定积分的计算和应用

定积分的计算和应用（精选9篇）

定积分的计算和应用 篇1

摘要：利用计算多项式函数在某点函数值的H-M方法, 通过对多项式的系数进行有限迭代计算, 得到相应函数在确定点的各阶导数值和指定的区域上的定积分, 并对其复杂度进行分析。

关键词：多项式函数,有限迭代计算方法,H-M方法,导数和积分的值,复杂度分析

众所周知函数在具体某点的导数值和其在某区间的定积分在数学应用中非常重要, 诸如Newton-Raphson迭代法求非线性方程的根[1]、定积分求面积和函数逼近[2,3]等。而且有时借助它们的计算能提高一些问题的计算质量, 甚至为某些问题的计算开辟一条更有效的新的计算途径, 尤其在一些误差分析当中更是离不开函数的导数计算。根据Taylor’s定理[4], 任何连续且可导函数都可以展开成在连续点的多项式函数, 因此如何求得任意连续可导函数在某点的导数就显得尤为重要, 而多项式函数作为一种最为特殊的一类连续且任意阶可导函数, 求其在某点的导数以及其在某确定区间上的定积分就成了一个最为常用且最基本的求导数值和定积分计算的问题。尽管有许多计算一般函数在某点的导数和固定区间上的定积分, 但是相对而言比较复杂, 尤其对多项式函数来言, 其在某点的导数和某固定区间上的定积分的计算没有必要那样去算。考虑到计算多项式函数在某点的函数值, 通过其方法和思想推导出具体详细的多项式函数在某点的导数和某固定区间的定积分的计算方法并比较该方法的复杂性和分析其相应误差。

1 导数计算

1.1 多项式函数值计算的Horner方法

引理1[5]:假设多项式函数为f (x) =an xn+an-1xn-1+...+a1 x+a 0, 对任一实数c,

则有f (c) =b0=a0+cb1, 其中。

证明:

因为f (x) =an xn+an-1xn-1+...+a1 x+a0,

根据多项式的分解性质, 可设f (x) 分解成如下的形式:

因此可得:f (c) =b0。

的对应系数, 则有:

故有bn=an, bk=ak+cbk+1, k=0, 1, ...n-1,

虽然这样计算f (x) =an xn+...+a1 x+a0在x=c的值没有利用众所周知的公式f (x) = ( (... (an x+an-1) x+...+a2) x+a1) x+a0计算来的方便, 但它对于求解多项式函数在某点c的任何k阶导数值和在某固定区间的定积分确非常实用。

1.2 求多项式函数的导数

由于在阶数上任何多项式函数的导函数都要低于原函一阶, 因此对于多项式函数在某点的任意阶导数, 我们可以得到任意k阶导函数在某点的导数值与其前一阶导函数的系数之间关系的如下两个计算结论。

定理1设多项式函数f (x) =an xn+an-1xn-1+...+a1 x+a 0, 对任何实数c, 则有f' (c) =g (c) =b1+b2 (1) ,

其中b1=a1+cb2, bn (1) =bn, bk (1) =bk+cbk+1 (1) , k=1, 2, ...n-1。

证明:

用类似的方法可以将g (x) 表达出来, 不妨设

并定义下面函数

则比较两个函数的对应的系数, 则有

因此f' (c) =g (c) =b1+b2 (1) 。

证明:

根据定理1,

则有g' (c) =g1 (c) ,

并且:

依此类推, 则有:

其中相应有:

类似, 对任何整数k,

与其他求函数在某点导数值不同, 除了截断误差外本方法的计算结果几乎没有误差, 而且其复杂度更为简单。

2 定积分计算

在数值分析时, 我们通常用Composite Trapezoidal-Simp-son方法[6]来计算函数在某区间上的导数, 但是当被积函数是多项式函数时, 这种方法就已经没有必要, 而且我们可以用Newton-Leibniz定理[7]来计算定积分。

证明:

由于H (x) =x F (x) ,

而且:

所以有

3 复杂度分析[8]

从上面的结论中我们看到用该方法无论是求多项式函数在某点的各阶导数值还是求多项式函数在固定区间上的定积分, 都没有进行多次累乘的情况, 在各阶迭代运算中都只对相应各个系数进行了一次乘法运算, 这样在计算中, 相比进行多次乘积运算, 将降低因多次相乘的所带来的误差, 而且在积分计算中, 每个系数迭代用公式, 这些分母k+1, k=1, 2, Ln将降低截断误差, 并使得计算更加有效和简单, 而且在忽略截断误差的影响, 理论上该方法不会带来其他误差。

4 结语

基于以上的推导和证明, 我们将发现多项式函数在定点的各阶导数求值的有限迭代公式很好地避开了确定点的取值对计算结果的影响, 同时在确定区间上的定积分有限迭代计算公式简化了定积分的计算过程, 从而使得该计算方法更加适合通过编写计算机程序来实现, 是一种具有实际应用价值的导数和定积分的计算方法。

参考文献

[1]J.H.Mathews, K.D.Fink.Numerical Methods Using Matlab (third edition) [M].London:Prentice Hall, 1999:177-178.

[2]GuLemin, The Best Uniform Approximation Polynamial of Cosine Function Type[J].Journal of Numerical Methods and Computer Applicat, 2012, 33 (3) :173-180.

[3]Xiyong Zhang;Xiwang Cao;Rongquan Feng.A method of evaluation of exponential of binary quadraric function[J].Finite Fields and Their Applications, 2012, 18 (6) :16-18.

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[5]Uwe Naumann.the complexity of derivative computation[J].RWTH Achen, August, 2005, 5 (3) :35-37.

[6]林成森.数值分析[J].北京:科学出版社, 2007:212-213.

[7]Vladimir A.Zorich.Mathematical Analysis (first volume) [M].Berlin:Springer, 2000:199-200.

[8]Rainer Kress.Numerical Analysis[M].Berlin:Springer, 1998:19-20.

定积分的计算和应用 篇2

( 空军工程大学理学院应用数学物理系)

【 摘要】定积分的概念 是用极 限来 定义的 ， 有很 强的 思想性。用 定

义 计 算 定积 分 是 教 学 中的 一 个 难 点 。 这 里 给 出 用 定 义 计 算 定 积 分 的 方 法 和 步骤 ， 举例 说 明借 助 定 义 来计 算 的 函数 类 型 ， 即幂 函 数 ; 指

数 函数 ; 角函 数 。 三

解

…于函数_ ： Cab ，I f ：. 区间 l，】 厂 ) E l l ) r ( t j l 在 口6上可积 。 所

，

以将 区 间 l6 等 分 。分 点 为 口 (一 )f 1， n ， 小 区 间 a ， + 6 n (= ，…，) 2

^

【 关键 词 】定 积 分

幂 函数

指 数 函数

三 角 函数

l+ (一 ) n 6 口

，

+

k( ‘b

―

nI 长度 ： )的

，取 小区 问 的右端 点

在 初 学 定 积 分 的 概 念 与 性 质 之 后 ， 没 有 学习微 积 分 基 本 公 还 式 时 ， 们 遇 到 了定 积 分 的计 算 问题 ， 取 的 方 法 使 用 定 义 和 几 何 我 采

+( n 于 r ：m ba +( 训 ， 是 百 -―， l￣ ― i 一

=

意义来计算 ， 而利用几何 意义求 定积 分要求必 须是 特殊 的曲边梯 形 ， 如是 圆 ， 例 三角形 等 ， 即必须是可利用公 式求 出图形 的面积的 ; 或是关于原点对称的区 间上的被 积 函数 是奇 函数 的积分 ， 结果 为 零 。利用定积分的定义解 题过程 有一定 的模式 ， 面临一 个和式 要 的极限来处理 ， 本文就是 来 明确 一下 用定 义计算定 积分 的函数 的

类型 。 1用定 义计 算 定积 分 的方 法 和 步 骤

定积 分”的概念 是 由极限运 算 定义 的，它是 一 I 个和 式的 极限 ，即

( 6 n+ (

：( b-a) ( 口+ 一口 =Ib _ ) 21

2 2

例 用 义 算 积 x 2利 定 计 定 分f d .

解 ｝ 于 函数 ， x = co 1 则 ， ： I 1 () x ∈ I 1， ， ( ) 在 区问 I q . 积 。 O k￣ ， T 所 以将 区问 I l 等分 ，分 点 为 (： ， …，) o ' f 1 ， ，小区 间 I ， 的长 2

r = 喜 - ， ， ( )

其 中 ， ： a{ ， ： ｝ mx ， ， ￣ …， 。定 义中 对积分 区间 l b分划 的任 口 1 ， 意性 与 小 区 间 I A ， I 选 取 点 蟊 f 1 ， 一 的任 意性 有 很 强 的思 - h (= ， …，) 2

度

= 三 ， 取 小 区 间 的 右 端 点 二 ， 于 是

H ^

f ：喜 =

喜 x ( 1

： I ― n+ i . m (

― ― ― ―

想 性和 包 容性 。但 是在可 积 的情况 下 ，可 以选 取特 殊 的分法 与取 法 ：

一

2 ) I ： .n + 1 X ―

― ― 一

1

一

：

_坩 ―

6

3

3用定义计算指数函数 和三角函数 的定积分

等 区 【 l按 积 的 义 有r( …百ba(。 分 间 ， 定 分 定 ， ，) l￣ -， ) 6 i出=m

可 取 小 区 问 ， l 左 端 点 + 的 (一 ) 右 端 点 6 或

借助下面的等 比数列求和公式可求某些指数函数的定积分 ：

口+唧 +. +卵 一 ： . .

J～ 口

其中 ，

( g≠l 】

口 +

三( 一口 。 6 )

J l

例 用 义 算 积 . 3利 定 计 定 分f 出

解 由 于函数 ，() E ab ，则 ， e 在 区问 【，l 可积 。 ;E Cl，l () x 口b上 所 以将 区 间 【，l 分 ， 分点 为 口 ’b )f 2…，) 小区 问 口b n等 +i(一口 (：1 ， 月 ，

，

这样我们用定义来 计算定 积分 的话 ， 一般有 下 面的解题 格式

与 步骤 ：

首先 ， 由可积 的充 分条件 判断 函数可 积。如果被 积 函数 是连 续 函数 的话 ， 那么 函数可 积 ; 如果有 有 限个 间断 点的话 ， 由积分 则 的可加性 ， 将其转化为几个连续 函数积分 的和 。 其次， 由函数可 积想到定 积分与分 法 、取法无关 ， 而选取特 从 殊的分法 ： 区间等分 ; 将 特殊 的取法 ： 小区间的左端点或右端点。 第三 ， 将定积分写成一个特定和式 的极 限 ， 用已知 的求 和公 利

：

+

H

(一 )n (一 )的长 度 A ， b― 6 口， + 6 口I x =― a，取小 区问 的右端 点 -

n 月

。+

i- lpx… ( 卜r a 足 dl H ” o =喜 i a r 。 鬲

l i m

…

式求和 ， 求和是关键 ， 也是难点。

( 一P ) 1

= e 一 ￡ 。

定积分的计算和应用 篇3

积分在数学分析中有很重要的地位;积分的计算方法有许多种, 相关文献都对其有探讨, 但是对对称性的研究却很少涉及。对称性在积分运算中有着很重要的意义, 通常可以简化计算。本文研究了对称性在积分运算中的应用, 归纳总结出利用平面区域的对称性来计算积分。

1 相关定理及证明

定理1[1] 设f (x) 在区间$\left[-a‚a\right]$上可积:

(1) 若f (x) 为奇函数, 则∫${}_{-a}^a$f (x) dx=0;

(2) 若f (x) 为偶函数, 则

∫${}_{-a}^a$f (x) dx=2∫a0f (x) dx。

证明 (1) 当f (x) 为奇函数时:令-x=t则

∫${}_{-a}^a$f (x) dx=∫-aaf (-t) d (-t) =

∫${}_{-a}^a$f (-t) dt=-∫${}_{-a}^a$f (x) dx

所以:2∫${}_{-a}^a$f (x) dx=0即∫${}_{-a}^a$f (x) dx=0。

(2) 当f (x) 是偶函数时:

∫${}_{-a}^a$f (x) dx=∫${}_{-a}^0$f (x) dx+∫${}_0^a$f (x) dx=

∫0af (-t) d (-t) +∫${}_0^a$f (x) dx=

∫${}_0^a$f (t) dt+∫${}_0^a$f (x) dx。

所以:∫${}_{-a}^a$f (x) dx=2∫${}_0^a$f (x) dx。

例1[2]:计算积分${\displaystyle \int }{}_0^{2\text{π}}\frac{\text{d}\theta }{2+\cos \theta }$。

解:令θ=π-x 则

$\begin{array}{l}{\displaystyle \int }{}_0^{2\text{π}}\frac{\text{d}\theta }{2+\cos \theta }=-{\displaystyle \int }{}_{\text{π}}^{-\text{π}}\frac{\text{d}x}{2+\cos (\text{π}-x)}=\\ -{\displaystyle \int }{}_{\text{π}}^{-\text{π}}\frac{\text{d}x}{2-\cos x}。\end{array}$

其中$f(x)=\frac{1}{2-\cos x}$为偶函数, 则

$\begin{array}{l}{\displaystyle \int }{}_0^{2\text{π}}\frac{\text{d}\theta }{2+\cos \theta }=-{\displaystyle \int }{}_{\text{π}}^{-\text{π}}\frac{\text{d}x}{2+\cos (\text{π}-x)}=\\ -{\displaystyle \int }{}_{\text{π}}^{-\text{π}}\frac{\text{d}x}{2-\cos x}={\displaystyle \int }{}_{-\text{π}}^{\text{π}}\frac{\text{d}x}{2-\cos x}=2{\displaystyle \int }{}_0^{\text{π}}\frac{\text{d}x}{2-\cos x}。\end{array}$

令$\tan \frac{x}{2}=t$, 则

$\begin{array}{l}2{\displaystyle \int }{}_0^{\text{π}}\frac{\text{d}x}{2-\cos x}=2{\displaystyle \int }{}_0^{+\infty }\frac{\frac{2}{1+t{}^2}}{2-\frac{1-t{}^2}{1+t{}^2}}\text{d}t=\\ 4{\displaystyle \int }{}_0^{+\infty }\frac{\frac{1}{1+t{}^2}}{2-\frac{1-t{}^2}{1+t{}^2}}\text{d}t=4{\displaystyle \int }{}_0^{+\infty }\frac{\text{d}t}{1+3t{}^2}=\end{array}$

$4\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \sqrt{3}t|{}_0^{+\infty }=\frac{2\text{π}}{\sqrt{3}}$。

定理[3,4]2 若D关于x轴对称, D1为位于x轴上半部分, 当函数f (x, y) 是关于y的奇函数, 即

f (x, -y) =-f (x, y) 时,

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=0$;

当函数f (x, y) 是关于y的偶函数, 即

f (x, -y) =f (x, y) 时,

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=2{\displaystyle \underset{D{}_1}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y$。

证明 设f (x, y) 在D1为x型区域, 其中φ1 (x) , φ2 (x) 在区间$\left[a‚b\right]$上连续, 不妨设φ1 (x) ≤φ2 (x) , 则

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y={\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{-\phi {}_2(x)}^{-\phi {}_1(x)}f(x‚y)\text{d}y+$

∫${}_a^b$dx∫${}_{\phi {}_1(x)}^{\phi {}_2(x)}$f (x, y) dy

令y=-t, 当f (x, y) 是关于y的奇函数时,

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y={\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{\phi {}_2(x)}^{\phi {}_1(x)}f(x‚-t)\text{d}(-t)+\\ {\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{\phi {}_1(x)}^{\phi {}_2(x)}f(x‚y)\text{d}y=\\ {\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{\phi {}_2(x)}^{\phi {}_1(x)}f(x‚t)\text{d}t+\\ {\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{\phi {}_1(x)}^{\phi {}_2(x)}f(x‚y)\text{d}y=\\ -{\displaystyle \underset{D{}_1}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y+\\ {\displaystyle \underset{D{}_1}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=0。\end{array}$

当f (x, y) 是关于y的偶函数时,

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=\\ {\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{\phi {}_2(x)}^{\phi {}_1(x)}f(x‚-t)\text{d}(-t)+\\ {\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{\phi {}_1(x)}^{\phi {}_2(x)}f(x‚y)\text{d}y=\\ -{\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{\phi {}_2(x)}^{\phi {}_1(x)}f(x‚t)\text{d}t+\\ {\displaystyle \int }{}_a^b\text{d}x{\displaystyle \int }{}_{\phi {}_1(x)}^{\phi {}_2(x)}f(x‚y)\text{d}y=\\ {\displaystyle \underset{D{}_1}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}\text{y}+\end{array}$

${\displaystyle \underset{D{}_1}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=2{\displaystyle \underset{D{}_1}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y$。

定理3[4] 若D关于y轴对称, D2为位于y轴右半部分。

当函数f (x, y) 是关于x的奇函数, 即f (-x, y) =-f (x, y) 时:

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=0$;

当函数f (x, y) 是关于x的偶函数, 即f (-x, y) =f (x, y) 时:

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=2{\displaystyle \underset{D{}_2}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y$。

同理按照上述方法令x=-t可以证明。

例2[2]:求圆锥 z2=a2 (x2+y2) 截圆柱面x2+y2=2y所得有界部分立体的体积。

解 立体在xy平面上的投影D:x2+y2≤2y, 根据积分区域是关于y轴对称并且被积函数$f(x)=a\sqrt{x{}^2+y{}^2}$是x的偶函数, 那么所得立体体积[5]。

$V=2{\displaystyle \underset{D}{\iint }a}\sqrt{x{}^2+y{}^2}\text{d}x$。

令x=rcos θ, y=rsin θ。

则D变为$\left\{(r‚\theta )|0\le \theta \le \text{π}‚0\le r\le 2\sin \theta \right\}$。

$V=2{\displaystyle \underset{D}{\iint }a}\sqrt{x{}^2+y{}^2}\text{d}x=2{\displaystyle \int }{}_0^{\text{π}}\text{d}\theta {\displaystyle \int }{}_0^{2\sin \theta }arr\text{d}r=$

$\frac{16a}{3}{\displaystyle \int }{}_0^{\text{π}}\sin {}^3\theta \text{d}\theta =\frac{64}{9}a$。

定理4[6] 若区域D为关于原点对称, 其中D3为D中关于原点对称的右侧。

当f (x, y) 为奇函数即f (-x, -y) =-f (x, y) 时, 有${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=0$。

当f (x, y) 为偶函数即f (-x, -y) =f (x, y) 时, 有

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=2{\displaystyle \underset{D{}_3}{\iint }f}(x‚y)\text{d}\text{x}\text{d}y$。

证明[3] 设D可分为关于原点对称的两个区域D3和D4, 且任意的P (x, y) ∈D3关于原点对称P1 (x1, y1) ∈D4, 则

$\{\begin{array}{c}x{}_1=-x;\\ y{}_1=-y。\end{array}$

由Jacobi行列式

$J=\frac{\partial (x{}_1‚y{}_1)}{\partial (x‚y)}=\left|\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\frac{\partial x{}_1}{\partial x}\\ \frac{\partial y{}_1}{\partial x}\end{array}& \begin{array}{c}\frac{\partial x{}_1}{\partial y}\\ \frac{\partial y{}_1}{\partial y}\end{array}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\begin{array}{cc}-1& 0\end{array}\\ \begin{array}{cc}0& -1\end{array}\end{array}\right|=1$

而${\displaystyle \underset{D{}_4}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y={\displaystyle \underset{D{}_4}{\iint }f}(x{}_1‚y{}_1)\text{d}x{}_1\text{d}y{}_1={\displaystyle \underset{D{}_3}{\iint }f}(-x‚-y)J\text{d}x\text{d}y$。

所以

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y={\displaystyle \underset{D{}_3}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y+{\displaystyle \underset{D{}_4}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=\\ {\displaystyle \underset{D{}_3}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y+{\displaystyle \underset{D{}_3}{\iint }f}(-x‚-y)J\text{d}x\text{d}y=\\ {\displaystyle \underset{D{}_3}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y+{\displaystyle \underset{D{}_3}{\iint }f}(-x‚-y)\text{d}x\text{d}y。\end{array}$

由此可知:当f (x, y) 为奇函数时

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=0$。

当f (x, y) 为偶函数时

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=2{\displaystyle \underset{D{}_3}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y$。

例3[2]:计算${\displaystyle \underset{D}{\iint }e}{}^{-y{}^2}\text{d}x\text{d}y$, 其中D为直线y=x与曲线$y=x{}^{\frac{1}{3}}$围成的有界闭区域。

解:由积分区域关于原点对称及被积函数为关于y的偶函数知

${\displaystyle \underset{D}{\iint }e}{}^{-y{}^2}\text{d}x\text{d}y=2{\displaystyle \underset{D{}_1}{\iint }e}{}^{-y{}^2}\text{d}x\text{d}y=2{\displaystyle \int }{}_0^1\text{d}y{\displaystyle \int }{}_y^{y{}^3}e{}^{-y{}^2}\text{d}x=$

2∫${}_0^1$ (y-y3) e-y2dy。

令t=y2, 则

${\displaystyle \underset{D}{\iint }e}{}^{-y{}^2}\text{d}x\text{d}y={\displaystyle \int }{}_0^1(1-t)e{}^{-t}\text{d}t=\frac{1}{e}$。

3 定理的推广

推论1[7,8] 若区域D关于y=x轴对称, 此时x与y的位置相同, 那么

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y={\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(y‚x)\text{d}x\text{d}y$

推论2[9] 设D是有界平面区域, 二元函数f (x, y) 在D上有连续的偏导数, 且D关于x, y轴对称, 则${\displaystyle \underset{D}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y=4{\displaystyle \underset{D{}^{+}}{\iint }f}(x‚y)\text{d}x\text{d}y$, 其中D+={ (x, y) ∈D|x, y>0}。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (上册) .北京:高等教育出版社, 2001:220—229

[2]钱吉林.数学分析题解精粹.武汉:崇文书局, 2003:292—293

[3]华东师范大学数学系.数学分析 (下册) .北京:高等教育出版社, 2001:218—223

[4]孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用.曲阜师范大学学报, 2008;29:9—10

[5]葛广俊.怎样计算二重积分.安徽电子信息职业技术学院学报, 2003;6 (2) :57—59

[6]张仁华.二重积分计算中的若干技巧.湖南冶金职业技术学院学报, 2008;8 (2) :102—104

[7]温田丁.考研数学中二重积分的计算技巧.高等数学研究, 2008;11 (2) :63—65

[8]同济大学应用数学系.数学分析同步辅导 (上册) .北京:航空工业出版社, 2005:216—232

定积分的计算和应用 篇4

1.教学目标

（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解

（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．

2.教学重点/难点

【教学重点】：

（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。

（2）数形结合的思想方法 【教学难点】：

利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．

3.教学用具

多媒体

4.标签

1.7.1 定积分在几何中的应用

教学过程

关于定积分概念和性质的应用研究 篇5

关键词：定积分,积分和,极限

在高等数学的讲授过程中, 定积分的概念和性质是定积分这一章最重要的知识点, 也是计算定积分及研究函数可积性的重要工具。定积分的定义及相关性质常常用于定积分的计算, 大小估计和比较, 也常常用于讨论定积分的存在性, 证明不等式等。下面通过举例说明定积分的概念和性质在以上各方面的应用。

1 利用定积分定义求积分

例1:计算

2 利用定积分定义证明函数不可积

解题思路分析:定积分的定义实际上是函数xf) (在闭区间上可积的充要条件, 要用定积分的定义证明xf) (在[a, b]上不可积, 根据本题给出的被积函数的特点, 只需恰当地构造两个不同的积分和, 使λ→0时, 有不同的极限即可。

3 利用定积分求和式极限

例3:用定积分求极限

4 利用定积分的性质证明不等式

解题思路分析:由欲证不等式的形式特征可猜想, 若求出函数在[0, 1]上的最大值与最小值, 由定积分的性质可完成证明。

5 利用定积分的性质求极限

例5求, 其中f (x) 连续。

解题思路分析:由f (x) 的连续性联想到可以应用积分中值定理将被积函数从积分号下“提取”出来, 消掉分母的因式求得极限。

6 利用定积分的性质比较积分大小

例6:比较积分的大小。

解题思路分析:由定积分的性质联想到在积分区间相同的情况下只要比较被积函数在积分区间上的大小就可以了。

通过上述几个例子可以看出定积分的定义及相关性质在定积分的计算, 大小估计和比较, 讨论定积分的存在性, 证明不等式中有着广泛的应用。定积分的概念是定积分这部分知识教学中的一个重要环节, 引入得当, 就可以紧紧围绕主题充分激发学生的学习兴趣和学习动机。在定积分概念的教学中, 如何让学生理解定积分的定义和性质, 培养教学思想, 挖掘学生潜力, 激发学生想象力和创造力, 提高解决问题的能力是非常重要的。本文结合教学实际通过举例说明定积分的概念和性质在实际问题中的应用, 对我们理解定积分的概念有很大的帮助, 今后应该引导学生加强这方面的训练。

参考文献

[1]徐龙封.定积分教学中必须重视的几个关键问题[J].安徽工业大学学报, 2004 (6) :122.

[2]施红英.对微积分“极限”思想方法教学的思考[J].甘肃广播电视大学学报, 2005 (3) :70.

[3]王丽燕, 秦禹春.微积分全程学习指导与解题能力训练[M].大连:大连理工大学出版社, 2002:151-153.

定积分的计算方法与技巧 篇6

定积分被广泛应用在社会实践和自然科学中, 如利用定积分求平面图形的面积﹑旋转体的体积﹑旋转曲面的面积﹑平面曲线的弧长等都被看成是定积分的计算问题. 定积分是微积分学的重要内容, 是研究科学技术和实际问题极其重要的数学工具, 但定积分的计算方法与技巧尤为丰富, 因而让学生学习好定积分的计算非常重要.

定积分的计算方法有很多种:定义法﹑牛顿-莱布尼茨公式法﹑换元积分法﹑分部积分法等, 针对不同的题型选择适合的定积分计算方法.本文针对每种积分类型的特点, 通过例题给出恰当的解法, 便于学生理解与掌握, 使学生避开了题海战术, 开拓了解题思路, 从而提高学生定积分的计算能力.

二、计算定积分的一些基本方法

1.牛顿-莱布尼茨公式法 (又称微积分基本公式) :若函数f (x) 在[a, b] 上连续, 且存在一个原函数F (x) , 则有f (x) 在[a, b]上可积, 即.

例1:计算定积分

通过例1可以看出, 牛顿-莱布尼茨公式法形式简单, 便于求解, 被视为求定积分最常用的方法.

2.换元积分法:假设函数f (x) 在[a, b]上连续, 函数x=φ (t) 满足条件:

(1) φ (α) =a, φ (β) =b,

(2) φ (t) 在[α, β] ( 或[β, α]) 上具有连续导数, 且其值在区间[a, b]内, 则有

例2:计算定积分

解:设, 则, x=0时t=1, x=2时,

注1:形如的定积分, 通常做变量代换进行计算.

注2:进行换元计算时, 要整体换元, 也就是说当用x=φ (t) 进行换元时, 积分区间也相应发生改变, x的积分区间要换为t的积分区间, 同时dx也换成与变量t有关的形式.

例3:计算定积分

解:设x=asint, 则dx=acostdt, 且x=0时t=0, x=a时, 将题中的x整体都换成和变量t有关的式子.

(1) 凑微分: 形如的定积分, 通常将凑成, 再做变量代换cx+d=t.

例4:计算定积分

(2) 对称区间上的定积分计算

设f (x) 在关于原点对称的区间[-a, a]上连续, 则有

(1) 若f (x) 为偶函数, 则有;

(2) 若f (x) 为奇函数, 则有

例5:计算定积分

解:由题可知, 积分区间[-1, 1]关于原点对称, 设, 易知f (x) 为偶函数, 由 (1) 知

3.分部积分法:设u (x) , v (x) 在区间[a, b]上有连续的导函数, u′ (x) , v′ (x) , 则有 (uv) ′=u′v+uv′, 故

例6:计算定积分

技巧:利用分部积分法计算的关键在于:是将哪一个函数先放入微分号, 如果选择错误就会得不出结果, 那么如何选择正确的解法成为关键.根据多年的解题经验, 我们总结出在选择上遵循以下这一规则“反对幂指三”, 即两个函数作比较排名在后的优先进入微分号.

例7:计算定积分

分析:x为指数函数, cosx为三角函数, 根据规则“反对幂指三”可知, 三角函数cosx排在指数函数x之后, 所以cosx优先进入微分号.

注:当两个函数中, 其中一个为指数函数ex时, 则将ex优先放入微分号.

例8:计算定积分

三、结语

定积分是微积分学的一个重要内容, 定积分的计算题型更是千变万化, 为了更好地计算的定积分, 避免题海战术, 本文对定积分的计算方法与技巧进行了归纳总结, 有助于学生计算思路的扩展, 促进了实际问题的快速求解.

摘要：本文针对每种积分类型的特点, 通过例题给出恰当的解法, 便于学生理解与掌握, 使学生避开了题海战术, 开拓了解题思路, 从而提高学生定积分的计算能力.

关键词：定积分,原函数,连续

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2006.

复变函数中定积分的计算 篇7

1参数方程法

对于积分曲线C为不封闭曲线的定积分, 可以考虑参数方程法进行计算。用参数方程法计算定积分可以根据不同情况由两种方法进行计算。

1.1通过化为两个二元实变函数的积分进行计算

由z=x+iy, f (z) =u (x, y) +iv (x, y) , 可得

1.2化为参变量的定积分进行计算

对于例1, 我们可以化为参变量的定积分, 按照这种方法进行计算。

从而,

2根据柯西定理及推论进行计算

2.1定理1 (柯西定理)

设C是一条简单正向闭曲线, f (z) 在以C为边界的有界闭区域D上解析, 则。

2.2定理2 (柯西定理推论)

3根据柯西积分公式进行计算

用柯西积分公式进行计算时, 先对曲线C的解析性做判断, 然后按照下列步骤进行:首先注意C应该为正向闭曲线, 若f (z) 在C所围的区域里解析, 则根据柯西定理, C乙f (z) dz=0。若f (z) 在C所围的区域里不解析, 再分以下两种情况:

(2) 当f (z) 有n个不解析点时, 做以不解析点为圆心的正向圆周C1, …, Cn, 半径足够小, 则由柯西定理的推论,

解:当C为|z-2|=1时,

4利用高阶导数公式进行计算

解:因为cosπz在复平面上处处解析, 所以由定理4,

5利用留数定理进行计算

利用留数定理计算定积分的步骤:

(1) 找出C所围区域内f (z) 的所有孤立奇点, 设为z1, z2, …, zn。

(2) 对每个孤立奇点zi, 分别求Res (f, zi) 。

(3) 利用留数定理求定积分:

参考文献

[1]苏变萍, 陈东立.复变函数与积分变换[M].北京:高等教育出版社, 2010.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2007.

定积分的计算和应用 篇8

1 基于几何意义的数值算法

S在几何上表示以[a, b]为底, 以曲线y=f (x) 为曲边的曲边梯形的面积A, 因此, 计算S的近似值也就是A的近似值, 如图1所示。沿着积分区间[a, b], 可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形, 则面积A等于小曲边梯形的面积之和。常采用均匀分割, 假设[a, b]上等分为n的小区间xi+1=xi+h, x0=a, xn=b, 其中h= (b-a) /n表示小区间的长度。

1.1 矩形法

矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积, 从而得到S的近似值。若取小区间左端点的函数值为小矩形的高, 如图1中所示, 则。

1.2 梯形法

梯形法则用小直边梯形的面积近似代替小曲边梯形面积, 见图1, 从而得到S的近似值, 即:

1.3 抛物线法

抛物线法以抛物线为曲边梯形的曲边曲边梯形的面积近似代替小曲边梯形的面积, 如图2所示。

x0、x1、x2对应的曲线上的点P0、P1、P2可以唯一地确定一条抛物线y=ax2+bx+c, 这条抛物线将作将代替从x0至x2的曲线段, 此时积分可以转化为对抛物线积分, 而抛物线的积分可以利用牛顿-莱布尼兹公式。第1、2个小曲边梯形的面积:

上面利用了条件P0、P1、P2是抛物线上的点以及等式x2+x0=2x1。同理可得:

所以, S≈A1+A2+Λ+An/2

一般情况下, 三种基于几何的算法中矩形算法a) 、b) 的误差最大, 梯形法次之, 抛物线法精度最高。表1给出了计算的例子, 该积分已知较为精确值为3.1416。

从表1中可以看出, 抛物线法的积分精度远远高于另外两种方法, 特别是在积分区间分割份数较小的情况的, 仍然保持较高的近似程度。变步长的积分算法则相对复杂, 但能使数值积分精度得到有效的提高[2]。

2 基于概率意义的数值算法

概率算法是问题数值求解的一类常用方法, 其设计思想简单, 易于实现。尽管算法要耗费较多的计算时间, 但是往往能得到问题的近似解, 并且近似程度能随计算时间的增加而不断提高。概率算法可用于计算定积分的近似值, 随机投点法和平均值法都属于概率算法[3]。

2.1 随机投点法

设f (x) 是在区间[0, 1]上的连续函数, 且0≤f (x) ≤1。显然, 积分等于图3中单位正方形内阴影部分面积A。

在单位正方形内均匀地作随机投点试验, 则随机点落在曲线y=f (x) 边界及下方的概率为:

现向单位正方0形0内随机0地投入N个点 (xi, yi) , i=1, 2, ..., N。随机点 (xi, yi) 落入A内, 则yi≤f (x) 。如果共有M个点落入A内, 则M/N可近似为随机点落入A内的概率P, 故有S=A=P≈M/N。试验次数N越大, 试验更具有统计意义;如果N→∞, 则S=M/N。

表2给出了计算的例子, 从表中可以随着投点次数的增大, 积分精度提高, 计算耗时也随之增加。

2.2 平均值法

假设要计算积分。平均值法基于随机处理过程, 任取一组相互独立、同分布的随机变量{ξi}, ξi在[a, b]中服从分布律g (x) , 令f* (x) =f (x) /g (x) , 则{f* (ξi) }也是一组相互独立、同分布的随机变量, 则期望E[f* (ξi) ]。由强大数定律可知, 当n→∞时, 依概率1收敛于S, 因此可以作为S的近似值。

在区间[a, b]中概率密度函g (x) 可取为均匀分布g (x) =1/ (b-a) 。此时, , 若在[a, b]中随机抽取n个点xi, 则平均值可作为所求积分的近似。

平均值公式与矩形积分公式形式上很相似, 几何意义也很相似, 也可以看成[a, b]区间n等份分割, 然后用小矩形的面积替代小曲边梯形的面积, 只不过这些小矩形的高与矩形法中的高的取法不一样, 它们是随机点的函数值。

表3给出了平均值法近似计算的例子。观察表3并对比表2可以看出, 平均值法与随机投点法相比, 对给定积分用相同的随机点数近似求解时, 前者近似效果略好于后者。但随着试验规模的扩大, 计算耗时增多, 积分的近似程度都随着提高。

以上所有例子的求解是在具有Intel 24GHz双核CPU、Vista系统的PC上用Matlab2008R实现的。

3 结语

基于几何意义的数值算法与基于概率意义的数值算法相比, 无论在计算时间上还是在计算精度上都占有绝对的优势。但是, 在某些情况下, 前者的算法也会失效例如用梯形算法计算, 当2≤n≤101时, 返回值是0, 而该精确积分值为0.5, 若用后者则不会发生该类问题, 或虽然发生, 但概率小得多;并且概率算法的的设计思想简单, 易于实现, 特别是随机投点法。

参考文献

[1]费祥历, 刘奋, 马铭福.高等数学 (第2版上册) [M].山东:石油大学出版社, 2008:211～287.

[2]郑莉, 董渊, 张瑞丰.C++语言程序设计 (第3版) [M].北京:清华大学出版社, 2004:269～274.

定积分的应用研究 篇9

1 求平面图形的面积

由定积分的几何意义可知, 由曲线y≥f (x) (f (x) ≥0) 及直线x=a, x=b (a

用微元分析法可以求一些平面图形的面积。常见的类型有两种:

(1) (x-型) :由曲线y=f (x) , y=g (x) (f (x) ≥g (x) ) , 直线x=a, x=b (a

(2) (y-型) :由曲线xφ (y) , x=ψ (y) (φ (y) ≥ψ (y) ) , 直线y=c, y=d (c

例1 计算由两条曲线 和 所围成的平面图形的面积。

解 求两曲线的交点, 即解方程组

得交点为 (0, 0) (1, 1) .作出其平面图形 (如图2) .可得面积S为

undefined

例2 计算由直线x=1, x=5和x轴及曲线y=x2-4所围成的平面图形的面积。

解 作出平面图形 (如图3) .可得面积S为

2 求旋转体的体积

由连续曲线y=f (x) (不妨设f (x) ≥0) , 直线x=a, x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成的立体称为旋转体。如图4所示。仿照求曲边梯形面积的方法, 可以求出旋转体的体积V.

用垂直于 轴的平面截旋转体, 所得截面是一个圆, 其面积为

S (x) =πy2=πf2 (x)

在小区间[x, x+△x]上对应的一小立体薄片之体积, 可近似地看成是以S (x) 为底, 为高的小圆柱体的体积 , 即

V≈S (x) △x

即 dV=S (x) dx=πf2 (x) dx

为体积元素。故所求旋转体的体积为

Vx=ʃabdV=πpʃabf2 (x) dx

同理可得由连续曲线x=φ (y) (φ (y) ≥0) , 直线y=c, y=d及y轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所成的旋转体

(如图5) 的体积Vy为

Vy=πʃcdφ2 (y) dy.

例3 求椭圆undefined分别绕x轴与y轴旋转而得的旋转体的体积 (如图6) .

解 (1) 求Vx

由椭圆的方程undefined得undefined

上半椭圆绕 轴旋转与下半椭圆绕 轴旋转所得的结果相同, 故绕 轴旋转的旋转体的体积为

(2) 同理得椭圆绕y轴旋转而得的旋转体的体积为

特别, 若a=b=R, 可得球的体积公式为undefined

3 定积分在经济中的应用

在经济管理中, 由边际函数求总函数, 一般采用不定积分来解决, 或求一个变上限的定积分;如果求总函数在某个范围的改变量, 则采用定积分来解决。

例4 已知某产品总产量的变化率为

Qt (t) =40+12t (件/天)

求从第5天到第10天产品的总产量。

解 所求的总产量为

Q=ʃ510Qt (t) dt=ʃ510 (40+12t) dt= (40t+6t2) |510= (400+600) - (200+150) (件)

例5 设生产x个产品的边际成本C=100+2x, 其固定成本为C0=1000元, 产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售, 问生产量为多少时利润最大?并求出最大利润。

解 总成本函数为

C (x) =ʃ0x (100+2t) dt+C (0) =100x+x2+100

总收益函数为 R (x) =500x

总利润 L (x) =R (x) -C (x) =400x-x2-1000

L′=400-2x

令L′=0, 得x=200

因为 L″ (200) <0

所以, 生产量为200单位时, 利润最大。最大利润为

L (200) =400×200-2002-1000=39000 (元) 。

参考文献

[1]聂洪珍, 朱玉芳.高等数学 (一) 微积分[M].北京:中国对外经济贸易出版社, 2003, (6) .

[2]王杏云.一元微积分在经济学中的意义和应用[J].西藏大学学报, 2006, (9) .