不定积分计算

2024-07-18

不定积分计算（共12篇）

不定积分计算篇1

一、引言

二、简单无理式积分的一类有用的变量代换

于是,

是t的代数有理式, 可以积分为有限形式.

于是,

是t的代数有理式, 总可以积分为有限形式.

解法1 (用三角代换) :

解法2 (用欧拉第一代换) :

解法3 (用本文的代换) :

验算同解法1.

解法1 (用三角代换) :

该积分要用万能代换化成代数有理式才有可能积分出来, 此处略 (见附录) .

解法2 (用欧拉第二代换) :

该积分积出来也非易事 (见附录) , 此处不再继续计算下去.

解法3 (用本文的代换) :

本例已凸显出本文所给代换的优势.

三、结论

三角代换是处理简单二次根式积分常用的工具, 但是, 三角代换只能将简单无理式化为三角有理式, 如果不像例1那样凑巧的话, 化成三角有理式后, 有时还不得不使用万能代换将其化为代数有理式.本文所给出的一类代换则可直接将某些简单无理式的积分直接化为代数有理式的积分.

欧拉代换作为将积分变量和二次根式同时化为代数有理式的一类积分变量代换, 应用范围广泛.但是, 其变换结果往往很难积出来, 且积分结果也比较复杂, 不易验算.而本文所给出的三个代换分别对应于欧拉的三个代换, 虽然其适用范围受到一定限制, 但由于巧妙地应用了积分变换中变量微分与二次根式的关系, 使得变换后的被积表达式呈现出便于积分的代数有理式, 其结果也比较简单, 便于验算, 并且也适用于定积分计算.因此, 是值得推广的一类有用的积分代换, 可以在课堂教学中讲授, 以提高学生的基本运算能力.

不定积分计算篇2

②居住证(居住证信息与住宅房或租住房屋地址保持一致);

③房产证或房屋租赁合同(其中提供的房屋产权证遵循每5年认定一名学区生的原则。

租住房屋同样遵循每5年认定一名学区生的原则，有规范的合同、居住房屋水电费单据，并且房东持身份证和房产证原件到现场确认);

④工作单位出具的劳动关系或者人事关系证明材料及工资卡明细，或者法人登记证，或者个体工商户营业执照;

⑤计划生育证明(生育两孩及以内的提供户籍地乡级以上卫生和计划生育部门出具的计划生育证明，生育三孩及以上的提供户籍地县级卫生和计划生育部门出具的计划生育证明);

⑥专业技术职称或职业资格证;

⑦子女出生医学证明(幼儿园、小学)。

分部积分的计算方法与技巧篇3

关键词：不定积分计算方法被积函数

1.引言

当今高科技领域越来越离不开不定积分的计算，比如在航空、航天、船舶等高科技计算过程中，并且有的要应用到相当复杂的不定积分计算.除了在高科技领域应用广泛外，在其他领域的应用也相当广泛，如：在金融股市上、在防治生态环境上、在国防上等，已经和各行各业息息相关.既然不定积分的计算方法技巧如此的重要，那么，它的方法和技巧又是怎样的呢？文中主要通过实例逐一展示以上的计算方法与技巧，并在题后对所用的方法与技巧进行相关评析.

2.分部积分法

2.1分部积分法的常见类型

① x e dx， x sinbxdx， x cosbxdx，其中n是正整数，x 也可是n次多项式p （x）.选取u=x ，v′=e ，sinbx，cosbx.此类型的被积函数，可以见例10的解法.

② x lnxdx， x arcsinxdx， x arctanxdx，其中n是正整数或零，x 是n次多项式p （x）选取u=lnx，arcsinx，arctanx，v′=x .当n=0时，被积函数只是一个因子，如 arcsinxdx.此类型的被积函数，可以见例11的解法.

③ e sin（ax+b）dx， e cos（ax+b）dx，可设u=e 或设u=sin（ax+b），cos（ax+b）.此类型的被积函数，可以见例12的解法.

④如果被积函数含有lnf（x），arcsinf（x），arccosf（x），arctanf（x）等函数的积分，那么一般选取u=lnf（x），arcsinf（x）等.此类型的被积函数，可以见例13的解法.

一般情况下，当被积函数只有一个因子，但不适于用换元积分法时，可以从分部积分法入手.

如：① lnxdx=xlnx- ldx=xlnx-x+C

② arcsinxdx=xarcsinx- xdarcsinx=xarcsinx- dx

=xarcsinx- dx =xarcsinx+ （1-x ） d（1-x ）

=xarcsinx- （1-x ） +C

例1：求不定积分： x e dx

解： x e dx= x de

= （x e - e dx）= （x e - xe ）

= （x e -xe + e dx）= x e - xe + e +C

在例1中，3次重复使用了分部积分法常见类型①，这样的方法对于多项式p （x）的低次幂容易求得结果，但对于高次幂会非常繁琐.

例2：求不定积分 e cos xdx

解：I= e （1+cos2x）dx= e + e cos2xdx，而

e cos2xdx= cos2xde

= （e cos2x+2 e sin2xdx）

= e cos2x+ sin2xde

= e cos2x+ （e sin2x-2 e cos2xdx）

移项得， e cos2xdx= e （cos2x+sin2x）+C

从而I= e （2+cos2x+sin2x）+F

在例2中，计算 e cos2xdx时，2次重复使用分部积分法，直到等式的右边也出现 e cos2xdx时就停止使用.目的在于移项求出 e cos2xdx的值.本题的计算并不困难，但技巧性很强，在做这类型的题目时要注意观察.

例3：求不定积分 dx

解：令u=arctan ，且 dx=d ，

则I= arctan - dx= arctan + +C.

在例3中，u的选取很重要，如果选取u=x ，那么这道题目就很难算出来，而要想选出适当的u则必须注意观察被积函数的表达式.通过对这道例题的观察发现是可以用利用分部积分法的常见类型④的技巧来令u的.因为积分 dx的被积函数中的分子是含arctanf（x）的形式.

2.2重复实施分部积分法时的“表格运算法”

假设p（x）是一个多项式，那么在利用分部积分法 udv=uv- vdu，计算形如 p （x）e dx， p （x）sinmxdx，p （x）cosmxdx的不定积分时，选定p （x）为u，则需要多次施行分部积分，这个过程很容易发生计算错误.为了能避免错误，并提高运算效率，可以采用如下的表格计算格式.

例4：（x -1）e dx

解：列表

（斜线箭头两端的两项相乘，前面加上所示符号，符号是正负相间出现的，然后再加即得结果.）

在上面的列表中，把x -1放在第一行的最左端，然后从左到右，依次写出逐次求导的结果，直到導数等于零为止.再将e 放在第二行的左端，然后从左到右，依次写出逐次求原函数的结果，直到导数为零的下方位置为止，最后按照表中所示的符号规则写出最终答案.

∴ （x -1）e dx

=（x -1）（ e ）- e + e +C

=e （ x - x- ）+C

例5： x dx

解：列表

原式

分部积分法的运用范围比较有限，主要用于解决被积函数是两类不同类型函数乘积形式的积分，u和v的选择一般的可总结为“指三幂对反，谁在后面谁为u”，即被积函数是指数函数、三角函数、幂函数、对数函数、反三角函数中的两类函数乘积形式，谁在后面谁为u，按这种方法选择u和v是十分有效的.“表格运算法”特别适合用于计算（x）edx，p（x）sinmxdx，p（x）cosmmxdx这类型的不定积分.

利用重复实施分部积分时的“表格运算法”是求导与求原函数同时运用的，这样不仅使得问题变得简单有规律可循，而且锻炼了我们的正逆向思维.在求不定积分的最后结果时，不要忘了加上常数，表明被积函数的原函数有无穷多个.

重复实施分部积分法时的“表格运算法”与常见的类型（1）中的被积函数是相同的.这两种方法各有优点和缺点.选取“表格运算法”的优点是由于我们对求导的运算有规律可循，但是求原函数是有一定的困难的.求原函数要逆向过程，为了使求出的原函数是正确的，我们可以对原函数进行求导，看是不是等于被积函数.这就使计算量增大，粗心的人很容易算错，比如例3中的第二行求原函数时，计算就比较繁杂了，因此要应用“表格运算法”时必须细心还要有逆向过程的想法.

选用常见类型（1）的方法有点对于被积函数是多项式p（x）的低次幂与指数函数的乘积容易求得结果，但是对于被积函数是多项式p（x）的高次幂与指数函数的乘积利用这种方法是极为困难的，计算过程也十分繁琐.因此，不定积分的计算方法比较灵活，技巧很多，在做题中应抓住被积函数的特点，以便选取恰当的计算方法.

3.结语

本文归纳了以分部积分法的常见类型及重复实施分部积分法时的“表格运算法”，用解方程组求不定积分.解决了一些仅仅用教材中的方法不能解决或难于解决的不定积分的计算问题.每一种方法都配有相关的例题进行说明和评点每种方法的不同点.

参考文献：

[1]刘艳梅.不定积分的方法与技巧探讨[J].吕梁高等专科学校学报，2008（2）.

[2]陈茜.分部积分法的特例分析[J].韶关学院学报，2008（3）.

[3]王晗宁.浅谈不定积分的解法[J].南京晓庄学院数学与信息技术学院，2010（2）.

[4]邓小宇.浅谈一元函数不定积分的计算方法与技巧[J].贵州财经学院，2011.

[5]伍丽嫦.不定积分方法归类[J].广东清远职业技术学院，2007.

不定积分计算篇4

不定积分是高等数学学习的重要内容, 也是微积分教学中的重要内容之一.熟练掌握不定积分的计算方法对学好积分的计算起着至关重要的作用, 同时不定积分的计算对思维的发展以及后续课程的学习也有重要作用.如何在教学过程中帮助学生消除思维障碍, 尽快掌握不定积分计算方法?已有许多文献对其进行过研究[如1-5].本文主要通过对常见的不定积分的计算问题进行研究、总结, 旨在创设有效的学习途径, 促使学生掌握基本的不定积分的计算方法与技巧, 对不定积分的计算形成总体上的把握和认识.熟练掌握几类常见不定积分计算问题的解法与技巧, 对一些难度较大的不定积分的求解问题, 也能够通过文中的解法与技巧顺利解决.

作为数学研究中的一个重要领域, 有关不定积分的解法与技巧还有待进一步完善.

2 不定积分的计算方法

2.1 定义法

设f (x) , x∈I, 若存在函数F (x) , 使得对任意x∈I均有F′ (x) =f (x) 或dF (x) =f (x) dx, 则称F (x) 为f (x) 的一个原函数.记为

注 (1) 若f (x) 连续, 则必可积; (2) 若F (x) , G (x) 均为f (x) 的原函数, 则F (x) =G (x) +C, 故不定积分的表达式不唯一.

计算方法根据不定积分的线性性质, 将被积函数分为两项, 分别积分.

计算方法拆 (添) 项法, 将一个有理分式的积分化为简单积分.

2.2 换元积分法

2.2.1 凑微分法

设f (u) 的原函数为F (u) , u=φ (x) 可导, 则有换元公式:

计算方法将dx凑为

计算方法由于

故可用如下解法:

2.2.2 去根号法

设x=φ (t) 单调、可导且导数不为零, f[φ (t) ]φ′ (t) 有原函数F (t) , 则

常见有两种换元方法:

计算方法计算这个积分的困难在于如何去掉根式, 我们可以利用三角公式来换元.

于是有

2.2.3 分部积分法

例6求下列不定积分:

解 (1) 引用公式

(2) 令u=ln x, dv=dx, 有

3 不定积分的求解技巧

3.1 递推法

运用分部积分法, 可建立In关于下标的递推公式.由此递推公式, 就把计算In归结为计算In-1, 依次类推, 最后归结为计算I1, I0.

所以

从而

3.2 待定系数法

在数学分析中对于处理有理函数和可化为有理函数的不定积分求积问题时, 主要通过待定系数法将有理函数化为部分分式之和的形式进行求积.

解由于

故可假设

这里A, B为待定系数, 比较两端sin x及cos x项的系数, 得

故A=2, B=1.则

3.3 对偶法

有些不定积分, 单独考虑时比较难积出结果, 倘若构造出另一个不定积分作为对偶, 两个积分同时考虑, 则可利用两积分相互之间的良好关联性质, 即可简单地求出不定积分.这种利用“对偶”求解不定积分的方法即所谓“对偶法”.

例9求:

解 (1) 本题可用待定系数求解, 这里介绍“对偶法”求解.令

构造对偶

于是

故得

(2) 本题可用有理函数积分法求解, 但计算繁琐.令

所以

参考文献

[1]相秀芬.几个不定积分计算问题的教学体会[J].承德石油高等专科学校学报, 2007, (2) .

[2]杜争光, 马小飞.换元积分法中常用的换元方法与技巧[J].甘肃高师学报, 2006, 22 (1) .

[3]刘必立.不定积分计算刍议[J].科学信息, 2012, (35) .

[4]刘光, 刘荣.不定积分教学方法探析[J].重庆工业高等专科学校学报, 2005, (01) .

高等数学三重积分计算方法总结篇5

1、利用直角坐标计算三重积分：（1）投影法（先一后二）：

1）外层(二重积分)：区域Ω在xoy面上的投影区域Dxy 2）内层(定积分)：

从区域Ω的底面上的z值，到区域Ω的顶面上的z值。

（2）截面法（先二后一）：

1)外层(定积分): 区域Ω在z 轴上的投影区间。2)内层(二重积分):Ω垂直于z 轴的截面区域。

2、利用柱坐标计算三重积分 f(x,y,z)dvf(cos,sin,z)dddz3、利用球面坐标计算三重积分

f(x,y,z)dxdydzf(rsincos,rsinsin,rcos)rsindrdd2定限方法:(1)转面定θ(2)转线定φ(3)线段定r

4、利用对称性化简三重积分计算设积分区域Ω关于xoy平面对称，(1)若被积函数 f(x,y,z)是关于z 的奇函数，则三重积分为零。(2)若被积函数 f(x,y,z)是关于z 的偶函数，则三重积分等于：在xoy平面上方的半个Ω，区域上的三重积分的两倍.使用对称性时应注意：

1）积分区域关于坐标面的对称性；２）被积函数关于变量的奇偶性。

2例计算



x(x



dxdydz，其中Ω是由曲面z = x2 + y2和x2 + y2 + z2 =2所围成的空间闭区域.解： x(xyz)2 x(x2y2z2)2x2y2xyz2zx2 x(x2y2z2)2xyz

是关于x 的奇函数，且关于 yoz 面对称故其积分为零。

2x2 y是关于y 的奇函数,且关于 zox 面对称

2x2ydv0,Ix(xyz)2dxdydz

不定积分积分方法浅析篇6

【摘要】在高职高专院校高等数学课程学习中，不定积分是很重要的一部分，它是定积分、广义积分、重积分、曲线积分等后续内容的基础，对不定积分的理解和掌握程度，不仅直接关系到高等数学课程本身的学习，而且还会影响相关专业课的学习和掌握。本文对直接积分法，第一类换元积分法，第二类换元积分法和分部积分法这四种积分方法加以总结和比较，以便学生对积分方法能更好地掌握.

【关键词】不定积分；直接积分法；第一类换元积分法；第二类换元积分法；分部积分法

在高职专科高等数学课程里面，一元函数不定积分的计算方法中，直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法和分部积分法是要求学生必须掌握的四种基本积分方法。但是在教学过程中，作者发现部分学生在积分运算中，对积分方法的选择不知如何着手。下面就个人的教学实践，分类讲解高等数学中的这几种不定积分方法，并对其使用技巧进行详细的说明。

五、总结

计算不定积分的方法有很多，以上只是求不定积分时比较常用的四种积分方法，在实际计算过程中并没有统一的规律可循，有时候要综合运用其中的两种甚至三种方法，所以我们要在做到活学活用、具体问题具体分析，切忌死记硬背、生搬硬套。每一种积分方法都有各自的原则和技巧，实际操作中我们只要掌握了这些原则和技巧，那么不定积分的计算就会变得非常简单，再也不会有无从下手的感觉了。

参考文献：

[1]同济大学.高等数学（6版）.高等教育出版社，2007

[2]张圣勤.高等数学（上）.机械工业出版社，2009

[3]张爱真，刘大彬.高等数学.北京師范大学出版社，2009

无穷积分的数值计算篇7

实际问题当中常常需要计算积分, 依据高等数学中的微积分基本定理, 对于积分I (f) =∫ $_{a}^{b}$ f (x) dx只要找到被积函数f (x) 的原函数F (x) , 便可利用牛顿—莱布尼兹公式∫ $_{a}^{b}$ f (x) dx=F (b) -F (a) 进行计算.然而, 在现代科学技术中使用这种求积方法往往有困难, 因为: (1) 当f (x) 是由测量或数值计算给出的一张数据表时, 无法得到函数f (x) 的原函数F (x) 的具体形式, 从而牛顿-莱布尼兹公式就不能直接运用; (2) 大量的被积函数如 $\frac{s i n x}{x}, \sin x^{2}, \sqrt{1 + x^{3}}, e^{- x^{2}}$ 等等, 很难找到用初等函数表示的原函数F (x) , 固然有些函数的原函数F (x) 可以找到, 但在应用牛顿—莱布尼兹公式时, 涉及大量的函数值计算, 还不如应用数值积分的方法来得方便, 既节省工作量, 又满足精度要求, 因此很有必要研究积分的数值计算问题.

在积分的数值计算中, 并不一定所有的积分都是在定区间上积分, 常常遇到在无穷区间上的积分问题, 如I (f) =∫ $_{a}^{+ \infty}$ f (x) dx, I (f) =∫ $_{- \infty}^{a}$ f (x) dx, I (f) =∫ $_{- \infty}^{+ \infty}$ f (x) dx等类似问题.本文便从这一问题出发, 将无穷积分转换为定积分, 对于定积分问题, 我们便可以用相关的复合求积公式进行求解.

二、数值积分

要计算定积分I (f) =∫ $_{a}^{b}$ f (x) dx (y=f (x) 为已知的可积函数) , 我们可以由定积分的定义知, 定积分∫ $_{a}^{b}$ f (x) dx是和的极限, 数值积分就是将定积分∫ $_{a}^{b}$ f (x) dx的计算用有限和的形式近似, 由于多项式的积分非常容易计算, 和建立数值微分公式一样, 我们可用函数f (x) 的拉格朗日插值多项式Ln (x) 的积分Q[f]近似I[f], 即

I[f]=∫ $_{a}^{b}$ f (x) dx≈Q[f]= $\sum_{i = 0}^{n}$ Aif (xi) ,

其中Ai由式子

$\int_{a}^{b} \prod_{\begin{array}{l} j \neq i \\ j = 0 \end{array}}^{n}$

$\frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}} d x$ 确定, 称为求积系数, 它仅与节点有关而与被积函数无关.

数值积分的特点是直接用一些离散节点上的函数值f (xi) 的线性组合计算定积分的近似值, 从而将定积分的计算归结为函数值的计算, 这就避开了牛顿—莱布尼兹公式中需要寻求原函数的困难, 并为用计算机求积分提供了可行性.

在实际计算中, 由于高阶求积公式的计算过程可能出现数值不稳定性以及低阶求积公式不能满足精度要求, 通常使用复合求积公式, 下面便是复合抛物线求积公式的介绍:

将积分区间[a, b]分成2n个等长的小区间[xi, xi+1], 然后在每两个相邻小区间[xi, xi+2]上应用抛物线求积公式, 最后相加即得到复合抛物线求积公式.

令 $h = \frac{b - a}{2 n}, x_{i} = a + i h (i = 0, 1, 2, \dots, 2 n) .$

在区间[x2i, x2i+2] (i=0, 1, 2, …, n-1) 上利用抛物线求积公式然后叠加得

I[f]=∫ $_{x_{0}}^{x_{2}}$ f (x) dx+∫ $_{x_{2}}^{x_{4}}$ f (x) dx+…+∫ $_{x_{2 n - 2}}^{x_{2 n}}$ f (x) dx≈ $\frac{h}{3} [f (x_{0}) + 4 f (x_{1}) + f (x_{2})] + \frac{h}{3} [f (x_{2}) + 4 f (x_{3}) + f (x_{4})] + \dots + \frac{h}{3} [f (x_{2 n - 2}) + 4 f (x_{2 n - 1}) + f (x_{2 n})] = \frac{h}{3}$ $f (a) + 4 \sum_{i = 1}^{n} f (x_{2 i - 1}) + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{2 i}) + f (b)$ =S (h) .

求积公式S (h) 称为复合抛物线求积公式.

复合抛物线求积公式不但容易编排程序上机计算, 而且精度也比较高, 是一个较好的数值积分方法, 应用较广泛.

三、瑕积分的计算

当被积函数在积分区间上有瑕点时, 积分I (f) =∫baf (x) dx为瑕积分, 为方便起见, 对于瑕积分, 仅考虑x=a有瑕点的瑕积分.

事实上, 若函数在积分区间上有多个瑕点, 则可将其化成多个仅在端点上有一个瑕点的积分.而此时, 又若x=b为函数f (x) 的瑕点, 则可作变量t=-x, 使得被积函数的瑕点落在左端点上.

考虑瑕积分:I (f) =∫ $_{a}^{b}$ f (x) dx, 其中 $f (x) = \frac{g (x)}{(x - a)^{p}}$ , 而0<p<1, g (x) 在区间[a, b]上连续.

下面主要介绍瑕积分计算中的分段积分法:

分段积分法的思想是将积分分成两部分, 一部分为含有瑕点的积分, 此积分可以解析求出来;另一部分为具有某种光滑程度的函数的积分, 此积分可用前面讲过的求积方法计算求解.设在瑕积分I (f) =∫ $_{a}^{b}$ f (x) dx中g (x) ∈C5[a, b], 则由泰勒展开式

$g (x) \approx Ρ_{4} (x) = g (a) + g^{'} (a) (x - a) + \frac{g^{″} (x)}{2!} (x - a)^{2} + \frac{g^{‴} (x)}{3!} (x - a)^{3} + \frac{g^{(4)} (x)}{4!} (x - a)^{4} .$

将原积分分成两部分:

I (f) =∫ $_{a}^{b}$ f (x) dx= $\int_{a}^{b} \frac{Ρ_{4} (x)}{(x - a)^{p}} d x + \int_{a}^{b} \frac{g (x) - Ρ_{4} (x)}{(x - a)^{p}} d x .$

其中一部分为瑕积分

$\int_{a}^{b} \frac{Ρ_{4} (x)}{(x - a)^{p}} d x = \int_{a}^{b} \sum_{k = 0}^{4} \frac{g^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^{k - p} d x = \sum_{k = 0}^{4} \frac{g^{(k)} (a)}{k!} \int_{a}^{b} (x - a)^{k - p} d x = \sum_{k = 0}^{4} \frac{g^{(k)} (a)}{k! (k - p + 1)} (x - a)^{k - p + 1} |_{a}^{b} = \sum_{k = 0}^{4} \frac{g^{(k)} (a)}{k! (k - p + 1)} (b - a)^{k - p + 1}$ .

即得到解析解.

下面分析第二部分∫ $_{a}^{b}$ $\frac{g (x) - Ρ_{4} (x)}{(x - a)^{p}} d x$ 的计算, 定义

$G (x) = {\begin{cases} \frac{g (x) - Ρ_{4} (x)}{(x - a)^{p}}, a < x \leq b, \\ 0, x = a . \end{cases}$

由于0<p<1以及P $_{4}^{(k)}$ (a) =g (k) (a) , k=0, 1, 2, 3, 4知函数G (x) ∈C4[a, b], 因此可用复合抛物线求积公式计算积分 $\int_{a}^{b} \frac{g (x) - Ρ_{4} (x)}{(x - a)^{p}} d x = \int_{a}^{b}$ G (x) dx.

四、无穷积分的转换及数值计算

1.无穷积分的转换

对于无穷区间上的可积函数f (x) , 有关它的无穷积分主要有以下5种类型 (a>0) : (1) I (f) =∫ $_{a}^{+ \infty}$ f (x) dx, (2) I (f) =∫a-∞f (x) dx, (3) I (f) =∫ $_{- \infty}^{- a}$ f (x) dx, (4) I (f) =∫ $_{- a}^{+ \infty}$ f (x) dx, (5) I (f) =∫ $_{- \infty}^{+ \infty}$ f (x) dx, 一般情况下, 可对其进行转化, 使其变成有限区间上的定积分, 从而便于计算.事实上, a<0时积分也可以转化为以上类型中的积分.

类似第一种类型的无穷积分I (f) =∫+∞af (x) dx (a>0) , 可令 $x = \frac{1}{t}$ , 此时 $d x = - \frac{1}{t^{2}} d t$ , 因此,

I (f) = $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = \int_{\frac{1}{a}}^{0} (- \frac{1}{t^{2}}) f (\frac{1}{t}) d t = \int_{0}^{\frac{1}{a}} t^{- 2} f (\frac{1}{t}) d t$ ,

从而化为我们可以处理的定积分.

类似第二种类型的无穷积分I (f) =∫ $_{- \infty}^{a}$ f (x) dx (a>0) , 我们可以对其进行分段积分, 有:

$Ι (f) = \int_{- \infty}^{a} f (x) d x = \int_{- \infty}^{- a} f (x) d x + \int_{- a}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{a} f (x) d x = - \int_{+ \infty}^{a} f (- t) d t + (- 1) \int_{a}^{0} f (- t) d t + \int_{0}^{a} f (t) d t = \int_{0}^{\frac{1}{a}} f (t) d t + \int_{0}^{a} [f (- t) + f (t)] d t .$

同理可得:

$\begin{array}{l} Ι (f) = \int_{- \infty}^{- a} f (x) d x = \int_{a}^{+ \infty} f (- x) d x = \int_{0}^{\frac{1}{a}} t^{- 2} f (- \frac{1}{t}) d t, \\ Ι (f) = \int_{- a}^{+ \infty} f (x) d x = - \int_{a}^{- \infty} f (- t) d t = \int_{- \infty}^{a} f (- t) d t = \int_{0}^{\frac{1}{a}} t^{- 2} f (\frac{1}{t}) d t + \int_{0}^{a} [f (- t) + f (t)] d t, \\ Ι (f) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = \int_{- \infty}^{a} f (x) d x + \int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{1}{a}} t^{- 2} f (- \frac{1}{t}) d t + \int_{0}^{a} [f (- t) + f (t)] d t + \int_{0}^{\frac{1}{a}} t^{- 2} f (\frac{1}{t}) d t = \int_{0}^{\frac{1}{a}} t^{- 2} [f (- \frac{1}{t}) + f (\frac{1}{t})] d t + \int_{0}^{a} [f (- t) + f (t)] d t . \end{array}$

2.数值计算

例计算积分∫ $_{1}^{+ \infty}$ $\frac{\sin (\frac{1}{x})}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x .$

解观察积分形式, 可知这种积分属于第一类无穷积分, 从而可对其进行变形 (这里a=1) :

I (f) =∫ $_{1}^{+ \infty}$ $\frac{\sin (\frac{1}{x})}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x =$ $\int_{0}^{1} t^{- 2} \frac{s i n t}{\sqrt[3]{(\frac{1}{t})^{5}}} d t = \int_{0}^{1} t^{- \frac{1}{3}} \sin t d t$ .

这样就将无穷积分化成了定积分, 但存在瑕点x=0, 由瑕积分的分段积分法可得:

$g (t) = \sin t \approx g^{'} (0) + g (0) (x - 0) + \frac{g^{″} (0)}{2!} (x - 0)^{2} + \frac{g^{‴} (0)}{3!} (x - 0)^{3} + \frac{g^{(4)} (0)}{4!} (x - 0)^{4} = \sin (0) + \sin ´ (0) x + \frac{s i n^{″} (0)}{2!} x^{2} + \frac{s i n^{‴} (0)}{3!} x^{3} + \frac{\sin^{(4)} (0)}{4!} x^{4} = t - \frac{1}{6} t^{3} = Ρ_{4} (t) .$

可令

$G (t) = {\begin{cases} \frac{s i n t - Ρ_{4} (t)}{t^{\frac{1}{3}}} = \frac{s i n t - t + \frac{1}{6} t^{3}}{t^{\frac{1}{3}}}, 0 < t \leq 1 ‚ \\ 0, t = 0 . \end{cases}$

此时有

I (f) = $\int_{1}^{+ \infty} \frac{\sin (\frac{1}{x})}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x = \int_{0}^{1} t^{- \frac{1}{3}} (t - \frac{1}{6} t^{3}) d t + \int_{0}^{1} G (t) d t = \frac{3}{5} - \frac{1}{22} + \int_{0}^{1} G (t) d t = \frac{61}{110} + \int_{0}^{1} G (t) d t .$

用复合抛物线求积公式对∫ $_{0}^{1}$ G (t) dt进行计算, 再加上 $\frac{61}{110}$ 便可得结果:

积分上限:1

积分下限:0

取n=200, 步长 $h = \frac{b - a}{2 n} = \frac{1 - 0}{400} = 0.0025$

算法: (略)

运行结果为:0.555910

所以, 用复合抛物线求积公式 (n=200) 的计算结果为:0.555910

五、结论

在进行积分的数值计算时, 无论碰到什么样的无穷积分, 我们都可以将无穷积分问题化为定积分问题, 考虑到被积函数在积分区间上是否存在瑕点采用分段积分法, 再用复合抛物线求积公式进行求解.从实验结果可以看出, 用这种求积方法算出的积分值与MATLAB计算出来的积分值非常接近甚至更精确.

二重积分的计算方法篇8

二重积分的计算有一定的方法和步骤, 如按照步骤进行分析和解题, 就比较容易做题。在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:

(1) 画出积分区域草图;

(2) 确定积分区域是否为X-型或Y-型区域, 如既不是X-型也不是Y-型区域, 则要将积分区域化成几个X-型和Y-型区域, 并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域;

(3) 用公式化二重积分为二次积分;

(4) 计算二次积分的值。

例1, 计算undefineddxdy, 其中D:0≤ x≤1, 0 ≤y≤2

解:作出积分区域D的图1.由于D即是x—型区域又是y—型区域, 因此, 两种积分次序都可以计算二重积分。在此把D看成x—型区域, 可得:

undefined

例2, 计算undefined, 其中D是由曲线y=|x|及y=2-x2围成。

解:作出积分区域D的图2.可以把D分成两块D1、D2, 由于D1与D2都是x—型区域, 所以有:

undefined

undefined|undefined|2-x2xdx

undefined

例3, 计算undefined, 其中D是由y=x2-4, y2=2x围成的区域。

解:作出积分区域D的图3.

由于积分区域D是y—型区域, 所以有

undefined

2 交换积分次序

若给定的积分为二次积分, 它不能用初等函数形式表示出来或者积分的计算量较大, 可考虑采用交换积分次序, 其一般步骤:

(1) 先根据给定的二次积分限。写出积分区域的不等式表达式, 并依此作出区域的图形。

(2) 再根据区域的图形, 确定正规区域及积分限, 化为另一种类型的二次积分。

例4, 交换积分次序∫10dx∫xx2f (x, y) dy

解:由所给的二次积分, 可得积分区域D为:0≤x≤1, x2≤y≤x, 作出D的图4。

改变积分次序, 即化为先对x后对y积分, 此时, D可以表示为undefined, 所以有:

undefined

3 选择适当的坐标系

坐标系的选择, 要从被积函数和积分区域两方面来考虑。一般情况下, 积分区域是矩形或三角形区域, 通常用直角坐标来计算。若积分区域为圆域、扇形域、圆环域时, 特别是被积函数为f (x2+y2) , 利用极坐标系计算二重积分较方便。

例5, 计算undefined, 其中D是圆环:1≤x2+y2≤4。

解:在极坐标系下, D可表示为:0≤θ≤2π, 1≤r≤2 (如图5)

由 (7-25) 式可得:

undefined

例6, 计算undefined, 其中D由x2+y2=Rx所围成的第一象限区域。

解:在极坐标系下D可表示为:undefined (如图6) 。

可得:

undefined

例7, 计算undefined, 其中D是由x2+y2=9和x2+y2=1与直线y=x, y=0所围成的第一象限区域。

解:在极坐标系下D可表示为:undefined (如图7) .由 (7-25) 式可得:

undefined

4 利用对称性和奇偶性简化二重积分的计算

4.1如果积分区域D关于y轴对称, 则

(1) 当f (-x, y) =-f (x, y) ( (x, y) ∈D) 时, 有undefined

(2) 当f (-x, y) =f (x, y) ( (x, y) ∈D) 时, 有undefined, 其中D1={ (x, y) | (x, y) ∈D, x≥0}

4.2如果积分区域D关于y轴对称, 则

(1) 当f (x, -y) =-f (x, y) ( (x, y) ∈D) 时, 有undefined

(2) 当f (x, -y) =f (x, y) ( (x, y) ∈D) 时, 有undefined, 其中D2={ (x, y) | (x, y) ∈D, y≥0}.

例8, 计算undefined其中积分区域D由曲线y=x2与y=1所围成。

解:积分区域D关于y轴对称, 令g (x, y) =xyf (x2+y2) 且g (-x, y) =-g (x, y) , 所以:

undefined

从而undefined

参考文献

谈谈曲面积分的计算方法篇9

2将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法

这就必须把曲面分别投影到y Oz、z Ox、x Oy面上, 再分别按照前侧为正后侧为负、右侧为正左侧为负、上侧为正下侧为负的规则再次分解。这样一来就需要六个式子来计算一个第二型曲面积分, 运算量相当大且容易出错。

例:计算下列闭曲面上的曲面积分 (积分沿区域Ω之边界曲面的外侧) :

(2) 先将第二型曲面积分转化为第一型曲面积分:

再将第一型曲面积分转化为二重积分:

若在x Oy面:

y Oz, x Oz面上以此类推。

最后利用二重积分计算得出结果。

较第一种方法, 此方法更加灵活多变, 在计算中可以省很多力气。

在第一、四卦限 (x≥0, z≥0) 的部分, 积分沿S的上侧;解:S的单位正法向为

3 总结

利用向量形式计算第二型曲面积分直接将第二型曲面积分转化为一个二重积分计算, 避免了传统计算方法对曲面侧的判定, 其显著优点是物理意义明确, 计算过程简单, 适用于所有的第二型曲面积分的计算。但是, 计算时要不断地总结, 学会根据题型的变化来选择方法, 寻求更加简便的方法, 不能一味的追求某一种。

而且, 高等数学这门科学是博大精深的, 要不断的学习研究才能领悟得更多。就自身而言, 要抱着谦虚谨慎的态度, 努力钻研高数, 希望能够参透高等数学的一角。

摘要：这里介绍将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法, 第二型曲面积分属于向量函数的积分, 在流体力学和电磁学等领域有极为广泛的运用。所以, 正确选择计算第二型曲面积分的方法对解决问题有着很大的帮助。

关键词：曲面积分,二重积分,计算,转换

参考文献

[1]数学分析讲义.高等教育出版社上册, 第五版, 2008年

浅谈定积分的计算技巧篇10

牛顿—莱布尼茨公式是计算定积分的一种有效工具, 然而在计算积分时, 经常会遇到被积函数是这样一些函数: (1) 被积函数的原函数不能用初等函数形式表示, 或者能表示为初等函数, 但运算量特别大; (2) 被积函数本身形式复杂, 如果按常规计算, 不仅费时, 而且不易计算出结果.这就给求解积分带来了一定的困难.为了解决这一困难, 要求对定积分的计算进行探讨, 寻求好的计算方法.本文主要从四个方面探讨简化定积分计算所采用的方法和技巧.

1.利用分割积分区间计算定积分

例1 计算I= $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ $\frac{(l n x)^{2}}{1 + x} d x .$

解令lnx=t, 则

这种计算方法只需要掌握积分基本公式和定积分的变量替换, 不需要记忆其他的定理和推论, 便于学生学习.另外这种方法不仅适用于积分区间关于坐标原点对称的定积分, 也适合其他类型的定积分.

2.利用对称性计算定积分

在不少数学问题中, 利用对称性可以大大减少计算工作量.

例2 计算I=∫ $_{- 1}^{1}$ xln (1+ex) dx.

由于积分区间关于坐标原点对称, 且被积函数中有一个奇函数因子x, 为利用这一条件, 需要将函数xln (1+ex) 作适当变形.由 $f (x) = \frac{f (x) + f (- x)}{2} + \frac{f (x) - f (- x)}{2}$ , 把f (x) 分解成偶函数 $\frac{f (x) + f (- x)}{2}$ 与奇函数 $\frac{f (x) - f (- x)}{2}$ 之和.

3.利用循环递推法计算定积分

循环递推法的基本思路是:利用换元积分法、分部积分法以及定积分的性质将要计算的积分I, 转化为I=A+kI (k≠I) , 其中A, k为常数, 解得 $Ι = \frac{A}{1 - k} .$

例3 计算I= $\int_{0}^{\frac{π}{4}}$ ln (1+tanx) dx.

解令 $t = \frac{π}{4} - x$ , 有

所以 $Ι = \frac{π}{8} \ln 2 .$

在计算定积分时, 有时需要综合运用这几种方法进行求解.

4.利用对参量微分法计算定积分

某些定积分的计算难度很大, 引入含参变量的积分, 借助积分与导数的理论, 可以巧妙地解决这类积分的计算.

例4 计算I= $\int_{0}^{\frac{π}{2}}$ ln (a2sin2x+b2cos2x) dx.

解若|a|=0, 则|b|>0.

I= $\int_{0}^{\frac{π}{2}}$ ln (b2cos2x) dx

=π ln|b|+2 $\int_{0}^{\frac{π}{2}}$ $\ln (\cos x) d x = π \ln \frac{| b |}{2} .$

同理, 当|b|=0, 则 $| a | > 0 ‚ Ι = π \ln \frac{| a |}{2} .$

当|a|>0, |b|>0时,

令I (b) = $\int_{0}^{\frac{π}{2}}$ ln (|a|2sin2x+|b|2cos2x) dx.

应用对积分号下微分法, 有

$Ι^{'} (b) = \frac{2}{| b |}$ $\int_{0}^{\frac{π}{2}}$ $\frac{1}{1 + (\frac{| a |}{| b |} t a n x)^{2}} d x$ , 令t=tanx, 得

$Ι^{'} (b) = \frac{π}{| a | + | b |} .$

而I (b) -I (0) =∫ $_{0}^{b}$ I′ (t) dt,

I (0) = $\int_{0}^{\frac{π}{2}}$ $\ln (a^{2} \sin^{2} x) d x = π \ln \frac{| a |}{2}$ , 则

I (b) =∫ $_{0}^{| b |}$ $\frac{π}{| a | + t} d t + π \ln \frac{| a |}{2} = π \ln \frac{| a | + | b |}{2} .$

从而, 当a2+b2≠0时, $Ι = π \ln \frac{| a | + | b |}{2} .$

总结本文主要研究了定积分的几种特殊解法.当然, 除此之外, 还有许多其他的解法, 比如利用二重积分计算定积分, 利用级数计算定积分等, 这里不再一一赘述.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (上, 下) (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2001.

[2]李志飞.定积分的简化计算[J].高等数学研究, 2008 (6) :51.

不定积分计算篇11

关键词：不定积分；第一类换元积分法；分类

第一类换元积分法是求不定积分重要的、基础的方法，本文将第一类换元积分法（凑微分法）常见的类型进行分类总结。

定理：设（1）■f(u)du=F(u)+C，（2）函数u=?渍(x)可微，则成立第一类换元积分方法：

■f[?渍(x)]?渍′(x)dx=■f[?渍(x)]d?渍(x)=■f(u)du■

=[F(u)+C]u=?渍(x)=F[?渍(x)]+C

类型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)

例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C

例2①■■②■■

分析：①中被积函数分母x2+2x+5的△<0，通过对分母配方，做变换■■dx=■■dx；②中被积函数分母x2-5x+6的△>0，通过对分母因式分解，做变换■■=■■。

解：①■■dx=■■dx

=■■d(x+1)=■arctan■+C

②■■=■■=ln■+C

类型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)

例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C

例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C

类型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|)

例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)

=-■+C

类型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)

例6■■dx=■■dex=■arcan■+C

类型Ⅴ关于被积函数中含有sinx和cosx的不定积分

ⅰ■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx

=-■f(cosc)d(cosx)

例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+C

ⅱ对于形如■sinmxcosnxdx，■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可首先利用积化和差公式对被积函数进行变形。

例8■sin5xcos3xdx=■■[sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx

=■[■sin8xdx+■sin2xdx]

=■■sin8xd(8x)+■■sin2xd(2x)

=-■cos8x-■cos4x+C

ⅲ对于形如■sinmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可按如下方法处理：

（1）m,n中至少有一个为奇数时，不妨设n=2k+1，

■sinmxcos2k+1xdx=■sinmx(1-sin2x)kd(sinx)=■um(1-u2)kdu，化成u的多项式积分，求出后以u=sinx代回；

（2）m,n都为偶数时，可用倍角公式，sin2x=■(1-cos2x),cos2x=■(1+cos2x)降低三角函数幂次。

例9■sin2xcos3xdx=■sin2x(1-sin2x)d(sinx)

=■(sin2x-sin4x)d(sinx)

=■sin3x-■sin5x+C

例10■sin2xcos2xdx=■■■dx

=■■(1-cos22x)dx=■■(1-■)dx=■■(1-cos4x)dx

=■■dx-■■cos4xd(4x)=■-■sin4x+C

类型Ⅵ■sec2xf(tanx)dx=■f(tanx)d(tanx)■cos2xf(cotx)dx=-■f(cotx)d(cotx)

和■f(secx)secxtanxdx=■f(secx)d(secx)■f(cscx)cscxcotxdx=-■f(cscx)d(cscx)

例11■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■tanx(1+tan2x)d(tanx)

=■tan2x+■tan4x+C

或者用下面解法：

■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■sec3xd(secx)=■sec4x+C

类型Ⅶ■■dx=■■df(x)=ln|f(x)|+C

例12■■dx=■■d(x2-x+3)=ln|x2-x+3|+C

类型Ⅷ■■dx=■f(arcsinx)d(arcsinx)

和■■dx=■f(arctanx)d(arctanx)

例13■■dx=■arcsinxd(arcsinx)=■(arcsinx)2+C

例14■■dx=■earctanxd(arctanx)=earctanx+C

不定积分计算方法多样灵活，作为对逆向思维的一种考察，难度较大。三本院校偏文科类的学生，数学基础薄弱，因此要降低理论推导要求，加强知识分类、识别的介绍和方法总结，多举例，注意培养学生的计算应用能力。结合实践教学过程中的经验，本文对第一类换元积分法做分类总结，教会学生识别不同的被积函数，进而采用相应合适的积分方法。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（本科少学时类型）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]赵树嫄.微积分（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2007.

摘要：本文分类总结了不定积分第一类换元积分法的常见类型，并给出典型的例题讲解。

关键词：不定积分；第一类换元积分法；分类

第一类换元积分法是求不定积分重要的、基础的方法，本文将第一类换元积分法（凑微分法）常见的类型进行分类总结。

定理：设（1）■f(u)du=F(u)+C，（2）函数u=?渍(x)可微，则成立第一类换元积分方法：

■f[?渍(x)]?渍′(x)dx=■f[?渍(x)]d?渍(x)=■f(u)du■

=[F(u)+C]u=?渍(x)=F[?渍(x)]+C

类型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)

例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C

例2①■■②■■

分析：①中被积函数分母x2+2x+5的△<0，通过对分母配方，做变换■■dx=■■dx；②中被积函数分母x2-5x+6的△>0，通过对分母因式分解，做变换■■=■■。

解：①■■dx=■■dx

=■■d(x+1)=■arctan■+C

②■■=■■=ln■+C

类型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)

例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C

例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C

类型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|)

例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)

=-■+C

类型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)

例6■■dx=■■dex=■arcan■+C

类型Ⅴ关于被积函数中含有sinx和cosx的不定积分

ⅰ■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx

=-■f(cosc)d(cosx)

例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+C

ⅱ对于形如■sinmxcosnxdx，■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可首先利用积化和差公式对被积函数进行变形。

例8■sin5xcos3xdx=■■[sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx

=■[■sin8xdx+■sin2xdx]

=■■sin8xd(8x)+■■sin2xd(2x)

=-■cos8x-■cos4x+C

ⅲ对于形如■sinmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可按如下方法处理：

（1）m,n中至少有一个为奇数时，不妨设n=2k+1，

■sinmxcos2k+1xdx=■sinmx(1-sin2x)kd(sinx)=■um(1-u2)kdu，化成u的多项式积分，求出后以u=sinx代回；

（2）m,n都为偶数时，可用倍角公式，sin2x=■(1-cos2x),cos2x=■(1+cos2x)降低三角函数幂次。

例9■sin2xcos3xdx=■sin2x(1-sin2x)d(sinx)

=■(sin2x-sin4x)d(sinx)

=■sin3x-■sin5x+C

例10■sin2xcos2xdx=■■■dx

=■■(1-cos22x)dx=■■(1-■)dx=■■(1-cos4x)dx

=■■dx-■■cos4xd(4x)=■-■sin4x+C

类型Ⅵ■sec2xf(tanx)dx=■f(tanx)d(tanx)■cos2xf(cotx)dx=-■f(cotx)d(cotx)

和■f(secx)secxtanxdx=■f(secx)d(secx)■f(cscx)cscxcotxdx=-■f(cscx)d(cscx)

例11■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■tanx(1+tan2x)d(tanx)

=■tan2x+■tan4x+C

或者用下面解法：

■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■sec3xd(secx)=■sec4x+C

类型Ⅶ■■dx=■■df(x)=ln|f(x)|+C

例12■■dx=■■d(x2-x+3)=ln|x2-x+3|+C

类型Ⅷ■■dx=■f(arcsinx)d(arcsinx)

和■■dx=■f(arctanx)d(arctanx)

例13■■dx=■arcsinxd(arcsinx)=■(arcsinx)2+C

例14■■dx=■earctanxd(arctanx)=earctanx+C

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（本科少学时类型）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]赵树嫄.微积分（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2007.

摘要：本文分类总结了不定积分第一类换元积分法的常见类型，并给出典型的例题讲解。

关键词：不定积分；第一类换元积分法；分类

第一类换元积分法是求不定积分重要的、基础的方法，本文将第一类换元积分法（凑微分法）常见的类型进行分类总结。

定理：设（1）■f(u)du=F(u)+C，（2）函数u=?渍(x)可微，则成立第一类换元积分方法：

■f[?渍(x)]?渍′(x)dx=■f[?渍(x)]d?渍(x)=■f(u)du■

=[F(u)+C]u=?渍(x)=F[?渍(x)]+C

类型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)

例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C

例2①■■②■■

分析：①中被积函数分母x2+2x+5的△<0，通过对分母配方，做变换■■dx=■■dx；②中被积函数分母x2-5x+6的△>0，通过对分母因式分解，做变换■■=■■。

解：①■■dx=■■dx

=■■d(x+1)=■arctan■+C

②■■=■■=ln■+C

类型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)

例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C

例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C

类型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|)

例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)

=-■+C

类型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)

例6■■dx=■■dex=■arcan■+C

类型Ⅴ关于被积函数中含有sinx和cosx的不定积分

ⅰ■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx

=-■f(cosc)d(cosx)

例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+C

ⅱ对于形如■sinmxcosnxdx，■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可首先利用积化和差公式对被积函数进行变形。

例8■sin5xcos3xdx=■■[sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx

=■[■sin8xdx+■sin2xdx]

=■■sin8xd(8x)+■■sin2xd(2x)

=-■cos8x-■cos4x+C

ⅲ对于形如■sinmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可按如下方法处理：

（1）m,n中至少有一个为奇数时，不妨设n=2k+1，

■sinmxcos2k+1xdx=■sinmx(1-sin2x)kd(sinx)=■um(1-u2)kdu，化成u的多项式积分，求出后以u=sinx代回；

（2）m,n都为偶数时，可用倍角公式，sin2x=■(1-cos2x),cos2x=■(1+cos2x)降低三角函数幂次。

例9■sin2xcos3xdx=■sin2x(1-sin2x)d(sinx)

=■(sin2x-sin4x)d(sinx)

=■sin3x-■sin5x+C

例10■sin2xcos2xdx=■■■dx

=■■(1-cos22x)dx=■■(1-■)dx=■■(1-cos4x)dx

=■■dx-■■cos4xd(4x)=■-■sin4x+C

类型Ⅵ■sec2xf(tanx)dx=■f(tanx)d(tanx)■cos2xf(cotx)dx=-■f(cotx)d(cotx)

和■f(secx)secxtanxdx=■f(secx)d(secx)■f(cscx)cscxcotxdx=-■f(cscx)d(cscx)

例11■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■tanx(1+tan2x)d(tanx)

=■tan2x+■tan4x+C

或者用下面解法：

■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■sec3xd(secx)=■sec4x+C

类型Ⅶ■■dx=■■df(x)=ln|f(x)|+C

例12■■dx=■■d(x2-x+3)=ln|x2-x+3|+C

类型Ⅷ■■dx=■f(arcsinx)d(arcsinx)

和■■dx=■f(arctanx)d(arctanx)

例13■■dx=■arcsinxd(arcsinx)=■(arcsinx)2+C

例14■■dx=■earctanxd(arctanx)=earctanx+C

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（本科少学时类型）[M].北京：高等教育出版社，2008.

不定积分计算篇12

积分在数学分析中有很重要的地位;积分的计算方法有许多种, 相关文献都对其有探讨, 但是对对称性的研究却很少涉及。对称性在积分运算中有着很重要的意义, 通常可以简化计算。本文研究了对称性在积分运算中的应用, 归纳总结出利用平面区域的对称性来计算积分。

1 相关定理及证明

定理1[1] 设f (x) 在区间 $[- a ‚ a]$ 上可积:

(1) 若f (x) 为奇函数, 则∫ $_{- a}^{a}$ f (x) dx=0;

(2) 若f (x) 为偶函数, 则

∫ $_{- a}^{a}$ f (x) dx=2∫a0f (x) dx。

证明 (1) 当f (x) 为奇函数时:令-x=t则

∫ $_{- a}^{a}$ f (x) dx=∫-aaf (-t) d (-t) =

∫ $_{- a}^{a}$ f (-t) dt=-∫ $_{- a}^{a}$ f (x) dx

所以:2∫ $_{- a}^{a}$ f (x) dx=0即∫ $_{- a}^{a}$ f (x) dx=0。

(2) 当f (x) 是偶函数时:

∫ $_{- a}^{a}$ f (x) dx=∫ $_{- a}^{0}$ f (x) dx+∫ $_{0}^{a}$ f (x) dx=

∫0af (-t) d (-t) +∫ $_{0}^{a}$ f (x) dx=

∫ $_{0}^{a}$ f (t) dt+∫ $_{0}^{a}$ f (x) dx。

所以:∫ $_{- a}^{a}$ f (x) dx=2∫ $_{0}^{a}$ f (x) dx。

例1[2]:计算积分 $\int_{0}^{2 π} \frac{d θ}{2 + \cos θ}$ 。

解:令θ=π-x 则

$\begin{array}{l} \int_{0}^{2 π} \frac{d θ}{2 + \cos θ} = - \int_{π}^{- π} \frac{d x}{2 + \cos (π - x)} = \\ - \int_{π}^{- π} \frac{d x}{2 - \cos x} 。 \end{array}$

其中 $f (x) = \frac{1}{2 - \cos x}$ 为偶函数, 则

$\begin{array}{l} \int_{0}^{2 π} \frac{d θ}{2 + \cos θ} = - \int_{π}^{- π} \frac{d x}{2 + \cos (π - x)} = \\ - \int_{π}^{- π} \frac{d x}{2 - \cos x} = \int_{- π}^{π} \frac{d x}{2 - \cos x} = 2 \int_{0}^{π} \frac{d x}{2 - \cos x} 。 \end{array}$

令 $\tan \frac{x}{2} = t$ , 则

$\begin{array}{l} 2 \int_{0}^{π} \frac{d x}{2 - \cos x} = 2 \int_{0}^{+ \infty} \frac{\frac{2}{1 + t^{2}}}{2 - \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}} d t = \\ 4 \int_{0}^{+ \infty} \frac{\frac{1}{1 + t^{2}}}{2 - \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}} d t = 4 \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{1 + 3 t^{2}} = \end{array}$

$4 \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \sqrt{3} t |_{0}^{+ \infty} = \frac{2 π}{\sqrt{3}}$ 。

定理[3,4]2 若D关于x轴对称, D1为位于x轴上半部分, 当函数f (x, y) 是关于y的奇函数, 即

f (x, -y) =-f (x, y) 时,

$\iint_{D} f (x ‚ y) d x d y = 0$ ;

当函数f (x, y) 是关于y的偶函数, 即

f (x, -y) =f (x, y) 时,

$\iint_{D} f (x ‚ y) d x d y = 2 \iint_{D_{1}} f (x ‚ y) d x d y$ 。

证明设f (x, y) 在D1为x型区域, 其中φ1 (x) , φ2 (x) 在区间 $[a ‚ b]$ 上连续, 不妨设φ1 (x) ≤φ2 (x) , 则

$\iint_{D} f (x ‚ y) d x d y = \int_{a}^{b} d x \int_{- φ_{2} (x)}^{- φ_{1} (x)} f (x ‚ y) d y +$

∫ $_{a}^{b}$ dx∫ $_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)}$ f (x, y) dy

令y=-t, 当f (x, y) 是关于y的奇函数时,

$\begin{array}{l} \iint_{D} f (x ‚ y) d x d y = \int_{a}^{b} d x \int_{φ_{2} (x)}^{φ_{1} (x)} f (x ‚ - t) d (- t) + \\ \int_{a}^{b} d x \int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f (x ‚ y) d y = \\ \int_{a}^{b} d x \int_{φ_{2} (x)}^{φ_{1} (x)} f (x ‚ t) d t + \\ \int_{a}^{b} d x \int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f (x ‚ y) d y = \\ - \iint_{D_{1}} f (x ‚ y) d x d y + \\ \iint_{D_{1}} f (x ‚ y) d x d y = 0 。 \end{array}$

当f (x, y) 是关于y的偶函数时,

$\begin{array}{l} \iint_{D} f (x ‚ y) d x d y = \\ \int_{a}^{b} d x \int_{φ_{2} (x)}^{φ_{1} (x)} f (x ‚ - t) d (- t) + \\ \int_{a}^{b} d x \int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f (x ‚ y) d y = \\ - \int_{a}^{b} d x \int_{φ_{2} (x)}^{φ_{1} (x)} f (x ‚ t) d t + \\ \int_{a}^{b} d x \int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f (x ‚ y) d y = \\ \iint_{D_{1}} f (x ‚ y) d x d y + \end{array}$

$\iint_{D_{1}} f (x ‚ y) d x d y = 2 \iint_{D_{1}} f (x ‚ y) d x d y$ 。

定理3[4] 若D关于y轴对称, D2为位于y轴右半部分。

当函数f (x, y) 是关于x的奇函数, 即f (-x, y) =-f (x, y) 时:

$\iint_{D} f (x ‚ y) d x d y = 0$ ;

当函数f (x, y) 是关于x的偶函数, 即f (-x, y) =f (x, y) 时:

$\iint_{D} f (x ‚ y) d x d y = 2 \iint_{D_{2}} f (x ‚ y) d x d y$ 。

同理按照上述方法令x=-t可以证明。

例2[2]:求圆锥 z2=a2 (x2+y2) 截圆柱面x2+y2=2y所得有界部分立体的体积。

解立体在xy平面上的投影D:x2+y2≤2y, 根据积分区域是关于y轴对称并且被积函数 $f (x) = a \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 是x的偶函数, 那么所得立体体积[5]。

$V = 2 \iint_{D} a \sqrt{x^{2} + y^{2}} d x$ 。

令x=rcos θ, y=rsin θ。

则D变为 ${(r ‚ θ) | 0 \leq θ \leq π ‚ 0 \leq r \leq 2 \sin θ}$ 。

$V = 2 \iint_{D} a \sqrt{x^{2} + y^{2}} d x = 2 \int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 \sin θ} a r r d r =$

$\frac{16 a}{3} \int_{0}^{π} \sin^{3} θ d θ = \frac{64}{9} a$ 。

定理4[6] 若区域D为关于原点对称, 其中D3为D中关于原点对称的右侧。

当f (x, y) 为奇函数即f (-x, -y) =-f (x, y) 时, 有 $\iint_{D} f (x ‚ y) d x d y = 0$ 。

当f (x, y) 为偶函数即f (-x, -y) =f (x, y) 时, 有

$\iint_{D} f (x ‚ y) d x d y = 2 \iint_{D_{3}} f (x ‚ y) d x d y$ 。

证明[3] 设D可分为关于原点对称的两个区域D3和D4, 且任意的P (x, y) ∈D3关于原点对称P1 (x1, y1) ∈D4, 则

${\begin{matrix} x_{1} = - x; \\ y_{1} = - y 。 \end{matrix}$

由Jacobi行列式

$J = \frac{\partial (x_{1} ‚ y_{1})}{\partial (x ‚ y)} = | \begin{matrix} \begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial x} \\ \frac{\partial y_{1}}{\partial x} \end{matrix} & \begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial y_{1}}{\partial y} \end{matrix} \end{matrix} | = | \begin{matrix} \begin{matrix} - 1 & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & - 1 \end{matrix} \end{matrix} | = 1$

而 $\iint_{D_{4}} f (x ‚ y) d x d y = \iint_{D_{4}} f (x_{1} ‚ y_{1}) d x_{1} d y_{1} = \iint_{D_{3}} f (- x ‚ - y) J d x d y$ 。

所以

$\begin{array}{l} \iint_{D} f (x ‚ y) d x d y = \iint_{D_{3}} f (x ‚ y) d x d y + \iint_{D_{4}} f (x ‚ y) d x d y = \\ \iint_{D_{3}} f (x ‚ y) d x d y + \iint_{D_{3}} f (- x ‚ - y) J d x d y = \\ \iint_{D_{3}} f (x ‚ y) d x d y + \iint_{D_{3}} f (- x ‚ - y) d x d y 。 \end{array}$

由此可知:当f (x, y) 为奇函数时

$\iint_{D} f (x ‚ y) d x d y = 0$ 。

当f (x, y) 为偶函数时

$\iint_{D} f (x ‚ y) d x d y = 2 \iint_{D_{3}} f (x ‚ y) d x d y$ 。

例3[2]:计算 $\iint_{D} e^{- y^{2}} d x d y$ , 其中D为直线y=x与曲线 $y = x^{\frac{1}{3}}$ 围成的有界闭区域。

解:由积分区域关于原点对称及被积函数为关于y的偶函数知

$\iint_{D} e^{- y^{2}} d x d y = 2 \iint_{D_{1}} e^{- y^{2}} d x d y = 2 \int_{0}^{1} d y \int_{y}^{y^{3}} e^{- y^{2}} d x =$

2∫ $_{0}^{1}$ (y-y3) e-y2dy。

令t=y2, 则

$\iint_{D} e^{- y^{2}} d x d y = \int_{0}^{1} (1 - t) e^{- t} d t = \frac{1}{e}$ 。

3 定理的推广

推论1[7,8] 若区域D关于y=x轴对称, 此时x与y的位置相同, 那么

$\iint_{D} f (x ‚ y) d x d y = \iint_{D} f (y ‚ x) d x d y$

推论2[9] 设D是有界平面区域, 二元函数f (x, y) 在D上有连续的偏导数, 且D关于x, y轴对称, 则 $\iint_{D} f (x ‚ y) d x d y = 4 \iint_{D^{+}} f (x ‚ y) d x d y$ , 其中D+={ (x, y) ∈D|x, y>0}。