分部积分

分部积分（通用5篇）

分部积分 篇1

1. 分部积分公式

设u (x) 及v (x) 具有连续导数, 则有:

(uv) ′=u′v+uv′, 则uv′= (uv) ′-u′v

对上式两端求不定积分有:蘩uv′dx=uv-蘩u′vdx

(1) 式就是分部积分公式.

2. 举例说明分部积分公式的具体应用

2.1 幂函数与三角函数之积可用分部积分公式求解.

例1:求∫xsinxdx

解:原式=-∫xdcosx=-xcosx+∫cosxdx=sinx-xcosx+c

2.2 幂函数与指数函数之积可用分部积分公式求解.

例2:求∫x2exdx

解:原式=∫x2dex=x2ex-∫exdx2=x2ex-2∫xexdx=x2ex-2∫xdex=x2ex-2xex+2∫exdx=x2ex-2xex+2ex+c

2.3 幂函数与对数函数之积可用分部积分公式求解.

例3:求∫x2lnxdx

2.4 反函数可用分部积分公式求解.

例4:求∫arcsinxdx

2.5 指数函数与三角函数之积可用分部积分公式求解.

例5:求∫exsinxdx

解:∫exsinxdx=∫sinxdex=exsinx-∫exdsinx=exsinx-∫excosxdx=exsinx-∫cosxdex=exsinx-excosx+∫exdcosx=ex (sinx-cosx) -∫exsinxdx

移项解方程可得:

2.6 一些特殊的函数其他方法不好求解时, 也可用分部积分公式来尝试一下.

例6:求蘩sec3xdx

解:原式=∫secx·sec2xdx=∫secxdtanx=secxtanx-∫tanxdsecx=secxtanx-∫tan2xsecxdx=secxtanx-∫ (sec2x-1) secxdx=secxtanx+∫secxdx-∫sec3xdx=secxtanx+ln|secx+tanx|-∫sec3xdx

例7:求∫coslnxdx

解:原式=xcoslnx-∫xdcoslnx=xcoslnx+∫sinlnxdx=xcoslnx+xsinlnx-∫xdsinlnx=xcoslnx+xsinlnx-∫coslnxdx

移项解方程可得:

综上所述, 分部积分法确实能解决很多函数求不定积分的问题, 特别是有些题目无从下手之时, 不妨用分部积分法来试一试.

摘要：求不定积分是求导的逆过程, 很多函数的导数好求, 但反过来求不定积分往往并不容易, 求不定积分的方法很多, 分部积分法就是一种较好的方法, 很多函数的不定积分可用分部积分法来求.

关键词：分部积分法,不定积分,分部积分公式

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2001:139-145.

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

[3]南京大学数学系.数学分析习题全解[M].合肥:安徽人民出版社, 1999.

分部积分 篇2

关键词：凑微分；第一类换元法；分部积分法

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）48-0214-02

一、引言

一元函数积分学是高等数学中的重要内容，也是学习二重积分的基础。在积分计算中，凑微分方法既是重点，也是难点，特别是对于被积函数比较复杂的情况凑微分更是困难。对要求学生掌握的内容，教材常见的安排顺序是：一元函数的不定积分（不定积分的概念和性质、第一类换元积分法—也叫凑微分法、第二类换元积分法、分部积分法等）、一元函数的定积分（定积分的概念和性质、微积分基本公式、第一类换元积分法、第二类换元积分法、分部积分法等）；也有的教材（如：复旦大学出版社出版的《高等数学》）做如下不同的安排：定积分的概念和性质、微积分基本定理、不定积分的概念和性质、不定积分的第一类换元法及第二类换元法、定积分的计算，等等[1，2]。（一般来说，上述内容是要求学生掌握的[3]。）无论哪种安排顺序，学生往往感觉计算很繁杂，往往觉得第一类换元法和分部积分法是割裂的两种方法，缺乏一个明晰的思路统一贯穿下列问题：不定积分的换元和分部积分法、定积分的换元和分部积分法。为了使学生更好地掌握这些计算，提出以凑微分的思想为基础，统一第一类换元法和分部积分法：学生只要熟悉凑微分的关系式，就能较熟练地进行基本的积分计算。

二、第一类换元积分法“凑微分”关键探析

由于积分是微分的逆运算，没有固定的公式和模式可以简单套用，往往需要对积分式子进行适当的变形和换元才能够利用积分公式计算出来，所以，初学者在学习的过程中往往要多次尝试，颇费时间。第一换元积分法（也叫凑微分法）是一种重要的基本积分方法，它的关键步骤是“凑微分”。其公式如下（为简练计，略去公式的条件部分，下文同）：

这时后者一般不难计算。应用该公式有两个关键环节：第一个环节是第一步的凑微分，第二个环节是第三步的计算：学生往往在用了分部积分公式后不知如何继续。一般的规律是将u（x）的微分计算出来，这样可以简化积分的计算。至于第一个环节，也是遇到与第一类换元积分相类似的问题：在待计算的积分中，被积函数是一个整体，不会标志出哪个是u（x），哪个是v（x）.学生要掌握该公式，必须要能主动、比较熟练地将整个被积函数看成u（x）v'（x）的形式，也就是能看出将被积函数中哪个部分拿出来凑微分，这里所需要的技巧和凑微分法是一致的。如此讲授分部积分法，不仅可以减少学生需要掌握的技巧，而且较目前教材处理的方法更加简明。

四、结束语

不难看出，经过处理，凑微分的技巧可以统一应对第一类换元法和分部积分法的计算，能降低学生学习的难度。教学实践表明：学生认为课堂教学所讲授的方法较教材更加容易掌握，作业和测试也说明了这一点。因此，文中所提出的方法可资借鉴。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]黄立宏.高等数学[M].第三版.上海：复旦大学出版社，2008.

浅谈不定积分分部积分法的教学 篇3

一、让学生弄清分部积分法的原理

在教学中一定要让学生理解分部积分法的来源,强化记忆公式.所谓分部积分法就是运用分部积分公式∫udv=uv-∫vdu求不定积分的方法.分部积分公式是由求导数的积分法则推导而来的,设函数u=u(x)与函数v=v(x)有连续的导函数u′(x)和v′(x),由微分学知识可知[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x),若该等式两边取不定积分,则推出等式∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)-∫u′(x)v(x)dx,这就是分部积分公式,它可以简化写作∫udv=uv-∫vdu.分部积分公式的特点是:将左边的不定积分问题转换为右边的不定积分问题,它表明:如果计算积分∫udv比较困难,而积分∫vdu容易计算时,可利用分部积分公式将积分问题进行转换,这就是分部积分法的基本思想.

二、让学生掌握分部积分法的解题思路

很多初学者往往会有疑问,什么样的积分需要用到分部积分法求解,还有怎么使用公式去解题,这就要了解分部积分法的适用范围和解题思路了.一般地,分部积分法适用于求被积函数是两种不同类型函数乘积的形式的积分,如当被积函数是指数函数、对数函数、三角函数、幂函数(或多项式函数)、反三角函数这五种基本函数中任意两个函数的乘积时用分部积分法求解.有些被积函数不是两种不同类型函数乘积的形式,但通过变形后也可以用分部积分法来求积分.分部积分法的解题思路是先将被积函数里面两个不同类型的函数其中一个看成u(x),而另一个与dx的乘积看成dv(x),再利用分部积分公式∫udv=uv-∫vdu来求解.概括一下,假如用分部积分法求不定积分∫f(x)dx,则可归纳为两个步骤:第一步是凑微分——把被积表达式f(x)dx凑成udv,第二步是运用分部积分公式计算.其中第一步关键是如何在被积函数f(x)中恰当选取u(x)和dv(x),u(x)一旦选定了,剩下的函数就作为v′(x)和dx凑成dv(x).u(x)和dv(x)若选择得当,则计算顺利,反之,就会出现计算越来越复杂甚至积不出来的现象.

那么,选择u(x)和dv(x)究竟有没有规律可循呢?一般地,在u(x)和dv(x)的选择时要考虑两点:(1)v(x)要容易求出.(2)∫vdu要比∫udv容易计算.在实际应用中,总结出了选择u(x)和dv(x)的一般规律是:当被积函数是幂函数(或多项式函数)与指数函数或三角函数乘积时,设幂函数(或多项式函数)为u(x),指数函数或三角函数与dx的乘积为dv(x);当被积函数是幂函数(或多项式函数)与对数函数或反三角函数乘积时,设对数函数或反三角函数为u(x),幂函数(或多项式函数)与dx的乘积为dv(x);当被积函数是指数函数与三角函数乘积时,可设指数函数为u(x),也可设三角函数为u(x).这个规律可以用“反对幂指三,居前者为u(x)”帮助记忆.有些积分的被积函数比较复杂,在运用分部积分法时,如能把上述规律与常用的积分技巧与方法相结合,常常能起到事半功倍的效果.

三、让学生掌握使用分部积分法的常见题型

对使用分部积分法的常见题型进行总结和归纳,能够使学生比较容易地接受和掌握计算要领.下面将适用于分部积分法的积分进行一些归类:

(1)∫Pn(x)ekxdx,取u=Pn(x),dv=ekxdx.

(2)∫Pn(x)sin(ax+b)dx,取u=Pn(x),dv=sin(ax+b)dx.

(3)∫Pn(x)cos(ax+b)dx,取u=Pn(x),dv=cos(ax+b)dx.

(4)∫Pn(x)lnkxdx,取u=lnkx,dv=Pn(x)dx.

(5)∫Pn(x)arcsin(ax+b)dx,取u=arcsin(ax+b),dv=Pn(x)dx.

(6)∫Pn(x)arccos(ax+b)dx,取u=arccos(ax+b),dv=Pn(x)dx.

(7)∫Pn(x)arctan(ax+b)dx,取u=arctan(ax+b),dv=Pn(x)dx.

(8)∫ekxsinaxdx,∫ekxcosaxdx,u,v可任取.

上式中Pn(x)为n次多项式,k,a,b均为常数.另外如果被积函数中只有一个因子(例如lnx,arcsinx,arccosx等),而又不能用别的方法求出积分时,不妨用分部积分法,此时可设被积函数为u,dv=dx.

摘要：本文浅谈了分部积分法教学中应注意的三个关键地方,以期提高课堂教学质量,帮助学生熟练掌握这种积分方法.

分部积分推广公式的应用 篇4

分部积分是重要的积分方法之一,可以用来求两类不同的初等函数乘积的积分。可对于面对形如(其中a,b是不为零的常数,un(x)是x的多项式)的积分时按照传统方法必须连续的使用分部积分法公式

当n较大的时候虽然能算出结果,但是过程较为复杂,计算量大,式子较多容易出错。因此运用一种分部积分推广公式不仅思路清晰,而且不易出错,所以这是个不错的方法。

1 重要的结论

下面给出两个定理和一个推论

定理1:(分部积分推广公式)设函数u(x),v(x)在定义区间上有n+1阶的各阶导数,则

证明:当n=0时上式即为分部积分公式

当n≥1时由分部积分公式可得

依此类推可得

把上面的n+1个式子从下向上代人就可以得到分部积分法的推广公式

推论:如果u(x)是n次多项式,v(x)是指数函数时,则

证明:令eax=v(n+1)代人到分部积分的推广公式得

定理2:设函数u(x)是指数函数,v(x)是三角函数时,则

证明:

2 应用

例1求不定积分

解:令u=x2+2x+3,v(n+1)=sin2x

由分部积分推广公式得

例2求不定积分

解:令u=x3+x2+2x,v(n+1)=e2x

由分部积分推广公式的推论得

例3求不定积分

解:根据定理2得

3 结语

以上是笔者在多年的教学实践中总结出来的一点心得,如果两个有n+1阶各阶导数的初等函数中间有对数函数或者有反三角函数等等可以通过变量的代换然后再次用这个推广公式也是可以的这里就不再详细说明。

摘要：探讨了分部积分法的推广公式,并举例说明他的应用。

关键词：分部积分法,积分公式

参考文献

[1]陈光曙.大学文科数学.2版.同济大学出版社,2009.

小议分部积分法分类教学法 篇5

对于《高等数学》的初学者而言对该课程的基本概念、定理的理解以及相关公式的应用往往有一定的难度,所以在实际的教学过程就需要教师对教学内容进行梳理,这样让才能使学生对所学的内容有比较清晰的认识和了解。对于不定积分的分部积分法[1]这部分知识已有许多从事高等数学教学的教师[2]对其教学方法进行了研究,笔者结合自己的教学经验认为就被积函数采取分类形式的教学能够使学生能够比较容易的接受和掌握计算要领。我们都知道分部积分法的公式为:蘩f(x)dx=蘩udv=u·v-蘩vdu,其中要求蘩vdu更容易求解。学生在利用这个公式求解不定积分题目时往往不知道如何选择恰当的函数u和v,使得蘩vdu的计算比原不定分蘩f(x)dx的计算更简单。下面我们主要从如下四个方面就被积函数的类型展开讨论。

1 被积函数是幂函数与三角函数乘积

当被积函数是幂函数与三角函数的乘积时,三角函数优先。具体的讲是指当被积函数是幂函数与三角函数的乘积时,我们借助被积表达式中的微分运算,通过局部凑微分把三角形式的函数放到被积表达式中“d”的后面,从而确定出合适的函数u和v,然后再利用分部积分法公式进行求解。

例1.计算不定积分蘩x2cosxdx。分析:因为被积函数是x2cosx为幂函数与三角函数乘积的形式,我们只需要对函数cosx借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面,即把原不定积分转化为蘩x2d(sinx),然后再借助分部积分法公式进行求解。

解:蘩x2dcosxdx=蘩x2d(sinx)=x2sinx-蘩sinxdx2=x2sinx-2蘩xsinxdx=x2sinx-2蘩xd(-cosx)=x2sinx+2xcosx-2蘩cosxdx=x2sinx+2xcosx-2sinx+c

2 被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数乘积

当被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数的乘积时,幂函数优先。具体的讲是指当被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数的乘积时,我们借助被积表达式中的微分运算,通过局部凑微分把幂函数形式的函数放到被积表达式中“d”的后面,从而确定出合适的函数u和v,然后再利用分部积分法公式进行求解。

例2.计算不定积分蘩xarttanxdx[3]。分析:因为被积函数是xarttanx为幂函数与反三角函数乘积的形式,我们只需要对幂函数x借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面,即把原不定积分转化为蘩arttanxd(12x2),然后再借助分部积分法公式进行求解。

解:蘩xarttanxdx=蘩arttanxd(21x2)=21x2arttanx-21蘩x2d(arttanx)=12x2arttanx-12蘩1x+2x2dx=21x2arttanx-21x-21arttanx+c

(其中c为任意常数)

例3.计算不定积分蘩x2lnxdx。分析:因为被积函数是x2lnx为幂函数与对数函数乘积的形式,我们只需要对函数幂函数x2借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面,即把原不定积分转化为蘩lnxd(13x3),然后再借助分部积分法公式进行求解。

解:蘩x2lnxdx=蘩lnxd(31x3)=31x3lnx-31蘩x3d(lnx)=31x3lnx-31蘩x2dx=31x3lnx-91x3+c

3 被积函数是幂函数与指数函数乘积

当被积函数是幂函数与指数函数乘积时,指数函数优先。具体的讲是指当被积函数是幂函数与指数函数的乘积时,我们借助被积表达式中的微分运算,通过局部凑微分把指数函数形式的函数放到被积表达式中“d”的后面,从而确定出合适的函数u和v,然后再利用分部积分法公式进行求解。

例4.计算不定积分蘩x2exdx。分析:因为被积函数是x2ex为幂函数与指数函数乘积的形式,我们只需要对指数函数ex借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面,即把原不定积分转化为蘩x2d(ex),然后再借助分部积分法公式进行求解。

解:蘩x2exdx=蘩x2d(ex)=x2ex-蘩x2d(x2)=x2ex-2蘩exxdx=x2ex-2蘩xd(ex)=x2ex-2xex+2蘩exdx=x2ex-2xex+2ex+c(其中c为任意常数)。

4 被积函数是指数函数与三角函数乘积

当被积函数是指数函数与三角函数的乘积时,无论是先把指数形式的函数放到被积表达式中“d”的后面还是先把三角函数形式的函数放到“d”的后面无所谓,不过要使用两次分部积分法,并出现一次循环。

例5.计算不定积分蘩exsinxdx。分析:因为被积函数是exsinx为指数函数与三角函数乘积的形式,我们只需要对函数cosx借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面,即把原不定积分转化为蘩x2d(sinx),然后再借助分部积分法公式进行求解。

解:方法一:先把指数形式的函数放到被积表达式中“d”的后面。蘩exsinxdx=蘩sinxdex=exsinx-蘩exd(sinx)=exsinx-蘩excosxdx=exsinx-蘩cosxd(ex)=exsinx-excosx+蘩exd(cosx)=exsinx-excosx-蘩exsinxdx

故蘩exsinxdx=21ex(sinx-cosx)+c(其中c为任意常数)。

方法二:先把三角形式的函数放到被积表达式中“d”的后面。

蘩exsinxdx=蘩exd(-cosx)=-excosx+蘩cosxd(ex)=-excosx+蘩cosxexdx=-excosx+蘩exd(sinx)=-excosx+exsinx-蘩sinxd(ex)=-excosx+exsinx-蘩exsinxdx

故蘩exsinxdx=21ex(sinx-cosx)+c(其中c为任意常数)。

摘要：主要讨论了当被积函数为幂函数与三角函数的乘积、被积函数是幂函数与反三角函数乘积、被积函数是幂函数与对数函数、被积函数是幂函数与指数函数乘积、被积函数是指数函数与三角函数乘积时四种情况下,如何具体的应用分部积分法,使学生更好的接受分部积分法的思想。

关键词：分部积分法,函数分类,分类教学

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学(第六版上册)[M].北京:高等教育出版社,2007:208-212.

[2]袁秀萍.分部积分法的应用技巧[J].高等函授学报(自然科学版),2010.23(5):22-23.