《微积分》课程

《微积分》课程（精选12篇）

《微积分》课程 篇1

微积分教学讲究形象直观, 重视引导学生从生活实践经验和已有的知识中去学习、理解并掌握数学, 因而在微积分课程的教学中, 经常从挖掘数学产生的现实背景及其应用开始数学概念的引入。许多物理问题, 由于其与现实生活联系紧密, 直观形象, 学生容易产生兴趣, 因此常作为数学概念引入及其应用的典型例子, 这也是微积分作为解决实际问题的“工具性”要求。由于数学课程本身抽象, 通过加强微积分课程中的物理问题教学, 可以使学生对微积分实质含义和使用方法产生更深层次的理解。因此, 微积分课程中物理问题教学的成功与否, 直接关乎微积分课程的教学效果。

1 微积分中物理问题教学的意义

1.1 激发学习兴趣。

微积分是一门思维抽象逻辑严密的科学, 微积分的教学偏重符号演算和解题技艺的训练, 常按一般的“公理、定义、定理证明”的模式讲述逻辑演绎系统, 忽视从直观和问题背景方面的引导, 淡化实际问题和应用与数学之间的联系, 往往走的是一条只讲推理, 不讲道理的便捷路线, 理论教学显得有些枯燥。著名数学家华罗庚说过:“人们对数学早就产生了枯燥乏味、神秘、难懂的印象, 原因之一便是脱离了实际。”而微积分的“源问题”一般是学生十分熟悉的实际问题, 其中包含大量的物理问题, 如果将这些物理问题呈现在学生面前, 学生就会感到实在, 觉得数学有用, 就能激发起求知的欲望。

1.2 提升思维层次。

微积分是人类在解决实际问题时思想的抽象和概括, 蕴涵着丰富的理论和方法。如:已知变速直线运动的路程求瞬时速度问题, 体现了实际问题的变化率思想;再比如:已知变速直线运动的速度求路程问题所折射出来的定积分思想, 蕴含了化整为零、积零为整的从量变到质变、否定之否定的思维过程。在解决物理问题的过程中, 了解微积分产生的时代背景和历史意义, 掌握和领会数学思想方法, 形成一定的数学思维并能上升到哲学的高度, 同时让学生学会用数学的思想方法去思考和解决问题。

1.3 增强应用能力。

大部分学生只有开始学习微积分的应用后, 才有所感悟为什么要学习微积分。实际上, 微积分正是在一些实际问题用初等数学长期无法解决的情况下产生的。毫不夸张地说, 物理学科的发展, 微积分工具功不可没, 有位物理学者曾风趣地说“物理学最大的悲哀就是离不开数学。”可见, 微积分在物理领域应用的广泛与深远。加强相关微积分知识点的物理问题应用教学, 让学生学会用数学的眼光去发现问题、解决问题并进行归纳总结, 这对于非数学专业的学生来说尤为重要。姜伯驹先生说:“在某种意义上说, 会用微积分比会证明更重要。”

2 微积分中物理问题教学存在的不足

2.1 数学教师非物理专业出身。

微积分教学中涉及的物理学公式, 许多都是自然界中某些物理现象的数学表示, 具有明确的物理意义。尽管从数学专业毕业出来的数学老师, 学习过大学物理, 但毕竟不是专业课程, 对于相关物理问题的思维肯定不够专业, 会导致对物理问题的分析及认识不是很到位。如果未能充分理解数学表达式所表示的物理含义, 而机械地从数学角度来掌握, 就不能很好地通过物理问题教学来达到巩固数学教学的目的。

2.2 学生的物理水平有限。

物理问题是很好的微积分应用教学的素材, 要想搞好教学, 学生要具备较好的物理基础, 对物理问题的过程及其相关的物理结论要有基本的概念。而对于非物理专业的学生来说, 普遍地, 物理还没有数学好, 学生的物理基础往往比较弱, 这对于微积分的物理问题教学带来较大的困难。比如说, 用定积分求变力做功和电势问题, 很多同学对功和电势这两个物理概念的物理含义和定义不熟练, 选取适当的积分微元进行积分计算等后续工作就更难了。

2.3 物理问题分析不透。

由于多方面的原因, 微积分教学中的物理问题分析不透, 导致教学效果欠佳。比如在变速直线运动的瞬时速度教学中, 学生的认知冲突或者说矛盾的核心在于“瞬时”, 是“某一时刻”的问题, 而学生之前对速度的概念是“单位时间内物体通过的位移”, 显然是“某一时间段”的问题, 应属于“平均速度”的概念。笔者发现, 很多数学老师一般不易在速度概念上去引导认知冲突, 从某种程度上说, 就是对物理问题的分析不透造成的。再比如说, 在求解感应电动势时, 一般要用到两个公式进行计算, 这两个式子中均出现了dΦm, 但它们的物理意义是不一样的, 前者是在某一时刻在微元面的磁通量微元, 它表示的是一个微小状态量, 而后者是相应微小时间段内的磁通量的微小变化量, 它表示的是一个微小过程量。在求解这样的物理问题时, 如果老师不能很好地加以区分它们的物理意义, 学生就很容易在数学认识上造成混乱。

3 微积分中的物理问题教学建议

3.1 强化数学教师的物理素养。

数学教师在微积分中进行物理问题教学, 非物理专业出身是其天生的不足。因此, 数学教师应加强相关物理问题的研究, 强化自身的物理素养。除了加强与微积分知识具体关联的物理问题研究之外, 更重要的是对物理知识的系统学习研究, 不仅仅在相关联的知识“点”上, 更要形成“线”, 乃至到“面”, 形成物理知识体系。比如说, 导数在物理学上就是一个变量对另一个变量的变化率, 除了教材上变速直线运动的瞬时速度的例子外, 还有大量的变化率问题, 如:动量对时间的导数为合外力, 角动量对时间的导数是力矩, 单位质量的物质吸收或者放出的热量对时间的导数等于物质的比热容, 磁通量对时间的导数是感应电动势等等。教师没必要每个都按定义去讲, 也没有这么多时间, 但作为教师, 应该适当列举一些, 一方面让学生知道微积分应用的广泛性, 另一方面让变化率思想在学生中入脑入心。要做到这一点, 数学老师可以通过读物理专业相关教材, 加强物理知识的系统性, 把物理问题有机地融合到微积分教学当中。

3.2 加强学生的物理基础知识。

教学是教与学两方面紧密结合在一起的, 要搞好微积分的物理问题教学, 除了老师应加强物理素养外, 学生也应具备一定的物理基础知识。如果学生不具备基本的物理知识, 教师在微积分相关概念的引入和应用教学时, 物理问题教学只能是对牛弹琴。由于大学很多专业不开设物理课, 即便开设也安排在微积分课之后, 这就要求学生在学习微积分课时, 老师要有意识地提醒学生在相关物理基础知识上提前作好准备。学生也应在原有高中物理基础上, 适当地对大学物理的知识有所涉猎。只有这样, 教师的教与学生的学才能相呼应, 方能达到预期的教学目标。

3.3 注重物理问题的分析与解决过程。

物理问题是引导学生进入微积分学习大门的重要一环, 物理问题的分析与解决过程直接催生了许多微积分的概念。如物体的变速直线运动问题, 已知S (t) 求v (t) 的过程产生了导数概念, 而已知v (t) 求S (t) 的过程产生了定积分概念。学习过物理的人都知道, 物理问题的解决取决于物理过程的分析。因此在物理问题的教学中, 应注重其分析和求解过程。在高中物理中, 物理概念是告知的, 物理公式是“知其然”, 而“不知其所以然”, 如自由落体下落高度为什么是gt2/2, 为什么定义物体的动量为, 而动能又是mv2/2, 这就要求我们在微积分的学习中加强物理问题的过程性分析, 则上述问题在微积分学习中都能得到答案。我们知道, 力对时间的累积效用 (即定积分) , 有了动量概念的产生, 而力对空间的累积效应就有了动能概念mv2/2的产生。因此, 注重物理问题的分析与解决过程, 使物理问题很好地成为抽象微积分学习的有效载体, 同时提高运用微积分解决其它实际问题的能力。

总之, 物理问题是微积分教学中不可分割的重要组成部分, 加强微积分中的物理问题教学, 是提高微积分教学效果的重要方面。教师应树立正确的教学理念, 加强物理问题的教学研究, 提升微积分教学水平, 促进学生数学能力的全面发展。

摘要：本文就微积分课程中物理问题教学的意义以及存在的问题进行了阐述, 并就如何促进微积分中的物理问题教学提出了建议。

关键词：微积分,物理问题,教学

参考文献

[1]王保全.突出数形结合思想搞好微积分教学.南都学坛.1995.6

[2]邓秀华, 陈自然.用问题驱动的微积分教学.内江科技.2007.12

[3]华东师范大学数学系.数学分析 (第三版) .高等教育出版社.2001

《微积分》课程 篇2

英文名称：Function of Complex Variable and Integral Transformation 课程性质：专业必修课程 学分/学时：2学分/36学时 开课学期：第3学期 适用专业：电气工程及其自动化 先修课程：高等数学 后续课程：自动控制原理、信号与系统、检测技术与仪表 开课单位：机电工程学院 课程负责人：

大纲执笔人：

大纲审核人：

一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。

教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。

本课程的具体教学目标如下：

1.熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。

2.大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。

3.基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。

教学目标与毕业要求的对应关系：

毕业要求 指标点 课程目标 对应关系说明 毕业要求1：工程知识 1-1 握专业所需的数理知识，能用于专业问题的理解、建模、分析与求解 教学目标1 能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法，大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型。

毕业要求2：问题分析 2-1 运用数理和工程知识进行专业领域复杂工程问题中的内涵识别与理解分析 教学目标2 了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为复杂的线性系统的数学模型分析提供理论基础。

教学目标3 基本理解时滞环节的频域表达形式，并且对与线性系统有机结合、构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型有所认识。

二、课程教学内容及学时分配（含课程教学、自学、作业、讨论等内容和要求，指明重点内容和难点内容。重点内容：«；

难点内容：∆ 1、复数和复变函数（4学时）（支撑教学目标1）1.1 复数 知识点：复数的概念，共轭复数及复数的四则运算 1.2 复平面及复数的三角表达式 知识点：复平面，复数的模与幅角及三角表达式，复数模的三角不等式，利用复数的三角表达式作乘除法，复数的乘方和开方。

1.3 平面点集 知识点：邻域和开集，区域、简单曲线，连通域，无穷远点 1.4 复变函数 知识点：复变函数的概念，复变函数的极限与连续性 要求：掌握复数的概念（复数是向量）及其各种不同的表示方法，了解各个表示方法的特点和适合使用的场合；

复数的四则运算、乘方、开方运算及其几何意义；

能够在复平面上找到由代数或三角表示复数的坐标所在；

共轭复数及其运算性质；

复变函数的概念，复变函数的极限和连续的概念（与实函数做比较）。

了解：复平面的概念，平面点集的概念，复变函数的极限和连续的概念。

理解：复变函数的概念，共轭复数及其运算性质。

掌握：复数的概念及其各种表示法，复数的四则运算、乘方、开方运算及其几何意义。

重点内容：复数的四则运算及乘幂与开方的运算，复数的表示法，复变函数的概念。

教学难点：复变函数的极限与连续性。

2、解析函数（6学时）（支撑教学目标1）2.1 解析函数的概念 知识点：复变函数的导数，解析函数的概念与求导规则，函数解析的充要条件 2.2 解析函数与调和函数的关系 知识点：调和函数，共轭调和函数 2.3 初等函数 知识点：指数函数，对数函数，幂函数，三角函数在复数域下的概念及解析性 要求：掌握函数解析的充要条件，柯西-黎曼条件判别函数解析性的方法，解析函数与调和函数的关系。

了解：调和函数的定义，初等函数的定义及解析性。

理解：复变函数导数的概念、运算性质及求导方法，解析函数的概念。

掌握：函数解析的充要条件，用柯西-黎曼条件判别函数解析性的方法，解析函数与调和函数的关系。

重点内容：解析函数的概念，函数解析的充要条件，解析函数与调和函数的关系。

教学难点：解析函数的概念，函数解析的充要条件。

3、复变函数的积分（6学时）（支撑教学目标1）3.1 复变函数的积分 知识点：复变函数积分的定义，基本性质，计算方法 3.2 柯西-古萨定理 知识点：柯西积分定理，复合闭路定理，利用原函数求解析函数的积分 3.3 柯西积分公式 知识点：柯西积分公式，高阶导数公式 要求：掌握复变函数积分的定义，基本性质和基本的计算方法；

原函数的概念，如何利用原函数求解析函数的积分。柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式及复合闭路定理的计算。

了解：柯西积分定理、柯西积分公式、复合闭路定理的证明。

理解：复变函数积分的概念和性质，原函数的概念，利用原函数求解析函数的积分。

掌握：柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式及复合闭路定理的计算。

重点内容：柯西积分定理，柯西积分公式，复合闭路定理及其应用。

教学难点：复合闭路定理及其应用。

4、级数（6学时）（支撑教学目标1）4.1 复级项数的基本概念 知识点：复数项级数的概念，复变函数项级数的概念及其收敛的判定 4.2 幂级数 知识点：阿贝尔定理，收敛半径的求法 4.3 泰勒级数 知识点：泰勒展开定理，直接法，间接法将函数展开成泰勒展开式 4.4 罗朗级数 知识点：罗朗定理，将函数在不同环域内展开成罗朗级数 要求：掌握复数列极限的概念，复数列收敛的充要条件，复函数项级数收敛域与和函数的概念，阿贝尔定理，幂级数在其收敛圆内的性质。幂级数收敛半径的求法，将函数展开成泰勒展开式、罗朗展开式的方法。

了解：复数列极限的概念，复数列收敛的充要条件，复函数项级数收敛域与和函数的概念，幂级数在其收敛圆内的性质。

理解：阿贝尔定理，泰勒级数概念，罗朗级数概念。

掌握：幂级数收敛半径的求法，将函数展开成泰勒展开式、罗朗展开式的方法。

重点内容：泰勒级数，罗朗级数。

教学难点：间接法求简单函数的泰勒展开式，在不同环域内将解析函数展开成罗朗展开式。

5、留数定理（6学时）（支撑教学目标1、2）5.1 零点与孤立奇点 知识点：孤立奇点的概念，判别，零点与极点的关系 5.2 留数定理 知识点：留数的计算方法，留数定理及其应用 5.3 留数理论在实积分中的应用 知识点：不同的三类实积分的计算 要求：掌握零点、孤立奇点以及孤立奇点的分类及判定方法，零点与极点的关系。留数的概念及计算方法，留数定理及其在定积分计算中应用。

了解：孤立奇点性质的证明，留数在定积分计算中的应用。

理解：孤立奇点的概念，函数在孤立奇点处留数的概念。

掌握：孤立奇点的分类及判定方法，留数的计算方法，留数定理及其应用。

重点内容：孤立奇点的概念，留数的概念及计算方法，留数定理。

教学难点：孤立奇点的判别，留数在定积分中的应用。

6、傅里叶变换（4学时）（支撑教学目标2、3）6.1 傅里叶变换的概念与性质 知识点：傅里叶积分定理，傅里叶变换，单位脉冲函数及傅里叶变换 6.2 傅里叶变换的性质 知识点：线性性质、位移性质、微分性质、积分性质、乘积定理、能量积分、卷积定理 6.3 傅里叶变换的应用 知识点：傅里叶变换应用的举例 要求：掌握傅里叶变换、傅里叶变换的逆变换的定义以及相关的性质和定理。典型时域信号的频域表达式，大致有个一一对应的概念。

了解：函数的定义，卷积定理。

理解：傅里叶变换的定义及傅里叶积分公式。

掌握：函数的基本性质及其傅氏变换，傅氏逆变换的基本性质。

重点内容：求傅氏变换的方法，求傅氏逆变换的方法，傅氏变换的基本性质。

教学难点：求傅氏变换和傅氏逆变换的方法。

7、拉普拉斯变换（4学时）（支撑教学目2、3）7.1 拉普拉斯变换的概念 知识点：傅里叶变换的局限性，拉普拉斯变换的定义与存在性定理，拉普拉斯逆变换公式 7.2 拉普拉斯变换的性质 知识点：线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质 7.3 卷积及其性质 知识点：卷积的概念，卷积定理 7.4 拉普拉斯变换的应用 知识点：拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用举例 要求：掌握拉氏变换、拉氏变换的逆变换的定义以及相关的性质和定理，利用留数计算拉氏逆变换的方法以及拉氏变换在求解微分方程中的应用。大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。进一步如果有可能，基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。

了解：拉氏变换在求解微分方程中的应用。

理解：拉氏变换的定义，反演积分公式。

掌握：拉氏变换的性质，利用留数计算拉氏逆变换的方法。

重点内容：拉氏变换的性质，拉氏变换的应用。

教学难点：利用留数计算拉氏逆变换。

三、教学方法 主要通过实函数与复函数的对比，引导学生自己发现两者之间的联系和不同，从而总结出复变函数的一些特征和结论。以此培养学生分析问题解决问题的能力，培养学生通过已经解决过的问题分析出未知问题的规律以及症结所在。在积分变换的教学过程中，主要通过由傅里叶变换得到拉普拉斯变换的特征和性质。从而培养学生解决问题的能力。让学生知道解决问题的一般方法：由特殊现象到一般规律，再由一般规律来得到特殊情况的解决方法。传统教学手段与现代教学手段相结合，由于总学时的限制，以传统教学手段为主，采用多媒体辅助教学的教学手段。在教学方式上，根据具体教学内容，综合运用课堂讲授和演示、课堂讨论、课堂练习、发现学习法和自学指导法，通过引入问题和启发式教学，使学生更加明确教学内容的知识体系，引导学生主动学习，激发内在学习动机，提高课堂的积极性。在教学过程中，引导学生发现问题，思考解决方案，为后续教学内容作铺垫。

作业是本课程的主要实践环节，每次课程均应有相应的作业作为学生的练习。作业分为两种类型：一种为必做题，另一种为选做题，学生根据自己的实际情况选择做题。

辅导答疑方式有随堂答疑、作业集中答疑、QQ或 WE CHAT答疑、E-MAIL答疑和定点、定时间的答疑，期中考试、期末考试前分别安排一次集中答疑。

在教学方法的实际执行过程中，每个教学环节都应具有明确的目的性。同时，以上教学方法需要根据教学过程中的实际效果、学生对知识点的掌握和应用情况不断改进。教学效果不好、学生对知识点理解程度不高时，应适当调整教学方法，适当增加演示法或实验训练法，或在讲授后续教学内容时，引导学生前后联系，结合前置难点内容进行讨论，强化知识掌握。在学生对知识掌握情况较好，系统性较好、实验训练效果较好的情况下，适当提高教学内容或实验内容的难度，或增加发现学习法和自学指导法，设置具体应用问题，引导学生探索解决方案。

四、考核及成绩评定方式 考核方式：闭卷笔试，期中考试、期末考试以及平时作业。

成绩评定方式：期中考试 20%、期末考试70%，平时作业10% 五、教材及参考书目 教材：

[1] 《复变函数》（第四版），西安交大数学系 高等教育出版社，2003。

[2] 《积分变换》（第四版），东南大学数学系 高等教育出版社，2003。

参考书目：

[1] 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版，2003。

[2] 《复变函数论》（第三版）钟玉泉 高等教育出版社，2004。

《微积分》课程 篇3

【关键词】研究性学习；微积分；定积分的概念

一、研究性学习教学模式的简介

“研究性学习”是指学生在教师指导下，以自主性、合作性、探究性的学习为基础，从学科领域或现实生活中选择和确定研究主题，以类似科学研究的方式去获取知识、应用知识，解决问题，并形成研究成果的一种学习活动。使用“研究性学习”进行教学的教学模式称为“研究性学习”教学模式。这种教学模式比较起传统的接收时教学，更加关注学生的学习过程，注重培养学生的创新意识和实践能力。

二、在《微积分》课程中引入“研究性学习”教学模式的思考

《微积分》是大学数学课程中的基础课程，具有高度的系统性和综合性。通过本课程的教学，学生可以掌握微积分学的基本概念、基本理论、基本方法和具有比较熟练的运算技能，为后续数学课程打下坚实的基础；同时，学生也可以受到高等数学的思想方法熏陶，培养抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及综合运用所学知识进行分析、解决实际问题的能力。

由于《微积分》的理论比较系统化，需要高度的综合分析能力，尤其是微积分基本概念部分，学生学习起来往往比较困难。在这些知识环节，教师如果能引入“研究性学习”教学模式，可以有效的帮助学生更深化的理解和掌握概念。

三、研究性学习教学案例

定积分是微积分学中最重要的概念之一，主要思想是分割、近似、求和、取极限。以下以定积分的概念为典型，做一个研究性学习的教学案例。具体过程如下。

1.呈现问题

师提出问题：任意的多边形的面积如何求解？学生思考回答：可将多边形通过分成三角形求解，也就是以直线边为边界的封闭图形面积都可以通过这样的分割的思想来解决。接着教师继续质疑：那曲线边图形的面积如何求解？学生思考，既然直线边封闭图形的面积已经解决了，可以将未知问题往已知的问题上靠拢。比如可以将所有的边界都是曲线边的问题转化成有三条边是直线边，仅仅一条边是曲线边的问题，将其置于平面直角坐标系中的合适的位置，可将问题抽象简化成曲边梯形的面积问题。演绎归纳的数学思想在这个环节中得以充分体现。

2.分析与讨论

在这个环节中，师生可共同讨论研究解决曲边梯形的面积计算方法。教师引导学生用已有的方法解决新问题。直线边界的图形面积已经解决，可以用“以直代曲”的思路，将曲边梯形进行有限分割，小的曲边梯形可以近似的看成矩形，然后进行求和求出曲边梯形面积的近似值，最后用极限作为工具，在小矩形的宽度趋于零的过程中求极限，从而得到曲边梯形面积的精确值。研究性学习的关键点是提高学生的学习兴趣，变被动接受成主动探讨。不断设置情境增加学生学习的积极性。

3.问题的解决

曲边梯形的面积问题是定积分概念的引例之一，教师可根据学生专业选择不同领域里的实际问题作为第二个引例。比如理工科的学生可以用变速直线运动的位移计算，经管类专业的学生可以用价格变化的商品总收益问题。让学生分析、比较、归纳、抽象，探寻发现这类问题的本质共同特征就是分割、近似、求和、取极限。将不均匀的累计问题转化为均匀问题，这类问题可以归结出定积分的概念。有了这些准备，得出精确的定义就显得顺理成章，水到渠成，突破了难点。

4.问题的展望

得到了定积分精确的数学定义，可以让学生用定义的方法求一个简单函数的定积分，让学生进一步理解定义中的数学思想。接着学生不免提出问题，这样的计算方法虽然理论上解决了不均匀的累计问题，但计算量大，函数复杂的时候可操作性不强。如何解决这个矛盾呢？自然展望到下一个问题，如何在微积分系统内部寻求更好的解决定积分计算的方法，使这个概念更具有生命力。激发学生进一步探索知识的兴趣。

参考文献：

[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学（第二版）.北京师范大学出版社，2006

[2]周光礼，朱家德.重建教学：我国“研究性学习”三十年述评.高等工程教育研究，2009

关于微积分课程教学认识的浅探 篇4

一、上好绪论课, 激发学生学习微积分的求知欲

由于大学与中学在课程内容教学上及教学方法上都存在着很大的区别, 对于那些刚踏入大学的学生能很快的适应大学的学习生活节奏并不那么容易。而微积分课程是大学生进入大学最先接触课程之一, 因此上好绪论课就显得很重要, 同时上好微积分教学中的绪论课也是提高教学质量的一个很重要环节。首先在微积分教学第一节中要明确告诉学生, 微积分课程在整个大学课程及其在以后的学习和生活中的地位和作用, 让学生知道它是一门很重要的必修基础课, 对它掌握的好坏将直接影响后继课程的学习, 甚至是将来继续深造。其次介绍微积分的主要内容、课程体系及基本要求, 介绍课程的研究对象、研究内容和研究工具, 用一条红线将主要内容贯穿起来, 使学生对微积分有一个整体印象和把握, 介绍微积分课程大体上可以分为四个部分:第一部分, 一元微积分学;第二部分, 空间解析几何, 这是为学习后继内容而引人的知识, 数形结合是本部分的特点, 要求学生不断提高空间想象能力;第三部分, 多元微积分学, 这部分是一元微积分学的推广, 它与一元微积分学有很多的相似之处, 又具有它自己的特殊性, 让学生明确学习这部分的时候一定与一元微积分学类比学习, 学会总结它们之间的共同点和相异之处;第四部分, 级数理论。通过这些部分的介绍, 告诉学生极限思想这一条红线贯穿整个微积分课程始终, 它是微积分的灵魂, 要求学生一定要掌握好求解极限的方法与思想。最后给学生介绍学习微积分的方法, 形成良好的学习习惯, 通过要求学生搞清对于不同内容、重难点的要求也是不同的, 所用的方法也就不同。由于微积分课程的进度快, 理论抽象, 仅靠课堂上听讲就把知识全部掌握是不现实的。因此, 教师应指导学生做好课前的预习和课后的复习, 发现学习中的问题所在, 提高听课的积极性和针对性。所以, 教师通过上好绪论课, 对微积分的主要内容、方法做初步的介绍, 对学生能尽快地适应微积分的新的方式是很重要的。

二、创新教学方式提高学生学习兴趣

微积分与其他学科课程相比而言, 由于其高度的抽象性与严密的逻辑性而给学生产生一种难学数学的感觉和感到数学太复杂和理论上台高深, 同时而又让学生感到学习微积分没有什么用处和我们现实相距遥远, 从而对微积分的学习失去信心与兴趣。其实微积分的很多知识都是源于现实生活, 都有其实际的几何背景和物理意义, 那么就需要教师在教学过程中, 创新自己的教学方式来提高学生理解微积分抽象的概念、端正学习态度并培养和提高学生学习兴趣。同时, 在教学过程中, 教师可以通过引入现实背景和结合实际意义, 把微积分课程抽象、复杂的知识内容背景化、具体化, 不仅可以是使学生容易理解、接受和掌握, 还可以激起学生的学习兴趣和热情。比如, 在利用导数来研究函数性态 (如:极值和最值问题的教学过程中) , 教师可以列举生活中的一些事例, 让学生感到导数应用的魅力, 来激发他们学习微积分兴趣。再如, 在微分方程的教学中, 列举与学生所学专业相近的实际问题和数学模型, 使学生看到利用数学知识可以解决与他们专业密切相关的实际问题, 从而提高学生的学习的积极性和数学知识的应用能力。教师在教学过程中, 要不断地创新自己的教学方式, 通过向学生阐明微积分与其他学科课程的关系, 强调学好微积分的重要性, 鼓励学生树立学好数学的信心。我们教师还要改变原有的“填鸭式”、“满堂灌”等教学方式, 力求运用生动形象、通俗易懂的教学方式来吸引学生学习微积分的兴趣, 进而培养学生的自觉地认真学习本领, 这对我们提高微积分课程的教学质量, 对学生未来的发展都是具有十分重要的意义。

三、完善教学方法

如何让学生学好微积分课程中的概念、定理, 并能综合地很熟练的运用定理, 是一件很不容易的事情。这要求教师在上课的过程中有意识培养学生勤思多想的习惯, 要求教师在教学过程中不断改变自己的教学方式, 不断归纳完善自己的教学方法, 让学生学会发现问题, 学会从定理中发现新问题, 总结出新定理, 从而达到丰富、完善定理的效果。教师通过结合学生的特点, 采用比较形象化教学方法, 并不断地去完善自己的教学方法, 使自己的让学生去发现问题、提出问题从而解决问题。比如教师在讲概念时, 力求从概念的背景例子入手, 让学生在认识概念时是建立在感性材料的基础上的。比如在讲到极限四则运算法则是, 可以提出这样问题:如果两个函数的极限都存在, 则这两函数的和差积都存在。那么, 若一个函数的极限存在, 另函数的极限不存在, 则这两函数的和差积是否都存在?让学生在课堂上进行讨论, 给出正确的答案, 从而使学生对课本中的概念、定理有了更深层次的理解并能很好的运用这些概念与定理。在教师在讲某些定理和性质时也需要改进和完善自己的教学方法, 教师可以通过数形结合的方式, 注重一些定理的几何意义的应用及图形的演示, 启发学生理解这些定理。教师在讲解习题课时, 也要不断地完善教学方法, 尽可能的帮助学生归纳总结解题的思路, 运用一些形象化教学开拓学生思路, 提高学生解题能力。最后, 在教师在完善自己的教学方法的同时, 还要注意组织教学的环节, 要对课堂的教学进行小结, 课堂小结对学生很重要能起到提纲挈领、画龙点睛的作用, 因此在在教学过程中我们教师应引起重视, 这样对自己完善的教学方法也是达到理想的效果, 起到很好的作用。

四、数学思想方法在教学中的渗透

微积分课程的教学目的, 不仅是学生掌握基础知识与基本技能, 还要发展学生的能力, 全面提高学生的素质。微积分内容丰富, 很多重要的数学思想方法蕴涵在其中, 比如极限、定积分等数学思想方法, 它们是学生形成良好的认知结构的纽带, 是由知识转化为能力的桥梁, 是培养学生的数学观念、形成优良的思维素质的关键。因此, 只有在微积分课程教学过程中加强数学思想方法的渗透, 才可以更好的实现微积分教学目的, 提高微积分课程的教学质量, 从而培养出学生的数学素养。对于我们学生而言, 在以后的学习和工作中, 微积分课程中的某个具体知识可能一直不会用到, 但是我们在处理和解决问题时会不知不觉的用到某些数学思想方法, 因此理解和掌握数学思想方法要比掌握某个知识点重要很多。所以教师一定要注重数学思想方法渗透在微积分的教学过程中。例如微积分中的极限思想, 是微积分课程中最基本也是最重要的思想方法, 教师在讲授极限时可以介绍刘徽的“割圆术”。此外, 用类比的思想方法学习微积分也是很重要的。如学习一元微积分学与多元微积分学时, 指导学生将一元微积分学中概念、性质及定理与多元微积分学中概念、性质及定理可以通过类比的方法进行学习。这样学生既掌握了数学知识, 又促进了数学思想能力的发展与提高, 同时也提高了学生学习微积分课程的兴趣与信心。

摘要：本文结合作者多年的教学认识实践, 就如何提高微积分课程的教学质量, 对微积分课程教学认识进行了一些初步的探讨, 提出自己的几点看法。

关键词：微积分,数学教学,教学方法

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社, 2007.

[2]李大潜.素质教育与数学教学改革[J].中国大学教学, 2000 (3) .

高职微积分教案 篇5

函数

引入

1．引例

例

1圆的面积与它的半径之间存在着相依关系，这种关系由公式

AR2(0R)

给定，当半径R在区间0,内任意取定一个数值时，由上式就可以确定圆面积A的相应数值。

例2 某物体以10m/s的速度作匀速直线运动，则该物体走过的路程S和时间t有如下关系：

S10t(0t)

对变量t和S，当t在0,内每取一定值t0，S就有唯一确定的值S010t0与之对应。

抽去上面两个例子中所考虑的量的实际意义，它们都表达了两个变量之间的相依关系，这种相依关系给出了一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。两个变量之间的这种对应关系就是函数概念的实质。

新授：

一、函数的概念

1.函数的定义

定义

1设D为一个非空实数集合，若存在确定的对应法则f，使得对于数集D中的任意一个数x，按照法则f都有唯一确定的实数y与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作

yf(x)这里x称为自变量，y称为因变量或函数。f是函数符号，它表示y与x的对应规则，D叫做函数的定义域。

当x取数值x0D时，与x0对应的y的数值称为函数yf(x)在点x0处的函数值，记作f(x0)。当x取遍D中的各个数值时，对应的函数值全体组成的数集

Wyyf(x),xD

称为函数的值域。

定义域D与对应法则f唯一确定函数yf(x)，故定义域与对应法则叫做函数的两要素。如果函数的两个要素相同，那么它们就是相同的函数，否则，就是不同的函数。

函数yf(x)的对应法则f也可以用,h,g,F等表示，相应的函数就记作x,hx,gx,Fx。

2．函数的定义域

通常求函数的定义域应注意以下几点：（1）当函数是多项式时，定义域为,（2）分式函数的分母不能为零

（3）偶次根式的被开方式必须大于等于零（4）对数函数的真数必须大于零

（5）反正弦函数与反余弦函数的定义域为1,1

（6）如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集。例3 判断下列函数是否是相同的函数

x

（2）yx 与 yx2 xx解（1）函数y1的定义域为(,)，而函数y的定义域为(,0)(0,)，x（1）y1 与 y故不是同一函数。

（2）两个函数的定义域与对应法则都相同，故是同一函数。例

4求下列函数的定义域(1)f(x)1

(2)f(x)x3ln(x2)25x2x(3)ylg(4x3)arcsin(2x1)解

(1)在分式12中，分母不能为零，所以5x2x0，解得25x2x222x且x0。即定义域为,∪,0∪0,。

555（2）该函数的定义域应为满足不等式组

x30 x20的x值的全体，解此不等式组，得x>2，即定义域为2,。

（3）该函数的定义域应为满足不等式组

4x30 12x11的x值的全体，解此不等式组，得3.分段函数

在实际问题中，有时会遇到一个函数在定义域内的不同范围内，用不同的解析式表示的情况，这样的函数称为分段函数。

例5 设符号函数 33x1，即定义域为,1。441,x0sgnxf(x)0,x0

1,x0求f(2),f(0),f(4)及函数的定义域、值域（如图1-1）。

解

因为20,,00,4,0，所以，f(2)1,f(0)0,f(4)1，f(x)的定义域为,，值域为1,0,1。

分段函数在整个定义域上是一个函数而不是几个函数。分段函数的图形在每个区间段

图1-1 上与相应解析式函数的图形相同；求分段函数的数值时，应把自变量的值代入相应取值范围的表达式中进行计算。

4．反函数

定义

2设函数yf(x)的定义域为D，值域为M。对于任意数值yM，在D中都有唯一确定的值x，使x(y)，则得到一个以y为自变量，x为因变量的新的函数，这个新的函数叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，其定义域为M，值域为D。由于人们习惯用x表示自变量，而用y表示因变量，因此我们将函数yf(x)的反函数xf1(y)用yf1(x)表示。yf(x)与yf1(x)的图像关于直线yx对称。如图1-2。

求反函数的过程可以分为两步：第一步从yf(x)解出xf母x和y。反函数一定要指明其定义域。

二、函数的几种特性

1．有界性

若存在正数M，使得在区间I上恒有f(x)M，则称f(x)在I上有界，否则称f(x)在I上无界。

例如，函数y2．单调性

1(y)；第二步交换字1在区间0,1内无界，但在区间1,2内有界。x若对于区间I内任意两点x1,x2，当x1x2时有f(x1)f(x2)，则称f(x)在I上单调增加，区间I称为单调增区间；若f(x1)f(x2)，则称f(x)在I上单调减少，区间I称为单调减区间。单调增区间和单调减区间统称为单调区间。在单调增区间内，函数图像随着自变量x的增大而上升，在单调减区间内，函数的图像随着自变量x的增大而下降。

例如，yx2在区间0,内是单调增加的，在区间,0内是单调减少的，在区间,函数yx2不是单调函数。

3．奇偶性

设I为关于原点对称的区间，若对于任意的xI，都有f(x)f(x)，则f(x)叫做偶函数；若f(x)f(x)，则f(x)叫做奇函数。奇函数的图像关于原点对称，如图1-3；偶函数的图像关于y轴对称，如图1-4。若f(x)既不是奇函数也不是偶函数，那么f(x)叫做非奇非偶函数。

例如，yx在区间,内是奇函数，yx1在区间,内是偶函数。34ysinxcosx在区间,是非奇非偶函数。

4．周期性

若存在不为零的数T，使得对于定义域I内的任意的xI，都有xTI，且f(xT)f(x)，则称f(x)为周期函数，其中T叫做函数的周期，通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期。

例如，ysinx,ycosx都是以2为周期的周期函数。

三、基本初等函数

幂函数

yx（为常数）

指数函数

yax（a0,a1,a为常数）对数函数

ylogax（a0,a1,a为常数）

三角函数

ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx，ycscx

反三角函数

yarcsix,nyarccox,syarctax,nyarcoxt

以上五类函数统称为基本初等函数，常用的基本初等函数的定义域、值域、图像和性质见附表2。

四、复合函数

初等函数

在函数ysin2x中，我们不难看出，这个函数值不是直接由自变量x来确定的，而是通过2x来确定的，如果用u表示2x，那么函数ysin2x就可以表示成ysinu，而u2x，这也就说明了y与x的函数关系是通过变量u来确定的。

定义3

如果y是u的函数，而u又是x的函数，yf(u),u(x)，通过u将y表示成x的函数，那么y叫做x的复合函数，即

yf[(x)]

其中u叫做中间变量。

注意

函数(x)的值域应该取在函数yf(u)的定义域内。

例6

试求由函数yu,usinx构成的复合函数

33解

将usinx代入yu中，即为所求的复合函数ysinx

2注意

并非任意两个函数都能构成复合函数。例如yarcsinu与ux2便不能3复合成一个函数，因为u的值域为2,，不包含在yarcsinu的定义域1,1内，因而不能复合。

有时，一个复合函数可能由三个或更多的函数复合而成。例如，由函数

2y2u,usinv,vx21可以复合成函数y2sinx1，其中u和v都是中间变量。

例7

指出下列复合函数的结构：（1）y(2x1)；（2）y解（1）yu9,u2x1

（2）yu,ulogav,vcosx4

u（3）y10usinv,v9loga(cosx4)；（3）y10xsin1x；

x1 x对复合函数进行分解时，每个层次都应是基本初等函数或常数与基本初等函数的四则运算式；当分解到基本初等函数或常数与基本初等函数的四则运算时，就不再分解了。

定义4

由基本初等函数和常数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成的，并能用一个解析式表示的函数，叫做初等函数。例如y1x,ysinx,y等都是初等函数。初等函数是最常见的函数，它是微积分学研究的主要对象。

23loga3x小结：

1． 函数定义

2．函数性质

3．初等函数

4．复合函数

作业：P9，5 板书设计：

（一）引例

函数

（二）定义 函数定义 函数性质

（三）初等函数

初等函数 复合函数

活在“微积分”时代 篇6

罗素说：“参差多态乃是幸福本源。”因此，面对这样一个快速变化、聚合、裂变和创造的“微积分”时代，我们大可不必感到惶恐，反而应该觉得庆幸呢。

从微小的事物开始，观念、思想和行为如同一个个单个体，陆续地在这个开放的时代里犹如伞兵降落，落到宽松的时代土壤里生根发芽。而微小事物的分类积累，也是发展的自然规律，一切事物都要透过积累才能找到方向，求同、求理解、求同类和求共鸣的人类天性会让积累顺其自然。而积累后的再一次“分”，与其说是“分”，不如说是积累后裂变成长。只有经过了“微”和“积”，“分”才显得有质量、深度和质感。每一滴微小的水珠都会寻找能够存积自己的小溪，而每一条小溪都会沿着分好的各自的方向汇向大江大海。“微”、“积”、“分”看起来是如此的自然和成熟，正如小溪江河奔流向海。

在这个迅速裂变、迅速聚集的时代，看似变幻莫测的事物会让许多人感到无法掌握、无所适从。但有更多的人却欣然地接受了这样的变化，也顺应了这个时代。

写作、阅读碎片化，微博变得比博客更火，而玩微博的人又自然而然地组成了一个个微博群；编个网名来聊天，QQ里的小企鹅们也自动地排队占位，组织了一个个不同名目的QQ群。五湖四海的人为了各个不同的目标，走到了各自不同的群里，“微积分”被他们演绎得非常生动。

也有人觉得“不是我不明白，是这世界变化太快”，他们愿意“岁月静好、现世安稳”，期待着变化不要那么快，“微积分”的时代他应付不来。然而时代的洪流总是裹挟着微小的个人，我们做的，唯有顺应和融入。掌握一些“微积分”时代的生存法则，也许会变得轻松许多。

首先，我们应当了解“微积分”时代的正常、合理之所在。其实，这恰恰是一个健康生长的社会发展到一定阶段的自然生态，它的发展符合人性的自然需求，也和我们的传统文化里的《易经》思想相吻合。《易经》的三个基本正要是知微、知渐、知积。微小里往往蕴含大世界，我們不应当小看这小小的微；然后，一切微小会循着它自己的本性渐渐地、慢慢地积累；也正是透过这样有方向、有规律的积累，才能分出真正有根基、有创造的、属于自己的思想、观念和事物。

看来，这真的是个很好、很自然的趋势。明白了这个道理，抓住了这个规律，就一定能够成为创造时机、掌握时代脉络的人，就能够在这个“微积分”时代游弋自如。

微积分课程教学中的实用性 篇7

1概念学习中的实用性

可微与微分是微积分中的基本概念。但由于教材对此的定义过于“数学化”, 没有充分阐释概念产生的实际背景, 使得这两个概念显得十分抽象, 让学生感到难以理解, 只是进行机械的记忆。通过调查, 发现绝大多数学生都不能明确的说出可微与微分的概念。其实, 我们可以尝试在讲解概念之前先引用一些实际问题进行分析, 如[1]:在实际问题尤其是工程问题中, 由于测量或计算工具等因素, 常常会遇到近似计算, 做到合理的近似替换, 使所造成的误差能在控制范围之内, 是解决工程问题时必须要保证的。

举例: (轴承横截面的面积) 设一个轴承的横截面的实际半径为r, 由于测量误差, 半径的测量值为r+∆r, 计算这个轴承横截面的面积误差。

分析:2πr⋅∆r是影响面积误差的主要因素, 而π (∆r) 2是∆r的高阶无穷小量, 是影响面积的次要因素, 由于本身测量的误差∆r很微小, 因此, 面积误差可以用主要因素来代替, 即∆S≈2πr⋅∆r, 称主要因素2πr⋅∆r为函数S=πr2在点r的微分, 若主∆S=A (r) ⋅∆r+ο (∆r) =要因素+次要因素, 则称S在点r可微。

通过这样一个有趣实例的引入, 学生的记忆会很深刻, 以后再提到可微与微分时首先脑海中会浮现出“轴承”问题, 概念也会变得更清晰。

2重要公式学习中的实用性

在介绍两个重要极限时, 这个极限不管从形式上还是证明过程都很复杂, 我们在讲这一极限之前, 可以先引入下面的实例。

一片森林现有木材am3, 若以年增长率1.2%均匀增长, 问t年时这片森林有木材多少?[2]

这样, 通过学生感兴趣的实际问题引入数学问题, 再通过数学方法解决实际问题, 使同学们看到了数学的实用价值, 从而激发他们的学习兴趣。

3定理学习中的实用性

闭区间上的连续函数有很多重要性质, 其中不少性质从几何直观上看是很明显的, 但证明却并不容易, 而且如果单纯地以定理的形式把这些性质叙述出来, 给学生的印象无非是枯燥乏味。因此, 为了避免这种现象的发生, 我们可以通过身边随处可见的实例来引入定理的内容。如:登山问题引出零点定理。

一个登山运动员从早晨7:00开始攀登某座山峰, 在下午7:00到达山顶, 第二天早晨7:00再从山顶沿着原路下山, 下午7:00到达山脚, 试说明这个运动员必在这两天的某一相同时刻经过登山路线的同一地点。[2]

首先教师引导学生分析已知条件, 利用所学数学知识将已知条件转化成函数的形式, 即用f (x) 和g (x) 表示第一天和第二天运动员在时刻x (7≤x≤19) 时距山脚的距离, 显然f (x) , g (x) ∈C[19, 7], 假设山顶距山脚的距离为s>0, 那么有f (7) =g (19) =0, 而f (7) =g (19) =s, 相同时刻经过同一地点即f (x) =g (x) , 或令F (x) =f (x) -g (x) ∈C[7, 19], 只要说明存在某一时刻 (7

然后让同学们观察这两个式子的特点, 一正一负还连续, 应该存在这样的点, 但是怎样说明才更有说服力呢?此时, 教师可以说“如果我们知道零点定理的话, 这个题目就非常简单了, ”由此引出零点定理的内容:设函数f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 且f (a) 与f (b) 异号 (即f (a) ⋅f (b) <0) , 那么在开区间 (a, b) 内至少存在一点ξ (a<ξ

相信通过身边这种随处可见的小例子来引入定理的内容, 会使同学们对这个定理产生兴趣, 积极地学习如何用它解决实际问题。

4结语

实用性是现存社会中各种东西的第一属性, 重视学生对知识应用的培养就是从根本上提高了学生的能力, 因为, 学生的能力在于应用而不在于知识的多少。微积分在经济、管理专业的所有课程中起到了举足轻重的作用, 所以, 我们在具体的教学过程中, 必须凸显它的“实用性”的优势, 以激发学生学习数学的兴趣, 努力克服学习过程中所遇到的困难, 从而提高微积分的教学质量, 达到理想的效果。

摘要：微积分在社会中具有广泛的应用, 加强实用性在微积分教学中的地位是符合社会发展的, 通过概念、公式、定理这三个方面的学习, 分析了在微积分教学中凸显实用性的具体实施方法。

关键词：实用性,微积分,实施

参考文献

[1]骆川义, 刘明杰, 孙僵明.文科类专业微积分课程教学中形象思维的应用[J].高等教育研究, 2008, 25 (2) :49～52.

[2]吴传生.经济数学——微积分[M].北京:高等教育出版社, 2009:63～78.

《微积分》课程 篇8

微积分教材注重理论的严谨性,缺乏以直观、具体的方式描述微积分的概念. 数学概念的抽象和严谨,使得某些数学基础薄弱学生的理解有一定困难. 会让这些学生望而生畏,感到数学的许多东西都是看不到,摸不着,抽象、枯燥使学生学习数学课程的兴趣降低,不及格率增加.

而数形结合的思想是要充分运用数的严谨和形的直观,将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,使抽象思维和形象思维相结合,将这种思想方法引入到微积分教学可以帮助学生解决一些数学概念抽象难于理解的问题. 我们试图在教学中采用图像的方法说明概念、定理、公式. 借助数学软件,通过数与形的紧密结合,从几何直观入手分解抽象的数学概念的难度,以从不同侧面帮助学生对数学知识的理解并掌握.

Maple及Matlab等数学软件为用几何图形去刻画微积分课程的概念、定理与运算的辅助教学提供了很好的手段. 借助于Maple及Matlab绘制的几何图形可以直观、充分地体现微积分的概念的内涵,克服了传统教学中讲解概念、定理或计算的内容抽象,手工绘图不直观、不精确,教学内容难以扩展等方面的不足,使微积分的教学变得更加形象生动. 这些图形有助于提升学生学习微积分的兴趣与综合理解,提升他们的课业成绩.

在近些年中,我们逐步把数学软件的使用引入了微积分课程的教学,在下面几个方面做了一些有益的尝试,取得了一些成果.

二、微积分概念的直观理解

1.重要极限的图解化

极限是微积分学习中非常重要的一个概念,学生对此概念的理解掌握一定程度决定了他们对课程其他内容的理解与掌握. 微积分中函数极限的概念是学生初学微积分时的一个难点,有些学生会极限的计算,却没有真正理解极限的含义,学生不能完全理解无限逼近的动态过程. 为了让学生理解好极限这个很基础又重要的数学概念,在讲完极限的抽象概念后,画出一些学生计算过的极限的函数图形,通过观察曲线,加强学生对极限概念中无限逼近这一过程的理解.

有一些特殊函数的极限学生理解有困难,如由三角函数与幂函数的四则运算所构成的函数,学生对求这些函数的极限觉得很抽象,而手画这些函数的曲线又十分困难和不准确,借助Maple软件可以很方便画出函数的曲线,同时还可以得到一些非常重要的结论.

例如求下面函数的极限,这四个表示式相似函数的极限,一直是学生不易掌握的内容:,这涉及重要极限之一和无穷小与有界量乘积是无穷小的知识点. 学生会计算上述极限之后再用数学软件将所求极限函数的曲线画出加以几何说明.

启动Maple软件,输入下列语句运行后可画出曲线,如图1,2,3,4所示.

2.隐函数曲线的图形

在讲授隐函数的概念时,教师课上抽象的说方程与函数的关系,学生理解有困难,学生对于方程所确定函数的理解一直似是而非,尽管教师总是强调y是x的函数,学生也理解不了这一层的函数关系,这影响了学生隐函数导数计算的准确性. 在计算隐函数的导数时,有的学生是机械性的记忆,隐函数关系理解不到位. 可是学生对于中学接触过的方程如x2+ y2= 1却很容易接受其对应的函数关系,说明几何图形对学生理解隐函数的概念是有意义的. 教师在课上通过将方程对应的几何图形展示出来,使学生看到表示隐函数方程所对应的函数曲线,学生就可以真切的感受到函数关系的存在,从而容易接受方程对应一个存在却写不成的函数———隐函数的概念,并加深对此概念的理解与掌握. 另外将方程所对应的曲线展现在学生面前,可以让学生把方程与曲线,方程与函数融会贯通起来.

例如启动Maple软件,输入下列语句运行后可画出方程ey+ xy - e = 0所对应隐函数的曲线,如图5所示.

函数关系不可显化的ey+ xy - e = 0方程中确定的隐函数y = f( x) 的关系得到了图解说明.

三、易混淆问题可以明晰

无穷小与有界量相乘是无穷小,提问学生无穷大与有界量相乘的结果是什么? 无穷大量是无界量,但无界量是无穷大量吗? 学生凭直觉无界量不会是无穷大量,但却想不出具体的反例. 教师在课堂画函数xsinx的曲线,让学生观察当x→∞ 时函数的变化趋势. 通过几何曲线学生可以很好理解上述两个概念的区别和联系,启动Maple软件,输入下列语句运行后可画出曲线,如图6所示

老师在课下准备好的曲线在课堂PPT上投影,不如用软件在课堂现场画图对学生的直觉冲击要大. 学生是带着问题,带着思考在等待曲线的结果. 另外还可以把学生想出的曲线画出来,从直观可以看出哪些是正确的反例.

四、知识点之间的贯通

大多数学生知道一元函数在几何图形上表示平面直角坐标系中的一条曲线,而二元函数表示在空间直角坐标系中的一张曲面. 教师只在课上给出某个二元函数所对应的空间曲面,学生印象不深,理解不到位. 现在教师通过软件可以多演示一些曲面,尤其是学生在后面章节将要遇到的一些二元函数.

通过课堂的学习学生知道三元一次方程表示平面,但在习题课上给出二元函数z=7-2x+6y/2,问学生几何意义是什么却想不出来. 当教师把图形画出后,学生看到平面图形,能够想到此函数即是三元一次方程. 这时学生可以将函数、定义域、方程及曲面之间的关系贯通起来,多次变换方式的知识重现使学生能够更好的掌握概念.

例如启动Matlab软件,输入下列语句运行后画平面2x - 6y + 2z - 7 = 0的图形,如图7所示.

另外还可以将一些二元函数留给学生作为课下作业, 将它们所表示的曲面画出. 这样通过几何图形的直观画面印象的建立可以为后面章节中的二元函数的极限,偏导数, 全微分等概念和计算作出前期的铺垫,在后面就可较顺利的理解更数学化的抽象概念,从而完成了知识点的连接贯穿教学.

五、独立思考及分析问题解决问题能力的培养

在习题课上对于学生利用计算方法计算过的一些定积分,让学生用Matlab软件再验证,以达到熟练语句的目的.如计算定积分.

对应语句: syms x;

问题1: 计算积分,学生用广义积分方法计算时,发现被积函数在初等函数范围内原函数不存在,计算方法失效.

解法: 让学生用Matlab软件试着计算:

看到学生感到软件好用. 教师还可以介绍另一解,提示学生此问题还可以用二重积分来完成,从而给后面的学习留下铺垫,并让学生感到知识的连贯性.

解法: 学生使用数学软件计算,

对应语句: syms x;

这时又遇到问题,sinint( 1) 表示什么?建议学生用百度搜索解决,通过这样的方式,让学生体会发现问题,解决问题的过程,从而激发学生学习数学课程的兴趣.

问题3: 计算积分,学生继续使用数学软件计算,

解法: 对应语句syms x;

erf( x) 是什么含义,学生自己可以查出是误差函数,并

查出值为0. 2227,最后算出 积分的近似值 为0. 1974. 学生以前从来没有遇到过这个误差函数,当遇到问题时通过网络自己查询,最后将问题解决.

六、小结

当今数字化生存的时代,人们如果不想落后就必须使用先进的工具———计算机. 使用了计算机后,平常用人力要花很多时间的繁复计算或作图在使用计算机后往往可以在 “一瞬间”得出结果.

在微积分课程教学中引入数学软件辅助教学在一定程度上调动了学生学习数学的积极性,使抽象的数学概念具体化. 软件教学生动、形象有助于学生理解抽象的数学概念,尽快突破学习难关,提高学习信心和兴趣. 对抽象思维能力较差的学生来说,这种教学的作用更为明显. 和传统的授课方式相比,图形具有直观性的特点,在课堂教学中,是教师吸引学生眼球,展示数学“美”的一种比较有效的教学手段,深受广大学生喜爱.

微积分课程数学软件的教学运用将数学分支的几何、 代数、微积分这三方面的内容有机的联系在一起,不仅可以使学生掌握一些常用的计算机数学计算方法,还可加深对数学概念及理论的理解,同时掌握一些常用的应用数学计算方法,从而在学习基础数学的过程中进一步提高大学生的数学综合素质. 而后面的数学建模与计算机计算的有机结合将极大地扩大数学的实际应用范围,人才培养的过程中,正确的前期思想启蒙基础教育方法则是后期发展重要方面,对点燃一个思想火种也很重要.

摘要：在微积分教学中引入数学软件辅助教学调动了学生学习数学的积极性,使抽象的数学概念具体化.借助于Maple,Matlab绘制的几何图形可以直观、充分地体现微积分的概念的内涵,克服了传统教学中讲解内容抽象,手工绘图不准确,教学内容难以扩展等方面的不足,使微积分的教学变得更加形象生动.这有助于提升学生学习微积分的兴趣,提升他们的课业成绩.

《微积分》课程 篇9

一、课堂教学应是教师为主导, 学生为主体, 激发和培养学习兴趣很重要

兴趣是最好的老师, 兴趣也是学习的原动力。求知欲望的开端, 皆出于兴趣。微积分课程是抽象的、枯燥的, 因此, 如何在课堂45分钟内充分调动学生的积极性, 最大可能的激发学生的学习兴趣, 让学生学懂学透, 便显得非常重要, 而这主要取决于课堂教学的组织者教师的主导作用的发挥。

1. 创造情境, 设问式教学引入, 激发学生兴趣。

在传统教学模式下, 微积分课程教学总是以教材为蓝本, 侧重于对概念、定理、法则和习题的精讲细练。这样的教学方式使学生觉得枯燥、沉闷, 而合理地创造教学情境, 采用设问式的教学引入, 不仅可以把抽象的理论具体化, 枯燥的内容趣味化, 沉寂的课堂活跃化, 还能激发学生的学习兴趣, 驱动学生的求知欲望, 达到更好的教学效果。

例如, 在讲导数的经济应用之一边际, 这一概念时, 通常的教学方法是直接由导数的定义式引出边际的概念, 然后给出边际的具体意义, 再讨论边际在经济函数中的应用 (边际成本、边际利润等) 。这种授课方法层次分明, 条理清楚, 但却难以激发学生的好奇心和学习兴趣。如果可以创造情境, 采用设问式教学引入, 那情形就不一样了。不妨在讲授新课前, 创造情境, 采用如下设问式教学引入。

引例:假设一架有200个座位的飞机横越国内飞行一次, 航空公司的成本是10万美元。在这种情况下, 每个座位的平均成本为500美元。请学生思考:

(1) 航空公司的票价是否决不应该低于平均成本500美元?

(2) 若飞机即将起飞时, 仍有10个空位, 而此时在登机口等退票的乘客愿出300美元买一张票。航空公司应该卖给他票吗?如果应该卖, 那原理是什么?

对上述情境中的提问, 每一位学生都会给出一个答案, 但他们要么不确定自己的答案是否正确, 要么无法给出支持自己答案的理由。但可以肯定的是, 这一设问式的教学引入, 挑起了学生的好奇心, 激发了他们的学习兴趣, 课堂气氛一下就活跃起来。此时, 教师再提出, 要解决这个问题的话, 我们就得先学习导数在经济分析中的应用之一边际与边际分析, 那么, 这个设问式教学引入就完成了。在介绍完边际的相关知识点之后, 再回到这个问题的讨论上来。虽然一位乘客飞行的平均成本是500美元, 但如果飞机即将起飞时有空位, 多增加一位乘客的成本, 即边际成本是微乎其微的, 仅仅是这位额外的乘客将免费消费的一份饮料和饼干而已;而边际收益却是该乘客支付的300美元, 远远大于边际成本, 因此, 航空公司卖给他票是有利可图的, 应该卖。这一教学情境的设计, 能让学生带着问题, 带着目的, 带着兴趣来学, 并且能够学以致用, 教学效果当然比一般的教学方法要好。

2. 让学生变被动为主动, 培养学生的学习兴趣。

虽然课堂上是以教师讲授为主, 但应多留一些问题给学生思考, 多留一点时间给学生做课堂练习, 鼓励学生积极回答问题, 上台做题, 给学生一个展示自我的舞台。我的鼓励措施是:对课堂上布置的练习题, 主动上讲台在黑板做题, 并且做对了的学生, 给予适当的平时分进行奖励, 做错了, 不扣分;如果先上台做题的学生做错了, 其他学生主动上台纠错, 改对的同学也给予同样的平时分进行奖励, 改错了, 不扣分。事实证明, 这样的鼓励措施是有效的。学生们都积极主动地在台下做, 先做完的就主动到讲台上去写, 甚至有的学生一想到方法就直接跑台上做去了。没能上去写的学生也积极主动地检查台上的学生是否做对了, 寻找纠错的机会。这样, 课堂氛围就活跃了, 学生的积极性也提高了。

知识并不是非要教师来讲, 偶尔让学生充当一下“教师”的角色, 也是可以的。对于某些简单的知识点, 如果时间充裕的话, 可以采用让学生提前预习准备或课堂上短时间自学的方式, 让学生来当教师, 给全班讲解, 过过“教师”瘾。对学生讲解不到位的地方, 教师再进行适当地补充。这种方式能培养学生的自我学习能力、口头表达能力和胆量, 提升学生对微积分课程的喜爱程度, 培养学生的学习兴趣, 同时也能达到较好的教学效果。

3. 多媒体教学与传统教学相结合, 增强学生的学习兴趣。

充分利用现代化教学环境, 把“粉笔+黑板”的传统教学方式与现代教育技术有机地结合起来。例如, 可以将课前复习, 教学情境例题的引入, 课后小结直接用投影展示出来, 这样, 可以节约课堂时间, 增大课堂知识容量, 保持知识讲授的系统性和连贯性。更重要的是, 借助多媒体教学, 可以通过图形的动画演示, 将一些难以讲解的问题形象化、直观化, 帮助学生深刻理解复杂抽象的数学定义和数学定理, 如ε-N定义, ε-δ定义, 微分中值定理, 定积分的定义, 广义积分的定义, 二重积分的定义等等, 进一步增强学生的学习兴趣。

二、尊重学生, 培养学生的自信意识;亲近学生, 培养融洽的师生关系

教学中我始终坚信:没有不合格的学生, 只有不合格的教师。在教学中, 我创造条件, 精心设计课堂提问, 让学生分享成功的喜悦, 尽量不打击学生的自信心;因材施教, 善待每一位学生, 从思想上充分接受每一位学生, 增加对学生的感情投入, 真正做到尊重学生, 靠近学生, 成为学生的良师益友, 让学生心情愉快地, 积极主动地参与到教学中来, 使学生愿意和你交流思想, 探讨问题。而这一点, 随着合班课的开展 (通常两个自然班合成一个大班教学, 约80～100人, 而一个教师通常带3～4个合班) , 却变得困难起来。但利用课前几分钟候课的时间, 课间十分钟的休息时间, 多与学生聊聊;课后利用QQ交流思想, 传递一些辅导资料, 也能达到一定的效果。另外, 批改作业也是和学生进行交流的一种重要途径。

三、引入数学实验, 培养学生的创新能力和研究性学习能力

随着计算技术的飞速发展, 计算机已被广泛地应用到自然科学以及工程技术的各个领域, 各种各样的数学软件相继问世。掌握这些工具并学会将其应用到相关领域成为当代大学生必须具备的一种重要能力。这直接影响着微积分课程的教与学的方式、方法。

与微积分课程同步, 适当地引入数学实验, 让学生掌握一种数学软件 (如Mathematic软件) , 对于激发学生的学习兴趣、培养学生的创新意识和创新能力来说, 是非常重要的。例如, 在定积分的几何应用中, 有时需要求两曲线所围平面图形的面积。对于图形熟悉的曲线所围成的面积, 我们可以轻松地解决;但对于较复杂的, 图形不熟悉的曲线, 很多学生都无从下手。然而, 在学习了Mathematic软件的基本命令、基本计算以后, 这些问题都可迎刃而解, 不仅可以通过作函数图形了解所围平面的大致形状, 还可以直接计算面积。不妨见如下具体例题。

例:设和g (x) =4cos (x-2) , 计算区间[0, 4]上两曲线所围成的平面的面积。

输入命令:

则输出两函数的图形及所求面积s=4.17413。

在微积分课程中引入数学实验教学的重要意义在于:它可以激发学生的好奇心和求知欲望, 让学生发现数学的美;有利于培养学生的创新能力、研究性学习能力和实践能力;它将数学直观、形象思维与逻辑思维结合起来, 有利于培养学生运用数学知识、借助计算机手段来解决实际问题的综合能力和素质。

当然教无定法, 只要有助于提高教学效果, 有助于学生掌握知识, 提高能力, 受学生欢迎的教学方法都是好方法, 都值得我们去挖掘、去探讨。

摘要：结合教学实践经验和教学实例, 从课堂教学的设计和技巧, 师生关系的培养, 数学实验的引入三个方面, 探讨了提高财经类微积分课程教学效果的方法。

关键词：微积分,学习兴趣,教学效果,创新

参考文献

[1]陈定元.高等教育中数学创新性思维的培养[J].安庆师范学院学报:自然科学版, 2009, (2) :85-91.

[2]陈天权.数学分析教学中学到的和想到的[J].高等数学研究, 2010, (4) :106-109.

项目化教学在微积分课程中的运用 篇10

关键词：微积分教学,项目化,学生自主学习能力,实际应用能力

高等数学作为基本素质与能力的公共必修基础课程, 一直在高职高专院校的各专业课程体系中占据着不可或缺的基础性地位。高等数学课程的开展不仅是各专业课程教学的基础也是训练学生的思维逻辑能力的有效方式。在现今, 高职高专强调培养技能型应用人才的教学模式下, 如何能更好的发挥高等数学课程在专业课程中的基础作用, 如何让学生摆脱为了学习数学而学习的填鸭式学习方式, 就是一个值得我们去研究和解决的问题。

本文以微积分课程中导数与微分的应用教学为例, 详细描述了这部分教学内容的实施过程。希望通过对一个知识点的学习过程的介绍, 能对高等数学课程在高职高专中的开展提出一个有效的教学方式。

一教学思路的设计

函数极值的教学是在学习了导数与微分的概念和计算以后涉及到的应用方面的介绍。其教学标准是在了解了极值与最值的判断方法后对其加以应用。常规的数学教学中往往重视计算的过程和定理、法则的推算, 虽然在一定程度上对学生的思维逻辑能力训练起到作用, 但因为过程过于枯燥, 描述过于抽象, 造成学生学习的积极性和主动性不足。

项目化教学是近年来高职高专学校对专业类课程提出的教学改进方向, 其过程是基于实际工作环境和要求的项目化内容介绍。根据工作的不同阶段对应实际的需求解决实际的问题, 如:《数据库基础》课程, 在教学初给出学生成绩数据库的实际需求, 在教学过程中对数据库的建立和管理过程围绕这一要求来实施, 学生明确学习的目标, 将一个整体项目的不同部分具体实现, 这就提高了学习的兴趣和学生学习知识并加以应用的教学效果。我个人认为将项目化教学的方法适当的引入微积分教学中, 不仅可以将零碎的知识统一, 更主要的是让学生了解学习知识的实际使用方向, 加以提高他们对知识学习的主动性。

在介绍了导数与微分的概念及简单的运算法则后, 对导数与微分的运用就可以采用项目化的模式:先提出问题 (明确实际要求, 先入为主, 抓住兴趣点) 、在分析问题 (对问题中涉及的解决方法和思路进行梳理, 进一步了解问题的具体内容) 、建立方程 (引导、激发学生对问题的思考和分析) 、解决方程 (引入具体导数与微分应用中各个不同方面知识的介绍) 。具体过程如下 (图2) 。

二课堂教学的设计

教学内容:导数与微分的应用;课时数:4节;教学项目名称:春运票价问题。

1.问题提出

据铁路局调查, 在春运期间, 火车票价会进行一定的上浮, 相应客源会有所减少。通过分析得出当票价每上涨10元时, 每趟列车旅客将减少30人。平时广州到上海的列车每趟限坐1800名旅客。春运期间, 广州到上海的票价上浮25%, 调整后的春运票价为480元/张, (1) 问春运前的票价是多少? (2) 春运期间, 广州到上海的票价定为多少元时, 铁路局能保证每列客车的收入最多? (3) 在春运期间, 应该如何对任意车次车票定价, 才能保证每列客车的收入为最多? (4) 试分析在票价发生变化时票价与收入之间的关系?

2.假设说明

(1) 期间旅客流量为均匀分布。

(2) 平时广州到上海的列车每趟限做1800名旅客为统计的平均值。

(3) 当票价每上涨10元时, 每趟列车旅客人数将减少30人。

(4) 每趟列车一般运载1800名旅客。

3.问题分析、建立数学方程及求解

问题一:

设春运前票价为q元。由于春运期间铁路客流量太大, 铁路局一直都采用票价上浮方法减少客流。广州到上海的票价上浮25%, 调整后的票价为480元/张,

即 (1+0.25) q=480, 解得q=384元。

由此可得, 广州到上海的票价在春运前为384元/张。

问题二:

由于春运期间, 火车票的上浮, 造成客流减少, 当票价每上涨10元, 每趟列车旅客数将减少30人, 平时广州到上海的列车每趟1800名旅客。

设票价上涨10x元, 则每趟列车旅客将减少30x人, 每列客车的收入为L元。

每列客车的收入=票价×人数

则L= (384+10x) (1800-30x) , (0≤x<60)

这是一个关于票价应上涨10元的多少倍, 广州到上海的列车收入最大的数学方程。

即求一元函数的最值问题。

求函数L=-300x^2+6480x+691200 对x求导数

dL/dx=-600x+6480, (0≤x<60)

观察函数的单调性问题:dL/dx>0 得到x<10.8

即L在 (0≤x<10.8) 区间内单调增加

dL/dx<0 得到x>10.8

即L在 (10.8

观察函数的极值问题:令dL/dx=0, 即x=10.8

由于 (dL) ^2/ (dx) ^2=-600<0

由函数极值的充分条件知, 在点x=10.8处收入函数L取最大值, 最大值L (10.8) =726192元。

这时票价应定位为492 (=384+10×10.8) 元/张。

得到, 春运期间若以广州到上海的列车为例, 票价定为492元/张时, 铁路局的每列客车收入最多, 达726192元。

问题三:

设任意车在春运前票价为q元, 票价每上涨10x元, 则该趟列车旅客数将减少30x人, 每趟列车运载能力1800名旅客, 每列客车的收入为L元,

则L= (q+10x) (1800-30x) =-300x^2+ (18000-30q) x+1800q (0≤x<60)

求函数对x的导数, 得:dL/dx=-600x+18000-30q, (0≤x<60)

观察函数的单调性问题:dL/dx>0 得到x<30-q/20

即L在 (0≤x<30-q/20) 区间内单调增加

dL/dx<0 得到x>30-q/20

即L在 (30-q/20

观察函数的极值问题:令dL/dx=0, x=30-q/20,

由于 (dL) ^2/ (dx) ^2=-600<0, 由函数极值的充分条件知, 在点x=30-q/20处 (0≤x<60, q

≤600) , 收入函数L取最大值。

所以春运期间票价=q+10 (30-q/20) =300+q/2。

铁路局在春运期间, 对任意车次的票价定价为 (300+q/2) /张时, 该列列车的收入最多。

问题四:

这是一个函数边际的问题关系:

根据问题三得出 L=-300x^2+ (18000-30q) x+1800q (0≤x<60)

求函数对x的导数, 得:dL/dx=-600x+18000-30q

要讨论票价与收入的关系, 假设春运时票价为p元, 则x= (p-q) /10, 将其代入上式

dL/dx=-600* (p-q) /10+18000-30q=30q-60p+18000

得到某趟列车春运前票价为q元后, 但春运期间票价定价为p元时, 每提高1元票价, 收入增加30q-60p+18000元。

三对今后教学的建议

微积分课程在专业课程体系中的定位为公共基础性课程, 其开设的目的是为后续专业课程的开设做的一个技术层面的铺垫。而随着计算机技术在学科中的拓展, 学习中涉及到的数据量和复杂程度也超过以往的要求, 这就使得学生常常在学习了微积分等基础课程后, 在学习专业课程中再次碰到类似的函数求解问题, 老师需要重新复习基础知识, 学生需要重新针对性进行学习后才能使用。这些也是现今在高职高专学校提出项目化改革后, 数学类基础课程渐渐被专业基础类课程所取代的主要原因。既如此, 在基础类课程开设时何不有针对性的对知识点进行取舍, 将原来重求解、重计算过程的教学方式转变为重应用, 重解决问题的实际操作上。以此来培养学生在实际问题中解决问题的思维方式, 而省略为了求解而进行的反复计算练习环节。

为此, 在微积分课程中引入项目化思维进行教学, 将原有课程体系取精去繁, 注重学生解决问题思维方式的训练, 让基础类课程能更好的为后继专业课程的开展做铺垫是值得尝试的教学研究。

文中对导数与微分部分教学的尝试, 就是在学习、认识导数与微分的概念及基本定理的基础上, 结合数学软件 (如:MATLAB等) 进行计算方法介绍后, 强化对知识点的应用能力培养。抛开原有教学中对不同类型函数计算方法的学习, 将它交给计算机处理, 转而重视对概念的理解及定理的应用。从分析问题、建立函数关系方面培养学生的思维逻辑能力;从求解问题方面培养学生解决问题的能力, 两者相结合, 真正意义上做到对学生学习能力的提高。

自古就有“师为传到授业解惑者”之说, 在教与学的关系上, 教师应作为知识的传授者 (介绍基本概念、定理) 、作为学习方法的介绍者 (在分析问题, 建立数学关系) 、作为知识应用的引导者 (项目化的教学模式中) 。而学生作为学习的主体, 只有将他们的主动性充分调动起来, 才能真正达到教学的目的。

参考文献

[1]《数学建模与数学实验》张珠宝主编

[2]经济数学.:少年时/曾文斗主编.—北京:高等教育出版社

肖像，或命运的微积分 篇11

《约会》里母亲睡觉时“眉头也是紧锁着”，而当年快乐得脸上有瓷碗的光泽；《放生》里人物那“不知被骗还是骗人的表情”；《奔丧》中的描写准确且见出层次，叔叔早年“有一张异常英俊的脸”，后来变老，磕掉了半边门牙“心虚地微笑”，死时的尸身潦草而“扭曲”……最新作品《黄眼珠》篇名即注目于肖像特征，内文亦与此相系，“能记住的就是他那野兽般的黄眼珠，疯狂的样子，浓密的微黄的胡子遮住总是讥笑的嘴角”，“昏黄的路灯下的那张‘血脸’五官模糊，两眼迷迷糊糊地闭着，像还没睡醒，耳朵里还在往外流着血”，从黄眼珠、浓密胡子到五官模糊，是一以贯之的脸，又是依时势而化转的“变脸”，一个“脸的谱系”静悄悄生成。

她的作品不仅涉及狭义的面部肖像，还包括身体其他部分的样貌乃至举止，如《黄眼珠》里“我”发现她腰部有三四寸长“像条小蛇的疤”，这笔触自然而然指向人物的身世，引人思考其来龙与去脉。

“我承认她长得比我漂亮，可那不就是一张皮吗！”（《我准备不发疯》）“（女性乳头）不就是这一个小肉头嘛，有什么呢，这些幼稚和愚蠢的男人！”（《约会》）祁媛有着敏察以及拆解的目光，不是一个浅尝辄止者。她着眼于肖像的表层，也懂得精神视域、内心幽微的重要性。

作为一个画者，她笔下不时会出现视觉性元素，《黄眼珠》女主人公是标准的九头一身，大家私下说要是她能给自己做次模特该多好，不奢望裸体，能画画腿也好。其他小说中类似笔触亦不算少。这是一个注重感官的书写者，注重人物的相貌和情节的画面感，将人与物自一片纷繁里析分而出，然后再轻轻放回喧嚣与孤寂之中。

就完成度而言，《黄眼珠》不很理想，有几分单薄粗疏，不过将它与作者的《爷爷》《奔丧》《跟踪》《美丽的高楼》《我准备不发疯》并置阅读，可感到相通的元素在涌动在延展，一个自我的小传统慢慢在成型。这里有叙事上的特色，也透出一些问题。

在《黄眼珠》中屡屡写到“草帽”和“外八字”，可凭此辨认出开头那段闲笔中被打倒在地的人很可能正是主人公解兆元。而主人公命运的巨大转折亦与肖像特点相关：系主任对他说，开除你并不是因为什么资产阶级现代派，“是我讨厌你，我讨厌你的那双眼睛，那双鸡屎黄的眼睛，你小子太狂了！给我滚蛋！”这不失为一种现实细节捕捉和戏剧性安排，不过，是否有些简单了呢？

纳博科夫谈到福楼拜时，认为其小说的魅力在于“表现的是人类命运的精妙的微积分”。好的肖像描写，也应（与其他描写一起）揭示“命运的精妙的微积分”，而不是先入为主的教条的附着式存在。不是说不能写因为眼珠的颜色便厌弃一个人，而是在天然无辜的眼珠颜色之外，要更充分而巧妙地铺陈它与此人的性格才情社会生活的相互作用，从而体现出那种狂、野、令人生忌、人生轨迹发人深省——毕竟命运的伸展与转变不是那么一清二楚，而是一种“精妙的微积分”，一种日积月累，此消彼长，在看上去无可置疑的确定性之外，还往往隐含着逆转、恍惚与未明。

脸/面孔/肖像是人类身体上最赤裸或最不得不赤裸的部分，同时也是最具修饰性的部分，指向它的拥有者，及其灵魂。除了不可替代的个体特征，肖像还注定闪烁着历史信息和时代印记，有一种承续，有一种跌宕和暧昧，正如海子所言：“一切都存入/人的世世代代的脸。”进而言之，除了与生俱来的自然性之外，面孔还被内心、双手、环境和时间等多重塑造，它袒露着，邀请着，同时又有着遮蔽、隐匿或伪装。

纵然，面孔有时也可能是面具，但它依然意味着一种敞开，考验着创作者的洞察力、想像力和综合叙事能力。

多次在塑造一个人物时，祁媛均会评介一下相貌如何，万把字的《黄眼珠》居然用了三次“美女”、四次“漂亮”，这是画者的敏感性和惯性在文字中的流露。而即便是趁手的兵器、鲜新的路径，用得久了，也可能带来审美疲劳，使得叙事直白化或平滑化。

肖像、外貌、神色、举止，如此种种描写只是她小说的一部分，甚至未必是多么重要的一部分，但是，体现出她那原生的力量，叙事的径直有力和虚构上的某种可能。尽管，她的肖像描写在深度以及与其他叙述元素的结合上，还不是特别出色，对于命运之为命运，世界之为世界，既颇可为，又有一段路程可走。

终究，“肖像”这个词，还有着更深层的意蕴，大多要经由整体性多方位的创造，抵达立体的人、事、物，包括形象之鲜活、故事之丰赡和精神思想的纵深等等。肖像之中有肖像，肖像之外另有肖像，那是作者的看取，是被描述者的自我释放，也可视为一种个体的有限与存在之无限的相遇，以及相互辩证和深化。

十来篇作品展现了祁媛的天赋与潜质，令人满怀期待。不过，她更多是在以一种本真在创作，比较仰仗自身的经验，有些细节尚可推敲，有的结构不够扎实，有时叙述显得粗率，有的立意可再沉下去或荡开去……如若想走得足够远，有赖于全面深入的修为，因为不是所有的本真都能强力而恒久，它们也会变形、消解。继续葆有这些本真是好的，而潜心磨练，领受命运的刀斧与虹霓，接纳更邃远厚重之物的启示和拓展，并将这一切与自身的本真巧妙地融汇，则可能发现更真更强悍的自己，以及更辽阔的世界。

《微积分》课程 篇12

高职教育培养的是高素质的技术应用型人才, 而不是以“学术型”、“理论型”作为人才的培养目标。高职高等数学教育更不同于普通高校数学系学生的高等数学教育, 不应过多强调其逻辑的严密性、思维的严谨性, 而应将其作为专业课程的基础, 强调其应用性、学生思维的开放性、解决实际问题的自觉性。在各类高职高专院校中, 教学工作是中心工作, 教学改革是各项改革的核心, 而考核方式对教学活动及教学目标的实现有较强的导向作用, 直接影响学生的认知动机、学习方法、思维方式等, 从而考核方式的改革将影响着教学改革的深化。因此, 对高职学生应用数学的考核方式应该考虑体现“多元化”特点, 选择适合学生专业特点及有效的开放式考核方式来促进他们学习应用数学的积极性。

1.问题提出的背景

在目前的考试体制下, 高职学生的应用数学学习中的困难体现在:部分学生学习认知能力不高, 学习习惯不良, 学习方法缺失, 导致中学的很多基本概念和公式不记得, 运算能力欠缺, 计算速度较慢。而高职的数学课堂, 教学容量比中学课堂要多得多, 课堂上又没有足够时间进行反复的巩固练习, 虽然教师能在一定程度上激发学生的思维, 使学生在教师一步一步的指引下进行数学教学活动, 实现“教与学”的互动, 但是学生一旦没有教师的指导或课本例题做参考就无从下笔。因此部分学生逐渐失去学习数学的信心, 心理压力比较大, 甚至对高等数学存在一定的恐惧心理。

目前各高职高专院校的高等数学的考核方式大致分为两类:一类是限时的一份“闭卷考试”。这种规范化的试题考查学生对基本知识的掌握当然是必不可少的, 但这种以一次考试评定学生学习成绩的做法不能全面、客观地反映学生掌握知识的真实情况, 反倒容易导致部分学生平时不认真学习, 考前临时突击, 死记硬背老师的复习题, 或猜题押题。另一类是“平时表现成绩”和“限时闭卷考试成绩”按比例算出总分。这种方式实际上是因第一种方式考试成绩及格率不高而想出的补救方式, 目前在高职高专院校甚为流行。“平时表现成绩”虽能制约学生平时的学习表面态度, 又能帮助老师弥补学生考试成绩“红灯一片”的尴尬局面, 但是没有从本质上解决如何使学生自主学习的问题, 没有有效激发学生对数学学习的兴趣。因此考核方式的改革势在必行。

虽然高职院校部分学生对数学学习缺乏主动性、探究性, 不注重平时数学学习的过程, 但是数学成绩他们还是在乎的。因此他们在消极被动地应付考试的过程中, 采用反复练习的题海战术来提高考试成绩。有些学院结合“题库”, 使学生在复习迎考期间采用“背”的方式来解决问题。这与高等数学教育的培养目标相违背, 与数学学习的意义相违背。在这种情况下, 这些学生不可能主动去阅读更多的课外书籍, 也就不可能了解所学课程的历史和发展动态, 不可能具有较扎实的数学基础, 更谈不上培养创新能力、实践能力。为了更好地促进汽车专业学生的高等数学学习, 体现文化课为专业课服务的思想理念, 本着“必需, 够用”的原则, 我特意请教了汽车专业老师。汽车专业老师指出, 汽车专业学生对数学概念、数学运算及解题技巧要求不高, 重点是培养学生的数学思维方式。所以在数学课堂教学中, 教师可以结合专业特点, 重点培养学生的数学思想方法和实践能力。近几年, 高职院校普遍采用以考风促进学风建设来改善学生学习的风气, 这就促使我们思考以下问题:如何在学生的成绩考核方式环节降低解题运算的能力要求, 又能达到培养和训练学生数学思维能力目的。

2.用“教师的业务考核”来考核学生的学业水平的开放式考核方式

教学相长, 成语, 出自孔子, 《礼记·学记》:“是故学然后知不足, 教然后知困。知不足然后能自反也, 知困然后能自强也。故曰教学相长也。”意为教和学两方面互相影响和促进, 都得到提高。

[原文]

虽有佳肴, 弗食不知其旨也;虽有至道, 弗学不知其善也。是故学然后知不足, 教然后知困。知不足, 然后能自反也;知困, 然后自强也。故曰:教学相长也。

[译文]

虽然有美味的熟食, 但不吃就不知道它的味美;虽然有最好的道理, 但不学就不知道它的好处。因此, 学然后才知道自己的欠缺, 教然后知自己理解不透。知道了自己欠缺, 然后才能自己刻苦地钻研。所以说:教与学是互相促进的。

考试是检测学生学习情况的手段, 是教学很好的指挥棒, 考试方式的改变, 对学生学习的方式也有一定的导向作用。因此, 我们对高职高等数学的考核方式进行了初步的探索。具体做法是:将学生的总评成绩分成三部分, 一是平时成绩 (占20%) , 包括课堂笔记、平时作业、课堂表现及出勤等;二是限时闭卷考试成绩 (占30%) , 这部分以考核学生基本概念、基本知识掌握情况为主;三是开放式考核成绩 (占50%) , 主要考查学生的知识转化能力、创新能力及解决实际问题的能力。三部分的百分比可以根据各校的具体情况而定, 甚至可以考虑完全采用开放式考核成绩。开放式考核模式, 简单地说就是考试答案不唯一的考核模式。数学考卷的考试答案基本上都是唯一的, 限时的闭卷考试答案则肯定是唯一的。如何使我们的考核成绩不唯一, 又能充分调动学生学习高等数学的积极性和兴趣, 促进学生数学思维的培养, 使学生由知识的被动接受者成为主动参与者及积极探索者?根据“教学相长”原理, 可考虑让学生来做一些老师的工作, 如备课、出试卷、写专题报告等, 并以这种形式来考核学生的学业水平, 达到提升学生数学学业水平。另外, 有些老师能够很好地应用一些数学思维方法, 开展数学及数学应用研究, 但突然要参加一场限时的闭卷考试, 却不一定能取得很好的成绩。改革后的考核方式强调淡化记忆解题技巧, 注重数学思维方法、归纳整理数学知识能力、实际问题解决能力的考核, 注重学生学习积极性和主动性的发挥。

3.高职应用数学开放式考核的几种模式及意义

3.1“学生自主命题式”, 就是学生自己出试卷并自己做好答案交给老师。具体的实施方法为: (1) 教师指定试卷的题型结构; (2) 教师给出试卷每道题的知识点要求, 并在开学初就布置给学生, 让学生带着问题要求去上课、听课。学生自主命题的任务, 使学生从被动应考转变为主动积极设计试卷, 充分发挥学生个体能动性, 促使学生不得不认真学习, 主动复习、吃透知识点。学生为了出一份好试卷, 并能提供正确答案, 在出卷的过程中, 要查阅相关的资料, 精心挑选试题, 甚至模仿试题, 创新试题。这一考核方式, 不仅能减轻学生对考试的恐惧心理, 而且能有效激发学生学习的主动性, 培养学生的实践能力和创新能力。如果学生的自主命题试卷中, 涌现出一些新的题型和奇妙的解题方法, 这无疑是对教与学的一个难得的补充, 是教学相长、师生共同进步的很好方式。如:

课题%×××试卷

(一) 试卷结构

1. 选择题 (12题36分)

2. 计算题 (6题24分)

3. 解答题 (5题40分) 。

(二) 知识点 (给出30个左右的知识点)

3.2“撰写讲课稿式”, 就是学生根据教师设计的讲课模板进行讲课稿设计, 模版可以是一个或几个形式。如果时间允许, 就抽查几个学生上台试讲。纂写讲课稿的考核方式, 促使学生充当老师的角色。学生为了备好一堂课, 必须吃透教材和大纲, 查阅大量的课外资料, 学生不仅自己要深刻理解和掌握概念定理, 并能熟练运用相关知识点解决问题, 而且要思考如何使自己的试讲更能得到同学们的认可。在这样的活动中, 学生的学习会变被动为主动, 变消极为积极, 学生具有学习的主人翁意识, 而且在试讲中, 锻炼数学语言表达能力和分析概括能力。具体操作模版如下:

课题%×××

(一) 知识, 能力目标

(二) 概念讲解

(三) 概念理解注意事项

(四) 典型例题

(五) 解题方法 (步骤) 归纳

(六) 容易出错的地方

(七) 巩固练习

3.3“数学解题专题式”, 就是让学生根据要求归纳一类或多类题型的解题方法, 做到多题一解。解题专题式的任务促使学生通过查阅课外资料, 对某类题型进行深入研究, 分析整合知识点, 归纳出解题方法及注意事项。学生在深刻理解和掌握这类题型的基础上, 可以自主调整改编题目数据, 进行变式拓展, 构建一两道新题型。解题专题式的考核方式, 使学生体验到数学知识之间的内在联系, 获得一些研究问题的方法和经验, 有助于培养学生的收敛性思维, 使学生发现自己的数学才能, 获得成功的体验, 增强学习数学的信心。

具体解题专题模式。如:

课题%×××的求解方法

(一) 归纳求解×××的常用方法

(二) 举例 (要求题型可以是课本上的, 但是数据必须改编)

(三) 注意事项

3.4“编写应用问题式”, 就是学生依附教材, 编写数学应用题的考核方式。具体做法是学生先将书本上的应用问题进行分类整理, 然后把实际应用题进行数字的调整, 并通过解答来理解掌握解决此类问题的方法。最后学生在此类应用题的基础上, 结合自己的专业知识, 进行扩充改编, 构建一两道新的实际应用题, 同时在例题后配备相应的练习。编写应用问题的考核方式, 以实际问题为载体, 着重培养学生运用数学知识、方法来分析、解决专业学科或生活中的实际问题, 使学生充分感受到数学来源于生活又应用于生活, 加强学生理论联系实际的能力, 拓宽学生的知识面, 培养学生的创新能力和解决实际问题的能力。模式如:

课题%×××的求解方法

(一) 归纳求解×××的常用方法

(二) 举例 (要求题型可以是课本上的, 但是数据必须改编)

(三) 注意事项

(四) 构建相关的新题型

(五) 同步练习 (与例题对应的方法练习)

3.5“编写数学故事式”, 就是把数学概念, 以及数学概念之间的联系“拟人化”和“拟物化”, 从而达到考核学生对数学概念的理解程度以及数学与实际相结合的能力。数学中的概念、定理等大都以抽象的形式出现, 教材中极少介绍这些概念、定理的来龙去脉, 学生通过数学故事的编写, 追本溯源, 再现了相关数学知识产生、发展、完善的过程, 再现了相应知识的数学思想方法, 使学生更深刻地理解数学知识, 感受到数学的美感、价值及意义, 培养创新意识。正如波利亚所说:“数学发现是一种技巧, 发现的能力可以通过灵活的教学加以培养, 从而使学生学会发现的原则并付诸实践。”通过对数学家们生平事迹及他们对数学贡献的编写, 学生能不仅了解数学家们的情况, 而且能得到启迪:数学史上的一些重大发现、数学方法的提出等, 无一不是经历曲折艰难探索出的, 从而激励学生刻苦学习, 积极进取。数学故事的编写模板如下:

课题%×××概念的故事

(一) ×××概念 (或数学家) 背景介绍

(二) 通俗化理解概念

1. 怎么样把概念“拟人化”和“拟物化”

2. 理解概念的注意事项

(三) 概念相关的数学问题

4. 结语

考试的方式是学生学习的指挥棒, 提出以上几种考核方式意在引导学生去扩大阅读面, 促进学生对数学规律、数学问题的认识、理解和解决。同时也教会学生, 怎样借助图书资料及网络信息等手段, 来了解数学思想和方法形成的来龙去脉, 体会数学知识形成过程所蕴涵的丰富的推理方法、思维方法和思想方法。这正是学生学会数学思考、形成数学素养的过程, 也是数学的过程价值的育人启智价值所在, 将使学生终生受益。

摘要：目前高职院校如何用答案不唯一的方式来考核《微积分》课程?作者在“教学相长”思想的指导下, 探索让学生“学会教”来促进学生更好地学, 用“学会教”的方式来考核学生的学业水平的方法。

关键词：高职高专院校,《微积分》课程,开放式考核方式

参考文献

[1]吴晓义.职业教育教学目标制定模式研究[J].职教通讯, 2006, 04.

[2]王鲁欣.浅谈高职院校高等数学课程考核办法改革.科教文汇, 2010, 31.

[3]谭邵义.高职高专数学教学的问题及其改革.中小企业管理与科技, 2009, 11.

[4]张喜文.高职数学考核方法改革尝试.辽宁高职学报, 2011, 01.

[5]黄亚泥.论高职院校学生的评价和考核[J].职业技术教育, 2006, 19.