积分方法（精选12篇）
积分方法 篇1
微积分学基本定理即牛顿—莱布尼兹公式的一个很重要的意义, 在于它表明了定积分与原函数之间的联系, 它给出了计算定积分统一的、简便的方法.但在计算积分时, 求原函数可能会遇到很大的困难, 还有另外一种“算不出来”的情况。例如, 函数、sinx2和1/lnx等等, 其形成并不复杂, 但是不论你用什么样的办法, 它们的不定积分也是“算不出来”的, 原因是其原函数不是初等函数, 根本就不能表示成有限形式。特别应强调, 所有这些函数的积分都真实地存在着, 它们是全然崭新的函数, 并且不能被化成我们叫做初等函数的那些函数, 通常我们称为超越函数。这种超越函数一般情况下不能直接利用牛顿—莱布尼兹公式来计算它们的定积分, 通常采用其它的方法 (如近似积分法和被积函数展开成无穷级数后进行积分等近似方法来计算) 。本文利用二元函数的微分学和积分学的理论和方法, 给出超越函数定积分的两种积分方法。
特别D是矩形区域[α, b, c, d], 则有
利用引理可以得到的主要结果是:
超越函数定积分的积分方法一:把超越函数定积分I看作是某个参变量y的函数, 记为I (y) , 利用微分运算可通过积分号的引理1, 先微分, 再积分, 最后确定I。
超越函数定积分的积分方法二:把超越函数定积分转化为二元函数的二重积分, 利用二重积分顺序可交换的引理2, 恰当选择积分顺序, 从而得到超越函数定积分的计算。
于是有I (y) =ln (1+y) +c, 令y=α, 于是有
I (α) =ln (1+α) +c=0, c=-ln (1+α) , 从而得到
利用超越函数定积分的积分方法二:
摘要：本文利用二元函数的微分学和积分学的理论和方法, 研究超越函数定积分的两种积分方法。
关键词：初等函数,超越函数,定积分,二重积分
参考文献
[1]复旦大学数学系主编.数学分析.上海:科技出版社.1964年
[2]徐利治, 王兴华编.数学分析的方法及例题选讲 (修订版) .北京:高等教育出版社.1984年
[3]陆子芬主编.高等数学解析大全.辽宁:科学技术出版社.1991年
积分方法 篇2
1.居住证满一年，可认定为在本市居住满一年;
2.有居住证，当前处于缴费状态，18个月以内社保累计缴费满12个月(截止时间为3月31日)。
3. 有居住证，并且满足以下条件之一的，视为居住满一年：
(1)203月31日前，已取得房产证的，可以在房产证所在区镇申请积分入学报名;
(2)年3月1日前，已购买一手住宅房并签订昆山市商品房购销合同且经市住建局网上备案的，可以现居住地参加积分入学报名;在7月15日之前取得房产证的，可以房产证所在地申请调整积分入学申报学校。
二、关于房产积分的认定及截止时间
2016年3月1日前，已购买一手住宅房并签订昆山市商品房购销合同且经市住建局网上备案的可以加10分;7月15日前取得房产证的，可以再加30分，共40分。
在3月31日之前尚未取得房产证的，如在7月15日之前取得房产证，可以纳入积分。5月15日到21日，7月10日到7月16日，各区镇积分入学办理窗口受理房产证的积分登记。
三、关于积分入学的时间调整
公布当年度准入学校可供学位数时间调整为6月底前;申请人查分阶段调整为7月18日至7月22日;公示各区镇和各准入公办学校申请人积分高低排名时间调整为7月25日前;公布各学段积分入学准入名单时间调整为8月10日;各区镇向符合积分入学的新市民子女发放相应学段积分入学准入卡时间调整为8月15日前。
定积分的常用计算方法 篇3
关键词：定积分不定积分计算方法
定积分是《高等数学》中积分学部分的一个重要组成部分，它是在学生掌握了不定积分的概念和计算后，为了解决一些实际问题而引出的一个新知识点。虽然现在大部分高职高专中用的教材以“必需、够用”为原则，对定理、公式的证明介绍的很少，要求学生会利用公式来计算即可，但随着高校入学门槛的降低，文科學生的数学知识非常薄弱，学生经常面临上课虽然能听得懂但拿到题目不知从何下手的困境。如何解决此难题？应注意的是通过实际问题引出的定积分定义虽然可以用来解决相关问题，但若要利用其定义来计算积分值是十分困难的，而在积分上限函数的基础上引出的牛顿—莱布尼茨公式，通过求解不定积分中原函数的过程，将不定积分与定积分联系起来，给出了非常简单的计算定积分的方法，最终简化并解决了定积分的计算。因此，我们在对应不定积分的计算方法的基础上，总结出相应的一些求解方法，帮助学生较快的理解和掌握定积分，为后面二重积分的计算奠定基础。
由牛顿—莱布尼茨公式公式∫baf（x）dx=F（x）|ba=F（b）-FF（a）可知，要计算定积分只要计算出被积函数的一个原函数，求出其在相应的区间上的增量即可。联系到不定积分的积分方法，将常用的求定积分的方法总结如下。
一、直接积分法
1.直接利用公式及性质计算
例1：求∫π120（2sinx-cosx）dx.
分析：直接套用三角函数公式及定积分的性质求出原函数再计算。
解：∫π120（2cosx-sinx）dx=2sinx+cosx|π120=1
例2：求∫π140tan2xdx
分析：被积函数是不定积分中见过的类型按相应的三角恒等变换先求出原函数再利用公式计算。
解：∫π140tan2xdx=∫π140（sec2x-1）dx=tanx-x|π140=1-π14
2）利用定积分的区间可加性计算
例3：设f（x）=1+x-1≤x<0
en0≤x≤2，求∫2-1f（x）dx
分析：这是一个分段函数，在不同的区间对应的函数表达式不同，利用区间可加性分区间考虑其计算。
解：∫2-1f（x）dx=∫0-1（1+x）dx+∫20exdx=x+112x2|0-1+ex|20=e2-112
例4：求∫π12π121-cos2xdx
分析：开方后被积函数其实是绝对值函数，利用绝对值定义去掉相应的符号后再利用区间可加性计算。
解：∫π12π121-cos2xdx=∫π12π122|sinx|dx=2∫0π12（-sinx）dx+2∫π120sin xdx=2cos x|0-π12-2cosx|π120=22
二、换元积分法
针对不定积分中的两类换元积分法，运用到定积分的计算时要注意的是如何正确选择两类方法。
第一类换元积分法直接可以应用到定积分的计算中，只要熟悉不定积分的凑微分，知道如何凑出中间变量的微分就可计算。
例5：求∫e1=dx1x1+lnx
分析：被积函数中有常用的凑微分公式，可先考虑使用凑微分法再计算。
解：∫e1=dx1x1+lnx=∫e1（1+lnx）112d（1+lnx）=2（1+lnx）112|e1=2（2-1）
注：能使用不定积分的第一类换元积分法解决的定积分不需要再使用变量代换去计算。比如上例用如下方法
∫e1=dx1x1+lnx=∫e1（1+lnx）112d（1+lnx）=∫21u-112du=2u112|21=2（2-1）
计算时不仅需进行变量代换u=1+lnx，同时还得将x的区间换成的区间[1，2]，增加了计算量。
由不定积分的计算可知，若被积函数中含有根式又不能用凑微分法计算时，可通过变量代换去根号后再计算。关键是正确地选择变量代换，同时要注意的是换元的同时一定要换上下限。由此得到的定积分换元积分公式为∫baf（x）dx=∫βαf[φ（t）]φt（t）dt
对应不定积分中的形式经常用到的有两种代换：三角代换、根式代换。
例6：求∫51=x-11xdx
分析：直接根式代换去根号。
解：令x-1=t，x=t2+1；dx=2tdt.当x=1时，t=0；当x=5时，t=2.
所以∫51=x-11xdx=∫202t21t2+1dt=2∫20t2+1-11t2+1dt=2∫20（1-11t2+1）dt=2（t-arctant）|20=2（2-arctan2）
例7：求∫101-x2dx.
分析：被积函数是自变量的平方形式，需三角代换才能去根号。
解：令x=sint，1-x2=cost，dx=costdt.当x=0时，t=0，当x=1时，t=π12.
∫101-xdx=∫π120cos2tdt=112∫π120（1+cos2t）dt=112（t+112sin 2t）|π120=π14
三、定积分的分部积分法∫baudv=uv|ba-∫bavdu
由不定积分的分部积分法可知此法主要用来解决被积函数是两个函数乘积的形式，应用此法的关键是选择合适的u，将函数凑成udv的形式，由不定积分的学习我们已知道选取的规律为：五种基本初等函数中，按“反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数和三角函数（简称反对幂指三）”这一顺序先后排列，谁在前设谁为u，将剩下的函数与凑成微分形式dv。所以由不定积分的分部积分公式推导出的定积分的分部积分公式类推即可。要注意的是若被积函数中只有一个函数时（如∫21lnxdx），其实就是∫baudv的形式可以直接套用公式进行计算。
例8：求∫10xe-xdx
分析：两个函数相乘的形式使用分部积分法计算。
解：∫10xe-x=-∫10xde-x=-xe-x|10+∫10e-xdx=-11e-e-x|10=1-21e
以上只是给出了定积分的一些基本求解方法，对一般的定积分，只要熟练不定积分的计算，了解不定积分的类型及函数后就可以掌握定积分的计算，只有多练习才能掌握，从而熟能生巧。
当然在学习中还有一些其他的方法可用来解决一些比较特殊的函数的定积分，如果所求的定积分满足区间是关于原点对称而函数具有奇偶性的时候可利用相应的性质化简计算如例4也可用如下方法计算：∫π12-π121-cos2xdx=∫π12-π122|sinx|dx=22∫π120sinxdx=22（-cosx）|π120=22。
参考文献：
[1]吴赣昌.微积分（经管类第三版）[M].中国人民大学出版社，2009.
[2]郑亚琴.定积分的几种解法归类[J].中国商界，2010.（9）.
[3]梁志南.定积分的计算方法[J].数学学习与研究，2008.（9）.
浅谈不定积分的积分方法及其求解 篇4
一、原函数与不定积分的概念
给定一个可导函数F (x) , 对其求导数可得到它的导函数F' (x) .它的反问题是:已知一个函数的导函数F' (x) , 要求出其最初的可导函数F (x) , 注意到导函数F' (x) 也是关于自变量x的函数, 我们给出如下定义:
定义1给定函数f (x) 定义在某区间I上, 如果对于任意x∈I都有F' (x) =f (x) 或d F (x) =f (x) dx, 则称F (x) 为f (x) 在区间I上的一个原函数.
例如, 因 (x2) '=2x, 所以x2是2x在 (-∞, ∞) 上的一个原函数;又因 (sinx) '=cosx, sinx是cosx在 (-∞, ∞) 上的一个原函数.
二、不定积分的积分方法
1. 第一类换元积分法 (凑微分法)
对于不能直接使用基本积分公式求解的积分, 若可以通过适当的变量代换将其化成基本公式中已有的形式, 求出积分后, 再回代原积分变量, 则可求得原来的积分, 这种方法称为第一类换元积分法, 也称“凑微分法”.一般地, 有以下定理:
定理1∫f (u) du=F (u) +C, 且u=φ (x) 是可导函数, 则有∫f[φ (x) ]φ' (x) dx=F[φ (x) ]+C.
证由复合函数的链导法
应用定理1求不定积分的步骤为:
从被积函数的特点出发, 由易到难进行剖析, 从而得到了不同解法.由此可见, 在求不定积分时, 要想灵活运用基本方法得到解法, 必须抓住被积函数的特点, 进行多角度、多方位地剖析, 采取一题多解, 经过多次这样的尝试与探索, 才能丰富解题经验, 产生解题意识, 从而提高求不定积分的解题能力.
2. 第二类换元积分法
第一类换元积分法虽然应用比较广泛, 但对于某些积分, 如等, 就不一定适用, 为此介绍第二类换元积分法.对不能用基本公式、性质和凑微分法求解的积分, 若能选择适当的变换x=φ (t) 将∫f (x) dx变为∫f[φ (t) ]φ' (t) dt, 而后者可用基本公式、性质及凑微分法求得, 求出结果, 这就是第二类换元积分法, 用定理表述如下:
定理2设x=φ (t) 是单调可导的函数, 且φ (t) ≠0, 如果∫f[φ (t) ]φ' (t) dt=F (t) +C, 则有∫f (x) dx=∫f[φ (t) ]φ' (t) dt=F (t) +C=F[φ-1 (t) ]+C.
在求不定积分时, 我们要根据被积函数去寻找它的一个原函数.
三、例题求解
(1) 第一类换元积分法的求解
(2) 第二类换元积分法的求解
解将被积函数有理化, 为此消去根式, 令
(3) 分部积分法的求解
例求∫xcosxdx.
解设u=x, dv=cosxdx=dsinx.
于是, du=dx, v=sinx,
分部积分法的应用范围较有限, 主要用于解决被积函数是两类不同类型函数乘积形式的积分.
结论
在电大经济数学中, 函数的概念与定义与初等数学相比发生了很多的变化, 从有限到无限, 从确定到不确定, 计算结果也可能不唯一, 但计算方法与计算技巧显得更加重要.这些都在不定积分的计算中体会得淋漓尽致.本文通过归纳不定积分的积分方法, 不但使其计算方法条理清楚, 而且有助于对不定积分概念的理解, 对学好积分具有一定的促进作用.
摘要：能够直接利用基本积分公式及积分的性质求解的积分是很有限的, 因此, 有必要寻求更有效的积分方法, 本文将介绍两种重要的积分法——换元积分法与分部积分法及其求解, 这将大大拓宽基本积分公式的应用范围.
关键词：不定积分,积分方法,求解
参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析 (上) (3版) [M].北京:高等教育出版社, 2001:217-219.
[2]刘玉琏, 傅沛仁.数学分析讲义 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 1992:120-122.
定积分证明题方法总结 篇5
若F(x)f(x)，则f(x)dxF(x)C， C为积分常数不可丢!
性质1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或
df(x)dxf(x) dx
性质2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C
性质3[f(x)g(x)]dx
或[f(x)g(x)]dx
二、基本积分公式或直接积分法
基本积分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx;kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx
kdxkxC
xxdx1x1C(为常数且1)1xdxlnxC ax
edxeCadxlnaC xx
cosxdxsinxCsinxdxcosxC
dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC
secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC
dxarctanxCarccotx
C()1x2arcsinxC(arccosxC)
直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等;三角变形主要是指三角恒等式。
三、换元积分法：
1.第一类换元法(凑微分法)
g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)
注 (1)常见凑微分：
u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).
111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|
c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2
(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况：
若被积函数为一个函数，比如：e2xdxe2x1dx， 若被积函数多于两个，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成两类;
(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x);
(4)若被积函数为三角函数偶次方，降次;奇次方，拆项;
2.第二类换元法
f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代换类型:
(1) 对被积函数直接去根号;
(2) 到代换x1; t
(3) 三角代换去根号
x
atantxasect、
xasint(orxacost)
f(xdx，t
f(xx，x
asect
f(xx，xasint
f(xx，xatant f(ax)dx，ta
x
f(xx，t
三、分部积分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.
注 (1)u的选取原则：按“ 反对幂三指” 的顺序，谁在前谁为u，后面的为v;
(2)uvdx要比uvdx容易计算;
(3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：
arcsinx1dx，
u
v
谈大学物理微积分思想和方法 篇6
一、速度和加速度
1.历史和定义。17世纪，工业和科技的发展向数学提出了许多问题，促使了微积分学科的诞生。这些问题被称为“四类问题”，其中第一类就是表征运动物体的瞬时速度。在变速直线运动中，路程上任一点的速度定义为该点附近所取的无限短路程与其对应的无限短时间的比例。若无限短路程用ds表示，对应的无限短时间用dt表示，则速度v=，其中微小量ds和dt被称为微分量，这种方法被称为微积分方法。这个概念分别由牛顿和莱布尼茨创立，它的第一个应用就是给出速度的概念。
2.微分量的物理意义。定义中无限短路程近似为无限小直线段，无限短时间内质点的运动近似为匀速直线运动。例如，直线运动（假设沿x轴），速度表示为v=。推广到具有普遍意义的三维空间，情况又怎样呢？依据运动的叠加原理不难想象，在直角坐标系中dt时间内物体的无限短路程ds（直线段）可以看成dt时间内沿x方向匀速移动dx距离、沿y方向匀速移动dy距离、沿z方向匀速移动dz距离的合效果，即ds是边长为dx、dy、dz的平行六面体的体对角线。我们用矢量来表示这个合效果，无线短路程ds对应的矢量用d表示，即（d=dx+dy+dz（dx、dy、dz是d三个正交分量的数值），dt时间内每一维均对应匀速直线运动，即速度的三个正交分量的数值分别为vx=，vy=，vz=.也可以写成矢量式.
3.加速度。加速度是为了描述速度的变化而引入的新概念，类比速度的概念，加速度被定义为速度对时间的变化率。比如直线运动，若无限短dt时间内速度增量为dv，则加速度a=，即dt时间内质点的运动近似为匀变速直线运动（加速度不变）。类比速度，很容易推导出直角坐标系下的加速度公式。在速度空间中dt时间内物体的微小速度增量dv（直线段）可以看成dt时间内沿x方向增量dvx、沿y方向增量dvy、沿z方向增量dvz的合效果，即dv是边长为dvx、dvy、dvz的平行六面体的体对角线。dt时间内每一维均对应匀变速直线运动，即加速度的三个正交分量的数值分别为：ax=，ay=，az=.也可以写成矢量式.
二、功
1.历史和定义。若给物体加上一个力，使得物体沿着力的方向上移动的时候，我们说力对物体做了功。如物体在力F的方向上移动的距离为S，这个力对物体所做的功就是W=FS，若力的方向与物体位移方向不一致的时候，力对物体所做的功等于力与移动距离在力的方向上的分量的乘积或者等于移动距离与力在移动距离上的分量的乘积，可以用数学矢量式表示上述定义，即W=·.上述结论适用于恒力作用下的直线运动，这也是较为简单的一种运动形式，但是物体运动形式往往要复杂得多。
2.微分量的物理意义。当力不再是恒力，面对的又是复杂的曲线运动时，必须将路程分成许许多多个无限短的路程ds（直线段），质点在每一个ds上所受的力可以视为恒力。因此，每一个ds上质点的运动近似为恒力作用下的直线运动。任一ds上，力F所做的无限小的功，又称元功可以表示为：dw=·d=（x+y+z）·（dx+dy+dz）=Fxdx+Fydy+Fzdz.该表达式与运动的叠加原理也是对应的。功是个过程量，整个曲线运动过程，变力所作的功等于所有元功之和：W=∫·d.
三、万有引力势场
1.历史和定义。万有引力=-G，其中M为施力物体的质量，m为受力物体的质量。万有引力还可以表示为=m，其中=-Gr。易见，无论m存在，总是存在的，它作用于每个可能放在该处的任一质量上。是空间位置的函数，我们称之为万有引力场，也可以说质量为M的物体产生了万有引力场。
2.微分量的物理意义。我们知道万有引力是保守力，而且保守力所作的功等于引力势能（U）增量的负值。例如，直线运动保守力所作的元功根据上述关系可以表示为：dW=Fdx=-dU.考虑元位移上力为恒力，即F=-，这就是由势能函数求力的思路。对于三维情况，不难给出：引入算符.
四、小结
从上文不难看出微积分思想和方法在大学物理上的应用特点，即将复杂的物理问题进行时间、空间范围上的无限次分割，在无限小的局部范围内近似为最基本、最简单、可研究的物理问题，比如直线运动与曲线运动、恒力做功与变力做功等，然后将各个局部结果累加起来，给出问题结果。这种分析和解决问题的思路对电磁学和热学部分同样适用。
（作者单位：安徽科技学院数理与信息工程学院）
谈谈曲面积分的计算方法 篇7
2将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法
这就必须把曲面分别投影到y Oz、z Ox、x Oy面上, 再分别按照前侧为正后侧为负、右侧为正左侧为负、上侧为正下侧为负的规则再次分解。这样一来就需要六个式子来计算一个第二型曲面积分, 运算量相当大且容易出错。
例:计算下列闭曲面上的曲面积分 (积分沿区域Ω之边界曲面的外侧) :
(2) 先将第二型曲面积分转化为第一型曲面积分:
再将第一型曲面积分转化为二重积分:
若在x Oy面:
y Oz, x Oz面上以此类推。
最后利用二重积分计算得出结果。
较第一种方法, 此方法更加灵活多变, 在计算中可以省很多力气。
在第一、四卦限 (x≥0, z≥0) 的部分, 积分沿S的上侧;解:S的单位正法向为
3 总结
利用向量形式计算第二型曲面积分直接将第二型曲面积分转化为一个二重积分计算, 避免了传统计算方法对曲面侧的判定, 其显著优点是物理意义明确, 计算过程简单, 适用于所有的第二型曲面积分的计算。但是, 计算时要不断地总结, 学会根据题型的变化来选择方法, 寻求更加简便的方法, 不能一味的追求某一种。
而且, 高等数学这门科学是博大精深的, 要不断的学习研究才能领悟得更多。就自身而言, 要抱着谦虚谨慎的态度, 努力钻研高数, 希望能够参透高等数学的一角。
摘要：这里介绍将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法, 第二型曲面积分属于向量函数的积分, 在流体力学和电磁学等领域有极为广泛的运用。所以, 正确选择计算第二型曲面积分的方法对解决问题有着很大的帮助。
关键词：曲面积分,二重积分,计算,转换
参考文献
[1]数学分析讲义.高等教育出版社上册, 第五版, 2008年
积分方法 篇8
不定积分是高等数学学习的重要内容, 也是微积分教学中的重要内容之一.熟练掌握不定积分的计算方法对学好积分的计算起着至关重要的作用, 同时不定积分的计算对思维的发展以及后续课程的学习也有重要作用.如何在教学过程中帮助学生消除思维障碍, 尽快掌握不定积分计算方法?已有许多文献对其进行过研究[如1-5].本文主要通过对常见的不定积分的计算问题进行研究、总结, 旨在创设有效的学习途径, 促使学生掌握基本的不定积分的计算方法与技巧, 对不定积分的计算形成总体上的把握和认识.熟练掌握几类常见不定积分计算问题的解法与技巧, 对一些难度较大的不定积分的求解问题, 也能够通过文中的解法与技巧顺利解决.
作为数学研究中的一个重要领域, 有关不定积分的解法与技巧还有待进一步完善.
2 不定积分的计算方法
2.1 定义法
设f (x) , x∈I, 若存在函数F (x) , 使得对任意x∈I均有F′ (x) =f (x) 或dF (x) =f (x) dx, 则称F (x) 为f (x) 的一个原函数.记为
注 (1) 若f (x) 连续, 则必可积; (2) 若F (x) , G (x) 均为f (x) 的原函数, 则F (x) =G (x) +C, 故不定积分的表达式不唯一.
计算方法根据不定积分的线性性质, 将被积函数分为两项, 分别积分.
计算方法拆 (添) 项法, 将一个有理分式的积分化为简单积分.
2.2 换元积分法
2.2.1 凑微分法
设f (u) 的原函数为F (u) , u=φ (x) 可导, 则有换元公式:
计算方法将dx凑为
计算方法由于
故可用如下解法:
2.2.2 去根号法
设x=φ (t) 单调、可导且导数不为零, f[φ (t) ]φ′ (t) 有原函数F (t) , 则
常见有两种换元方法:
计算方法计算这个积分的困难在于如何去掉根式, 我们可以利用三角公式来换元.
于是有
2.2.3 分部积分法
例6求下列不定积分:
解 (1) 引用公式
(2) 令u=ln x, dv=dx, 有
3 不定积分的求解技巧
3.1 递推法
运用分部积分法, 可建立In关于下标的递推公式.由此递推公式, 就把计算In归结为计算In-1, 依次类推, 最后归结为计算I1, I0.
所以
从而
3.2 待定系数法
在数学分析中对于处理有理函数和可化为有理函数的不定积分求积问题时, 主要通过待定系数法将有理函数化为部分分式之和的形式进行求积.
解由于
故可假设
这里A, B为待定系数, 比较两端sin x及cos x项的系数, 得
故A=2, B=1.则
3.3 对偶法
有些不定积分, 单独考虑时比较难积出结果, 倘若构造出另一个不定积分作为对偶, 两个积分同时考虑, 则可利用两积分相互之间的良好关联性质, 即可简单地求出不定积分.这种利用“对偶”求解不定积分的方法即所谓“对偶法”.
例9求:
解 (1) 本题可用待定系数求解, 这里介绍“对偶法”求解.令
构造对偶
于是
故得
(2) 本题可用有理函数积分法求解, 但计算繁琐.令
所以
参考文献
[1]相秀芬.几个不定积分计算问题的教学体会[J].承德石油高等专科学校学报, 2007, (2) .
[2]杜争光, 马小飞.换元积分法中常用的换元方法与技巧[J].甘肃高师学报, 2006, 22 (1) .
[3]刘必立.不定积分计算刍议[J].科学信息, 2012, (35) .
[4]刘光, 刘荣.不定积分教学方法探析[J].重庆工业高等专科学校学报, 2005, (01) .
浅谈定积分的常用计算方法 篇9
一、定积分几何意义法
定积分的几何意义是:连续函数f (x) 在区间[a, b]的定积分的值, 在几何上表示曲线y=f (x) 及直线x=a, x=b, x轴所围成的图形各个部分面积的代数和, 即在x轴上方的面积取正号, x轴下方的面积取负号.因此, 对于较复杂的被积函数且又很明显是一个容易求面积的常见图形, 可通过求图形的面积来计算定积分.
的值.
二、变换积分法
特别地，当f (x) 在[-a, a]为奇函数时，
总之，当f (x) +f (a+b-x) =h (x) 的不定积分易求时，即可应用变换求积分，使某些定积分的计算过程得以简化，利用该积分变换来求定积分的值是积分计算中一种较灵活、较实用的方法.
三、分部积分法
设函数u (x) ，v (x) 都在[a, b]上有连续的导数，则
例4计算定积分
综上，是对定积分计算方法的简单小结，求定积分的方法还有很多，但在高中阶段不必过于深究，大学时再去探究，熟练掌握定积分的求解方法，会大大提高定积分计算的解题能力.这不仅对后来的学习者有一定的指导作用，而且对自然科学、科学技术、经济领域及实际生活中存在着大量的利用定积分计算实际问题有一定的指导意义.
参考文献
[1]李志飞.定积分的简化计算[J].高等数学研究, 2008, 11 (6) :50.
定积分等式的证明方法探讨 篇10
( 1) 由两端被积函数的中间变量确定变量代换,所证定积分等式两端积分限相同,被积函数或所含抽象函数相同,但其变量不同
例1设f( x) 连续, 且常数a > 0, 证明:
( 2) 两积分区间不同,且有包含关系
例2设f( x) 是区间[- 1,1]上连续的偶函数,证明:
右端后三个积分限与右端第一个积分限比较易知,对它们分别作变量替换:
2. 分部积分法
当被积函数中含有f'( x) 或变限积分时,通常采用分部积分法.
例3若f( x) 是连续函数,则
3. 构造辅助函数
适用于在积分限中至少存在一点ξ或x0,使等式成立,基本思路是利用介值定理或中值定理,根据问题需要构造辅助函数.
例4设f( x) ,g( x) 在[a,b]上连续,证明至少存在一个ξ∈ ( a,b) ,使得
证明令F( x) = ∫af( t) dt∫xg( t) dt,由于f( x) ,g( x) 在[a,b]上连续,则F( x) 在 [a,b]上连续,在( a,b) 内可导,且F( a) = F( b) = 0. 由罗尔定理ξ∈ ( a,b) ,
积分方法 篇11
关键词：泊松方程；域积分；径向积分法
中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）06-001-01
域积分在边界元中占有非常重要的地位，处理区域积分的方法大体上分为三类：（1）直接对区域内部作单元剖分，在内部区域单元上采用数值积分求解；（2）利用Green公式把区域积分转换成边界型积分；（3）采用数值近似法把区域积分转换成边界型积分.常用的方法是：高效伟教授提出的径向积分法（RIM）[1]、Brebbia等人提出的DRM法（Dual Reciprocity Method）[2]和MRM法（Multiple Reciprocity Method）[3].径向积分法将源项引起的域积分转化为边界积是一个解析的过程。如果源项是已知函数，则域积分到边界积分的转换是精确转换，不需要任何内部点，从而充分发挥了边界元法的优势，得到了快速发展[4].本文算例采用径向积分法.
一、泊松方程的域积分的转化
三、数值算例
边长为L L（L=6）的正方形区域内的位势问题，源项b为已知函数 .边界条件为上下边界通量q=0，左右边界位势分别为 和 .解析解为
左右边界通量的解析解分别应为 和 .采用线性边界单元对该问题进行分析，将分析结果与解析解比较，验证准确性.
泊松方程中出现的域积分采用径向积分法把其作为一种解析过程转换为边界积分.数值算例表明，本文计算结果非常有效，成功保留了边界元的优点。
参考文献：
[1] Gao X W. Evaluation of regular and singular domain integrals with boundary-only discret-
ization-theory and Fortran code. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2005，175（2）：265—290.
[2] Nardini D， Brebbia C A. A new approach for free vibration analysis using boundary elements//Brebbia CA. Boundary Element Methods in Engineering. Berlin： Springer， 1982.
[3] Nowak A J， Brebbia C A. The multiplier reciprocity method. A new approach for transforming BEM.domain intrgrals to the boundary[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements，1989，6：164—168.
积分不等式的证明方法 篇12
积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用.但是,笔者在教授高等数学这门课程的过程中发现大部分学生碰到积分不等式的证明问题时往往会束手无策.主要困难如下:被积函数不能用初等函数表示,从而无法应用Newton-Leibniz公式求出定积分的值;被积函数的具体表达式未知,只给出了它的某些性质.鉴于此,本文将专门讨论积分不等式的证明问题,主要介绍了五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.
二、构造积分上限的函数
由柯西中值定理知
因为f(t)单调减少,且f(1)>0,
三、利用定积分的比较性质证明积分不等式
思路分析观察左边、右边的两个积分,被积函数相同,但积分区间不同.于是,用定积分对积分区间的可加性构造需要的积分区间.
因为f(x)在区间[0,1]上单调不增,所以
四、利用积分中值定理证明积分不等式
思路分析利用积分中值定理将积分不等式转化为不含积分的不等式,再进行证明.
五、利用Schwarz不等式证明积分不等式
思路分析应用Schwarz不等式,要注意恰当地选取函数f(x)和g(x).
证:由Schwarz不等式
六、利用平均值不等式证明积分不等式
例7设正值函数f(x)在区间[0,1]上连续,试证:
思路分析将定积分表示成积分和的极限,再应用平均值不等式.
本文通过实例说明了证明积分不等式时可以尝试的五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.希望对读者有所帮助.
摘要：如何证明积分不等式是学习高等数学这门课程的一个难点问题.本文专门讨论积分不等式证明的五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.
关键词：积分不等式,积分上限的函数,积分中值,Schwarz不等式,平均值不等式
参考文献
[1]裴礼文.数学分析中的典型问题和方法[M].北京:高等教育出版社,1993:249-278.
[2]卢兴江,金蒙伟.高等数学竞赛教程[M].杭州:浙江大学出版社,2009:58-74.
[3]毛京中.高等数学竞赛与提高[M].北京:北京理工大学出版社,2004:80-127.