微积分发展史

微积分发展史（共8篇）

微积分发展史 篇1

微积分发展史

一、微积分学的创立

微积分作为一门学科，是在十七世纪产生的。它的主要内容包括两部分：微分学和积分学。然而早在古代微分和积分的思想就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积等问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有了比较清楚的论述。如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这些都是朴素的极限概念。

到了十七世纪，人们因面临着有许多科学问题需要解决，如研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；求曲线的切线的问题等，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

十七世纪的许多著名的数学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当。这两位数学家在微积分学领域中的卓越贡献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法,认识到求积问题与切线问题互逆的特征，并揭示出微分学与积分学之间的本质联系。两人各自建立了微积分学基本定理，并给出微积分的概念、法则、公式及其符号。有了这些理论知识作为前提为以后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。可以说微积分学的诞生是数学发展的一个里程碑式的事件。

二、微积分诞生的重要意义

微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。微积分学是继解析几何产生后的又一个伟大的数学创造。微积分为创立许多新的学科提供了源泉。微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，是人类理性思维的结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。微积分的产生不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了。微积分学强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。这一切都表明微积分学的产生是人类认识史上的一次空前的飞跃。

三、微积分理论的基本介绍

微积分学是微分学和积分学的总称。微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程，而把上下限代入不定积分即得到积分值，微分则是导数值与自变量增量的乘积。作为一种数学的思想微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求和”。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量ε。就是说，除的数不是零，所以有意义，同时ε可以取任意小，只要满足在δ区间，都小于ε，我们就说他的极限就是这个数。虽然这个概念给出的比较取巧，但是，它的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。因此这个概念是成功的。

五、微积分的不断发展完善

随着社会的进步，科学的发展，微积分学也在不断的发展与完善。微积分学是与科学应用紧密联系着发展起来的。最初，牛顿应用微积分学及微分方程对天文观测数据进行了分析运算，得到了万有引力定律，并进一步导出了开普勒行星运动三定律。微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中有着越来越广泛的应用。

微积分发展史 篇2

德州市天衢东路小学《教师成长积分制管理办法》正是在这一宏大背景下应运而生。它以《中小学教师职业道德规范》为依据, 让“积分制”成为师德建设的有效载体, 把评师德变为实实在在地做师德, 使教师的教育教学行为得到进一步规范。五年的实践证明, “教师成长积分制管理办法”符合我校现状, 有助办学实践, 展现了其独特魅力, 体现了其重要价值, 真正达到了激发人、凝聚人、发展人、成就人的目的, 实现了教师道德、专业能力与教学业绩的同步发展, 学校办学水平不断跨上新台阶, 得到上级部门的认可, 赢得了一定的社会声誉。

一、积分制的产生的背景

2010 年10 月, 我校开始进行教师成长积分制的研究, 其目的, 一是为了解决当时教师颇为严重的职业倦怠问题, 二是想为教师的成长搭建公平公正的发展平台。

1.拉红线, 卡底线———规范教师行为维护教育秩序需要积分制

随着基础教育改革的纵深发展, 上级教育主管部门拉起了“体罚”“有偿家教”等师德“红线”, 敢于触碰者越来越少。但“教师职业倦怠”, 作为一个较为普遍的制约学校与教育发展的突出问题, 仍然没有得到很好解决。有统计显示, 小学教师大部分在从教十年到十五年之间, 即进入职业倦怠期。业务相对成熟, 使这些教师缺少了内在进取的需求;评聘更高职称希望渺茫, 让他们没有了现实利益的驱动。“做一天和尚撞一天钟”, 甚至玩忽职守, 绩效低下、小病大养的现象会在学校出现。如果不加干预, 会影响学校正常的教育教学秩序, 不但不利于学校发展, 离社会对教育、对教师的期待也相去甚远。

没有规矩, 不成方圆。人有固有的弱点, 仅靠自律靠觉悟难以克服, 靠学习和教育也无法彻底改变。任何个人行为, 一旦脱离制度的约束, 便没有真正的进步可言。《教师成长积分制管理办法》在一定意义上说, 就是要为教师的职业行为设置一道“底线”。我们面向全体教师, 把“丑话”说在前头, 不管你是哪一级教学能手, 也不管你曾获得多高的荣誉, 对当下的工作来讲, 都属于“过去式”。每学年, 每位教师都站在同一起点, 每项工作都有明确的积分, 多劳多得, 优劳多得, 不劳不得, 学年末积分达不到60 分, 视为年度考评不达标, 直接记入本人档案, 依照上级主管部门的相关规定执行。可以说, 我校的积分制在实施之初, 具有强烈的限制性和制约性, 目的是让教师消除懒散自满情绪, 把“职业倦怠”产生的不良影响降到最低。

2.定尺子, 举旗子———搭建成长舞台营造进取态势需要积分制

近年来, 教师队伍素质的提升越来越受到社会各界的重视。以我们学校为例, 从2010 年至2015 年, 有53 名高素质的青年教师融入。至此, 我校156 名教职工中35 岁以下教师达到79 人, 其中绝大部分为985、211 或重点师范院校的研究生和本科生, 研究生学历的有18 人。对这些青年教师而言, 入职不是终点, 他们有人生的理想、创业的激情, 可当面对环境变化以及角色转换等问题时, 会表现出种种的不适应、不自信, 对前进方向与目标感到模糊;不知道应该如何定位自己当下的工作、定位自己的职业生涯;更有甚者, 受一些过往习气和不良社会风气的影响, 想走发展捷径。

对于类似于这样那样的错误定位和认识, 责任当然不能只归咎于青年教师本人。但无论哪种不良苗头一旦弥漫, 其最后的结果, 都是导致青年教师丢掉进取心, 丧失正能量, 最终人浮于事, 人心涣散。学校是育人的地方, 培育花朵也要培育教师, 要学生成才, 也要教师成才。我们必须要有“一把尺子”, 对每位教师进行公平公正的评价。这把尺子, 就是“教师成长积分制”。积分的项目明确, 过程透明, 评优的程序不变。在这里, 每位教师都可将自己的教育教学行为与积分细则进行对照, 查漏补缺, 矫正过失。在这里, 每个人都坚信, 只需要认真工作, 不必讨好领导, 不必看人脸色, 也不必理会闲言碎语, 有付出就一定会有收获。《教师成长积分制》是一把尺子, 更是一面旗子, “我的发展我做主”, 教师的发展让教师自己说了算。有了明确的奋斗目标和方向, 教师茫然无措的少了, 走弯路的少了。我们的老师不琢磨人, 只琢磨事, 人与人的关系反而更加和谐融洽, 教师工作更努力更顺心, 发展也更快。

二、积分制的制定原则和实施效果

《教师成长积分制管理办法》的制定, 意味着我校走上了依法治校的轨道, 由于积分制制定原则科学合理, 实施过程中取得了比较好的效果。

1.重行动, 倡实干———用积分制锤炼职业道德增强奉献精神

我校的《教师成长积分制管理办法》分八大模块:从教态度;教学工作;教研工作;科研工作;教师发展;荣誉称号;义工;X项。我校教师成长积分制管理对教师评价的立足点是一个“做”字。“做”就是做好工作, 就是尽到义务。我们认为, 师德是“做”出来的。如, 学生看得见的上课、批改、学困生辅导……这些工作“做”得好, 在学生心目中, 他就是一位好老师, 他的形象就是师德高尚;又如, 学生看不见的备课、教研、培训、支教, 这些工作“做”得好, 哪一项也都是在向成为一个好老师努力, 哪一项都是良好师德的体现。所以, 我们在对教师进行成长积分制管理时, 尽量让加分内容科学全面, 涵盖教师专业成长以及教育教学工作的细枝末节。每位教师都明白, 兢兢业业俯首拉车的“老实人”不吃亏, 只说不干想占便宜的“聪明人”没市场, 只有脚踏实地, 以“行动”肩负责任, 才能一步步向更高的目标靠近。他们把“积分”看作是一面镜子, 照别人也照自己, 在“实干”中, 找到了差距, 找到了方向, 也感受到了幸福, 集聚了推动学校发展的正能量。

2.控短板, 拉长板———用积分制挖掘教师潜能鼓励各展其长

“役其所长, 则事无废功;避其所短, 则世无弃材”, 管理的本质和本职是尊重差异, 按需发展。对学校管理者来说, “死管”和“管死”只会让发展之路越走越窄, 科学的管理一定是严密的制度与人文的关照相辅相成。在“教师成长积分制管理”的过程中, 一方面, 依靠必须怎么“做”的约束, 控制教师出现师德的“短板”, 另一方面, 我们以提倡如何“做”的引导, 赋予每位教师挖掘自身潜能的自信, 对他们师能的“长板”无限期待。《积分制管理办法》中所涉及的加分项目只是个基础, 我们鼓励教师无论男女老少、大科小科、班主任或者非班主任, 均充分发挥个人优势, 各尽其能, 各展其长, 努力寻找到自己的加分点, 实现“舞台无限制”。对成长积分来说, 只有想不到, 没有“做”不到。积分制“管”与“放”的齐头并进, 让学校的管理职能逐步从“指令性”向“指导性”过渡。海阔凭鱼跃, 天高任鸟飞。在积分制这个平台上, 教师想游多远就让他游多远, 想飞多高就让他飞多高。

一名教师这样描述积分制给她带来的变化:以前我是一个十足的“懒人”, 需要主动报名的活动一般不参加。实施教师积分制后, 我少了懈怠之心, 多了敢为人先、敢于担当的勇气。我努力把握每一次机遇, 积极地参加学校活动, 自主申报了讲座、开办了社团, 我惊喜地发现自己原来如此多才多艺……我逐渐享受到工作的成功, 逐渐发现一个新的自我, 并实现了“我一直在进步”“我比上学期做得好”“我在和孩子一同成长”的目标。

3.保公平, 讲公正———用积分制凝聚团队合力形成共同愿景

以实干为基础制定积分制, 彰显了公平的原则, 但大部分时候, 都是青年教师因为参加活动多而居上风, 中老年教师有时则处于相对的弱势境地。参加各级各类竞赛和观摩当然有利于教师专业成长和学校的发展, 但如果因为中老年教师缺少参与的机会, 就忽视了他们经验丰富、驾轻就熟的优势所在, 忽视了他们中流砥柱的作用, 也不利于学校工作的整体推进。如何给每个层面的教师都寻找到积分增长点, 激励他们走向自我更新的旅程?“捆绑式评价”是一重要举措。

一是老、青教师的协作。《教师成长积分制管理办法》中规定, 师傅要凭借经验优势做好“传帮带”作用;而徒弟在各级各类比赛中取得名次加分, 师傅会获得徒弟分值的一半。这样“青蓝”双方便捆绑成了一个利益共同体, 既有利于青年教师的尽快成长, 又有益于中老年教师积极性的发挥。老少双方在共同研讨学习的过程中, 增进了友谊, 加深了了解, 起到教学相长、共同进步的作用。

二是个人与教研组成员的协作。《教师成长积分制管理办法》中的“教研组评价一体化”营造了教研组成员彼此间密切关联、坦诚互动的研讨氛围, 催生了积极向上、和谐共生的学校文化。举例来说, 学校每学期都举行讲课比赛, 各教研组都要通过组内赛课, 在十个平行班中推选一位教师代表本组参加校级比赛。如何避免一人参赛, 另外九人作壁上观?毕竟“一花独放不是春”, 学校任何活动开展的目的都在于促进教师队伍整体师德与师能的提高。《教师成长积分制管理办法》规定, 凡参加学校讲课, 要评奖, 个人一等奖积3 分, 二等奖积2 分, 三等奖积1 分, 所在教研组成员, 按50%积分。参赛教师奖次越高, 所在教研组教师加分越高。为加强协作力度, 我们又进一步做了两项修改: (1) 组员加分比例按等次分别提高到70%、60%、50%; (2) 因为更多教师的展示机会在学校平台, 所以校内活动积分与区级比赛积分相同。这样就保证了全体教师在研课的过程中, 都一丝不苟、知无不言、精益求精。现在, 谁也不再认为推选某人参赛是某人自己的事情, 而是把它当成了自己的责任, 当成了整个年级组的责任, 因为这关乎集体的成绩和荣誉。赛课活动从一开始到圆满结束都洋溢着积极进取、百家争鸣的良好氛围。

在捆绑式积分中, 每位教师既承担责任又主动学习, 大家开放心态有机交互, 变踌躇观望为齐心协力, 变单兵作战为合作共赢, 团队凝聚力与共同愿景明显增强。从目前每学年的积分情况看, “捆绑式评价”使我校《教师成长积分制管理办法》兼顾了公平和公正的原则, 老、中、青教师积分排行榜前50 名比例均衡, 保障了各年龄阶段教师的工作热情。

三、实施积分制管理的思考与展望

实施“教师成长积分制管理”六年来, 很多老师在积分制管理中成熟成长, 脱颖而出, 成为人人羡慕的佼佼者。他们体会到学校积分制管理对自身发展带来的好处, 科任教师试着将其运用于所教学科的教学, 班主任则试着将其运用于班级管理, 都取得了较好的效果。有些教师还将其申报为小课题, 以便进行深入细致的研究。有几名青年教师由于做法接地气, 成效显著且易于操作, 经常被周边县市区邀请做经验介绍和现场指导。这让我们有了一点思考:

1.教师成长积分制管理, 是法制更是民主

如果说, 积分制实施起初的目的是“拿起鞭子”, 那么现在我们意识到, 其实它起到的更重要的作用是“举起旗子”。它让教师从没有成长的需求走向有需求的成长, 从弱需求转化为强需求, 它唤醒了教师的激情并转化为行动的力量, 引领教师过上有意义的职业生活。所以, 积分制的制定要充分依靠教师依靠教代会, 制度形成的本身就是对教师深刻而卓有成效的师德培训, 不可把积分制与教师对立, 单单当成管人的工具。

2.积分制办法永远是个动态的过程, 有起点没有终点

从2010 年10 月份制定 《天衢东路小学教师成长积分制管理办法》第一稿开始, 至今已六易其稿, 以前没有, 以后也不会有一蹴而就、一成不变的《积分制管理办法范本》, 具体积分操作项目会根据学校情况不同、时段不同, 而千差万别, 但主旨一定酷似, 积分制更重要体现的是一种实实在在以人为本的管理理念。

3.实施教师成长积分制管理, 关键在于“评”“用”一致

利用《成长积分制管理办法》进行教师评价的初衷, 在于激发教师的内生力, 而要做到这一点, 就必须“评”“用”一致, 让教师在阳光下同台竞技, 实行利益挂钩公开透明, 让“教师成长积分榜”, 成为职称兑现、评优树先的重要衡量依据, 确保让优秀者得利益, 不合格者受惩罚。倘若“评”“用”两张皮, 必导致学校积分制管理失去诚信, 有百害无一利。

简述微积分发展史 篇3

[关键词]微积分 微分 积分

一、微积分学的创立

微积分作为一门学科，是在十七世纪产生的。它的主要内容包括两部分：微分学和积分学。然而早在古代微分和积分的思想就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲體的体积等问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有了比较清楚的论述。如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这些都是朴素的极限概念。

到了十七世纪，人们因面临着有许多科学问题需要解决，如研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；求曲线的切线的问题等，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

十七世纪的许多著名的数学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。 在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当。 这两位数学家在微积分学领域中的卓越贡献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法,认识到求积问题与切线问题互逆的特征，并揭示出微分学与积分学之间的本质联系。两人各自建立了微积分学基本定理，并给出微积分的概念、法则、公式及其符号。有了这些理论知识作为前提为以后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。可以说微积分学的诞生是数学发展的一个里程碑式的事件。

二、微积分诞生的重要意义

微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。微积分学是继解析几何产生后的又一个伟大的数学创造。微积分为创立许多新的学科提供了源泉。微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，是人类理性思维的结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。微积分的产生不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了。微积分学强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。这一切都表明微积分学的产生是人类认识史上的一次空前的飞跃。

三、微积分理论的基本介绍

微积分学是微分学和积分学的总称。微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程，而把上下限代入不定积分即得到积分值，微分则是导数值与自变量增量的乘积。作为一种数学的思想微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求和”。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量ε。 就是说，除的数不是零，所以有意义，同时ε可以取任意小，只要满足在δ区间，都小于ε，我们就说他的极限就是这个数。虽然这个概念给出的比较取巧，但是，它的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。因此这个概念是成功的。

四、微积分的基本内容

五、小结

随着社会的进步，科学的发展，微积分学也在不断的发展与完善。微积分学是与科学应用紧密联系着发展起来的。 最初，牛顿应用微积分学及微分方程对天文观测数据进行了分析运算，得到了万有引力定律，并进一步导出了开普勒行星运动三定律。 微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中有着越来越广泛的应用。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社,2008.

微积分复习教案 篇4

一 基本初等函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性和图象，其中函数图像是重中之重，由函数图像可以轻易的得到函数的其它要素（P17-20）二 求极限的各种方法

⑴当f(x)为连续函数时,x0Df,则有limf(x)f(x0)

xx0例1 计算极限limxarcsinx

x22 ⑵设m,n为非负整数,a00,b00则

0,当nma0xma1xm1am1xama0lim,当nm xbxnbxn1b01n1xanb0,当nm 例2 计算极限：⑴ lim973x1 ⑵ 3x22x3

limx2x44x116x⑶用两个重要极限求

①limsinx1（limsinx0，limsinf(x)1）

x0xf(x)0xxf(x)x2 结论：当x0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx，1cosx~。②lim(11)xe（lim(1x)xe，lim(11)f(x)e）

x0xf(x)xf(x)实质：外大内小，内外互倒

例4 计算极限：⑴ lim(12x)⑵ lim(1sinx)

x0x013x1x1 ⑷未定式的极限（000，，0，0，）0 ①罗必达法则

例5 计算极限：

x0limsinxlnx lim(sinx)x lim(x0x011)sinxx②设法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同时有理化等方法）例6 计算极限：⑴ lim1x1 ⑵ lim3x2

x0x1xx1 ③用等价无穷小量代换（切记：被代换的部分和其他部分必须是相乘关系！）例7 计算极限limsinxtanx

x0x2(1cosx)⑸无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。

例8 计算极限：⑴ limx2sin1 ⑵ limxcosx

x0x1x2x三 连续和间断 1.连续的定义

2.间断点的定义和分类

四 闭区间上连续函数的性质（这里有一些证明题值得注意）。

第二讲 微分学

一 导数概念

导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)

x0xx0xxx0左导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)x0xx0xxx0右导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)x0xx0xxx0 实质：差商的极限。

例1 计算极限：⑴ limh0f(x0h)f(x0)f(x0)f(x0x)⑵ lim

x0hx二 各种求导法

⑴导数公式表（P94）和四则运算法则（P85）

例2设f(x)4x3xx45logaxsin2，求f(x)；

例3设f(x)1sinxarctanxcscx，求f(x)，f()；

4x ⑵复合函数的求导（P90）

例4 求下列函数的导数

①f(x)arctane2x ②f(x)etanx ⑶隐函数求导（方法：把y当作x的函数，两边对x求导）

例5 求下列隐函数的导数

①xyey0 ②2y3x5lny ⑷对数求导法（多用于幂指函数和由多因子相乘构成的函数的求导）

例6 求下列函数的导数

① yxsinxx ②y2x1(x1)(32x)⑸由参数方程确定的函数的求导

x(t)重点：由参数方程确定的函数yf(x)的导数为dy(t)；

dx(t)y(t)xln(1t)例7 设，求dy；

dxytarctant三 高阶导数

例8 设y2arctanx，求y； 例9 设yexxn，求y(n)； 四 微分

重点：函数yf(x)的微分是dyf(x)dx

例10 设y3x2e2x，求dy； 例11设y2xey，求dy； 五 单调性和极值

重点：⑴由f(x)的符号可以判断出f(x)的单调性；

⑵求f(x)的极值方法：①求出f(x)，令其为零，得到驻点及不可导点，姑且统称为可疑点；②判断在可疑点两侧附近f(x)的符号，若左正右负，则取得极大值；若左负右正，则取得极小值；若同号，则不取得极值。

例12 求函数yxln(x1)的单调区间和极值点。

例13 证明：当0x六 最值问题

求函数f(x)在区间[a,b]上的最值之步骤：①求出f(x)，令其为零，得到可疑点（驻点和不可导点），并求出函数在这些点处的取值；②求出函数在区间端点取值f(a)，f(b)；

③比较函数在可疑点和区间端点上的取值，最大者即为最大值，最小者即为最小值。

例14 求下列函数在指定区间上的最值。

⑴f(x)x42x25，[2,3] ⑵yx1，[0,4]

x1七 凹凸性和拐点

重点：

⑴凹凸性概念：设f(x)在区间(a,b)内连续，若对x1,x2(a,b)（x1x2），有

2时，恒有xsinx。

f(x1x2f(x1)f(x2)xx2f(x1)f(x2)))（f(1）

2222则称f(x)在(a,b)内是凹函数（凸函数）。（用此定义可以证明一些不等式，见下例）。⑵由f(x)的符号可以判断出f(x)的凹凸性。f(x)为正号则f(x)是凹函数，f(x)为负号则f(x)是凸函数。

⑵判断f(x)的拐点之方法：①求出f(x)，令其为零，得到f(x)等于0的点和f(x)不存在的点；②判断在这些点两侧附近f(x)的符号，若为异号，则该点是拐点；若同号，则该点不是拐点。

例15 求下列函数的凹凸区间和拐点。

⑴yx2x1 ⑵y3x

例16 证明：当x1x2时，必有ax1x2243ax1ax2（a0）。

2第三讲 积分学

一 不定积分与原函数的概念与性质

⑴原函数：若F(x)f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。

⑵不定积分：f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，即

f(x)dxF(x)c，这里F(x)f(x)

⑶不定积分的性质（P174,共2个）

特别强调：F(x)dxF(x)c；dF(x)F(x)c（切记常数c不可丢）二 定积分的概念与性质

⑴定积分概念：

nbaf(x)dxlimf(i)xi

0i1 ⑵定积分和不定积分的区别：定积分是和式的极限，计算结果是个常数；不定积分是由一族函数（被积函数的原函数）构成的集合。

⑶f(x)在[a,b]上可积的必要条件：f(x)在[a,b]上有界； 充分条件：f(x)在[a,b]上连续；

⑷定积分的几何意义：设f(x)0，x[a,b]，则f(x)dx表示由xa，xb，y0ab及yf(x)围成的曲边梯形的面积。

⑸定积分的性质（P210,共7个）注意结合定积分的几何意义理解之。

例：⑥若对x[a,b]，有mf(x)M，则有m(ba) ⑦若f(x)在[a,b]上连续，则存在[a,b]，使得满足 另：若f(x)是奇函数，则三 由变上限积分确定的函数

⑴定义：设f(t)在[a,b]上连续，则称函数

babf(x)dxM(ba)。f(x)dxf()(ba)。

aaaf(x)dx0。

(x)f(t)dt，axb

ax 为变上限积分确定的函数。

⑵求导问题：(x)dx[f(t)dt]f(x)dxax2 例1 求下列函数的导数f(x)。

①f(x)xln4tedt ②f(x)x42t01t2dt

⑶与罗必达法则结合的综合题

例2 求下列极限： ①

tlim0x02sintdtx4sin3tdt ②lim

tedt0x0x3t0x2四 求积分的各种方法

⑴直接积分法（两个积分表P174和P185）

cos2x1xx2 例3 计算积分：① ②dx dx2sinxcosxx(1x)⑵第一换元法（凑微分法）

重点：f(x)dxg[(x)](x)dxg[(x)]d(x)

令u(x)整理f(x)g(u)duG(u)cG[(x)]c

常用凑微分公式：xndx1d(xn1)，1dx2d(x)，1dxd(lnx)，sinxdxd(cosx)

n1x积分变量还原xcosxdxd(sinx)，sec2xdxd(tanx)，csc2xdxd(cotx)，secxtanxdxd(secx)，cscxcotxdxd(cscx)。

注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。

例4 计算积分：

①tanxdx ② ⑶第二换元法

重点：20sincos2d ③2x41lnxdx ④(1xlnx)4dx x24x8f(x)dxf[(t)](t)dx dx(t)dt令x(t)g(t)duG(t)cG[1(x)]c 整理f[(t)](t)积分变量还原 常用换元方法：

①被积函数中若有naxb，令tnaxb；若有kx和lx，令xt，这里m是k，ml的最小公倍数。

②被积函数中若有a2x2，令xasint； ③被积函数中若有a2x2，令xatant； ④被积函数中若有x2a2，令xasect；

注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。

例5 计算积分：⑴ a0axdx ⑵ 2241dx

1x例6 设f(x)是定义于实数集上的连续函数，证明 ⑴baf(x)dxbcacf(xc)dx，⑵ baf(x)dxba2bf(abx)dx

⑷分部积分法 uvdxuvuvdx

关键：适当选择u，v。选择的技巧有①若被积函数是幂函数乘易积函数，令u为易积函数，v为幂函数。②若被积函数是幂函数乘不易积函数，令u为幂函数，v为不易积函数。

例7 计算积分：arctanxdx

⑸有理分式函数的积分

步骤：①若是假分式，先用分式除法把假分式化为多项式与真分式的和，多项式积分非常容易，下面重点考虑真分式P(x)的积分。

Q(x)②把Q(x)分解成如下形式 Q(x)b0(xa)(xb)(x2pxq)(x2rxs)

这里p24q0，……，r4s0。③把P(x)化为如下形式

Q(x)A A1A2P(x)Q(x)(xa)(xa)1(xa)2 

BB2 B1 1(xb)(xb)(xb)MxNM1xN1M2xN2 2212(xpxq)(xpxq)(xpxq) RxSR1xS1R2xS2 22u12(xrxs)(xrxs)(xrxs)这里Ai,Bi,Mi,Ni,Ri,Si为待定系数，通过对上式进行通分，令等式两边的分子相等，即可解得这些待定系数。

④于是对P(x)的积分就转化成对上面等式的右端积分了，然后再对上式右端积分。

Q(x)x32x2dx

⑵ 例8 计算积分：⑴ 2x2x10五 定积分的分段积分问题

例9 计算积分：⑴4x3x25x6dx

0x3dx。⑵sin2xdx

0六 定积分的应用：重点是再直角坐标系下求平面图形的面积。

⑴由曲线yf(x)，yg(x)[f(x)g(x)]及直线xa，xb[ab]围成的图形的面积为：S[f(x)g(x)]dx。

ab⑵由曲线x(y)，x(y)[(y)(y)]及直线ya，yb[ab]围成的图形的面积为：S[(y)(y)]dy。

ab例10 求由下列曲线围成的图形的面积。⑴ylnx，y1x，y2； ⑵x0，x2，ysinx，ycosx；

七 广义积分

沿着定积分的概念的两个限制条件（积分区间有限和被积函数在积分区间上有界）进行推广，就得到两种类型的广义积分。

⑴第一类广义积分

①定义： abf(x)dxlimf(x)dx

babf(x)dxlimf(x)dx

aa0b f(x)dxf(x)dx0f(x)dxlimf(x)dxlimf(x)dx

aab00b ②计算方法：先计算定积分，在取极限。

⑵第二类广义积分（暇积分）

①定义：f(x)dxlimababb0abf(x)dx（a是暇点）f(x)dx（b是暇点）

bc f(x)dxlimbcaa0a f(x)dxf(x)dxf(x)dxlimc0af(x)dxlimb0c f(x)dx（c是暇点）②计算方法：先计算定积分，在取极限。

例11 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，收敛于何值。

微积分下册复习要点 篇5

第七章 多元函数微分学

1．了解分段函数在分界点连续的判别；

2．掌握偏导数的计算（特别是抽象函数的二阶偏导数）必考 3．掌握隐函数求导（曲面的切平面和法线），及方程组求导（曲线的切线和法平面方程）必考。

4．方向导数的计算，特别是梯度，散度，旋度的计算公式；必考。

5．可微的定义，分段函数的连续性及可微性，偏导数及偏导数的连续性。6．多元函数的极值和最值：无条件极值和条件极值（拉格朗日乘数法），实际问题的最值。必考。

第八章 重积分

1．二重积分交换积分次序；必考。

2．利用合适的坐标系计算（特别是极坐标）3．三重积分中三种坐标系的合理使用（直角坐标系，柱坐标系，球坐标系）

在使用时特别注意“先二后一法”的运用。必考。

4．重积分的应用中曲面面积、重心、转动惯量、引力的公式，曲面面积为重点。

第九章 曲线曲面积分

1．第一、二类曲线积分的计算公式（特别是参数方程）；

2．第一、二类曲面积分的计算公式（常考第一类曲面积分，第二类曲面积分一般用高斯公式）

3．三个公式的正确使用（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）必考。

可以参考期中考试卷中最后三个题。

4．格林公式中有“奇点”的使用条件及积分与路径无关的条件（可能和全微分方程结合）必考。

第10章 级数

1．数项级数的敛散性的判别：定义，收敛的必要条件，比较判别法及极限形式，比值判别法，根值判别法，莱布尼兹判别法，条件收敛和绝对收敛的概念。

2．幂级数的收敛域及和函数的计算。（利用逐项求导和逐项积分）必考。

3．将函数展成幂级数。（一般利用间接法）必考。

4．将函数展成傅里叶级数，系数的计算公式；狄利克雷收敛定理；几个词的理解（周期延拓、奇延拓、偶延拓、变量替换）

第11章 常微分方程

1．各种一阶微分方程的计算：可分离变量、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程。

2．可降阶的微分方程三种形式，特别注意不显含x 这种情形。

3．二阶非齐次线性微分方程的阶的结构：齐次通解+非齐次的一个特解。

4．二阶常系数非齐次线性微分方程的计算：特征方程+待定系数法（特解的形式）必考。

第五章--多元函数微积分 篇6

学习目的和要求

学习本章，要求读者掌握多元函数及其偏导数的概念、偏导数的求导法则及利用偏导数讨论多元函数的极值、最大值和最小值，学会使用拉格朗日乘数法研究条件极值并应用最小二乘法等讨论经济问题，了解二重积分的数学含义，学会计算一些简单的二重积分．

第一节 多元函数

1．二元函数

设有3个变量 的二元函数．记作 为因变量．

如果当变量

在一定的范围D内任意取定一对值或称为自变量，D称为定义域，z时，变量z按照一定的规律，总有确定的数值和它们对应，则变量z叫做变量

类似地，可以定义三元函数及更多元函数，二元以及二元以上的函数称为多元函数．

2．二元函数的极限

设函数 的某一邻域内有定义，是该邻域内

以任何方式趋近于 时，函数的对应值

时的异于 的任意一点．如果点

趋近于一个确定的常数A，我们就说 二重极限，记作

或

3．二重极限和二次极限

对于二元函数 的极，这个极限称为二次极限，记限，可得极限函数 为

.4．有界闭区域上多元连续函数的性质(不作证明)有最大最小值定理、中间值定理、有界性定理、零点存在定理．

第二节 偏 导 数

1．定义 设函数 的某一邻域内有定义.当 固定在

时，相应地函数有增量

如果极限 在点

存在，则称此极限值为函数 的偏导数，记作

类似地，可定义函数 2．求导法则

(1)和：设

(2)积：设

则 的偏导数。

2(3)商：设

3．高阶偏导数

高阶偏导数可定义为相应的低一阶偏导数的偏导数

例如：

第三节 全 微 分

二元函数全微分的定义 若二元函数 的全增量

可表示为

其中

阶无穷小量，则称函数 点(x,y)的全微分.可微，并称

进一步讨论可知： 的高在故得

关于二元函数，有如下结论：若

及其某一邻域内存在，且在该点连续，则函数在该点可微．

第四节 多元复合函数求导法则、隐函数求导公式 1.设函数

.若成立条件： 的函数，(1)在点

处存在编导数的相应点可微，则有

(2)

2．隐函数求导公式 设函数 的某一邻域内具有连续的偏导数，的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 ,偏导数可由

它满足条件

即

来确定.第五节 多元函数偏导数的应用

1．多元函数的极值

设函数值

如果都有 反之，若成立 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于，则称函数在点(，则称函数在点)有极大

有极小值

.使函数取得极值的点称为极值点．(1)极值存在的必要条件 设函数 偏导数

(2)极值存在的充分条件 设函数 且有一阶二阶连续偏导数，又 记 ① 小值； ② ⑧ 时无极值； 时待定．

则

处取极值，且当AO时取极

可微分(或存在)处有极值，则在该点的偏导数必为零，即 的某个邻域内连续2．条件极值、拉格朗日乘数法

在讨论极值问题中，除对自变量给出定义域外，并无其他条件，则称为无条件极值，而若对自变量还附有其他条件的极值问题称为条件极值． 拉格朗日乘数法：要找函数 以先构造函数 其中λ为某一常数，求 程 联立起来： 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方

下的极值可疑点，可 5

由上述方程组解出 3．最小二乘法

即为极值可疑点．

在经济分析中，我们经常要研究一些经济变量间的相互关系，其中最简单最常见的则为线性关系 有数据．记

称为计算误差或残差.我们希望利用一组已有的资料

能很好地吻合已来寻找这一线性关系，使找到的

我们希望找到这样的 条件来选择常数

取到最小值，这种根据残差的平方和为最小的的方法叫做最小二乘法．

必须满足 由极值存在的必要条件，使

从而可解得

若记 则又可得下面比较简单的表达式：

4．应用举例

(1)生产函数 考察一个企业的生产能力常常涉及各种因素，但就其根本来说，决定企业内部生产能力的主要因素是劳动力

．

在经济分析中，有所谓要素报酬递减定律，也就是边际收益会递减．例如我们假定资金保持不变，则随着劳动力的增加，产量也将随着增加，但劳动力的边际产量将会下降，如图7．1所示．，因而可记生产函数为

如果资金和劳动力是可以相互替代的，则为得一不变产量水平可以有各种不同的劳动力和资金投入，而且若拥有资金越来越少，此时劳动力就要大量增加．同样，如果只有极少的劳动力，此时若再减少一些劳动力，则资金增量就要大得多，7 这样我们就可得到一族等量线K＝K(L)，且等量线为单调下降的下凸曲线(两阶导数大于零)，如图7．2所示

在等量线上，Q为常数，所以

故得

定义为技术替代率，或要素的边际替代率．

(2)Cobb—Douglas生产函数 20世纪30年代，西方经济学界提出如下形式: 的生产函数，称为Cobb—Douglas生产函数,这类函数有如下一些优点,因而得到较广泛的应用: ① 它是 次齐次函数；

② 等量线为单调下降和下凸的；

③ 常弹性，资金弹性为α,劳力弹性为β； ④ 系数A表示技术进步。(3)齐次函数和欧拉定理 若

特别地，当 时，有

次齐次函数，则

它表示：资本投入量乘以边际产量加上劳力投入量乘以劳动力边际产量等于总产量。

第六节 二重积分

2．二重积分的概念

设函数 在闭区域 D上连续，将区域D任意分成 n个小区域 在每个小区域

(i=1,2,…,n)，并作和

如果各小区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限值为函数，即，作乘积，其中 叫做被积函数，为积分区域.2．二重积分的性质(1)

.(2)

(3)

这里假定将区域 D分成两个区域 D1与 D2.(4)若在 D上，成立，则有不等式：

特别地有：

(5)设 则有

上的最大值和最小值, 的面积，(6)设函数 存在一点

在闭区域

上连续，的面积，则在

上至少，成立

3．二重积分的计算(1)化二重积分为二次积分(a)先对y后对x积分

(b)先对x后对y积分

(2)利用极坐标计算二重积分 令

则

若

第五章 多元函数微积分

例1．下列平面方程中，过点（1，1，-1）的方程是（）

（A）x+y+Z=0（B）x+y+Z=1（C）x+y-Z=1（D）x+y-Z=0 解：判断一个点是否在平面上，只需将点的坐标代入，看看是否满足相应的平面方程即可。易见应选（B）。例2．指出下列平面的特殊位置

（1）x+2z=1；（2）x-2y=0；（3）x-2y+3z=0；（4）z-5=0.解：设平面方程为 Ax+By+Cz+D=0

（1）方程中y的系数为B=0，故该平面平行于oy轴（垂直于zox平面）；（2）方程中z的系数C=0且D=0，故平面过oz轴；

（3）方程中常数D=0，故该平面过原点；

（4）方程中x的系数A=0 且y的系数B=0，故该平面垂直于oz轴（平行于xoy平面）。

例3．求过点（3，2，1）且平行于yoz平面的平面方程。

解：平行于yoz平面即垂直于ox轴，故可设所求平面方程为Ax+D=0，将已知点（3，2，1）的坐标代入上式，得D=-3A，从而所求方程为x-3=0。

注意：在求平面方程时，Ax+By+Cz+D=0中的四个待定常数不是完全独立的，计算时可用其中的一个表示其余的三个，然后通过化简得出所求结果。例4．求点M（2，-3，1）分别关于xOy平面、Oy轴和原点的对称点。解：点M关于xOy平面的对称点是第三个分量变号，即（2，-3，-1），关于Oy轴的对称点是第一，第三分量变号，即（-2，-3，-1），关于原点的对称点是三个分量都变号即（-2，3，-1）。

例5．求平面3x+2y-z-6=0分别在三条坐标轴上的截距。

解：将平面方程化为截距式方程，得

因此该平面在Ox轴、Oy轴和Oz轴上的截距依次为2、3、和-6。例6．求球面 的球心坐标和半径。

解：对方程进行配方，化为一般形式的球面方程

从而球心坐标为（3，-1，0），半径为。

例7．下列方程在空间直角坐标系中，表示施转抛物面的方程是（）（A）解：

（B）

（C）

（D）

只能x=y=z=0，它表示空间直角坐标系中的原点。

是一次方程，D=0表示过原点的一个平面。

即

物面。

表示绕z轴旋转张口朝z轴负方向的旋转抛表示双曲抛物面（马鞍面）故应选（C）

例8．函数

（A）（B）的定义域是（）。

（C）（D）

解:由函数的表达式知函数的定义域为

即，故应选（C）。

例9．设

（A）（B）

（C）

（D）

解：由题设,（A）。例10．设 在点

处偏导数存在，则

故应选

（A）

（B）（C）

（D）

解：根据偏导数的定义，有

故应选（C）。

例11．设 证明

证明：

于是 左

注意，本例还可以利用二元函数隐函数来解偏导数：

两边取对数

代入左端即可得结论。例12．设

(A)

其中f为可微函数，则

(B)

(C)

(D)

故应选（D）。例13．设

因此，例14．设

例15．设z=z(x,y)是由方程

确定的函数，求

注意：在求隐函数的偏导数时，其结果中可以有变量度z的出现，结果表达式也常常不是惟一的，如本例用 代入两个偏导还可以表示成

例16．设（A）

（B）

（C）

（D）

解1：变量之间的关系图为

故应选（A）

注意：这里解法2经过代入后变成了一个一元函数求导问题，简洁明了。

例17．

证明：设

变量之间的关系为

例18．求函数

解：函数 的定义域为的极值。

全平面，得驻点

例19．某厂生产甲、乙两种产品，其销售单位分别为10万元和9万元，若生产x件甲种产品和y件乙种产品的总成本，又已知两种产品的总产量为100件，求企业获得最大利润时两种产品的产量各为多少？

例20．计算二重积分

解：作积分区域D的草图，如图7-1

(图7-1)19

例21.求

解：作积分区域D的草图，如图7-2

(图7-2)

例22.计算二重积分

解： 积分区域D是一个圆环:内半径为

用极坐标系计算。

注意：当积分区域是圆及其部分，被积函数又比较容易化成极坐标时，应考虑使用在极坐标系之下积分。

本例关于 和关于r的积分上下限均是常数，同时被积函数可以分离，这时二重积分可化成两个定积分的乘积。

例23.计算

其中

解法1：

即圆心在（0,a）半径为a的圆。又 ,因此是右半半圆（如图7-3）。

(图7-3)用极坐标系计算。

解法2：用直角坐标系计算，先对x后对y积分右半圆的方程为

第五章 多元函数微积分

单元测试

一、选择题

1、点

，则 的中点坐标为（）

A、（0，2，-2）B、（1，-2，1）C、（0，4，-4）D、（2，4，2）

2、点 关于坐标原点的对称点是（）

A、（-2，3，-1）B、（-2，-3，-1）C、（2，-3，-1）D、（-2，3，1）

3、点 关于XOY平面的对称点是（）

A、（-2，3，-1）B、（-2，-3，-1）C、（2，-3，-1）D、（-2，3，1）

4、过Y轴上的点（0，1，0）且平行与XOZ平面的平面方程是（）

5、下列方程中，其图形是下半球的是（）

6、设，则

（）

7、函数 的定义域是（）

8、设

在（0，0）点连续，则 K=（）

A、1 B、0 C、1/2 D、不存在

9、设

（）

10、若

11、设 则

=（）

（）

A、0 B、1/2 C、-1 D、1

12、设，则

=（）

13、设，则

（）

14、若，则

（）

A、10 B、-10 C、15 D、-15

15、设

则

（）

16、若，则

（）

17、设

（）

18、若

（）

19、设

（）

20、设函数

（）

21、设

（）

22、函数 z=f(x，y)在点 函数在该点存在全微分的（处具有两个偏导数）

是

A、充分条件 B、充要条件 C、必要条件 D、既不是充分条件，又不是必要条件

23、若函数，则

（）

24、设 是由方程

确定的隐函数，则

=（）

25、若

则

26、二元函数 的驻点为（）

=（）

27、若，则

在

处（）

A、一定连续 B、一定偏导数存在 C、一定可微 D、一定有极值

28、设二元函数（）

有极大值且两个一阶偏导数都存在，则必有

29、设函数 是它的驻点，在点 的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且

则）是极大值的充分条件是（A、B、C、D、30、设 是函数 的驻点且有

若，则

一定（）

A、是极大值 B、是极小值 C、不是极值 D、是极值

31、函数

在点（0，0）处（）

A、有极大值 B、有极小值 C、无极值 D、不是驻点

32、对于函数，原点（0，0）（）

A、不是驻点 B、是驻点但非极值点 C、是驻点且为极大值点 D、是驻点且为极小值点

33、若D是由

所围成的平面区域，则

（）

34、若D是平面区域，则二重积分

（）

35、设D：，则

（）

36、设二重积分的积分区域D是

37、若D是平面区域，y≥0则

二、计算题(一）

（），则

（）

1、设 解：设

则。

2、设 解：

3、计算二重积分 的第一象限的图形。，其中区域D是由

所围成解：区域D在极坐标下可表示为

于是 =

三、计算题(二）

1、设

解：

2、已知

解：

3、设 解法一：在。

两边分别对 和 求偏导数，得

整理得

解法二：

4、设 确定函数，求

解：令

∴

5、设函数，由方程

确定，其中

解： 同理

6、设D是由

所围成的区域，计算

解：先对x积分，再对y积分。

7、计算二重积分

所围成.，其中区域由抛物线 及直线

解：

8、计算二重积分，其中D为

解：采用极坐标系

9、计算二重积分 成且在直线，其中D是由直线 和圆

所围下方的平面区域。

解法一：用极坐标系

解法二：用直角坐标系

=

=

=

10、计算二重积分

圆

围成的区域。

解：圆 的极坐标方程是

因此

四、证明题

1、设

（a，b 均为常数）

求证：

证：∵

∴

2、设 ∵ ∴

∴

3、设

证：∵

∴

即

4、设，证明它满足等式：

证：

曲线函数及其微积分 篇7

函数是近代数学的奠基石, 是微积分理论的最基本的载体. 我们通常讨论的函数都是在直角坐标系下, 但也需要研究弯曲空间中的数学. 本文所讨论的曲线函数及其微积分可以为研究弯曲空间的相关问题做好铺垫.

2. 曲线函数

定义1设xOy面上一曲线L, 在L上任取一点M作为基点, 并规定L的正方向, 则曲线L的参数方程为其中s为弧长参数 ( 或称自然参数) . 设函数z = f ( x, y) 为定义在L上的二元函数, 则z = f ( φ ( s) , ψ ( s) ) =g ( s) 称为定义在曲线L上的曲线函数. 其中s称为自变量, z称为因变量.

由定义1可知, 当曲线L为与x轴平行或重合的直线时, 上述函数即为一元函数z = g ( x) .

曲线函数的极限和连续与一元函数y = f ( x) 类似.

3. 曲线函数的导数

定义2设z = g ( s) 为定义在曲线L上的曲线函数, s0为L上任意一点, 给s一个增量Δs, 则沿着曲线L, z相应地也有一个增量Δz. 若存在, 则称曲线函数z = g ( s) 在s0处沿曲线L可导, 并称该极限值为曲线函数z = g ( s) 在s0处的导数. 记作

曲线函数的导数的定义式也可表示成

由定义2可知, 当曲线L为x轴或与x轴平行的直线时, 上述定义即为一元函数z = g ( x) 的导数g' ( x) .

曲线函数的导数的性质和微分与一元函数类似.

此外, 我们可导出n维空间曲线相应的曲线函数和曲线函数的导数.

4. 曲线函数的微分中值定理

由极值的定义和曲线函数的导数的性质可得出:

定理1设曲线函数z = g ( s) 在s0的某邻域内有定义, 且在s0处的导数存在. 若点s0为z = g ( s) 的极值点, 则必有g's ( s0) = 0.

由一元函数的罗尔中值定理的证明过程和定理1可得出:

定理2若曲线函数z = g ( s) 满足以下条件:

( ⅰ) 曲线函数z = g ( s) 在闭区间[a, b]上连续;

( ⅱ) 曲线函数z = g ( s) 在开区间 ( a, b) 内的每一点的导数存在;

( ⅲ) g ( a) = g ( b) ,

则至少存在一点ξ∈ ( a, b) , 使得g's ( ξ) = 0.

此外, 我们还可由定理2得出与曲线函数相对应的拉格朗日中值定理和柯西中值定理:

定理3若曲线函数z = g ( s) 满足以下条件:

( ⅰ) 曲线函数z = g ( s) 在闭区间[a, b]上连续;

( ⅱ) 曲线函数z = g ( s) 在开区间 ( a, b) 内的每一点的导数存在,

则至少存在一点ξ∈ ( a, b) , 使得

定理4若曲线函数f ( s) 和g ( s) 满足以下条件:

( ⅰ) 曲线函数f ( s) 和g ( s) 在闭区间[a, b]上均连续;

( ⅱ) 曲线函数f ( s) 和g ( s) 在开区间 ( a, b) 内的每一点的导数均存在;

( ⅲ) 对于任意的s∈ ( a, b) , g's ( s) ≠0;

( ⅳ) g ( a) ≠ g ( b) ,

则至少存在一点ξ∈ ( a, b) , 使得

5. 曲线函数的积分

( 1) 广义第一型曲线积分

我们先来定义曲线的方向.

定义3若曲线沿s递增的方向, 则称为正向曲线.反之, 称为负向曲线.

按定积分的定义, 记号只有当a < b时才有意义, 但通过以下规定:

( 2) 广义第一型曲线积分的牛顿 ( Newton) —莱布尼茨 ( Leibniz) 公式

有一元函数的牛顿 ( Newton) —莱布尼茨 ( Leibniz) 公式和曲线函数的定义可得出:

定理5若曲线函数z = g ( s) 在闭区间[a, b]上连续, 则1

其中G ( s) 为g ( s) 的一个原函数, G ( s) 对应的二元函数为F ( x, y) , 且称F ( x, y) 为f ( x, y) 在曲线上的一个原函数.

1式称为广义第一型曲线积分的牛顿 ( Newton) —莱布尼茨 ( Leibniz) 公式.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析:第三版上册[M].北京:高等教育出版社, 2001.

[2]华东师范大学数学系.数学分析:第三版下册[M].北京:高等教育出版社, 2001.

[3]同济大学数学系.高等数学:第六版上册[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[4]同济大学数学系.高等数学:第六版下册[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[5]梅向明, 黄敬之.微分几何[M].北京:高等教育出版社, 1988.

“矿爷”的人气微积分课 篇8

然而在我们浙江大学，却出现了这样一个反常现象：150人的微积分选修课程，全年级3000多人抢，为此学校不得不找一间能容纳300人的最大的教室。但是10比1的超高淘汰率依然让大家心惊胆颤，每次抢课，不仅要拼体力，更得拼人品。

这都是因为上微积分课的苏德矿老师实在太会讲课了。他的微积分课可不是一座坟，而是一个充满幸福和哲理的知识乐园。也因此，今年9月9日，苏老师以高票获得浙江大学的“心平杰出教学贡献奖”，奖金100万元！想知道这位“百万”名师的课究竟有啥秘密武器吗？跟我去听一堂课你就全明白了。

课前热身《小苹果》

大一刚进学校，我就听说了赫赫有名的苏德矿老师，学长学姐们语重心长地告诫我：“不上矿爷的微积分，就相当于没来浙大上过学。”苏老师在浙大执教已经27年了，同学们对他的称呼也已经由“矿叔”变成了“矿爷”。矿爷自己还不忘自嘲，再过两年就变成“矿渣”了，不过当“矿渣”也挺好，怎么说也还有点用处呢。

大二选课时，我卯足劲开抢矿爷的微积分课程。经历一番“血战”，我终于在第二轮补选课时人品大爆发，成为300个幸运儿中的一个。

早就听说矿爷的课一定要早到，不然绝对没有座位。所以8点的课，我7：20就跑到了教室。虽然早有心理准备，但我还是被眼前的景象惊呆了：300人的大教室早就坐了大半人，还有好多座位已经被占，看来还是来得不够早。找了一个相对靠前的空座位坐下，旁边的同学正在看书，桌子上放着一本《新闻理论》，我当时真是惊呆了，连新闻学院的同学都来上微积分课了啊！

7点55分，教室门口，走道上，教室后面都站满了蹭课或者来晚的同学，矿爷在讲台上面摆弄着电脑和投影，并不时安排门口没有座位同学进来找空地坐下。又过了一会儿，嘈杂的教室渐渐安静下来，原来是矿爷开始放歌了。你一定猜不到，一个年过半百的老头儿，电脑里的歌竟然是最近正火的《小苹果》，结果就是教室里满满当当将近400号人一起唱：“你是我的小呀小苹果，怎么爱你都不嫌多！”气氛瞬间就活跃起来，一扫大家脑中的昏昏沉沉，我心里不禁默默为矿爷点了一万个赞！

矿爷上课注意细节那是出了名的。除了课前热身环节，别的老师上课只用一个话筒，他却会用两个，一个迷你麦克风挂在脖子上，一个放在讲台上，这么做就是为了确保自己无论走到哪里，都能让偌大教室最后排的同学听得清楚。放映幻灯片的时候，矿爷还会亲自关灯并来回拉动窗帘，以找到教室亮度和投影亮度的完美配合。而且，矿爷从来都是用油性笔书写幻灯片的，这样才能保证屏幕上的投影效果最清晰。之所以如此注重细节，照矿爷自己的话讲，就是为了能让同学们最大限度地集中注意力听讲。

说到这里，你是不是开始发现矿爷并不像别的高数老师那般严肃无趣？但矿爷的魅力可远不止这些，他的讲课才是最绝的呢！你问我他是怎么讲的？别急，这不上课铃响了嘛！

恋爱偏导数

早就听说矿爷的课讲得就像脱口秀，段子一个接一个，张口就来。今日一看果然如此：“我们今天讲的内容是一元复合函数的求导，这个呢就像是天突然热了起来，你要脱衣服。脱到怎样合适呢？一件一件脱，脱到不热了为止。复合函数也一样，一层一层求导，直到内函数的导数有公式，就成了。”讲到这里，矿爷故意停了下来，睁大眼睛盯着下面的学生，一脸无辜样，同学们顿时都大笑起来。就这样，晦涩难懂的一元复合函数求导被大家轻松掌握，而且印象深刻。

做了几道练习题之后，矿爷看大家掌握得都不错，突然莫名其妙问了一句：“你们知道车为什么会撞树上吗？”大家都楞了一下，反应了几秒之后，开始七嘴八舌起来，“车技不好”、“眼神不好”，甚至有人从一个阴暗角落里冒出来一句“是女司机吧”，惹得大家哈哈大笑。

矿爷摇了摇头，故作严肃地说：“你们说的都不对，一是因为车朝着树的方向，二是因为车在开，有速度嘛！”这个搞笑的回答，顿时又提起了同学们的精神头。大家大声哄笑了一阵，以示对矿爷这种既无法让人反驳，又无法让人信服的答案的抗议。喧闹过后，矿爷又开了口：“我们接下来要学习的是方向导数，在P点沿L方向函数值的变化率，就跟撞树一样，一个是方向，一个是速度。”听到这里，我才恍然大悟，矿爷之前的笑话是为了给接下来的知识点做铺垫呀！

一节课就在这样欢乐轻松的氛围中度过了。第二节课一开始，矿爷不着边际的开场白又开始了：“我知道你们现在正是谈恋爱的年纪，这节课，我们就讲讲如何恋爱吧！”

此话一出，教室里一片叫好，选矿爷的课真是太值了，不仅能学到知识，说不定还能交到女朋友呢！早就听闻矿爷是个爱情专家，爱情哲学语录张口就来，最有名的是那次在浙大为校友举办集体婚典发言时说的：“他是你的严格递增函数，你的生活一天比一天幸福，一天比一天快乐，一天比一天美好，希望你们的爱情像一条射线，只有起点没有终点。”正当我神游之际，矿爷做了个让大家安静的手势，继续说道：“当你们女孩儿喜欢一个人的时候，他的一举一动，一点变化你都看在眼里，别人都变成了常数，他才是唯一的变量，你只为他倾倒，对不对？但如果他不为你倾倒，你们也不要因此烦恼，既然他把你看成常数，那你也把他看作常数好了，找到对的人互相倾倒才有意义。”

大家正细细咀嚼这段如同绕口令的爱情哲学时，矿爷不失时机地又来了一句：“这段恋爱哲学和我们接下来要学习的偏导数是一样的！”不出我所料，果然又是一个新概念的引入，但是伴着爱情知识的学习，效率要高很多呢！快乐的时光总是短暂的，两节课的时间一晃便过去了。下课铃响，我和不少同学一样依依不舍地起身离开，最后还不忘再深情地看一眼矿爷，盼望着下次的微积分课快点到来！

你是不是也和我一样觉得课堂时间太短暂，还没听过瘾？没关系，矿爷在课后也有绝招，可以让我们怀着对微积分的热情随时与他亲密接触！

6.3寸手机刷微博

平时，矿爷最爱做的一件事就是刷微博，因为微博就是他的第二课堂，一个没有人数限制、没有空间限制、没有时间限制，更没有地域限制的大课堂。矿爷每天早上6点起床，第一件事就是打开手机，看看昨晚是否有同学留言的问题没有解答（矿爷有早睡早起的好习惯，而我们这帮大学生则经常熬夜，有时候给他留言会比较晚）。矿爷一天平均要发几十条微博，绝大部分都是给学生答疑解惑得。开始提问的只是浙大的学生，后来由于微博影响力太大，矿爷迅速被其他大学同学所知，甚至连高中生、初中生都纷纷给他留言求答疑……现在天南地北的同学都知道上微博@矿爷了。

也正是如此，矿爷变得越来越忙，校车上、办公室、书房里、沙发上，都能看见矿爷拿着手机认真回复留言的情景，他每天至少要花三四个小时才能处理完大家的问题。这对我们年轻人可能不是问题，但对于视力只有0.2的矿爷来说，就十分有难度了。因此矿爷的手机尺寸也在不断地变大，现在的他，用的是一个6.3寸的超大型手机。

本着心疼矿爷，要爱护他眼睛的原则，我并不想增加他的负担。然而第二天在做习题时，有道题死活想不明白，我便按捺不住了，用手机拍下题目发了微博，并@浙江大学苏德矿，之后便守在电脑边等着矿爷回复，心里七上八下的，生怕矿爷不理我。

不一会儿，手机就传来了微博回复的声音，我赶紧点开，果然是矿爷，他给我详细介绍了两种解题思路。得到提示后的我果然有如神助，很快摆平了难题。过了一会儿，手机上又传来消息提醒的声音，这又是怎么回事呢？点开一看，原来是因为矿爷转发了我的微博，很多数学高手都加入到了为我解题的行列中来了，简直是八仙过海，各显神通，给出的解题方法也五花八门。我一个个看下去，不仅验证了自己的答案，更拓宽了不少解题思路，真是受益匪浅！

如今，矿爷的微博已经变成了一个数学交流的平台，我也成了矿爷微博的忠实粉丝，每天不去刷个屏，心里就像少了些什么。最近，我看到他在微博里总结了这么一段话：数学是抽象的，来源是生活的；数学是枯燥的，应用是广泛的；推理是严谨的，形式是很美的；内容是丰富的，题目要常练的；过程是曲折的，乐趣是无穷的；学习是辛苦的，成功是归你的。细细品味，学数学还真就是这么回事，顿时我全身上下充满了正能量！

这就是我们可亲可爱的矿爷，怎么样，是不是够萌，够帅，够劲爆，更够敬业！如果你想面对面感受我们矿爷的魅力，欢迎来浙大蹭课，只要不怕站着！