积分-积分估计（通用9篇）
积分-积分估计 篇1
0 引言
解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用, 它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用.在实际问题中边界曲线发生摄动的情况经常遇到的, 比如空间的弹性基本问题和平面的、空间的断裂力学问题.所以, 不少学者在致力于边值理论分析的同时, 也考虑了将理论运用到解决实际问题中。因此, 研究解析函数边值问题关于边界曲线的稳定性有很大的实际意义。
1 问题的提出
之差, 本文的主要结果将给出这两个奇异积分之差的估计式。
2 预备知识
则由引理1可得
3 主要结果
证明:.考虑
则文献[3]定理4可得
一方面, 由推论1可得
另一方面, 由Xω+, ∏, g的Hölder连续性可得
这里, υ∈ (0, 1) 是任意取定的数, 利用上述两方面的估计式可得
则
综上所述
定理的结论得证。
摘要：为了得到带根号的Riemann边值问题边值问题关于边界曲线摄动的的稳定性, 因此本文讨论了与之相对应的一类奇异积分关于积分曲线摄动的误差估计。
关键词：带根号Riemann边值问题,奇异积分,摄动,误差估计
参考文献
[1]路见可.解析函数边值问题[M].武汉:武汉大学出版社, 2009:413-415.
[2]曾乔, 林峰.一类奇异积分关于积分曲线摄动的误差估计[J].四川师范大学学报 (自然科学版) , 2015 (01) .
[3]王小林m龚亚芳, 一类奇异积分和Cauchy型积分关于积分曲线的稳定性[J], 数学学报, 1999, 42 (02) :343-350.
积分-积分估计 篇2
粗糙核分数次积分交换子在齐次Morrey-Herz空间上的CBMO估计
带粗糙核的分数次积分交换子定义为[b,TΩ,l]f(x)==∫RnΩ(x-y)/ㄧx-yㄧn-l(b(x)-b(y))f(y)dy,其中Ω∈Ls(Sn-1),1≤s<∞,是零次齐次函数,b∈CBMOq(Rn).在一定条件下,得到了分数次积分交换子[b,TΩ,l]及其相应的.极大算子在齐次Morrey-Herz空间上的CBMO估计.
作 者：冯进喜 陶双平FENG Jin-xi TAO Shuang-ping 作者单位：西北师范大学,数学与信息科学学院,兰州,730070刊 名：重庆工学院学报(自然科学版) ISTIC英文刊名：JOURNAL OF CHONGQING INSTITUTE OF TECHNOLOGY(NATURAL SCIENCE)年，卷(期)：200822(9)分类号：O174.2关键词：分数次积分 交换子 齐次Morrey-Herz空间 CBMO
积分-积分估计 篇3
设A=A(x)是一个定义在Rn上的复L∞系数的n阶方阵,且满足一致性椭圆条件:存在用L表示二阶散度型椭圆算子,即Lf=-div(Af).设0<β<n利用算子的谱理论,算子L的β阶广义分数次积分定义为
容易看出,当L=-Δ时,L-β2就是经典的β阶分数次积分算子.给定函数b(x),由L-β2和b(x)生成的广义分数次积分交换子[b,L-β2]定义为
分数次积分算子是分析数学中一类非常重要的算子,并且它的Hardy-Littlewood-Sobolev型不等式在偏微分方程等领域的研究中也发挥着关键作用.分数次积分及其交换子的研究取得了丰富的研究成果,例如参见综合文章[1]及其中的参考文献.本文的主要目的是研究与二阶散度型椭圆算子L相关的广义分数次积分算子与BMO函数生成的交换子在加权Lebesgue空间上的有界性.我们首先回顾Muckenhoupt权[2,3].设1<p<∞如果对任意的方体Q,成立
那么称ω∈Ap.设1<p1,p2<∞,我们称ω∈A(p1,p2)是指
容易知道
设f∈L1loc(Rn),如果
那么称f∈BMO(Rn).这里,Q为Rn中的方体,
用pt(x,y)表示解析半群的热核,我们知道当A是实矩阵,或者A是n≤2的复矩阵或者当n≥3时是Hlders连续时,pt(x,y)具有Gaussian上界,即成立.
本文主要结果如下.
定理设满足(4)式,b∈BMO,到从加权上的有界算子,即存在常数C>0,使得
证明由文献[4],我们有
其中
注意到在定理条件下,算子的具有下面加权有界性结果[4]
所以,根据Hardy-Littlewood极大函数的(p,p)型不等式和(5)式,我们有
其中,
积分变换在无穷限积分计算 篇4
为大家献上积分变换在无穷限积分计算，欢迎各位数学毕业的同学阅读复积分的求法!
摘要：本文利用积分变换(Fourier变换和Laplace变换)来计算无穷限积分，通过具体的实例说明采用积分变换计算特殊类型的无穷限积分是简便、有效的，是对用初等方法计算无穷限积分的一个很好补充。
关键词：无穷限积分;Fourier变换;Laplace变换
一、引言
广义积分(或称反常积分)的反常性既表现在积分区间为无穷区间，又表现为被积函数在积分区间内部出现瑕点。当广义积分被积函数的原函数不好找或者不存在初等函数的.原函数时，反常积分的求解就不太容易讨论，也就难于求值，因此除了掌握用基本方法外，还应了解一些特殊类型积分的求解方法。
求解无穷限积分的方法还有很多，如文献中就介绍了利用留数来计算某些类型的无穷限积分.但要利用留数计算定积分，需具备两个条件：一是被积函数与某个解析函数有关;二是选择相应的封闭路径，由于封闭路径的形状可能是多种多样，再者周线上有奇点的时候还要绕过去，因此由于选择封闭路径的困难使得利用留数计算无穷限积分的方法也受到了很大的限制。
积分变换(Fourier变换和Laplace变换)的理论和方法在数学的许多分支、其他自然科学、工程技术中均有广泛应用.本文通过具体的实例展现利用积分变换计算某些特殊类型的无穷限积分的思想和方法，以及相对于初等方法方法的优势，对积分变换计算某些特殊类型的无穷限积分的应用做了浅显的讨论。
二、利用拉普拉斯变换的定义计算无穷限积分
对比两种方法，可以看到利用积分变换计算比用留数的方法计算更方便和更简捷。
三、利用傅立叶变换及其逆变换的定义计算无穷限积分
定义：如果函数f(x)满足Fourier积分定理中的条件，也就是函数f(x)在(-∞，+∞)满足下列条件：1)f(x)在任一有限区间上满足Dirichlet条件;2)f(x)在无限区间
例5和例6利用傅立叶变换及其逆变换的定义计算含参变量的无穷限积分，高数中计算含参变量的无穷限积分，一般只能按定义进行，难点在于要求出被积函数的原函数，而一些看似简单的函数想要找到其原函数，在实函数理论中几乎办不到，即使能够找到，过程也很繁琐，而利用积分变换法解决这种问题，就可以避免求原函数，从而简化了计算，具有较强的实用价值。
四、总结
本文通过具体的实例说明利用积分变换计算特殊类型的无穷限积分是一种简便而有效的方法和途径，它克服了初等方法的局限性，是对初等方法的一个很好的补充.
参考文献：
[1]同济大学应用数学系.高等数学(第六版)[M].北京：高等教育出版社，.
[2]西安交通大学高等数学教研室.复变函数(第六版)[M].高等教育出版社，.
[3]东南大学数学系张元林.积分变换(第四版)[M].高等教育出版社，.
超越函数定积分的积分方法 篇5
特别D是矩形区域[α, b, c, d], 则有
利用引理可以得到的主要结果是:
超越函数定积分的积分方法一:把超越函数定积分I看作是某个参变量y的函数, 记为I (y) , 利用微分运算可通过积分号的引理1, 先微分, 再积分, 最后确定I。
超越函数定积分的积分方法二:把超越函数定积分转化为二元函数的二重积分, 利用二重积分顺序可交换的引理2, 恰当选择积分顺序, 从而得到超越函数定积分的计算。
于是有I (y) =ln (1+y) +c, 令y=α, 于是有
I (α) =ln (1+α) +c=0, c=-ln (1+α) , 从而得到
利用超越函数定积分的积分方法二:
摘要：本文利用二元函数的微分学和积分学的理论和方法, 研究超越函数定积分的两种积分方法。
关键词：初等函数,超越函数,定积分,二重积分
参考文献
[1]复旦大学数学系主编.数学分析.上海:科技出版社.1964年
[2]徐利治, 王兴华编.数学分析的方法及例题选讲 (修订版) .北京:高等教育出版社.1984年
利用重积分解决定积分的有关问题 篇6
1.利用重积分证明定积分中积分不等式
不等式问题是数学中最美的问题之一, 它在数学的各个领域中都起着巨大的作用.不等式的证明是数学分析的重要内容之一, 它涉及的问题很多, 应用也十分广泛, 历来受到重视.不等式的分析证明方法多种多样, 很具有灵活性, 有时还有相当的难度.下面通过若干范例来说明如何利用重积分解决定积分中积分不等式的证明问题.
证明由于定积分与积分变量所用字母无关, 且两个定积分的乘积可转化为二重积分, 故有
其中D:a≤x≤b, a≤y≤b.于是,
注:本例证明中用到不等式f2 (x) +f2 (y) ≥2f (x) f (y) 及重积分的比较性质.
例2设f (x) 是[0, 1]上的连续正值函数, 且单调减,
证明由于要证明的不等式可写成两个定积分乘积的不等式, 从而可考虑通过二重积分来证明, 因不等式中的分母大于零, 欲证不等式可改写成:
由于定积分与积分变量所用字母无关, 故
其中D:0≤x≤1, 0≤y≤1.
应用上面两例的证明方法, 可以证明著名的Cauchy-Schwarz积分不等式和Tehebycheff不等式.
例3设f (x) 与g (x) 都是[a, b]上的连续函数, 试证Cauchy-Schwarz积分不等式:
注:利用Cauchy-Schwarz积分不等式的结论, 还可证明其他积分不等式.
从以上各例题可以看到, 利用重积分解决定积分的有关问题具体可从以下几个方面进行考虑:因两个定积分的乘积可转化为二重积分, 所以有的定积分问题可转化为二重积分来处理;若定积分中的被积函数无法进行积分运算时, 考虑可否将其改写为定积分的表达式;有时若定积分式中出现常数, 也可考虑常数是否可改写为定积分的表达式.
摘要：在计算重积分时, 通常的处理方法是把重积分化成定积分然后从里层到外层施行定积分计算, 反过来, 利用重积分也可以解决定积分的有关问题.通过若干范例来说明如何利用重积分解决定积分的有关问题.
关键词：积分不等式,定积分,重积分
参考文献
[1]陈纪修等.数学分析 (上、下) [M].北京:高等教育出版社, 2004.
[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社, 1993.
积分-积分估计 篇7
级数的理论已经发展的相当丰富和完整, 在工程实践中有着广泛的应用, 级数可以用来表示函数、研究函数的性质, 也是进行数值计算的一种工具, 它在自然科学、工程技术和数学本身都有广泛的作用。幂级数是数学分析的重要概念之一, 是一类最简单的函数项级数, 在幂级数理论中, 对给定幂级数分析其收敛性, 求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但学生往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材中对这一问题讨论较少, 仅有一两个例题, 使得学生对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。很多专家学者研究了幂级数的求和问题, 如邓俊兰和李鑫的《幂级数求和函数的类型与解法》[1], 孙艾明的《利用解微分方程求幂级数的和函数》[2], 彭凯军, 孙胜先, 苏灿荣的《利用微积分算子求幂级数的和函数》[3]等。学生在学习用逐项积分方法求未知幂级数和函数时, 对积分下限的选取存在困惑, 目前这一问题的讨论甚少, 本文的研究就是针对这一问题。
1幂级数求和的逐项积分法
已知幂级数的和函数, 用逐项积分法求未知幂级数的和函数时, 其方法和步骤如下[4]:
2逐项积分法使用中的两个问题
首先, 已知幂级数的和函数, 用逐项积分法求未知幂级数的和函数时, 积分上下限的选取问题。
两个问题:1、积分下限为什么选取为0;2、积分下限还可以在什么范围选取?
对于问题2, 只要满足逐项积分的条件, 即可用逐项积分法求幂级数的和函数, 所以, 选取积分下限a, 只需满足对任意的x∈ (-R, R) , 都有[a, x]∈ (-R, R) , 即x∈ (-R, R) 。所求幂级数的和函数。通过下面的例题, 验证一下, 当选取积分下限为0和积分下限为a∈ (-R, R) 计算幂级数和函数时, 得到结果一样。
例1:试求幂级数的和函数。
易知在x=-1处收敛, 而在x=1发散, 故的收敛域为[-1, 1) 。
①取积分下限为0时, 设其和函数为S (x) ,
这里S (0) =0, 于是求得:S (x) =-ln (1-x) , x∈[-1, 1) 。
②取积分下限为a∈ (-1, 1) , 不妨设, 设其和函数为S (x) 。经逐项求导得到:,
由例1可以看出, 虽然结果一样, 但是选取积分下限为0, 计算比较简单。
根据以上的讨论, 可知, 当已知幂级数的和函数, 用逐项积分法求未知幂级数的和函数时, 积分上下限的选取。
3幂级数求和的逐项积分法
③验证x=x0-R和x=x0+R处的敛散性, 从而得到所求幂级数的和函数。下面, 通过例2, 演示一下计算过程。
例2:试求幂级数的和函数。
4总结
本文讨论了利用逐项积分法求幂级数和函数时积分下限选取为0的原因, 一个原因是通常情况下, 和函数S (x) 当x=0时值为0;另一个原因是幂级数的收敛区间是以原点为中心的对称区间, 即0为对称中心, 故任意取自收敛区间的x, [0, x]都是可积区间。最后, 本文给出, 积分下限的选取范围不仅仅为0点, 可以在收敛区间内任一点。并通过例题, 验证其正确性。通过这样的讲解, 突破了学习的一个难点, 使学生在学习逐项积分法的时候, 更容易掌握。
摘要：求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的, 它的难度较大、技巧较高, 对学生来说是一个难点, 其中利用逐项积分法计算幂级数和函数的方法, 学生在学习时, 对积分下限选为0感到困惑, 本文讨论了积分下限选为0的原因和积分下限的选取范围。
关键词：逐项积分,和函数,积分下限
参考文献
[1]邓俊兰, 李鑫.幂级数求和函数的类型与解法[J].北京电力高等专科学校学报, 2010 (9) .
[2]孙艾明.利用解微分方程求幂级数的和函数[J].数学学习与研究, 2011 (15) .
[3]彭凯军, 孙胜先, 苏灿荣.利用微积分算子求幂级数的和函数[J].高等数学, 2011 (3) .
浅谈不定积分分部积分法的教学 篇8
一、让学生弄清分部积分法的原理
在教学中一定要让学生理解分部积分法的来源,强化记忆公式.所谓分部积分法就是运用分部积分公式∫udv=uv-∫vdu求不定积分的方法.分部积分公式是由求导数的积分法则推导而来的,设函数u=u(x)与函数v=v(x)有连续的导函数u′(x)和v′(x),由微分学知识可知[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x),若该等式两边取不定积分,则推出等式∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)-∫u′(x)v(x)dx,这就是分部积分公式,它可以简化写作∫udv=uv-∫vdu.分部积分公式的特点是:将左边的不定积分问题转换为右边的不定积分问题,它表明:如果计算积分∫udv比较困难,而积分∫vdu容易计算时,可利用分部积分公式将积分问题进行转换,这就是分部积分法的基本思想.
二、让学生掌握分部积分法的解题思路
很多初学者往往会有疑问,什么样的积分需要用到分部积分法求解,还有怎么使用公式去解题,这就要了解分部积分法的适用范围和解题思路了.一般地,分部积分法适用于求被积函数是两种不同类型函数乘积的形式的积分,如当被积函数是指数函数、对数函数、三角函数、幂函数(或多项式函数)、反三角函数这五种基本函数中任意两个函数的乘积时用分部积分法求解.有些被积函数不是两种不同类型函数乘积的形式,但通过变形后也可以用分部积分法来求积分.分部积分法的解题思路是先将被积函数里面两个不同类型的函数其中一个看成u(x),而另一个与dx的乘积看成dv(x),再利用分部积分公式∫udv=uv-∫vdu来求解.概括一下,假如用分部积分法求不定积分∫f(x)dx,则可归纳为两个步骤:第一步是凑微分——把被积表达式f(x)dx凑成udv,第二步是运用分部积分公式计算.其中第一步关键是如何在被积函数f(x)中恰当选取u(x)和dv(x),u(x)一旦选定了,剩下的函数就作为v′(x)和dx凑成dv(x).u(x)和dv(x)若选择得当,则计算顺利,反之,就会出现计算越来越复杂甚至积不出来的现象.
那么,选择u(x)和dv(x)究竟有没有规律可循呢?一般地,在u(x)和dv(x)的选择时要考虑两点:(1)v(x)要容易求出.(2)∫vdu要比∫udv容易计算.在实际应用中,总结出了选择u(x)和dv(x)的一般规律是:当被积函数是幂函数(或多项式函数)与指数函数或三角函数乘积时,设幂函数(或多项式函数)为u(x),指数函数或三角函数与dx的乘积为dv(x);当被积函数是幂函数(或多项式函数)与对数函数或反三角函数乘积时,设对数函数或反三角函数为u(x),幂函数(或多项式函数)与dx的乘积为dv(x);当被积函数是指数函数与三角函数乘积时,可设指数函数为u(x),也可设三角函数为u(x).这个规律可以用“反对幂指三,居前者为u(x)”帮助记忆.有些积分的被积函数比较复杂,在运用分部积分法时,如能把上述规律与常用的积分技巧与方法相结合,常常能起到事半功倍的效果.
三、让学生掌握使用分部积分法的常见题型
对使用分部积分法的常见题型进行总结和归纳,能够使学生比较容易地接受和掌握计算要领.下面将适用于分部积分法的积分进行一些归类:
(1)∫Pn(x)ekxdx,取u=Pn(x),dv=ekxdx.
(2)∫Pn(x)sin(ax+b)dx,取u=Pn(x),dv=sin(ax+b)dx.
(3)∫Pn(x)cos(ax+b)dx,取u=Pn(x),dv=cos(ax+b)dx.
(4)∫Pn(x)lnkxdx,取u=lnkx,dv=Pn(x)dx.
(5)∫Pn(x)arcsin(ax+b)dx,取u=arcsin(ax+b),dv=Pn(x)dx.
(6)∫Pn(x)arccos(ax+b)dx,取u=arccos(ax+b),dv=Pn(x)dx.
(7)∫Pn(x)arctan(ax+b)dx,取u=arctan(ax+b),dv=Pn(x)dx.
(8)∫ekxsinaxdx,∫ekxcosaxdx,u,v可任取.
上式中Pn(x)为n次多项式,k,a,b均为常数.另外如果被积函数中只有一个因子(例如lnx,arcsinx,arccosx等),而又不能用别的方法求出积分时,不妨用分部积分法,此时可设被积函数为u,dv=dx.
摘要：本文浅谈了分部积分法教学中应注意的三个关键地方,以期提高课堂教学质量,帮助学生熟练掌握这种积分方法.
积分-积分估计 篇9
高等数学在处理曲线积分、曲面积分、二重积分、三重积分时, 很多情况下是把它转化为几次定积分来计算. 有时也可以把三重积分化为一次二重积分和一次定积分. 转化的目的是为了能计算并且计算简单. 下面这道题是关于第一型曲面积分的.
2. 第一型曲面积分的定义及转化方法
3. 总结
本文针对柱面上的第一型曲面积分, 从第一型曲面积分的定义出发, 采用特殊的划分方法, 把积分和写成这样的形式, 当分割细度λ趋于0时, 可以把第一型曲面积分化为一次第一型曲线积分和一次定积分. 通过例2、例3可以看出, 这种方法有很好的优越性, 能够减少计算的难度, 计算量也大大降低. 不过遗憾的是这种方法不是对任意的曲面积分都适用, 这样就降低了这种方法使用的广泛性.
参考文献
[1]刘宏, 张西恩, 等.多项式函数在无理点的函数值.大学数学, 2012 (4) .
[2]刘玉琏, 傅沛仁, 编.数学分析讲义 (第三版) .高等教育出版社, 1992年.
[3]刘宏.元素法的两个应用.中国当代教育杂志, 2003 (9) .
[4]田中华.浅谈数学思想的教学与创新能力的培养.学知报, 2011年5月23日, 第F07版.
[5]陈衍广.用数学思想指导解题.学知报, 2011年6月13日, 第B02版.
[6]豆俊峰.数学思想观念教育应深化在数学教学中.学知报, 2011年7月25日, 第A06版.
[7]丘成桐.数学, 一门美丽的科学.光明日报, 2008年10月7日, 第012版.
[8]王振新.渗透数学思想掌握数学方法的重要性.大众科技报, 2007年7月5日, 第C03版.
[9]钱玮.强化专题, 感悟数学思想.成才导报.教育周刊, 2007年5月9日, 第014版.