数字积分（通用9篇）
数字积分 篇1
0 引言
电子式互感器是实现智能变电站运行实时信息数字化的主要设备，在电网动态观测、提高继电保护可靠性等方面具有重要的作用。近年来，采用Rogowski线圈的电子式电流互感器成为了国内外研究的热点，并且已经进入了实用化阶段。与传统的互感器相比，Rogowski线圈具有低功率输出、动态范围大、不存在磁饱和问题、测量频带宽、经济性好等优点[1,2,3,4,5]。
1 新型PCB平面Rogowski线圈
文献[6]提出了一种新型PCB平面Rogowski线圈结构，该新型PCB平面线圈可以制作成单层或多层来调节所需要的互感系数等参数。以双层板为例，其结构原理图可参见图1。
图1(a)为二次线圈上层示意图，图1(b)为二次线圈下层示意图。双层PCB板上、下2层均有4个相同的均匀对称分布的平面螺旋线圈，上、下2层螺旋线圈绕向相反，每层相邻的线圈顺次串联，上、下2层之间对应的螺旋线圈通过“过孔”顺次串联，首末两端作为输出端，构成二次输出端。
根据法拉第定律和安培环路定律可知，线圈的二次输出电压e(t)和被测电流i(t)之间的关系为：
其中，M为互感系数，计算方法可参见文献[6]。
通过对二次输出电压积分可还原被测信号：
实验表明，该新型Rogowski线圈具有良好的线性度和准确度;式(2)表明高精度的积分环节是确保新型电流互感器精度的关键[7,8]。
2 模拟积分器
常用的模拟积分电路如图2所示，图中Rf能够抑制积分器的直流漂移，为减小其对积分效果的影响，Rf一般取值较大。
图2所示电路的传递函数为：
其中，R=51 kΩ，C=0.047μF,Rf=1 MΩ。
通过实验发现，使用该积分器的互感器测试结果误差较大，主要是因为温度对电路中模拟器件的影响[9]，由式(3)可得输出电压的值为：
则由温度引起的输出电压误差以及相对误差为：
其中，α、β分别为电阻和电容的温度系数，ΔT为温度变化量。
取α=1×10-5/℃，β=3×10-5/℃，作相对误差曲线图如图3所示。
从图3中可以看出，当温度变化较大时，相对误差较大，不满足IEC60044-8标准0.2级的精度要求。
3 数字积分器的设计
3.1 数字积分算法的研究
同模拟积分相比，数字积分具有很多显著的优点。
a.性能稳定。模拟积分器中的模拟器件受温漂和时漂影响，参数会发生变化，导致性能不稳定;数字积分器中的模数转换器和运放驱动电路等模拟电路结构简单稳定，受温漂和时漂影响小，实现其积分器功能的算法完全不受环境因素的影响。
b.相位特性优良。模拟积分器中的模拟器件参数不同，会引入轻微的相位变动，需要进行相位校准;数字积分的相位响应主要由算法决定，具有一致性。
c.数字积分器结构灵活，调节方便[10]。
数字积分器最常用的一种方法是采用模数转换器(ADC)和微处理器芯片(MCU)，再设计相应的积分算法来实现。数字积分器框图如图4所示，为了消除直流偏置的影响，在ADC输出与积分器间接入一个数字高通滤波器(HPF)。
因此选择合适的积分算法成为数字积分器设计的关键问题之一。常用算法有复化的矩形公式、梯形公式和Simpson公式。由文献[11]可知，在相同的精度要求下，矩形公式要求每个周期内的采样点数较多，梯形公式次之，Simpson公式最少，但从算法结构上看矩形公式最简单，梯形公式次之，Simpson公式最为复杂。因此，综合考虑3种算法的优劣，本文设计的积分器采用复化梯形积分算法。
根据数值积分的原理，一般梯形公式为：
为了提高积分精度，将积分区间[0,t]n等分，步长h=t/n，则可得复化梯形积分公式为：
式(7)的z传递函数为：
其中，T为采样间隔。
因为z=ejω，可得：
其中，ω=2πf/fs为数字角频率，fs为采样频率。
取fs=4 kHz，经过仿真可得到如图5所示的频率特性，由图可见，其幅频响应具有-20 dB/(°)的衰减，相频响应具有-90°的相移，与理想积分一致。
3.2 梯形算法对稳态和暂态特性的响应仿真分析
3.2.1 稳态性能分析
电力系统在正常运行时，IEC60044-8标准规定其稳态一次电流为：
其中，Ip为一次电流基波的方均根值;f为基波频率;φp为一次相位移;ipres(t)为一次剩余电流，包括谐波和分数谐波分量。
取Ip=0.707，φp=0,ipres(t)=0.1sin(4πf t)，由式(1)可得：
由式(7)可得满足梯形公式的离散方程为：
用MATLAB对式(11)进行4 kHz的采样，实际中互感系数M数值较小，为方便比较，仿真时令M=1。利用式(12)进行积分运算，可以得到一次输入电流和二次输出电压(已经过数字积分，后同)的图形如图6所示，从图中可以看出，用梯形积分算法可以很好地还原稳态电流。
3.2.2 暂态性能分析
电力系统发生故障时，一次故障电流通常包含基频分量、直流分量及高频分量，对暂态电流的响应可视为对各部分分量响应的叠加，IEC60044-8标准规定暂态电流用下式来表示：
其中,Ipsc为一次电流对称分量方均根值;f为频率;τp为暂态一次时间常数;ipres(t)为一次剩余电流,包括谐波和分数谐波分量。
考虑最严重情况，假定暂态电流为全偏移，则式(13)变为：
取Ip=0.707,ipres(t)=0.1sin(4πft)，由式(1)可得：
同理，利用MATLAB进行仿真，可得到一次输入电流与二次输出电压的图形如图7所示，从图中可以看出，暂态一次时间常数取不同值时，梯形积分都能很好地还原故障电流。
由以上分析可知，采用梯形积分算法能够很好地还原一次电流。
3.3 系统框图
本文设计的新型PCB平面Rogowski线圈结合数字积分的系统框图如图8所示。
该系统采用STM32F103作为核心处理器，该处理器具有运算速度快、工作范围宽、可靠性高、集成AD转换、多个通信接口等特点。如图8所示，PCB平面Rogowski线圈输出的电压信号e(t)先经模拟信号调整电路，其作用主要是滤除信号中的高频干扰信号，并对信号进行差分放大;然后将信号输入到核心处理器中，进行AD转换，运用复化梯形积分算法进行积分运算;再将数字信号传到数模转换器DAC8564中，变为模拟信号，经过后置处理电路的平滑输出e′(t)，将PCB平面Rogowski线圈电流互感器输出的电压信号还原成一次电流信号。
3.4 关键问题的设计
a.对于ADC自身或其前置调整电路引起的直流漂移，本文主要通过在ADC输出与数字积分之间接高通滤波器(HPF)来消除直流偏置的影响。
b.积分初值问题。要完全还原被测电流信号，必须确定积分的初值，而ADC采样的初值难以从0开始，这样就会使积分输出产生直流分量。取初相角为30°，利用式(10)、(11)、(12)进行仿真，一次输入电流与二次输出电压如图9所示，从图中可以看出，积分输出会产生直流分量。
为了消除直流分量的影响，可对一定周期内的积分结果取平均值，此平均值则为其直流分量，由式(12)得出直流分量可用式(16)来计算：
其中，N为采样点数。
然后对其积分结果进行补偿，即可消除其直流分量的影响。补偿后的结果如图10所示，从图中可以看出，经过补偿可以消除直流分量的影响，二次电压能够很好地还原一次电流。
4 实验测试
利用图8所示的系统对其数字积分进行稳态特性测试，在实验室取额定电流为300 A，用全功能互感器校验仪进行比对，得到误差曲线如图11所示。一次与二次波形跟随如图12所示，其中，一次电流已转换成同相位的电压信号。从图11的误差曲线可以看出，采用本文设计的数字积分器的PCB平面Rogowski线圈电流互感器具有很好的线性度，比差和角差误差较小，能够满足电流互感器0.2级的精度要求。由图12的波形图可以看出，其具有很好的稳态特性。由于实验室条件所限，未能对其暂态特性进行实验验证。
5 结论
本文对基于Rogowski线圈的电流互感器的积分技术进行了研究，针对模拟积分受环境影响大的不足，着重对数字积分进行研究并且设计了基于STM32F103和梯形积分算法的数字积分器，实验测试取得令人满意的结果。
摘要：积分器是影响基于Rogowski线圈电流互感器精度的关键环节。对模拟积分器的温度特性进行了分析,理论分析和实验结果表明其受温度的影响较大。和模拟积分器相比,数字积分器具有更高的精度和稳定性。利用梯形公式进行数字积分,分析与仿真了梯形积分算法对稳态和暂态电流的响应,提出了解决积分中漂移、初值问题的措施。设计了基于STM32F103的数字积分器,并利用新型PCB平面Rogowski线圈电流互感器进行了实验。实验结果验证了设计方法的有效性。
关键词：电子式电流互感器,Rogowski线圈,PCB型电流互感器,模拟积分,数字积分
数字积分 篇2
积分入学，指以积分排名方式安排外来流动人员入户、子女入读公校，进一步推动公共服务均等化。下面是小编为大家整理广州积分入学怎么算积分的相关介绍，仅供参考，希望能够帮助到大家。
一、文化程度
1、本科及以上学历（50分）；
2、专科（含高职）（35分）；
3、高中（含中职）（20分）。
二、合法稳定住所
1、在广州市办理《广东省居住证》（每满1年3分）；
2、在穗累计居住年限：
(1)合法产权住所（10分）；申请人或申请人夫妇共同在从化区、增城区拥有自有产权住房的再增加10分；
(2)合法租赁住所或单位宿舍，每满1年积2分，最高不超过10分；
3、申请人居住地由越秀区、海珠区、荔湾区、天河区转移到本市其他行政区的，每满1年再增加2分，最高再增加10分；
三、合法稳定就业
在穗就业（创业）并参加城镇基本养老保险、社会医疗保险（含职工社会医疗保险及城乡居民医疗保险）、失业保险、工伤保险、生育保险，每个险种每满1年1分。
四、年龄1、18-30岁（30分）；
2、31-40岁（15分）；
3、41-45岁（10分）。
五、证书
1、中级及以上职称或技师及以上职业等级（30分）；
2、初级职称、职业等级为高级、事业单位工勤技术三级（20分）；
3、职业等级中级、事业单位工勤技术四级（10分）；
4、正在从事与上述专业技术资格证书、职业资格证书相对应职业工种工作（10分）。
数字积分 篇3
插补模块是整个数控系统的一个及其重要的功能模块,插补的速度和精度直接影响到数控系统的精度、速度和加工能力等内容[1~4],而插补的实质是数据点的密化,即在已知的刀具轨迹转接点间插入若干中间点的过程,中间点的获取可根据相应的算法由数控系统软件或硬件来实现,以此来协调控制各坐标轴的运动,从而获得所需要的运动轨迹。常用的插补算法有:脉冲增量插补和数据采样插补,而脉冲增量插补中最常用的是逐点比较法和数字积分法。由于逐点比较法插补不能实现两轴联动,数字积分法可以实现两轴联动,本文将对脉冲增量插补中的数字积分法进行论述并对轨迹和插补过程进行仿真研究。
1 数字积分法插补原理
利用数字积分的原理进行插补计算的方法,称为数字积分法,也称为DDA法。数字积分法的优点在于容易实现多轴联动插补,可以描述空间直线和平面各种函数曲线。
1.1 DDA直线插补
1)原理:利用各坐标轴的速度分量进行数字积分来确定刀具在各坐标轴上的位置,设刀具进给速度为V,在X轴、Y轴的进给速度分量分别为VX、VY,则t时间内的位移量为:
由图1的几何关系得出:
则位移量:
当刀具由O点切削到E点时,t经过0→t的积分,位移公式可表示为:
设寄存器的位数为N位(容量为2N),n为累加次数(整数),取n=2N,经过n次累加后,到达终点,则kn=1,k=1/n=1/2N。当t取为1时,则:
2)特点:在DDA直线插补中,取两个函数寄存器JVX、JVY,分别存放终点坐标Xe、Ye,均为定值;再取两个余数寄存器JRX、JRY;终点寄存器JJ(JJ=2N)。当X轴、Y轴积分器中的值超过2N-1时,便发生溢出,溢出时的余数存放在JRX、JRY中,每溢出一次,JJ自动减1,经过2N次累加后,溢出脉冲的总数等于被积函数值。
1.2 DDA圆弧插补
1)原理:以第一象限顺时针圆弧SE为例,如图2所示。
将方向矢量代入计算公式,则第一象限顺时针圆弧的速度计算公式为:
t时间内,位移增量为:
当t为1,K=1/2N时,则:
由计算公式可看出,圆弧插补时,积分器是对动点Xi、Yi进行累加。插补开始前,被积函数JVX、JVY中存放圆弧起始点坐标YS、XS,当Y轴产生溢出脉冲(-Y )时,JVX作“-1”修正,当X轴产生溢出脉冲( X )时,则JVY作“+1”修正,修正的正负方向由圆弧所在的象限及顺逆方向决定。
2)DDA圆弧插补特点:
(1)余数寄存器中初始值为0,JVX、JVY中初始值分别为YS、XS,在插补过程中,JVX、JVY中存放的是动点坐标Yi、Xi,当有脉冲溢出时,动点坐标也应作“±1”的修正。
(2)DDA圆弧插补器中需要两个终点寄存器JX(JXXeXs)、JY(JYYeYs)。积分运算时,余数寄存器每溢出一次,对应的终点寄存器自动减1,直到减为0,则停止积分。
(3)JVX、JVY中数字的大小会影响插补速度。
1.3 插补仿真
采用VB软件对文中的例题进行插补仿真,从而在软件中显示出实际插补轨迹和计算过程,在所有的仿真图中,红色线段表示理论轨迹,绿色线段表示实际插补轨迹。
1)DDA直线插补仿真以第一象限直线OE插补为例,O为原点(0,0),终点E(4,6),被积函数寄存器(JVX、JVY)与余数寄存器(JRX、JRY)位数均为4,具体的插补过程和仿真轨迹如图3所示。
2)DDA圆弧插补仿真第一象限的顺时针圆弧SE,起点(0,4),终点(4,0),寄存器位数均为3,具体的插补过程和仿真轨迹如图4所示。
2 提高DDA插补质量的措施
数字积分法插补中,轮廓的长短不一,使得溢出脉冲不均匀,影响进给速度的稳定性,从而影响插补精度;另一方面,通过仿真软件发现,有的插补轨迹与轮廓之间误差大于一个脉冲当量,因此,为了减小误差,提高插补质量,采用左移规格化法和半加载法。
2.1 左移规格化
所谓的“左移规格化”,将被积函数中的坐标值的前i位零溢出寄存器,使数值成为最高位或次高位为“1”的规格化数,并对其进行累加,从而达到稳定进给速度的目的。
DDA直线插补中,进行左移规格化时,使JVX、JVY中数值同时左移,直到任意一个寄存器中的数值最高位为1,并记下左移次数i,左移规格化后,JVX、JVY中值被扩大2i倍,累加次数相应地减少一倍(n = 2N-i)。
DDA圆弧插补的规格化中,将被积函数JVX、JVY中数值同时左移,直到任意一个数的次高位为1,则为规格化数。如果规格化处理时,左移i位后,当JRX或JRY产生溢出时,JVY或JVX中动点坐标应作“±2i”的修正,为了避免动点坐标修正时溢出,在选择被积函数寄存器容量时,要求必须大于2R(R为圆弧半径),通过左移规格化处理,可使溢出变得均匀,改善DDA插补加工的工艺特性。
2.2 半加载法
DDA圆弧插补过程中,由图4看出径向误差有时可能大于或等于1个脉冲当量,为减小误差,显然可通过增加寄存器的位数N,提高插补精度,但是N的增大,会导致n的增大,累加次数的增加,会降低实际的进给速度,且N也不能无限增大,因此采用半加载法。半加载法即是将余数寄存器JRX、JRY中的初始值设为2N-1,当JRX、JRY与大于或等于2N-1的数进行累加,就可产生1个溢出脉冲,通过半加载后,可以提前溢出脉冲,从而改变溢出在时间上的分布,提高插补精度。
2.3 举例仿真
在1.3节中的直线插补和圆弧插补举例的基础上,采用左移规格化和半加载进行插补计算。
改进后的DDA直线插补仿真中,寄存器位数为5,具体的仿真轨迹和计算过程如图5所示。改进后的DDA圆弧插补仿真中,寄存器位数为5,具体的仿真轨迹和计算过程如图6所示。
3 结束语
数字积分 篇4
（2015版）
为感谢您对我行的信任与支持，现已升级原积分回馈计划，全新推出个人客户综合积分。升级后，除原有信用卡积分外，您在我行办理其他个人金融业务，或您的个人资产日均余额达到一定标准后，也会有积分累积。升级后，中银积分365客户回馈计划规则及条款如下：
一、适用客户
1.本计划适用于中国银行个人中高端客户、信用卡持卡客户、符合积分营销活动规则的其他个人客户。各类客户均应持有我行有效信用卡或借记卡，且信用状况良好。
2.个人中高端客户指在中国银行金融资产总额达到20万元人民币以上、或使用中国银行信用卡年累计消费额5万元人民币以上、或在中国银行办理各类个人贷款（正常类）余额累计达到50万元人民币以上的客户。
3.信用卡持卡客户指持有中国银行发行的中银系列信用卡（包括各类联名卡）、长城系列信用卡（包括各类联名卡）和长城企业公务卡（个人清偿）、财政公务卡（包括中央、地方预算单位公务卡）、长城单位卡的客户。
4.符合积分营销活动规则的其他个人客户指除个人中高端客户、信用卡持卡客户以外，持有或办理其他中国银行个人金融产品及业务、并符合积分营销活动条款的个人客户。
二、积分种类与效期
（一）积分种类 1.尊享积分
尊享积分即资产类积分，是为我行月日均金融资产20万以上的中高端客户提供的专属回馈。尊享积分可用于兑换尊享礼遇。2.交易积分
交易积分分为信用卡积分和营销活动积分。交易积分可用于兑换各类实物礼品、非实物礼品、增值服务。
（1）信用卡积分：若持有我行信用卡，持卡消费时，可获得相应积分回馈，具体可回馈分值以官方网站公布为准。
（2）营销活动积分：我行会不定期开展积分营销活动，在活动期间，客户参与营销活动可获得相应积分回馈，如，购买基金产品、办理结算业务等，具体活动规则以营销活动发布为准。
（二）积分效期
1.尊享积分及交易积分（白金信用卡、全民健身卡除外）以一年为累计期，累计的积分两年有效，每年6月30日将到期积分清零。（举例：2011年7月1日-2012年6月30日期间内产生的积分于2014年6月30日到期）。2.白金信用卡积分长期有效，全民健身卡积分有效期为五年。
3.信用卡持卡人销卡时，该卡的积分将被同时取消；借记卡持卡人销卡时，如名下仍有其他有效借记卡或信用卡，该卡积分可继续使用。此外，不支持卡片间积分相互调整。
三、积分累计规则
（一）尊享积分
在中国银行月日均金融资产达20万以上的中高端客户可获赠尊享积分，根据每月的日均金融资产（20万元起）计算，每满20万元回馈1个尊享积分，当月累计积分次月计入积分账户生效。
（二）交易积分
1.按照产品累计分类
（1）中银系列信用卡每消费1元人民币累计1分（国航知音中银信用卡除外）；白金信用卡在中国境内（不含港、澳、台地区）交易每消费1元人民币累计1分，其余国家和地区每消费1元人民币累计2分。
（2）长城企业公务卡每消费25元人民币累计1分；财政公务卡、长城单位卡每消费1元人民币累计1分。
（3）长城系列信用卡每消费1元人民币累计1分。
（4）国航知音中银信用卡每消费1元人民币累计1.5分(其中1分作为“前程万里”计划自动兑换为国航里程)。2.按照外币累计分类
（1）中银和长城系列信用卡1美元累计7分，14日元累计1分；白金信用卡1美元累计14分。
（2）长城企业公务卡3美元累计1分。
3.中银（长城）系列信用卡分期付款交易于每期在账户中扣款时，按入账分期金额生成积分，每1元人民币累计1分。4.不累计积分交易
（1）中国银行信用卡章程或领用合约规定的各项利息和手续费用，包括但不限于信用卡年费、取现手续费、透支利息、滞纳金、超限费，以及其他信用卡收费等；
（2）信用卡转账、取现、存（还）款、代扣款、代缴费、贷方余额返还；（3）网上银行和电话银行支付等；
（4）低扣率或零扣率以及特殊类别的商户消费，包括但不限于房地产、汽车销售、批发类交易、公立医院、公立学校、政府服务、慈善和公共事业等（详见附件一《不累计积分商户类别代码》，所列商户类别代码参考中国银联等相关机构的有关规范及中国银行积分回馈业务策略不时调整，请以中银积分365网站公布的信息为准）；
（5）商户类别未在本规则中列出、但收单机构根据中国银联等相关机构有关规范设置了特殊计费标识的商户消费；
（6）商户类别未在中国银联商户类别码中列明的商户消费；（7）其他中国银行另行指定的项目（详见附件二《零星不累计积分商户列表》中所列具体商户的消费，本商户列表信息将不时做出调整，请以中银积分365网站公布的信息为准）。
5.因任何理由将刷卡购买的商品或服务退还、或因签账单争议、或其他原因而退还款项者，中国银行将扣除当时所累计的积分。
6.参与中国银行不定期开展的积分营销活动，在营销活动期间满足活动规则、符合积分累计条件，按活动规则规定的积分数额予以累计。
四、积分查询与兑换
（一）查询与兑换渠道
1.登录中银积分365网站（https://jf365.boc.cn/）可浏览和兑换心仪的礼品，积分网站支持尊享积分及交易积分的查询、兑换。
2.信用卡客户可拔打中银信用卡积分服务热线40066-95566查询积分、兑换礼品，电话服务时间为8:30-20:30。40066-95566客服热线支持尊享积分、交易积分的查询、兑换。
3.个人中高端客户可拨打客户服务热线95566通过人工服务查询尊享积分并兑换礼品，电话服务时间为6:00-24:00。
4.财富管理与私人银行客户还可拨打中银贵宾服务专线40068-95566查询兑换尊享积分，电话服务时间为6:00-24:00。
5.通过中国银行缤纷生活手机客户端查询兑换礼品，手机客户端暂只支持信用卡客户注册后对交易积分的查询、兑换。
6.通过中国银行信用卡官方微信公众号（Boc-card）查询兑换礼品，微信公众号暂只支持信用卡客户关注绑定后对交易积分的查询兑换。7.通过中银易商手机客户端查询兑换礼品。
（二）礼品兑换 1.实物礼品
（1）实物礼品提供上门配送服务。自订单成功提交后，30天内由物流公司将礼品直接送至兑换时确认的收货地址。
（2）客户在收到实物礼品时请务必当场检查礼品包装是否完整，如果外包装破损、礼品缺失、或发现任何质量问题，当场应予以拒收,并在包裹单上注明原因。（3）对于收到礼品时未能发现的质量问题或少/缺收礼品，须在收到礼品的7日内，致电客户服务专线（40066-95566）进行申请。更换礼品时只支持更换同种礼品，同时请务必保留原包装、包装内所有物件（含附件及所有附随文件）及收货单据。除礼品在运送途中发生损毁或本身存在质量瑕疵以外，恕不接受更换礼品。2.非实物礼品
（1）非实物礼品（不含航空里程）兑换成功后中国银行将发送短信凭证至持卡人在我行预留的手机号码，客户可凭短信凭证至指定门店使用。
（2）航空里程仅限持卡人兑换至本人航空会员账户。为提高航空里程类积分兑换的安全性，首次兑换时所输入的航空会员号将作为系统唯一识别会员号，再次兑换时航空会员号不能修改及变更。如首次兑换时提供的航空会员俱乐部会员卡卡号有误，所产生的后果将由客户自行承担。
（3）客户须在取得有关航空公司俱乐部的会员资格后，才可使用交易积分兑换相应航空公司的飞行里程奖励，兑换飞行里程需要4周的时间，有关航空公司会将飞行里程转入客户相应的航空俱乐部会员卡内。
（4）国航知音信用卡“前程万里”计划中积分、南航联名卡等我行与各航空公司合作发行的联名卡积分将定期直接兑换到客户指定的里程会员账户中，每月航空里程自动兑换上限请以中国银行网站公布信息为准。（5）非实物礼品恕不提供退换货服务。3.增值服务
增值服务兑换成功后我行将发送短信凭证至持卡人在我行预留的手机号码，客户收到短信后需致电客户服务热线使用（机场贵宾厅服务可依据现场指示持相应卡片刷卡兑换后直接进入）。增值服务恕不提供退换货服务。
五、重要声明
1.在以下任一情况下，中国银行有权取消相关持卡人参加本计划的资格（包括但不限于不累计积分、冻结积分账户、禁止积分兑换、积分扣除或清零等）：（1）违反或未遵循《中国银行股份有限公司信用卡领用合约》、《中国银行股份有限公司信用卡章程》、《中国银行股份有限公司长城借记卡章程》条款；（2）所持有的信用卡或借记卡于积分计划有效期间申请销户，或账户已冻结；（3）所持有的信用卡欠款逾期未还；
（4）涉嫌发生或发生国家有关法律法规规定的洗钱、欺诈等交易行为；
（5）客户出现利用虚假交易（包括但不限于实施无实质经济内容的虚假交易）等手段套取现金、骗取积分或奖品的行为，或其他被银行认定为异常可疑的用卡交易行为。中国银行有权要求持卡人提供消费交易发票、购买凭证等材料，以查实交易真实性，但持卡人无法提交相关材料；（6）信用卡存在出租、转借、交由他人使用的情况；
（7）持卡人将信用卡使用在除发卡机构另有规定外的生产经营、投资等非个人消费领域；
（8）持卡人集中在不符合中国银联相关规定安装银行卡受理机具的所在商户进行交易，导致不应给予积分的交易累计了积分。
积分的累计或兑换若涉及任何欺诈行为，中国银行保留对持卡人追究法律责任的权利和对已赠送积分及已兑换礼品的追回权。2.客户使用积分须知
（1）同一客户名下的尊享积分、交易积分账户相互独立，不可合并使用。非同一客户名下的积分不可合并使用（信用卡主卡名下附属卡除外）；
（2）交易积分中，属于同一客户名下的中银（长城）系列信用卡积分可合并使用（国航知音信用卡等各航空公司联名卡计划中积分除外）；同一客户名下的中银（长城）系列信用卡个人卡与长城企业公务卡（个人清偿）及财政公务卡（个人清偿）的积分可以合并使用；（3）信用卡主卡持卡人可以单独发起换领申请；附属卡须与主卡积分合并使用，并由主卡持卡人发起换领申请；
（4）由于处理积分兑换信息需要通过一定流程，为保证您可以顺利兑换礼品，请务必在积分有效期到期日前1个月通过网站或客服坐席申请兑换。因提交信息不及时或提交信息不全等原因，导致积分无法使用，中国银行恕不予以进行补发、延期等处理；
（5）持卡人进行积分兑换时中国银行将发送动态验证码至持卡人在我行预留手机号码，凡正确输入动态验证码兑换积分礼品均视为由持卡人本人完成的积分兑换；
（6）如持卡人因任何理由将签账消费的商品或服务退还，或因签账消费争议或其他原因而退还交易款项者，中国银行将扣除该笔消费已获得的积分。如在扣除相应积分前，持卡人已将积分用于兑换积分礼品，导致其账户中无足够的积分可以扣除的，中国银行在扣减持卡人积分账户中的积分余额后，对于不足部分，在持卡人积分账户中计负积分，待持卡人将来有新增积分时予以弥补。持卡人积分账户中有负积分时，不予销户，须通过新增累计积分补足账户之负积分时方可申请销户。3.礼品兑换须知
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数字积分 篇5
电子式电流互感器经多年的研究完善[1,2,3,4,5,6,7,8],已广泛地应用于智能变电站[9,10]。目前,国内在网运行的多数电子式电流互感器为空心线圈电子式电流互感器,且多数采用硬件积分器。由于硬件积分器输入端容易受直流偏移影响,为了防止输入端的微小直流偏移导致硬件积分器输出产生直流失真甚至饱和,必须在硬件积分器的积分电容两端并联一个放电电阻。但如此便会导致在系统扰动时,硬件积分器的输出出现暂态失真问题。考察近几年电子式电流互感器现场出现的问题,发现大多数问题仍包含直流失真。直流失真对继电保护短数据窗算法及采样点算法(如采样点差动)影响非常大。
由于数字积分器由软件实现,这就为消除直流失真提供了较大的研究空间。文献[11]提出的数字积分器通过验证对标准正弦信号的响应,取得了理想的结果。但电力系统中存在各种扰动,运行工况非常复杂。在有些扰动影响下,一次电流本身会含有直流分量,且不一定是正弦信号,这就为数字积分器的应用带来了严峻挑战。比如系统故障时,故障电流中可能含有直流分量;空充主变时的励磁涌流本身也含有直流分量,且波形与标准正弦波相差甚远。本文设计了一种双修正环数字积分器,可消除由元器件特性及环境因素产生的直流偏移,同时能区分并保留一次电流本身的直流分量。通过样机研制和实验验证,证明了双修正环互相配合消除直流分量,在正常运行、系统扰动等各种工况下,所设计数字积分器均能够正确跟随原始一次电流。
1 空心线圈电子式互感器结构
空心线圈电子式互感器包含空心线圈传感头、采集器及合并单元,其组成及安装布局如附录A图A1所示。空心线圈电子式互感器根据积分方案的不同,可分为3种:第一种是目前应用最多的,采用硬件积分器,如图1(a)所示;第二种采用数字积分器,积分器在采集器中实现,如图1(b)所示;第三种也是采用数字积分器,积分器在合并单元中实现,如图1(c)所示。
2 数字积分器算法设计
2.1 数字积分器基本算法
数字积分器基本算法有矩形算法、梯形算法、Simpson算法等多种。考虑到矩形算法相频特性不理想,Simpson算法所需数据窗较长,算法复杂,本文选择梯形算法作为基本积分算法。按每工频周期200点的采样速率,梯形算法如下:
式中:i为第i个采样点;k为不大于i的第k个采样点;f(i)为积分器输出采样值;Ts为采样时间间隔;u(k)为AD转换输出采样值。
基本积分算法未考虑前端电子元器件输出直流偏移及数据精度误差影响,因此其输出的采样值往往会有直流误差,且该直流误差会随时间累积,最终导致数据严重失真甚至溢出。因此数字积分器需要采取措施滤除前端直流偏移,同时还要防止正确的直流分量被误滤除。
2.2 双修正环数字积分器算法
为了自适应消除直流误差,双修正环数字积分器在基本积分算法基础上增加了两个直流修正环节:第一个环节在AD转换的输出端,用于自适应消除AD转换前端元器件直流偏移导致的直流误差,该直流误差往往为固定值或随温度缓慢变化值;第二个环节在积分器输入端,用于自适应消除积分器输出端的直流误差,主要包含环节1遗留直流误差、数据精度导致的直流误差等。双修正环数字积分器结构如图2所示。
图中i为第i个采样点,u(i)为AD转换输出采样值,eu(i)为AD转换输出直流分量修正值,u1(i)为u(i)滤除直流误差后的采样值,e1(i)为积分环节直流分量修正值,f(i)为积分器输出采样值。
图2中“直流分量修正1”用于修正AD转换前端由电子元器件及环境因素产生的直流偏移,其具体算法如下:
式中:C1为常数,其值应大于前端电子器件直流输出偏移及AD精度误差之和;e(i)为AD转换输出采样值的直流分量;N为一周期采样点数;mod(i-1,N)表示(i-1)除以N的余数,余数为0时,更新e(i),否则不更新e(i)。
式(2)分支1主要用于一次系统有扰动时,维持扰动前的修正值,防止将系统扰动产生的直流分量误判为直流误差而进行错误的修正。条件1 判据为:最近20个周期直流分量有突变,或最近3个周期的直流分量不稳定。
当满足|e(i)-e(i-N)|>C2时,判为一次系统有突变,将修正环1突变量计数器k1清零,该计数器每来一个新的采样点自动加1。C2为突变判别门槛,取2倍C1和0.02倍电流互感器额定电流的最大值。条件1可表示为:
In为电流互感器额定电流。
式(2)分支2主要用于限制修正速率,降低由修正引起的数据误差,改善整个算法的稳定性。条件2判据为:条件1不满足,同时|e(i-N)|>C1,C1前面的符号与e(i-N)符号一致。
式(2)分支3为正常运行时的修正算法,采用一周期之前的误差值进行修正,防止扰动初始阶段尚未达到扰动判别门槛时误修正。条件3判据为:条件1和2均不满足。
图中“直流分量修正2”用于修正环节1遗留的直流误差及数据精度导致的直流误差,算法如下:
式中:C3为额定电流的6%;d(i)为积分器输出采样值的直流分量;mod(i-1,N )为(i-1)除以N的余数,余数为0时,更新d(i),否则不更新d(i)。
式(4)分支1作用同式(2)分支1。条件4为扰动判别条件,判据为:最近20个周期直流偏移有突变或2次谐波含量过大。
当满足|d(i)-d(i-N)|>Iset时,将修正环2突变量计数器k2清零,该计数器同修正环1突变量计数器k1一样,每来一个新的采样点自动加1。Iset为突变量判别门槛:Iset=max(0.02In,min(0.06In,0.2I1)),I1为基波测量电流。 条件4 可表示为:k2<4 000或I2rd>C4,其中:I2rd为二次谐波测量电流;C4为二次谐波电流判别门槛,C4=max(0.15I1,0.01In)。
式(4)分支2作用同式(2)分支2,用于限制修正速率。条件5判据为:条件4不满足,同时|d(i-N)|>C3。C3前符号与d(i-N)的符号一致。
式(4)分支3为正常运行时的修正算法,采用一周期前的直流分量进行修正,由于主要滤除修正环节1遗留直流误差及数据精度导致的直流误差,正常工作时修正值应非常小。条件6判据为:条件4和5均不满足。
根据以上分析,修正后的积分器算法如下:
式中:u1(k)=u(k)-eu(k);C5为积分器输出直流分量调整系数,用于控制修正速率,其值不应大于1/N,否则可能造成算法发散,导致直流分量越修正越大。
3 试验样机研制
3.1 试验样机硬件系统
为了验证本文设计的数字积分器算法的正确性,运用公司合并单元研发平台进行了样机研制。合并单元样机硬件框图如图3所示。
合并单元样机硬件系统采用PowerPC处理器加高性能大规模可编程门阵列(FPGA)构架。PowerPC处理器作为中央处理单元,主频可达777 MHz,内含浮点处理单元以及快速以太网通信接口,浮点运算速度快,内部以太网接口方便对外通信设计。FPGA用于接收外部FT3数据采集报文,并实现报文诊断及解析,将采样值取出并打包,通过PCI express总线发给中央处理器;PCI express总线数据传输速率可达2.5Gbit/s,完全满足采样实时性要求。采样值(SV)输出采用以太网控制器加信号扩展模块实现,可扩展8个SV输出口,同时输出8路同样的SV报文。
样机开入开出模块主要用于外部隔刀状态及母线互联状态输入,以及输出装置故障告警及失电告警状态。
3.2 试验样机软件开发
样机软件通过在现有合并单元软件平台上增加数字积分器算法实现。数字积分器算法程序包含数字积分器初始化程序和数字积分器中断处理程序。
数字积分器初始化程序流程如图4所示。
数字积分器初始化程序仅在装置上电初始化时运行一次,主要完成数字积分器修正环节1及修正环节2所用到的变量、系数、门槛等的初始化。具体初始化内容包含:基波系数、二次谐波系数、基波及二次谐波实虚部、基波及二次谐波幅值、环节1直流分量数组、环节2 直流分量数组、环节1 修正值数组、环节2修正值数组、采样点计数器、环节1突变量计数器、环节2突变量计数器、采样数据缓冲区偏移量、当前计算直流分量数组下标、当前应用环节1修正值下标、当前应用环节2修正值下标、各电流判别门槛等。
数字积分器中断处理程序在初始化完成后投入,用于进行数字积分器算法运算及判别。为了提高数字积分器算法的效率,程序将相对复杂的算法平均分配到每个采样点中进行运算,如附录A图A2所示。
数字积分器中断处理程序流程如图5所示。
图中,数字积分器中断处理程序首先判断全局变量初始化是否完成,如流程③。若初始化未完成,则中断程序直接结束;否则,进入流程④进行数据运算处理。流程④完成本文所设计数字积分器的主要数据运算,具体运算公式见附录A式(A1)。
流程⑥用于判别采样是否满周期,若采样未满周期,则不进行环节1,2修正值判别及更新,修正值不变,将采样点计数器加1;否则,采样满周期后,环节④所计算的数据满窗,进行流程⑧环节1修正值的判别更新及流程⑨环节2修正值的判别更新。
4 实验验证
4.1 实验系统
为验证样机设计正确性,搭建了完整的样机实验系统。实验系统包含一次电流发生器、空心线圈传感头、电流采集器、合并单元样机、精密电流互感器、电子式互感器校验仪、录波装置、光纤及电缆若干。实验系统如图6所示。
实验系统实物图如附录A图A3所示。实验系统中,一次电流发生器包含变流器及升流器,用于产生一次电流。一次电流同时流经精密电流互感器及空心线圈传感头,空心线圈传感头输出电压小信号至采集器,经采集器转换为光数字信号,发送至合并单元样机;合并单元样机输出采样值报文,一路接至录波设备,一路接至电子式互感器校验仪。电子式互感器校验仪通过比较精密电流互感器及合并单元样机输出的电流测量信号,得出合并单元样机电流测量误差数据。
4.2 实验结果
不加一次电流时,拷机运行24h,合并单元输出无零漂;施加稳态额定电流,运行3h,合并单元输出无直流偏移。在施加不同一次电流时,样机输出精度测试结果如表1所示。
注:In为被测空心线圈传感头的额定电流,为1 200A。
表1所示误差中包含了传感头、采集器、合并单元的整体误差。从测试结果看,完全满足保护用电流互感器精度要求[12]。
为了验证一次系统扰动时数字积分器的输出特性,将图6样机验证系统中一次电流发生器更换为继电保护测试仪,同时将空心线圈传感头更换为定制的小电流空心线圈传感头。采用继电保护测试仪对各种动态仿真波形进行回放,样机输出波形与原始波形完全一致,未出现直流分量的误修正,样机输出波形与原始波形对比如附录A图A4、图A5、图A6所示。
5 结语
本文在分析空心线圈电子式电流互感器结构及其在网运行中所出现问题的基础上,设计了一种双直流修正环数字积分器。以梯形积分算法为例,对两个修正环节的作用及算法中各分支判别条件进行了详细说明。为了验证所设计数字积分器算法的正确性,进行了样机的研制,并搭建了完整的实验系统。实验结果证明,该算法对采样精度基本没有影响,同时具有很强的容错性及稳定性,对系统的动态扰动能够精确跟踪,有利于提高智能变电站数据测量的精度,确保二次系统的稳定可靠运行。
附录见本刊网络版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。
摘要：目前空心线圈电子式互感器多采用硬件积分器,受硬件元器件输出误差及系统扰动影响,硬件积分器在特定情况下存在失真问题。文中提出了一种数字积分器设计方案,该方案采用两个修正环节来调节积分器输出的直流分量:AD采样输出正向调理环节和积分器输出反馈调理环节。AD采样输出正向调理环节主要用于消除电子元器件输出直流偏移;积分器输出反馈调理环节用于调节最终输出的直流分量,其中包含了前端残余直流分量和数据精度误差经长时间累积产生的直流分量。为防止系统扰动时对一次直流分量误修正,对信号调理限定条件进行了分析。通过实验验证,表明该数字积分器对正常电流及各种扰动电流均能够精确跟踪,保证了电流数据的测量精度。
关键词：电子式电流互感器,数字积分器,硬件积分器,数据采集,直流分量
参考文献
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超越函数定积分的积分方法 篇6
特别D是矩形区域[α, b, c, d], 则有
利用引理可以得到的主要结果是:
超越函数定积分的积分方法一:把超越函数定积分I看作是某个参变量y的函数, 记为I (y) , 利用微分运算可通过积分号的引理1, 先微分, 再积分, 最后确定I。
超越函数定积分的积分方法二:把超越函数定积分转化为二元函数的二重积分, 利用二重积分顺序可交换的引理2, 恰当选择积分顺序, 从而得到超越函数定积分的计算。
于是有I (y) =ln (1+y) +c, 令y=α, 于是有
I (α) =ln (1+α) +c=0, c=-ln (1+α) , 从而得到
利用超越函数定积分的积分方法二:
摘要：本文利用二元函数的微分学和积分学的理论和方法, 研究超越函数定积分的两种积分方法。
关键词：初等函数,超越函数,定积分,二重积分
参考文献
[1]复旦大学数学系主编.数学分析.上海:科技出版社.1964年
[2]徐利治, 王兴华编.数学分析的方法及例题选讲 (修订版) .北京:高等教育出版社.1984年
浅谈不定积分的积分方法及其求解 篇7
一、原函数与不定积分的概念
给定一个可导函数F (x) , 对其求导数可得到它的导函数F' (x) .它的反问题是:已知一个函数的导函数F' (x) , 要求出其最初的可导函数F (x) , 注意到导函数F' (x) 也是关于自变量x的函数, 我们给出如下定义:
定义1给定函数f (x) 定义在某区间I上, 如果对于任意x∈I都有F' (x) =f (x) 或d F (x) =f (x) dx, 则称F (x) 为f (x) 在区间I上的一个原函数.
例如, 因 (x2) '=2x, 所以x2是2x在 (-∞, ∞) 上的一个原函数;又因 (sinx) '=cosx, sinx是cosx在 (-∞, ∞) 上的一个原函数.
二、不定积分的积分方法
1. 第一类换元积分法 (凑微分法)
对于不能直接使用基本积分公式求解的积分, 若可以通过适当的变量代换将其化成基本公式中已有的形式, 求出积分后, 再回代原积分变量, 则可求得原来的积分, 这种方法称为第一类换元积分法, 也称“凑微分法”.一般地, 有以下定理:
定理1∫f (u) du=F (u) +C, 且u=φ (x) 是可导函数, 则有∫f[φ (x) ]φ' (x) dx=F[φ (x) ]+C.
证由复合函数的链导法
应用定理1求不定积分的步骤为:
从被积函数的特点出发, 由易到难进行剖析, 从而得到了不同解法.由此可见, 在求不定积分时, 要想灵活运用基本方法得到解法, 必须抓住被积函数的特点, 进行多角度、多方位地剖析, 采取一题多解, 经过多次这样的尝试与探索, 才能丰富解题经验, 产生解题意识, 从而提高求不定积分的解题能力.
2. 第二类换元积分法
第一类换元积分法虽然应用比较广泛, 但对于某些积分, 如等, 就不一定适用, 为此介绍第二类换元积分法.对不能用基本公式、性质和凑微分法求解的积分, 若能选择适当的变换x=φ (t) 将∫f (x) dx变为∫f[φ (t) ]φ' (t) dt, 而后者可用基本公式、性质及凑微分法求得, 求出结果, 这就是第二类换元积分法, 用定理表述如下:
定理2设x=φ (t) 是单调可导的函数, 且φ (t) ≠0, 如果∫f[φ (t) ]φ' (t) dt=F (t) +C, 则有∫f (x) dx=∫f[φ (t) ]φ' (t) dt=F (t) +C=F[φ-1 (t) ]+C.
在求不定积分时, 我们要根据被积函数去寻找它的一个原函数.
三、例题求解
(1) 第一类换元积分法的求解
(2) 第二类换元积分法的求解
解将被积函数有理化, 为此消去根式, 令
(3) 分部积分法的求解
例求∫xcosxdx.
解设u=x, dv=cosxdx=dsinx.
于是, du=dx, v=sinx,
分部积分法的应用范围较有限, 主要用于解决被积函数是两类不同类型函数乘积形式的积分.
结论
在电大经济数学中, 函数的概念与定义与初等数学相比发生了很多的变化, 从有限到无限, 从确定到不确定, 计算结果也可能不唯一, 但计算方法与计算技巧显得更加重要.这些都在不定积分的计算中体会得淋漓尽致.本文通过归纳不定积分的积分方法, 不但使其计算方法条理清楚, 而且有助于对不定积分概念的理解, 对学好积分具有一定的促进作用.
摘要：能够直接利用基本积分公式及积分的性质求解的积分是很有限的, 因此, 有必要寻求更有效的积分方法, 本文将介绍两种重要的积分法——换元积分法与分部积分法及其求解, 这将大大拓宽基本积分公式的应用范围.
关键词：不定积分,积分方法,求解
参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析 (上) (3版) [M].北京:高等教育出版社, 2001:217-219.
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数字积分 篇8
级数的理论已经发展的相当丰富和完整, 在工程实践中有着广泛的应用, 级数可以用来表示函数、研究函数的性质, 也是进行数值计算的一种工具, 它在自然科学、工程技术和数学本身都有广泛的作用。幂级数是数学分析的重要概念之一, 是一类最简单的函数项级数, 在幂级数理论中, 对给定幂级数分析其收敛性, 求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但学生往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材中对这一问题讨论较少, 仅有一两个例题, 使得学生对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。很多专家学者研究了幂级数的求和问题, 如邓俊兰和李鑫的《幂级数求和函数的类型与解法》[1], 孙艾明的《利用解微分方程求幂级数的和函数》[2], 彭凯军, 孙胜先, 苏灿荣的《利用微积分算子求幂级数的和函数》[3]等。学生在学习用逐项积分方法求未知幂级数和函数时, 对积分下限的选取存在困惑, 目前这一问题的讨论甚少, 本文的研究就是针对这一问题。
1幂级数求和的逐项积分法
已知幂级数的和函数, 用逐项积分法求未知幂级数的和函数时, 其方法和步骤如下[4]:
2逐项积分法使用中的两个问题
首先, 已知幂级数的和函数, 用逐项积分法求未知幂级数的和函数时, 积分上下限的选取问题。
两个问题:1、积分下限为什么选取为0;2、积分下限还可以在什么范围选取?
对于问题2, 只要满足逐项积分的条件, 即可用逐项积分法求幂级数的和函数, 所以, 选取积分下限a, 只需满足对任意的x∈ (-R, R) , 都有[a, x]∈ (-R, R) , 即x∈ (-R, R) 。所求幂级数的和函数。通过下面的例题, 验证一下, 当选取积分下限为0和积分下限为a∈ (-R, R) 计算幂级数和函数时, 得到结果一样。
例1:试求幂级数的和函数。
易知在x=-1处收敛, 而在x=1发散, 故的收敛域为[-1, 1) 。
①取积分下限为0时, 设其和函数为S (x) ,
这里S (0) =0, 于是求得:S (x) =-ln (1-x) , x∈[-1, 1) 。
②取积分下限为a∈ (-1, 1) , 不妨设, 设其和函数为S (x) 。经逐项求导得到:,
由例1可以看出, 虽然结果一样, 但是选取积分下限为0, 计算比较简单。
根据以上的讨论, 可知, 当已知幂级数的和函数, 用逐项积分法求未知幂级数的和函数时, 积分上下限的选取。
3幂级数求和的逐项积分法
③验证x=x0-R和x=x0+R处的敛散性, 从而得到所求幂级数的和函数。下面, 通过例2, 演示一下计算过程。
例2:试求幂级数的和函数。
4总结
本文讨论了利用逐项积分法求幂级数和函数时积分下限选取为0的原因, 一个原因是通常情况下, 和函数S (x) 当x=0时值为0;另一个原因是幂级数的收敛区间是以原点为中心的对称区间, 即0为对称中心, 故任意取自收敛区间的x, [0, x]都是可积区间。最后, 本文给出, 积分下限的选取范围不仅仅为0点, 可以在收敛区间内任一点。并通过例题, 验证其正确性。通过这样的讲解, 突破了学习的一个难点, 使学生在学习逐项积分法的时候, 更容易掌握。
摘要：求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的, 它的难度较大、技巧较高, 对学生来说是一个难点, 其中利用逐项积分法计算幂级数和函数的方法, 学生在学习时, 对积分下限选为0感到困惑, 本文讨论了积分下限选为0的原因和积分下限的选取范围。
关键词：逐项积分,和函数,积分下限
参考文献
[1]邓俊兰, 李鑫.幂级数求和函数的类型与解法[J].北京电力高等专科学校学报, 2010 (9) .
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不定积分中分部积分法的新探究 篇9
关键词：不定积分,分部积分公式,微分
高等数学是所有高等学校的一门必修课, 而微积分是高等数学中的重要内容。不定积分研究的是与微分运算正好相反的问题:求一个可导函数, 使它的导函数等于已知的函数。不定积分是微分运算的逆运算, 是微分学和积分学的联系纽带。求不定积分的常规方法包括直接积分法、换元积分法和分部积分法, 其中的分部积分法是教学过程中的一个难点。
分部积分法是利用微分公式d (uv) =udv+vdu, 推导得到了分部积分公式[1].因此, 当不容易直接积出, 而较为容易求出时, 可以采用分部积分公式作为转换。一部分教材[1,2]指出分部积分法的关键是要正确地选择u和v, 选择时应兼顾如下两点: (1) dv容易求出; (2) 容易积出。但是, 这样的描述比较笼统。还有一些教材[3]列举了一些常用的选择方法, 如当被积函数为幂函数和指数函数相乘时, 选择幂函数为u;当被积函数为幂函数和对数函数相乘时, 选择对数函数为u;当被积函数为幂函数和反三角函数相乘时, 选择反三角函数为u;文[4]将基本初等函数分为“低、中、高”三类, 用“低等服从高等”的思路来解决u、v的选择问题;文[5]、[6]则总结出一套“口诀”, 这样都需要学生死记硬背, 不易于学生的理解和掌握。
本文将以例题的形式进一步分析分部积分公式, 不再局限于函数u、v的定义和选择, 而是将被积函数进行分类, 根据被积函数的特点来进行u、v的设定, 进而让学生能够灵活使用分部积分法进行不定积分的计算。
一、类型一:可降幂型
解:被积函数为两个函数的乘积, 利用直接积分法和换元积分法无法求出原函数, 可以考虑使用分部积分法。根据公式, 选择其中一个函数为u, 则剩下的部分就是dv.
若设u=x, 则, 应用分部积分公式 (1) 得
此类型的被积函数为幂函数与指数函数或三角函数的乘积。此时, 一般将幂函数设为u, 指数函数或三角函数则为dv.这是因为应用分部积分公式之后, 幂函数通过微分后次数降低一次, 使得转换后的不定积分较容易求积出。
二、类型二:直接型
解:被积函数为单个函数, 可以将被积表达式lnxdx直接看作udv, 即u=lnx、v=x, 于是
解:被积函数为指数函数与反三角函数的乘积。由于arctanx的原函数不能直接得到, 于是设u=arctanx、, 可得
此类型的被积函数为分对数函数或反三角函数 (即不能直接积分的函数) 与其他函数 (即能直接积分的函数) 的乘积。此时, 将分对数函数或反三角函数设为u, 其他函数则为dv.
三、类型三:循环型
解:被积函数为指数函数与三角函数的乘积, u、v可以任意设定。若设u=sinx、, 则
若设, 而sinxdx=-d (cosx) , 则
此类型的被积函数为指数函数与正弦 (或余弦) 函数的乘积。此时, 需要使用分部积分公式两次才能找到原函数。任意设定其中一部分函数为u, 其他函数则为dv.分部积分两次后会还原到原来的函数, 只是系数有一些相应的变化。因此, 等式两边就含有系数不同的同一积分。
一元函数的不定积分是微积分中的重要知识点, 对定积分的学习有非常重要的作用。教师通过对函数的类型、性质等的细致观察、理解和分析, 可以培养学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力, 进而有助对于学生创新能力的培养。本文针对不定积分中的分部积分法, 通过对被积函数类型的分析将其分为三类:降幂型、直接型和循环型, 简化计算过程, 帮助学生合理、有效地使用分部积分公式。
参考文献
[1]祁爱琴, 邵珠艳, 胡西厚.医用高等数学[M].北京:科学出版社, 2013:77-97.
[2]王培承, 祁爱琴, 魏曼莎.医科高等数学[M].济南:山东人民出版社, 2010:76-98.
[3]同济大学应用数学系.高等数学[M].第六版.北京:高等教育出版社, 2007:184-222.
[4]范梅.不定积分的分部积分法探究[J].西安航空学院学报, 2015, 33 (1) :66-68.
[5]胡结梅, 郑华盛.不定积分计算方法注记[J].高等数学研究, 2014, 17 (6) :10-13.