微积分应用

微积分应用（精选12篇）

微积分应用 篇1

1. (带皮亚诺型余项的) 泰勒公式其应用

定理若f (x) 在x=0点有直到n+1阶连续导数, 那么

这就是函数f (x) 在x=0点附近关于x的幂函数展开式, 也叫泰勒公式, 式中Rx (x) 叫做皮亚余项.

下面举例说明带皮亚诺型余项的泰勒公式的应用.

例1.求

解:由于cosx=1-

从而

于是

2.在微分方程中的应用

例2.设函数f (u) 具有连续导数, 而z=f (e x siny) 满足, 求f (u) .

分析:设z=f (u) , u=exsiny, 用一个中间变量代替两个自变量.

即得f″ (u) -f (u) =0, 这是关于未知函数f (u) 的二阶常系数线性齐次微分方程.

特征方程:r2-1=0, r1=-1, r2=1, 通解为f (u) =.

3.积分在几何中的应用

例3.求椭圆=1所围成图形的面积.

解:因为椭圆关于两坐标轴都对称, 所以椭圆面积应等于其第一象限面积的四倍.这样, 椭圆面积A=

用换元法, 令x=asint, 则dx=acostdt.且x=0时t=0;x=a时t=, 从而

4.在经济中应用最大利润问题

例4.某公司投资2000万元, 建成一条生产线, 投产后, 其追加成本和追加收入 (分别是成本函数和收入函数对时间t的变化率, 类似于边际函数概念) 分别为G (t) =5+ (百万元/年) Φ (x) =17- (百万元/年) .试确定该生产线使用多长时间停产可使公司获得最大利润?最大利润是多少?

解:容易看出, 追加成本G (t) 是单调增函数而追加收入Φ (x) 是单调减函数, 这说明生产费用在逐年增加, 而生产收入在逐年减少, 二者之差即为生产利润随时间的变化率:

与边际成本和边际收入的关系相同, 这里生产利润的最大值在的必要条件也是G (t) =Φ (x) .

解之得t=8, 由于生产利润对时间的二阶导数=[Φ (x) -G (t) ]′=-<0, 因此上述t=8是生产利润的最大值点.这样, 生产利润的最大值 (单位:百万元) 为2

=38.4-20=18.4百万元

即生产线应用在使用8年后停产, 此时公司总利润为1840万元.

摘要：微积分是微分学和积分学的合称, 产生于17世纪后半期, 基本完成于19世纪, 它不仅是分析学的基础部分, 而且是现代数学的基础部分, 在各领域中有着广泛应用.本文主要研究微积分在力学、经济、几何方面的应用.

关键词：微积分,泰勒公式,应用

微积分应用 篇2

高等数学是初等数学的延续和发展，而初等数学是高等数学的基础。作为学习和研究数学的途径，无疑应该先学习和掌握初等数学，然后才能学习和掌握高等数学。反之，学习高等数学能加深加宽对初等数学的理解，可以提高我们的数学修养，开阔思路，提高解决问题的能力。而在初等数学与高等数学的研究与发展中微积分都占有重要的地位。

一．用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的。

在初等数学中有些不能或不易解决的问题，运用高等数学的理论和方法可以得到圆满的解决.例如：中学数学中证明某些恒等式时的恒等变形过程相当繁杂，稍不小心就会出错。如果题目再复杂一些，就更困难。使用微积分的知识，可以避免繁杂的工作。

例1（方程根的讨论）

求证(xa)(xab)1有两个相异实根，并且一个根大于a，令一个根小于a． 证法一（采用初等方法证明）

证明将方程(xa)(xab)1整理的22x2abxaab10

22ab4aab12

2224a4abb4a4ab4

2b40 

所以方程有两个相异的实根

2abb242abb24x1,x222

2abb24bb24x1aa22

2abb24b24x2aa22

因为 b24b2,所以b24b.因此x1a,x2a.证法二（采用微积分方法证明）

证明设fxxaxab1

则

x0fa10因为limfx，所以在区间,a和a,内分别存在和，使

f0,f0

由连续函数的介值性定理，在区间,a和a,内分别存在x1和x2，使的fx10,fx20

这表明x1和x2是方程的两个相异实根，x1a,x2a.不仅如此，根据这一证法，我们还可以深化和拓广对这一方程的研究，获得新的结论．因为fab10 所以ab同样介于方程的两根之间，我们还可以看到，方程xaxab1的右端对于本题的结论来说并非是至关重要的，关键是方程的右端必须是一个正数．于是综合以上两点可以得到更为一般的结论：设c0，则方程xaxabc必有两个相异实根，且均介于方程的两根之间．

注：本题用初等数学的方法证明必须分为两步：先利用判别式证明方程有两个相异实根，再利用求根公式求出方程的两个根，并与a比较其大小，这样做具有一定的计算量，显得麻烦．而采用微积分的方法，可将两步并为一步，显得简捷，而且还可以得到更为深层的结论。

例2（不等式的证明）

若x0，求证：xln1xx 1x

证明设fxln1x则fx在0,x上满足拉格朗日中值定理，故存在0,x使f

即 fxf0 x01ln1x 1x

111 1x10x,

1ln1x1 1xx

xln1xx 即1x

注 不等式的证明方法多种多样，没有统一的模式，初等数学常用的方法是恒等变形、数学归纳法、利用二次型、使用重要不等式等，往往有较高的技巧．利用微积分的方法证明不等式，常利用函数的增减性、微分中值定理等有关知识，它可使不等式证明的过程大大简化，技巧性降低，但也没有固定模式． 例 3（代数式的化简）

化简xyzxyzyzxzxy.3333

解把x看作变量，y与z看作常量．令

fxxyzxyzyzxzxy.3333

对求导得

fx3xyzxyzyzxzxy24yz 2222

上式两端取不定积分得 fx24yzdx24xyzC

xyzxyzyzxzxy24xyzC 3333

令x0得Cyzyzyzzy0 3333

故原式24xyz

注 对于代数式的化简，初等数学常采用的方法是把各项展开然后合并同类项，计算量比较大，比较繁琐。利用微积分方法可使解题过程简化。

二．微积分可以为初等数学中常用的数学方法提供理论依据。

例如：在中学数学中，我们经常用的一些定理、公理都不加以证明，只用其结论。这些在高等数学中，利用微积分等知识就可以进行推理，例如：祖恒定理的证明。我们可以用这些方法解决用其他数学方法难于处理的许多问题。祖恒定理的证明

高中立体几何中的祖恒定理只是作为公理进行应用，事实上，它无法用中学知识证明，而在高等数学中，用积分的理论可很容易地给出它的理论证明。

证明 在夹两个立体的两平面的任一平面上，任取一点为原点O，过O且垂直于这个平面的直线取为x轴，并把射向另一个平面的方向记为x轴的正向，把两平行平面的距离记为h，设夹在这两个平面之间的平行于这两个平面的平面，截坐标轴于x，且截两立体所得的截面面积分别为S1x与S2x，显然S1x与

设两立体的体积分别为V1和V2，由定积分定义得： S2x都是0,h上的连续函数，V1S1xdxV2S2xdx 00hh

S1xS2xx0,h

S1xdxS2xdx 00hh

V1V2

总之，高等数学与初等数学有着千丝万缕的联系，其中微积分都扮演着重要的角色，它不但能解决初等数学中的诸多问题，而且成为高等数学发展的基础。用微积分的知识解决初等数学难以解决的问题。微积分的理论是研究高等数学与中学数学关系时不可或缺的部分，它对中学数学有重要的指导作用。将高等数学的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作。

微积分在中学数学中的应用 篇3

一、恒等式的证明

有些恒等式，用初等方法证明，往往需要较高的解题技巧，而用微积分的方法，则很简单.

【例1】 证明：arctanx+arccotx=π2，x∈R.

证明：因为x∈R，有(arctanx+arccotx)′=11+x2 -11+x2 =0,

所以arctanx+arccotx=C （C是常数）.

为了确定C，令x=0，有C=arctan0+arccot0=π2 ，

因此arctanx+arccotx=π2 ，x∈R.

二、极值问题

初等数学能解决的极值问题是有限的，且方法不一，难以寻找，如果用微分的方法，有的问题解决起来就很简便.

【例2】 求函数f(x)=xne-n2x（n是自然数，且n≥2）在［0,+∞)的最大值与最小值.求极限(x≥0）limx→∞f(x).

解：f′(x)=nxn-1e-n2x-n2xne-n2x=nxn-1e-n2x(1-nx).

令f′(x)=nxn-1e-n2x(1-nx)=0，得到两个稳定点0、1n ，其中，0是区间［0,+∞)的左端点，讨论f′(x)在稳定点1n 的情况.

列表如下：

函数f(x)的极大值f(1n )=1nnen ，f(0)=0.从表中可以看到fn(x)在1n 取最大值，有f(x)=xne-n2x≥0.

又f(0)=0，

即函数f(x)在0处取得最小值是0.

于是，x∈［0,+∞)，n∈N，

有0≤f(x)≤f(1n )=1nnen0(n∞) .

于是，x≥0，有limx→∞f(x)=0.

三、 函数单调性的讨论

中学数学中函数的单调性一般用定义判别，计算繁琐，对某些函数甚至无法判别，而在微积分中根据“若x∈区间I，有f(x)′＞0(＜0)，则f(x)在区间I严格增加（严格减少）”容易判别函数的单调性.

【例3】 求函数

f(x)=2(1-t+t2-t3)（0＜t＜12 ），

12 (t+1t )（t≥12 ）

的严格单调区间.

解：当0＜t＜12 时，

由f(x)=2(1-t+t2-t3)，得f′(x)=-2(1-2t+3t2)＜0；

当t≥12 时，

由f(x)=12(t+1t ) 得f(x)′=12(1-1t2) ，

当12≤t≤1时，f(x)′＜0；

当t＞1时，f(x)′＞0.

因此f(x)在（0，1）严格单调减少，在（1，+∞)严格单调增加.

分数阶微积分的应用研究 篇4

分数阶微积分与菲涅耳衍射、Wigner分布、小波变换等有着密切的联系,已经被广泛应用于科学研究和工程技术的很多方面,如神经网络、解微分方程、量子力学、衍射理论、光学系统、光图像处理以及雷达、通信、声纳等领域,成为跨学科的研究方向。继1980年被提出之后很快在光学领域得到广泛应用,其在信号处理领域的潜力在20世纪90年代中期得到发掘。近十年来,随着人们对分数阶微积分的研究不断深入,分数阶微积分的理论体系被逐步建立起来,并且被信息领域的研究人员所广泛接受。

随着信息技术的飞速发展,分数阶微积分的应用越来越多地得到人们的重视,在很多问题的处理过程中所拥有的优点正逐渐显露出来。许多科学家从不同的角度进行了不同的尝试,得到了不同的定义,其中比较有名的有G-L定义、R-L定义和Caputo定义[1,2]。

分数阶微积分是整数阶微积分运算的推广,在信号分析与处理等领域得到了广泛应用,特别是在信号的奇异性检测和提取方面具有特殊的作用。分数阶微积分的实现算法分为解析算法、数值算法两种。解析算法如拉普拉斯变换法、傅里叶变换法以及FFT法;数值算法如Zhang and Shimizu法,L-1法和池田法等。另外,在信号处理方面,有学者尝试用数字滤波器和模拟分抗电路来实现分数阶微积分并取得了一些进展。本文阐述了分数阶微积分的时域和频域两种定义方法,介绍了其在工程技术领域的应用。

2 概念

2.1 时域定义

文献[1,2]对分数阶微积分进行了3种时域的定义。Grumwald-Letnikov定义是从研究连续函数整数阶导数的经典定义出发,将微积分的阶数与因次由整数扩大到分数推衍而来的。Grumwald-Letnikov的υ阶导数定义为:

式中,υ∈R,用表示υ的整数部分;信号s(t)∈[a,t](α0时,P至少取到[υ]。在定义中,上标G表示Grumwald-Letnikov定义,上标υ表示求υ阶微分,下标α和t表示积分式的下界和上界。α为时间t的初值。当υ为负实数时,公式转化为积分公式。

Riemann-Liouville定义从分数阶微积分应满足的性质入手,对Grumwald-Letnikov定义进行了改进,使之计算简单化。Riemann-Liouville定义的分数阶微分公式如下:

Riemann-Liouville定义的分数阶微分是先进行(n-υ)阶积分,然后进行υ阶微分。Riemann-Liouville定义的分数阶积分为:

Caputo定义是对Grumwald-Letnikov定义的另一种改进,其目的是为了让拉普拉斯变换更加简洁,从而便于分数阶微分方程,易于工程应用。Caputo定义是对GL定义的另一种改进,其分数阶微分定义为:

类似地,其分数阶积分定义为:

该定义先进行n阶微分,再进行n-υ阶积分。

在上述众多的定义之间存在着一定的区别和联系,或者在某些条件下它们之间可以

相互转换。可以证明,对于很广一类实际函数来说,GL定义和RL定义是完全等效的。RL定义是GL定义的推广,其应用范围更为广泛。Caputo定义和RL定义都是在Grünwald-Letniko定义的基础上进行改进的,二者主要区别表现在对常数求导的定义上,前者对常数的求导是有界的(为0),而后者求导是无界的,Caputo定义让分数阶微积分的拉普拉氏变换式更为简洁,它更适合用于分数阶微分方程初值问题的描述[3]。

2.2 傅里叶变换域定义

根据傅里叶变换的性质,υ阶微分算子Dυ=Dυ是υ阶微分乘子函数(7)(8)(28)(7)i(8)v的乘性算子,在复数域中分数阶微积分指数形式为:

其中,sgn(*)为符号函数。从通信调制角度看,信号分数阶微分的物理意义可以理解为广义的调幅调相,其振幅随频率成分数阶幂指数变化,其相位是频率的广义Hilbert变换。从信号处理角度看,υ阶微积分运算其实是对信号的一个线性时不变滤波系统,其滤波函数为

3 应用

分数阶微积分运算应用在工程实践中,是近几十年来新兴的研究方向。随着计算技术的发展和对分数阶微积分运算应用研究探索的深入,分数阶微积分运算在多个领域中起到了越来越重要的作用,其中包括机械力学、电子学、化学、生物学、经济学、控制理论、机器人、材料科学、岩石力学、分形理论、电磁场理论、图像与信息处理等方面。特别是在信息科学领域中,一些新颖的应用被相继地实现,如系统建模、曲线拟合、信号滤波、模式识别、图像边界提取、系统辨识、系统稳定性分析等等。

3.1 指纹识别系统[4]

指纹识别的方法随着计算机技术、图像处理与模式识别方法的不断发展正日臻完善,目前使用的指纹识别系统大多是数字处理指纹识别系统,具有可自动化、可编程等优点。分数阶微积分具有时频旋转特性[5],可以展示出信号从时域逐步变化到频域的更多特征,这一优势有助于将分数阶微积分的应用研究扩展到了生物医学领域,例如可用于有效解决指纹识别领域中存在的问题和改进传统指纹识别算法的不足,特别是分数阶傅立叶变换算法对发生形状畸变的图像有很好的识别能力,可获得比基于经典傅立叶变换的算法性能更好的识别准确性和灵活性。

分数阶傅里叶变换具有典型的光学含义,它有两种基本的方式可以在光学上实现,一种是利用透镜等分立光学元件,另一种是利用渐变折射率介质(GRIN)。基于分数阶傅里叶变换这一新兴信号处理手段进行指纹等生物特征认证和识别具有研究价值和应用前景。在文献[4]中,作者给出了基于分数阶傅里叶联合变换相关器的指纹识别光电混合系统,如图1所示。CCD1将采集的待检测的目标指纹图像传输到计算机,同时计算机从指纹数据库中调用作为参考的指纹图像,目标指纹图像和参考指纹图像在计算机中分别进行相位掩模调制,然后计算机将调制后的目标指纹图像输出到空间光调制器SLM1上,将调制后的参考指纹图像输出到空间光调制器SLM2上;再分别经过透镜L1和L2进行分数阶傅里叶变换,它们的分数阶傅里叶变换谱在分光镜处叠加,由CCD2得到分数傅里叶联合变换功率谱,并经计算机输出到SLM2,经过透镜L2完成分数阶傅里叶变换,最后CCD2接收到的光强分布即是目标指纹图像和参考指纹图像的分数傅里叶联合变换相关结果,输出到计算机可进行进一步的数据处理和检测统计。

3.2 数字水印系统[6]

随着多媒体技术和网络技术的迅速发展与广泛应用,对多媒体数字产品的版权保护已成为迫切需要解决的问题。传统的加密技术已经不足以解决问题,而数字水印技术在这方面显示出了巨大的潜力。数字水印算法将一个版权识别代码序列(水印信号)嵌入到图像(空域或变换域)中,利用它可以跟踪数字产品拷贝的非法销售和使用。数字水印系统的实现分为两步:水印的嵌入和水印的提取。水印的嵌入算法如下:

首先对正弦信号进行分数阶微分运算及抽样离散化,产生任意长周期的伪随机序列,利用该伪随机序列与待嵌入的水印图片信息进行叠加置乱操作,该过程相当于对水印信息进行加密,得到待嵌入的加密后水印信息。接着,对原始图像进行嵌入位置选择,选择特定的嵌入位置进行水印信息的叠加。叠加后对于数据进行整合,就得到了嵌入水印后的图像。

水印的提取为水印嵌入的逆过程,其提取过程如下:

接收到嵌入水印后的图像后,利用合法给定的分数阶微积分参数对正弦信号进行处理,再离散化得到伪随机序列,然后选择图像的嵌入位置的数据,并与原始图像进行比较,用比较结果数据除去伪随机序列,即可以得到重建后的水印图像。在没有得知确切的分数阶微积分参数的时候,是无法得出正确的水印信息的,很好地保证了信息的安全性。

水印图像与载体图像如图2所示,其中(a)图为水印图像,

3.3 图像边缘检测[7]

图像的边缘反映了图像的最基本特征,边缘检测作为图像分割和特征提取的低层处理,已经成为图像处理和目标识别中最重要的课题之一,在计算机视觉、图像处理分析领域具有广泛的应用。在医学领域,医学图像边缘检测是医学图像处理和分析的关键步骤,它的清晰程度直接影响到医生诊断的速度以及准确性。

对于一幅图像而言,平滑区域即邻近的象素值基本相同的区域对应于信号的低频;图像纹理区域即邻近的象素值发生变化较小的区域对应于信号的中频;图像边缘和噪声区域即邻近的象素值发生较大变化的区域对应于信号的高频。出平滑区域中的纹理细节信息。经过分数阶微分处理后,图像平滑区域中灰度变化不大的纹理细节信息并没有受大幅的线性衰减,反而在一定程度上进行了非线性保留。而且分数阶微分的阶数是可以连续变化的,因此在提取图像边缘的过程中可以通过调节微分算子的阶数来获取最佳的图像边缘信息。

4 结论

分数阶微积分技术在很多领域得到了广泛研究和运用,特别是在图像信号处理、音频信号处理等方面作用明显。加大对分数阶微积分技术的研究,充分挖掘其性能,进一步推动工程技术的发展和进步。

参考文献

[1]Oldham K B,Spanier J.The fractional calculus[M].New York:Academic Press,1974.

[2]Podlubny I.Fractional differential equations[M]//Mathematics in Science and Engineering[S.l.]:Academic Press,1999.

[3]Adam Loverro,Fractional Calculus:History,Definitions and Applications for the Engnieer,University of Notre Dame,2004:78-79.

[4]周激流,蒲亦非,廖科.分数阶微积分原理及其在现代信号分析与处理中的应用[M].北京:科学出版社,2010.

[5]辛怡,白雪霏,李勤.分数阶傅里叶联合变换相关在指纹识别中的应用.

[6]陶然,邓兵,王越.分数阶Fourier变换在信号处理领域的研究进展.中国科学E辑.2005,35(12):113-136.

一类积分不等式的推广及其应用 篇5

本文讨论了一类新的关于两个无关变元积分不等式,所得结论是Pachpatte型的`积分不等式的自然推广,并把主要结果应用于偏微分方程的定性理论中.

作 者：康国莲  作者单位：中国科学院数学与系统科学研究院系统所,北京,100080 刊 名：工程数学学报  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS 年，卷(期)： 21(5) 分类号：O175 关键词：积分不等式   两个无关变元   不减  

微积分应用 篇6

微积分的基本内容是研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

数学的价值不仅在于掌握知识，而且数字是解决生活中世纪问题的重要工具，并能促使人类智慧的进步。通过数学不断发展，改变了人们的观察能力，思维能力，分析能力以及个人素质等，以更好的思维方式知道行动，能适应当前发展迅速的新社会，新形势。本文将介个微积分在生活中的多方面应用，对微积分只是进行深入探索。

在现实生活中，我们身边的一切事物都能为数学研究提供服务，实际上，微积分本身就存在于生活中的各项事物中，只有不断深入挖掘，才能透过现象看本质，将抽象的数学付诸于具体事物中，也就是实现“具体——抽象——具体”的思维方式，以求不断进步，不断完善。

在物理中的应用：究变力做功问题时；对于恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力，我们不能利用公式；这种情况下，我们要借助于微积分，我们可以把位移无限细分，在每一个小位移上，力的变化很小，可以看作是恒力，根据公式算出力所作的功；然后把每一个小位移上的功无限求和，那么就可以求出变力做的总功是多少。

匀速直线运动，位移度之间的关系是x=vt，但是如果物体的速度是时刻变化的，那么如何求位移呢？这个问题的解决就用到了微积分。把物体运动的时间无限细分，在每个单位时间内，物体的速度变化是很小的，就可以认为无提示匀速直线运动，根据已有的攻势求解再把所有的位移加起来，就能够得到总的位移了。

微积分在排队等待中的运用（夹逼定理）：在数列的夹逼定理中，画出3跳与轴线垂直的直线，分别代表3个垂直于平面的平面，从左到右剑气记为X，a，Z，并将a假设为固定形式，X，Y都向a无限趋近。此时在X与Y之间随意放入平面Z，此值是无限向a趋近，这就是夹逼定理。联系到实际生活中，在排队的过程中，很多人排成一列长队，后面的人越来越多，那么加载期中的人就不必考虑多长时间能拍排到自己，就会被后面的热播“加持”到购票的窗口。

微积分在投资决策中的运用：初等数学在经济生活中的应用十分广泛，例如在投资决策中，如果以均匀流的存款方式，也就是将资金以流水一样的方式定期不断存入银行中，那么计算1年后的中价值就可以通过定积分的方式。例如某企业一次性投资某项目2亿元，并据顶一年后建成，获得经济回报。如果忽略资金的时间价值，那么5年时间就能收回成本，但是如果将资金的时间价值考虑进来，可能情况就是有所变化。因此，微积分的应用，让投资更趋向于理性化，能够风险，提高回报。

“微元法”计算例题体积在切菜中的应用：在研究积分计算平行界面时，假设空间中的某个立体面，有一个曲面和垂直于x轴的两个平面围城，如果使用任一点并与x轴的平面截例题垂直，所得的截面面积也就是一致的连续函数，此例题体积就能通过定积分表示。并通过“微元法”得出结论。此种方法在生活中的应用，可考虑为切黄瓜时，将黄瓜放在水平的砧板上，菜刀垂直于砧板的方向切掉黄瓜的两端，也就是所求体积的立体空间。将见个叫嚣距离且垂直于砧板方向切下的一个黄瓜片，视为一个支柱体，这个体积也就等于截面面积乘以厚度，如果将这根黄瓜切成若干片，每片越薄，体积值就越精确。那么如果将其无限细分，再获得无限和，这正是定积分的最好应用。

综上所述，可以看出来，微积分的发明和使用不是一蹴而就的，是经过无数代人的只会的结晶才能达到今天的成就。微积分在我们现实生活中具有重要意义，利用好微积分能帮助我们得到问题的最优化解决。我们应当好好学习微积分这一有用的数学工具，并把它用于实际当中。微积分与我们的生活息息相关，可以说没有微积分，我们现在的世界就不会是现在的样子。

参考文献：

[1]高等数学同济第六版[M].

[2]华中科技大学高等数学课题组.微积分[M].

[3]王海鷗.微积分在生活中的应用[M].

[4]胡松涛.自动控制原理[M].

微积分知识在经济中的应用 篇7

关键词：极限,偏导数,微分方程,经济应用

微积分在经济中有很多的应用, 如一元函数微分学在边际分析中的应用, 一元函数积分学在求原经济函数中的应用, 求最优化问题等, 这些都是众所周知的应用, 除此之外, 本文给出了其他微积分知识在经济中的应用, 如极限、偏导数、微分方程在经济中的应用。

一、极限在经济中的应用

二、偏导数在经济中的应用

与一元经济函数的导数类似, 多元经济函数的偏导数也有其经济意义, 下面以需求函数为例来说明。

例2厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别p1和p2, 销售量分别为q1和q2, 需求函数分别为q1=24-0.2p1和q2=10-0.05p2, 总成本函数为C=35+40 (q1+q2) , 试问:厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少?

解:总收入函数为R=p1q1p+p2q2=24p1-0.2p12-0.05p22, 总利润函数为L=R-C=32p1-0.2p1-0.05p22-1395+12p2, 由极值的必要条件, 得方程组:

解此方程组得P1=80, P2=120。

由问题的实际含义可知, 当P1=80, P2=120时, 厂家所获得的总利润最大, 其最大总利润为LP1-80 P1-120=605。

三、微分方程在经济中的应用

含有未知数的导数 (或者微分) 的方程, 称为微分方程。一般写成F (x, y, y', A, y (n) ) =0或y (n) =楋 (x, y, y', A, y (n-1) ) 。微分方程的解:若将函数代入微分方程, 使方程成为恒等式, 则该函数称为微分方程的解, 即设y=y (x) 在区间I上连续且有直到n阶的导数, 使F (x, y (x) , y' (x) A, y (n) (x) ) =0则称y=y (x) 为该微分方程在区间I上的一个解。

变量可分离方程的解:能写成y'=楋 (x) g (y) 形式的方程称为变量可分离型方程, 其解法为:

例3已知某商品的需求量x对价格p的弹性η=-3p3而市场对该商品的最大需求量为1 (万件) , 求需求函数。

(1) 需求量等于供给量时的均衡价格pe; (2) 价格函数p (t) ; (3) tl→imp (t) 。

参考文献

[1]吴赣昌.微积分 (经管类) [M].北京:中国人民大学出版社, 2014, 第4版

[2]李永乐, 李正元.数学复习全书[M].北京:国家行政学院出版社, 2013

微积分应用 篇8

微积分是高等数学的一个重要分支,是进行数学分析的重要基础理论.现如今,微积分已经被应用于各个学科之中,特别是在经济学中,微积分思想的引入给经济问题的分析和解决带来了诸多便利.

一、导数在边际和弹性理论中的应用

1. 函数变化率———边际函数

设函数y=f(x)可导,则导函数f'(x)称为边际函数,它的含义是:当x=x0时,当自变量x产生一个单位的改变时,y近似改变f'(x0)个单位.在西方经济学中,有边际成本、边际收入、边际利润等.

例1设某产品成本函数C=C(Q)(C为总成本,Q为产量),其变化率C'=C'(Q)称为边际成本,C'(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本.西方经济学家对它的解释是:当产量达到为Q0时,生产Q0前最后一个单位产品所增添的成本.

例2设销售某种商品Q单位时的总收入函数为R=R(Q),则R'=R'(Q)称为销售量为Q单位时的边际收入.其经济含义是:在销售量为Q单位时,再增加一单位产品销售总收入所增量.

例3设销售某种商品Q单位时的利润函数为L=L(Q),则L'=L'(Q)称为销售量为Q单位时的边际利润.

2. 导数与弹性函数

我们先来看一个例子:

经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况,因此先引入下面定义:

定义2[2]设需求函数Q=f(P),这里P表示产品的价格,于是,可具体定义该产品在价格为P时的需求弹性如下:

注:一般地,需求函数是单调减少函数,需求量随价格的提高而减少(当ΔP>0时,ΔQ<0),故需求弹性一般是负值,它反映产品需求量对价格变动反映的强烈程度(灵敏度).

用需求弹性分析总收益的变化:总收益R是商品价格P与销售量Q的乘积,即R=P·Q=P·Q(P),

知:(1)若|η|<1,需求变动的幅度小于价格变动的幅度.R'>0,R递增.即价格上涨,总收益增加;价格下跌,总收益减少.

(2)若|η|>1,需求变动的幅度大于价格变动的幅度.R'<0,R递减.即价格上涨,总收益减少;价格下跌,总收益增加.

(3)若|η|=1,需求变动的幅度等于价格变动的幅度.R'=0,R取得最大值.

综上所述,总收益的变化受需求弹性的制约,随商品需求弹性的变化而变化.

二、导数在利润最大化问题中的应用

在微分学中,通过对已知的函数进行求导后,就可以得到原函数的导数,即边际函数.而在经济学之中,边际概念通常表示经济变量的变化率.在经济领域中,企业家经常会遇到如何才能使产品成本最低化、利润最大等问题.这些问题都可以转化为最大值和最小值进而用微积分的方法来解决.

例4一个企业的总收益函数是R=4000Q-33Q2,总成本函数是C=2Q3-3Q2+400Q+500,求最大利润L.

三、积分在利润最大化问题中的应用

例5设某种商品明天生产x单位时固定成本为20元,边际成本函数为C'(x)=0.4x+2(元/单位),求总成本函数C(x).如果这种商品规定的销售单价为18元,且产品可以全部售出,求总利润函数L(x),并问每天生产多少单位时才能获得最大利润.

解因为变上线的定积分是被积函数的一个原函数,因此可变成本就是边际成本函数在[0,x]上的定积分,又已知固定成本为20元,即C(0)=20,所以每天生产x多少单位时总成本函数为

设销售x单位商品得到的总收益为R(x),根据题意有R(x)=18x,所以总利润函数

由L'(x)=-0.4x+16=0,得x=40,而L″(40)=-0.4<0,所以每天生产40单位时才能获最大利润,最大利润为L(40)=300(元).

四、微分方程在经济中的应用

例6某商品的需求量Q对价格P的弹性为-Pln3,已知该商品的最大需求量为1200(即当P=0时,Q=1200),求需求量Q对价格P的函数关系.

结语

在当今学科交叉研究越来越深入的趋势下,微积分思想与经济学的研究也更加紧密地结合了起来,通过本文可以看出,利用微积分知识可以简捷、方便地解决许多经济问题.希望通过本文的研究能够帮助人们了解微积分思想在经济中的重要作用.

参考文献

[1]张柳霞,朱志辉,方小萍.数学建模思想在高等数学教学改革中的作用[J].中华女子学院学报,2011(3):124-128.

RMI原理在微积分中的应用 篇9

1计算积分

在研究某些复杂的问题时, 通过引入一个或几个新变量来代替原式中的某些量, 从而把原式用新变量表示, 并求得相应的结果, 这种解决问题的方法叫作换元法。换元法其实是关系映射反演方法的方法之一。

理论上, 可以利用二项式定理将被积函数X (2X-1) 100展开成多项式, 其不定积分总是可以算出来的, 但因工作量极其大, 实际上是不可能这么去做的。

从以上的计算过程可得到图1。

换元法又称变量代换或辅助代换法, 通过引入辅助元素或构想辅助问题, 能化未知为已知、化新问题为已经解决了的问题。波利亚说:“构想一个辅助问题是一项重要的思路。举出一个有助于另一问题的清晰的新问题, 能够清楚地把达到另一目的的手段设想成一个新目标。这就是运用智慧的卓越成就。学会怎样聪明地处理辅助问题是一项重大的任务。”换元法就是靠通过引入变量代换原变量进行映射, 从而把原问题转化为一个易解的辅助问题的方法。

2不规则图形的面积

对于图形面积的计算, 能够考虑运用公式的, 往往是那些比较规则的图形, 而对于那些不规则的图形, 其面积的计算总是无从下手, 需要根据图形特征和已知的条件合理地选择计算方法, 下面用RMI原理来求不规则图形的面积。

例2:我们来求由连续曲线y=f (x) (假设f (x) >0) , 直线x=a, x=b和x轴围成的曲边梯形的面积。

解:在[a, b]上去一系列的分点xi, 作成一种划分,

这种解决问题的方法是“化大为小, 化繁为简”转化思想的体现, 其思想过程可表示为:要求曲边梯形的面积, 先把它分割成n个小曲边梯形, 再求这n个小矩形的面积和, 用它近似代替n个小曲边梯形的面积和, 再求此和的极限, 就是曲边梯形的面积。分割法是通过把待处理问题分割, 从而能清楚地了解问题内部的各种制约关系, 从而找到一个解决问题的办法;通过分解, 能弄清问题的外延, 从而知道我们应该从哪些方面入手去解决问题, 因此, 分割对于“问题解决”是至关重要的。

最后, 我们还要指出, 在应用RMI原理求解各种或大或小的问题时, 或者去处理一类问题时, 对关系映射反演方法的具体的选择, 最好使之符合三个条件:一是在将原象系统转换成映象系统时, 要能显示出化繁为简、化难为易或化生为熟的作用;二是能导致映射和反演过程的存在性及能行性;三是映射方法本身的构造要符合美学标准, 即既是自然的和简单的, 而且形式又是比较优美的, 只有这样选择映射, 才能更好地解决问题。数学家利用关系映射反演方法曾经解决了历史上许多难题和“不可能”的问题。例如:证明是无理数、证明“几何三大难题”的不可能性等等。

摘要：RMI原理是一种重要的数学方法, 被称为关系映射反演方法, 是数学中应用广泛的方法原理。本文主要介绍了其思想与含义, 并通过该原理在微积分中的应用, 从而可提高我们抽象分析和应用数学工具的能力, 因此在数学研究中有着非常重要的意义和作用。

关键词：RMI原理,映射,反演

参考文献

[1]金杭平.数学中的关系映射反演方法[J].嘉兴学院学报, 2001, 13 (6) :74-75.

[2]陈大波.关系映射反演方法 (RMI原理) [J].宁德师专学报, 2004, 16 (1) :4-5.

微积分在概率论中的应用 篇10

关键词：微积分,概率论,应用

在实际应用过程中, 微积分是和实际应用联合起来的, 不仅在天文、力学、化学、生物、工程学、经济学等自然学科中, 在社会学和科学等各个分支的学科中都广泛的应用, 特别是在计算机中的使用更能够不断发展和拓展微积分的发展空间, 使得微积分有着更加广阔的发展空间, 这些都将有助于微积分的发展。作为客观世界的事物, 小到粒子、大到宇宙, 无时无刻不在变化着, 在这变化的过程中引入变量概念, 就可以用现象来描述数学了, 在对于函数的概念和运用上也能够再次加深, 同时科技的发展也需要数学分支来进行几何生产, 这也就是微积分对这门课程的认识。

1 集合在概率论中的应用

集合和测度论两者的关系直接形成概率论, 在源和流的关系上又加速了概率论的形成。可以说概率论是由微积分加速形成的。概率论主要研究的东西是随机的, 在随机试验过后的结果可能不一样, 但是, 将一样的结果组合在一起就成为了集合, 那也就是样本空间, 随着关注的随机事件越来越多, 数学家就设计了集合, 集合就能够计算时间和使得集合的渗透速度也得到快速发展。

2 微积分在概率论中的应用

2.1 函数在概率论中的应用

(1) 函数中的随机事件。函数中的随机事件是一个函数集合, 在事件的整体发生上可以利用函数集合来展示。 (2) 从整体空间集合上来说, 函数和实数在处理过程中是一个过渡过程, 在整体的概率论中也是概率时代的典型, 在这种概率上需要进行一个新的高度提升。 (3) 函数中的随机变量实数通常是指分布函数, 在函数的概率论中体现的是一个重要的函数概念, 在取值整体规律中能够具有很好的函数性质, 可以在有界、单调的函数上进行连续, 这几种连续也有存在异常情况, 在微积分中, 大多数函数的性质都可以顺利地进入概率论领域, 在连续的随机变量上概率的密度也能够从概率论中取得另外一项重要的函数关系。从而能够在概率和随机的变量过程中将概率的密度和函数的分布归纳为一种, 在这种函数的对应关系下, 概率论的研究会越来越畅通, 这对随机变量的研究也会起到重要的指导作用。

2.2 微分和积分在概率论中的作用

函数随机变量中最大的特点是连续性的概率密度, 在与概率建立良好的关系后, 函数的分布就能够用统一的方法来表示, 在连续点上能够对上述的表达方式进行求导, 即在概率论中的随机变量问题能够通过概率论来解决, 这在微积分上属于问题的传输, 通过连续性的随机变量能够求得数学期望和方差。

2.3 微积分中计算方法在概率论中的应用

概率论的大部分问题都能够通过微积分来进行处理和解决, 在概率论中得到结果后应用在微积分的计算方法中, 例如:

例1:设服从参数为的poisson分布, 求其数学期望。

解法:利用微积分中特殊函数的展开式。

2.4 微积分在概率论中的其他应用

(1) 函数的分布。在简单的结论中, 能够严格证明函数用到微积分中的极限问题, 但是在概率论中的大部分定律都会与中心极限定理产生作用, 这也就是在微积分汇总出现的极限。 (2) 概率论分布点。通常在概率论中存在许多连续性的随机变量函数, 这在概率论的分布中是一个难点, 如果能够运用恰当可行的方式进行处理, 那么就会让复杂的问题简单化。 (3) 特殊函数应用。通过微积分中的特殊函数来在概率论中体现, 也能够得到广泛的应用, 在函数的借用过程中都能够通过概率论来得到分布。

3 微积分在概率论统计中应用举例

例如:可以以N个朋友随机围绕圆桌就做, 其中的两个人是一定要坐在一起的概率是多少?或者将每个人都进行编号, 例如:编号1, 2, 3, 这3个人随意地将书排列在书架上, 那么只好有一本书从左到右进行排列, 这样排列的概率是多少?从5个人中任意的取数, 可以将数字有序的抽取3个, 那么在下列的事件概率中3个完全不同的数字和3个不含1和5的数字中抽取, 刚好出现两次3的概率和至少出现5的概率是多少。又如, 利用独立分布的中心极限定理求极限

例2:求证:当n→∞时,

证明:考虑随机变量列{ξn}, ξn的分布是χ2 (1) ,

则Eξn=1, Eξn2=3, Dξn=2,

所以, ξn服从中心极限定理, 分布是χ2 (n) 。

注:数学分析中的复杂极限问题的证明和计算有的比较繁琐, 若用概率论的方法解决, 可达到事半功倍的功效。

4 微积分在概率统计上的应用说明

假设在问题的说明上进行举例, 那么在教学举例过程中就可以将讲解的内容适当地进行引进, 例如:引进一些小模型, 这就能够引导学生进行一个较为深入的分析, 例如:在进行闭区间的讲解上, 就能够容易连续地将3个定理函数进行讨论, 这就会相应的介绍一个数学模型, 让看似抽象和复杂的问题更加容易被学生理解, 通过问题的讲解, 能够使学生更好地体会到运用数学来解决实际问题, 并且在解决问题的过程中发挥重要作用。然后根据所学教材中的相应理论知识, 结合现实生活中的现象来进行问题讨论, 建立数学教学模型, 能够让学生对新的数学教学概念更加容易理解。

随着社会的进步和时代的发展, 在素质教育备受关注的今天, 作为高校数学教师, 应有责任和义务对现行的数学教学模式进行探讨和研究。例如:我们会经常运用到的评价模型, 这对教师来说能够举例说明, 这也是我们通过运用专家的隐性知识对系统进行重要性判断, 在不同的评审人员中, 会对不同的影响因素进行分析, 求同存异, 这样就能够给不同的评审人员进行不同影响因素的判断, 从而为评审人员中给出结论的相似性和关联性进行探讨, 也需要相似的程度进行矩阵计算, 从而得出相似系统之间的结论。

5 结语

综上所述, 从微积分的发展来看, 我国目前的数学微积分理论已经趋近于完善, 我国数学研究者也是通过微积分来解决概率问题, 利用微积分来解决问题能够有效地推动数学学科发展, 在概率论中的微积分能够应用更加鲜明的理论来解决复杂问题, 这就需要更多的数学工作者来发现解决办法, 从而让两者更好的发展。对于微积分函数和关联上, 数学分支和微积分建立的实数都应建立在函数和极限函数的基础上, 在极限概念微积分上能够追溯到17世纪, 并且将数学模型思想更好地引入了试点阶段, 采取比较常用的方式就是教师先进的建模任务, 在之后进行相应的点评和示范, 这样才能够让微积分更好地在概率论中进行应用。

参考文献

[1]吴成欢.关于概率统计教学模式的相关思考[J].数学学习与研究, 2014 (13) :33.

[2]韦程东.筛选概率统计建模案例原则[J].广西师范学院学报:自然科学版, 2015 (2) :113-117.

[3]高侨, 周琦.概率论与数理统计在日常生活中的应用研究[J].数学学习与研究, 2015 (19) :132.

[4]李苗苗.概率统计课程实践性教学的探究[J].数学学习与研究, 2015 (21) :23.

例析定积分的简单应用 篇11

定积分的几何意义：在区间[a,b]上的曲线[y=f(x)]连续且恒有[f(x)≥0]，那么定积分[abf(x)dx]表示由直线[x=a,x=b,x]轴和曲线[y=f(x)]所围成的曲边梯形的面积.

1. 不分割图形面积的求解

例1 求由曲线[y=x]，直线[y＝x－2]及[y]轴所围成的图形的面积.

分析 结合图形，从图中可以看出所求图形面积可以转化为两个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求面积[S].

解 如图，阴影部分面积即为所求，求得曲线[y=x]与直线[y＝x－2]的交点为[A(4,2)]，

∴[S阴＝04(x－x＋2)dx=(23x32-12x2+2x)40][=163].

2. 分割图形面积的求解

例2 计算由直线[y=4]，曲线[y=4x]及直线[y=x]所围成的封闭图形的面积.

分析 结合图形，从图中可以看出所求图形面积可以转化为两个曲边梯形的面积的和，进而可以用定积分知识求面积[S].

解 由[y=4y=4x]得[A(1,4)]； 由[y=4xy=x]得[B(2,2)]； 由[y=4y=x]得[C(4,4)].

从而所求的图形面积为

[S=12(4-4x)dx+24(4-x)dx]

[=(4x-4lnx)21+(4x-x22)42=6-4ln2].

点拨 求曲线围成的平面图形的面积的解题步骤：（1）画出图形，并将图形分割为若干个曲边梯形（如例题2）；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分的上、下限；（3）确定被积函数，要特别注意被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形的定积分表达式；（5）运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.

二、定积分在物理中的应用

1. 变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体所经过的路程[s]，等于其速度函数[v=v(t)(v(t)]≥0)在时间区间[[a，b]]上的定积分，即[s=abv(t)dt].

例3 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度[v(t)=5-t+551+t](单位:m/s)紧急刹车至停止，求（1）火车从开始紧急刹车到完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后，火车运行的路程.

分析 火车停止即速度为零，火车运行的路程即为速度函数在这一时间段上的定积分.

解 （1）火车停止时，[v(t)=0]，

所以[5-t+551+t=0]，解得[t=10].

即火车从开始紧急刹车到完全停止所经过的时间为10秒.

（2）紧急刹车后，火车运行的路程

[s=010v(t)dt=010(5-t+551+t)dt]

[=5t-12t2+55ln(1+t)100=55ln11m]

答: 紧急刹车后，火车运行的路程为[55ln11]米.

点拨 路程是位移的绝对值，从时刻[t=a]到[t=b]所经过的路程:

（1）若[v(t)≥0,s=abv(t)dt;]

（2）若[v(t)≤0,s=-abv(t)dt;]

（3）若在区间[a,c]上[v(t)≥0,]在区间[c,b]上[v(t)<0]，则[s=acv(t)dt-cbv(t)dt.]

2. 变力做功

一物体在变力[F(x)]（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与[F]相同的方向从[x=a]移动到[x=b][(a

例4 一物体按规律[x=bt3]做直线运动，式中[x]为时间[t]内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比（比例系数为正实数[k]），试求物体由[x=0]运动到[x=a]时，阻力做的功．

分析 本题的关键是找到阻力的函数解析式，所以首先要找到物体的运动速度. 结合导数的物理意义，物体的运动速度等于物体的路程关于时间的函数的导数，再代入题意即得到阻力做的功.

解 由题意知：物体的位移函数为[v(t)=bt3]，

∴速度函数为[v(t)=x(t)=3bt2].

媒质阻力[f阻=k⋅v2(t)=9kb2t4]，又[t=(xb)13]，

[∴f阻=9kb2t4=9kb2(xb)43=9kb23x43].

∴阻力做的功是

[W阻=0af阻dx=0a9kb23x43dx]

[=9kb23(37x73)a0=277kb23a23].

点拨 求变力做功的方法（1）求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力[F]的表达式，这是求功的关键. （2）由功的物理意义知，物体在变力[F(x)]的作用下，沿力[F]的方向做直线运动，使物体从[x=a]到[x=b][(a

1. 由曲线[y＝x2＋1]，[x＋y＝3]及[x]轴、[y]轴所围成的区域的面积为 .

2. 函数[f(x)＝x+1 (-1≤x<0),cosx (0≤x≤π2),]的图象与[x]轴所围成的封闭图形的面积为（ ）

A. [32] B. 1 C．2 D. [12]

3. 已知自由落体运动的速率[v=gt]，则落体运动从[t=0]到[t=t0]所走的路程为（ ）

A．[gt203] B．[gt20] C．[gt202] D．[gt206]

4. 如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ ）

A．0.18J B．0.26J

C．0.12J D．0.28J

1. [103] 2. A 3. C 4. A

构造法在微积分中的应用研究 篇12

构造法在数学中有着广泛的应用, 是研究数学问题的基本方法之一。构造法应用于数学中时, 先构造一个与数学问题待证结果有关的辅助函数, 或是构造一个与数学问题待证结果有关的命题, 利用数学问题的已知条件, 应用有关概念和定理, 推理得出数学问题需要证明的结果。构造法具有两个明显的性质, 即构造法在数学应用的直观性和构造法在数学应用的可行性。构造法的直观性和可行性, 使得构造法在研究数学问题时十分有效, 构造法在数学问题研究中得到了广泛运用。构造法是把具象的问题抽象化, 在实际问题中寻找规律, 通过抽象的普遍性把实际特殊问题转化为数学模型, 另外, 构造法也可以根据具体问题的特殊性, 通过合理的框架设计, 解决特殊的问题。构造出的对象是抽象的数学形式, 构造的对象数学形式有方程、函数、过程、图形、命题, 或是一种模式。

怎样在研究数学问题时进行构造, 是构造法应用的难点, 在数学研究时应该重视构造思想方法的引入, 但需要不断研究归纳构造法的具体应用场景, 促进构造法在数学中的应用。本文对构造法在微积分中的应用进行了研究, 以深化构造法在数学中的应用。

1 通过构造反例应用构造法

数学的理论和实践应用发展, 需要不断解决遇到的问题, 通过问题的解决提高人们理论研究和实践研究的深度和广度。构造反例, 是解决数学问题的重要方法, 构造法在微积分中应用的重要途径之一就是构造反例。构造反例需要对命题进行深入的研究, 对相关概念和基础理论有透彻的理解, 并能灵活运用。

例1在微积分的学习和研究中, 有定积分定义中对任意性的强调, 定积分的定义强调对区间[a, b]分法的任意性, 另外定积分的定义还强调对在小区间[xi-1, xi]上选取ξi的任意性, 也就是说, 定积分定义中对任意性的强调要求积分和极限的存在与区间[a, b]的分法以及ξi在小区间[xi-1, xi]上的取值都是不相关的。

分析:当研究定积分的定义强调对小区间[xi-1, xi]选取ξi的任意性是否必要时, 可以应用构造法。通过构造法, 把问题转化为:能否构造一个函数f (x) , 在小区间[xi-1, xi]内选取不同的ξi值, 使得积分和的极限是不同的, 也就是证明与ξi值的选取具有相关性, 利用狄利克雷函数构造反例。

证明:设利用狄里克雷函数, 对于[a, b]的任一分法, 若在[xi-1, xi]中ξi只选取有理数, 则;若在[xi-1, xi]中ξi只选取无理数, 则, 这样就可以看出, 如果不坚持小区间[xi-1, xi]选取ξi的任意性, 积分和就有不同的极限值b-a和0。不同的极限值不能形成有效的定义, 所以要坚持小区间[xi-1, xi]选取ξi的任意性。

2 通过构造辅助函数应用构造法

构造辅助函数应用构造法, 在微积分中有着广泛的应用, 举例如下:

例2设函数f (x) 在区间[0, 1]上可微, 且有, 证明存在ξ∈ (0, 1) , 使得f′ (ξ) =2ξf (ξ) 。

证明:设辅助函数,

根据积分中值定理, 存在, 满足

于是, F (x) 在[x0, 1]上连续, 在 (x0, 1) 内可导, 由罗尔定理可知, 在 (x0, 1) 内至少存在一点ξ, 使

例3设函数f (x) 在闭区间[a, b] (0<a<b) 上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 求证至少存在一点ξ∈ (a, b) , 使得f (b) -f (a) =ξf′ (ξ) lnba。

证明:待证结论转化为,

设辅助函数, ,

则F (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 而且

于是, 由罗尔定理可得, 至少存在一点ξ∈ (a, b) , 使得, 也即。

3 通过构造不等式应用构造法

关于微积分不等式的问题, 有时也可以通过构造不等式的方法进行处理。

例4设函数f (x) , g (x) 在区间[a, b]上连续, 证明柯西—施瓦茨不等式:

证明:对任意实数t, 有 (f (x) +t·g (x) ) 2≥0恒成立,

也即f2 (x) +2t·f (x) g (x) +t2·g (x) ≥0恒成立,

4 结束语

构造法在数学中的应用, 需要通过发散思维和创造性的思维进行, 是科学性与艺术性的统一。构造法在数学中的应用, 要求构造者有很高的素质, 既要有在数学和应用领域方面丰富的基础知识, 另外构造者要有较强的洞察力、丰富的想象力、抽象思维能力、敏锐的洞察力。构造法在数学中的应用, 在构造过程中需要应用数学中的观察、类比、猜想、归纳、推演等基本思想。构造法在数学中的应用, 体现了高度的数学素养, 表现出较强的数学应用能力。

摘要：构造法是把数学问题进行转化来解决问题, 构造的对象数学形式有方程、函数、过程、图形、命题, 或是一种模式。本文对构造法在微积分中的应用进行了研究, 以深化构造法在数学中的应用。

关键词：构造法,微积分,应用研究

参考文献

[1]李海玲.在高职数学教学中渗透构造思想探析[J].济南职业技术学院学报, 2010 (3) .

[2]李君士.两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法[J].数学的实践与认识, 2004 (10) .

[3]王兰芳.例谈中值定理应用中辅助函数的引入[J].高等数学研究, 2011 (1) .

[4]王利霞.辅助函数在一些数学问题中的应用[J].湖北广播电视大学学报, 2010 (7) .