三重积分的计算方法

三重积分的计算方法（精选8篇）

三重积分的计算方法 篇1

1 计算二重积分的方法步骤

二重积分的计算有一定的方法和步骤, 如按照步骤进行分析和解题, 就比较容易做题。在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:

(1) 画出积分区域草图;

(2) 确定积分区域是否为X-型或Y-型区域, 如既不是X-型也不是Y-型区域, 则要将积分区域化成几个X-型和Y-型区域, 并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域;

(3) 用公式化二重积分为二次积分;

(4) 计算二次积分的值。

例1, 计算undefineddxdy, 其中D:0≤ x≤1, 0 ≤y≤2

解:作出积分区域D的图1.由于D即是x—型区域又是y—型区域, 因此, 两种积分次序都可以计算二重积分。在此把D看成x—型区域, 可得:

undefined

例2, 计算undefined, 其中D是由曲线y=|x|及y=2-x2围成。

解:作出积分区域D的图2.可以把D分成两块D1、D2, 由于D1与D2都是x—型区域, 所以有:

undefined

undefined|undefined|2-x2xdx

undefined

例3, 计算undefined, 其中D是由y=x2-4, y2=2x围成的区域。

解:作出积分区域D的图3.

由于积分区域D是y—型区域, 所以有

undefined

2 交换积分次序

若给定的积分为二次积分, 它不能用初等函数形式表示出来或者积分的计算量较大, 可考虑采用交换积分次序, 其一般步骤:

(1) 先根据给定的二次积分限。写出积分区域的不等式表达式, 并依此作出区域的图形。

(2) 再根据区域的图形, 确定正规区域及积分限, 化为另一种类型的二次积分。

例4, 交换积分次序∫10dx∫xx2f (x, y) dy

解:由所给的二次积分, 可得积分区域D为:0≤x≤1, x2≤y≤x, 作出D的图4。

改变积分次序, 即化为先对x后对y积分, 此时, D可以表示为undefined, 所以有:

undefined

3 选择适当的坐标系

坐标系的选择, 要从被积函数和积分区域两方面来考虑。一般情况下, 积分区域是矩形或三角形区域, 通常用直角坐标来计算。若积分区域为圆域、扇形域、圆环域时, 特别是被积函数为f (x2+y2) , 利用极坐标系计算二重积分较方便。

例5, 计算undefined, 其中D是圆环:1≤x2+y2≤4。

解:在极坐标系下, D可表示为:0≤θ≤2π, 1≤r≤2 (如图5)

由 (7-25) 式可得:

undefined

例6, 计算undefined, 其中D由x2+y2=Rx所围成的第一象限区域。

解:在极坐标系下D可表示为:undefined (如图6) 。

可得:

undefined

例7, 计算undefined, 其中D是由x2+y2=9和x2+y2=1与直线y=x, y=0所围成的第一象限区域。

解:在极坐标系下D可表示为:undefined (如图7) .由 (7-25) 式可得:

undefined

4 利用对称性和奇偶性简化二重积分的计算

4.1如果积分区域D关于y轴对称, 则

(1) 当f (-x, y) =-f (x, y) ( (x, y) ∈D) 时, 有undefined

(2) 当f (-x, y) =f (x, y) ( (x, y) ∈D) 时, 有undefined, 其中D1={ (x, y) | (x, y) ∈D, x≥0}

4.2如果积分区域D关于y轴对称, 则

(1) 当f (x, -y) =-f (x, y) ( (x, y) ∈D) 时, 有undefined

(2) 当f (x, -y) =f (x, y) ( (x, y) ∈D) 时, 有undefined, 其中D2={ (x, y) | (x, y) ∈D, y≥0}.

例8, 计算undefined其中积分区域D由曲线y=x2与y=1所围成。

解:积分区域D关于y轴对称, 令g (x, y) =xyf (x2+y2) 且g (-x, y) =-g (x, y) , 所以:

undefined

从而undefined

参考文献

[1]聂洪珍, 朱玉芳.高等数学 (一) 微积分[M].北京:中国对外经济贸易出版社, 2003, (6) .

三重积分的计算方法 篇2

定积分

1、定积分解决的典型问题

（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程

2、函数可积的充分条件

●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要性质

●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上的.最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

●性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。

4、关于广义积分

设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a

定积分的应用

1、求平面图形的面积（曲线围成的面积）

●直角坐标系下（含参数与不含参数）

●极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面积公式S=R2θ/2)

●旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程）

●平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx,其中A（x）为截面面积）

●功、水压力、引力

谈谈曲面积分的计算方法 篇3

2将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法

这就必须把曲面分别投影到y Oz、z Ox、x Oy面上, 再分别按照前侧为正后侧为负、右侧为正左侧为负、上侧为正下侧为负的规则再次分解。这样一来就需要六个式子来计算一个第二型曲面积分, 运算量相当大且容易出错。

例:计算下列闭曲面上的曲面积分 (积分沿区域Ω之边界曲面的外侧) :

(2) 先将第二型曲面积分转化为第一型曲面积分:

再将第一型曲面积分转化为二重积分:

若在x Oy面:

y Oz, x Oz面上以此类推。

最后利用二重积分计算得出结果。

较第一种方法, 此方法更加灵活多变, 在计算中可以省很多力气。

在第一、四卦限 (x≥0, z≥0) 的部分, 积分沿S的上侧;解:S的单位正法向为

3 总结

利用向量形式计算第二型曲面积分直接将第二型曲面积分转化为一个二重积分计算, 避免了传统计算方法对曲面侧的判定, 其显著优点是物理意义明确, 计算过程简单, 适用于所有的第二型曲面积分的计算。但是, 计算时要不断地总结, 学会根据题型的变化来选择方法, 寻求更加简便的方法, 不能一味的追求某一种。

而且, 高等数学这门科学是博大精深的, 要不断的学习研究才能领悟得更多。就自身而言, 要抱着谦虚谨慎的态度, 努力钻研高数, 希望能够参透高等数学的一角。

摘要：这里介绍将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法, 第二型曲面积分属于向量函数的积分, 在流体力学和电磁学等领域有极为广泛的运用。所以, 正确选择计算第二型曲面积分的方法对解决问题有着很大的帮助。

关键词：曲面积分,二重积分,计算,转换

参考文献

[1]数学分析讲义.高等教育出版社上册, 第五版, 2008年

浅谈定积分的常用计算方法 篇4

一、定积分几何意义法

定积分的几何意义是:连续函数f (x) 在区间[a, b]的定积分的值, 在几何上表示曲线y=f (x) 及直线x=a, x=b, x轴所围成的图形各个部分面积的代数和, 即在x轴上方的面积取正号, x轴下方的面积取负号.因此, 对于较复杂的被积函数且又很明显是一个容易求面积的常见图形, 可通过求图形的面积来计算定积分.

的值.

二、变换积分法

特别地，当f (x) 在[-a, a]为奇函数时，

总之，当f (x) +f (a+b-x) =h (x) 的不定积分易求时，即可应用变换求积分，使某些定积分的计算过程得以简化，利用该积分变换来求定积分的值是积分计算中一种较灵活、较实用的方法.

三、分部积分法

设函数u (x) ，v (x) 都在[a, b]上有连续的导数，则

例4计算定积分

综上，是对定积分计算方法的简单小结，求定积分的方法还有很多，但在高中阶段不必过于深究，大学时再去探究，熟练掌握定积分的求解方法，会大大提高定积分计算的解题能力.这不仅对后来的学习者有一定的指导作用，而且对自然科学、科学技术、经济领域及实际生活中存在着大量的利用定积分计算实际问题有一定的指导意义.

参考文献

[1]李志飞.定积分的简化计算[J].高等数学研究, 2008, 11 (6) :50.

定积分的计算方法与技巧 篇5

定积分被广泛应用在社会实践和自然科学中, 如利用定积分求平面图形的面积﹑旋转体的体积﹑旋转曲面的面积﹑平面曲线的弧长等都被看成是定积分的计算问题. 定积分是微积分学的重要内容, 是研究科学技术和实际问题极其重要的数学工具, 但定积分的计算方法与技巧尤为丰富, 因而让学生学习好定积分的计算非常重要.

定积分的计算方法有很多种:定义法﹑牛顿-莱布尼茨公式法﹑换元积分法﹑分部积分法等, 针对不同的题型选择适合的定积分计算方法.本文针对每种积分类型的特点, 通过例题给出恰当的解法, 便于学生理解与掌握, 使学生避开了题海战术, 开拓了解题思路, 从而提高学生定积分的计算能力.

二、计算定积分的一些基本方法

1.牛顿-莱布尼茨公式法 (又称微积分基本公式) :若函数f (x) 在[a, b] 上连续, 且存在一个原函数F (x) , 则有f (x) 在[a, b]上可积, 即.

例1:计算定积分

通过例1可以看出, 牛顿-莱布尼茨公式法形式简单, 便于求解, 被视为求定积分最常用的方法.

2.换元积分法:假设函数f (x) 在[a, b]上连续, 函数x=φ (t) 满足条件:

(1) φ (α) =a, φ (β) =b,

(2) φ (t) 在[α, β] ( 或[β, α]) 上具有连续导数, 且其值在区间[a, b]内, 则有

例2:计算定积分

解:设, 则, x=0时t=1, x=2时,

注1:形如的定积分, 通常做变量代换进行计算.

注2:进行换元计算时, 要整体换元, 也就是说当用x=φ (t) 进行换元时, 积分区间也相应发生改变, x的积分区间要换为t的积分区间, 同时dx也换成与变量t有关的形式.

例3:计算定积分

解:设x=asint, 则dx=acostdt, 且x=0时t=0, x=a时, 将题中的x整体都换成和变量t有关的式子.

(1) 凑微分: 形如的定积分, 通常将凑成, 再做变量代换cx+d=t.

例4:计算定积分

(2) 对称区间上的定积分计算

设f (x) 在关于原点对称的区间[-a, a]上连续, 则有

(1) 若f (x) 为偶函数, 则有;

(2) 若f (x) 为奇函数, 则有

例5:计算定积分

解:由题可知, 积分区间[-1, 1]关于原点对称, 设, 易知f (x) 为偶函数, 由 (1) 知

3.分部积分法:设u (x) , v (x) 在区间[a, b]上有连续的导函数, u′ (x) , v′ (x) , 则有 (uv) ′=u′v+uv′, 故

例6:计算定积分

技巧:利用分部积分法计算的关键在于:是将哪一个函数先放入微分号, 如果选择错误就会得不出结果, 那么如何选择正确的解法成为关键.根据多年的解题经验, 我们总结出在选择上遵循以下这一规则“反对幂指三”, 即两个函数作比较排名在后的优先进入微分号.

例7:计算定积分

分析:x为指数函数, cosx为三角函数, 根据规则“反对幂指三”可知, 三角函数cosx排在指数函数x之后, 所以cosx优先进入微分号.

注:当两个函数中, 其中一个为指数函数ex时, 则将ex优先放入微分号.

例8:计算定积分

三、结语

定积分是微积分学的一个重要内容, 定积分的计算题型更是千变万化, 为了更好地计算的定积分, 避免题海战术, 本文对定积分的计算方法与技巧进行了归纳总结, 有助于学生计算思路的扩展, 促进了实际问题的快速求解.

摘要：本文针对每种积分类型的特点, 通过例题给出恰当的解法, 便于学生理解与掌握, 使学生避开了题海战术, 开拓了解题思路, 从而提高学生定积分的计算能力.

关键词：定积分,原函数,连续

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2006.

室内照度积分计算方法的改进 篇6

有效的照明系统设计,不仅能提高室内作业舒适度,且在建立绿色节能型社会中也起着重要的作用。在建筑设计中,当线光源的长度小于计算高度的1/4时,按点光源进行照度计算,其误差小于5%[1]。点光源的照度计算主要有:配光曲线法[2]、等照度曲线法[1]、逐点法[2]、基于照度矩阵的计算法等[3];当线光源的长度大于计算高度的1/4时,则必须按线光源计算。线光源的照度计算主要有:方位系数法[4]、等照度曲线法[4]、积分法等[5]。方位系数法计算线光源照度首先要鉴别五种光强分布情况,计算过程很复杂。本文在文献[5]介绍的线光源积分法的基础上,综合考虑室内各反射面及灯罩的影响,提出了一种改进方法。通过实验数据的比较,改进后的计算误差大幅减少。

2 线光源积分法

前提与假设:

(1)教室、图书馆等公共空间室内照明光源大多采用日光灯组,组内每根灯管之间的横向距离相对于被照面到光源的距离很小,所以此时将日光灯组简化成线光源,简化后的光通量等于组内日光灯管的光通量之和;

(2)不考虑空气透射率的影响,空气透射率默认为1;

(3)不考虑自然光对工作面照度的影响。

在三维空间中,线光源的光照模型如图1所示。平行平面为经过线光源纵轴和发光平面法线的平面,垂直平面为经过发光平面法线且垂直于线光源纵轴的平面。I 0为线光源发光面法线方向上的光强,Ia为平行平面中与I0成a角的光强,Iq为垂直平面中与I0成θ角的光强。

线光源照度计算示意图如图2所示,xy表示工作面所在平面,线光源的中点经过z轴且和x轴平行,线光源到工作面的高度为h0,线光源的长度为l0,光通量为φ。

在线光源上任取一点S(xs,0,h0)点,在工作面上任取一点P(x,y,0),S点到P点的距离为:

S点与P点的连线和被照面的法线的夹角为,其余弦值为:

根据假设条件,S点为点光源,因此S点对P点的照度符合点光源的球面辐射规律。被照点P(x,y,0)相对于S点的照度为:

整个线光源对P点的照度为:

3 计算结果的实验比对

3.1 实验测量

选择教室一间,其主要参数如下:长宽高:1293(单位:m),教室中安装9个灯组,每个灯组中安装3盏T5型28W的荧光灯,每盏荧光灯的额定光通量为2900lm。表1为室内照明相关参数,表2为T5型日光灯的相关数据[6]。

照度计型号:LX-1010BSS数字式照度计。

荧光灯照度区域分布图如图3所示:以日光灯中心点为坐标系原点建立坐标系,在区域三内建立1216个网格,网格间距为0.2m,测出网格点的照度值,如表3所示。

3.2 计算结果与实验数据比对

采用式(1)～式(4)计算网格节点上的照度值。如表3所示:其中,照度E1为积分法的计算结果,照度E2为实验测得的数据,|E1-E2|为同一坐标上计算结果与实测数据的误差。

从图3和实验测得的数据比较中可以看出,在随机选取的十个数据中,积分法有五个误差在100到150左右,其中最大的达到145。而且误差本身的大小变化也比较明显,误差幅度在9.1～145。一般情况下照度计算允许的误差为-10%～20%,积分法的计算误差较大。上述积分方法的应用只考虑到线光源直射照度对于工作面的影响,实际上工作面的照度不仅受直射光的影响,还应考虑灯罩、室内墙面、顶棚、地板、自然光等因素对于工作面照度的正向作用。

4 照度积分方法改进

各个反射面对于被照点的影响相当于在原来的基础上增加了光源。在各个反射面中,灯罩由于位置最靠近光源,而且灯罩材料的反射系数是所有影响因素中最大的。因此,灯罩对被照点的影响最大,可以单独计算。墙面、顶棚和地板等因素对于被照点的影响可以在传统积分法的基础上增设一个修正因子。

空间直角坐标的位置不变,在灯罩上任取一点t(x1,y1,h1),工作面上任取一点P(x,y,0),t点到P点的距离为:

点t与点P的连线与工作面法线的夹角的余弦为:

点P受灯罩上点t的照度为:

为了简化计算,可将灯罩看成是平面反射,平面的长度为灯罩的长度,平面的宽度为灯罩的外围等效宽度,则反射照度即整个灯罩对点P的照度为:

总照度为直射和反射照度之和,即:

由于灯罩反射光只向下辐射,此时计算光强I的立体角为2π,式(9)可化为:

式(10)中:ρ1表示荧光灯因为日常老化、表面灰尘等因素影响而导致的光通量减少;ρ2表示荧光灯光辐射能量在灯罩上的损耗,即灯罩材料的反射系数,ρ1和ρ2的取值都在0～1之间;h1表示灯罩到被照面的高度,由于灯罩到光源的距离相对于光源到被照面的距离可以忽略不计,所以h1h0。则照度为:

图4所示为灯罩的横截面,荧光灯与灯罩末端的夹角为δ,不考虑在空间传播过程中的光损耗。假设荧光灯的光线向四周呈均匀辐射,则灯罩接受到的光通量与δ角有关,其光通量为:

于是,上式转化成关于的方程,记为:

将实际测量值(x i,y i,l 0,φ,h 0,E),(i=1,2,…,n)代入该方程,可以得出一系列的值,去掉其中的最大值和最小值,并求出的平均值。设经过计算得出的值有(β1,β2,…,βn),则:

由于自然光的变化范围较大,且很难人为控制,所以在假设条件中,β的确定并没有考虑自然光对工作面照度的影响,影响β取值的有顶棚、地板、墙面等反射面因素,这些因素在实际中的取值一般都比较固定,因此该方法具有一定的实用性。

表4为一组β值,按照式(14)求出β平均值:β=0.27440.28,表5为改进后得出的数据。

由以上数据可以看出,采用新方法误差明显减少很多,最大误差减小至39.16,而且误差的变化幅度也比改进前要小,较原来方法有明显的改进。

5 结论

方位系数法和等照度曲线法进行等照度计算的运算过程需要人工判断,而且很难模拟出整个室内的照度状况,因此适用于单点的精确计算;单纯的对线光源进行积分,没有考虑到室内其它影响照度的因素,计算误差比较大,但作为一种理论依据,给线光源照度计算提供了一个方向;改进后的光源积分法,综合考虑了灯罩和墙面等其它因素的影响,在很大程度上减小了误差。

摘要：利用照度积分计算方法求空间任意点的照度,结果误差较大。本文考虑光线反射、灯管老化及灯罩反射损耗等因素的影响,排除自然光因素,提出了一种改进的照度积分计算方法。实测数据计算结果比对证实,新的计算方法提高了计算精度。

关键词：照度计算,积分法,灯罩反射

参考文献

[1]中国建筑学会建筑电气分会.建筑照明[M].北京:中国建筑工业出版社,2010.

[2]李运江,彭惠明,徐波.几种照度计算方法的比较与研究[J].三峡大学学报,2003(2):30-32.

[3]丁新东,姚加飞,张玉兰.一种点照度计算方法[J].照明工程学报,2007(12):48-50.

[4]周太明,等.高效照明系统设计指南[M].上海:复旦大学出版社,2004.

[5]秦玉玺.线光源辐照度的计算[J].红外技术,1990(12):43-44.

第二类曲面积分的计算方法探讨 篇7

一、分面投影法

分面投影法即直接将积分曲面分别投影到不同的坐标面上，从而把曲面积分转化为二重积分计算．如果函数R(x,y,z)在有向光滑曲面∑:z=z(x,y)上连续，∑在xOy面上的投影区域为Dxy，函数z=z(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，则

其中∑取上侧，则为正号;∑取下侧，则为负号．

类似地，如果函数P(x,y,z)在∑:x=x(y,z)上连续，∑在y Oz面上的投影区域为Dyz，函数x=x(y,z)在Dyz上具有一阶连续偏导数，则

其中∑取前侧，则为正号;∑取后侧，则为负号．

如果函数Q(x,y,z)在∑:y=y(z,x)上连续，∑在z Ox面上的投影区域为Dzx，函数y=y(z,x)在Dzx上具有一阶连续偏导数，则

其中∑取右侧，则为正号;∑取左侧，则为负号．

例计算曲面积分其中∑是球面x2+y2+z2=R2的外侧位于第一卦限的部分，R>0.

解法1将积分曲面∑的方程代入被积函数中化简，再将∑投影到xOy面上，得投影区域为

同理，可得另外两个曲面积分

由此例可见，分面投影法适合于单一型积分、积分曲面∑是单片且非封闭曲面的情形．

二、利用高斯公式

设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有

其中，∑是Ω的整个边界曲面的外侧，这就是高斯公式．

解法2利用高斯公式来计算上例．积分曲面∑:x2+y2+z2=R2,x≥0,y≥0,z≥0，且取外侧．∑不是封闭曲面，需要补充三个辅助面∑1、∑2、∑3，使之与积分曲面∑构成封闭曲面，且它们所围成的空间闭区域为Ω，这三个面分别表示为

∑1:x=0,y2+z2≤R2,y≥0,z≥0，取后侧，

∑2:y=0,x2+z2≤R2,x≥0,z≥0，取左侧，

∑3:z=0,x2+y2≤R2,x≥0,y≥0，取下侧，

但是函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上的原点处不具有一阶连续偏导数，这时可先将∑的方程代入被积函数中化简，再用高斯公式．在补充的三个面上，曲面积分都为零，所以

如果将此例中的积分曲面改为整个椭球面的外侧，而被积函数不变，则不能用代入∑的方程的方法来化简被积函数．这时需要将不满足高斯公式条件的原点“挖去”，可在∑内作辅助小球面∑1:x2+y2+z2=ε2，取内侧，其中ε是足够小的正数，∑与∑1所围成的闭区域为Ω1，且∑1本身所围成的闭区域为Ω2，在Ω1上，有

利用高斯公式计算曲面积分，必须满足高斯公式的条件．要注意有向曲面的侧，当积分曲面∑不封闭时，需补充使之成为封闭曲面．如果在Ω内有使P,Q,R的偏导数不连续的奇点，一般应先补充辅助曲面挖去奇点，然后再用高斯公式．此方法适用于组合型的曲面积分，积分曲面∑封闭，且被积函数的形式比较简单的情形．

三、利用两类曲面积分的联系

对于组合型的曲面积分，还可以考虑利用两类曲面积分的联系，将第二类曲面积分化为第一类曲面积分来计算，这时要注意有向曲面∑在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦与曲面的侧的关系．如果函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在有向光滑曲面∑上连续，则

其中cosα、cosβ、cosγ是有向曲面∑在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦．

解法3上例中，积分曲面∑:x2+y2+z2=R2,x≥0,y≥0,z≥0，且取外侧，所以

如果积分曲面∑在某一坐标面的投影区域的形状比较简单(一般首先考虑x Oy面)，还可以考虑利用两类曲面积分的联系将第二类曲面积分由组合型化为单一型．如果函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在有向光滑曲面∑:z=z(x,y)上连续，则

类似地，如果函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在有向光滑曲面∑:x=x(y,z)上连续，则

如果函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在有向光滑曲面∑:y=y(z,x)上连续，则

解法4将上例中的积分化为单一型，这时，

四、结语

理解并掌握有向曲面的法向量、投影等概念是计算第二类曲面积分的关键．在计算时应根据被积函数和积分曲面的特点选择合适的方法．对于组合型的曲面积分，一般先考虑能否用高斯公式，或者判断能否利用两类曲面积分的联系，然后再考虑直接的投影法，这样才能掌握第二类曲面积分的计算方法．

摘要：针对第二类曲面积分这一高等数学课程教学中的难点,研究了利用分面投影法、高斯公式以及两类曲面积分的联系等方法来计算第二类曲面积分,为高等数学课程中关于曲面积分概念的教学研究与改革提供一些参考.

关键词：第二类曲面积分,投影,高斯公式

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学(第六版)(下册)[M].北京:高等教育出版社,2007,6.

[2]熊明.直接化第二类曲面积分为二重积分[J].高等数学研究,2012,15(1):73-74.

二重积分的计算方法与技巧之我见 篇8

1.利用二重积分的几何意义

例1

解利用几何意义上述积分表示球心在 (0, 0, 0) , 半径为1的上半球的体积, 故.

2. 选择适当的积分次序 ( 不容忽视)

注: ( 1) 根据积分区域D的形状来选择;

( 2) 根据被积函数的具体形式来确定, 如被积函数是等函数时, 只能先对y积分.

例2, 其中D为y=x, y=1, x=2.

3. 选择恰当的坐标系至关重要

例5设f ( u) 可微, f ( 0) = 0, f' ( 0) = 3, 求

4. 利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性来简化计算

定理: ( 1) 若积分区域D关于y轴对称, 则

(b) 若f (-x, y) =f (x, y) , 则, 其中D1是D的右半部分;

( 2) 若积分区域D关于x轴对称, 则

( b) 若f ( x, - y) = f ( x, y) , 则, 其中D1是D的上半部分.

(3) 若积分区域D关于x, y轴都对称且f (-x, -y) =f (x, y) , 则, 其中D1是D的第一象限的部分.

例6, 其中D为y=x2, y=1.

解积分区域关于y轴对称, 故

5.当被积函数或积分区域含有绝对值符号时

6. 结论

总之, 二重积分的计算在积分学中具有举足轻重的地位, 要想很好地解决二重积分的计算问题, 就要灵活掌握这些方法技巧, 并做到融会贯通.

摘要：二重积分的计算非常重要, 是三重积分及曲面积分的基础, 其计算技巧性比较强, 只有根据积分区域和被积函数选择了恰当的坐标系以及适当的积分次序才能转化为合适的累次积分.

关键词：二重积分,直角坐标,极坐标

参考文献

[1]同济大学应用数学系.《高等数学》 (第六版) 下册[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]史本广, 慕运动.《高等数学》[M].北京:科学出版社, 2009.