖励,失败者予以帮助;倡导政府、企业、个人都来参与创新文化的培育及弘扬。五是加大对民营企业的财政和金融支持力度。首先进一步加大财政资金投入,强化各类财政专项资金向民营企业倾斜的力度,重点支持民营企业公共服务体系、服务平台建设项目、自主创新产业项目以及安排就业的创业项目。其次,加快民营企业信用体系建设,开发符合民营企业特征的金融品种,建立区域性民营企业银行,建立健全融资担保机构。

需要特别指出,中西部经济地带要进一步建立健全社会服务体系,改善企业家创业环境。一是政府要加大对中介服务机构的支持力度,支持集资融资、认证许可、市场开拓、技术支持、人才培训、管理咨询、信息服务等各类社会中介服务机构,授权民政厅、工商联引导他们建立行业协会、商会等自律性组织,整顿中介服务市场,规范中介服务行为,营造良好的服务环境。二是优化创业发展环境。采取切实措施,加大对政务中心的改革力度,真正实现“一站式”和“一条龙”服务。严格治理“三乱”,除国家法律法规和国务院财政、价格主管部门以及省政府规定的收费项目外,任何部门和单位不得收取任何费用。三是全面构建创业服务体系。首先进行创业辅导。由劳动人事部门牵头,商会组织配合,邀请专家和创业成功人事为创业者提供创业辅导;其次加强职业技能培训。确定一批创业培训基地,整合高校、技校、职校等职业教育资源,打造创业人才队伍。再次加强创业融资支持。建立政府、银行、商会、企业的联席会议制度,加强创业者和金融单位之间的沟通,对符合国家政策的创业者和守信用的中小企业给予优先支持。

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