广义积分器

2024-07-20

广义积分器（精选4篇）

广义积分器篇1

引言

在平时, 经常会碰到无穷限广义积分的计算问题, 如果仅用积分学中计算广义积分的方法, 只能解决少数类型的无穷限广义积分, 即使能求有时也很麻烦, 如常要验证积分的一致收敛问题, 有一些还需要引进参变量利用积分号下求导的方法求解等等.这些计算方法计算过程比较复杂.所以除了掌握用基本方法求解无穷限广义积分外, 还应掌握一些其他求解方法.因而, 研究无穷限广义积分的计算问题就有迫切的必要性.

本文将研究范围缩小, 仅针对型无穷限广义积分的计算问题进行探求, 结合数学分析、复变函数、积分变换的有关知识得出了一些新的计算方法.

1. 定义法

所谓定义法, 顾名思义就是应用无穷限广义积分定义的基础上结合分部积分法等求解积分的方法.

定义1设函数f (x) 在区间[a, +∞) 上连续, 如果极限存在, 就称此极限值为f (x) 在[a, +∞) 上的无穷限广义积分, 记作.

定义2 (无穷限广义积分的分部积分法) 设u (x) , v (x) , u' (x) , v' (x) 在[a, +∞) 上连续, 又如果下面的等式中两项存在, 则第三项也存在, 且

注1:该方法用于求值适用范围窄.由于计算过程中应用分部积分法, 它仅适用于α是较小正整数且β为小于0的实数.因为β大于0时原无穷限广义积分发散, 而α值较大时, 计算过程太过复杂.

注2:仅用定义不涉及分部积分法的只能是α, β中至少有一项为0时, 具体来说:当α=0, β<0时, 此时原积分变成且积分值为1可单独用定义进行求解.同理, β=0可用定义直接求解.

2. Γ函数法

Γ函数是数学分析下册中介绍的一种函数.它与B函数统称为欧拉积分.应用Γ函数的定义及性质, 我们仍然可以解决一定范围内的型广义积分的计算问题.

定义3积分是参量s的函数, 称为Γ函数.

性质1Γ (s) 在定义域s>0内连续即这个无穷限广义积分是实收敛的.

证明Γ函数可写成如下两个积分之和:

在任何闭区间[a, b] (a>0) 上, 对于函数I (s) , 当00内连续.

性质2Γ (s) 有递推公式

特别地, 若s为正整数n+1, 则 (1) 式可以写成:

证明对下述积分应用分部积分法, 有

让A→+∞就得到Γ函数的递推公式:

性质3Γ (s) 仍具有其他形式, 令x=py, 就有

证明令x=py (s>0, p>0) .

注1:这种方法适用于全部的α>0的无穷限广义积分, 只有记清楚Γ函数的定义是否可用, 否则就得采用其他方法.

注2:当β≠-1时, 只需要应用性质3把原无穷限广义积分看作是Γ (s) 作相应的变元之后得到的积分, 进行计算即可.

3. 结语

本文主要就收敛的型无穷限广义积分计算方法进行探究, 主要应用数学分析中分部积分法、定义等多方面多角度提炼出了的计算方法.这些方法大大简便了该类型无穷限广义积分的计算.但需要指出的是本文提供的不同方法都有其不同使用范围, 有的范围稍大, 有的略小, 读者在今后应用这些方法计算无穷限广义积分时一定要注意.

当然, 求无穷限广义积分的方法还有很多, 如利用积分变换中的Fourier变换定义函数来求解, 数学分析中的级数理论和利用积分号与求和号交换顺序结合来求解也是计算该种无穷限广义积分行之有效的思路.

广义积分器篇2

关键词：定子磁链观测器,直接转矩控制,改进的二阶广义积分器,永磁同步电机

引言

永磁同步电机因其结构简单、维护成本低、效率高等优点而在风力发电、电动汽车驱动等领域得到广泛应用。

永磁同步电机的直接转矩控制实现简单、无需坐标变换, 并可以获得快速的动态响应速度, 因此在电动汽车驱动领域得到广泛应用。定子磁链观测是实现永磁同步电机直接转矩控制的基础。

现有的永磁同步电机定子磁链观测方案主要分为两大类: (1) 基于数学模型的磁链观测方案; (2) 基于状态观测器的磁链观测方案。

基于数学模型的磁链观测方案有:电流模型、电压模型和混合模型[1]。电流模型在低转速时性能较好;但对电机参数敏感, 其估算磁链的精度建立在电机参数准确的基础上。传统的电压模型是对反电动势直接积分, 具有结构简单, 对参数依赖性小等优点;但纯积分电压模型存在直流偏置和初始值误差累积问题。为了消除这些误差, 相关文献采用了低通滤波器代替纯积分器[2]、饱和双反馈积分器[3,4]、低通滤波补偿积分器[5,6,7]等策略加以改进。

基于状态观测器的磁链观测方案主要有:滑模观测器[8]、扩展卡尔曼滤波[9]、全阶状态观测器[10,11]和降阶状态观测器[12]。滑模观测器是一种变结构控制系统, 能够抵抗参数扰动的影响;但滑模观测器本质上是不连续的开关控制, 会引起系统抖动。基于卡尔曼滤波的方法鲁棒性较强, 但算法复杂、工程实现较为困难。基于全阶状态观测器实现的永磁同步电机定子磁链观测器存在观测器增益难以设计的问题。

本文基于ISOGI, 提出了一种改进的永磁同步电机定子磁链观测方法。给出了基于ISOGI的定子磁链观测器的实现方法, 并与传统的电压模型定子磁链观测算法进行了比较。最后通过仿真和实验验证了所提定子磁链观测器的可行性。

1 基于ISOGI的定子磁链观测器

永磁同步电机直接转矩控制的基础就是定子磁链和电磁转矩的观测, 而电磁转矩观测的基础也是定子磁链的观测, 因此, 本文提出一种基于ISOGI的永磁同步电机定子磁链观测器, 以解决传统的电压模型定子磁链观测器存在的问题, 提高直接转矩控制的精度。

1.1 磁链观测器的原理

电压模型是交流调速系统中磁链观测的基本方法, 它具有算法简单、对电机参数依赖小等优点。本文采用基于电压模型的定子磁链观测器, 来获得永磁同步电机直接转矩控制所需要的定子磁链和电磁转矩。

电压模型基于静止坐标系αβ轴电压与电流计算定子磁链, 满足

式 (1) 中:, 为定子磁链的αβ轴分量;μsα, μsβ为定子电压的αβ轴分量;isα, isβ为定子电流的αβ轴分量, Rs为定子电阻。

在电压模型中, 定子磁链主要通过对反电势信号的积分得到, 该方法只需要用到电机的定子电阻, 而其数值相对较小, 对磁链观测影响不大。但是, 其中需要引入一个纯积分环节, 而纯积分环节受积分初始值和积分漂移的影响。为此, 一般用低通滤波器来代替纯积分器, 虽然其解决了上述问题, 但低通滤波器的引入不可避免地带来了幅值和相位误差。为此本文提出了一种基于ISOGI的定子磁链观测器。

1.2 ISOGI的实现及其性能

二阶广义积分器 (second-order generalized integrator, SOGI) 常应用在谐振控制器及正负序分离等场合中对交流信号进行处理, 本文对SOGI进行改进可以实现磁链观测功能, 从而可以得到基于ISOGI的磁链观测器。ISOGI的传递函数为

式中:k为增益系数;ω0为定子角速度。

采用输出反馈的方法得到ISOGI实现形式如下式所示。

对于输入正弦信号, ISOGI是一个频率自适应积分器, 其结构框图如图1所示。

若输入频率为ω的信号, 此传递函数的幅频和相频特性如下

由式 (4) 可得, 稳态时, 有|G|=1/ω0, 说明ISOGI可以实现在输入频率ω0处的幅值增益为1/ω0;同时, 可以看出相角关系, 说明输出信号比输入信号滞后90º。因此, ISOGI环节可以对频率为ω0的输入信号实现纯积分作用。

ISOGI的伯德图如图2所示, 其中, 输入频率ω0取10*2πrad/s, k分别取0.2、和10。

从图2中可以看出, 当取不同的增益系数k时, ISOGI环节在输入频率处的幅值增益始终为1/ω0, 相位始终为﹣90º, 满足纯积分器的特性。

由图2可知, 增益系数k的大小决定ISOGI环节的性能。当增益系数k较小时其表现为带通滤波器特性, 对输入频率的选择性较好;而当增益系数k较大时其表现为低通滤波器特性, 且动态响应较快。为了兼顾选择性和动态响应, 增益系数k常取, 实际中可以根据输入信号中谐波分布不同取合适的k值。

1.3 基于ISOGI磁链观测器的实现

采用本文提出的ISOGI环节代替传统电压模型定子磁链观测器中的纯积分器, 可以得到基于ISOGI的永磁同步电机定子磁链观测器, 其输入输出关系如式 (5) 所示, 对应的原理框

图3中的定子电压可以根据变流器的开关状态计算得到, 定子电流通过电流传感器测量得到。在αβ坐标系中经过ISOGI环节可以得到定子磁链的αβ轴分量, 根据得到的定子磁链还可以进一步得到电磁转矩值, 如式 (6) , 其中, p为电机极对数。

2 仿真研究

为了验证本文所提出的基于ISOGI的定子磁链观测器的优越性, 进行了基于MATLAB/Simulink的仿真研究。仿真和实验所用电机的额定功率为110KW, 额定电流250A, 额定电压380V。

为了突出该算法的优势, 对比研究了该算法与传统的电压电流模型磁链观测器算法。

传统的电压模型磁链观测器直接对反电动势进行积分, 从而获得定子磁链。然而积分算法受积分初始值和积分漂移的影响。图4给出了电机运行于400r/min, 电流为60A时的仿真结果, 人为在反电动势中加入了直流偏量, 以突出两种算法的优劣。由图4可清晰地看到, 传统的电压模型受积分初始值和直流漂移的影响, 导致定子磁链不能正确得到估计, 而基于ISOGI的算法则不受积分初始值和积分漂移的影响。

3 实验研究

为了进一步验证所提算法的有效性, 对基于ISOGI的定子磁链观测器的性能进行了验证, 实验结果如下。

图5为转速1 0 0 r/min, 转矩电流50A时的电压、磁链及电流的稳态波形图, 从图5中第1个波形可以看出, 基于ISOGI得到的磁链滞后约为90º, 说明其实现了纯积分器的功能;由第2波形可以看出, 磁链超前90º, 幅值相等均等于指令值2, 角度的零点为的过零点;由第3波形可以看出电流Ia幅值达到相应的指令值。以上结果表明基于ISOGI的定子磁链观测器可以正常工作, 具有较好稳态特性。

图6为电机加载时定子电压与电流实验波形, 可以看出系统具有较好的动态响应特性。

4 结论

本文提出了一种基于ISOGI的永磁同步电机定子磁链观测器, 分析了其实现原理和性能, 并与传统的电压模型定子磁链观测器进行了对比。通过仿真和实验验证, 得出以下结论:

(1) ISOGI环节能够对输入正弦信号实现纯积分器的功能, 但没有纯积分器因输入信号初值、测量误差、采样误差等引起较大直流分量及积分饱和的问题。

(2) ISOGI环节中设置不同的增益系数k可以使其频响特性可以在低通滤波器和带通滤波器中变化, 因此可以根据输入信号中谐波分布的不同设置合适的k值。但在不同k值时ISOGI在基波频率处始终表现为纯积分器特性。

(3) 基于ISOGI的磁链观测器结构简单, 易于工程实现;具有良好的动稳态特性, 可以满足电动汽车驱动控制的要求。

参考文献

[1]吴轩钦, 谭国俊, 宋金梅, 等.基于混合磁链观测器电励磁同步电机矢量控制[J].电机与控制学报, 2010, 14 (3) :62-67

[2]Ohmori Y, Fujita H, Mitsuhashit.A spatial vector controlled inverter for induction motor drive without speed sensor[C].Proceedings of the First International Power Electronics and Motion Control Conference, 1994, June27-30, 1994, Beijing, China.1994:466-471

[3]Hu Jun, Wu Bin.New integration algorithms for estimating motor flux over a wide speed range[J].IEEE Trans.Power Electronics, 1998, 13 (5) :969-977

[4]贾洪平, 贺益康.一种适合DTC应用的非线性正交反馈补偿磁链观测器[J].中国电机工程学报, 2006, 26 (1) :101-105

[5]Idris N R N, Yatim A H M.An improved stator flux estimation in steady-state operation for direct torque control of induction machines[J].IEEE Transact ions on Industry Applications, 2002, 38 (1) :110-116

[6]何志明, 廖勇, 向大为.定子磁链观测器低通滤波器的改进[J].中国电机工程学报, 2008, 28 (18) :61-65

[7]唐芬, 金新民, 周啸, 等.基于低通滤波补偿积分器的直驱型永磁风力发电机无位置传感器控制[J].北京交通大学学报, 2011, 35 (5) :94-100

[8]黄雷, 赵光宙, 年珩.基于扩展反电势估算的内插式永磁同步电动机无传感器控制[J].中国电机工程学报, 2007, 27 (9) :59-63.

[9]张猛, 肖曦, 李永东.基于扩展卡尔曼滤波器的永磁同步电机转速和磁链观测器[J].中国电机工程学报, 2007, 27 (36) :36-40.

[10]Hasegawa M, MATSUI K.Position sensorless control for interior permanent magnet synchronous motor using adaptive flux observer with inductance identification[J].IET Electric Power Application, 2009, 3 (3) :209-217.

[11]汪令祥, 张兴, 张崇巍, 等.基于位置观测的直驱系统无速度传感器技术[J].电力系统自动化, 2008, 32 (12) :78-82.

广义积分器篇3

随着灵活交流输电系统FACTS技术发展,大量电力电子设备并入公用电网,对电网电压相位实时检测是一项基本的技术,如何高精度、快速的锁相是整个控制系统极其重要的一环。经典锁相环结构包含三部分:鉴相器检测出输出信号输入信号之间的相位偏差,环路滤波器消除相位偏差中的高频成分,振荡器利用偏差稳态量计算相位信息,通过不断的闭环调整,使得输出信号跟踪输入信号,直到两者之间的偏差为一恒定值。基于这一基本结构框架,同步旋转坐标系下的锁相方法(SRF-PLL)已成为一种主流的实用化方法,该方法最初应用于三相电网电压锁相[1,2],将三相电网电压信号从静止abc坐标变换到二相旋转dq坐标,利用d轴电压分量为零这一特性实现鉴相,得到电网电压实际相角与观测相角的偏差,带有低通特性的滤波器对偏差运算出修正量,加上基频后,观测到频率信号,进而得到实时角度信息。

本文首先介绍了SRF-PLL方法的基本原理,利用二阶广义积分构造正交信号以实现SRF-PLL方法对单相电网电压的锁相。最后,实验测试平台,给出了电网电压幅值突变、频率突变、谐波情况下的响应结果。

1 同步旋转锁相技术

若单相电网电压信号为:

其中θ为电网电压的实时相位角,单位rad,是待检测量;Vm为电网电压的幅值,单位V。

如果能够精确构造出一个信号qv',幅值大小与v相等,相位滞后v 90°,形成:

引入变换矩阵:

其中是θ的观测值。

将变换矩阵式(3)左乘式(2),化简:

当时,有:

(5)式表明,vd与相位偏差是线性关系,利用vd作为鉴相器,作为环路滤波器的输入,振荡器产生观测角度信号,如图1所示。

在图1中,单相电网输入信号仅有一个正弦波,所含的信息量较少,利用SRF-PLL方法对单相电网电压锁相时,需要构造一与输入信号v幅值相等,相位相差90°的正交信号qv',形成αβ分量。常用的正交信号生成方法是将输入信号滞后四分之一周期,但这会使得整个PLL响应相应变慢四分之一周期,在快速性要求比较高的场合,这一固有延时是无法接受的。文献[3]提出了基于二阶广义积分(Second Order Generalized Integrate)获得正交信号的方法,其基本结构如图2所示,对输入信号v与输出信号v'相减,乘以系数k,利用二阶广义积分实时构造出qv',实现了输入信号与输出信号的正交化,同时对输入信号兼有滤波效果[4]。

2 二阶广义积分正交信号发生器

两路正交信号对输入信号v的传递函数为:

其中ω=2π50 Hz=314 rad/s,k是待定系数,其取值大小影响系统性能。

对于式(6),其波特图如图3所示,由图可见,较大的k值,带宽较大,系统的响应较快,但对基频的选通性降低,滤波性能下降。

对于式(7),波特图如图5所示,可以看出,基频ω处相位总是滞后90°,放大倍数为1,且较大的k值对基频处的频率变化扰动有较好的适应性,但对输入信号低频抑制能力减弱[5]。

3 闭环系统参数设计

SRF-PLL的近似线性化模型可用图4表示,环路滤波器采用PI调节器形式,即:

其中Kp和τ分别是PI调节器比例增益和积分常数。

开环传递函数为:

相应的闭环传递函数为:

其中、θ(s)是、θ的拉普拉斯变换。

将式(8)代入式(10),有:

式(11)是一个典型闭环二阶系统,其标准形式为:

其中。对于上述闭环二阶传递函数,选取参数要在快速动态响应和良好稳态特性之间做出折中,常用二阶最佳方法取阻尼比ζ=0.707。当ζ确定后,无阻尼振荡频率ωn越大,上升时间、峰值时间和调整时间越短,响应速度越快,但较大的ωn会将误差也随之放大从而影响过渡过程。

4 实验验证

以TI公司的浮点型DSP F28335为核心,在CCS开发环境下,采用C语言编写了软件实现该锁相算法。信号发生器模拟电网电压,经调理后送入F28335的12位AD模块进行转换,通用定时器产生频率为10 k Hz的采样脉冲驱动中断程序运行,锁相算法每0.000 1 s运行一次。软件中运算变量数据调制在载频为150 k Hz的PWM波向GPIO口输出,外接截止频率600 Hz低通RC滤波后,实时观测[6]。对于三角函数运算,软件中加入经TI公司优化后的浮点运算库,直接调用实时计算。积分运算采用后向欧拉方法实现离散化,为了减小高速运算中的累计误差,PI调节器采用增量式结构,测试表明乘法和加法的速度足够快,但应避免耗时较多的除法运算。本文取k=1,Kp=0.65,τ=2.32×10-3。

图5给出了电网电压幅值突增20%情况下的响应,图6给出了电网电压幅值突降低20%情况下的响应,频率信号曲线为实际频率和观测频率的差值,可以看出二阶广义积分正交信号发生器响应较快,基本无延时,过渡过程的放大图表明系统可以很好的实现对v的锁相,且耗时不足1个周期,速度很快。

图7给出了电网电压频率从50 Hz突变至55 Hz情况下的响应,系统锁相效果良好,过渡过程耗时约2个周期,最大频率偏差只有4 Hz。

图8给出了电网电压叠加了30%的3次谐波、50%的5次谐波、70%的7次谐波情况下的响应,由于电网电压波形畸变严重,畸变严重的v和正交信号qv'后续锁相效果有影响。

5 结束语

本文结果表明:(1)SIGO方法的动态性能依赖于参数k和ω,当电网电压的频率偏离额定值后,该方法的选频性能下降,正交信号的生成质量会恶化,进而会影响后续SFR。通过实时观测输入电网电压的频率,使得SIGO的传递函数自适应频率变化,能提高正交信号发生器的动态性能。(2)当环路滤波器采用PI形式时,利用二阶最佳原则整定,且选择参数值不唯一,在较宽范围内都能满足系统的稳定性与快速性,在工程中十分便利。(3)该方法易于数字化实现,运算密度适中,利用高速DSP实现该算法时,针对本文的实验平台采样周期为1/10 k Hz,通过适当的优化乘法和加法运算,算法执行约50个机器周期,占中断函数执行时间的比例为3%,剩余时间执行变流设备的其它核心控制程序。(4)当电网电压的发生严重的波形畸变后,由于正交信号构造环节的性能受到影响,锁相质量变差,可通过提取基波信号的方法滤波予以改善。

参考文献

[1]CHUNG S K.A phase tracking system for three phase utility interface inverters[J].IEEE Transactions on Power Electronics,2000,15(3):431-438.

[2]龚锦霞,解大,张延迟.三相数字锁相环的原理及性能[J].电工技术学报,2009,24(10):94-99.

[3]MIHAI CIOBOTARU,REMUS TEODORESCU,FREDE BLAABJERG,et al.A new single-phase PLL structure based on second order generalized integrator[C].IEEE Power Electronics Specialists Conference,2006.

[4]薛尚青,蔡金锭.基于二阶广义积分器的基波正负序分量检测方法[J].电力自动化设备,2011,24(11):69-73.

[5]祁新梅,沈海滨,余文海,等.基于二阶广义积分单相锁相环的改进及实现[J].电力电子技术,2016,50(1):96-98.