微积分（共12篇）
微积分 篇1
摘要：微积分无论是对学生后继课程的学习还是数学思维的培养有着十分重要的作用, 但是在高职 (尤其是财会专业) 的数学教学中微积分因种种问题地位很不稳定甚至有被删除的危险, 到了不得不改的时候。
关键词：微积分,教材,财经专业
在高职阶段数学教学中, 微积分部分无论是对学生后继课程的学习还是数学思维的培养有着十分重要的作用, 同时作为数学的基础课程, 随着数学在其他专业课程中的应用越来越广泛, 微积分教学也日益受到关注。
近年来, 我国微积分教学进行了一系列的改革, 在内容更新、使用数学软件进行实验等方面做了许多实践和探索, 但在高职数学教学中常常有一种“够用就好”的观点, 一度有微积分在财经类学习中不实用, 可以删减的说法, 因此微积分内容在财经类专业数学教材中是几进几出, 地位很不稳定, 随时有被删的可能。
一、“四规则”教学方法的启示
其实出现这种情况也并不是只有我们一家独有文献[2]指出美国在上世纪60年代中期到80年代也出现过类似情况:大量学生微积分考试不及格, 成为严重的社会问题。因此在1987年, 美国国家科学基金会 (NSF) 宣布启动微积分改革计划, 并对改革给出以下建议:“微积分学课程需要修正和更新”, 改革的努力应着重于“培养学生概念性的理解能力, 解决问题的技巧, 分析与举一反三的技能。同时, 要通过实行新方法减少冗长乏味的计算”。哈佛微积分就是在这个背景下出版的, 这本教材在很多方面都确实很新颖, 包含了很多非常特别的问题, 并且引入了“4规则 (Rule of 4) ”:每个概念都用图形、文字、数值、代数的方式呈现。这些改革在很大程度上降低了微积分的形式推理要求, 适应了美国高等教育的变化。
它山之石可以攻玉, 这种“四规则”教学方法为我们打开了微积分教学改革的新思路:
启示一, 在我们的微积分教学中, 问题的描述往往偏重于公式和推理, 也就是“偏重符号演算和解题技巧的训练”。近年来, 图示的方法虽然开始逐渐流行, 但还是处于从属的地位。数值的方法和文字描述方法仍然没有引起重视, 其实很少采用的图示法、数值法和文字描述都能从直观上给学生引导, 因此无论是理解数学思想还是采用数学思想解决问题, “四规则”都是一种有效的方法, 应该引入我们的教学中, 受到足够的重视, 可以改革我们过分重视公式和推理的教学模式。
启示二, 重视学生对数学概念和问题的全面理解。这不仅反映在微积分的课程目标上面, 在考试的命题上同样也是如此。特别是从图形和数值上理解数学概念和理论, 给我们以耳目一新的感觉。
启示三, 用数学解决实际问题的能力要反映在数学教学中。美国微积分考试的自由回答部分就是检验学生应用数学推理解决问题的能力, 这些题目大部分是涉及实际问题的应用题, 集计算、推理 (证明) 于一体, 对学生综合应用知识能力的要求很高, 这一点很值得我们借鉴。
二、改进方法
对照上述三点启示, 我们的教改不妨从如下几个方面入手:
1、拓展对现实生活中事物变化规律的认识与刻画
学生从数量上刻画事物的发展变化是从函数的学习开始, 函数是刻画运动变化的模型, 但学生对运动变化的认识只停留在“静态”的水平上, 突出的是函数关系的建立和函数性质的数学定义, 对客观事物数学形式的认识还有一定的局限性所以高职微积分的内容应突出对变化率的认识和刻画, 掌握平均变化率、瞬时变化率的数学定义, 能够用变化率的思想思考事物的变化过程, 为学生今后掌握变量数学的研究方法奠定基础。
2、微积分初步的内容安排
课程内容是实现课程目标、实施教学的重要资源, 内容的选取要考虑到学生的已有经验、心理发展规律以及所学内容的特点。徽积分的内容应打破严谨的逻辑演绎体系, 让学生通过丰富的实例, 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率刻画现实问题的过程;学习导数, 体会导数的思想及其丰富内涵, 感受导数在解决实际问题中的的作用;运用导数研究函数的单调性、极值等性质。了解导数在研究函数性质中的一般性和有效性;体会徽积分对人类文化发展的价值和作用。
3、丰富学生解决教学问题的经验, 发展学生解决实际问题的能力
学生在一年级学习函数时, 已经知道了增函数、减函数和函数极值的数学定义, 并且会用增函数、减函数的定义来判断和证明函数在给定区间内的单调性, 能够用一定的方法 (如应用不等式、二次函数的单调性) 解决一些关于极值的问题但学生对函数的认识有待进一步深化, 重点应突出对函数变化的认识 (当自变量x变化时, 函数值Y随x的变化而变化的规律) 。因此在微积分内容中设立“用导数研究初等函数的性质”这一专题, 让学生从观察函数图像的切线人手, 判断函数的单调下降、单调上升和极值等性质, “此来丰富学生对函数的认识, 建立关于函数新的“图式”, 并通过运用导数解决一些带有实际意义和相关学科中的实际问题 (如增长率问题、优化问题等) 来发展学生解决实际问题的能力。
4、让学生在专业情景中体验和理解教学
几年过去了, 随着改革的深入, 在不同层面上, 微积分教学有了很大的改观, 教学计划和教学大纲的灵活性得到了, 加强, 教材内容和教学体系也开始向多元化发展, 在教材中也开始重视数学思想的熏陶, 但是微积分的问题仍然没有很好解决。问题还在于如何让学生在专业情景中体验和理解教学, 如何创设与学生生活环境、知识背景密切相关的学习情景, 以一定的问题背景为平台来理解新的概念。因此导数概念的引出就不应只关注对其数学形式和求导方法的讨论, 而是要给学生提供丰富的变化率的实例, 引导学生经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程。体会导数的思想, 探究导数概念的实际意义。为此, 教师可首先通过生产和日常生活中大量变化率的具体事例 (如增长率、回报率、边际利润, 弹性系数) 引出平均变化率的概念和它的数学描述, 通过解决社会生活中的一些实际问题, 如:某商品的需求函数为x=f (p) =75-p2, 那么当价格p分别为4和6时再上涨一个单位, 需求将如何变化?以此来逐步培养学生的兴趣, 让学生体会导数不仅能够反映实际事物的变化规律。也能解决财会专业中的大量问题, 对瞬时变化率教师也可以结合具体专业背景给出直观的描述, 如边际效益就可以认为是效益在一段时间内变化, 当成本变化足够小 (或销售量变化足够小) 时的平均效益。也可以用平均变化率的极限来定义边际成本, 弹性系数 (这里对极限不做深入的阐述, 只在直观意义上进行描述即可。重点是突出变化率的思想) , 最后摆脱开对变化率这一概念的直观提法, 提高到对一般函数的讨论。给出函数在某一点处的导数概念, 同时结合函数图像的直观性充分阐明函数变化和切线变化的关系。使学生对专业学习中的变化事例, 函数的变化率和导数的概念形成一个整体的认识和把握。
参考文献
[1]萧树铁, 等.高等数学改革研究报告 (非数学类专业) [M].北京:高等教育出版社, 2000.
[2][美]路易斯·伏利德勒.美国微积分教学:1940—2004[M].柴俊, 等译.高等数学研究, 2005, 8 (3) :6-11.
[3]杨宏林, 丁占文, 田立新.关于高等数学课程教学改革的几点思考[J].数学教育学报, 2004, 5 (2) :74-76.
微积分 篇2
《高等数学》考试提纲
第一章 函数、极限与连续
1、简单函数的定义域
2、熟练掌握两个重要极限 类似P61例9、例10P631（5）2（7）等
3、分段函数在分段点处连续性的判断 类似P722、5 等
4、间断点的判断
第二章 导数与微分
1、理解导数的定义，复合函数、幂指函数求导、高阶导数、隐函数导数、参数方程导数。类似P1061（3）（6）；P108 例4 ；P110例8，1（1-3）等
3、导数的应用 需求弹性 类似 P101 例6等
4、可导、可微与连续的关系；微分的计算 类似P115 例
5、例6等
第三章 中值定理及导数的应用
1、理解罗尔定理及拉格朗日中值定理
2、熟练掌握罗比达法则 类似P135 例5P137 例
12、例
13、例14等
3、函数的单调区间和极值的求法；函数的单调性证明不等式 类似P146 例
3、例
4、例5；P152 例
10、例11 等
4、利润最大化、收益最大化问题 类似P163 例10；P16710、11 等
第4章 不定积分
1、熟练掌握和应用不定积分的换元法和分部积分法 类似： P195 例8等
微积分式建筑魅力 篇3
微积分正是关于曲线的学问，斯图尔特先生曾说，相比起直线，曲线充满着无穷无尽的变化，曲线的韵律感就如同整个世界在自由地运转。也正是源于对微积分的热情以及受到的启发，斯图尔特先生用6年的时间将微积分化作设计灵感，凝聚在这座婉转流动的建筑之中。并且把这座建成的别墅命名为“微积分之家”，以此向数学致敬。
这座“微积分之家”，位于多伦多市罗斯代尔山谷。自落成后，就引起了许多建筑和设计爱好者的兴趣，纽约现代艺术博物馆的馆长曾评价它是“北美最重要的私宅之一”。整栋建筑约1672平方米，从外部看橡木框架和落地玻璃参差排列，整体形态曲折而波动。建筑外墙立面构造犹如起伏的波浪，更加完美地展示微积分的曲线特色。紧接着是别墅内部从大厅到走廊再到卫浴间，无处不在的弯曲线条，让整座建筑看起来优雅而灵动，并充满乐律感，因此设计师又把“微积分之家”形容成竖琴与手风琴的集合体。
除了流线型的设计构造，“微积分之家”还隐藏着许多令人意想不到的建筑结构和精致细节。例如整栋别墅从正前方看只有两层，是一个以木质造型与混凝土为主的素雅空间，但是绕到别墅的后侧你会发现，整栋建筑正顺着山势向高处逐渐延伸至沟壑部分，使得整体的建筑增至五层。卧室处在别墅的顶部，既隐蔽，又保证视野开阔。而泳池区域位于一层，在夏天可以打开落地玻璃窗直接跳进露天泳池游泳。
此外，设计师还对别墅的墙体进行了特殊处理，使得玻璃外墙能遮挡夏日强烈的阳光，别墅内部的实木墙体可以隐藏组合家具，拉伸出来的家具可以当作长椅和置物架使用。而且所有的家具都经过精心打磨，无论是床体还是桌椅棱角都很缓和，以柔和的曲线代替直角的尖锐。虽然外表看似通透空阔，其实在冬天也能保证舒适的室温，设计师为别墅设置了23根地热管，可以同时保证所有的室内空间甚至是室外的车道和人行道都享受到完备的地热系统来应对北美的酷寒。
另外斯图尔特先生还是个喜爱音乐的小提琴家，因此他在对别墅进行设计时还对设计师特地提出了一个要求：别墅要拥有一个可以举办音乐会的空间，可供亲友和艺术爱好者聚在一起欣赏演出。于是在室内建成了一个可以容纳200人的音乐厅，为了保证室内演出的效果，还专门安排放置了97块垂直的橡木鱼鳞板，来提升演出的声效。并且音乐的抽象与流动性本来就与起伏波动的曲线很吻合，音乐厅的出现与这座别墅相得益彰。
微积分的应用 篇4
定理若f (x) 在x=0点有直到n+1阶连续导数, 那么
这就是函数f (x) 在x=0点附近关于x的幂函数展开式, 也叫泰勒公式, 式中Rx (x) 叫做皮亚余项.
下面举例说明带皮亚诺型余项的泰勒公式的应用.
例1.求
解:由于cosx=1-
从而
于是
2.在微分方程中的应用
例2.设函数f (u) 具有连续导数, 而z=f (e x siny) 满足, 求f (u) .
分析:设z=f (u) , u=exsiny, 用一个中间变量代替两个自变量.
即得f″ (u) -f (u) =0, 这是关于未知函数f (u) 的二阶常系数线性齐次微分方程.
特征方程:r2-1=0, r1=-1, r2=1, 通解为f (u) =.
3.积分在几何中的应用
例3.求椭圆=1所围成图形的面积.
解:因为椭圆关于两坐标轴都对称, 所以椭圆面积应等于其第一象限面积的四倍.这样, 椭圆面积A=
用换元法, 令x=asint, 则dx=acostdt.且x=0时t=0;x=a时t=, 从而
4.在经济中应用最大利润问题
例4.某公司投资2000万元, 建成一条生产线, 投产后, 其追加成本和追加收入 (分别是成本函数和收入函数对时间t的变化率, 类似于边际函数概念) 分别为G (t) =5+ (百万元/年) Φ (x) =17- (百万元/年) .试确定该生产线使用多长时间停产可使公司获得最大利润?最大利润是多少?
解:容易看出, 追加成本G (t) 是单调增函数而追加收入Φ (x) 是单调减函数, 这说明生产费用在逐年增加, 而生产收入在逐年减少, 二者之差即为生产利润随时间的变化率:
与边际成本和边际收入的关系相同, 这里生产利润的最大值在的必要条件也是G (t) =Φ (x) .
解之得t=8, 由于生产利润对时间的二阶导数=[Φ (x) -G (t) ]′=-<0, 因此上述t=8是生产利润的最大值点.这样, 生产利润的最大值 (单位:百万元) 为2
=38.4-20=18.4百万元
即生产线应用在使用8年后停产, 此时公司总利润为1840万元.
摘要：微积分是微分学和积分学的合称, 产生于17世纪后半期, 基本完成于19世纪, 它不仅是分析学的基础部分, 而且是现代数学的基础部分, 在各领域中有着广泛应用.本文主要研究微积分在力学、经济、几何方面的应用.
怎么学好微积分 篇5
重基础，就是指我们应该对教材上的基本定义，定理，公式，例题弄明白。所谓万变不离其宗，我们把这些弄清楚后，我们才有举一反三的本钱。全面学习，即指我们在学习过程中应多注意前后联系。数学学习是一个长期过程，我们不能依据个人爱好而对某些部分的内容放弃，相反，做好各章之间的联系才是我们该做的。
2反复训练重点内容，熟练掌握。
数学成绩是练出来的，而且是看出来的，很多东西需要我们自己动手之后才会有收获。多问，多练，是学习数学的一种重要方法。
3学会总结。
在大量的练习的基础上，我们应该依据个人的情况，定期(每周或每月)对自己所学进行总结，在总结之后才能举一反三，中练习中汲取到方法。
4考前复习。
在考试之前，对教材的熟悉是必要的,将书上的定理等熟记于心在考试中才能减少失误，因此如果时间充裕，最好将教材通看一遍。
5沉着冷静应考。
微积分进入中学课堂的意义 篇6
微积分学是人类思维伟大成果之一，不仅是学生以后学习高等数学以及许多数学分支的基础，而且对于培养学生的数学思维，增强学生的解题能力也有很大的促进作用。除微积分的基本理论对中学数学有重要的指导作用之外，微积分作为一个强大的工具，其思想方法也可以帮助我们解决一些用初等数学方法处理比较繁琐的数学问题。
将目光投向世界，和发达国家的高中课程设置相比，更能发现我国新大纲将微积分作为教学内容的必要性和可行性。
一、微积分能极大地拓展学生解决问题的能力
千百年来，我国的数学教育局限于私塾中教授的算术、三角.解放后，仿照苏联的教育体系，我国建立了自己的教育体系和教学大纲，自此代数、解析、数列等内容进入了中学课堂。然而微积分一直被束之高阁，或以导数的形式部分进入课堂，或作为选修与竞赛内容仅供那些学有余力的学生学习，这导致了一些弊端.第一，传统知识点的教学与学习上刻意追求深度，使学生陷于解决难题、怪题的圈子。第二，大量可由微积分推导、证明出的定理、结论不得不以公式的形式交由学生死记硬背，既降低了理解又不易激发学生的探索精神。第三，传统的高中知识诸如数列、圆锥曲线、二项式定理等与现实结合不够紧密，应用题较少，在高考中更是罕见应用类的大题。而微积分解决了大量生产生活中的问题，自身就有极多的应用点可以挖掘，利用它将各知识点串联又可以产生更多的应用点。
二、微积分能增进学生对数学的理解与认知
回顾微积分的历史可以发现，纵然当今我们视牛顿和莱布尼茨为微积分的创始人，但实际上微分和积分的思想早在两千年以前的古希腊和中国就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物线弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积等问题中，就隐含着近代积分学的思想.《庄子.天下篇》中记有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
从近几年来导数进入课堂的情况来看，微积分是否应该进入中学课堂，取决于我们教师能否以正确、通俗易懂的方式将全新的数学观念介绍给学生，一旦学生接受了微积分的思想，对于他们理解数学、开拓思维甚至认识世界都将是一次质的飞越。
三、微积分对中学与大学数学课堂的衔接起重要作用
大学的扩招导致了生源平均素质的下降，许多人无法适应大学学习生活.这其中，大学里开设的高等数学以及建立在微积分之上其它课程是许多人无法适应的原因之一。大学学习与中学完全不同，缺少中学那种反复与强制性的练习，让学生巩固理解，这会导致许多人在初次学习微积分时便一知半解，又不能通过练习来加深认识，最终学习情况惨不忍睹，而如果将部分微积分内容引入中学课堂，让学生提前理解、练习则可解决这个问题，让学生顺利过渡到大学学习生活中。
四、微积分能显著提高中学教师的业务水平
学而不用则废，知识无论当初掌握得多么扎实，如果不经常复习巩固都将遗忘.这点对教师也是如此。数学师范类学生在大学里都要学习微积分、实变函数、微分方程等内容，然而从事中小学教学工作后这部分知识就不再使用，最终都将遗忘。将微积分引入中学课堂后，能够督促教师进行自身学习，自我提高.这对中小学教员巩固知识、增进学习精神、提高业务水平都将大有裨益。
五、高中生学习微积分的必要性和可行性的总结
（1）社会发展的需要。 1983~1986年国家教材研究所和中国教育学会，联合组织了一项名为《全国经济和社会发展对数学基础知识和基本技能的需要调查研究》的大型社会情况调查，其目的是为确定中小学数学教学内容提供客观依据.结果表明，相当多的行业和专业都在不同程度上需要微积分知识。
（2）科技发展的需要。科技发展对人才数学素质的需要必然反映到数学教育中，特別是反映到数学教学内容的取舍上。因此，我们要与时俱进，删去或弱化那些不能适应科技发展需要的内容，增加或强化一些近代和现代的知识，比如计算机知识、概率统计知识以及微积分等。
（3）学生思维发展的需要。微积分中以“直”代“曲”、以局部研究整体，从有限认识无限的思想，都是初等数学中从未涉及的。这些思想和方法是非常重要的，有利于学生形成辩证逻辑思维，有利于实现学生思维的飞跃，认识到数学知识的统一性。
（4）可持续发展的需要。高中是基础教育的最后阶段，具有承上启下的重要作用.一部分学生进入大学继续深造，中学阶段的学习为大学学好微积分打下一定的基础，另一部分学生，要进入社会工作，掌握初步微积分知识将是他们在工作中掌握新技术的基础。
其可行性体现在如下几点:
（1）从学生的心理发展来看。初中阶段是学生以形象思维为主逐步向经验型的抽象思维的过渡阶段，学生的抽象思维能力逐步占优势。高中阶段是学生以经验型为主的抽象思维向理论型抽象思维的过渡阶段，这时抽象逻辑思维占主导地位.微积分是高度抽象思维的结果，因此，在高中开设部分微积分课程是完全符合学生心理发展规律的。
（2）从当前数学教学资源情况来看，微积分在中学开设是完全可行的。目前，我国高中老师基本都达到了大学本科水平，硬件设施已有明显的改善，多媒体教学设备一应俱全。新课程标准下的高中数学在内容和结构上都做了大幅度的调整，从而在学时上为增加微积分初步知识提供了保证。
微积分例题优化设计 篇7
好的例题是学习微积分知识和理解基本定义、基本概念的重要途径, 例题设计注重学生掌握高等数学的基本思想, 基本概念, 培养学生的数学素养和哲学思维, 从而进一步提高学生综合解决问题的能力和创新能力. 鉴于此, 本文从以下八个方面精心设计例题, 以期提高教学效果.
二、微积分教学例题设计
1. 例题设计结合当前社会元素, 使例题具有生活精神.
例题设计与当下热点结合, 既体现了数学的真实性同时反映生活精神. 2013 年11 月, 恒大俱乐部更新亚冠决赛第二回合海报, 海报内容是两个数学公式, 左边是恒大, 右边是首尔eπi+ 1= ?.“答案就是3: 0 ”. 从一张足球海报挖掘出丰富的数学内涵, 左边是一个印度数学家发现的恒等式, 叫拉马努金恒等式. 右边是著名的欧拉公式, 一个公式把两个超越数 π 和e, 两个单位1 和i还有0 结合起来, 这个公式不仅仅是一个奇妙的恒等关系, 而且它所包含的元素也是其妙无穷.
此例题的设计结合当前中国足球热点, 不仅有助于学生更好地理解拉马努金恒等式, 同时使学生了解到了印度平民天才数学家拉马努金, 例题设计溢出效应显著.
2. 例题设计融入学生所学专业背景. 反映微积分的实际应用
微积分是重要的基础课, 学生专业背景的不同要求我们在例题设计中应融于学生所学专业, 体现专业的实际应用. 例如: 经济系学生我们设计“边际函数在经济生活中应用”专题研讨, 汽车系学生我们设计“汽车车灯线光源的优化设计”例题专题, 管理系学生我们设计“模糊数学- 层次分析法在人力资源管理应用”专题等等. 实践证明根据专业背景灵活设计例题教学中学生参与度更高, 而且“溢出效应”明显.
3. 例题设计与计算机结合, 使例题剖析更加清晰
互联网时代下计算机工具的创造和使用能让我们对数学有更高效和直观的理解, 使用诸如mathematica, matlab等数学软件, 使得计算机发挥最佳作用, 让计算机做人所能做的, 如代数运算, 求导求积等; 更重要的是, 让计算机做人所做不到的, 如数值和图像化的功能. 例如: 在两个重要极限章节的教学中, 为了研究重要极限自变量变化因变量的趋势, 利用计算机给出动态动画过程, 则可以使学生产生直观的认识, 从而加深对极限的理解. 此外, 我们还可以充分应用微信平台, 例如“数学中国”、“高数网”等公众号, 放在手机终端上讨论, 既节约课堂上的宝贵时间, 又引发学生积极讨论和扩展课外知识的认知, 能更深刻地理解数字历史、人物、概念及技巧.
4. 例题设计重视数形结合, 一题多解, 能够让学生举一反三
把数学式子与其集合图形结合起来考虑, 以“形”助“数”或者以“数”助“形”达到解决问题的目的. 我们在例题设计中要突出此类题目的设计和一题多解. 例如: 设R >0, . 注意到定积分在几何上表示半径为R的四分之一圆, 因而有该题突破直接定积分解题, 而是基于基本概念定义数形结合, 抓住本质快速解题.
5. 例题设计融入数学符号史, 跳出符号来理解符号
我国数学史家梁宗巨先生曾说: “一套合适的符号, 绝不仅仅是起速记、节省时间的作用, 它能够精确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系. 一个较复杂的公式, 如果不用符号而用日常语言来叙述, 往往十分冗长而去含混不清. ”可见理解好数学符号、用好数学符号是学好数学的必要条件. 例如积分符号∫ 就是一个很好的典范, 莱布尼兹最初的手稿 ( 公元1675 年) 用符号omn. L表述L的积分, 即用L表示今日的dy, omn. 是拉丁文“omnia” ( 所有, 全部, 总和之意) 一词头三个字母的缩写, 后来莱布尼兹将omn. L写成∫更有用, 这里∫是拉丁文“summa” ( 和) 的第一个字母s的拉长. 从积分符号∫ 的变更, 我们更能理解积分实质是“和的极限”这个本质.
6. 例题设计注重与当下时政结合, 使数学更加新鲜、更加接地气
2006 年, 中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东证明了国际数学界关注了上百年的重大难题———庞加莱猜想. 2012 年8 月底, 日本数学家望月新一发表了由四篇长文组成的系列论文的第四篇, 宣称证明了包括ABC猜想在内的若干重要猜想. 2013 年5 月, 华人数学家张益唐在纯粹数学领域知名刊物《数学年刊》上发表了《素数间的有界距离》, 证明了存在无数多个素数对 ( p, q) , 其中每一对素数之差, 即p和q的距离, 不超过七千万…….例题研讨加入这些同期的数学时政, 能拓宽学生的思维, 加深对书本外的求知欲望.
三、结语
浅谈微积分极限思想 篇8
学习数学不仅要学重要的数学概念、方法和结论，更要领会数学的精神实质和思想方法。极限思想是微积分中一个重要的内容，是应用微积分解决实际问题的重要思想来源。经济学中的边际、弹性、消费者剩余等许多问题，都涉及极限思想这一重要方法。需要用微积分解决的问题，还包括物理学、流体力学、建筑学、天文学、航海学等各个领域的问题。
因此不论是从数学本身的角度来看，还是从学生专业应用方面来看，极限思想对于大学基础数学的教学都是一个重点。然而我在教学过程中发现，极限思想是教学过程中一个难点，主要表现在：(1)学生思维方式的转变。学生在中学里学的初等数学是研究常量的数学，主要是常量的运算，以及对一些孤立、简单、直观的几何图形的研究，学生的思维方式是静止的、孤立的、片面的，而高等数学则是关于变量的科学，需要在变化的过程中把握问题的本质，需要用动态的、联系的、全面的思维去研究它。“极限”尤其需要学生用动态的思维去理解。(2)极限概念有着深刻的思想性，它包含了事物的无限运动变化过程和无限逼近思想，体现了由有限到无限、近似到精确、量变到质变的辩证思想，这对于初学者也是难以理解与把握的。(3)极限概念得出的过程是由感性认识上升到理性结论的过程，需要进行严密的逻辑论证，而因为概念自身的辩证性，这个论证尤其复杂，学生接受也存在困难。
上述问题在教学过程中如何解决，教师如何做到深入浅出，让学生自然地理解极限的概念，是值得深入探讨的问题。以下是关于极限思想教学的三个方面：
一、实例引入，激发兴趣
在极限定义给出之前，为了激发学生的兴趣，教师可以先给学生引入一些在微积分极限思想发展过程中一些典型的有意思的实例，目的在于体现极限思想的巧妙与强大。比如无穷分割下的极限思想是微积分思想起源的关键，最能引起关于对无穷思索的是求曲边图形的面积。1615年开普勒发表《测量酒桶体积的科学》，大胆巧妙地将无穷小求和思想用于求平面图形面积，圆面积公式的推导即可由此得到：
如图，若已知圆周长为2πr，现将圆面无限分割，则圆面积可被看作是由无限多个顶点在圆心，高等于半径、底边是圆周一部分的小三角形组成，所以，这些小三角形面积之和的极限值为同理还可在已知球表面面积公式的前提下推导球体体积公式。同样的思想，把球看作是由无限多个顶点在球心、底在球面上的无限小锥体，于是球体积为注意：此处仅仅是大致的一个想法，并不需要严格的证明，因为目的仅仅是让学生对于极限思想有一个感性认识。
二、感性认识到理性认识的过渡
要让学生对极限思想有一定的感性的认识，让他们觉得极限思想的神秘，从而产生一定的求知欲，教师就需要对学生进行一定的对极限思想理性认识的引导。首先要让学生知道“理性”这样一个东西，这时候不妨给学生介绍一下芝诺悖论中“阿基琉斯追赶乌龟的问题”：开始时乌龟在阿基琉斯前S1米处，阿基琉斯追赶完这S1米时，乌龟前进了S2米;阿基琉斯追赶完S2米，乌龟前进了S3米……依次类推，乌龟永远在阿基琉斯前面，阿基琉斯永远追不上乌龟。而事实上却非如此，我们的“感性”告诉我们：阿基琉斯一定可以追上乌龟的。但是学生一时半会儿却没办法推翻这个“感觉不可能”的结论，这时候就让他们体会到在“理性”的推理面前“感性”其实是很脆弱的。这其实从另外一方面体现了数学的魅力，提高了学生学习数学的积极性。然而这毕竟只是一个悖论，我们可以揭破谜底，其实在我国古代的文献中也有类似的记载，庄周的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”即可作为芝诺悖论的一种解答，即一个有限的量可以看成是无限多个量的和的“极限”。换句话讲就是，阿基琉斯追上乌龟这一有限的时间，可以拆成无限多小段时间的和，比如上述的“一尺之锥”就可拆成这无穷多项的和。当然这其实是级数里的一个简单的问题，在这里仅仅是给学生一个感悟，引导他们对于“极限”这一概念进行一个理性的认识，也即极限的数学定义。
三、极限的数学定义
关于极限的定义，教师首先必须明确一点，即极限指的是一种变化“趋势”，就是研究当自变量发生某种变化时函数的变化趋势，至于能不能到达那个“位置”，则没有作出要求。极限是一个“过程”，一个不断变化的无限过程，对这个过程我们可以分两类来讨论，一类是“无限趋近于某一点”的概念;另一类是“无穷大”的概念，包括正无穷和负无穷。
首先，对于“无限趋近于某一点”，我们可以以特例：x→0为典型，因为变量x趋于任意一点a可以转化成y=xa→0。当x→0时，x就是一个变化的过程，而不是一个常量，因为任意靠近0的一个常量，其中间必然还有比它更靠近0的量，比如已经很靠近0了，但更加靠近0。所以对于常量而言，不存在最靠近于0的，只有更靠近于0的。因此要准确地给出x→0的定义，就必然要引进ε语言：如果x→0，当且仅当给定任意小的一个量ε，而x比任意给定的这个ε还要更小，即x→0圳坌ε>0，|x|<ε。同样的道理有：x→a
接着是“无穷大”的概念，有了上面的分析以后，可以试着让学生学着用数学的理性的语言来描述这一概念。可以不要求规范性，但要求严谨性，要保证描述的定义能够“滴水不漏”。实际上跟x→0类似，x→∞也可用同样的方法描述，只需要注意一点，也就是对于任意给定一个常量M(一般是指很大的一个大于0的量)，x更靠近∞指的是|x|比任意大的量M还要更大。即：x→∞圳坌M>0，|x|>M。
最后，对于函数极限的定义而言，无外乎多了一个邻域和邻域半径的概念，其实仍然是上面两种简单的极限过程的一种引申。邻域或者邻域半径只是极限过程的一个条件，理解透了极限过程的话就很容易理解这个过程所需要的条件的。有了函数的定义就有微积分的一系列重要的概念，比如连续、导数、微分、积分等。就是这些基础的概念构成整个微积分学，因此归根结底，仍然是极限思想。
总的来说，极限理论教学要始终贯穿用“已知”认识“未知”，从量变产生飞跃到质变的科学辩证思想，运用定性描述和定量分析的方法。大概的讲授步骤为：引例→过渡→实例分析→抽象→本质特征→得出极限概念。相信按此思路，层层铺垫，步步深入，学生理应会慢慢接受，并逐层理解消化。
数学思想方法是数学知识的精髓，是对数学知识和方法的本质认识，为解决数学问题提供了科学方法，是培养智力和提高能力的有效工具。因此，数学思想方法是数学教学的核心，数学教师必须重视对学生数学思想方法的教育。
参考文献
[1]汪晓梦.极限思想的形成、发展及其哲学意义[J].中共合肥市委党校学报, 2004, (3) .
[2]陈纪修, 於崇华, 金路.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2004.
微积分基本定理新证 篇9
所以说, 无论是从数学思想性还是从数学实用性的角度来看, 微积分基本定理均可谓意义巨大、影响深远。
笔者将结合自身的教学实践系统地给出微积分基本定理的直观证明, 以便读者对该定理的理解更为清晰、透彻。
引理1若函数f4x4的导函数f′4x4≡0, x∈[a, b], 则必存在常数C, 使得fx4 4≡C, x∈[a, b]。
因为x1, x2是[a, b]上的任意两点, 所以上面的等式表明:
f4x4在[a, b]上函数值总是相等的, 也即是说, f4x4是闭区间[a, b]上的常值函数。
引理2若函数Fx4 4与Gx4 4均为函数fx4 4在闭区间[a, b]上的原函数, 则必存在常数C, 使得F4x4-G4x4≡C, x∈[a, b]。
证明∵F′x4=4fx4 4, G′x4=4fx4 4, x∈[a, b]
从而由引理1可知, 存在常数C,
使得Fx4-4Gx4 4≡C, x∈[a, b]。
引理3若函数f4x4在闭区间[a, b]上存在原函数, 则函数f4x4的所有原函数在闭区间上的增量均相等。
证明:只需证明函数f4x4的任意两个原函数在闭区间[a, b]上的增量相等即可。
设函数F4x4与G4x4为函数在闭区间上的任意两个原函数, 即有:
由引理2可知, 存在常数C, 使得F4x4-G4x4≡C, x∈[a, b]
由于f4x4在[a, b]上有界, 可设f4t4≤M, t∈[a, b]。
于是, 当△x>0时,
故Φ4x4在点x连续, 再由x的任意性, 可知Φ4x4在[a, b]上处处连续。
证明:对[a, b]上任一确定的x, 当△x≠0且x+△x∈[a, b]时, 由积分中值定理可知:
由于f4x4在点x连续, 故有:
注:本定理沟通了导数和定积分这两个从表面来看似乎不相干的概念之间的内在联系;同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论, 并以积分形式给出了连续函数f4x4的一个原函数。
注:积分上限函数Φ4x4与已知的F4x4作为闭区间[a, b]上连续函数f4x4的两个原函数, 那么它们在闭区间[a, b]上的增量就必然相等, 等式结论即为微积分基本公式, 也称牛顿—莱布尼兹公式。该思想简单而且直接, 从而简化了微积分基本定理的证法。微积分基本定理作为微积分中最重要的一个定理, 其特殊地位和实用价值不言而喻, 它使得一项比较繁琐的求定积分的问题 (按定义的话) 变得简洁, 尤为重要的是, 它清晰地构建了看似无关的积分与微分的密切关系, 从而使得二者统一为一个体系———微积分学。
参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学.上册 (第六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.
“微积分”的数学文化价值分析 篇10
一、教师活动
(一) 提出问题, 启动思维
问题1如何求正方形、长方形、三角形的面积?这些图形都有什么特点?
问题2你知道圆的面积公式吗?它的面积是怎样计算的?
(二) 引入新课, 探究学习
问题3如图, 阴影部分类似于一个梯形, 但有一边是曲线y=f (x) 的一段, 我们把由直线x=a, x=b (a≠b) , y=0和曲线y=f (x) 所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积S?
问题4如何求由抛物线y=x2与直线x=1, y=0所围成的平面图形部分的面积S?结论: (1) 曲边梯形与“直边图形”的主要区别:曲边梯形有一边是曲线段, “直边图形”的所有边都是直线段. (2) 应用“以直代曲”的思想求曲边梯形面积, 共分四步.
(三) 整理新知, 巩固所学
问题5求曲边梯形面积的四个步骤都是什么?这四个步骤间有何关系?
解答第一步:分割.得到区间[xi-1, xi], 其长度Δxi=xi-xi-1;第二步:近似代替.“以直代曲”, 用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积, 求出每个小曲边梯形面积的近似值;第三步:求和;第四步:取极限.因此可简称为分割、近似代替、求和、取极限;强调最后所得曲边梯形的面积不是近似值, 而是真实值.
问题6求由曲边梯形y=2x-x2, y=0, 0≤x≤2围成的图形的面积.
(四) 课堂小结, 思考问题
小结: (1) 求曲边梯形的思想方法是什么?具体步骤是什么?最终形式是什么?
(2) 结合求曲边梯形的思想和步骤谈谈你对“以直代曲”的核心思想的认识.
二、设计意图
问题1学生归纳平面图形特点是:各边都是线段组成的图形.同时把思维引向如何求面积的方向上来.
问题2学生感受求曲边图形面积的难度, 回忆圆的面积求法, 为本节课类比做好铺垫.
问题3给出曲边梯形的定义, 明确本节的研究课题, 由具体问题出发, 激发热情.
问题4先研究特殊的曲边梯形的面积, 简化运算, 揭示思想核心.应用“以直代曲”的思想把求由抛物线y=x2与直线x=1, y=0所围成的平面图形的面积归纳为以下步骤:分割→近似代替→求和→取极限.
问题5先分后总整理一般步骤, 得到一般方法, 给出求解这类问题的一般步骤:“四步曲”, 由特殊问题探究上升到一般认识.
问题6通过解决具体曲边梯形的面积, 熟悉求曲边梯形的方法和具体步骤, 从而巩固定积分的最本质的思想方法, 为下节课学习打好基础.
设计要求和意图:让学生自己总结并谈体会, 反馈和评价本小节学习, 强调重点, 即掌握求解过程的步骤是分割、近似代替 (以值代曲) 、求和、逼近 (取极限) 的思想.
三、文化价值分析
问题1:平面图形的组成形式;问题2:分割思想, 数学知识来源于生活;问题3:因为实际需要而产生;问题4:以直代曲, 近似到精确, 逼近的思想;问题5:升华到特殊到一般的探究过程, 从而形成数学概念;问题6:再由一般到具体例题的理论实践过程, 学生总结归纳形成思维, 理解以直代曲的数学文化价值.
本教学案例设计突出概念教学, 强化概念的形成过程, 培养学生的数学模型意识;突出数学思想方法的教学, 加强了导数概念的形成过程及与实际问题的迫切联系;加强了定积分本质的理解;借助微积分产生的时代背景, 突出学生人文价值的培养.
微积分概念中, 其总体思想是“整体—局部—整体”.这一思维方式在求曲边梯形的面积 (定积分定义) 中得到了体现, 在每个局部小范围内体现“以直代曲”、“以不变代变”和“逼近”的数学思想.求曲边梯形面积包括: (1) “化整为零”, 把曲边梯形分割为若干个小曲边梯形. (2) “以直代曲”, 对于每个小曲边梯形用相应的矩形面积近似代替. (3) “积零为整”, 将所有的小矩形面积加起来求出大梯形面积, 得出曲边梯形面积的近似值. (4) “回归精确”, 把曲边梯形无限细分, 这时每个无限小的矩形面积就转化为微分、极限式求值, 此时原来的近似值变为准确值 (质变过程) , 得到定积分.同样在其中也包含了化归的核心思想:化繁为简, 化难为易, 化动为静, 抽象到具体的数学文化价值.因此, 我们不应该以静止的眼光, 而应以可变的观点去看待问题, 即应善于对面对的问题进行变形.
对“微积分基本定理”的初探 篇11
[关键词] 微分与积分 完善 创立 统一
一、定理建立的时代背景
多数高等数学教材中的微积分基本定理,其严格的表述与证明的依据是由法国数学家柯西(Cauchy Augustin —Louis 1789～1851)在他的著作《分析教程》中提出的。
17世纪初,很多数学家为微积分的创建做了大量的准备工作。例如,意大利数学家Luca valerio和工程师Simon Stevion在求水闸压力问题时,先把水闸分成很窄的水平长条,然后让这些长条饶其中位线旋转成水平状态,再求出长条所受的压力,把所有长条上的压力加到一起就认为是水闸的压力。这种加法和现代的积分方法已经比较接近了。
微分学的前期工作是切线问题和极限问题,1629年,费尔马就研究过周长为2B的长方形,当边长为2B时其面积最大。即周长为一定的长方形中正方形的面积最大。在牛顿和莱布尼兹研究微积分之前,微积分的前期准备工作已经很长远了,所以,定积分出现在不定积分之前。而微分学的起源比积分学的起源晚得多。
牛顿(Newton Lssac,1642～1727),英国大物理学家和数学家,牛顿在1665～1687间,对微积分的研究成果为:《正流数术》、《反流数术》、《流数简论》、《运用无限项方程的分析》、《流数发与无穷级数》、《自然哲学的数学原理》。
莱布尼兹(Leibniz Gottfried Wilhelm,1646—1716)德国的大数学家和哲学家,他于1675年给出积分号“∫”,它是求和“sum”字头“S”的拉长,同年引入微分号“d”,1676年,莱布尼兹得出公式(e为实数).
后来又得到高级微分公式“莱布尼兹法则 ”。
经过18世纪、19世纪众多数学家的精细研究,微积分不仅硕果累累,而且概念更为准确,理论更为严密。其中,18世纪的代表作为欧拉的《无限小分析引论》,《微分学》和《积分学》。这三本巨作可成为数学史上的里程碑。19世纪最影响的是柯西,柯西的代表作有《分析教程》,《无穷小分析教程概论》,《微分计算教程》,在他的著作中,对极限、无穷小、函数的连续性、级数收敛性、导数与微分、定积分、微积分基本定理和中值定理都有精辟的论述。德国数学家维尔斯特拉斯(Karl Weierstrass.1815—1897)是微积分严格化的又一功臣。他建立了一种不依赖于直观的纯粹的算数化的微积分。终于使微积分达到了严密的形式。维尔斯特拉斯也被誉为“现代分析之父”。
法国数学家达布(Darboux..Jean Gaston 1842～1917)在1875年有给出了推广意义下的微积分基本定理(即把定理(1)(2)中的“f(x)在[a、b]连续”改为“f(x)在[a、b]可积”).
二、表述定理的两种形式
三、定理的重要解析意义
微积分主要由微分学与积分学两部分组成,微分学的中心问题为切线问题,积分学的中心问题是求积问题. 微分学与积分学是同时发展的两个概念,直到17世纪后期,微积分的基本定理建立以后,才在微分学与积分学之间架起一座桥梁,而且在理论上标志着微积分完整理论的形成,从此,微积分才成为一门独立的学科。
定理(1)与(2)揭示了定积分与不定积分之间的联系,求原函数,从而为计算定积分提供了一个十分有效的方法,同时揭示了微分与积分之间的本质联系—微分与积分互为逆运算。
定理(1)表明对函数取积分后再取导数,或对表达式取积分后再取微分,则完全恢复原状态。有如先后进行两种的两种运算先后“抵消”,因此,可以认为微分(或导数)与积分是互逆运算。定理(2)则从另一角度对这种关系做了进一步的揭示。我们取分点:,由微分中值定理知:
导数、微分、不等积分与定积分是微积分学中最重要的概念,其中微分与不定积分都是由导数定义的,三者之间的联系是明显的,但定积分同这三个概念的联系却不能从定义中看出,正是微积分基本定理从理论上揭示了定积分与微分之间的互逆关系,使微积分的四个重要概念得到了完全沟通,从而使微分学与积分学形成一个有机整体。自此可以看出,将定理叫“微积分基本定理”是理所当然的了。
参考文献:
[1]朱学志.数学史数学方法论.1984.
[2]李文林.数学珍宝—历史文献精选.1984历史文献精选.
微积分基本定理的教学探索 篇12
谈到微积分, 很多教师会和学生交代其是牛顿和莱布尼茨所发明, 其实只能说是二人完成了主要部分。早在笛卡尔引入了变数, 运动也就进入数学, 微分和积分也就立刻变成了必要。正如列宁在《谈谈辩证法问题》中指出:数学中的加号与减号, 微分与积分, 与力学中的作用与反作用, 以及化学中原子的化合与分解是相同的。我在此文中继承列宁的说法, 高等数学中的微积分是研究微分与积分这对矛盾的学科。
二、高等数学的教学现况
我们现今的教学, 由于课程科目多, 所以很多课程要面临缩减课时, 进而就要精简内容, 尤其是高等数学就不得不对很多定理只叙述, 不证明推理。而对于教育的受体———学生, 为了考试, 也就疲于应付, 埋身于题海之中, 苦不堪言。也正是因为这样, 使得很多大学生对高等数学产生“恐惧”, 从心理上拒绝, 这样就会影响到听课效率, 进而学习效率也会降低, 而数学是注重逻辑的学科, 前后知识环环相扣, 学生一次课跟不上, 那就次次跟不上, 导致最后放弃。
当然, 对于基础的工具课程, 熟练其计算方法势必要有足够练习作为保障, 但是“磨刀不误砍柴工”, 在具体实施之前应该对所要加工处理的对象有个整体的把握。对于一些定理, 我们是可以根据学生专业特点对其证明过程做一些适当的舍弃, 以免学生产生畏惧, 但是作为高校教师的我们一定要注意虽然证明可以舍弃, 但是其定理的思想一定要交代清楚。不然, 会使得学生仅仅掌握高等数学知识, 而在数学素质的提高上收效甚微, 考试时也只能是依葫芦画瓢, 对于知识并没有真正理解掌握。长此以往, 学生会产生疑惑:“高等数学除了应付考试还有何用?”
针对传统数学教与学方面存在的种种不足以及高等数学本身的特点和教学目的, 我以高等数学微积分中的基本定理为例, 探讨一下除了在教学上采用多媒体这些先进工具之外, 更应该去了解和学习的是对知识本身的深层挖掘以及理论联系实践的重要性。
三、微积分基本定理的教学
微分与积分的启蒙思想可以追溯至上千年之前, 直到牛顿和莱布尼茨给出并且证明了如下的微积分基本定理, 才标志着微积分的诞生。故而, 这个基本定理也叫牛顿———莱布尼茨 (Newton-Leibniz) 公式。定理1:若函数f (x) 在区间[a, b]上连续, 且存在原函数F (x) , 则f (x) 在[a, b]上可积, 且F (x) 是f (x) 的一个原函数, 则
在讲授这个定理时, 教师经常会把此式和定积分的计算放在一起, 将其作为定积分计算的依据, 使得定积分的计算有了一个完善、令人满意的方法。而在其他方面再也不提及此定理。这是一个很大的误导, 会导致学生把这个定理认定是一个简单的计算的理论依据而已, 对其重要性会失去认识, 更严重的是使得学生失去了解微积分本质的机会。对于这个定理, 我可以改写成下面两种等价的形式:定理2:若函数f (t) 在区间[a, b]上连续, 且x是[a, b]内的一个点, 令
则F (x) 在[a, b]上可微, 并且d F (x) =f (x) dx。
定理3:若函数F (x) 在[a, b]上可微, 且d F (x) =f (x) dx, 那么
这两种不同的表现形式反映整体性质的积分和反映局部性质的微分在某种意义下是相互决定着的, 这是一对互逆的运算。这个定理之所以成为基本定理, 是因为其是整个微积分的核心部分, 也是联系微分和积分的必不可少的桥梁。为了深刻认识其重要性, 可以先回顾一下一元函数的微积分定义。
定义1:设函数f (x) 在x0的一个邻域内有定义, 若极限
对于一元函数的定积分在几何上可以理解为曲边梯形的面积, 就最简单的幂函数而言。我们可以看到利用“分割、近似、求和、取极限”方法来求得积分都是极难的。更何况, 采用不同的分割方法会得到不同的极限形式, 即使就某一种你得到极限也无法证明其即为所求。但是, 有了前面的基本定理, 只要我们想到微分和积分是互为逆运算, 那么求积分的问题仅仅就是寻求f (x) 的一个原函数, 这种做法绕开了刚才的难点, 不会受到求极限或者不同分割方法的困扰。
在此之后, 我们应该对其物理上的意义在做些探讨, 对于一个函数, 如果其表示物体直线运动的速度, 那么其在区间[a, b]的定积分可以理解为物体从时刻a到b的路程。在多元函数微积分的基本定理中物理意义更是十分重要。为了说明这一点, 我们先回忆下多元函数的微积分基本定理的几个表现形式:格林定理、斯托克斯定理以及高斯定理。这三条定理在数学上表述的都是一个内容:一个区域边界上与其内部积分的关系。南开大学的陈省身先生曾经指出, 对于这几个公式, 都可以归结为外微分形式和积分之间的关系, 即我们在一元函数微积分中提出的微分和积分, 这里只不过是将微分发展为外微分, 何为外微分可以参考文献。我们可以据此将三个定理中的公式总结如下:
这个公式告诉我们:外微分形式在一个区域上的积分等于比自身低一次的外微分形式在区域的边界上的积分。也就是说, 外微分与积分就和物理的正电和负电, 化学的化合和分解一样是互相抵消的。这个公式是微积分学的顶峰, 是数学中美轮美奂的定理之一。当然要陈述清楚这点, 需要学生对外微分要有一个认识。按照很多大学课程的设置, 在学生学习这几个定理的同时, 大学物理正好学到几个重要的“度”:即梯度、旋度和散度。在我们的课程里可以将其和微积分基本定理联系起来, 对于函数f (x) 这几个度分别对应着它的一次, 二次和三次外微分形式。那么我们的那几个基本定理也就有了它们的物理意义。借助于此学生也就会理解在教材里指出那几个公式的物理意义是什么意思?还可以引导学生去思考为何没有其他的微积分定理以及物理上为何没有第四个“度”, 这样理论联系实际学生学起来才会事半功倍, 对数学才不会“望而生畏”。
四、小结
上面我以微积分基本定理为例来说明在教学方法的改革中, 我们不应该只注重整合教学大纲, 使用多媒体教学工具, 甚至利用网络中微博、微信等建立网络教学互助平台等这些外在的内容, 更要加强在具体课堂教授中对知识本质的把握, 帮助学生尽快抓住其根源, 达到学习时事半功倍的目的。
摘要：高等数学是大学本科一门重要的公共基础课程, 本文针对高等数学教学现况, 结合作者自身的教学实践以及课程本身的特点和教学目的, 以微积分的基本定理的教学为例, 探讨对高等数学的教学方法的改革。
关键词：高等数学,微积分基本定理,教学方法
参考文献
[1].《马克思恩格斯选集》第3卷, 人民出版社, 1995年。
[2].《毛泽东选集》第1卷, 人民出版社, 1991。
[3].《列宁选集》第2卷, 人民出版社, 1995年。