积分面积（精选4篇）
积分面积 篇1
在过去的学习中, 我们已经知道很多规则平面图形的面积计算, 如正方形、平行四边形、三角形、圆的面积等等.可以发现这些规则图形一般都是“直边图形”, 但平时我们在实际中还会遇到求“曲边图形”的面积, 那么我们想到了定积分.
定积分的定义是前人在用“逼近”的方法中总结定义出来, 是受“以直代曲”的思想启发的.也就是把“曲边图形”采用“逼近、分割”方法进行近似代替而求得.
那么很自然定积分的定义为:
一般地, 如果有函数f (x) 在区间[a, b]上连续, 用分点a=x0
另外, 要用定积分去求“曲边图形”的面积关键还要理解定积分的几何意义:
可以发现, 阴影部分 (如图1) 的面积.
特殊情况 (如图2) , 可以发现, 阴影部分的面积.
但这样的特殊情况会给学生导致一种普遍性的误解, 以为函数f (x) 、积分区间与x轴所夹的部分面积就是函数f (x) 在相应积分区间的积分值.但是要注意, 积分根据它的定义可以知道, 积分值的大小可以为正也可以为负, 但是平面图形的面积却只能为非负数.那么下面的这种情况就会使学生出现理解上的错觉.
例1求曲线y=sin x (x∈[π, 2π]) 与x轴所围成的封闭区域 (如图3) 的面积.
错解:运用定积分得到.
结合微积分定理得到
这样就会得出矛盾了:面积为负了.
那怎么会出现这样的错误呢?
有些参考书中就对这种情况给了这样一个结论:在x轴上方的面积为正, 在x轴下方的面积为负.实际上这样的结论是有漏洞的.
分析原因是我们对定积分定义及几何性质的理解出现了偏差.对照定积分的几何性质.
那么在本例中的被积函数f1 (x) , f2 (x) 分别为什么呢?通过对照, 函数f1 (x) 是“平面曲边图形”的上界线, 函数f2 (x) 是“平面曲边图形”的下界线, 积分上下限自然就是“平面曲边图形”的左右界线了.所以, 正确地求解为:
运用定积分得到,
结合微积分定理得到
这样所要求的面积为2.
以上是针对运用定积分求“平面曲边图形”的面积中学生普遍存在的曲解进行解释说明, 那么一般我们用定积分来求平面图形面积的一般步骤为:
(1) 画出所围平面图形的草图;
(2) 求出各有关曲线的交点及边界点, 以确定积分上下限;
(3) 利用定积分的几何意义确定代表所求面积的定积分;
(4) 计算定积分的值.
但实际上有很多函数的图形很难画出来, 所以定积分来求平面图形的面积还是存在不少难题的.那么对于一般的运用定积分求“平面曲边图形”的面积又有最基本的两种方法.
1.以直角坐标系的横轴对应的变量为积分变量
例2求曲线y=cos x (x∈[0, 2π]) 与x轴、y轴和直线x=2π所围成的封闭区域的面积 (如图4) .
解:由图象得曲线y=cos x (x∈[0, 2π]) 与x轴的交点横坐标分别为, 运用定积分得到所围成的封闭区域的面积S为
【点评】选用积分对象是由图形的特点决定的.
2.以直角坐标系的纵轴对应的变量为积分变量
例3求曲线y2=4x与直线y=x-3围成的封闭区域的面积 (如图5) .
解:由图象可求得A (1, -2) , B (9, 6) , 且曲线和直线方程分别为,
运用定积分得到所围成的封闭区域的面积S为
【点评】如果采用x为积分变量, 积分的运算量会增加.
当然在平时或实际的运算中会碰到更加复杂的“平面曲边图形”, 要求它们的面积可以把图形进行切割, 分割成比较规则或比较简单可以求借的小块, 在采用以上两种定积分求解方法, 相信会很容易地解决求解“平面曲边图形”的面积.
总而言之, 用定积分去求解平面图形面积时, 前提是了解定义, 关键是理解它的几何意义, 重点是要选对积分变量, 这样就会正确解决此类问题了.
积分面积 篇2
1二重积分的复化Simpson积分公式
于是, 二重积分Simpson公式为:
二重积分Simpson公式需要用到9个节点。所以, 我们把积分区域划分成的方格, 取如图1四个方格共有9个节点组成一个大方格, 于是:
2曲面数值积分公式
已知曲面方程为z=f (x, y) , 那么曲面面积为:
利用公式 (1)
函数f (x, y) 使用三点数值微分公式来近似代替偏导数[4], 有:
(其中s=2i-, 12i, 2i+1)
3算例分析
例曲面函数z=3x+2y2在矩形区域Ω=[, 02]×[, 02]内的表面积。
其表面积计算的精确值为:
在相同的分割网格下, 数值计算结果如表1。
4结论
通过实验可知基于本文的方法求解面积算法的误差是O (h 4) , 而传统的“三角形法”误差是O (h 2) , 因此本文的算法远好于三角形法。虽然它的计算公式比较复杂, 计算效率不高, 但是在要求相同精度的条件下, 它的计算时间是还是比“三角形法”少的多。由此可以看出本算法需要信息点少, 精度较好, 运算速度快, 具有较大的实用价值。
参考文献
[1]肖泽昌, 杜跃鹏.带端点3阶导数的Simpson修正公式[J].吉首大学学报:自然科学版, 2008, 29 (4) .
[2]张正印.二重积分的Simpson公式及其误差估计[J].内蒙古民族师院学报, 1995, 10 (1) .
[3]同济大学.《微积分》第三版下册[M].北京:高等教育出版社:122.
积分面积 篇3
一、求曲边梯形的面积
例1:计算由曲线y2=2x, y=x-4所围图形的面积。
分析:首先根据曲线的方程y2=2x, y=x-4在坐标系中画出曲线, 确定所围图形的范围;其次, 在图形范围内, 比较两条曲线的位置关系;最后, 用定积分求所围图形的面积。为了求解问题的方便, 我们以y作为积分变量。
解:如图, 为了确定图形的范围, 先求出这两条曲线交点的坐标, 解方程组, 得出交点的坐标为 (2, -2) , (8, 4) 因此, 所求图形的面积
点评:在利用定积分求平面图形的面积时, 一般要先画出它的草图, 再借助图形直观他确定出被积函数以及积分的上、下限。
例2:如图, 已知曲线C1:y=x2与曲线C2:y=-x2+2ax (a>1) 交于点O、A, 直线x=t (0<t≤1) 与曲线C1、C2分别相交于点D、B, 连接OD、DA、AB。写出曲边四边形ABOD (阴影部分) 的面积S和t的函数关系式S=f (t) 。
分析:曲边四边形ABOD (阴影部分) 的面积由两部分组成:
曲边梯形BFOD的面积和三角形ABD的面积的和。因此
需要先求出A、B、D三点的坐标。
解:由得点O (0, 0) , A (a, a2) ,
又由已知得B (t, t2+2at) , D (t, t2)
点评:这类题以图形给出求阴影部分面积, 这个图形是由哪些函数组成的, 如何确定被积函数, 还有如何分块的问题等, 初学者都感到困难, 不理解图形的结构含意, 实现不了由图形向定积分的转化, 因此真正理解所围的图形的意义和作用是很重要的。
二、求参数的值
例3:如图, 直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分, 求k的值。
分析:先求抛物线y=x-x2与x轴所围图形的面积, 再求y=kx与y=x-x2的两交点的横坐标。
解:抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标x1=0, x2=1所以抛物线与x轴所围图形的面积
点评:通过阴影部分图形的面积和定积分的几何意义, 建立起等价关系, 做到由图形面积列出定积分公式, 反过来由定积分公式理解其几何意义, 相互作用。
三、求点的轨迹
例4:有一直线与抛物线y=x2相交于A、B两点, AB与抛物线所围图形的面积恒等于4/3, 求线段AB的中点P的轨迹方程。
分析:设出A、B两点的坐标, 利用定积分求出所围图形的面积, 再利用消参法求出点P的轨迹方程。
解:如图所示, 设抛物线y=x2上的两点为A (a, a2) , B (b, b2) 不妨设b>a, 直线AB与抛物线所围图形的面积为S, 则
所以点P的轨迹方程为y=x2+1。
积分面积 篇4
若求侧面积S时,也将小圆台视为圆柱,那么得到的侧面积微元将是
上面的结果与我们已知的公式相比较,便知求得的体积是对的,而侧面积是错的. 为什么用的方法相似,而得到的结果却是一个对而另一个错了呢?
下面是张志军在《微元法在利用定积分解决实际问题中所起的作用》中,( 互联网上) 从“微元法”的角度对这一问题的阐述:
将底半径为r,高为h的正圆锥的侧面,看作是由x Oy平面上的直线绕x轴旋转而成的,为了求其体积V,先求体积微元,即当dx很小时将圆台视为圆柱,故
若求侧面积S时,也将小圆台视为圆柱,那么得到的侧面积微元将是d S = 2πkxdx,从而S = πrh.
上面的结果与我们已知的公式相比较,便知求得的体积是对的,而侧面积是错的. 为什么用的近似的方法,而得到的结果却是一个对而另一个错了呢?
关键在于所找的微元是不是待求量A的微分d A,即ΔA- d A是不是比dx高阶的无穷小,这一步是必须检查的.
1. 关于体积有因此d V的确是V的微分,故积分的结果符合实际.
2. 关于侧面积,我们利用中学数学中关于圆弧的长和圆扇形的面积公式,可求得小圆台的侧面积为
故与我们前面所找的d S之差为
容易看出,这个差不是高阶无穷小量( 当dx→0) . 故上述d S不是S的微分,积分得出结果当然不对了. 从( 1) 式可以看出,S的微分应当是
这个结果才是正确的. 通过这个问题的分析,主要是加深我们对“微元法”的理解. 关键是所得到的微元一定要是待求量的微分,然后再积分,才不会错.
张志军通过微元法和严格的计算找出了错误,下面我从利用定积分解决实际问题时的积分对象、积分路径来证明这一问题.
难道不能用小圆柱的侧面积近似小圆台的侧面积吗?
有的资料上说: 虽然dl→0,dh→0,但dh不是dl的线性近似,所以不能相互代替. 这一说法不准确,不能揭示出事物的本质特性. 为什么求侧面积时,不能用dh代替dl?从计算结果上看: 两者存在着数量关系,但两者都是极小量,为什么不能相互代替?如果单从计算结果上比较很难解释清楚,还得从体积、面积的本质上来考虑.
1. 体积是面积在高上的连续叠加,上例中,小圆台、小圆柱的高相同.
2. 圆锥侧面积是周长在母线L上的不断叠加,而非在高上的叠加. ( 求体积与侧面积时的积分对象或积分路径不同,V→h,S→l) 所以圆锥侧面积的积分式为: