区间不确定（通用8篇）
区间不确定 篇1
0 引言
许多运动控制系统需进行沿某轨迹的重复运动,例如数控机床沿一定的轨迹重复加工零件,机械手重复执行某一运动过程。通常的控制算法并未考虑此类运动的重复特性,每一次运行跟随误差都重复产生,跟踪精度不高。而且由于控制对象存在非线性因素且模型具有不确定性,因而使得设计高性能的常规控制器较为困难。迭代学习控制是一种较新的智能控制方法,它首先由Arimoto[1]提出并应用于机械手的控制中。近年来迭代学习控制理论体系越来越成熟[2],应用日益广泛。
迭代学习控制的基本思想是,通过学习每次运动的误差,对控制量进行前馈修正,从而在下次运动时提高运动的精度。它不需要精确的系统模型,对系统的未建模特性具有一定的鲁棒性,实时计算量小,在一定的条件下可保证迭代收敛。迭代学习控制通常要求运动轨迹、初始条件和系统特性具有重复性,并要有足够的存储器来存储上次运动控制的信息[3,4]。
概率方法、模糊方法和区间方法是目前不确定性建模的三种主要方法。概率方法和模糊方法均需要有足够的数据来分别确定不确定结构参数的概率密度或隶属度函数,区间方法是把这些不确定性结构参数视为未知变量,并在具有已知边界的区间内取值。参数区间不确定性迭代学习控制系统收敛性的研究主要集中在稳定性(asymptotic stability)和单调收敛性(monotonic convergence)上。本文讨论了参数区间不确定性迭代学习控制系统(IILC)的单调收敛性问题。
1 迭代学习控制的单调收敛性
z传递函数描述的离散线性时不变系统为
Y(z)=H(z)U(z)=(h1z-1+h2z-2+h3z-3+…)U(z) (1)
其中,hi为H(z)的Markov参数,理想输出信号为yd(t),第k次迭代学习控制的输入、输出分别为uk(t)、yk(t),ek(t)=yd(t)-yk(t),t为离散时间变量,t∈[0,N]。
定义超向量(Supervectors)[5,6,7,8,9]:
Uk=(uk(0),uk(1),…,uk(N-1))T
Yk=(yk(1),yk(2),…,yk(N))T
Yd=(yd(1),yd(2),…,yd(N))T
Ek=(ek(1),ek(2),…,ek(N))T
则Yk=HpUk,其中Hp为由系统Markov参数组成的N×N矩阵:
迭代ILC算法的目标是根据第k次及以前的信息计算出第k+1次的控制输入uk+1,使其收敛至u*(t),并使得ek(t)=yd(t)-yk(t)收敛到零。超向量法(supervector)将二维(时间轴、迭代轴)问题转换为一维多输入多输出问题。超向量表达的一般迭代学习控制为
Uk+1=Uk+LEk (2)
L=[γij]n×n
上述学习矩阵L的不同选择方法对应不同的ILC学习算法,显然,当γij=0(i≠j)、γij=γ(i=j)时为Arimoto算法。
定义T为列向量h=(h1,h2,…,hN)T到下三角阵Hp的Toeplitz变换,即Hp=T(h)。
设l=[k1,k2,…,km,0,0,…,0]T∈RN×1,m为ILC算法的阶次,取L=T(l)为ILC算法学习矩阵。
考虑离散高阶ILC算法(式(2)),则
Ek+1=Yd-HpUk+1=(I-HpL)Ek=HeEk=T(he)Ek
He=I-HpLhe=vN-Hpl
vN≜(1,0,…,0)T∈RN×1
因此,ILC单调收敛的充分必要条件为相应的范数小于1,即
‖I-HpL‖i<1 (3)
2 区间鲁棒迭代学习控制的单调收敛性
对于区间矩阵集合:
AI={A:
其顶点矩阵集合:
Av={A:
其中,
对区间鲁棒迭代学习控制系统稳定性和单调收敛性的讨论即为对给定的HIp进行讨论。显然,对Arimoto型迭代学习控制,稳定性的充要条件为
对一般区间鲁棒迭代学习控制,设P=I-Hp⨂L,则其稳定性的充要条件为PI=I-HIp⨂L的谱半径小于1。而区间矩阵PI=I-HIp⨂L的谱半径为P∈Pv的某个谱半径。
根据定理(证明略):xi为具有区间不确定性的参数,
当xi为某顶点向量时,即
max (‖I-HpΓ‖∞,∀Hp∈HI)=
max (‖I-HpΓ‖∞,∀Hp∈Hv)<1 (4)
时区间鲁棒迭代学习控制系统l∞范数意义单调收敛,其中,Hv为Markov顶点矩阵。对离散高阶ILC算法(式(2)),PD型ILC算法(m=2)为[6]
uk+1(t)=uk(t)+k2ek(t)+k1ek(t+1)=
uk(t)+kpek(t)+kd(ek(t+1)-ek(t)) (5)
其中,k1=kd,k2=kp-kd。则I-HpL各行为
(I-HpL)1=(1-h1k1,0,0,…,0)
(I-HpL)2=(-(h2k1+h1k2),1-h1k1,0,0,…,0)
(I-HpL)3=(-(h3k1+h2k2),-(h2k1+h1k2),
1-h1k1,0,0,…,0)
︙
(I-HpL)n=(-(hnk1+hn-1k2),-(hn-1k1+hn-2k2),1-h1k1,0,0,…,0)
因此,有
‖I-HpL‖∞=max(‖(I-HpL)1‖1,
‖(I-HpL)2‖1,…,‖(I-HpL)n‖1)
对于
3 数字仿真研究
对离散线性系统z传递函数
对上述区间不确定系统a∈[0.55,0.80],采用式(5)离散二阶ILC算法:
uk+1(t)=uk(t)+k1ek(t+1)+k2ek(t)
(1)选取控制参数k1=0.90、k2=-0.59[6],当a=0.80(上界)时,‖I-HpL‖∞=0.28<1,其输出轨迹及轨迹误差范数如图4、图5所示。可见,迭代学习控制取得了良好的单调收敛性能。当a=0.72时,‖I-HpL‖∞=0.46<1,其轨迹误差范数如图6所示。当a=0.55(下界)时,‖I-HpL‖∞=1.07>1,其轨迹误差范数如图7所示。可见,当参数区间变化至下界时,不满足式(4)条件,迭代学习控制不满足单调收敛的要求。
(a=0.80,k1=0.90,k2=-0.59)
(a=0.72,k1=0.90,k2=-0.59)
(a=0.55,k1=0.90,k2=-0.59)
(2)选取k1=0.80、k2=-0.59, 当a=0.80(上界)时,‖I-HpL‖∞=0.41<1,其输出轨迹及轨迹误差范数如图8、图9所示。当a=0.72,‖I-HpL‖∞=0.34<1,其输出轨迹及轨迹误差范数如图10所示。当a=0.55(下界)时,‖I-HpL‖∞=0.746<1,其轨迹误差范数如图11所示。可见,当参数取上下界时,均满足式(4)条件,迭代学习控制满足区间单调收敛的要求。
(a=0.80,k1=0.80,k2=-0.59)
(a=0.80,k1=0.80,k2=-0.59)
(a=0.72,k1=0.80,k2=-0.59)
(a=0.55,k1=0.80,k2=-0.59)
4 结语
本文研究了区间不确定离散线性时不变系统的鲁棒迭代学习控制(IILC)算法的单调收敛性,并针对常见的离散PD型ILC算法,给出了在l∞范数意义下区间不确定性迭代学习控制系统单调收敛性的判断方法。仿真实例说明,当Markov参数组成的顶点矩阵满足单调收敛性条件时,区间不确定系统的迭代学习控制具有鲁棒单调收敛性。
参考文献
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[3]Moore K L.An Observation about Monotonic Con-vergence in Discrete-time,P-type IterativeLearning Control[C]//Proceedings of IEEE Int.Symposium on Intelligent Control(ISIC’01).Mexico,2001:45-49.
[4]许顺孝,扬富文.不确定线性系统迭代学习控制器的设计[J].控制理论与应用,2002,19(4):650-652.
[5]Chen Yangquan,Moore K L.An Optimal Design ofPD-type Iterative Learning Control with Monoton-ic Convergence[C]//Proceedings of the 2002IEEEInternational Symposium on Intelligent Control.Vancouver,Canada,2002:27-30.
[6]李宏胜.离散系统单调收敛高阶迭代学习控制[J].机械工程学报,2006,42(6):72-76.
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[8]Moore K L,Chen Yangquan.A Separative High-order Framework for Monotonic Convergent Itera-tive Learning Controller Design[C]//Proceedingsof the American Control Conference.Denver,Colo-rado,USA,2003:3644-3649.
[9]Moore K L.Multi-loop Control Approach to De-signing Iterative Learning Controllers[C]//Pro-ceedings of the 37th IEEE Conference on Decision&Control.Tampa,Florida,USA,1998:666-671.
区间不确定 篇2
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描述学校的小礼堂每天都会有许多活动，有时间这些活动的计划时间会发生冲突，需要选择出一些活动进行举办，会场安排问题（南阳oj14）（贪心区间不重叠）
。小刘的工作就是安排学校小礼堂的活动，每个时间最多安排一个活动。现在小刘有一些活动计划的时间表，他想尽可能的安排更多的活动，请问他该如何安排。输入第一行是一个整型数m(m<100)表示共有m组测试数据。每组测试数据的第一行是一个整数n(1
随后的n行，每行有两个正整数Bi,Ei(0<=Bi,Ei<10000),分别表示第i个活动的起始与结束时间（Bi<=Ei)
输出对于每一组输入，输出最多能够安排的活动数量，
每组的输出占一行样例输入
221 1010 1131 1010 1111 20样例输出
12提示
注意：如果上一个活动在t时间结束，下一个活动最早应该在t+1时间开始
区间不确定 篇3
小干扰稳定问题通常表现为因阻尼不足而引发的低频振荡,振荡频率处于0.1 Hz～2.0 Hz的机电振荡模式是研究的重点。一直以来,诸如模式分析[1]、控制器设计[2,3]、算法开发[4,5]等小干扰稳定领域的研究通常是基于确定性运行参数。然而,电力系统在运行过程中,时刻都受到各种不确定性因素的影响,如参数测量、统计误差等。大量不确定因素的存在使得固定工况下分析得到的小干扰稳定结果,往往在实际中难以得到准确的验证。负荷的不确定性是电力系统中存在的重要不确定因素,对系统的特征值计算和稳定性分析有较大的影响。
目前对负荷不确定性下的小干扰稳定分析已开展了一些研究。文献[6,7,8]结合特征值灵敏度的定义,使用泰勒级数展开式的低阶项来求解不确定负荷下的特征值概率分布结果;文献[9]通过两点估计算法得到不确定负荷下的特征值分布结果。上述方法都是将负荷的不确定性表示为随机变量,并用概率分布函数来进行描述。然而,在某些情况下,随机分布函数的具体参数难以统计,因此在应用时有一定的局限性。区间分布是常用的一种描述不确定信息的数学模型,该模型仅需知道不确定性信息可能处于的上下限值,无需更多的统计参数,在某些情况下更适合于电力系统中不确定性信息的表述[10]。
本文研究了不确定性负荷表示为区间数时的小干扰稳定区间分析方法,通过此方法可以得到区间负荷下系统特征值的阻尼比区间分布。
1 负荷有功的阻尼比灵敏度
1.1 特征值对运行参数的灵敏度
电力系统是非线性自治系统,全系统的线性化模型为:
式中:x为状态变量;v为节点电压向量;Aa为增广状态矩阵。
对应增广状态方程(1),有增广右特征向量[ϕT,ϕTv]T,增广左特征向量[ψT,ψTv]。
设PLi为某负荷节点i的有功,则特征值λ对PLi的灵敏度为[11]:
式中:Aa中的部分元素是节点电压、节点注入电流或发电机转子角的函数,而这三者又可以利用潮流雅可比矩阵进一步表示为全网所有节点有功和无功的函数。
通过线性化可以把这种关系表示为矩阵形式,并可进一步求解特征值对某个负荷有功的灵敏度。
复特征对λ=α±jβ的阻尼比
1.2 负荷和发电机在同一节点的处理
利用式(2)求解增广状态矩阵Aa中的部分发电机变量(如发电机d轴和q轴的电流)对负荷有功的灵敏度时,首先需要求解机端注入电流对负荷有功的灵敏度。当发电机和负荷不在同一节点时,其计算公式与文献[13,14]中基于插入式技术(PMT)的计算方法相同。然而,由于本文的推导是基于通用的增广矩阵灵敏度计算模型,此模型对元件间连接方式的处理与文献[13,14]有所不同,因此当发电和负荷在同一节点时,注入电流对负荷灵敏度的求解方法也不同,以图1所示节点为例,新模型下的求解方法如下。
图1节点示意图Fig.1 Schematic diagram of node
注入电流关系为:
式中:IGi,ILi,Ii分别为节点i的发电机注入电流、负荷注入电流和网络注入电流。
ΔIi和各节点有功向量ΔP存在如下关系:
式中:S为系数矩阵,可由线性化的潮流方程和导纳矩阵运算得到[13]。
当该节点处无负荷时,有ΔIGi=ΔIi=SΔP,从而可以得到发电机的相关变量对负荷的灵敏度数值。当该母线处有负荷时,由式(5)可知,ΔIGi中除了ΔIi外还包含另一项ΔILi,因此形成ΔILi与ΔP的矩阵关系式。负荷功率可以表示为如下形式:
将方程(6)等号两边线性化且不考虑负荷无功的变化,可以得到负荷注入电流与负荷有功之间的表达式:
式中:ΔUi为节点电压;T1和T2的元素见附录A;ΔUi与全网所有节点有功功率的关系可以通过线性化的潮流方程得到。
通过式(7)得到ΔILi对负荷的灵敏度数值后,即可通过式(4)得到负荷和发电机在同一节点处发电机注入电流对负荷有功灵敏度的计算结果。
2 区间负荷下特征值阻尼比的分布
2.1 区间不确定负荷下稳定性分析的几个定义
1)区间特征值
区间负荷内,每个确定的负荷状态下都存在一组反映不同振荡模式的共轭特征值。其中任一特征值都是随负荷状态的变化而改变,因此,每个特征值在负荷区间内都形成了各自的特征值区间,将其定义为区间特征值,表示为[λmin,λmax],其中λmin为特征值的区间下限值,λmax为特征值的区间上限值。
需要指出,区间特征值的上下限值是相对设定的排序规则而言的,可以将特征值按照实部的大小排序,也可以按照虚部的大小排序。因为特征值的阻尼比是反映系统稳定性的重要指标,所以本文按照阻尼比大小对特征值进行排序。
2)区间阻尼比
按照阻尼比大小排序的区间特征值对应着相应的阻尼比区间,称为区间阻尼比,可以表示为[ζmin,ζmax],其中ζmin和ζmax分别为阻尼比的区间下限和上限值。
2.2 区间阻尼比的计算方法
通过分析区间阻尼比可以判定系统在负荷区间内的稳定性情况。求解区间阻尼比上下限值的方法采用基于运行参数灵敏度的迭代求解。算法的总体设计思路为:首先选取区间负荷内若干个确定的典型负荷状态,对每个负荷状态,按照第1节中所述,求解关键特征值的阻尼比对负荷有功的灵敏度;然后根据灵敏度的方向、大小,在给定的负荷区间内反复调整负荷量,直至得到每个特征值阻尼比的极值;最后将各典型负荷状态下每个特征值阻尼比的极值取并集,得到每个特征值阻尼比的最终区间分布。需要说明的是,对应于不同的负荷状态,只考虑平衡节点处的发电机出力参与调节,而其他发电机的出力保持不变。
关键特征值阻尼比区间上限值求解步骤如下:
1)设负荷抽样状态的总个数为p,所研究的弱阻尼特征值个数为q,算法内部的最大迭代收敛次数为r,令i=1。
2)提取第i个负荷状态,计算第i个负荷状态下所有特征值的阻尼比,并按照从小到大的顺序排列,令j=1。
3)取排序后第j个特征值阻尼比ζj,令m=1。
4)按照式(2)、式(3)计算第j个特征值的阻尼比对所有负荷的灵敏度Sjk(k=1,2,…,l;l为负荷个数)。
5)对于每个负荷k(k=1,2,…,l):若Sjk>0,则增大第k个负荷数值;若Sjk<0,则减小第k个负荷数值;若Sjk=0,则保持第k个负荷数值不变。
6)计算负荷状态调整后的系统所有特征值的阻尼比,并提取计算得到的第j个特征值的阻尼比ζj′。
7)计算调整前后特征值阻尼比之差。若|ζj′-ζj|<e (e为设定的小正数),则减小负荷调整的步长,m=m+1。
8)若m<r,转步骤4;否则,得到第i个负荷状态下第j个特征值的阻尼比区间上限值,转步骤9。
9)j=j+1,若j<q,转步骤3;否则,第i个负荷状态下所有弱阻尼模式的区间上限值求解完毕,转步骤10。
10)i=i+1,若i<p,转步骤2;否则,完成所有典型负荷状态下阻尼比区间上限的计算,转步骤11。
11)合并所有负荷状态下的阻尼比区间上限值,得到q个所研究特征值的阻尼比区间上限值。
12)输出结果,程序结束。
算法的实现过程中,需要注意如下几点:
1)为折中计算量和计算精度,程序中负荷抽样状态总个数p设为3,表示取3种不同的负荷状态,分别为负荷都取区间上限值、都取区间下限值、都取区间中间值。
2)在步骤5负荷调整的过程中,若调整后的负荷数值超出其区间上限值或低于其区间下限值,将此负荷数值钳位在其区间限值。另外,各个负荷数值的调节程度并不一定相同,具体由各个负荷的当前数值及其灵敏度的大小共同而定。
3)以上实现步骤是求解关键特征值阻尼比区间上限值的计算方法;求解其区间下限值时,只需将步骤5中负荷数值的变化方向反向即可,其他步骤不变。进而得到特征值阻尼比的总区间分布。
4)具体实现的过程中,在求解特征值时,既可以使用QR分解方法,也可以使用稀疏特征值分析方法;在求取特征向量时,只需求解所关心的那部分特征值所对应的特征向量,这样可以减少计算量。
5)振荡模式对应的2个复共轭特征值的区间阻尼比相同,调节步骤一致,只要计算其中一个即可。
通过上述算法,即可求得区间负荷下,q个关键特征值的区间阻尼比。
3 算例分析
以4机2区域互联系统和新英格兰10机39节点系统为例,基于上海交通大学开发的小信号稳定软件包[15](SSAP)进行分析计算。
3.14机系统
以文献[16]中4机2区域互联系统为例,发电机采用6阶PARK模型,励磁系统采用可控整流励磁,节点7和节点9为负荷节点。网络结构图和运行参数等数据见附录B。
在附录B给出的确定性运行参数下,通过计算得到36个特征根,其中振荡频率处于0.1 Hz～2.0 Hz的振荡模式有7对。
现假定负荷存在不确定性,不确定性的分布为区间数形式,其区间数为[0.95PL,1.05PL],其中PL为附录B中给出的确定负荷数值,具体到本例,即负荷7有功功率的区间数为[828,915],负荷9有功功率的区间数为[988,1 093]。需要说明的是,不确定负荷的区间上下限值可根据实际运行情况的不确定性程度而定。使用2.2节中的算法,求解阻尼比最小的5对特征值在区间负荷下的区间阻尼比计算结果,如表1所示。
表1给出了区间负荷下关键特征值的阻尼比区间分布,以及每个关键特征值取其阻尼比上下限值时的负荷状态。从区间阻尼比上下限处的负荷取值可以看出:系统最弱的振荡模式λ1,2的阻尼比下限值并不对应系统全部负荷的区间上限;系统振荡模式λ3,4,λ7,8和λ9,10阻尼比区间限值对应的负荷水平并不全在区间负荷的边界处。不同的振荡模式最脆弱的状态未必都处于重负荷状态;不同特征值到达最弱阻尼处的负荷数值未必相同;区间阻尼比限值对应的负荷水平未必都在区间负荷边界。
为了验证本文算法的计算结果,将其与蒙特卡罗模拟法得到的结果进行对比,蒙特卡罗模拟法(MCS)的抽样次数设为2 000次,比较结果见表2。
通过表2中的计算结果可以看出,本文方法得到的阻尼比区间完全包含了蒙特卡罗模拟法得到的区间,这说明本文方法的计算结果是准确的。通过对2种方法计算所需QR分解次数的比较,可以看出本文方法在计算时所需的QR分解次数远少于蒙特卡罗模拟法所需的次数。因此,本文方法在计算速度上优于蒙特卡罗模拟法。
下面以系统中阻尼比最弱的振荡模式λ1,2为例,说明本文搜索方法的具体实现。在3种抽样的负荷水平下分别进行阻尼比计算,并按照阻尼比灵敏度的大小对负荷进行调整,最后得到每种负荷水平下的阻尼比区间分布情况,如表3所示。
表3中第1列表示3种抽样的负荷水平:负荷都取区间下限值、都取区间中间值、都取区间上限值。第2列的数值为3种负荷状态下的阻尼比。后2列表示按照本文算法进行搜索计算得到的3种负荷状态下的阻尼比极小、极大值。将3种负荷水平下的阻尼比区间分布结果取并集,得到的区间阻尼比上下限值如表1中第1行的数值。
根据区间阻尼比在其极限值处所对应的负荷数值,可以对给定区间内特征值阻尼比随负荷变化的单调性进行预估。例如,通过观察表1,发现特征值λ1,2在负荷9下限取得最小阻尼比,在负荷9上限取得最大阻尼比,因此可以推断特征值λ1,2的阻尼比有很大可能随负荷9的增加而递增,同理可判断其阻尼比随负荷7的增加而递减。特征值λ7,8在负荷9的区间内,阻尼比分布大致呈向上开口的二次曲线形状。
下面对特征对λ1,2和λ7,8作出其阻尼比随负荷有功变化的曲线,如图2所示。图中横坐标PL7,PL9分别表示节点7和节点9处的负荷有功功率。图2(a)表示PL7固定在848 MW时,振荡模式λ1,2 阻尼比在PL9有功区间内变化的曲线;图2(b)表示PL9固定在1 041 MW时,振荡模式λ1,2 阻尼比在PL7有功区间内变化的曲线;图2(c),(d)分别表示相同条件下振荡模式λ7,8阻尼比随负荷有功变化的曲线。
从图2可以看出,实际得到的特征值阻尼比在给定负荷区间内的单调性情况,与通过表2预估得到的阻尼比单调性情况相符。以上分析表明,根据区间阻尼比上下限值处的负荷状态可以大致判断特征值阻尼比在给定负荷区间内的单调性,提供给运行人员很好的决策参考。
图2特征值阻尼比分布曲线Fig.2 Distribution curve of eigenvalue damping ratio
3.2新英格兰10机39节点系统
新英格兰10机39节点系统发电机为6阶PARK模型,采用连续旋转直流励磁系统,基本运行方式见附录C。
在附录C所给的确定性运行参数下,计算得到110个特征根,其中28对共轭特征根。现假定负荷不确定性的分布区间数为[0.95PL,1.05PL],其中PL为附录C所给的确定负荷数值。采用本文的计算方法计算2个最弱阻尼模式的区间阻尼比分布,并将计算结果与蒙特卡罗模拟法抽样2 000次得到的结果进行对比,如表4所示。
通过表4可以看出,使用本文的区间分析方法仅用少量的QR分解次数即可求得特征值阻尼比区间分布,而且得到的区间分布完全包含蒙特卡罗模拟法得到的区间分布,由此说明了本文方法计算结果的正确性和在计算速度的优越性。
为了进一步验证本文方法在求解实际系统时的有效性,将该方法应用于某实际地区电网,简要计算结果见附录D。
4 结语
通过算例的计算结果可以看出,负荷水平与阻尼比的强弱并无直接关系,负荷增大并不一定会造成系统阻尼的恶化;不同的振荡模式其最大、最小阻尼比取值往往对应不同的负荷水平,并且变化规律常常不一致,利用特征值区间阻尼比分布的计算结果可以推断出特征值阻尼比在给定负荷区间内的变化规律,给运行人员以有益的参考。
区间不确定 篇4
关键词：黑河中游,区间,两阶段随机规划,模糊可信性约束规划,农业水管理,不确定性
黑河中游干旱少雨,水资源有限,短缺形势严峻,加之,2000年开始实施的黑河干流跨省区分水方案,限制了中游地表水资源可利用量[1]。同时,黑河中游农业用水占到总用水量的80%以上,水资源总量的80%以上来自黑河。农业用水的增加,导致整个流域农业用水和生态用水、中游用水和下游用水的矛盾日益尖锐[2]。因此良好的水资源管理规划有助于区域农业生产和经济发展。由于中游地区有限的地表水资源,决策者可通过优化配水方案得到最大的经济效益,即把水资源合理地分配到不同区域内的不同作物。同时,在农业灌溉系统中,存在许多不确定性问题。例如:灌溉水可利用量,灌溉水量目标,和灌溉定额,这些参数很难得到精确的量化的数据。因此,近年来,许多不确定性水资源优化配置方法被用于水资源管理系统中[3,4,5,6,7,8]。
在灌溉水资源优化配置系统中,水量分配的越多,农民将会获得更大的经济效益,但是在来水水平很低时,农民会面临很大的缺水损失;相应的,降低灌溉目标也就降低了缺水损失,但是效益也会随之减少。因此,如何通过建立模型来平衡灌区农业水资源供需矛盾,是灌溉水资源优化配置需要解决的问题。两阶段规划(Two-stage Stochastic Programming,TSP)是解决这类问题的有效方法,尤其是在不确定性条件下的水资源系统中。在TSP模型中,如果随机事件不确定,需要先确定第一阶段,当随机事件确定之后,再进行第二阶段的修正来减少系统惩罚损失[5,6,7]。在实际中,管理者通常要考虑系统中的不确定性带来的风险违规问题。TSP模型能够有效处理不确定性,但不能处理带有风险违规的不确定性问题。机会约束规划(Chance-constrained Programming,CCP)和模糊可信性约束模型(Fuzzy Credibility Constrained Programming,FCCP)都能有效解决此类问题。这类方法不要求所有的约束必须严格满足,相反,只需在给定的违规概率/置信水平下部分满足。但是,CCP在实际应用中,不确定性信息常常不能满足概率分布函数的要求,而模糊分布信息则比较容易获得[9]。并且,当系统中存在模糊变量时,只有基于可信性测度而建立的模糊可信性约束模型能解决此类问题[10,11,12]。因此,可把FCCP模型结合到TSP模型中,建立TFCP(Two-stage Stochastic Fuzzy Credibility Constrained Programming)模型用以解决带有违背概率的模糊风险问题。TFCP模型可解决约束右侧的模糊参数问题,但不能处理约束左端和效益系数的不确定性问题,因此可引入IPP(Interval Parameter Programming)模型,有效补充TFCP模型的应用范围,最终得到ITFCP模型。通过Lingo软件进行模型求解,得到不同情景的优化决策方案。不同置信水平下的结果可帮助管理者衡量系统的不确定性,去制定合适的政策。
1 模型的建立
1.1 两阶段随机规划(TSP模型)
TSP模型可有效平衡不确定性条件下的灌溉农业水资源。通常,模型如下:
式中:δ是第二阶段的决策变量,是随机变量,概率分布很难确定。
因此,可将不同来水水平情况下的缺水量按照离散变量处理,并对应不同来水水平出现的概率为ph:
模型线性形式如下:
约束条件:
通常,系统的决策变量被表示为带上下界的区间参数。所以将IPP结合到TSP模型中,即得区间两阶段随机规划(ITSP)模型:
约束条件:
ITSP模型能够有效处理随机不确定性,但不能处理带有风险违规的不确定性问题。特别是当系统中存在模糊变量时,只有基于可信性测度而建立的模糊可信性约束模型能解决此类问题。
1.2 模糊可信性约束规划模型
模糊可信性约束规划模型为[13]:
约束条件:
式中:cj,aij为实数型参数;为模糊数;xj为决策变量;Cr为可信性测度;λi为可信性置信水平。
假设ξ为三角模糊变量(r1,r2,r3):μ为隶属函数,x为实数;则x≤ξ的可信性可表示为:
用si代替,因此,模型的约束可转化为:,i=1,2,…,m,即模型可转换为:
约束条件:
一般来说,有意义的可信性置信水平应该大于0.5[10]。所以,基于上述可信性的定义,对于
将此式带入模型求得最优解。由上述模型可知,模糊可信性约束规划模型转化为一个线性规划模型,可以按照线性规划模型的解法求解。
1.3 区间两阶段模糊可信性约束规划
综合上述模型,本文建立了区间两阶段模糊可信性约束规划(ITSFCP)模型用于水资源优化配置,目标函数是在满足各项约束条件的前提下,达到利益最大化。约束条件包括:3个地区作物总的需水量和供水量,最小需水量约束,土地面积约束,非负约束等。模型如下:
目标函数。
约束条件。
(1)可利用水量约束:
(2)种植面积约束:
(3)非负约束。
式中:f±是目标函数,万元;i是不同地区,i=1(甘州区),i=2(临泽县),i=3(高台县);j是不同作物,j=1(夏收作物),j=2(秋收作物),j=3(经济作物);h是不同来水水平,h=1(低水平),h=2(中水平),h=3(高水平);AT±ij是预先决策的i地区j作物的灌溉目标(第一阶段决策变量),hm2;NB±ij是i地区j作物的单位面积灌溉效益,万元/hm2,可由单位面积作物产量乘以作物市场价格得到;C±ij是i地区j作物的灌溉目标未达到时所带来的单位面积经济惩罚,万元/hm2;DT±ij是i地区j作物在来水水平为h时的未达到预先决策的缺水灌溉面积(第二阶段决策变量);ph是可利用水量Qs,Qg的来水水平为时的概率;iq±ij是i地区j作物的灌溉定额,m3/hm2;珟Qsh,珟Qgh为三角模糊变量,分别是地表水和地下水在不同来水水平h时的可利用水量,万m3;ηs,ηg分别是地表水灌溉水利用系数和地下水灌溉水利用系数,分别取0.5和0.65;Cr为可信性测度;λl为可信性置信水平。
2 模型求解
在上述模型中,AT±ij是区间形式的,因此线性规划的方法通常不能直接应用。因此引入决策变量zij,zij∈[0,1],令AT±ij=AT-ij+zijΔATij,其中ΔATij=AT+ij-AT-ij,zij是确定值,因此AT±ij可用线性规划方法求解。当zij=0时,AT±ij取最小值,结果为模型下限;当zij=1时,AT±ij取最大值,结果为模型上限。通过求解得到优化决策变量zijopi,则AT±ijopt=AT-ij+zijoptΔATij。同时,根据区间交互算法,因为目标函数是经济效益最大,需要先进行符合f+的模型计算,扩大决策空间。
2.1 上限子模型
目标函数:
约束条件:
(1)可利用水量约束:
(2)种植面积约束:
(3)非负约束:
式中:DT-ijh和zij是上限子模型的决策变量;f+opt,DT-ijh和zijopt是优化解,优化灌溉目标为AT±ijopt=AT-ij+zijoptΔATij。
2.2 下限子模型
目标函数:
约束条件:
(1)可利用水量约束:
(2)种植面积约束:
(3)非负约束:
式中:DT+ijh是决策变量;fopt,DT+ijh是优化解。
因此,模型的优化解如下:
3 实例研究
3.1 基本资料
以黑河中游甘州,临泽,高台的3种作物:夏收作物,秋收作物,经济作物为研究对象,进行优化配水。表1是不同地区不同作物的灌溉目标,灌溉定额和相关的经济参数。如果水量足够的话,可以获得一定的经济效益,如果水量短缺,就会缩减当前的规划或者从其他途径获取更多的水量,从而会有相应的惩罚,导致经济效益的损失。本模型中地表水和地下水的可利用水量是随机的,同时带有模糊属性,可看作为模糊随机变量,将其变成离散变量及其相应的概率。不同水平年地表水地下水可利用水量是三角模糊数(r1,r2,r3),不同来水水平可能出现低流量、中流量、高流量3种情况,3种流量出现的概率分别为0.2、0.6、0.2。表2是地表水和地下水不同来水水平的可利用水量及其概率。地表水和地下水的灌溉水利用系数分别为η1=0.5,η2=0.65。一般来说,有意义的可信性置信水平应该大于0.5,见表3[11]。分别取可信性置信水平为1,0.9,0.875,0.85,0.8进行对比。
3.2 结果分析
表4是不同可信性置信水平λl下的优化灌溉目标结果。对比不同地区的3种作物的灌溉面积,可知不同地区的不同作物之间存在用水的竞争。当可信性置信水平从λ=1到λ=0.8时,甘州区的夏收作物的优化灌溉面积不断增大,从5 667~6 733hm2,分别是预先给定的灌溉目标的下限(zij=0)和上限(zij=1)。结果表明,随着可信性置信水平的降低,分配到该地区对应于夏收作物的水量不断增加,同时会面临伴随的缺水违规风险。如果管理者希望有更多的灌溉面积,则要面临较高的系统风险,导致可靠性降低。同时,3个地区的经济作物和秋收作物的结果分别是上限(zij=1)和下限(zij=0),表明了管理者对经济作物的灌溉面积持积极态度,对秋收作物的灌溉面积持保守态度。因为两种作物的单位经济效益的不同,经济作物的收益较高,水量会优先满足;秋收作物的种植面积较大,应当适当压缩。
考虑不同可信性置信水平λl下的缺水作物灌溉面积,不同来水水平时缺水量是不同的,因此低流量水平时缺水灌溉的面积较大,高流量水平时缺水灌溉面积较小。以可信性置信水平λl=0.9为例,低水平(h=1)时,甘州区的秋收作物由于缺水而不能灌溉的面积是[16 465,22 085]hm2;中水平是[3 338,10 078]hm2;高水平时没有缺水。因此,如图1所示,实际的灌溉面积随着不同来水水平而增加。
根据模型可得到系统的经济收益,给出了区间上下限fopt和f+opt的结果。由于不确定性的可利用水量,结果应在此区间波动。上限的结果是在可利用水量更多的情景下得到,水资源短缺较少,但同时违规缺水风险较大;下限的结果则相反。因此,管理者需要平衡经济收益和缺水风险。由于λ=1代表系统需求条件下的最高可信度水平,因此λ的不同取值所得到的系统收益代表了不确定性约束条件下满足系统目标及约束水平的可信度水平。不同可信性置信水平对应的经济收益分别是λ=1时[23.36,34.79]亿元,λ=0.9时,[23.65,35.06]亿元,λ=0.875时[23.71,35.13]亿元,λ=0.85时[23.78,35.19]亿元,λ=0.8时[23.92,35.32]亿元。由图2和图3分别是不同置信水平条件下的经济收益和缺水经济损失对比。可看出,随着可信性置信水平的降低,经济效益呈现增加的趋势,缺水经济损失逐渐变小。表明随着系统的风险违规程度的增加,系统可靠性程度降低,从而导致可利用水量的约束放松,相应的可利用水量增加,决策空间扩大,因而带来更多的经济收益。因此,系统收益和约束满足程度之间的权衡可为管理者提供不同的决策方案。
4 结语
区间不确定 篇5
风能的自然属性决定了风力发电的强波动性和强随机性, 大规模风电集中式接入给电力系统的有功调度带来新的挑战。传统的有功调度方法[1,2]以风电点预测为依据制定短期的发电调度计划, 在高风电渗透率的条件下无法有效应对风电的随机性, 因为风电功率点预测误差大且没有反映风电不确定信息[3]。传统的确定性有功调度方法已经难以保证系统的安全运行以及有效地消纳大规模风电。如何充分利用风电不确定信息进行安全有效的电力系统有功调度, 是发展先进风电技术的关键问题之一。
文献[4]提出一种含风电场的电力系统鲁棒调度模式, 并建立与之适应的计及常规机组AGC调节响应[5]的鲁棒区间经济调度模型。鲁棒区间经济调度考虑了风电场出力允许区间内的所有可能的出力场景, 当风电场实际出力落在允许区间内时, AGC系统调节响应结束后的系统运行状态总是能够满足安全约束, 所以该方法得出的调度计划可以鲁棒地适应风电不确定性。另一方面, 为了应对不确定集合内的最恶劣风电出力场景, 鲁棒调度策略倾向于采用安全而不经济的运行方式, 因而具有一定的保守性。
降低鲁棒调度策略保守性的一种方法是, 合理地构建限定不确定参数变化范围的不确定集合, 将发生概率极小的恶劣风电出力场景[6]排除在考虑范围之外, 从而缩小不确定集合的大小。文献[7]通过不确定性预算量构建限定负荷波动特性的不确定集合, 以降低鲁棒机组组合方案的保守度。其中不确定预算量的选取依赖于人工经验。文献[8]从可再生能源电站的空间集群效应及其出力的时间平滑效应出发, 提出从时空维度构建基于不确定预算量的不确定集合, 并给出不确定预算量的取值方法。该方法基于各可再生能源电站的相对预测偏差的一阶矩和二阶矩相同以及相对预测偏差之和服从正态分布的假设, 并没有考虑可再生能源电站之间的出力相关性。
在文献[4]工作的基础上, 本文讨论鲁棒区间经济调度不确定集合的构建方法, 以降低鲁棒调度策略的保守度, 提高鲁棒调度的灵活性。首先, 建立含不确定变量概率边界的鲁棒区间经济调度模型。然后, 根据调度中心掌握风电预测信息的不同情况, 提出考虑风电出力相关性的不确定集合构建方法, 使得不确定集合满足一定的置信水平。最后, 结合IEEE 24节点系统算例对本文提出的不确定集合构建方法进行对比。
1 含概率边界的鲁棒区间经济调度模型
鲁棒区间经济调度给出各类电源的调度策略, 包括各个风电场的风电允许出力区间、AGC机组的基点功率pa以及非AGC机组的出力计划ps, 使调度策略具有应对风电波动的鲁棒性, 同时达到常规机组发电成本最小化和风电利用率最大化的目标。本文以文献[4]的模型为基础建立含不确定变量概率边界的鲁棒区间经济调度模型。
1.1 变量定义
本部分将分别给出与风电场和常规机组相关的变量定义。变量的顶标“~”表示该变量为不确定变量。定义调度时间段个数为T, 风电场的下标集合为W, AGC机组的下标集合为Ga, 非AGC机组的下标集合为Gs, 传输断面的下标集合为L。如无特别说明, 下文出现的下标取值范围为t∈{1, 2, …, T}, i∈Gs, j∈Ga, k∈W, l∈L。
由于下文的约束条件中将出现各个风电场的出力之和, 为方便起见, 定义与风电出力总加相关的变量。记在第t个调度时段, 各个风电场出力总加为wt, 风电场出力总加的允许下界为, 风电场出力总加的允许上界为。这些变量满足以下关系:
记风电场实际出力总加为, 其不确定集合Utw可以表示为:
式中:分别为不确定变量在置信水平β下的概率下边界和概率上边界, 即满足
在下文的传输断面安全约束中将出现各个风电场的加权和, 为方便描述, 定义与加权和相关的变量。在第t个调度时段, 定义所有风电场的实际出力对传输断面l的潮流贡献值为, 即
式中:GRl-k为在给定承担系数α下风电场k对传输断面l的准稳态发电转移分布因子[9]。
式 (5) 表示的物理意义为:在直流潮流的意义下, 各个风电场向电网注入功率引起传输断面l的有功潮流的增加量为的不确定集合可以表示为:
概率边界是控制不确定集合大小的参数, 影响最优鲁棒调度策略的保守度, 取值方法由第2节的构建方法给出。
记非AGC机组i在第t个调度时段的出力计划值为psj, t。
1.2 目标函数
鲁棒区间经济调度以最大化风电允许出力上界和最小化发电成本为目标:
式中:Ci, t (psi, t) 为非AGC机组i在第t个调度时段的发电成本;Cj, t (paj, t) 为AGC机组j在第t个调度时段的发电成本;为风电场k在第t个调度时段的出力上界偏差惩罚成本。
非AGC机组和AGC机组的发电成本表达式为:
式中:ai, t, bi, t, ci, t分别为发电成本的二次项系数、一次项系数和常数项系数。
风电的允许出力上界偏差惩罚成本的表达式为:
式中:Mk为对风电场k的上界偏差惩罚系数;为风电场k在第t个调度时段的风电预测上界。
此处采用二次惩罚项的目的是避免出现极端的弃风方式。
1.3 约束条件
为了在所有允许的风电出力场景内保证系统运行的安全性, 以下约束条件需要对成立。
1) 功率平衡约束
式中:Dt为在第t个调度时段的系统负荷需求。
该式表示在忽略网络损耗情况下的功率平衡约束。
2) 常规机组的出力限制约束
式 (14) 和式 (15) 分别表示非AGC机组和AGC机组的出力限制约束。
3) 常规机组的爬坡速率约束
式中:ΔT为单位调度时段的时间长度, 一般为5~15min;RsDi, t和RsUi, t分别为非AGC机组i在第t个调度时段的向下爬坡速率和向上爬坡速率;RaDj, t和RaUj, t分别为AGC机组j在第t个调度时段的向下爬坡速率和向上爬坡速率。
式 (16) 和式 (17) 分别表示非AGC机组和AGC机组的爬坡速率约束。
4) 旋转备用约束
式中:Rt+和Rt-分别为第t个调度时段的系统向上旋转备用容量要求和向下旋转备用容量要求。
式 (18) —式 (23) 表示向上旋转备用约束和向下旋转备用约束。
5) 传输断面安全约束
式中:Gl-i为机组i对传输断面l的发电转移分布因子;分别为传输断面l在第t个调度时段的潮流下限和上限。
6) 风电允许出力区间和风电出力约束
式中:为风电场k在第t个调度时段的预测下界。
式 (25) 、式 (26) 表示风电允许出力区间和风电出力约束。
1.4 模型转换与求解
将前述模型表示为矩阵形式的鲁棒优化问题:
式中:u为由构成的决策向量;V为约束条件个数;Αv为第v个约束条件中决策向量的系数向量;Etv和分别为不确定变量的系数;bv为常系数;C (u) 为式 (9) 中的目标函数。
由式 (4) 和式 (6) 可知, 不确定集合Uwt和Uπl, t受决策变量u的影响, 因此将其表示为Uwt (u) , Uπl, t (u) 。
由于不确定集合Utw和Ulπ, t与确定性变量u有关, 因此无法用直接方法将式 (29) 中max和min消去 (分析请见附录A) 。此处可以采用对偶转换将式 (29) 第2至5个式子转换为显式的等价不等式。以式 (29) 第2个式子为例, 将不等式右侧转换为对偶形式并得到其显式的等价不等式:
同理可得式 (29) 第3至5个式子的等价不等式:
式中:为对应约束的对偶变量。
由式 (29) —式 (31) 得到与鲁棒优化问题式 (27) 等价的单层优化问题:
式 (32) 为关于的二次约束二次规划问题 (QCQP) , 可以用非线性优化方法求解, 如内点法。
2 不确定集合构建方法
由式 (4) 和式 (6) 可以看出, 概率边界值直接影响不确定集合Utw和Utπ的大小, 不确定集合越小, 鲁棒优化考虑的场景越少, 鲁棒最优解的保守度越低。合理地构建不确定集合有利于降低鲁棒调度策略的保守度。
在实际工程中, 除了风电功率预测值和风电预测区间外, 电网调度中心还可能掌握其他的风电预测信息, 例如风电预测值的标准差、风电场之间的出力相关系数甚至风电预测误差概率分布等。调度中心可以根据所掌握的预测信息量的不同, 构建出满足一定置信水平β的不确定集合。下面讨论几个典型情况下的不确定集合构建方法。
2.1 预测误差概率分布以及相关系数
假设已知:各个风电场的风电功率预测误差的概率密度函数fwk, t (x) 、风电场之间的出力相关系数矩阵R=[ρi, j]。首先, 通过基于Nataf变换的蒙特卡洛法[10]计算的概率累积函数Fwt (x) 以及的概率累积函数Fπl, t (x) 。然后计算不确定变量在置信水平β下的概率边界值:
2.2 预测值、标准差、相关系数与预测区间
假设已知:风电功率预测 (期望) 值μwk, t, 风电功率预测标准差σwk, t, 风电场之间的出力相关系数矩阵R, 预测区间。首先, 计算不确定变量的数学期望和方差:
然后, 计算置信水平β下的不确定变量的概率边界值。假设的概率密度分布是单峰的, 当0≤β≤1/3时, 令
当1/3≤β≤1时, 令
由Gauss不等式[11]可以验证, 式 (39) 和式 (40) 是下式成立的充分条件, 即
2.3 预测值、标准差与预测区间
假设已知:风电功率预测 (期望) 值μwk, t, 风电功率预测标准差σwk, t, 预测区间。与2.2节相比, 风电场的出力相关系数未知。此时不确定变量的概率边界值估计如下。
当0≤β≤1/3时, 令
当1/3≤β≤1时, 令:
可以验证, 式 (42) 和式 (43) 是式 (41) 成立的充分条件。
2.4 风电功率预测值、预测区间
假设已知:风电功率预测 (期望) 值, 预测区间。在此情况下, 由于掌握的风电预测信息不够, 无法通过Gauss不等式估计不确定集合的概率边界值, 取。此时式 (41) 的成立是自然而平凡的, 因为失去了保守度控制的意义。
3 算例分析
为了验证本文的不确定集合构建方法对鲁棒区间经济调度的影响, 本文用基于Nataf变换的蒙特卡洛仿真法[10]在改进的IEEE 24节点系统上进行蒙特卡洛仿真。基于Nataf变换的随机抽样考虑了随机变量之间的相关性, 因此抽样结果能够更加准确地反映场景的特性。测试系统数据、算例设定与蒙特卡洛仿真模拟流程与文献[4]相同, 在此不再赘述。在本算例中, 设定4个风电场的出力相关系数矩阵为:
假设各个风电场的实际可用风电功率服从Gauss分布, 且风电功率预测区间是置信概率等于99.7%的μ±3σ区间[12]。每次测试的仿真样本数N=100 000。
逐次改变置信水平要求, 分别用第2节中介绍的4种方法构建不同的不确定集合, 并求解对应的鲁棒区间经济调度模型。定义调度策略在一定置信水平下的场景安全率为ksafe:
式中:nksafe为在第k个仿真样本中无需采取校正调度措施即可满足运行安全约束条件的时间断面个数。
如果ksafe≥1-β, 那么称该调度策略具有置信水平β下的鲁棒性。
图1所示的是在不同的置信水平下, 由多种不确定集合构建方法下的鲁棒调度策略场景安全率。
图1中, 方法1、方法2、方法3、方法4分别指2.1节、2.2节、2.3节和2.4节中的不确定集合构建方法。当场景安全率位于1-β上方时, 调度策略具有置信水平β下的鲁棒性。由图中可以看出, 由4种方法得到的调度策略都具有给定置信水平β下的鲁棒性, 即鲁棒调度策略以不低于1-β的概率保证运行安全约束的满足。其中, 方法1的场景安全率随置信水平的变化最灵敏, 方法2和方法3次之, 方法4的场景安全率不随置信水平变化。由于场景安全率对置信水平的灵敏度反映了不确定集合构建方法根据置信水平控制调度策略保守度的能力, 所以方法1控制鲁棒调度策略保守度的效果最好, 方法2其次, 方法3次之, 方法4无法根据置信水平控制保守度。
运行成本从经济性的角度反映鲁棒调度策略的保守度。图2和图3所示的是在各种不确定集合构建方法下的鲁棒调度策略的平均基本运行成本和平均校正调度成本。基本运行成本指的是式 (9) 中考虑的成本, 校正调度成本指的是重新调整AGC机组出力成本、释放备用容量成本、再弃风成本以及切负荷成本。
从图2来看, 方法1、方法2和方法3的平均基本运行成本随着置信水平的增大而降低。随着置信水平增大, 由这3种方法获得的不确定集合缩小, 鲁棒区间经济调度模型的可行域增大, 因此鲁棒最优调度策略的目标成本降低。在同一置信水平下, 方法1的基本运行成本最低, 方法2其次, 方法3次之, 这与图1所示结果是符合的。另一方面, 调度策略保守度的降低是以校正调度成本的增加为代价的。在图3中, 平均校正调度成本随着置信水平而增加。其中, 保守度控制效果最好的方法1的校正调度成本最高, 其次是方法2和方法3。随着置信水平的增大, 在鲁棒调度策略考虑范围之外的风电出力场景增多, 为了应对这些计划外的场景, 系统需要付出更大校正调度控制代价以维持安全运行。根据以上分析, 保守度控制能力由强至弱依次为方法1、方法2、方法3、方法4。虽然方法1对鲁棒调度策略保守度的控制效果最好, 但是并不实用, 因为风电功率的概率模型在实际中是难以获得的。方法2所需的预测均值和预测方差可以由风电场的风功率预测软件给出, 而相关系数矩阵可以由调度中心根据历史数据统计得出, 所以方法2所需的预测信息在实际应用中更易获取。由算例结果可以看出, 方法2的保守度控制效果与方法1相近, 因此方法2具有更好的实用价值。
4 结语
以文献[4]的工作为基础, 本文的主要目的是降低鲁棒区间经济调度的保守度, 提高鲁棒调度方法的实用性。为了达到这个目标, 构建以概率边界描述的不确定集合, 并建立包含概率边界的鲁棒区间经济调度模型。针对调度中心可能掌握的不同的预测信息, 本文提出3种根据置信水平构建不确定集合的方法, 其中的方法1和方法2可以处理不同风电场之间的出力相关性。并在改进的IEEE 24节点系统上进行了对比测试。算例结果表明, 通过本文方法构建的不确定集合得出的调度策略均具有满足一定置信水平的鲁棒性。其中, 方法2所需的不确定信息容易获得, 并且对鲁棒调度策略保守度的控制效果较好, 因此实用价值最好。
本文与文献[4]共同构成的系列论文提出了一套以消纳大规模并网风电为目标的鲁棒区间经济调度方法, 其中包括鲁棒风电调度的工程实现模式, 鲁棒区间经济调度模型以及鲁棒调度策略的保守度控制方法。鲁棒区间经济调度以风电预测区间作为决策的输入信息, 考虑了AGC系统的调频响应, 不仅适应当前中国电力调度的技术条件, 而且在实际工程中易于实现。在实际应用中, 调度运行人员还可以根据承担风险的偏好调整调度策略的置信水平, 从而调整鲁棒调度策略的保守度, 因此本文方法在实际操作方面具有灵活性。本文提出的鲁棒区间经济调度方法为高风电渗透率的电力系统有功调度提供了一条切实可行而有益的思路。
摘要：对鲁棒区间经济调度中不确定集合的构建方法进行探讨。首先, 建立考虑不确定变量概率边界值的鲁棒区间经济调度模型。然后, 针对调度中心掌握风电预测信息的不同情况, 相应地提出构建满足一定置信水平的不确定集合的方法, 其中考虑了风电场的出力相关性。该方法使得调度人员可以灵活地根据风险偏好程度来控制鲁棒调度策略的保守度。最后, 在改进的IEEE 24节点系统上进行蒙特卡洛仿真, 验证所提出的不确定集合构建方法的有效性, 并对其性能进行了比较。
关键词：不确定集合,鲁棒优化,经济调度,预测区间,风力发电
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区间不确定 篇6
为了满足人们日益增加的电力需求,缓解传统发电所带来的环境污染问题,以风能、太阳能为代表的间歇性新能源发展迅速。伴随着新能源发展,储能作为平抑间歇性能源波动的一种有效技术逐步得到应用和推广[1,2]。在此过程中,微网概念的提出为间歇性新能源、小容量燃气/燃油发电、储能等分布式资源的综合利用提供了新的途径,近年来微网技术在学术界、工业界受到广泛关注[3,4]。
微网是由一组负荷、分布式电源及储能装置共同组成的有机系统,既可并网运行又能独立供电[5,6]。众所周知,微网中的分布式间歇性电源(如光伏、风电等)出力具有波动性和随机性,且可预测性相对较低,给微网优化调度带来挑战[7]。目前,针对微网优化调度问题,国内外学者开展了丰富的研究工作[8,9]。文献[10,11]考虑可再生能源出力预测误差、负荷预测误差、机组故障等不确定性因素,建立了基于机会约束规划的微网系统动态经济调度模型,并结合蒙特卡洛模拟的遗传算法进行优化问题求解。这种随机规划方法须已知不确定参数的精确概率分布,但在实际中要获得其精确概率分布十分困难[12,13,14]。区间数优化利用区间描述变量的不确定性,只需要通过较少的信息获得变量的上下界,故在不确定性建模方面体现了很好的方便性和经济性[15]。
在微网系统优化调度问题研究中,有功—无功联合调度也是所需考虑的问题。因为,微网不同于输电网,其输电线路的电阻值与电抗值相当,有功和无功功率流动都会影响线路损耗和电压质量[16,17]。然而,现有的研究大多仅考虑微网系统的有功优化调度问题,较少考虑有功—无功联合优化调度[18,19]。文献[20]针对孤网模式下的微网系统建立经济调度优化模型,并采用简化梯度方法对模型进行求解;文献[21]在微网经济调度问题建模时,综合考虑分布式发电机组的有功出力特性、储能单元的充放电特性,并利用线性化方法将原优化问题转化为混合整数线性规划问题进行求解。上述工作仅研究微网系统的有功调度策略,忽视了有功与无功强耦合特征。近期,各国学者针对微网有功—无功联合优化问题已经开展了初步的研究。文献[19,22]以微网运行成本和环境成本为优化目标,建立了热电联产型微网系统有功—无功联合优化调度模型。可是,这些文献将间歇性能源的预测功率视为确定量处理,没有考虑功率预测误差的不确定性。
本文将以一个包含微型燃气轮机、柴油机、光伏、风机、储能单元的微网为对象,综合考虑微网系统中风机和光伏的输出功率波动、负荷预测误差等不确定性因素和微网有功和无功相互耦合的特性,建立基于区间不确定性的微网系统有功—无功联合优化调度模型。针对该优化调度模型,本文采用基于区间序关系的转换方法[23,24],将模型中不确定的区间优劣的比较转化为确定性的数值大小的比较,从而对一个确定性的非线性优化模型进行求解。并对典型的微网系统算例进行仿真验证,结合试验结果讨论了区间不确定水平的选取对微网调度结果的影响。
1 微网系统的优化调度模型
1.1 不确定变量描述
含微型燃气轮机、柴油机、光伏、风机、储能单元以及负荷的典型微网系统如图1所示[22]。微网通过公共连接点(PCC)接入配电网,并与配电网进行功率交换。微网功率优化调度目标,是在满足微网负荷需求以及系统运行约束条件下,通过合理安排各可控单元的出力计划,使微网系统的运行成本最小。
在微网系统中,分布式可再生能源发电(如光伏和风电)受光照、风速等天气因素影响,其出力预测具有较强的不确定性[14]。另外,微网内部的负荷预测也存在预测误差不确定性。在描述不确定变量时,随机优化方法需已知其概率密度分布函数,但要获得精确的概率密度函数往往存在困难。然而,在实际系统决策中,获知不确定变量的取值范围(即取值区间)则相对容易,且所需的不确定信息也大大减少[15]。
为此,本文利用区间描述风机有功出力、光伏有功出力和负荷预测值,即PIWT(t)=[PLWT(t),PRWT(t)],PIPV(t)=[PLPV(t),PRPV(t)],PID(t)=[PLD(t),PRD(t)]。
为应对光伏、风机和负荷等不确定性影响,保持系统实时功率平衡,可控机组出力以及微网与配电网交换的功率也将在一定范围内变化。本文假设用于应对不确定性的是配电网交换的有功功率,将微网与配电网交换的有功功率表示成区间变量,即PIGRID(t)=[PLGRID(t),PRGRID(t)]。
1.2 目标函数
光伏和风机相对于燃料机组,发电成本较小,可以忽略不计[21]。因此,微网优化调度目标是使燃气机组、柴油机组、储能单元的运行成本以及与配电网的功率交换成本之和最小。目标函数表示为:
式中:F(PMT(t)),F(PDE(t)),F(PSB(t))分别为燃气机组、柴油机组和储能单元每小时的运行成本;cp(t)为t时刻微网向配电网购电的实时电价。
燃气机组和柴油机组运行成本与机组出力的关系可由二阶拉格朗日函数描述[20]:
式中:下标i表示可控机组序号;Pi(t)为第i台可控机组有功功率;F(Pi(t))为第i台可控机组的运行成本;αi,βi,γi为第i台可控机组的费用系数(见表1)。
储能单元的成本函数包括投资折旧成本和运行维护成本,可表示成[20]:
式中;aSB=rSB/[1-(1+rSB)-NSB],其中rSB为年利用率(取0.05),NSB为使用寿命(10年);PSB(t)为t时刻储能单元每小时输出的有功功率;aSB为年折旧系数;IPSB为投资安装成本(667元/kW);GESB为运行维护成本(0.01元/kW)。
1.3 约束条件
1)潮流约束
考虑到微网有功功率和无功功率相互耦合,本文将联合优化可调资源的有功出力和无功出力。这里,假设柴油机组和燃气机组仅参与有功调节,而储能单元和配电网同时参与有功和无功调节。这样,微网系统运行的潮流约束可表示为:
式中:h为系统节点个数;f=1,2,…,h;Gfg,Bfg,θfg分别为节点f和g之间的电导、电纳和相角差,节点g为节点f相连的节点。
2)运行电压约束
式中:Vf,max和Vf,min分别为节点f的电压上、下限。
3)可控机组有功出力约束
式中:PMTmax,PMTmin和PDEmax,PDEmin分别为燃气机组和柴油机组有功出力的上、下限。
4)可控机组的爬坡约束[19]
式中:Δt为时段长度;RuMT,RdMT和RuDE,RdDE分别为燃气机组和柴油机组的向上和向下爬坡速率。
5)微网与配电网允许交互的传输功率约束
考虑微网系统与低压配电网进行单向功率交换,即微网可以从配电网购电而不考虑向配电网送电,微网与配电网允许交互的传输功率约束为:
式中:PmaxGRID(t)和QmaxGRID(t)分别为微网与配电网之间允许交互的最大有功功率和无功功率。
6)储能单元运行约束
储能单元放电时,PSB(t)≥0,t时刻的剩余容量为[25]:
式中:ηD为储能单元的放电效率。
储能单元充电时,PSB(t)≤0,t时刻的剩余容量为:
式中:ηC为储能单元的充电效率。
储能单元运行约束主要有充放电限值约束、容量约束和储能平衡约束:
式中:PSBmax和PSBmin分别为储能单元的最大和最小有功功率;SSBinv为储能单元逆变器的容量;QSB(t)为t时刻储能单元交流侧的充放电无功功率;CSOC,max和CSOC,min分别为储能单元的最大和最小剩余容量;T为调度周期(取24h)。
综合上述建立的不确定变量区间表达式、优化目标函数以及约束条件,可得到基于区间不确定性的微网系统有功—无功联合优化调度模型。
这里需要说明的是,在大电网优化调度中通常需要考虑发电机组的启停问题(即机组组合问题),以在满足负荷需求的前提下使得机组启停计划更为经济。而本文所考虑的微网,其各微源机组容量较小且数量较少,为实时满足负荷需求和平抑风电、光伏出力波动,各微源大多处于并网运行状态。鉴于此,本文暂不考虑微网的机组启停问题。
2 基于区间不确定性的优化模型转换
就基于区间不确定性的微网有功—无功联合优化调度模型的求解问题而言,本质上属于基于区间不确定性的非线性优化问题。针对该问题,文献[15]利用两层嵌套转换方法将基于区间不确定性的非线性优化模型转换为确定性模型,然后再进行优化模型求解。这种转换方法较为复杂,应用到有功—无功联合优化调度模型求解时的计算量较大。鉴于此,本文选用基于决策者对区间数不确定水平容忍度的区间序关系转换方法[23,24],将微网系统的不确定优化模型转换成确定性优化模型,以便于优化问题求解。以下就针对优化模型转换所涉及的区间数的定义、基本运算以及区间序关系转换等内容进行介绍。
2.1 区间数的定义与运算
1)区间数的定义
区间数定义为具有上界和下界的一组随机变量的集合[15]:
式中:上标I,L,R分别表示区间、区间下界和区间上界。当AL=AR时,区间退化为一实数。
区间数也可以定义为:
式中:AC和AW分别为区间AI的中点和半径,即
这里,中点AC和半径AW分别体现出区间的平均优劣程度和不确定性水平。
上述给出的区间数的两种定义,其几何描述见图2。
2)区间数运算[26]
区间数与标量乘法运算:
区间数之间的加减法运算:
区间数之间的乘法运算:
2.2 区间序关系
在基于区间不确定性优化方法中,区间序关系用于判断一个区间是否优于或劣于另一个区间[15]。对于任一区间变量,目标函数可能的取值为一不确定区间。因此,在区间数优化过程中,需要比较不同区间变量下目标函数区间的优劣,从而寻找到最优的决策区间变量。
微网优化调度目标是使系统运行成本最小。针对目标最小化问题,本文引入基于决策者对区间数不确定性水平AW的容忍度,以确定区间序关系[24]。
假设AI和BI分别为最小化问题的可行目标值区间,且AC小于等于BC,如式(29)所示。
现将AW和BW分两种情况进行比较讨论:第一种情况,AI的中点和半径均小于BI,可直接得出区间AI优于BI的结论;第二种情况,AI虽然有较小的中点,但半径AW大于BW,即区间AI的不确定水平大于区间BI,难以比较AI和BI的优劣。因此,对于第二种情况需要决策者权衡对中点和半径的偏好。
针对第二种情况,定义模糊集A′={(B,A)|AC≤BC,AW>BW},其概率P(A′)表示拒绝AI接受BI的概率,即AI的拒绝度。P(A′)具体表述如下:
由式(30)可知,P(A′)的值随BC和BW的增大而减小。如果P(A′)=1,则AI完全被拒绝;如果P(A′)=0,则AI完全被接受;如果P(A′)∈(0,1),则P(A′)反映了AI被拒绝的程度。
现在设定一个临界值ξ来表示决策者对区间数不确定性水平的容忍度[23],并规定当P(A′)大于容忍度ξ时接受BI而拒绝AI,则区间序关系定义如下。
1)当P(A′)>ξ时,BI优于AI。
2)当P(A′)<ξ时,AI优于BI。
3)当P(A′)=ξ时,BI等于AI。
由区间序关系定义可知:若容忍度ξ=0,表示对于任意BI,只要BW<AW,则BI优于AI,AI被拒绝,此时决策者只考虑区间数半径的大小,而不关心区间中点值的比较,对区间数不确定性水平的容忍度最小;若ξ=1,表示对于任意BI,只要BC>AC则AI优于BI,AI被接受,此时决策者只考虑区间中点的大小,对区间数不确定性水平的容忍度最大。总之,容忍度ξ设定的值越大,决策者对区间数中点的偏好就越多,对半径的偏好就越少。
因此,区间数BI与AI的优劣比较可以转化为P(A′)与ξ的大小比较。将式(22)、式(23)代入式(30),P(A′)<ξ可转化为:
如果上式成立,那么容易证明以下3种情况。
1)若AW>BW,则AC<BC,P(A′)<ξ,AI优于BI。
2)若AW<BW且AC<BC,此时属于第一种情况,AI优于BI。
3)若AW<BW且AC>BC,那么从式(31)可得出P(B′)>ξ,拒绝BI,AI优于BI。
综上可知,式(31)是判断区间AI优于区间BI的充分必要条件。
2.3 区间优化模型转换
1)目标函数转换
根据区间序关系,转换后的目标函数可写成如下形式:
2)含区间变量的不等式约束转换
在第1节所建立的基于区间不确定性的优化调度模型中,含区间变量的不等式约束为式(11)。利用区间序关系,可将不等式转换成如下确定性不等式约束:
3)含区间变量的等式约束转换
对于不确定等式约束,可将其转化成不等式约束进行处理。变换后的潮流平衡约束如下:
其中:
转换成不等式约束之后,其进一步的处理方法与不确定不等式约束转换相同,具体如下:
3 算例分析
3.1 微网系统结构
本文选取文献[22]中的微网系统进行分析,其网架结构如图1所示。负荷1为居民负荷,最大有功功率为15kW;负荷2为商业负荷,最大有功功率为30kW;负荷3和4为工业负荷,最大有功功率分别为30kW和40kW。3种负荷的功率因数都取0.85。各微源的参数如表2所示,实时电价见表3。风电、光伏出力以及3种性质负荷的日负荷曲线见附录A中的图A1至图A4。对于某一预测方法而言,若已知该方法的预测误差范围(例如±20%),那么光伏、风电出力和负荷区间可以根据预测误差范围进行确定。为便于数值仿真试验,在此假设光伏、风机和负荷的预测误差均为±20%,这样光伏、风机出力区间和负荷有功预测区间的上下界分别为各自预测值的+20%和-20%。
优化调度的周期取1d,分成24个时段。电压允许偏差为-5%~+5%,微网与外网传输的有功功率和无功功率上限分别取50kW和30.987kvar,蓄电池逆变器的容量为60kVA,最大剩余容量、最小剩余容量、初始容量分别为额定容量的100%,30%,70%,蓄电池的额定容量为900kW·h。线路电阻R=0.64Ω/km,电抗X=0.1Ω/km。
3.2 计算结果分析
3.2.1 经济调度优化结果
本文优先利用风机和光伏出力,在满足负荷功率需求、微网系统运行约束的条件下,合理分配各微源的有功出力和无功出力(参与无功调节的有储能单元和配电网),使得微网的经济运行成本最小。图3为ξ取0.2时的微网有功出力优化结果。
图3中,时段1至7,微网中负荷较轻,优先调用风机的有功功率,柴油机、燃气轮机有功出力处于较低水平。各机组发出的剩余电量给储能单元充电。时段8至18为负荷高峰期,系统存在较大的有功缺额,储能单元处于放电状态。燃气轮机的有功出力持续增加,并达到有功出力上界。时段9至17,柴油机开始加大有功出力,微网向配电网购电以满足系统有功缺额。时段19至24,负荷的有功需求降低,各机组的有功出力逐渐减小;时段22以后,系统剩余电量充盈,储能单元再次处于充电状态。
图4为储能单元剩余电量变化曲线。
图5为系统无功优化结果。储能单元和配电网在满足系统有功需求的同时提供无功功率。如图4所示,系统无功需求主要由储能单元提供,配电网只在向微网提供有功功率的同时提供少量的无功功率。
图6为ξ取0.2时,微网节点1至7的电压幅值优化结果。从图中电压幅值曲线可以看出,节点电压均运行在基准电压的±5%范围内。另外,由图6可发现,节点b6的电压幅值一直处于电压允许偏差的上边界。这里需要说明的是,当ξ取不同值时,节点b6的电压幅值将随之发生变化。因此,对于图6中节点b6的电压幅值一直处于允许偏差上边界的现象,是容忍度ξ=0.2时的一种特殊情形。
3.2.2 容忍度ξ的影响
表4给出了ξ取不同数值时微网系统运行成本的优化结果。从表4可以发现,随着容忍度ξ的逐渐增大,微网运行成本区间下界将逐渐减小而上界逐渐增大。也就是说,容忍度ξ取值越大,微网的最小运行成本下界越小,运行成本的区间宽度越大,此时调度决策需应对的不确定性也就越多,优化结果的可靠性水平就越低。由此可见,运行成本的可靠性水平与容忍度ξ成反比。若用γ=1-ξ来表示优化结果的可靠性指标,那么可靠性指标γR∈[0,1],且可靠性指标γ越大表示优化结果的可靠性越高。
以上分析表明,微网运行成本的减小,是以系统可靠性水平的降低为代价的。因此,在选取容忍度ξ时,需要权衡微网的可靠性和经济性。
燃气轮机、配电网交换功率区间的中点值、柴油机、储能单元的有功功率在ξ取不同值时的变化情况见附录A图A5至A8。可以看出,随着容忍度ξ增大,配电网交换功率随之增大较为明显,这是因为配电网交换功率(被设置成一区间决策变量)用于应对风电、光伏出力预测和负荷预测的区间不确定性。相比之下,储能单元、燃气轮机和柴油机受容忍度ξ取值变化影响较小,因为它们主要分担风电、光伏出力和负荷需求的确定性功率(即下界功率)的调节任务。
4 结语
本文同时考虑可再生分布式电源有功出力以及负荷预测的不确定性和微网的有功、无功耦合特性,采用区间形式对微网中不确定因素进行描述,建立微网系统有功—无功联合优化调度模型。并以一个包含微型燃气轮机、柴油机、光伏、风机、储能单元的微网系统为例,对所提出的优化调度方法进行仿真验证,分析了微网运行成本区间随容忍度改变的变化情况,以及容忍度对各微源有功出力的影响。仿真算例验证了有功—无功联合优化模型和区间优化方法的有效性,解决了不确定性因素给微网动态经济调度带来的问题。此外,本文可进一步将机组故障停运这一不确定因素考虑到微网经济调度优化问题中去,使经济调度模型更符合微网系统的实际运行要求。
附录见本刊网络版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。
摘要：针对微网优化调度问题,首先,考虑到可再生能源(如风电、光伏等)功率预测和负荷预测的不确定性,以及微网系统中有功潮流和无功潮流的强耦合性,提出利用区间描述不确定性,并建立微网系统的有功—无功联合优化调度模型。然后,采用区间序关系模型转换方法,将基于区间不确定性的联合优化模型转换成一般的确定性优化模型,以便于优化问题求解。最后,为验证所提出的微网系统优化调度方法,利用专业优化软件(GAMS)在典型的微网系统算例上进行数值仿真试验,并结合试验结果分析区间不确定水平对微网系统运行成本及各微电源出力的影响。
区间不确定 篇7
汽车车架作为重要的承载部件, 其设计好坏直接影响整车的性能。在车架制造过程中, 不可避免地存在各种不确定因素, 如测量误差、材料参数误差等。这些不确定因素耦合在一起, 可能会对车架的性能产生较大的影响, 因此在车架的设计阶段进行不确定性分析和优化具有重要意义[1,2,3]。
本文根据所建立的车架非线性有限元模型计算结果, 构建了设计变量和不确定变量与目标函数之间的近似模型。选取车架各梁的厚度为优化变量, 材料的弹性模量和密度为不确定变量, 以车架强度和车架质量最小为优化目标进行不确定性两目标优化。本文基于高维模型建立了设计变量、不确定变量与应力之间的近似模型, 运用Kriging模型构建了设计变量及不确定变量和质量之间的近似模型, 不确定性优化采用双层的嵌套优化, 外层采用快速非支配排序遗传 (NSGA-Ⅱ) [4], 内层采用隔代遗传算法 (IP-GA) , 并将可靠度作为约束进一步寻优, 得到Pareto最优解集[5]。
1 区间不确定优化和可靠性
1.1 区间多目标优化模型
随机变量的精确概率分布很难获得, 而不确定变量的区间比较容易获得, 区间数法只需知道不确定变量的变动范围即可, 利用区间数来描述不确定量的多目标优化问题可以描述为[6]
其中, X为n维设计变量, 其取值范围为Ωn, U为q维不确定向量, 其不确定性用一个q维区间向量UI描述;f和g分别为目标函数和约束, 它们是关于X和U的非线性连续函数。bjI为第i个不确定约束的允许区间, 实际问题中可以为实数。
1.2 不确定性优化模型的转化
将不确定性优化问题转化为确定性优化问题是指将不确定性目标函数转化为确定性目标函数。利用目标函数中点值来判断不同设计向量之间的优劣, 则
由不确定性造成的目标函数边界fiL (X, U) 和fiR (X, U) 可通过如下方法获得:
通过上面的处理, 式 (1) 可转化为如下的确定性多目标优化问题:
1.3 可靠性模型
由于实际应用中不确定性广泛存在, 所以在求解问题时, 为了得到更好的求解精度, 需要考虑各种类型的不确定因素[7]。设不确定参数:
其中, XiL, XiR分别为不确定变量的上界和下界。本文中车架的不确定量取材料的弹性模量和材料的密度。对于与结构有关的一组不确定变量Xi={x1, x2, …, xn}, 根据结构的失效准则, 可以求得其结构失效函数:
式中, R为引起失效的应力;S为抵抗失效的强度。
当g (x1, x2, …, xn) 为Xi的连续函数时, M也为一区间变量, 设其均值和半径分别为Mc和Mr, 则其可靠度指标为
由可靠性理论可得, g (Xi) =0称为失效面, 它将结构的空间分为失效域和安全域两部分, 当g (Xi) >0时, 认为结构处于安全状态。当η>1时, 认为结构是可靠的, 该值越大表明结构的安全程度越高。
2 高维模型
2.1 薄板样条函数
薄板样条函数是一种插值函数, 是自然样条函数在多维空间的推广, 它可以用来表示多维空间曲面, 在各学科均有广泛的应用[8,9]。近似模型的耦合项用薄板样条插值函数近似得到。薄板样条插值函数的形式为
其中, ‖·‖表示取范数, φ为径向基函数, 其形式为
2.2 高维模型的描述
对于非线性有限元模型, 随着模型的复杂性和非线性程度增加, 所需的样本点数量和计算花费呈指数增长, 使解决非线性问题的效率大大降低。通过构建高维近似模型, 可得到显式函数多项式, 并可以得到每个设计变量对目标函数的影响量, 因此可大大缩短计算时间。本文采用基于薄板样条插值的高维模型 (TPS-HDMR) 来构建车架非线性有限元模型的设计变量及不确定变量和应力之间的近似模型。
假设设计变量区间为An (n维实数空间) , 那么近似模型函数与设计变量之间的关系为
其中, f0为函数在中心点的函数值, fi, fij, …依次为不同阶设计变量耦合项对函数的贡献值, 耦合项用薄板样条函数近似得到。
3 车架有限元模型与近似模型的建立
3.1 车架有限元模型的建立与验证
本文所讨论车架为边梁式结构, 由主纵梁、副纵梁、横梁组成。各梁之间通过铆钉、螺栓连接, 部分焊接。利用Hyperworks软件对车架进行几何清理, 对模型进行适当简化, 删除孔、圆角和倒角, 以提高网格划分时的网格质量建立单元并赋予材料和属性, 将车架约束和载荷施加在有限元模型上, 并导入ABAQUS软件中, 使用ABAQUS中的Explict模块进行非线性分析, 定义载荷步等进行分析计算, 其中单元数为166 565, 节点数为171 415。在分析计算前, 为消除车架的刚体位移, 需要对车架的自由度进行约束, 约束前板簧的三个平动自由度UX、UY、UZf、UZr, 后板簧竖直方向的平动自由度UZ。载荷主要有驾驶室、发动机、变速器、油箱、载货质量等, 车架结构有限元模型如图1所示[10]。
为了验证车架有限元模型的准确性, 将模型加载的外力载荷去掉, 模型本身的发动机、驾驶室等用集中质量代替, 进行无约束的模态分析, 并通过实验进行验证以此来确定有限元模型的正确性[11]。本文采用Hyperworks软件中的Radioss对车架的前六阶模态进行仿真分析, 实验所采用的仪器设备有NIPxle-1082测试系统、NIPxle-4499模块、三向压电式加速度传感器等, 实验值与仿真值对比如表1所示。
仿真值与实验值的对比结果验证了有限元模型的正确性, 建立的车架有限元模型符合真实车架的实际情况, 进而可以进行下一步的分析优化工作, 符合实际的优化过程, 可以保证优化的准确性。
3.2 高维模型的构建流程
进行车架目标优化时, 如果每次求解目标函数都调用有限元模型进行计算, 会导致计算效率极低, 这在实际工程问题中是无法接受的。使用高维代理模型来代替直接的有限元模型计算, 可节省计算时间。本文采用高维模型构建车架应力近似模型的流程如下:
(1) 选取中心X0={x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7} (xi (i=1, 2, …, 7) 为每个设计变量及不确定变量区间的中间值) , 计算该点的应力值f0。
(2) 每次分别对其中的一个设计变量Xi构建薄板样条近似函数, 如果通过中心点X0, 则是线性的, 程序终止;如果不是线性的, 则根据X0和Xi上下界共三个点构建一个新的, 再其取值范围内重新随机选取一个与上面三个点不同的验算点来检验是否满足给定的精度要求, 如果满足, 则程序终止;如果不满足, 则用这四个点重新得到一个新的近似函数, 不断循环, 直至得到满意的结果。
(3) 将各个变量所得到的关系式加和得到近似模型。
(4) 检验所得到的近似模型的精度, 采用拉丁超立方试验设计方法, 选择5个样本点。将真实模型和近似模型的值进行对比, 若符合精度要求, 则构建近似模型成功, 否则需重新构建。
表2所示是真实值与近似模型应力值的对比, 可见, 其误差在5%以内, 从而验证了模型的正确性。对于大多数的工程问题, 设计变量的零阶和一阶系数对近似函数的影响最大, 如果低阶耦合项对近似模型影响很小, 则可以忽略不计, 若此时近似模型的精度已经满足, 则高阶耦合项就没必要计算了, 从而可节省近似模型的构建时间, 因此采用高维模型提高了计算效率, 节省了时间。
3.3 Kriging模型的构建流程
建立相关问题的Kriging模型, 利用可靠度计算方法对近似模型进行可靠度计算, 可达到精度要求, 加快收敛速度。模型可表示为
式中, Y (R) 为欲近似的函数;f (R) 为已知的回归模型, 通常为多项式函数;β为相应的待定系数;Z (R) 为均值为零、方差为σ2、协方差不为零的随机量。
选取Kriging模型函数类型为高斯函数。本文构建了设计变量和不确定变量与目标函数之间的近似模型, 具体步骤如下:
(1) 使用最优拉丁超立方试验设计选取均匀、随机和正交的参数试验样本点, 利用初始样本点的目标值建立Kriging近似模型, 对于设计变量和不确定变量, 每个区间取50个样本点。
(2) 分别将每组样本点代入非线性有限元模型中, 通过软件的自带工具得到车架的质量值。
(3) 通过MATLAB编程建立设计变量和不确定变量与车架质量的近似模型, 得到一个隐式的Demodel模型, 每次程序运行时均调用此模型。
(4) 对建立的近似模型进行精度检验, 采用拉丁超立方试验设计, 随机地取5个样本点进行对比, 如果误差满足要求, 则构建近似模型成功, 否则重新构建近似模型。
表3所示为大量工况的数值计算结果与Kriging模型计算结果的比较。从表3可以看出, Kriging插值模型比数值计算结果有更强的预测能力, 能够大大减少计算工况的次数, 提高计算效率。
4 不确定性多目标优化
4.1 不确定变量和设计变量的选取准则
由于车架由多根梁构成, 梁的厚度对车架的刚度和强度及质量等具有直接且显著的影响, 因此把车架各梁的厚度作为设计变量。为确定合理的各纵梁和横梁的厚度值, 达到车架轻量化设计目的, 将车架横梁和纵梁共五种不同的厚度值作为设计优化变量。与此同时, 由于生产制造和测量等不确定性, 设各梁的密度ρ和弹性模量E为不确定量, 根据文献[12], 设置弹性模量和密度的不确定区间均为5%, 对于设计变量的区间设置, 根据各梁的厚度对于车架的影响因子来定义区间的范围, 对于车架的质量和应力影响较大的梁, 设置的区间范围尽量大一些。
4.2 遗传算法与不确定性多目标优化的结合
在此有限元优化模型中, 材料的不确定变量包含在目标函数中, 通常是通过数学模型将不确定性优化问题将转化为确定性优化问题, 然后通过传统的优化方法进行优化[13]。
设
式中, fL (X, p) , fU (X, p) 分别为目标函数的下限值和上限值;p为不确定变量。
则可将不确定的目标函数值转化为确定性的目标函数值:
转化后的优化问题为双层嵌套优化问题。对于内层优化, 本文采用隔代遗传算法IP-GA。这种算法的种群个数少, 可以很快收敛到局部最优值。对于可靠度约束, 通常是用罚函数法来求解, 但罚函数法的罚因子不容易确定, 所以在本文中, 由遗传算法的原理, 对于每个设计变量, 可以在内层优化中事先检验设计变量是否满足可靠度要求, 如果满足则程序继续进行, 如果不满足则使其适应度指标设为零, 不分配适应度值, 即对不满足可靠度约束的, 不输出相应的解。
对于外层的优化, 采用快速非支配排序遗传算法对车架的应力和质量两个目标进行优化, 再结合Pareto最优概念的多目标优化遗传算法, 可以保证解的收敛性和多样性。设计有效的编码解码方式和遗传操作程序, 通过局部的变异种群重复个体, 最终得到一系列Pareto最优解, 利用此方法可以快速有效地实现全局多目标寻优, 从而找到更多更合理的协同计划调度方案。
4.3 优化过程及结果分析
不确定性优化是双层的嵌套优化过程, 它将精英保持策略和去除重复个体的快速非支配排序遗传算法及隔代遗传算法结合起来, 在内层加入了可靠度作为优化的约束条件, 并在建立的近似模型基础上, 求解车架双层嵌套优化问题, 从而节省了大量的计算时间。将不确定性的优化问题转换为确定性的优化问题, 使用传统的方法进行优化, 并且基于Pareto最优概念来解决多目标的优化问题, 可以更好地实现解的多样性和全局搜索的收敛性。
首先, 采用双层嵌套的外层优化NSGA?Ⅱ在车架各梁组成的设计区间内寻优。各个梁的厚度作为设计变量进入内层IP-GA, IP-GA可以由交叉、变异概率根据适应度的大小进行自动调节, 有效地避免了早熟现象, 提高了收敛速度及解的质量。在不确定变量弹性模量E和密度ρ组成的不确定参数空间内搜索, 通过计算近似模型来确定目标函数响应的上下界, 进而得到目标函数响应的平均值。把内层优化结果反馈给外层优化算法, 以帮助外层算法继续寻优, 直到满足停止条件, 然后输出最后的Pareto最优解集。图2为优化流程图。
由于得到的Pareto最优值的范围比较广泛, 并不能进一步地确定最优值大体的范围和车架的可靠度, 为了更好地在Pareto图中选择出最优解, 引入可靠度作为最优解集的约束条件, 进一步地比较计算。可靠度作为内层优化来实现约束, 由式 (5) 得到安全系数, 为使车架有更好的安全系数, 取η=5, 将符合可靠度的应力和质量值输出, 将不符合可靠度的应力和质量值屏蔽掉, 进一步地寻优。本文在不确定性优化中加入可靠度作为约束条件来研究可靠度对最优解的影响, 并对可靠度约束前后的Pareto最优解集进行对比, 图3所示为加入可靠度前后的质量和应力Pareto最优解集。
5 结语
本文在车架非线性有限元模型的基础上构建了设计变量和不确定变量与目标函数之间的近似模型, 以代替真实的有限元模型, 在满足精度的前提下, 大幅度缩短了计算时间。考虑车架材料参数的不确定性因素, 针对不确定性的双层嵌套优化问题, 提出将NSGA?Ⅱ和IP-GA结合起来求解车架优化问题。由于内层采用效率很高的IP-GA算法, 所以提高了解的收敛速度和解的质量, 节省了时间。
在不确定性优化的同时, 引入可靠度概念, 将其作为优化的约束条件, 可以很好地保证Pareto最优解集中解的安全系数。
摘要：采用非线性有限元分析方法, 用ABAQUS软件对车架的刚度和强度进行了分析。基于分析结果选取对结构强度和质量影响比较大的梁的厚度作为区间的设计变量, 把车架材料的密度和泊松比作为不确定量, 利用高维模型 (TPS-HDMR) 构建了设计变量与应力之间的近似模型, 运用Kriging模型构建了设计变量与质量的近似模型。采用遗传算法中的NSGA?Ⅱ方法和隔代遗传算法, 对车架应力和质量两目标进行了优化, 并加入可靠度作为约束, 得到了Pareto最优解集。
区间不确定 篇8
相对一般的状态空间模型 , 广义区间系统模型具有更普遍的研究意义和应用范围。近几年来 , 广义区间系统的控制和滤波理论受到广泛的重视 , 其已经成功的应用到经济学[1]、电路学[2]、机器人学[3]以及航天学[4]等领域。本文主要研究的是广义区间系统中的鲁棒滤波问题。
当系统模型参数或结构与实际系统不一致时 , 名义模型上的kalman滤波的效果可能较差 , 有时甚至会导致发散 , 即估计误差随时间不断增大 , 为了降低滤波效果对模型误差的敏感性 , 鲁棒性成为滤波器设计中重要性能指标之一针对各种模型 , 不确定性假设 , 在不同的鲁棒性能评价指标函数的基础上 , 人们已经提出了各种行之有效的线性系统鲁棒滤波算法 , 如常有的H∞滤波 ,集值估计方法等。文 [6] 在文 [5] 的工作基础上将系统模型从一般状态空间模型推广到奇异系统模型 , 并在滤波递推过程中使用另一种指标函数 , 从而对应于不同的最小二乘 (RLS) 问题 , 也得到了一种Kalman滤波形式的递推算法。
本文第一部分首先明确了随机非结构化参数扰动下线性离散广义区间系统的鲁棒滤波所要研究的问题 ,以及其与相应扰动下的RLS问题的等价性。第二部分为问题的求解 , 将扰动模型近似为随机非结构化扰动模型 , 然后给出了随机非结构化扰动下RLS问题的近似解析解 , 给出了鲁棒滤波的递推算法。最后为数值仿真试验。
2 问题描述
考虑如下线性广义区间系统 :
其中 ,xi∈ Rn为系统状态 ,zi∈ Rp为系统观测值 ,wi∈Rm为过程噪声 ,vi∈Rp为观测噪声。
为已知的名义系统矩阵 ,δEi+1,δFi,δHi为相应的时变随机非结构化不确定矩阵。并假定对所有的i满足
当 δEi+1=0时 ,η=max(ηf,ηh), 其中 ηf和 ηh分别为扰动δFi和δHi的界。{x0,wi,vi} 分别为初始条件、过程噪声、观测噪声 , 它们是不相关的零均值白噪声 , 其方差为 :
文 [6] 中指出 , 广义系统的名义模型滤波和鲁棒滤波可以等价为如下问题 :
在不确定模型的假设下 , 初始条件和递推过程等价于如下RLS问题 :
引入Lagrange乘子λ, 那么公式中的约束形式会发生变化 , 由不等式约束变为等式约束 , 通过递推到可将式 (4) 转换成下式 :
其中 ,
上式 (5) 中的指标函数 , 即J(x.λ)=xTQx+C(x,λ),现在转化为只有两个独立自变量 {x,λ} 的函数。且递推过程 (3) 与问题 (4) 之间的映射关系如下 :
可见 , 广义区间系统随机非结构化参数不确定性的鲁棒滤波问题转化为相应扰动下RLS的求解。
3 问题的求解
参考文献 [5] 和 [6] 中的方法 , 对于问题 (4) 求解 ,只需令H=I且φ(x)=η‖x‖
此时式的解为 :
通过求解可得 ,G(λ)=J[x0(λ),λ] 只是关于λ的函数 , 则经过文献 [5] 中类似的推导 , 可得定理1的结论。
定理1:若Q≥0,W≥0且Q+ATWA>0,则问题(4)的解为
为非负的标量 , 是满足且使G(λ) 达到最小的λ值 , 函数G(λ) 定义如下 :
定理2: 对于系统模型 (1), 参数摄动满足式 (2) 且P0> 0,Qi> 0,Ri> 0, 为给定的加权矩阵 , 若列满秩 , 则由式 (3) 求得的最优鲁棒状态估计可由下列递归算法给出 :
步骤1: 求出满足且使得G(λ) 达到最小的, 令
步骤2: 在下列区间上求使得G(λ) 达到最小的,
步骤3: 将原系统参数修正如下 :
4 仿真分析
本小节将本文提出的鲁棒滤波算法应用到具体的广义定常系统,考虑广义区间系统(1),其中各参数矩阵为:
其中,初值P0=I,参数。仿真图形如图1所示。仿真图形中分别给出了鲁棒滤波算法的误差性能曲线 , 其中最上面的虚线——代表名义模型的Kalman滤波误差 , 中间的虚线 ------ 代表实际系统的Kalman滤波误差 , 最后的实线代表本文运用的算法误差 , 从图形中可以看出 , 通过在仿真中计算误差曲率的变化 , 本文中所采用的算法在收敛速度和收敛时间上优于其他两种形式的卡尔曼滤波。仿真验证了算法的有效性。
5 结束语
本文给出了广义区间系统中存在随机扰动时的递推鲁棒滤波算法 , 主要贡献是针对范数有界的随机参数摄动情况提出了相应的广义区间系统鲁棒滤波算法 , 这在文献中还未考虑过 , 最后对此算法进行了仿真。仿真说明该算法可以实现递推滤波 , 且滤波效果优于名义模型的kalman滤波效果 , 这验证了该方法的有效性。
摘要：本文针对广义区间系统的参数不确定性,将参数不确定性确定为随机非结构化参数形式,提出一种卡尔曼形式的递推鲁棒滤波算法。研究表明,滤波过程中的随机非结构化参数不确定性可以表示为一系列依赖系统真实状态的不确定性集合,数值仿真结果表明,当广义区间系统参数存在随机非结构化不确定性时,该算法能够实现递推状态估计,从而验证了该算法的有效性。
关键词：卡尔曼滤波,广义区间系统,随机非结构化,鲁棒性
参考文献
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[2]NEWCOMB R W,DZIURLA B.Some circuits and systems applicationsofsemistatetheory[J].Circuits,System,Si gnal Processing,1989,(8):235-260.
[3]MILLS J K,GOLDENBERG A A,Force and position control ofmanipulators during constrained motion tasks[J].IEEE Trans.Robot.Automatic,1989.
[4]STEVENS B L,LEWIS F L.Aircraft Modeling,Dynamics and Control[M].New York:Wiley,1991.
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