治疗积分（精选7篇）
治疗积分 篇1
近年来, 随着医学技术水平的发展, 经皮冠状动脉介入治疗技术 (PCI) 也随之进步, 加之新型药物洗脱支架及相关药物的研发使用, 使PCI的适应证范围得到扩展, 越来越多的冠心病患者选择PCI进行治疗[1]。冠心病较为复杂, 尽管PCI适应证较广泛, 但是为了取得良好的预后, 选择合适的患者尤其重要。SYNTAX积分综合考虑了病变动脉的数目、部位、功能及复杂性, 可对冠状动脉病情的变化进行准确量化, 大量研究已经证实SYNTAX积分对于冠心病患者经皮冠状动脉介入治疗术 (PCI) 后预后有预测价值[2,3,4,5,6,7,8]。但SYNTAX积分只包括冠状动脉的解剖特点, 没有患者的临床表现, 无法直观的反应患者的整体病情趋势。因此, 可将SYNTAX积分联合包括含有患者临床特点的预测系统, 能够有更好的预测价值。Serruys在2009年的TCT上提出临床SYNTAX积分, 临床SYNTAX积分=SYNTAX积分×ACEF积分[9]。由于国内对临床SYNTAX积分及SYNTAX积分的相关研究较少, 未见明确的文献报道。本文选取2010年1月-2016年1月接诊的冠心病患者170例, 对其进行研究, 现将结果报告如下。
1 资料与方法
1.1 一般资料
选取本院2010年1月-2016年1月接诊的冠心病患者170例, 所有患者均经冠状动脉造影确诊3支病变或左主干病变, 确诊后进行PCI治疗, 男92例, 女68例, 年龄45~78岁, 平均 (52.7±3.1) 岁。
1.2 入选标准
(1) 因心肌缺血造成的稳定型或不稳定型心绞痛;存在不典型胸痛以及无症状但是有客观缺血检查结果; (2) 在3支供应存活心肌的心外膜动脉中, 存在至少1处明显狭窄, 或左主干病变和左主干等同病变; (3) 未经任何干预的原位病变; (4) 植入西罗莫司洗脱支架者; (5) 出现右冠状动脉发育缺陷后降支以及前降支与回旋支发生病变的患者, 在本次试验中归为3支病变[10]。
1.3 排除标准
(1) 存在PCI手术史或冠状动脉旁路移植术史; (2) 经冠状动脉造影显示左右冠状动脉均衡型患者; (3) 急性心肌梗死患者; (4) 左主干的双支未见病变者[11]。
1.4 SYNTAX积分计算
采用SYNTAX积分网页对所有患者的造影结果进行计算。同时根据患者的年龄、血清肌酐水平以及心室射血分数, 计算ACEF积分。
1.5 评分系统
(1) SYNTAX积分系统:高分组≥31.5分、中分组为21.0~31.0分、低分组≤20.5分; (2) 临床SYNTAX积分系统:高分组≥29.2分、中分组19.6~29.1分、低分组≤19.5分[12]。
1.6 随访终点
待患者治疗出院后, 通过门诊复查及电话对患者进行随访, 部分患者复查时进行冠状动脉造影, 评价患者治疗后出现的不良心脑血管事件, 包括全因死亡、中风、非致命性心肌梗死以及再次血运重建。再次血运重建的定义为再次住院进行血运重建, 同一次住院进行的分次PCI不为再次血运重建。
1.7 统计学处理
采用SPSS 16.0系统软件统计分析资料;其中计量资料用 (±s) 表示, 采用t检验;计数资料以率 (%) 表示, 采用x2检验, P<0.05表示有统计学意义。SYNTAX积分及临床SYNTAX积分采用Kolmogorov-Smirnov检验;生存率通过Kaplan-Meier计算, 采用logrank检验。建立Cox比例风险模型, 计算HR、95%可信区间 (CI) 以及多因素分析。采用ROC曲线 (AUC) 对两种方法进行评价。
2 结果
2.1 患者特征
入选的170例患者中, 失访8例, 随访率为95.29%。左心室射血分数 (EF) (64.1±7.9) %, 吸烟史61例 (37.65%) , 糖尿病52例 (32.10%) , 高血压124例 (76.54%) , 高血脂51例 (31.48%) , 冠心病家族史23例 (14.20%) , 心肌梗死史17例 (10.49%) , 脑血管病史11例 (6.79%) , 稳定型心绞痛32例 (19.75%) , 不稳定型心绞痛127例 (78.40%) , 分叉病变148例 (91.36%) , 慢性闭塞病变44例 (27.16%) , 完全血运重建33例 (20.37%) , 左主干病变4例 (2.47%) , 左主干+单支病变8例 (4.94%) , 左主干+双支病变10例 (6.17%) , 左主干+3支病变26例 (16.05%) , 3支病变104例 (64.20%) 。
2.2 两种评分系统的预测效果
162例患者中, 有33例患者出现不良心脑血管事件, 发生率为20.37%。SYNTAX积分评价系统:低分组7例, 中分组9例, 高分组17例。单因素分析及多因素分析结果可见, SYNTAX积分是不良心脑血管事件的独立风险预测因素, 单因素SYNTAX积分:HR=2.14, 95%CI (1.29, 3.55) , 多因素SYNTAX积分:HR=2.11, 95%CI (1.23, 3.45) 。临床SYNTAX积分评价系统:低分组8例, 中分组10例, 高分组15例。单因素分析及多因素分析结果可见, SYNTAX积分是不良心脑血管事件的独立风险预测因素, 单因素SYNTAX积分:HR=1.99, 95%CI (1.25, 3.45) , 多因素SYNTAX积分:HR=2.01, 95%CI (1.23, 3.56) 。见表1、2。
2.3 两种评分系统的比较
经ROC分析显示:SYNTAX积分AUC:0.668[95%CI (0.565, 0.772) ];临床SYNTAX积分AUC:0.654[95%CI (0.528, 0.753) ]。可见两种积分系统均对不良心脑血管事件有预测价值, 临床SYNTAX积分未能提高SYNTAX积分对不良心脑血管事件的能力。
3 讨论
SYNTAX积分是以冠状动脉解剖为基础判定危险分层的测量工具, 采用SYNTAX积分可对患者的冠状动脉解剖特点进行全面评估, 提供精确、量化的评价指标[13], 根据SYNTAX积分的高低情况可指导冠状动脉病变患者选择合适的血运重建方式, 该积分评价方法目前已经得到国内大量研究的证实[14,15,16,17,18]。
根据文献[19]研究结果证实, SYNTAX积分与PCI的预后有明显关系, 当患者的SYNTAX积分越高时, 患者发生不良心脑血管事件的概率也越高。根据本次研究结果可以看出, 在发生不良心脑血管事件的33例患者中, 高分组的患者明显高于中分组与低分组, 差异均有统计学意义 (P<0.05) , 这与文献[19]研究结果相符。SYNTAX积分的单因素与多因素分析结果也显示, 其为不良心脑血管事件的独立预测因子, 可用来指导PCI患者术前血运重建的方式。SYNTAX积分主要为冠状动脉的解剖特点, 未包含患者的临床特点, 不能及时的反应患者的整体特征。临床SYNTAX积分是在SYNTAX积分的基础上联合ACEF积分, 增加了患者心、肾功能及年龄等信息。通过单因素及多因素的分析, 可见临床SYNTAX积分是不良心脑血管事件的独立预测因子。此外, 本研究对比了两种方法预测的价值, 结果显示临床SYNTAX积分并未有明显的优越性。
本次研究为回顾性分析, 且样本容量有限, 因此, 日后还需要大量的样本及对照研究证实SYNTAX积分与临床SYNTAX积分的优越性。
摘要：目的:探讨SYNTAX积分与临床SYNTAX积分对经皮冠状动脉介入治疗的临床效果与预测作用。方法:选取本院2010年1月-2016年1月接诊的三支病变及左主干病变确诊后经皮冠状动脉介入治疗后的170例患者, 采用SYNTAX积分及临床SYNTAX积分对所有患者进行评价, 根据积分情况将患者分为高分组、中分组及低分组, 对患者进行随访, 调查患者不良心脑血管事件。结果:随访期间共有33例患者发生不良心脑血管事件, SYNTAX积分AUC:0.668[95%CI (0.565, 0.772) ];临床SYNTAX积分AUC:0.654[95%CI (0.528, 0.753) ]。两种积分系统均对不良心脑血管事件有预测价值, 临床SYNTAX积分未能提高SYNTAX积分对不良心脑血管事件的能力。结论:SYNTAX积分与临床SYNTAX积分均能预测冠心病患者经皮冠状动脉介入治疗后不良心脑血管事件的发生, 可以作为独立预测因子, 值得推广使用。
关键词：SYNTAX积分,经皮冠状动脉介入治疗,心脑血管事件
治疗积分 篇2
1 资料与方法
1.1 一般资料
选取2009年3月~2011年8月我院确诊为肾脏病理高积分, 少量蛋白尿Ig A肾病患者共50例, 将所选患者分为观察组30例和对照组20例。其中男28例, 女22例, 年龄23~49岁, 两组患者临床主要表现为少量蛋白尿, 伴或者不伴镜下血尿。
1.2 方法
两组患者均予以盐酸贝那普利, 金水宝常规治疗, 其中观察组加用糖皮质激素强的松治疗, 初始剂量为0.4mg/ (kg·d) , 肾活检采用巴德活检自动穿刺针 (18G) 在超声引导下一次性快速穿刺, 取肾脏活组织2~3条。同时, 对接受治疗的患者进行检查, 检查项目主要包括血压、尿蛋白定量, 以及尿沉渣定量以及肾功能、血脂、Hb A1c等[2]。
1.3 统计学处理
本次研究过程中应采用SPSS 13.0统计软件来进行分析, 资料通过±s来计量表示, 对比分析采用t检验, 以P<0.05为差异有统计学意义。
2 结果
本次分析比较过程中, 主要从生活习惯 (如吸烟情况) 以及病理、病程、生命体征 (血脂、尿蛋白量、血尿程度以及血糖、血压、肾小球滤过率等) 进行比较。具体情况详见表1、2。
3 讨论
Ig A肾病主要是指在肾小球系膜区或者毛细血管区Ig A或以Ig A为主的免疫球蛋白沉积所引起的肾脏损害[3], 影响肾脏功能的主要因素是多方面的, 临床发现其和系膜细胞增生程度有关, 同时在内皮细胞增生情况下也会受到影响。
在本次调查研究的过程中, 以肾脏病理积分以及尿蛋白检查结果共同作为治疗Ig A肾病的治疗依据, 进而对临床检查上只有少量尿蛋白但是肾脏病理积分较高的患者予以激素治疗合并基础治疗, 结果发现可以有效的改善患者的病情, 减少蛋白尿, 帮助患者实现更好的恢复, 通过比较发现其和以往积极尝试治疗的效果较为相似[4]。因此, 在肾脏病患者的临床治疗上, 要重视病理活检的重要作用, 并以此为依据进行病理的分级, 治疗上不仅仅参考尿检的结果。当然, 本次研究调查的过程中所选取的样本量还相对较小, 观察时间不够长, 所以还需要在大规模、长时间研究的基础上进一步进行探索。
参考文献
[1]孙蔚.肾脏病理高积分的少量蛋白尿IgA肾病激素治疗疗效观察[J].中国中西医结合肾病杂志, 2012, 34 (11) :89-97.
[2]Reich HN, Troyanov S, Scholey JW, etal.Remission of proteinuriaimproves prognosis in IgA nephropathy[J].J Am Soc Nephrol, 2009, 18 (12) :3177-3183.
[3]D’AmicoG.Natural history of idiopathic IgA nephropathy andfactors predictive of disease outcome[J].Semin Nephrol, 2010, 24 (1) :179-196.
利用重积分解决定积分的有关问题 篇3
1.利用重积分证明定积分中积分不等式
不等式问题是数学中最美的问题之一, 它在数学的各个领域中都起着巨大的作用.不等式的证明是数学分析的重要内容之一, 它涉及的问题很多, 应用也十分广泛, 历来受到重视.不等式的分析证明方法多种多样, 很具有灵活性, 有时还有相当的难度.下面通过若干范例来说明如何利用重积分解决定积分中积分不等式的证明问题.
证明由于定积分与积分变量所用字母无关, 且两个定积分的乘积可转化为二重积分, 故有
其中D:a≤x≤b, a≤y≤b.于是,
注:本例证明中用到不等式f2 (x) +f2 (y) ≥2f (x) f (y) 及重积分的比较性质.
例2设f (x) 是[0, 1]上的连续正值函数, 且单调减,
证明由于要证明的不等式可写成两个定积分乘积的不等式, 从而可考虑通过二重积分来证明, 因不等式中的分母大于零, 欲证不等式可改写成:
由于定积分与积分变量所用字母无关, 故
其中D:0≤x≤1, 0≤y≤1.
应用上面两例的证明方法, 可以证明著名的Cauchy-Schwarz积分不等式和Tehebycheff不等式.
例3设f (x) 与g (x) 都是[a, b]上的连续函数, 试证Cauchy-Schwarz积分不等式:
注:利用Cauchy-Schwarz积分不等式的结论, 还可证明其他积分不等式.
从以上各例题可以看到, 利用重积分解决定积分的有关问题具体可从以下几个方面进行考虑:因两个定积分的乘积可转化为二重积分, 所以有的定积分问题可转化为二重积分来处理;若定积分中的被积函数无法进行积分运算时, 考虑可否将其改写为定积分的表达式;有时若定积分式中出现常数, 也可考虑常数是否可改写为定积分的表达式.
摘要：在计算重积分时, 通常的处理方法是把重积分化成定积分然后从里层到外层施行定积分计算, 反过来, 利用重积分也可以解决定积分的有关问题.通过若干范例来说明如何利用重积分解决定积分的有关问题.
关键词：积分不等式,定积分,重积分
参考文献
[1]陈纪修等.数学分析 (上、下) [M].北京:高等教育出版社, 2004.
[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社, 1993.
浅谈不定积分的积分方法及其求解 篇4
一、原函数与不定积分的概念
给定一个可导函数F (x) , 对其求导数可得到它的导函数F' (x) .它的反问题是:已知一个函数的导函数F' (x) , 要求出其最初的可导函数F (x) , 注意到导函数F' (x) 也是关于自变量x的函数, 我们给出如下定义:
定义1给定函数f (x) 定义在某区间I上, 如果对于任意x∈I都有F' (x) =f (x) 或d F (x) =f (x) dx, 则称F (x) 为f (x) 在区间I上的一个原函数.
例如, 因 (x2) '=2x, 所以x2是2x在 (-∞, ∞) 上的一个原函数;又因 (sinx) '=cosx, sinx是cosx在 (-∞, ∞) 上的一个原函数.
二、不定积分的积分方法
1. 第一类换元积分法 (凑微分法)
对于不能直接使用基本积分公式求解的积分, 若可以通过适当的变量代换将其化成基本公式中已有的形式, 求出积分后, 再回代原积分变量, 则可求得原来的积分, 这种方法称为第一类换元积分法, 也称“凑微分法”.一般地, 有以下定理:
定理1∫f (u) du=F (u) +C, 且u=φ (x) 是可导函数, 则有∫f[φ (x) ]φ' (x) dx=F[φ (x) ]+C.
证由复合函数的链导法
应用定理1求不定积分的步骤为:
从被积函数的特点出发, 由易到难进行剖析, 从而得到了不同解法.由此可见, 在求不定积分时, 要想灵活运用基本方法得到解法, 必须抓住被积函数的特点, 进行多角度、多方位地剖析, 采取一题多解, 经过多次这样的尝试与探索, 才能丰富解题经验, 产生解题意识, 从而提高求不定积分的解题能力.
2. 第二类换元积分法
第一类换元积分法虽然应用比较广泛, 但对于某些积分, 如等, 就不一定适用, 为此介绍第二类换元积分法.对不能用基本公式、性质和凑微分法求解的积分, 若能选择适当的变换x=φ (t) 将∫f (x) dx变为∫f[φ (t) ]φ' (t) dt, 而后者可用基本公式、性质及凑微分法求得, 求出结果, 这就是第二类换元积分法, 用定理表述如下:
定理2设x=φ (t) 是单调可导的函数, 且φ (t) ≠0, 如果∫f[φ (t) ]φ' (t) dt=F (t) +C, 则有∫f (x) dx=∫f[φ (t) ]φ' (t) dt=F (t) +C=F[φ-1 (t) ]+C.
在求不定积分时, 我们要根据被积函数去寻找它的一个原函数.
三、例题求解
(1) 第一类换元积分法的求解
(2) 第二类换元积分法的求解
解将被积函数有理化, 为此消去根式, 令
(3) 分部积分法的求解
例求∫xcosxdx.
解设u=x, dv=cosxdx=dsinx.
于是, du=dx, v=sinx,
分部积分法的应用范围较有限, 主要用于解决被积函数是两类不同类型函数乘积形式的积分.
结论
在电大经济数学中, 函数的概念与定义与初等数学相比发生了很多的变化, 从有限到无限, 从确定到不确定, 计算结果也可能不唯一, 但计算方法与计算技巧显得更加重要.这些都在不定积分的计算中体会得淋漓尽致.本文通过归纳不定积分的积分方法, 不但使其计算方法条理清楚, 而且有助于对不定积分概念的理解, 对学好积分具有一定的促进作用.
摘要：能够直接利用基本积分公式及积分的性质求解的积分是很有限的, 因此, 有必要寻求更有效的积分方法, 本文将介绍两种重要的积分法——换元积分法与分部积分法及其求解, 这将大大拓宽基本积分公式的应用范围.
关键词：不定积分,积分方法,求解
参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析 (上) (3版) [M].北京:高等教育出版社, 2001:217-219.
[2]刘玉琏, 傅沛仁.数学分析讲义 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 1992:120-122.
浅谈不定积分分部积分法的教学 篇5
一、让学生弄清分部积分法的原理
在教学中一定要让学生理解分部积分法的来源,强化记忆公式.所谓分部积分法就是运用分部积分公式∫udv=uv-∫vdu求不定积分的方法.分部积分公式是由求导数的积分法则推导而来的,设函数u=u(x)与函数v=v(x)有连续的导函数u′(x)和v′(x),由微分学知识可知[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x),若该等式两边取不定积分,则推出等式∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)-∫u′(x)v(x)dx,这就是分部积分公式,它可以简化写作∫udv=uv-∫vdu.分部积分公式的特点是:将左边的不定积分问题转换为右边的不定积分问题,它表明:如果计算积分∫udv比较困难,而积分∫vdu容易计算时,可利用分部积分公式将积分问题进行转换,这就是分部积分法的基本思想.
二、让学生掌握分部积分法的解题思路
很多初学者往往会有疑问,什么样的积分需要用到分部积分法求解,还有怎么使用公式去解题,这就要了解分部积分法的适用范围和解题思路了.一般地,分部积分法适用于求被积函数是两种不同类型函数乘积的形式的积分,如当被积函数是指数函数、对数函数、三角函数、幂函数(或多项式函数)、反三角函数这五种基本函数中任意两个函数的乘积时用分部积分法求解.有些被积函数不是两种不同类型函数乘积的形式,但通过变形后也可以用分部积分法来求积分.分部积分法的解题思路是先将被积函数里面两个不同类型的函数其中一个看成u(x),而另一个与dx的乘积看成dv(x),再利用分部积分公式∫udv=uv-∫vdu来求解.概括一下,假如用分部积分法求不定积分∫f(x)dx,则可归纳为两个步骤:第一步是凑微分——把被积表达式f(x)dx凑成udv,第二步是运用分部积分公式计算.其中第一步关键是如何在被积函数f(x)中恰当选取u(x)和dv(x),u(x)一旦选定了,剩下的函数就作为v′(x)和dx凑成dv(x).u(x)和dv(x)若选择得当,则计算顺利,反之,就会出现计算越来越复杂甚至积不出来的现象.
那么,选择u(x)和dv(x)究竟有没有规律可循呢?一般地,在u(x)和dv(x)的选择时要考虑两点:(1)v(x)要容易求出.(2)∫vdu要比∫udv容易计算.在实际应用中,总结出了选择u(x)和dv(x)的一般规律是:当被积函数是幂函数(或多项式函数)与指数函数或三角函数乘积时,设幂函数(或多项式函数)为u(x),指数函数或三角函数与dx的乘积为dv(x);当被积函数是幂函数(或多项式函数)与对数函数或反三角函数乘积时,设对数函数或反三角函数为u(x),幂函数(或多项式函数)与dx的乘积为dv(x);当被积函数是指数函数与三角函数乘积时,可设指数函数为u(x),也可设三角函数为u(x).这个规律可以用“反对幂指三,居前者为u(x)”帮助记忆.有些积分的被积函数比较复杂,在运用分部积分法时,如能把上述规律与常用的积分技巧与方法相结合,常常能起到事半功倍的效果.
三、让学生掌握使用分部积分法的常见题型
对使用分部积分法的常见题型进行总结和归纳,能够使学生比较容易地接受和掌握计算要领.下面将适用于分部积分法的积分进行一些归类:
(1)∫Pn(x)ekxdx,取u=Pn(x),dv=ekxdx.
(2)∫Pn(x)sin(ax+b)dx,取u=Pn(x),dv=sin(ax+b)dx.
(3)∫Pn(x)cos(ax+b)dx,取u=Pn(x),dv=cos(ax+b)dx.
(4)∫Pn(x)lnkxdx,取u=lnkx,dv=Pn(x)dx.
(5)∫Pn(x)arcsin(ax+b)dx,取u=arcsin(ax+b),dv=Pn(x)dx.
(6)∫Pn(x)arccos(ax+b)dx,取u=arccos(ax+b),dv=Pn(x)dx.
(7)∫Pn(x)arctan(ax+b)dx,取u=arctan(ax+b),dv=Pn(x)dx.
(8)∫ekxsinaxdx,∫ekxcosaxdx,u,v可任取.
上式中Pn(x)为n次多项式,k,a,b均为常数.另外如果被积函数中只有一个因子(例如lnx,arcsinx,arccosx等),而又不能用别的方法求出积分时,不妨用分部积分法,此时可设被积函数为u,dv=dx.
摘要：本文浅谈了分部积分法教学中应注意的三个关键地方,以期提高课堂教学质量,帮助学生熟练掌握这种积分方法.
不定积分中分部积分法的新探究 篇6
关键词：不定积分,分部积分公式,微分
高等数学是所有高等学校的一门必修课, 而微积分是高等数学中的重要内容。不定积分研究的是与微分运算正好相反的问题:求一个可导函数, 使它的导函数等于已知的函数。不定积分是微分运算的逆运算, 是微分学和积分学的联系纽带。求不定积分的常规方法包括直接积分法、换元积分法和分部积分法, 其中的分部积分法是教学过程中的一个难点。
分部积分法是利用微分公式d (uv) =udv+vdu, 推导得到了分部积分公式[1].因此, 当不容易直接积出, 而较为容易求出时, 可以采用分部积分公式作为转换。一部分教材[1,2]指出分部积分法的关键是要正确地选择u和v, 选择时应兼顾如下两点: (1) dv容易求出; (2) 容易积出。但是, 这样的描述比较笼统。还有一些教材[3]列举了一些常用的选择方法, 如当被积函数为幂函数和指数函数相乘时, 选择幂函数为u;当被积函数为幂函数和对数函数相乘时, 选择对数函数为u;当被积函数为幂函数和反三角函数相乘时, 选择反三角函数为u;文[4]将基本初等函数分为“低、中、高”三类, 用“低等服从高等”的思路来解决u、v的选择问题;文[5]、[6]则总结出一套“口诀”, 这样都需要学生死记硬背, 不易于学生的理解和掌握。
本文将以例题的形式进一步分析分部积分公式, 不再局限于函数u、v的定义和选择, 而是将被积函数进行分类, 根据被积函数的特点来进行u、v的设定, 进而让学生能够灵活使用分部积分法进行不定积分的计算。
一、类型一:可降幂型
解:被积函数为两个函数的乘积, 利用直接积分法和换元积分法无法求出原函数, 可以考虑使用分部积分法。根据公式, 选择其中一个函数为u, 则剩下的部分就是dv.
若设u=x, 则, 应用分部积分公式 (1) 得
此类型的被积函数为幂函数与指数函数或三角函数的乘积。此时, 一般将幂函数设为u, 指数函数或三角函数则为dv.这是因为应用分部积分公式之后, 幂函数通过微分后次数降低一次, 使得转换后的不定积分较容易求积出。
二、类型二:直接型
解:被积函数为单个函数, 可以将被积表达式lnxdx直接看作udv, 即u=lnx、v=x, 于是
解:被积函数为指数函数与反三角函数的乘积。由于arctanx的原函数不能直接得到, 于是设u=arctanx、, 可得
此类型的被积函数为分对数函数或反三角函数 (即不能直接积分的函数) 与其他函数 (即能直接积分的函数) 的乘积。此时, 将分对数函数或反三角函数设为u, 其他函数则为dv.
三、类型三:循环型
解:被积函数为指数函数与三角函数的乘积, u、v可以任意设定。若设u=sinx、, 则
若设, 而sinxdx=-d (cosx) , 则
此类型的被积函数为指数函数与正弦 (或余弦) 函数的乘积。此时, 需要使用分部积分公式两次才能找到原函数。任意设定其中一部分函数为u, 其他函数则为dv.分部积分两次后会还原到原来的函数, 只是系数有一些相应的变化。因此, 等式两边就含有系数不同的同一积分。
一元函数的不定积分是微积分中的重要知识点, 对定积分的学习有非常重要的作用。教师通过对函数的类型、性质等的细致观察、理解和分析, 可以培养学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力, 进而有助对于学生创新能力的培养。本文针对不定积分中的分部积分法, 通过对被积函数类型的分析将其分为三类:降幂型、直接型和循环型, 简化计算过程, 帮助学生合理、有效地使用分部积分公式。
参考文献
[1]祁爱琴, 邵珠艳, 胡西厚.医用高等数学[M].北京:科学出版社, 2013:77-97.
[2]王培承, 祁爱琴, 魏曼莎.医科高等数学[M].济南:山东人民出版社, 2010:76-98.
[3]同济大学应用数学系.高等数学[M].第六版.北京:高等教育出版社, 2007:184-222.
[4]范梅.不定积分的分部积分法探究[J].西安航空学院学报, 2015, 33 (1) :66-68.
[5]胡结梅, 郑华盛.不定积分计算方法注记[J].高等数学研究, 2014, 17 (6) :10-13.
治疗积分 篇7
关键词：换元积分,中间变量,凑微分
高职院校中不论是理工类的《高等数学》或商贸类《经济数学》课程中, 微积分的两大模块:微分学和积分学始终都是教学的重点。而积分学的学习和掌握, 要求学生不仅对基本积分公式表要熟悉, 还要具有较好的逆向思维能力。作为《不定积分》一章中的“第一换元积分法”不仅在本章教学中具有重要地位和意义, 同时也是后续积分学习的前提和基础。笔者在教学环节的处理上主要从以下三方面加以考虑:
一、互逆知识点回顾
我们知道第一换元法是把复合函数的微分法反过来用于求不定积分, 利用中间变量代换, 把某些不定积分化为可利用基本积分公式的形式。所以在讲授新课前, 有必要先复习下复合函数微分法则:
设函数y=f (u) 对u可导, u=φ (x) , 对x可导, 则函数y=f (u) 的微分为dy=f' (u) du, 这一性质称为微分形式的不变性。用文字描述即:若函数对中间变量求导数, 则微分形式中应乘以中间变量的微分。
从以上例题不难发现, 复合函数计算微分的过程其实就是寻找中间变量的过程, 而且该法则可以推广应用, 直至找出的中间变量可以直接套用导数公式表截止。而要能正确的确定出每一步的中间变量, 必须对基本初等函数的导数公式熟记。
二、新课导入设计
一般教材中在导入“第一换元积分法”这一定理时, 都喜欢用三角复合函数类似∫cos2xdx或∫sin5xdx的题目, 笔者认为欠妥。引例的选择要承前启后、让学生易于理解接受;同时若能激发学生学习兴趣, 调动学习的积极性就更好了。经过多年的比较、筛选、实践, 笔者最终确定了以下不定积分作为换元积分法的导入例题:
例题:计算下列不定积分
前3题, 学生根据前面所学的直接积分法, 可以很快求出相应结果。对于第 (4) 题, 可引导学生思考:是否继续使用二项式定理展开后求积分呢?有没有简便的积分方法?此时提醒学生看前面微分法则中的例题 (1) , 继续引导:可以发现前式右边形式与例题 (4) 只有d (2x+1) 和的区别, 而左边的积分我们完全可利用微分和积分的互逆关系得到, 那右边的积分结果也就呼之欲出了。此时, 教师再次引导:根据分析, 现在问题的关键就变成d (2x+1) 和dx有何关系?
利用微分知识, 容易得到:d (2x+1) =2dx, 即dx=1/2d (2x+1)
从而例题 (4) ∫ (2x+1) 9dx=1/2∫ (2x+1) 9d (2x+1) =1/20 (2x+1) 10+C
从以上分析过程, 可以看出被积函数整体上看是个幂函数, 而幂函数是基本初等函数, 有相应的积分公式, 因此可作变量代换u=2x+1, 而后方dx又正好能转化成k·du的形式, 因此可套公式积分出结果。再次引导:上述变量代换的方法对于一般不定积分是否适用呢?回答是肯定的。这就是求不定积分的重要积分方法———第一换元积分法, 从而自然地抛出换元积分法这一概念。
三、新课讲解及类型归纳
第一换元积分定理:设f' (u) =f (u) , u=φ (x) 可导, 则∫f (u) du=F (u) +C
即∫f[φ (x) ]φ' (x) dx=∫f[φ (x) ]d[φ (x) ]=∫f (u) du=F (u) +C=F[φ (x) ]+C
从定理的形式看, 用第一换元积分法求解积分题可分四步骤, 即:凑微分—换元—积分—回代。在求积分运算时, 关键是找出中间变量u=φ (x) , 但在实际积分题中被积函数并不都是f[φ (x) ]φ' (x) dx, 而是以另一种形式如g (x) dx给出, 问题关键是如何将g (x) 分成两个部分的乘积, 其中一个因子为某函数的导数φ' (x) , 其和dx正好能凑成d[φ (x) ]的形式, 而另一个因子则为该函数φ (x) 的函数f[φ (x) ]。这正是第一换元积分法的难点所在, 它不仅需要学生熟记基本积分公式表, 同时还要具有较好的逆向思维能力。为解决这一矛盾, 笔者对常见凑微分形式给予归纳和分类。
类型Ⅰ: (幂函数系列) 如∫cos (3x-7) dx, ∫x·e2-x2dx,
对以上几题讲解要详细, 教师也可结合学生实际, 采用不同形式给予提示, 师生互动, 共同完成求解过程, 引导学生观察:例题 (1) 和引例同属一种类型, 整体上看都是基本初等函数, 只是原先x的位置被ax+b占了, 那么ax+b就是中间变量u;而后3题仔细比对可见被积函数都是x·a-1f (xa) 的形式, 而xa-1与xa之间正好有导数关系存在, 故凑微分形式可归纳为:
对下面一系列例题, 教师适当加以引导和点拨, 着重介绍被积表达式分解的思想和方法, 让学生自己动手完成求解过程, 并归纳出相应的凑微分形式。
通过上面类型的归纳, 学生基本掌握了第一换元积分法 (或称凑微分法) 的常见情形, 但很多学2生发现凑完一步后还是套不了积分公式, 问题在于凑的并不完全, 可能还需二次或更多次的凑微分, 就像求微分时可能有多层中间变量一样。如求不定积分
(比较积分公式, 需将1+2e-x看成中间变量才能积分, 故进一步凑微分再积分)
上述例题的选取, 依托基本初等函数, 条理清楚, 难度由浅入深, 层次感强;同时考虑到高职学生数学基础薄弱和“必需、够用”原则, 只对最常用的7种凑微分形式做了归纳和讲解练习, 符合学生实际, 利于学生理解掌握。
总之, 第一换元积分法至关重要, 教师应认真思考教学思路、设计环节、精选例题, 传授给学生解题的方法和技巧。学生要勤动手、多做题, 熟悉积分公式和基本类型的情况下, 做到举一反三。
参考文献
[1]喻德生.高等数学学习引导 (第二版) [M].北京:化学工业出版社, 2003.8
[2]吴维峰, 薛有奎“.第一换元积分法”的教学设计[J].潍坊教育学院学报, 2007, (03)