积分公式

积分公式（共7篇）

积分公式 篇1

0 引言

分部积分是重要的积分方法之一,可以用来求两类不同的初等函数乘积的积分。可对于面对形如(其中a,b是不为零的常数,un(x)是x的多项式)的积分时按照传统方法必须连续的使用分部积分法公式

当n较大的时候虽然能算出结果,但是过程较为复杂,计算量大,式子较多容易出错。因此运用一种分部积分推广公式不仅思路清晰,而且不易出错,所以这是个不错的方法。

1 重要的结论

下面给出两个定理和一个推论

定理1:(分部积分推广公式)设函数u(x),v(x)在定义区间上有n+1阶的各阶导数,则

证明:当n=0时上式即为分部积分公式

当n≥1时由分部积分公式可得

依此类推可得

把上面的n+1个式子从下向上代人就可以得到分部积分法的推广公式

推论:如果u(x)是n次多项式,v(x)是指数函数时,则

证明:令eax=v(n+1)代人到分部积分的推广公式得

定理2:设函数u(x)是指数函数,v(x)是三角函数时,则

证明:

2 应用

例1求不定积分

解:令u=x2+2x+3,v(n+1)=sin2x

由分部积分推广公式得

例2求不定积分

解:令u=x3+x2+2x,v(n+1)=e2x

由分部积分推广公式的推论得

例3求不定积分

解:根据定理2得

3 结语

以上是笔者在多年的教学实践中总结出来的一点心得,如果两个有n+1阶各阶导数的初等函数中间有对数函数或者有反三角函数等等可以通过变量的代换然后再次用这个推广公式也是可以的这里就不再详细说明。

摘要：探讨了分部积分法的推广公式,并举例说明他的应用。

关键词：分部积分法,积分公式

参考文献

[1]陈光曙.大学文科数学.2版.同济大学出版社,2009.

[2]侯风波.高等数学.2版.高等教育出版社,2003.

积分公式 篇2

接召唤兽环地点：西梁女国马真人与天宫马真人

人物坐标篇：

建邺城（飞行符直达）教书先生（80.93）赵元宝（225.67）陈长寿（219.128）迎客僧（10.59）建业县令（衙门内）简师爷（衙门内）

长安城（飞行符直达）

李世民（103.245皇宫内）

左右御林军统领（129.235皇宫门口）吴举人（286.209国子监内）赵美人（12.151）刘副将（154.95）秦琼（80.88秦府内）

秦夫人（80.88秦府内秦琼身后内室）王捕头（35.60）陈员外（160.40）张老财（250.27）

罗百万（225.41歌楼内）陈妈妈（225.41歌楼内）小桃红（225.41歌楼内）赌霸天（290.60赌楼内）王武（380.130武房内）大宝（145.5）

二宝（485.200钱庄门口）小宝（310.125）

地府（长安城280.40驿站老板传送后上方）

十阎王（35.70阎王殿内）黑白无常（106.55殿内）追梦鬼（15.15）晶晶姑娘的鬼魂（地狱迷宫四层61.69 从地府上方传送圈进入）

大唐国境（从长安城左下角2.2传送圈进入）

吴文采（310.224）吴老爹（255.245）者释和尚（170.100）业释和尚（185.160）海释和尚（140.185）

大生（88.225建议从长安驿站老板传送）

大唐境外（从大唐国境5.80或朱紫国2.2进入）

冤魂（602.102建议送大唐国境进入）强盗头子（562.85建议送大唐国境进入）偷尸鬼（576.24建议送大唐国境进入）老太婆（536.30建议送大唐国境进入）老太爷（554.10建议送大唐国境进入）野猪王（483.7）云游僧（350.30）

水云仙（322.98建议送朱紫国进入）云里雾（282.5建议送朱紫国进入）白衣人（233.7建议送朱紫国进入）张猎户（208.100建议送朱紫国进入）山贼头子（94.90建议送朱紫国进入）牛将军（87.77建议送朱紫国进入）

长寿村（飞行符直达）

长寿村村长（19.36房屋内）毛驴张（81.129）钟书生（45.145）

茶客（24.180房屋内）茶小二（24.180房屋内）

天宫（长寿村145.5传送-长寿郊外20.60从天将进入）

素衣仙女（95.27）

哪吒（146.63房屋内右方）杨戬（146.63房屋内左方）太上老君（25.25房屋内）炼丹道士（25.25房屋内）

月宫（天宫左上方33.165进入）康太尉（101.55）月香侍女（105.27）嫦娥（100.60房屋内）

召唤兽环主要分：找人、找物、变异召唤兽（随机65级以下）各物品积分如下：

找人1分 一级家具2分 二级家具5分 60环装2分 70环装3分 80环装5分 花朵、乐器4分

野生（宝宝）指定召唤兽扣15分 非指定变异召唤兽5分 指定变异召唤兽10分

积分公式（可预计所得书铁级别）

书铁等级（X）=总积分+人物等级/3-130 人物等级/3小数点忽略 只舍不入 书铁等级只看十位数

小技巧：

1、跑环或空闲时喊世界收购环装，价格比商人高一万收。仓库有存货跑环速度比没存货的快的多，主要是有时候想买都不一定有的卖。

2、定专门跑环旗子：长安皇宫门口、吴举人门口、刘副将、赵美人、秦琼、王捕头、陈员外、王武、大宝、二宝、小宝。你会发现跑环费时明显少了。

Cotes数值积分公式的改进 篇3

在数值积分计算中, Newton-Cotes求积公式被广泛应用。文献中对梯形求积公式和Simpson求积公式进行了改进[1—3]。Simpson3/8求积公式和Cotes求积公式也是两类重要的积分近似计算公式。

设函数f (x) 在区间[a, b]上有6阶导数, 则

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_a^{b}f}(x)\text{d}x=\frac{b-a}{90}[7f(a)+32f(a+h)+\\ 12f\left(\frac{a+b}{2}\right)+32f(b-h)+7f(b)]-\end{array}$

$\frac{8}{945}\left(\frac{b-a}{4}\right){}^{7}f{}^{(6)}(\xi )$。

其中h= (b-a) /4, ξ∈ (a, b) 。

若不考虑积分余项, 则有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_a^{b}f}(x)\text{d}x\approx \frac{b-a}{90}[7f(a)+32f(a+h)+\\ 12f\left(\frac{a+b}{2}\right)+32f(b-h)+7f(b)]。\end{array}$

上式即为著名的Cotes求积公式。Cotes求积公式具有5次代数精确度。本文首先讨论Cotes数值求积公式余项表达式中中间点的渐进估计, 进一步利用中间点的渐进估计给出Cotes求积公式的改进。

1 Cotes求积公式中间点的渐进性

考虑Cotes求积公式积分余项中间点的渐进性质, 我们有如下结果。

定理1 设函数f (x) 在[a, b]上有7阶导数, 且f (7) (a) ≠0, 则有

$\underset{b\to a{}^{+}}{{\displaystyle \lim }}\frac{\xi -a}{b-a}=\frac{1}{2}$ (1)

证明 由于所考虑的极限为b→a+的情形, 故题设条件和Taylor公式有

${\displaystyle {\int }_a^{b}f}(x)\text{d}x=f(a)(b-a)+\cdots +\frac{f{}^{(7)}(a)}{8!}(b-a){}^8+o(b-a){}^{8}f\left(\frac{a+b}{2}\right)=f(a)+f^{\prime }(a)(b-a)+\cdots +\frac{f{}^{(7)}(a)}{7!}\left(\frac{b-a}{2}\right){}^7+o(b-a){}^7$。

f (6) (ξ) =f (6) (a) +f (7) (a) (ξ-a) +o (ξ-a) 。

类似地, 可以将函数f (b) , f (a+h) , f (b-h) 在a点展开, 并将这些展开式代入Cotes求积公式积分余项表达式, 经过化简可得

$\frac{1}{2}f{}^{(7)}(a)(b-a)+o(b-a)=f{}^{(7)}(a)(\xi -a)+o(\xi -a)$。

由于b→a+, ξ∈ (a, b) , 所以ξ→a+, 又因为

f (7) (a) ≠0, 从而有$\underset{b\to a{}^{+}}{{\displaystyle \lim }}\frac{\xi -a}{b-a}=\frac{1}{2}$。

定理1表明Cotes求积公式积分余项表达式中中间点的渐进估计正是区间的中点。

2 Cotes求积公式的改进及误差估计

定理2 若f (x) ∈C${}_{[a,b]}^6$, 则求积公式 (为了方便, 称为改进Cotes求积公式)

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_a^{b}f}(x)\text{d}x\approx \frac{b-a}{90}[7f(a)+32f(a+h)+\\ 12f\left(\frac{a+b}{2}\right)+32f(b-h)+7f(b)]-\\ \frac{8}{945}\left(\frac{b-a}{4}\right){}^{7}f{}^{(6)}\left(\frac{a+b}{2}\right)\end{array}$

具有7次代数精确度。

证明 若f (x) ∈C${}_{[a,b]}^6$, Cotes求积公式有余项估计$R(f)=-\frac{8}{945}\left(\frac{b-a}{4}\right){}^{7}f{}^{(6)}(\xi )$, 利用余项估计, 确定求积公式

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_a^{b}f}(x)\text{d}x\approx \frac{b-a}{90}[7f(a)+32f(a+h)+\\ 12f\left(\frac{a+b}{2}\right)+32f(b-h)+7f(b)]-\end{array}$

$\frac{8}{945}\left(\frac{b-a}{4}\right){}^{7}f{}^{(6)}(\eta )$。

其中η=a+λ (b-a) , 确定λ∈ (0, 1) 使上式具有尽可能高的代数精确度就能够给出Cotes求积公式的改进。利用1节中的余项的渐进估计, 可知λ=1/2时, 可以提高求积公式的代数精确度。当λ=1/2时, 通过简单计算可以证明定理2中的求积公式具有7次代数精确度。

下面进一步讨论改进Cotes求积公式的误差估计, 有

定理3 若f (x) ∈C${}_{[a,b]}^7$, 则改进Cotes求积公式有误差估计

$|R{}_c(f)|\le \frac{(b-a){}^8}{3870720}{\rm M}$。

其中M为$\left|f{}^{(7)}(x)\right|$在区间[a, b]上的最大值。

证明 由Cotes求积公式的余项估计有

$\begin{array}{l}R(f)={\displaystyle {\int }_a^{b}f}(x)\text{d}x-\frac{b-a}{90}[7f(a)+32f(a+h)+\\ 12f\left(\frac{a+b}{2}\right)+32f(b-h)+7f(b)]=\end{array}$

$-\frac{8}{945}\left(\frac{b-a}{4}\right){}^{7}f{}^{(6)}(\xi )$。

从而改进Cotes求积公式的余项为

$\begin{array}{l}R{}_c(f)=-\frac{8}{945}\left(\frac{b-a}{4}\right){}^7\left(f{}^{(6)}(\xi )-f{}^{(6)}\left(\frac{a+b}{2}\right)\right)=\\ -\frac{8}{945}\left(\frac{b-a}{4}\right){}^{7}f{}^{(7)}(\eta )\left(\xi -\frac{a+b}{2}\right)\\ \left|R{}_c(f)\right|\le \frac{8}{945}\left(\frac{b-a}{4}\right){}^7\left|f{}^{(7)}(\eta )\left(\xi -\frac{a+b}{2}\right)\right|\le \frac{(b-a){}^8}{3870720}{\rm M}\le \frac{(b-a){}^8}{3870720}{\rm M}\end{array}$

其中M为$\left|f{}^{(7)}(x)\right|$在区间[a, b]上的最大值。

3 结论

通过对数值积分公式的余项的渐进估计进行分析, 进而利用渐进估计对数值积分公式进行修正和改进, 达到提高求积公式的代数精确度的目的。本文给出了Cotes求积公式余项的渐进性质以及改进的Cotes求积公式, 类似地可以讨论Simpson3/8求积公式渐进性质及其改进。

参考文献

[1]许晓阳, 陈露.两类数值积分公式的改进.科学技术与工程, 2008;8 (5) :1294—1295

[2]邱淑芳, 王泽文.数值积分公式中间点的渐进性质及其应用.数学的实践与认识, 2006;36 (5) :218—223

积分公式 篇4

1二重积分的复化Simpson积分公式

于是, 二重积分Simpson公式为:

二重积分Simpson公式需要用到9个节点。所以, 我们把积分区域划分成的方格, 取如图1四个方格共有9个节点组成一个大方格, 于是:

2曲面数值积分公式

已知曲面方程为z=f (x, y) , 那么曲面面积为:

利用公式 (1)

函数f (x, y) 使用三点数值微分公式来近似代替偏导数[4], 有:

(其中s=2i-, 12i, 2i+1)

3算例分析

例曲面函数z=3x+2y2在矩形区域Ω=[, 02]×[, 02]内的表面积。

其表面积计算的精确值为:

在相同的分割网格下, 数值计算结果如表1。

4结论

通过实验可知基于本文的方法求解面积算法的误差是O (h 4) , 而传统的“三角形法”误差是O (h 2) , 因此本文的算法远好于三角形法。虽然它的计算公式比较复杂, 计算效率不高, 但是在要求相同精度的条件下, 它的计算时间是还是比“三角形法”少的多。由此可以看出本算法需要信息点少, 精度较好, 运算速度快, 具有较大的实用价值。

参考文献

[1]肖泽昌, 杜跃鹏.带端点3阶导数的Simpson修正公式[J].吉首大学学报:自然科学版, 2008, 29 (4) .

[2]张正印.二重积分的Simpson公式及其误差估计[J].内蒙古民族师院学报, 1995, 10 (1) .

[3]同济大学.《微积分》第三版下册[M].北京:高等教育出版社:122.

怎样巧用第一类换元积分公式 篇5

1.深入解析第一类换元积分公式.

设函数f(u)具有原函数,u=φ(x)可导,则有换元积分公式[1]

(1)题设中的条件 ,函数f(u)具有原函数 ,即f(u)可积 ,其实f(u)一定是基本积分公式表中某一类型的函数.

(2)由可以看出 ,被积函数无论多么复杂 ,也只能看做二重复合函数的积分.

(3) 若不定积分可以用此公式计算 , 则一定可化成的形式.

2.将基本积分公式表中的变量x全部换成一般的初等函数Φ(x),得到下列广义基本积分公式表.下面只列举一部分.

3.怎样巧用第一类换元积分公式计算不定积分?

(1)分析被积函数g(x)的结构特点 ,根据基本积分公式表中被积函数的类型,确定复合函数f[Φ(x)],将g(x)化成g(x)=h(x)f[Φ(x)];

(2)直接计算dΦ(x)=t(x)dx,比较t(x) 和h(x) 得到常数k,k=h(x)/t(x),于是得到

(3)利用广义基本积分公式表直接写出结果.

注:第(2)步如果将t(x)和h(x)作比较,得到的不是常数k,而是关于x的函数, 此时不能直接用第一类换元积分公式计算,需要对被积函数g(x)先做恒等变形,然后作分析.

4.举例说明.

总之,第一类换元积分法主要是计算复合函数的不定积分,积分运算是微分运算的逆运算,因此,初学者只要熟练掌握复合函数和微分运算的基本知识, 就可以运用本文所给出的方法快速计算不定积分.

摘要：本文通过深入解析第一类换元积分公式,给出了巧用第一类换元积分公式快速计算不定积分的方法,该方法还可以判断一个不定积分能否直接利用该公式进行计算,大大提高了解题效率.

积分公式 篇6

一般高等数学、数学分析教材中, 只给由平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式, 但是, 根据几何体体积的积分公式可以推证, 平面曲线y=f (x) 上介于M, N两点间的曲线段绕同平面直线L:Ax+By+C=0旋转所得旋转体体积的一般积分公式为:

$V=\frac{\text{π}}{(A{}^2+B{}^2){}^{\frac{3}{2}}}$∫${}_a^b$[Ax+Bf (x) +C]2|Af′ (x) -B|dx. (a)

其中a, b分别为M, N两点所对应的x值.

依此公式, 不仅可简化曲线段绕一般直线旋转所得旋转体体积的计算, 同时, 坐标轴作为坐标平面直线L的特殊形式, 由平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式, 自然也可作为公式 (a) 的特殊形式而得到.公式 (a) 的推导有多种方法, 通过坐标变换推导, 不失为其中方法之一.

一、公式的坐标变换法推导

在直线L:Ax+By+C=0的任意一条垂线与曲线y=f (x) 至多有一个交点的假定条件下, 若B≠0, 直线L与y轴的交点为$\left(0,-\frac{C}{B}\right)$, 设直线L在坐标系xOy上的倾斜角为θ, 则$\tan \theta =-\frac{A}{B}$, 且

(1) 若A≥0, B>0, 则

(2) 若A<0, B>0, 则$\sin \theta =-\frac{A}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}},\cos \theta =\frac{B}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}$;

(3) 若A≥0, B<0, 则

(4) 若A<0, B<0, 则$\sin \theta =-\frac{A}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}},\cos \theta =\frac{B}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}.$

在 (2) (3) 情形下, 直线L的倾斜角θ为一锐角或为零角, 通过坐标轴移轴、转轴的复合变换

$\{\begin{array}{l}\overline{x}=x\text{c}\text{o}\text{s}\theta +\left(y+\frac{C}{B}\right)\sin \theta ,\\ \overline{y}=-x\text{s}\text{i}\text{n}\theta +\left(y+\frac{C}{B}\right)\cos \theta ,\end{array}$

可使直线L与$\overline{x}$轴重合.而在 (1) (4) 情形下, 直线L的倾斜角θ为一钝角, 通过变换

$\{\begin{array}{l}\overline{x}=x\text{c}\text{o}\text{s}[-(\text{π}-\theta )]+\left(y+\frac{C}{B}\right)\sin [-(\text{π}-\theta )],\\ \overline{y}=-x\text{s}\text{i}\text{n}[-(\text{π}-\theta )]+\left(y+\frac{C}{B}\right)\cos [-(\text{π}-\theta )]‚\end{array}$

即

$\{\begin{array}{l}\overline{x}=-x\text{c}\text{o}\text{s}\theta -\left(y+\frac{C}{B}\right)\sin \theta ,\\ \overline{y}=x\text{s}\text{i}\text{n}\theta -\left(y+\frac{C}{B}\right)\cos \theta ‚\end{array}$

也可使直线L与$\overline{x}$轴重合.

如图1, 经过上述坐标变换, 设曲线y=f (x) 上M, N两点所对应的x值分别为a, b, 所对应的$\overline{x}$值分别为α, β, 根据已有的已知截面面积A (x) 的几何体体积公式V=∫${}_a^b$A (x) dx可知, M, N两点间的曲线段绕直线L旋转所得的旋转体体积为V=∫${}_{\alpha }^{\beta }$$\text{π}\overline{y}{}^2\text{d}\overline{x}.$

其中$|\overline{y}|$为曲线上的点P到$\overline{x}$轴的距离, 也是P点到直线L的距离, 即

$|\overline{y}|=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}=\frac{|Ax+Bf(x)+C|}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}.$

在 (2) (3) 情形的变换下$\text{d}\overline{x}=[\cos \theta +f^{\prime }(x)\sin \theta ]\text{d}x.$

而在 (1) (4) 情形的变换下$\text{d}\overline{x}=[-\cos \theta -f^{\prime }(x)\sin \theta ]\text{d}x.$

以不同情形下的sinθ, cosθ的值分别代入, 有

$(1)\text{d}\overline{x}=\frac{1}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}[B-A{f}^{\prime }(x)]\text{d}x;$

$(2)\text{d}\overline{x}=\frac{1}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}[B-A{f}^{\prime }(x)]\text{d}x;$

$(3)\text{d}\overline{x}=\frac{1}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}[-B+A{f}^{\prime }(x)]\text{d}x;$

$(4)\text{d}\overline{x}=\frac{1}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}[-B+A{f}^{\prime }(x)]\text{d}x.$

综上, 有

$\text{d}\overline{x}=\frac{1}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}|A{f}^{\prime }(x)-B|\text{d}x.$

从而

$\begin{array}{l}V={\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }\text{π}}\overline{y}{}^2\text{d}\overline{x}\\ =\frac{\text{π}}{(A{}^2+B{}^2){}^{\frac{3}{2}}}\end{array}$

∫${}_a^b$[Ax+Bf (x) +C]2|Af′ (x) -B|dx.

若B=0, 直线L的方程为Ax+C=0, 即$x=-\frac{C}{A}$, 如图2, 不难看到, 曲线段绕直线L旋转所得的旋转体的体积为

$$

∫${}_a^b$[Ax+0·f (x) +C]2|Af′ (x) -0|dx.

于是$V=\frac{\text{π}}{(A{}^2+B{}^2){}^{\frac{3}{2}}}$∫${}_a^b$[Ax+Bf (x) +C]2|Af′ (x) -B|dx便可作为曲线y=f (x) 上M, N两点间的曲线段绕直线L旋转所得的旋转体体积的一般积分公式.

特别地, 若直线L为x轴, 直线方程为y=0, 即A=0, B=1, C=0, 由以上公式有

V=∫${}_a^b$πf2 (x) dx. (b)

而当直线L为y轴时, 直线方程为x=0, 即A=1, B=0, C=0, 则有

V=∫${}_a^b$πx2|f′ (x) |dx. (c)

二、应用举例

例1 求由y=x, y=x2所围的图形绕直线L:x+y+1=0旋转而成的旋转体的体积.

解 如图3, y=x与直线L:x+y+1=0垂直, y=x2在点$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$处的切线与y=x平行, 所以

例2 求由y=x2及y=0, x=1所围成的区域绕x=1旋转所得旋转体的体积.

解 旋转轴方程为x-1=0, 如图4, 由公式 (a) 即得

V=π∫${}_0^1$ (x-1) 2|2x|dx

$\begin{array}{l}=\text{π}{\displaystyle {\int }_0^1(}x{}^2-2x+1)2x\text{d}x\\ =\frac{1}{6}\text{π}.\end{array}$

例3 求由y=sinx, y=0 (0≤x≤π) 所围成的区域绕y轴旋转所得旋转体的体积.

解 如图5, 由公式 (c) 得

作为更一般的例子, 由y=f (x) , x=a, x=b及y=0所围成区域绕y轴旋转所得旋转体体积公式, 也可由 (c) 推出.

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

[2]复旦大学数学系.数学分析 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[3]陈抚良, 张振兰, 黄浩然.解析几何[M].北京:科学出版社, 2005.

[4]龚冬保.高等数学典型题解法、技巧、注释[M].西安:西安交通大学出版社, 2000.

积分公式 篇7

设n是一个正整数, Sn是欧氏空间Rn+1中的单位球面, P (x) =P (x0, …, xn) 是定义在Rn+1上的一个多项式, 我们想计算P (x) 在Sn上的积分, 这里dσn表示Sn的体积形式。由积分的线性, 我们只需要考虑P (x) 是一个单项式的情形, 因此以下我们假设, 这里a= (a0, …an) ∈Nn+1是一个多重指标, N代表全体自然数。单位球面上单项式的积分有以下的显式公式, 见文献[1]。

引理 (1) 如果某个ai是奇数, 则。

(2) 如果a0, …, an都是偶数, 则

这里是大家熟知的Gamma函数。

推论单位球面Sn的体积为。

证明在引理中令a= (a0, …, an) = (0, …, 0) 即可。

二、高斯-博内公式及其改进

1. 高斯-博内公式。

现在设n是一个正偶数, M是Rn+1中的一个紧致的光滑超曲面, 它总是可定向的。对于任意的y∈M, 可以确定M在y点处的单位外法向量G (y) , 这样得到的映射G:M→Sn称为超曲面M的高斯映射。高斯映射在y点处的Jacobian被称为M在y点处的高斯曲率, 记为K (y) , 这等价于说G* (dσn) =Kd A, 这里d A是超曲面M的体积形式。

高斯-博内公式设n是一个正偶数, M是Rn+1中的一个紧致的光滑超曲面, 则有, 这里χ (M) 是M的欧拉示性数。

我们来简要分析一下这个公式的证明:由微分形式的拉回G* (dσn) =Kd A和映射度的定义, 我们有,

最后一个等号用到了等式, 它的证明可见文献[2]的第320页。

2. 高斯-博内公式的一个改进及其简证。

现在设c= (c0, …, cn) ∈Rn+1是一个单位常向量, 我们用 (c, G) 表示c和G的内积。高斯-博内公式有如下的改进, 见文献[3]。

定理设n是一个正偶数, m是一个自然数, M是Rn+1中的一个紧致的光滑超曲面。

(1) 如果m是奇数, 则。

(2) 如果m是偶数, 则。

下面我们给出一个新的较为简洁的证明。

证明令f (x) = (c, x) m= (c0x0+…+cnx) m, 则有

是单项式的线性组合。

(1) 如果m是奇数, 则至少有一个ai是奇数, 由引理的 (1) 可知。

(2) 如果m是偶数, 由引理的 (1) 可知,

再利用引理的 (2) 可知, 这个积分等于

利用Gamma函数的性质Γ (s+1) =sΓ (s) 可知, 当s是一个自然数的时候, 有, 所以

因为c= (c0, …, cn) ∈Rn+1是单位向量, 所以c02+…+cn2=1, 因此

最后, 利用即可得到。证毕。

下面, 我们看一个有趣的例子。

例取m=n=2, 此时M是R3中的紧致光滑曲面, 我们有

设G= (G1, G2, G3) , 我们可以进一步取c= (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) , 得到

摘要：由极坐标下积分的变量替换公式, 我们可以得到单位球面上多项式的积分的显式公式。利用这个显式公式, 我们可以给出高斯-博内公式的一个改进的简洁证明。

关键词：单位球面,极坐标,伽马函数,高斯-博内公式

参考文献

[1]Folland G.B.How to Integrate a Polynomial over a Sphere.Amer.Math.Monthly[J], 2001, (108) :446-448.

[2]张筑生.微分拓扑新讲[M].北京:北京大学出版社, 2002.