不定积分求解（共7篇）
不定积分求解 篇1
不定积分常见的有四种解法:直接积分法、凑微分法、第二换元法、分部积分法。其中分部积分法主要适用于被积函数是两种不同类型的函数的乘积时, 如∫p (x) sinxdx;∫p (x) exdx;∫p (x) lnxdx;∫p (x) arctanxdx;∫exsinxdx等 (p (x) 为x的多项式) 。但在实际解题中, 当p (x) 为高次多项式时, 该类积分不仅计算繁琐, 而且容易出现计算错误。考虑到导数公式 (uv) ′=u′v+uv′和, 我们不妨采用待定函数法求解, 可有效避免上述不利情况。
1 对于∫xnexdx型, 设y=qn (x) ex (qn (x) 为x的n次多项式)
例1:求不定积分∫x3exdx
解设y= (ax3+bx2+cx+d) ex
易知a=1;b=-3;c=6;d=-6
2 对于∫xnsinxdx型, 设
例2:求不定积分∫x4 sinxdx
解:设y=ax4sinx+bx3cosx+cx2sinx+dxcosx+esinx
易知a=1;b=4;c=-12;d=-24;e=24
3 对于∫emxsinnxdx型, 则设y=emx (asinnx+bcosnx)
例3:求不定积分∫e5xsin2xdx
解:设y=e5x (asin2x+bcos2x)
4 若为∫xexsinxdx型, 则设y= (ax+b) exsinx+ (cx+d) excosx
例4:求不定积分∫xexsinxdx
解:设y= (ax+b) exsinx+ (cx+d) excosx
5 其它被积函数为分式, 而又不适于用换元法求解的
有时, 可能会碰到形如类型的不定积分, 乍一看无从下手, 其实也属于分部积分求解类的, 不过因隐藏较深不易观察而已。当然对于此类问题, 我们也可以利用待定函数法比较方便的求解。
说明:用待定函数法求解不定积分, 关键是根据被积函数的特点确定待定函数式, 对此需多注意结合函数积与商的导数表达式去探寻其规律。
不定积分求解 篇2
针对非线性BlackScholes方程，基于quasiShannon小波函数给出了一种求解非线性偏微分方程的自适应多尺度小波精细积分法.该方法首先利用插值小波理论构造了用于逼近连续函数的多尺度小波插值算子，利用该算子可以将非线性BlackScholes方程自适应离散为非线性常微分方程组；然后将用于求解常微分方程组的精细积分法和小波变换的动态过程相结合，并利用非线性处理技术（如同伦分析技术）可有效求解非线性BlackScholes方程.数值结果表明了该方法在数值精度和计算效率方面的优越性.
关键词非线性BlackScholes方程；插值小波算子；精细积分法
中图分类号O211.63 文献标识码A
1引言
期权又称为选择权，是在期货的基础上产生的一种衍生性金融工具.就期权其本身而言，它并不是某一独立的证券，但它通常又是由证券衍生而来，依附于某一证券且以其为标的资产，因而常称衍生证券或金融衍生产品[1].因此，期权定价和标的资产（股票、有价证券等）价格密切相关，而标的资产价格往往遵循某种随机过程.期权定价理论的研究具有一定的挑战性，是持续近50年的研究热点.1973年，Black和Scholes在有效市场和股票价格遵循几何布朗运动等一系列的假设下，运用连续交易保值策略推导出了著名的BlackScholes期权定价模型，并建立了看涨期权定价公式[2].与此同时，Merton也发表了类似的期权定价公式[3].该成果是金融衍生证券发展史上的里程碑，为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础.该定价模型和公式的创新之处在于期权的价格不依赖于投资人的个人偏好，把所有投资人引向同一个以无风险利率作为投资回报率的风险中性世界.但BlackScholes模型设置了太多的假设，很多假设并不符合实际情况，如无税收和交易成本，无套利机会等[4，5].因此，近20年来非线性BlackScholes模型一直是学术界研究的重点.在非线性BlackScholes模型中可以将很多实际因素如交易费用[6，7]、无保护组合投资风险等影响股票价格、波动率、漂移率和期权价格本身的因素考虑进去[8-10].一般很难导出非线性BlackScholes方程的精确解析解[11].
已有的数值求解方法通常先将非线性期权定价模型变形为抛物型偏微分方程，然后采用有限差分法进行求解[11，12].事实上，非线性BlackScholes方程变形后得到的抛物型偏微分方程的解具有明显的激波存在.因此，相对于其他方法，自适应多尺度方法更有利于求解该非线性偏微分方程.文献[13]给出了一种多尺度插值小波方法，论文给出的数值结果体现了这种方法的优越性.近年来，笔者构造了多尺度小波插值算子，结合求解常微分方程组的精细积分法导出了求解非线性偏微分方程的小波精细积分法.本文的目的是将小波精细积分法应用于求解非线性BlackScholes方程的求解中.
2非线性BlackScholes方程
2.1模型描述
欧式看涨期权持有者有权在在期权到期日（T）以执行价格K购买指定数量的标的资产S（t），期权售卖者也有义务按照执行价格卖出标的资产.因此，期权到期后的价值可表示为：V（S，T）=（S-K）+.相反，看跌期权则是期权持有者有权将标的资产按照执行价格卖给期权售卖者，因此，看跌期权到期后的价值可表示为：V（S，T）=（K-S）+.欧式期权只能在到期日进行交易，而美式期权可以在到期日前的任意一天进行交易.这就导致美式期权和欧式期权的定价公式有很大区别.
BlackScholes模型的提出使得期权定价理论获得突破.线性BlackScholes 模型的解可表示为偏微分方程：
市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；
股票资产在期权有效期内不支付红利及其他所得（该假设可以被放弃）；
金融市场不存在无风险套利机会；
金融资产的交易可以是连续进行的；
可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作.
在以上假设条件下，任何资产均可用市场上的其他资产的投资组合进行复制.通过将线性BlackScholes模型变形为热传导方程可以得到期权价格的解析解.
显然，这些严格的假设并不符合实际情况.如果考虑交易费用，该模型将变为强非线性问题，如退化对流扩散方程，漂移率和波动率同时和时间、标的资产价格S以及期权价格V自身相关.本研究将线性BlackScholes模型推广为考虑交易费用的欧式期权和美式期权的非线性模型，在这些模型中漂移率为常数而波动率为
如果不支付红利且波动率为常数，美式看涨期权和欧式看涨期权的价格相等，因此式（1）不适合用来描述美式期权的价格.式（2）中的波动率是的函数，将需要支付的红利考虑进去，便可得到美式期权定价方程
数值求解结果如图2所示.由此可见，自适应小波数值方法可有效捕捉看涨期权价格演化过程中梯度变换加大的位置，在激波处自适应增加配点数.由于只是在局部增加配点，既保证了解函数在出现激波的位置处的逼近精度，也避免了非自适应方法全局增加配点所带来的计算量的增加.
此外，为验证该方法在分析期权定价方面的有效性，将Leland模型的小波精细积分法求解结果和线性BlackScholes方程的精确结果进行了对比，其误差如图3所示.两种模型得到的期权价格差异主要体现在执行价格附近，随着在执行价格附近交易量的增大，交易费用所带来的期权价格波动率的增大也体现出来.其直接结果是非线性BlackScholes模型计算得到的期权价格在执行价格附近更符合实际结果.这也从另外一个角度验证了本文所给出的方法的有效性.
计算结果如图4所示，该图只绘制了非线性模型和线性模型得到的计算结果的差异由该模型得到的结果相对于其他模型和线性模型得到的结果差值更小一些
nlc202309031959
3）风险调整定价方法
该模型试图寻找两次相邻交易时间间隔的最优值，使交易费和无保护组合的风险率降到最低.这种情况下的波动率可采用以下形式
计算结果如图5所示，该图只绘制了非线性模型和线性模型得到的计算结果的差异.由该模型得到的结果和Leland模型相差不大.
4.2计算精度和效率对比
4.2.1小波精细积分法和有限差分法
线性BlackScholes模型具有精确解析解，因此，通过对线性模型进行求解可以对比小波精细积分法和有限差分法的数值精度和计算效率.线性BlackScholes模型具有精确解析解可表示为
其中y是分红率分别用有限差分法和自适应小波数值方法对线性BlackScholes模型进行求解，结果如图6所示由图6可见，尽管两种方法在执行价格附近的波动都较大，但有限差分法在其他点处的误差明显较大有限差分法采用空间均匀离散方法，总离散点数为4 096个；自适应小波数值方法的离散点数则在211-242之间动态变化，计算量大大低于有限差分法，充分体现了小波数值方法的优越性
看涨期权和线性看涨期权的差异
小波和RungeKutta方法组合也是求解非线性偏微分方程的常用方法，为说明小波精细积分方法求解非线性常微分方程的有效性，下面对小波自适应精细积分法和小波自适应四阶RungeKutta方法的数值结果进行对比.
采用小波精细积分法求解，误差只出现在解的梯度较大执行价格附近，其它位置的误差几乎为0，而RungeKutta法的误差在其它位置也比较明显，尤其在边界附近比较明显.另外注意到，即使采用精度较高的多步法，如AdamsBashforthMoulton方法，在边界附近产生的误差也非常明显.表2给出了这三种方法的数值结果在不同时刻的最大误差，从中可以看出，小波精细积分方法的计算精度优于另外两种方法.
表2Leland方程数值结果的最大误差
5结束语
BlackScholes模型不但在期权定价方面得到广泛应用，在其他金融衍生产品如期货、风险投资等领域也得到越来越多的应用，随之而来的是不同的非线性期权定价模型不断被提出.因此，高效的数值求解方法或近似解析方法具有非常重要的理论意义和实用价值.小波数值方法其实属于一种半解析方法，充分利用了小波变换的自适应性和精细积分方法的高精度特性.但同时注意到，非线性BlackScholes模型相对于时间参数是弱非线性方程，将弱非线性方程的处理方法（如摄动法）引入本文方法有望进一步提高方法的计算效率.
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用灵活的方法求解不定积分 篇3
关键词：高等数学,不定积分,灵活使用
在高等数学中, 求解不定积分是最基本、最重要的内容之一.由于不定积分是微分的逆运算, 所以决定了求解不定积分的复杂性、多变性, 也就是这样造就了许多解题技巧和灵活的解题方法, 那么在解题过程中怎样才能快捷、正确地求出结果呢?这就要求必须仔细观察被积函数的结构特点, 灵活组合使用各种积分方法和技巧, 从而顺利地求出不定积分.下面举例说明.
例1求
.
分析本题大家最容易想到的方法是将分子化成:1=sin+cos, 但这样求解过程比较烦琐, 如果我们能利用凑微分:sec2xdx=dtanx, 则运算会得到简化.
例2求
.
分析本题若用万能代换t=tan求解, 则计算工作量较大, 显然不是最好的方法.如果我们能根据被积函数的特点, 对分子做添项减项处理, 再利用凑微分 (-sinx+cosx) dx=d (sinx+cosx) , 从而快捷地求出结果.
例3求
.
分析该题若用待定系数法求解, 需要确定8个系数, 这样的计算量是很大的, 但仔细观察被积函数的特点, 如果将分子、分母同乘x6, 再利用凑微分x6dx=dx7, 则计算过程就会大大简化, 从而顺利求出结果.
例4求
.
分析本题被积函数含有, 因此大家最熟悉的方法是换元积分法, 即令x=sint, 但这样计算量较大, 如果我们将x5化成x4·x, 再将x4化成x4=[1- (1-x2) ]2, 则计算量就会大大减少, 从而提高解题的技巧.
例5求
.
分析由于被积函数含有, 因此自然会想到变量代换x=acsct, 但这样并不是灵活的方法.如果我们观察被积函数的特点, 将分子化为:1=, 则解题的灵活性会得到很大的提高.
例6求
.
不定积分求解 篇4
近年来,随着电子信息技术的发展,军用和民用电磁辐射源数量急剧增加,电磁环境日益复杂,电子信息系统在工作过程中面临着严重的有意和无意电磁干扰[1]。功率比较小的电磁脉冲可能会对系统的正常工作产生干扰,而高功率强电磁脉冲会对电子电气系统造成危害,其入射场能够通过孔缝、电源线、信号线等在系统内部的敏感器件上产生电压和电流,引起误码率上升、效能降低等一系列问题,或导致系统崩溃和烧毁。例如雷电、核电磁脉冲或定向能电磁脉冲可以从飞机、卫星、导弹等的金属表皮上的透波窗进入系统内部,直接耦合到或者通过半屏蔽、非屏蔽线缆间接耦合到高灵敏度接收机、光电转换设备等敏感器件上,造成故障甚至损毁[2]。
实际工作中,在对电尺寸比较大的目标和区域运用电磁场数值算法计算和分析时,通常遇到计算方面的困难,主要表现在巨大的剖分网格数量和运算量对计算机软、硬件的需求,这往往会导致计算时间以天计甚至超出当前计算机技术的水平[3]。
这就引发了一系列问题和思考:如何描述复杂电磁环境下的电子信息系统?如何描述电磁环境与电子系统的交互作用?如何在环境和系统仅局部发生改变时避免大量的重复计算?如何合理地组织各种分析和计算方法对实际问题进行分析?
针对这些问题,本文提出以EMT (Electromagnetic Topology,电磁拓扑)理论来指导整个电磁脉冲传播与耦合计算过程,对计算对象进行合理分层,每层分别选择合适的方法并进行针对性的设置,最后加以计算。
电磁拓扑的概念最早是20世纪70年代美国空军研究实验室的Carl E. Baum教授为了有效解决核电磁脉冲环境下的复杂系统受扰及电路效应首次提出的[4]。但其后相当长的时间内,限于计算机硬件及相关算法的水平,未能得到广泛应用[5]。
1 电磁拓扑的思想及实现步骤
电磁拓扑理论的基本思想是:利用拓扑学理论及其所提供的方法,将研究对象空间分解成不同大小的区域,各个区域之间通过系统的拓扑结构相联系,在分别研究的基础上加以综合,从而把复杂的电磁耦合问题分解成相对独立的简单问题来解决,实现对处于电磁环境中的电子设备的性能与状态的分析和评估[4,5,6]。
运用电磁拓扑方法解决问题的流程主要包括以下四个步骤。
1.1 对系统进行拓扑分解
找出系统中所有可能与外部电磁环境发生关系的点,确定分析范围,对系统进行分解。外界电磁能量要对电子系统内部某部件产生干扰,必须要通过系统的层层屏蔽。对每一屏蔽面定义一种或几种传输函数来描述能量的穿透过程,包括孔缝的透波、非理想屏蔽材料带来的透波、通过电缆的直接电磁能量注入等。为了描述系统的拓扑结构,对屏蔽表面可以根据能量的传播路径进行分层、编号。如图1所示。
简单系统可采用单下标编号方式。通常,目标空间可能含有不止一个子空间,这时采用单下标的表示方法已经不足以表示系统的复杂程度。实际系统(如飞机、舰船等)内部通常存在不同结构顺序和结构形式的屏蔽面。有些屏蔽面以蜂窝状的结构形式出现(如舰船的分隔舱);有些屏蔽面嵌套于系统屏蔽面内且相互分隔(如电子设备的机壳),因此,引入第二个下标,例如,Vi,k表示第i级别的第k个子空间。
1.2 构造交互作用序列图
系统外部电磁环境耦合到系统内的路径作为交互作用序列图的边,相互关联的各个体积作为交互作用序列图的节点,从而确定整个系统的交互作用序列图。
通过系统的拓扑分级,可以对能量的耦合进行分阶,以图1所示的系统为例,外部能量可能通过S1,S2,S3耦合到V3;也可能通过S1,然后经电缆直接耦合到V3。第一种可称为3阶耦合,第二种可称为2阶耦合,不同阶数的路径带来的耦合效果是不同的,阶数越高,表示屏蔽越多,能量就越难进入。而且,即使阶数相同,因实际耦合路径不同,屏蔽效果也不同。
回到图1所示情况。从Vi,k到Vi,k′的转移函数编号为Ti,k;i,k′。若转移函数不只一个,即路径不只一条,则可再加上标区分;若有直接电磁能量传输,转移函数也可跨屏蔽,如通过天线直接耦合。在分析实际系统时,其拓扑模型是相当复杂的,表示系统各区域电磁能量的相互作用关联图也十分复杂。应用电磁拓扑理论分析实际系统时,首先要确定完整的相互作用关系,在此基础上根据实际情况再做简化以便分析。
1.3 对子问题进行求解
拓扑分解后的问题,一般需结合激励和边界条件,采用传统的电磁场计算方法,求得子问题的解。此外,还可通过测试、解析或经验公式计算等非数值方法获得子问题的解。
求解的基础和方法包括:典型耦合路径的研究成果,如孔缝耦合、滤波器的幅频特性、不同传输线的传输特性、不同材料和不同结构形式的屏蔽特性;系统耦合路径传输函数的实验结果,如某飞机缩比模型的舱内场分布实验结果可以当作舱内某处安装设备的外部激励源;数值算法直接建模分析,在模型准确、基函数以及激励源设置正确的情况下能得到较精确的结果。
1.4 系统响应的综合
子问题的求解和系统响应的综合可同时进行,也可分别进行。综合各子问题的结果以获得系统响应,系统的响应最终会落到系统内部某设备或器件的响应上。
以图2所示系统中V3,1的响应为例,为方便说明,假设近似后的耦合路径只有T0,1;2,2+T2,2;3,1,即外部能量通过天线接收到V2,2,再通过电缆耦合到V3,1。可分为T0,1;2,2和T2,2;3,1两个子问题,前者采用电磁场的数值方法,对天线和系统外表面整体建模,考虑电缆的传输损耗,计算V2,2的响应;再将V2,2看作二端口网络,以实验或数值的方法得到其散射参数,作为传输线的终端之一,并以前者的计算结果为激励源,采用传输线方法,最终得到V3,1的响应。
2 时域积分方程及其加速方法
电磁拓扑理论提供了电磁脉冲传播特性分析的方法论;在建立拓扑模型和交互作用序列图之后,最重要的一步是能够进行子问题的求解。从图2来看,最终需要落脚到电磁场的计算上,而非实验的验证方面最为可靠的工具还是电磁场的数值方法。
选择TDIE (Time-Domain Integral Equation, 时域积分方程)方法作为研究的重点,是因为TDIE具有分析强电磁脉冲传播与耦合特性的与生俱来的优势[7]。
TDIE法是基于所求问题的Green函数和边界条件建立积分方程,然后把空间变量的积分区域和时间变量都离散化,通过在空间域和时间域上的匹配把积分方程化为线性方程组。由于空间中某点在某一时刻的响应仅仅受到此前存在、并满足时间延迟关系的源的影响,因此这个线性方程组的求解可从已知初始值开始计算,按时间步进的方式递推,逐步求出各时间取样点的响应值,这就是时间递推法(Marching-on in-Time,MOT),其优点是不需人为设置边界条件。
TDIE有三种形式:TDEFIE(Time Domain Electronic Field Integral Equation,时域电场积分方程), TDMFIE(Time Domain Magnetic Field Integral Equation,时域磁场积分方程)和TDCFIE(Time Domain Compound Field Integral Equation,时域混合场积分方程)。TDEFIE是基于电场边界条件推导出来的,TDMFIE是基于磁场边界条件推导出来的,TDCFIE是前两种积分方程的结合。
利用TDEFIE或者TDMFIE求解闭合金属目标电磁散射问题时,会受到目标内谐振频率的影响,导致时域数值解出现后期震荡现象。这是因为在目标的谐振频率处,TDEFIE或TDMFIE变换到线性方程组时会产生病态矩阵。解决这一问题的方法是采用时域混合场积分方程。
理论上,电场积分方程和磁场积分方程是等价的,但它们的数值性能却有很大的不同。电场积分方程属于第一类Fredholm积分方程,而磁场积分方程是第二类。第一类Fredholm方程通常是病态的,而第二类的病态性要低得多[8]。因此从MFIE出发得到的离散矩阵的条件数要比EFIE好得多,若采用迭代法求解最终离散的线性方程组,磁场积分方程求解的收敛速度要快得多。时域电场和磁场积分方程的数值性能差异则表现在离散磁场积分方程要比电场方程稳定。由惟一性定理知,对于无耗区域,电磁场不能由边界的切向电场或切向磁场惟一确定。而电场或磁场积分方程正是分别根据边界的切向电场、磁场确定的。这便产生了内谐振问题。混合积分方程由电场和磁场共同采用,可克服这一问题。
TDEFIE既可应用于闭合结构,也可应用于开放结构,同时也能精确处理细线问题;TDMFIE和TDCFIE只能处理闭合结构。原因在于,对于非常薄或者厚度可以忽略的散射体,物体上表面未知等效电流的方程和对应的下表面电流方程是一样的,总方程具有奇异性。但由积分方程的数值计算可以发现,在离散EFIE中,上表面未知数前的系数与下表面对应的系数一样,因此可将上、下表面未知数相加作为新的未知数,进而解出新引入的未知数。而离散MFIE则不具有上述性质。
无论是频域的矩量法还是时域的MOT,其计算量的主要来源均为广义阻抗矩阵与广义电流向量的乘积运算。其计算量需要大量内存和CPU时间,使得计算电大目标问题难以实现,需寻求加速算法。
(1) 最常用的加速方法是时域平面波,其思想是将矢量势展开为平面波形式,将邻近的电流单元组成一组,把单元之间的直接相互作用转化为组与组之间的相互作用,从而降低矩阵向量相乘的复杂度。设组与组之间都构成远场对,其中每个组内的源将通过聚集、转移、投射三个过程建立起对其他组内空间单元的作用。这就避免了传统MOT对每个基函数之间的相互历史作用都要考虑的繁琐计算。如图3所示。
(2) 时域自适应积分方法。该方法基于这样一种设想:与源点相距很远的区域的场可以通过简化源点分布信息的方法近似计算。频域自适应积分加速MOM的具体实现过程是:在满足设定远场标准的基础上,将场、源基函数之间的相互作用转换为规则网格点电流之间的相互作用,并采用FFT/IFFT快速计算,达到提高计算效率的目的。
(3) PO-TDIE混合方法。分区时,PO(Physical Optics, 物理光学)算法仅用于面目标,线目标均划为TDIE区;变化剧烈的地方划为TDIE区,光滑表面划分到PO区;在PO区和TDIE区交界处的三角面元被PO基函数和TDIE基函数所共用,为了保证计算精度,交界处的内边统一划分到TDIE区。计算量的缩减体现在忽略了PO区内源的互阻抗。PO区基函数一般会占很大比例,这种忽略可极大地节省阻抗矩阵计算量。
(4) 一致性几何绕射加速的TDIE。MOT方法的主要计算量集中在求和项,即历史时刻各个等效源对当前场点的作用,称为迟滞积分。该求和计算后将形成一个向量,其中第m个向量元素的物理意义是以前所有时刻目标表面的电流源对第m个空间基函数的辐射贡献。当前时刻的表面场与所有先前时刻的表面源有关。第n个源点对第m个场点的作用大小取决于阻抗元素和电流系数的大小,阻抗元素的大小与源点和场点的距离有关,电流系数的大小与目标形体、激励形式和时间分布有关。忽略那些作用十分小的源,就可以减少迟滞积分的计算时间,达到加速目的。
在几何绕射理论中,对场点的贡献由源点的直接作用和源点通过反射点以及绕射点的间接作用组成,因为高频时这些关键点的贡献占总贡献的绝大部分。基于此,在电大情况下,迟滞积分的主要贡献是各源的近邻作用和关键点的作用之和。那么,积分中需要计算的项为近邻区+活区+反射区+绕射区,其他项则可以忽略。
前面的几种算法主要针对金属材质,在金属/介质混合体方面,可采用时域C-PMCHW (Poggio-Miller-Chang-Harrington-Wu)耦合积分方程。计算集总电路与任意三维几何体间的电磁耦合时,不再假设金属为理想导体,而设为有耗金属,有限电导率。对于含有集成电路模块和基片系统这类场-路混合问题的仿真,时域方法是非常有用的,不但可以精确模拟电路中的非线性元件,而且还可以获得宽带信息。
针对复杂电磁结构体与电路互连的混合问题,将电磁场分析中的TDIE法与电路分析中的节点分析法相结合,实现一种可同时模拟复杂电磁结构与线性、非线性集总电路间耦合的方法。如图4所示,这种方法的基础是在电路和电磁结构体间引入“耦合电流”的思想,并将完善的电流连续性方程和广义基尔霍夫定律应用于电磁结构与电路的耦合分析中。
3 电磁拓扑与积分方程的结合
基于以上分析,复杂电子系统受扰分析的步骤如图5所示。
具体求解时,首先根据所求问题的物理结构,将问题拓扑分解为若干个相对独立的子问题;然后,基于Maxwell方程组,对每个子问题进行电磁建模;根据各子问题的特点,选择最恰当的电磁计算方法进行求解,最终得到系统的响应。可见,电磁拓扑理论作为一种预先分析的方法论,不同于传统电磁计算方法,是对电磁计算方法进行统筹、安排的,处于指导地位。而对于强电磁脉冲对电子系统的耦合问题,时域积分方程不失为一种优选的方法,可实现与电磁拓扑的良好结合[9]。
4 结 语
对电磁脉冲信号的传播特性开展研究,以及对电磁脉冲信号耦合进入敏感系统的途径进行分析,是掌握电磁干扰特性并进而提出电磁兼容设计方案的基础,以及掌握电磁毁伤机理进而提出电磁防护方法的基础,有助于准确评估电磁环境的复杂程度,提出应对复杂电磁环境的策略。
本文研究的问题为复杂电子系统与电波传播提供了一种方法论,预先对问题进行分析和分解,使得复杂电磁计算问题由难变易,对于解决实际问题具有技术指导作用。
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不定积分求解 篇5
关键词：椭圆积分,转绳线,数值求解,垂直轴风力发电机
椭圆积分是从事机械制造(例如柔轮或非圆齿轮等零件的设计)、断裂力学、电磁学、回旋加速器、精密计量以及天体力学等方面工作的科技和教学人员常用的数学工具[1,2],其数值往往需要查表才能得到[2]。
尽管大部分的数学手册或数学用表都会给出完全椭圆积分的数值,但由于受到位数和步长的限制大都不可能达到很高的精确度[2]。针对椭圆积分的近似求解,文献[2]做了相应研究。与文献[2]不同的是,文中应用数值方法对第一类完全椭圆积分和不完全椭圆积分进行近似的求解,结合应用实例,对特定值k值的近似结果的误差进行计算分析,所采用的方法简单、可靠,避免了查表的麻烦以及先进的计算工具与落后的查表方法之间的不协调,同时也可以大大地减少数据的误差,方便在工程设计人员中进行推广。
1 椭圆方程的数值求解及误差分析
考虑到合理的求解速度,针对椭圆积分的数值近似求解选择了收敛速度较快的梯形法。通用的梯形公式表达为:
由文献[3]得到梯形公式的最大误差计算公式为:
由式(2)可以看出,减小误差的最为直接的方法就是取n→∞,而实际计算过程中,如果n值大小不做限制,虽然得到的结果趋于精确但计算耗时太长,因此选择合适的步长和迭代次数,得到合理精度的计算结果对工程设计人员来说是具有实用意义的。
由梯形公式法,分别取值n=10i(其中i=1,2,3,…7),进行计算,并使用式(2)对计算结果进行误差计算。随着n值的增加,计算机对椭圆积分的计算时间亦是成几何级数增加,从对应的结果可以看出,如果最大计算误差<0.01%为可接受的范围,则对应10-5的步长n-1可以最快得到近似的结果;对于步长≤10-6的近似计算来说,过小的步长对近似解的精度影响有限。图1～3为关键计算步长时的完全椭圆积分数值计算结果的误差。
2 数值解法的应用实例
垂直轴风力发电机(Vertical Axis Wind Turbine,VAWT)的风轮从叶片型式上可以分为圆柱形达里厄风轮(H型风轮)、抛物线达里厄风轮(准型风轮)和圆台型达里厄风轮,见图4。
通常φ型风轮采用Troposkien曲线作为叶片型线,如图5示。总长L0,单位长度质量m0的柔性绳索2端固定,以角速度ω绕固定轴旋转,受离心力作用自然弯曲形成Troposkien曲线,取PP0段为研究对象,P点处绳索的张力为T,PP0
段总重量为G,离心力为Fc,将PP0段的载荷进行坐标轴正交分解,得到:
式中:δ-张力T与垂直方向的夹角,(°),如图标,取值范围δ∈[0,π/2]。
式(3)中的Fc和G分别为:
式中:m0-单位长度叶片的质量,kg/m;g=9.83m/s2(重力加速度);ω-风轮旋转角速度,rad/s;T0-材料理论极限张力,N。
由图5所示的几何关系及综合式(3)～(5),得到:
式(6)为“微分-积分方程”。当ω较大时,绳索的自重相对于张力、离心力是小量,对其忽略后得到:
利用H0对r和h无因次化,得到:
取值:
对应段,取值β=R/H0,整理式(9)得到:
整理多项式后,引入变量式(11)和式(12),得到式(13)
取值x=sinψ,ψ∈,则dx=cosψdψ,替代式(13)中变数x,得到:
式(14)整理后得到:
式(15)为第一类椭圆积分的不完全椭圆积分与椭圆积分的差值。对应式(15)中的完全椭圆积分与不完全椭圆积分的差值,应用梯度公式法进行数值计算,其中取步长10-5,取k=sinψ,设定H0=27m,应用梯形公式法对式(15)在ψ1=30°和ψ2=60°时进行近似计算,结果表示为图6。
取式(16)对应ψ的值为完全椭圆积分函数的max(Mj),对应ψ1和ψ2应用梯形公式法的最大计算误差为:
3 结论
文中详细列出了不同k值和步长的完全椭圆积分的数值计算结果,并与数学用表比对,计算了与数学用表的误差和梯形公式法的理论误差。分析表明:(1)运用数值解法求解积分,步长选择对结果精度和计算耗时均有影响;(2)梯形公式法适用于第一类椭圆积分的数值计算,步长取值10-5时,与数学用表的误差小于0.01%。
椭圆积分的近似求解基于通用平台Matlab实现,可根据需要的精度调节计算步长,在计算耗时和精度间选择合适的方案。文中提出的方法简单、可靠,适用于类似积分的数值计算,方便在工程设计人员中推广。
参考文献
[1]Hancock H.Elliptic Integrals[M].New York:Dover Publications,Inc.,1958.
[2]何明高.在Matlab计算机语言程序中调用勒让德第一类完全椭圆积分[J].广东机械学院学报,1996(12):42-47.
[3]四川矿业学院数学教研组.数学手册[M].北京:科学出版社,1977.
不定积分求解 篇6
一、利用积分因子来解微分方程
二、简单的方法
首先是观察法, 在教材当中, 已经对全微分方程的解答方法进行了分析, 但是全微分方程的通解是如何求出来的?下面利用积分因子来对微分方程的问题进行了解答。
第一种是观察法, 必须要对方程的形式进行观察, 从而找出方程的积分因子。比如, 有一道这样的题目, 求微分方程xdyydx的积分因子。
第二种是重新组合法, 有一道这样的题目, 求微分方程 (1+xy) ydx- (1-xy) xdy=0这个式子的通解。可以这样计算, 因为, 所以这个方程不是全微分方程, 而且不容易观察出其中的积分因子。要采用一种新的方法, 也就是重新组合法来进行解答, 求出积分因子。将原来的方程进行重新解答, 可以得出: (ydx+xdy) +xy (ydx-xdy) =0。
由上面的式子可以看出, 采用重新组合的方法, 可以很快的求出微分方程的积分因子, 而且还能够求出微分方程的通解。
第三种是分组凑微分法, 有一部分的微分方程, 必须要采用这种方法来进行解答。它常常使用的凑微分公式有这几个, d (x±y) =dx±dy, 或者d (xy) =ydx+xdy, 也或者等于d (1n y) 。
从上面可以看出, 利用积分因巧解微分方程, 可以有许多的不同的方法。采用以上的方法所得出的积分因子有等等。通过采用这些方法进行计算, 也可以加深对微分方程的理解, 最终明确如何在常微分方程当中应用积分因子。
三、其他的解法
另外还有几种类型比较特殊的积分因子的求法, 本文对这些求法在微分方程当中的应用进行了分析。
另外, 上面所举的例子当中, 所讨论的微分方程都有特殊因子, 而且这些方程也有特殊的结构, 那么可以根据其结构求出式子的积分因子。最后得出下面的结论。
第一个结论是, 方程M (x) N (y) dx+P (x) Q (y) dy等于0, 其中可以得出积分因子——, 直接的进行验证, 也可以得出这样的结论。
第二个结论, 加入x M+y N≠0, 而且M和N都是m次齐次函数, 那么方程Mdx+Ndy等于0, 最后得出积分因子为。
证明:将整个方程两边同时乘以等于0, 在这个式子当中, M和N都是m次齐次函数。
变量分离方程是g (u) dx+udx+xdu等于0。它的积分因子应该是这样的, 。
因此, 原来的方程有积分因子, 。
第三个结论是, 假如函数f (u) , g (u) 连续、可微且f (u) ≠g (u) 。那么方程yf (xy) dx+xd+xg (xy) dy等于0。可以得出积分因子:。
摘要：虽然恰当微分方程有一个常用的求解公式, 但是并不是所有微分形式的一阶方程都属于恰当微分方式。所以, 能不能将非恰当方程化作恰当方程, 就有非常大的意义, 也因此, 可以采用积分因子的方法。本文主要研究了解常微分方程中应用积分因子法的方法, 通过这样的方法, 能够使解题更加简单和清晰。
关键词：积分因子,恰当微分方程,应用,解答
参考文献
[1]王迎春.积分因子法在求解常微分方程中的应用[J].林区教学, 2012 (5) :94-95.
不定积分求解 篇7
关键词：函数,积分,可视化,MATLAB
1、操作界面与功能
进行函数的积分运算, 需要用户输入被积函数的表达式及其定义域区间、积分区间。实现求解函数的积分的操作界面如图1。
为了方便工程技术人员求解函数的积分。本文探讨在用户通过文本框输入被积函数的表达式及积分区间后, 再单击相应按钮就能得出所需要的运算结果并绘制函数曲线与相应的积分曲线。
例如:已知f (x) =e-xsin2x, 求∫f (x) dx, .
在操作界面的上方左边的文本框是供用户输入被积函数的表达式和自变量的各取值区间。此例中被积函数框内输入“y=exp (-x) *sin (2*x) ”, 自变量的取值区间输入“(-0.5，2.5)”, 此框的输入是为了绘制函数曲线所作的准备。另外还有一个文本框供用户输入定积分的积分区间, 此例输入“[-0.2，pi/3]”。
用户输入完成后, 单击“求积分”按钮, 这样就会出现一个新的文本框显示出所输入的函数的不定积分的表达式及函数在积分区间上的定积分值。若单击“画图象”按钮, 则在左边的坐标系内显示出所给函数的图象以及积分曲线。此例中坐标框内的蓝色的曲线为被积函数的图像, 红色的曲线表示积分曲线, 阴影部分的面积表示定积分的值, 即为定积分的几何意义。积分的运算结果及图象如图2。
另外还可以求分段函数的积分, 如已知
被积函数为分段函数, 函数的各段之间用逗号隔开, 自变量的各取值区间也要用分号隔开。此例中被积函数框内输入“y=sin (x) , cos (x) +1”, 自变量的取值区间输入“ (-pi, 0]; (0, pi]”。另外还有一个文本框供用户输入定积分的积分区间, 此例输入“[-pi/2, pi/3]”。
输入完成后, 单击“求积分”按钮, 就会出现一个新的文本框显示出函数的不定积分的表达式及函数在积分区间上的定积分值。若单击“画图象”按钮, 则在左边的坐标系内显示出所给函数的图象以及积分曲线。此例中坐标框内的蓝色的曲线为被积函数的图像, 红色的曲线表示积分曲线, 阴影部分的面积表示定积分的值, 即为定积分的几何意义。积分的运算结果及图象如图3。
2、函数积分运算的实现
函数的积分运算的实现可分为三个部分: (1) 从界面上取得用户的输入, 并作出数据类型的转换。 (2) 对数据进行处理和运算。 (3) 将运算结果输出显示到运行界面上。
2.1 获取用户输入
被积函数的表达式及其定义域、积分变量、积分区间等。取用户的输入可get函数来实现, 其格式为:get (handle, ’Property Nam e’) 。用语句:fun_str=get (handles.edit_fen_dan_int_1_fun, 'str ing') 取函数的各表达式, 并存放于变量fun_str中。类似地取出用户的其它输入, 函数各表达式对应的区间存放于变量str_qujian中, 积分变量存放于int_var中, 积分区间存放于变量int_qujian中。此外还要考虑用输入的合法性检验及容错处理。
分段函数的分段数采用查找被积函数的表达式中所含逗号“, ”的个数来确定, 并以逗号为界确定各分段的表达式。所用命令为:fun_n=length (findstr (fun_str, ', ') ) , 取积分上、下限的方法是:先取出用户输入的积分区间的字符串, 再将其转化为向量, 向量的第一个元素就是积分下限, 第二个元素就是积分上限。
2.2 函数的积分运算的实现
用循环语句实现求各段函数的积分, 循环次数为分段函数的段数fun_n, 因此采用for语句来实现。
求不定积分的函数是:int (fun_sym, intvar) 。其中变量fun_sym代表被积函数, intvar为积分变量, 类型都为符号变量。
求定积分的函数是:int (fun_sym, intvar, a, b) , 其中a, b分别为积分下限和上限。
每一次循环解决一个分段的积分运算, 其程序流程是: (1) 取第i段函数的表达式和相应的区间[ai, bi]→ (2) 将函数转换为符号表达式→ (3) 比较a、b、ai、bi四个数的大小, 确定第i段函数的积分上xa、下限xb→ (4) 求第i段函数的不定积分和定积分, 并将其转换为字符串和数值→ (5) 将各段函数的不定积分的字符串进行连接, 将定积分值进行累加。
2.3 不定积分与定积分的结果的显示
由于界面上的文本框只能显示字符串, 因此要先将求出的不定积分与定积分的数据类型转换为字符串, 再利用控件属性设置命令来完成, 程序段为:
3、函数的积分运算结果的可视化实现
函数的积分运算结果的可视化包括: (1) 绘制函数本身的曲线和积分曲线。 (2) 根据分段函在分界点处的取值情况确定在函数曲线、积分曲线的各端点处是画实点还是画虚点。 (3) 绘制两条坐标轴, 并硧根据函数值的大小自动设置坐标范围。 (4) 对积分区间范围内的部分用阴影表示定积分的几何意义:曲边梯形的面积。
分段函数的曲线、积分曲线是对各分段逐一绘制, 可先从函数表达式的文本框中取出表达式, 然后根据其中的逗号来分出各段, 再用循环结构来实现取函数表达式、求不定积分、绘制函数曲线、绘制积分曲线。每循环一次绘制出一段的曲线, 循环次数由分段函数的分段数决定。在循环结构中实现绘制一段的图象的语句段如下。
分段函在分界点处画实点表示该点在曲线上, 画虚点 (小圆圈) 表示该点不在曲线上。这要根据函数的定义域区间的开、闭情况来确定。画虚点的语句是:line (xa, ya, 'color', 'b', 'marker', 'o', 'markersize', 5, 'erasemode', 'none') 。画实点的语句是:line (xa, intya, 'color', 'r', marker', '.', 'markersize', 10, 'erasemode', 'none') ;
积分区间对应的曲边梯形用阴影绘出, 用以表示定积分的几何的几何意义。实现的方法是对各段函数用循环来绘分别绘出阴影, 阴影就是画一系列较密集的竖线, 在画竖线前应确定其画竖线的起、止位置。在第i段内画阴影的程序段为是:
为了使程序更具有通用性, 还要考虑用户输入出错后的提示, 程序能容许用户对函数的不同输入方法, 能对一些不必要的空格进行的处理。另外对于无界函数的作图也要应进行处理。