不确定广义系统（共3篇）
不确定广义系统 篇1
摘要：研究了一类具有凸多面体不确定性的离散时滞广义系统的鲁棒稳定性问题.基于参数依赖的Lyapunov函数和线性矩阵不等式方法, 推导出使系统正则、因果且鲁棒稳定的时滞相关型充分条件.算例验证了本文方法的可行性.
关键词：离散广义系统,凸多面体不确定性,参数依赖Lyapunov函数,时滞相关,线性矩阵不等式
1 引言
时滞现象普遍存在于工业控制系统中, 如通信、化工过程、冶金过程、环境、电力系统等, 时滞的存在常常是系统不稳定和系统性能变差的重要原因.作为时滞系统分析和综合的基本问题, 其稳定性分析受到越来越多的国内外学者的关注, 并取得了许多有价值的成果, 包括时滞无关的结论和时滞相关的结论.一般来说, 时滞无关的条件由于对任意大的时滞系统都成立, 要求条件较强, 较时滞相关的条件保守性大.因此, 人们更加倾向于对时滞相关稳定性条件的研究, 并得到很多重要的结论[1,2,3].这些稳定性条件也有被推广到参数不确定的时滞系统中, 如范数有界不确定性和凸多面体不确定性时滞系统.
针对具有凸多面体不确定性的时滞系统, 为了降低二次稳定性所带来的保守性, 参数依赖且时滞相关的稳定性条件被提了出来[4,5,6].文献[4,5]通过构造一个参数依赖的L y a p u n o v泛函, 并引入自由矩阵解除了Lyapunov矩阵与系统矩阵之间的耦合, 得到了保守性较小的参数依赖的稳定性条件, 但其所引入的自由矩阵是固定不变的;针对这种情形, 文献[6,7]通过使自由矩阵参数依赖, 得到了保守性更小的稳定性条件.另一方面, 由于广义系统能比正常系统更好地描述实际物理过程的动态, 所以自1974年广义系统被首次提出以来, 就引起了人们广泛的关注[8,9].目前, 大多数关于不确定广义时滞系统的时滞相关型稳定性结论, 是关于连续时间的广义时滞系统的[10,11].对离散时间的广义时滞系统, 这方面的研究成果还很少见报道[12], 特别是参数依赖且时滞相关的稳定性结论更少见报道.
受文献[6,7]思想的启发, 本文研究了具有凸多面体不确定性的离散时滞广义系统的稳定性问题.利用线性矩阵不等式方法, 得到了使系统正则、因果和鲁棒稳定的充分条件, 并且该稳定性条件是时滞相关且参数依赖的.最后的数值算例验证了本文方法的有效性.
2 问题描述
考虑如下具有凸多面体不确定性的离散时滞广义自治系统
其中, x (k) ∈Rn是状态变量;正整数d是未知常数时滞, 满足0
其中, Ai, Adi∈Rn×n, i=1, Ls, 为已知矩阵.
定义1对任意给定的α, 如果存在常数z, 使得det (z E-Aα) ≠0, 则称 (E, Aα) 是正则的.
定义2对任意给定的α,
如果deg det (zE-Aα) =rank (E) , 则称 (E, Aα) 是因果的.
定义3对于任意的正整数d (0
3 主要结果
对任意的矩阵X, 令sym (X) =X+XT.以下定理基于线性矩阵不等式的方法给出了系统 (1) 鲁棒稳定的时滞相关的充分条件.
定理1对于任意的正整数d (0
则具有凸多面体不确定性 (2) 的离散时滞广义系统 (1) 是正则、因果且稳定的.其中
Hi=Pi+WS iWT, W∈Rn× (n-r) 为满足TEW=0的列满秩矩阵.
证明首先来证明其稳定性.选取如下参数依赖的Lyapunov-Krasovskii泛函:
其中
以下等式成立:
另外, 由系统方程可知, 对任意矩阵
以下等式成立:
令则有
因此, 沿系统 (1) 求V (k, α) 的前向差分得
其中
可知不等式 (1 2) 的最后一项是小于0的, 则如果Πα<0, ∆V (k, α) <0成立.接下来就要证明线性矩阵不等式 (3) 和 (4) 可推得Πα<0.
首先, 注意到
另一方面, 不等式 (3) 可等价为
所以由 (13) - (15) , 我们有
其中, ςT=[α1Iα2I LαsI]T, 并且Ξ由式 (4) 给出.则由不等式 (4) 和式 (2) 可推得Πα<0, 进而∆V (k, α) <0, 稳定性得证.
最后来证明其正则性和因果性.由Πα<0可以得到
对不等式 (16) 左乘以矩阵
及右乘以其转置可得
其中
◊为相应矩阵, 与下面的证明无关.因为Qα, Zα>0, 则由不等式 (17) 可得
另一方面, 因为rank (E) =r≤n, 则必存在非奇异矩阵U和V, 使得
并记
根据式 (11) 知ET HαE≥0, 对其两边分别左乘以VT及右乘以V, 可知Hα11≥0.又Hα为对称矩阵, 则有Hα12=HTα21, Hα22=HTα22.另外, 对不等式 (18) 两端分别左乘以VT及右乘以V, 可以得到
其中, ◊为相应矩阵, 与下面的证明无关,
由Hα11≥0知sym (M) <0,
所以是可逆的, 进而Aα22可逆, 则 (E, Aα) 是正则且因果的, 从而系统 (1) 是正则且因果的.证毕.
注如果给定时滞上界h, 可以通过求解线性矩阵不等式 (3) 和 (4) 的可行问题来判断系统 (1) 是否正则、因果且稳定;否则可以通过求解如下优化问题
求得使系统 (1) 正则、因果且稳定的最大时滞上界.
特别地, 在定理1中, 分别令N1i=N2i=0, Zi=εI h (ε→0) , (i=1, L, s) , 可以得到系统 (1) 的一个时滞无关的结论.
推论1对于任意的正整数d (0
则具有凸多面体不确定性 (2) 的离散时滞广义系统 (1) 是正则、因果且稳定的.其中
Hi=Pi+WS iWT, W∈Rn× (n-r) 为满足TE W=0的列满秩矩阵.
4 数值算例
考虑不确定离散时滞广义系统 (1) , 已知
在本例中取W=[0 1]T, 当给定时滞上界h=3时, 通过求解线性矩阵不等式 (3) 和 (4) 的可行问题可知该系统是正则、因果且稳定的, 并且可求得相应的Lyapunov矩阵如下:
选定不确定参数为α1=0.4, α2=0.3, α3=0.3, 可以得出系统在随机给定初始条件下, d=3时的状态x1和x2的曲线, 如图1所示.
若时滞上界未知, 则通过求解优化问题 (21) , 可得出使该系统正则、因果且稳定的最大时滞上界h=6.图2则表示了当d=6、不确定参数为α1=0.3, α2=0.5, α3=0.2时, 系统在随机给定初始条件下的状态x1和x2的曲线.
5 结束语
本文针对一类具有凸多面体不确定性的离散时滞广义系统, 基于参数依赖Lyapunov函数方法推导了其鲁棒稳定的时滞相关型充分条件, 该条件是以严格线性矩阵不等式的形式给出, 便于用M A T L A B的L M I工具箱直接求解.
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不确定广义系统 篇2
不确定随机系统的满意估计问题研究
基于LMI技术给出了一个满足期望误差方差和快速性指标的满意状态估计器的设计方法.该方法避免了使用矩阵秩的条件,因此适用于参数及噪声强度不确定的随机线性系统,而且便于使用计算机求解.文中所给出的.数值算例说明了该方法的有效性.
作 者：钱龙军 盛安冬 郭治 作者单位：南京理工大学自动化系,南京,210094刊 名：自动化学报 ISTIC EI PKU英文刊名：ACTA AUTOMATICA SINICA年，卷(期)：28(5)分类号：O231.3关键词：不确定随机线性系统 满意估计 LMI技术
不确定广义系统 篇3
相对一般的状态空间模型 , 广义区间系统模型具有更普遍的研究意义和应用范围。近几年来 , 广义区间系统的控制和滤波理论受到广泛的重视 , 其已经成功的应用到经济学[1]、电路学[2]、机器人学[3]以及航天学[4]等领域。本文主要研究的是广义区间系统中的鲁棒滤波问题。
当系统模型参数或结构与实际系统不一致时 , 名义模型上的kalman滤波的效果可能较差 , 有时甚至会导致发散 , 即估计误差随时间不断增大 , 为了降低滤波效果对模型误差的敏感性 , 鲁棒性成为滤波器设计中重要性能指标之一针对各种模型 , 不确定性假设 , 在不同的鲁棒性能评价指标函数的基础上 , 人们已经提出了各种行之有效的线性系统鲁棒滤波算法 , 如常有的H∞滤波 ,集值估计方法等。文 [6] 在文 [5] 的工作基础上将系统模型从一般状态空间模型推广到奇异系统模型 , 并在滤波递推过程中使用另一种指标函数 , 从而对应于不同的最小二乘 (RLS) 问题 , 也得到了一种Kalman滤波形式的递推算法。
本文第一部分首先明确了随机非结构化参数扰动下线性离散广义区间系统的鲁棒滤波所要研究的问题 ,以及其与相应扰动下的RLS问题的等价性。第二部分为问题的求解 , 将扰动模型近似为随机非结构化扰动模型 , 然后给出了随机非结构化扰动下RLS问题的近似解析解 , 给出了鲁棒滤波的递推算法。最后为数值仿真试验。
2 问题描述
考虑如下线性广义区间系统 :
其中 ,xi∈ Rn为系统状态 ,zi∈ Rp为系统观测值 ,wi∈Rm为过程噪声 ,vi∈Rp为观测噪声。
为已知的名义系统矩阵 ,δEi+1,δFi,δHi为相应的时变随机非结构化不确定矩阵。并假定对所有的i满足
当 δEi+1=0时 ,η=max(ηf,ηh), 其中 ηf和 ηh分别为扰动δFi和δHi的界。{x0,wi,vi} 分别为初始条件、过程噪声、观测噪声 , 它们是不相关的零均值白噪声 , 其方差为 :
文 [6] 中指出 , 广义系统的名义模型滤波和鲁棒滤波可以等价为如下问题 :
在不确定模型的假设下 , 初始条件和递推过程等价于如下RLS问题 :
引入Lagrange乘子λ, 那么公式中的约束形式会发生变化 , 由不等式约束变为等式约束 , 通过递推到可将式 (4) 转换成下式 :
其中 ,
上式 (5) 中的指标函数 , 即J(x.λ)=xTQx+C(x,λ),现在转化为只有两个独立自变量 {x,λ} 的函数。且递推过程 (3) 与问题 (4) 之间的映射关系如下 :
可见 , 广义区间系统随机非结构化参数不确定性的鲁棒滤波问题转化为相应扰动下RLS的求解。
3 问题的求解
参考文献 [5] 和 [6] 中的方法 , 对于问题 (4) 求解 ,只需令H=I且φ(x)=η‖x‖
此时式的解为 :
通过求解可得 ,G(λ)=J[x0(λ),λ] 只是关于λ的函数 , 则经过文献 [5] 中类似的推导 , 可得定理1的结论。
定理1:若Q≥0,W≥0且Q+ATWA>0,则问题(4)的解为
为非负的标量 , 是满足且使G(λ) 达到最小的λ值 , 函数G(λ) 定义如下 :
定理2: 对于系统模型 (1), 参数摄动满足式 (2) 且P0> 0,Qi> 0,Ri> 0, 为给定的加权矩阵 , 若列满秩 , 则由式 (3) 求得的最优鲁棒状态估计可由下列递归算法给出 :
步骤1: 求出满足且使得G(λ) 达到最小的, 令
步骤2: 在下列区间上求使得G(λ) 达到最小的,
步骤3: 将原系统参数修正如下 :
4 仿真分析
本小节将本文提出的鲁棒滤波算法应用到具体的广义定常系统,考虑广义区间系统(1),其中各参数矩阵为:
其中,初值P0=I,参数。仿真图形如图1所示。仿真图形中分别给出了鲁棒滤波算法的误差性能曲线 , 其中最上面的虚线——代表名义模型的Kalman滤波误差 , 中间的虚线 ------ 代表实际系统的Kalman滤波误差 , 最后的实线代表本文运用的算法误差 , 从图形中可以看出 , 通过在仿真中计算误差曲率的变化 , 本文中所采用的算法在收敛速度和收敛时间上优于其他两种形式的卡尔曼滤波。仿真验证了算法的有效性。
5 结束语
本文给出了广义区间系统中存在随机扰动时的递推鲁棒滤波算法 , 主要贡献是针对范数有界的随机参数摄动情况提出了相应的广义区间系统鲁棒滤波算法 , 这在文献中还未考虑过 , 最后对此算法进行了仿真。仿真说明该算法可以实现递推滤波 , 且滤波效果优于名义模型的kalman滤波效果 , 这验证了该方法的有效性。
摘要：本文针对广义区间系统的参数不确定性,将参数不确定性确定为随机非结构化参数形式,提出一种卡尔曼形式的递推鲁棒滤波算法。研究表明,滤波过程中的随机非结构化参数不确定性可以表示为一系列依赖系统真实状态的不确定性集合,数值仿真结果表明,当广义区间系统参数存在随机非结构化不确定性时,该算法能够实现递推状态估计,从而验证了该算法的有效性。
关键词：卡尔曼滤波,广义区间系统,随机非结构化,鲁棒性
参考文献
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