直接估计法

直接估计法（精选7篇）

直接估计法 篇1

一、引言

误差修正模型作为一种特定形式的计量经济学模型, 主要形式由Davidson, Hendry, Srba和Yeo于1978年提出, 也称为DHSY模型。1987年, Engle与Granger又将误差修正模型与协整理论相结合, 提出了建立误差修正模型的一般方法——Engle-Granger两步法。在相关经济问题的分析中, Engle-Granger两步法有着相当广泛的应用:Chris Steward[3]回顾和重新梳理了误差修正模型的由来和理论发展, 在此基础上讨论了英国1950-2000年间居民收入水平、物价以及平均消费倾向对消费的影响程度;Kishor Sharma, Jmes Nayagam等在研究马来西亚外商直接投资的影响因素一文中, 通过建立E-G两步法的误差修正模型指出经济开放程度个劳动力质量是吸引马来西亚外商投资的长期影响因素, 而在短期却由基础设施起作用;E-G两步法的误差修正模型也被国内学者普遍使用:熊芬通过建立广东省1978年—2009年财政收入与GDP的误差修正模型, 表明广东省财政收入与GDP之间存在长期均衡的协整关系与短期动态调整机制;傅真晶等根据福建省1978—2007年度数据, 对福建省财政收入与三大产业GDP之间的关系进行实证研究, 结果表明:福建省财政收入与三次产业GDP之间存在着长期协整关系和短期动态机制;Linqi等利用两步法的误差修正模型揭示了农业灾害程度与农业保费之间的关系。

从上述研究成果可以看出, 现有对误差修正模型的建立大多集中在Engle-Granger两步法的基础上, 但在实际问题的处理中E-G两步法可能会遇到一系列问题:例如模型中某些变量的不能通过统计检验;模型的可决系数过小, 即模型拟合程度达不到要求;D.W.值过低, 即存在自相关现象等。鉴此, 有必要对传统的E-G两步法进行变换。直接估计法就是采用打开误差修正模型中非误差均衡项括号的方法直接用OLS法估计模型。实证研究显示直接估计法能够在传统E-G两步法失效的前提下有效改善误差修正模型的拟合程度并使参数通过统计检验。

二、模型基本理论

迄今为止, 对时间序列的分析的前提为序列是平稳的, 然而, 在现实经济生活中, 时间序列数据往往非平稳, 如果仍采用经典因果回归关系模型往往会产生虚假回归的问题。本文首先对财政收入与第三产业GDP的时间序列数据分别进行单位根检验。若各变量非平稳, 则检验变量之间是否存在协整关系并用直接估计法建立财政收入与第三产业GDP的误差修正模型。最后, 在协整的基础上对各变量之间是否存在Granger因果关系进行检验。

(一) 平稳性的单位根检验

实践中对时间序列的平稳性检验通常采用ADF检验。ADF检验通过以下模型完成:

其中, {εt}为白噪声序列, △表示变量的一阶差分, 原假设H0:δ=0, 即存在一个单位根 (非平稳) , t为时间趋势因素。实际检验依次从无趋势项、无时间项到两者都存在的顺序检验, 若t统计量小于ADF临界值, 则拒绝原假设, 认为时间序列不存在单位根。

(二) 直接估计法建立误差修正模型

本文采用双变量直接估计法建立误差修正模型。首先对变量间的协整关系进行检验。

第一步:用最小二乘法 (OLS) 对方程Yt=β0+β1Xt+μ进行回归, 检验变量间的协整关系, 估计协整向量。

第二步:对估计方程的残差et做平稳性检验。若et是平稳序列, 则变量Yt与Xt存在 (1, 1) 阶协整关系, 即存在长期均衡关系。

第三步:在协整关系存在的前提下, 将非误差均衡项带入方程得到。对 (3) 式直接进行最小二乘估计得到适当的估计式, 再改写为误差修正模型的形式。

(三) 变量间的Granger因果关系检验

Granger检验考察变量之间的影响是单向或者双向, 即变量间是否构成因果关系。Granger因果检验模型为:

零假设。若零假设成立, 则有

分别作 (3) 式与 (4) 式的回归, 令残差平方和分别为RSS1, RSS2, 构造F统计量:。其中n为样本容量, m为滞后阶数, k为包含可能存在的常数项及其他变量在内的无约束回归模型的待估参数的个数。如果F统计量大于F分布临界值, 则拒绝零假设, 认为X是Y的Granger原因。

三、实证分析

(一) 变量选择与样本数据说明

本文选取改革开放以来 (1978—2012年) 广东省第三产业GDP和财政收入的统计数据, 分别用F、GDP3代表财政收入和第三产业GDP。对上述变量均以1978年为基期 (1978=100) 采用GDP平减指数消除价格影响;分别对变量取自然对数以消除异方差影响。所有数据均来自广东统计信息网经整理所得。

(二) 单位根检验

现实经济生活中的时间序列大多是非平稳的, 需要对变量的时间序列进行平稳性检验和差分修正。变量两两之间变动趋势及相关性如图1图2所示 (图1表示水平变量变化趋势图, 图2表示一阶差分后变量变化趋势图) 。可以看出, 各水平变量是非平稳的, 但它们的一阶差分序列则相对平稳。另外, 从各水平变量趋势图1来看, Ln F与Ln GDP3序列数据明显随着时间推移而增大, 即存在明显的确定性趋势。序列ADF检验结果见表1。

由表1知分别在1%、5%、10%的显著水平下, 各变量经过一阶差分后变成平稳序列, 说明原序列是一阶单整序列I (1) 。

(二) 直接估计法建立误差修正模型

由以上分析, Ln F与Ln GDP3均为一阶单整序列I (1) , 在此基础上运用E-G两步法检验序列是否协整。即取变量Ln F的1阶滞后项和Ln GDP3的0-1阶滞后项, 构成4种组合, 分别进行OLS回归 (结果如表2) 。根据AIC与SC统计量的判别标准, 对各回归结果筛选出最佳滞后阶数组合。根据表2, 最优组合 (解释变量:C, Ln GDP3t, Ln Ft-1) 对应的回归方程为:

根据t检验结果, 模型中各变量均通过显著性检验;模型的可决系数R2=0.989589, 模型拟合度较高。

对 (5) 式残差进行单位根检验, 结果如表3。由检验结果知Ln F与Ln GDP3之间存在 (1, 1) 阶协整关系。运用直接估计法建立适当的估计式如下:

写成误差修正模型的形式为:

式 (7) 的可决系数达到0607399, 可以验证该系数比基于E-G两步法的误差修正模型的拟合程度高;前者的D.W.值比后者更接近2, 即基于直接估计法的误差修正模型中自相关性较E-G两步法的误差修正模型得到有效去除。误差修正系数为负, 符合反向修正机制。

(三) Granger因果检验

Granger因果检验表明, 在显著水平为5%滞后两期的情况下, 广东省第三产业GDP的增长可以带动财政收入的增加, 但财政收入却没有促进第三产业发展的作用, 两者之间存在单向的因果关系。具体结果见表4。

四、结论

本文利用协整理论对广东省1978—2012年财政收入与第三产业GDP之间的关系进行分析, 根据Granger检验的结果, 在显著水平为5%滞后两阶的情况下, 广东省第三产业的发展可以带动财政收入的增长, 但财政收入却不能带动第三产业GDP的增加, 即广东省第三产业GDP的变动是财政收入变动的Granger原因, 但反之则不成立。根据协整检验, 广东省财政收入与第三产业GDP的时间序列都具有非平稳性的特征, 但经一阶差分后变平稳具有长期稳定的 (1, 1) 阶协整关系。另外, 从误差修正模型来看, 当财政收入发生变动时, 上一年的非均衡误差以39%对其逆向修正以保证财政收入与第三产业GDP的协整关系成立。比较财政收入与第三产业GDP的长期弹性与短期弹性, 可以看出广东省第三产业GDP对财政收入的影响的长期作用小于短期, 表明广东省第三产业经济的发展并不能带动财政收入的持续增长。广东省财政收入对第三产业GDP的弹性均小于1, 说明财政收入的增长率小于第三产业GDP的增长率。

直接估计法 篇2

1 直接判决信道估计算法

直接判决算法是一种完成数据的解调、解码和判决基于以前信道估计的当前字符的算法,然后判决的结果将被再次编码并且经过星座映射,其结果将被视为发射数据。基于某一特定的估计准则,可以通过接收到的数据找到信道的状态信息,信道的状态信息可以被视为下一个信道的初始值[2]。第n个OFDM字符的第k个子载波的信道传输函数表示为H(n,k),基于LS算法的后验估计表示为undefined,它在数值上等于接收到的OFDM数据字符y(n,k)除以当前位置的字符undefined的结果,可表示为

undefined

式中:k=0,1,…,Nc-1。

假定判决是正确的,即undefined,则基于LS算法的后验信道估计函数表示

undefined

估计器的均方误差表示为

undefined

式中:undefined是调制噪声的放大系数,与当前子载波调制系统有关。

2 改进的直判信道估计算法描述

本文提出了基于循环LMMSE准则的直接判决信道估计算法。首先,基于正交原则的投射到上一个观察向量的当前字符观察向量的正交投影将会被确认,然后,找到当前字符的误差向量,它被认为是当前字符的循环信道估计信息,最后,得到当前字符的循环信道估计修正项,可用undefined来表示。这样可以减少错误的扩大。具体的流程描述为:如果已知线性最小均方误差向量undefined,它是由第k-1个观察向量随机产生的。进行第k次观察,在此基础上可以得到观测向量y(k)[3]。将y(k)投射到y(k-1)的正交投影记为undefined,则误差向量可表示为undefined,其中y(k)是由估计向量H提供的新的信息。因为误差向量undefined与观察向量y(k-1)是正交的,那么利用正交性可以得到修正项undefined,基于第k次观察还可以得到线性最小均方误差undefined,表示为undefined。

经过模拟,在每次观察后通过将先前估计与修正项相加可以计算出这次的估计。在已知初始向量undefined和其均方误差矩阵M0的基础上,可以得到修正的增益矩阵,可表示为

Kk=Mk-1XHk(XkMk-1XHk+Cω(k))-1 (4)

估计向量的均方误差矩阵undefined可表示为

undefined

3 仿真结果及分析

为了证明该算法的可靠性,在802.11a系统中将本文提出的算法和传统的直接判决的信道估计算法进行仿真。仿真环境是高斯白噪声信道和多径瑞利衰落信道[4]。每帧的第一个字符是训练序列,它为直接判决信道估计算法提供了初始值。仿真结果如图1和图2所示。

由图1可知,本文提出的算法与DD+LS算法相比,其常化均方误差减小了8.513 dB,与DD+ LMMES算法和DD+SVD+ LMMSE算法相比,其MSE性能几乎相同。由图2可知,本文提出的算法与DD+ LS算法相比,其误码率明显降低,与DD+ LMMES算法和DD+SVD+ LMMSE算法相比,其误码率性能几乎相同。

由图3可知,在多径瑞利衰落信道下本文提出的算法与DD+ LS算法相比,其常化均方误差减小了6.13 dB,与DD+ LMMES算法和DD+SVD+ LMMSE算法相比,其MSE性能都减小了3.42 dB。由图4可知,本文提出的算法与DD+ LS,DD+ LMMES算法和DD+SVD+ LMMSE算法相比,其误码率性能明显降低。当信噪比很高时,其误码率将降低几个数量级。

4 小结

直接判决信道估计算法是信道估计技术中的重要方法[5]。本文提出的基于循环准则的算法与其他算法相比更为有效,这是因为当前观测的信道特性等于上个信道估计特性与修正项相加之和,仿真实验证明本算法在降低均方误差和误码率等方面具有非常明显的效果。

摘要：信道估计技术是正交频分复用(OFDM)系统中的关键技术。其中直接判决信道估计算法在减少均方误差(MSE)和误码率(BER)等方面具有优越性而备受关注。提出了一种基于循环线性最小均方误差(LMMSE)的直接判决信道估计算法,并且在高斯白噪声信道和多径瑞利信道下进行了仿真。实验结果表明,该算法与其他的算法相比,在减少MSE和BER等方面具有明显的优势。

关键词：信道估计,LMMSE,均方误差,误码率

参考文献

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[3]刘晓明,郑英华,刘俊,等.无人机OFDM数据链路中信道估计算法研究[J].计算机仿真,2009(8):41-44.

[4]冯炎.基于直接判决估计和预测估计的语音增强算法[J].信息与电子工程,2010(1):76-78.

一种新型的MRAS转速估计法 篇3

1 感应电机的数学模型

在静止 αβ 坐标系下,感应电机的数学模型如下。

电压、磁链方程

转矩方程

运动方程

式中:为定子侧电压,为定子侧电流,为转子侧电流,为定子磁链,为转子磁链,;usα,usβ为定子在 αβ轴上的电压;isα,isβ,irα,irβ为定子、转子在 αβ 轴上的电流;Ψsα,Ψsβ,Ψrα,Ψrβ为定子、转子在 αβ轴上的磁链;Lm为定转子互感;Ls,Lr为定、转子自感;Rs为定子电阻;Rr为转子电阻,p为极对数;J为转动惯量;ωr为转子转速;TL为负载转矩;Te为电磁转矩。

2 基于MRAS的转速观测器

2.1 传统的MRAS转速观测器

传统的MRAS转速观测器即基于转子磁链的MRAS转速观测器,其主要依据两种不同形式的转子磁链的估算模型,它们被称之为电压模型和电流模型,由式(1)可推得

式中:σ = 1 -(Lm2/LsLr) ;Tr为转子励磁时间常数,Tr= Lr/Rr。

由于转速作为需要辨识的参数,将式(8)以估计值的形式表示为

为使系统全局渐进稳定,利用Popov超稳定定理可得转速辨识自适应律为

传统的MRAS转速观测器的结构框图如图1所示。由式(7)构成参考模型,式(9)构成可调模型,估计转速由式(10)可得。但是,传统的MRAS转速观测器的主要缺陷就是低速时估计误差大,因此,本文提出一种新型的MRAS转速观测器。

2.2 新型的MRAS转速观测器

在新型的MRAS转速观测器,同时利用2 个估计误差,一个是转子磁链之间的,另一个是电磁转矩之间的。由电磁转矩的表达式(5)可知估计的电磁转矩为

由电机的运动方程式(6)可知只要电磁转矩变得与负载转矩不相等,负载的变化就会引起转速的变化。同样地,只要估计的电磁转矩与实际的电磁转矩不相等,估计电磁转矩的变化就会引起估计转速的变化。式(6)以估计值的形式表示,即

由式(6)减去式(12)可得:

为了得到更加准确的转速估计值,必须同时考虑以下2个条件:

然后,采用之前构建自适应律的方法,又同时考虑电磁转矩估计的误差,自适应律变为

式中:τ 为机械时间常数。

相比传统的转速观测器,新型的MRAS转速观测器的不同之处就在于考虑了电磁转矩估计的误差,然后转矩误差通过低通滤波器滤波,与2个模型估计的转子磁链误差经PI调节器的回路构成并行循环结构。新型的MRAS转速观测器的结构框图如图2所示。

3 仿真模型的建立与分析

为了验证本文提出的新型MRAS转速观测器能更好地辨识转速,对传统的MRAS和新型MRAS转速辨识法进行仿真分析比较。利用Matlab建立无速度传感器感应电机直接转矩控制系统,其结构框图如图3所示。系统仿真的感应电机参数为:Pe= 2 k W,Ue= 380 V,fe= 50 Hz,p = 3,Rs= 1.9 Ω, Rr= 1.8 Ω, Ls= Lr= 0.19 H,

仿真中设置给定的电机转速 ωr*=[400 r/ min, 200r/ min, 40r/ min,-40 r/ min,-100r/ min] ,给定转速阶跃变化的时间设置为t =[0 s,0.5s,0.9s,1.3s,1.6s] ,电机空载启动,1.8 s时突加负载至25 N⋅m 。新型MRAS转速辨识法仿真得到电机转速如图4所示。电磁转矩如图5 所示。然后,对基于传统的MRAS无速度传感器感应电机直接转矩控制系统进行仿真,仿真得到的波形如图6所示。

从图4可看出新型的MRAS转速辨识法在给定电机转速变化时,估计值与实际值都立即响应,且稳态时估计偏差趋于0,在t=1.8 s时突加负载,转速稍有下降,但很快恢复跟踪给定值,具有很好的抗干扰能力。由图4b与图6b比较可看出,即使是在低速范围,新型的MRAS转速辨识法相比之下转速估计偏差更小,转速辨识的精度更好。由图5可看出新型的MRAS转速辨识法在给定转速变化和突加负载的情况下,电磁转矩的估计偏差很小,且能够快速响应。由图5a与图6c比较可知,低速范围,新型的MRAS辨识法电磁转矩脉动相比更小,抗扰能力更强。

4 结论

本文提出了一种新型的MRAS转速辨识方法,相比传统的基于转子磁链的MRAS转速辨识法,它不仅在低速时辨识精度更好且稳定,而且在给定转速变化和突加负载的情况下也能更快响应,对负载的抗干扰能力也更强。

摘要：为提高无速度传感器直接转矩控制在低速范围内的性能,提出一种新型的模型参考自适应(MRAS)转速辨识法,此方法同时考虑了2个误差,一个是估计的转子磁链误差,另一个是估计的电磁转矩误差,且自适应结构由两个并行回路构成,回路分别包含PI和低通滤波器,用于转子磁链和电磁转矩的调整。仿真结果表明,新型的MRAS转速辨识方法在低速范围能有效地克服不稳定性。

关键词：感应电机,模型参考自适应法,无速度传感器,转速估计

参考文献

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[8]林新涵.异步电机直接转矩控制系统的研究[D].浙江:浙江理工大学,2014.

直接估计法 篇4

1 资料与方法

1.1 一般资料

采取我院2008年1月至2011年5月期间收治足月分娩孕妇作为观察对象, 年龄23～35岁, 总计选入152例孕妇, 其中孕妇第一胎的比率占90.3%, 随机分为四组, 平均每组38人, 分别为胎先露衔接组、胎先露浮组、胎先露固定组和胎先露深定组四组。

1.2 方法

每位孕妇在分娩前一周左右全部要进行B超检查, 由专业医师应用超声测定胎儿双顶径测量双顶径值, 最后再做孕妇分娩前的产前检查:通过四步触诊法, 并与肛诊结合判定胎先露的高低, 分为固定、衔接、深固定和高浮为标准, 计算方法: (1) 胎先露高浮组:300+ (BPD×900-5200) ; (2) 胎先露衔接组:600+ (BDP×900-5200) ; (3) 胎先露固定组:900+ (BDP×900-5200) ; (4) 胎先露深固定组:950+ (BD×900-5200) 。

1.3 数据处理

胎儿的实际出生体质量和通过公式估算出胎儿的体质量进行比较, 根据文献凌萝达提出新生儿的实际出生体质量与预测新生儿体质量相差250g左右为符合标准要求, 本次实验数据采用SPSS12.0软件进行统计学分析。

2 结果

现根据方法1、2、3、4和本组方法估算胎儿体质量, 计算的数值如表1。

从表1的数值提现:方式一估算胎儿体质量的概率是68.42%, 在不符的例数中表现为极端分布, 新生儿的实际体质量大于或者小于估算的体质量。

不同的方法估算出新生儿体质量, 本组方法和新生婴儿的体质量概率符合度最高, 与方法1、2、3、4相比较, P值<0.01, 每组数据之间差异较大。本组公式即可适用臀位及破水者。但是方式1、2、3不适用。

3 讨论

双顶径是指胎儿头部两侧间最宽的长度, 简称BDP, 在医学领域医生通常根据双顶径值估算胎儿发育状况, 估算胎儿体质量, 胎先露为婴儿在胎盘内先进入骨盆入口。目前在我国国内估算胎儿的方法很多, 主要方法有:200+腹围×宫高;第一种方法符合率为53.12%;155× (宫高-11、12、13) ;100×宫高;以上三种方式的综合符合率在50%左右;通过超声波测量双顶径, BPD×900-5200;根据相关文献记载1.2.3.相结合, 并且加以改进和提高, 估算胎儿体质量的符合率达到62.12%～72%。用 (1.076×腹围×宫高) 此公式预测胎儿体质量的符合率为67.65%。

孕妇的分娩方式、分娩时机和较好围生结局都跟胎儿体质量有着密切关联, 胎儿的体质量估算还能判断孕妇是否能顺利生产的一项重要指标。本次研究表示通过双顶径和胎先露估算婴儿体质量符合率最准确, 此种方法不仅经济适用、简单易行, 而且双顶和胎先露估算的数值与新生婴儿实际的出生体质量准确度高达84.21%, 成为大多数临床估算常用, 研究显示, 此法易于掌握, 简单易行, 方便快捷, 容易推广及记忆, 预测准确度高, 对于难度大的臀位、胎膜早破、羊水过多达75.21%, 适用于临床筛选等应用。至于采用的其他四种方法所估算的精确度受以下因素影响:孕妇过度肥胖或者瘦小, 胎膜早破、羊水过多、先露高低、等多种原因导致估算不准确, 公式1、2、3、4的符合率较低, 在实际操作时所受到的制约性较大, 影响的因素较多, 计算也较复杂。本组分组比较细, 按照胎先露高低所确定计算公式, 在使本组公式时, 精确测量分娩时的先露高低和双顶径值是十分重要, 并要求数值精确。现今社会的医院中B超已经普及到每个医院, 双顶径值的测量也很方便。因此, 在本次研究的结果中可以体现, 双顶径计算法和胎先露二者联合值得推广, 并且临床价值较高, 估算胎儿体质量准确度较高。

摘要：目的 通过讨论双顶径和胎先露估算胎儿体质量, 研究其可行性。方法 回顾2008年1月至2011年5月在我院住院并且正常足月分娩的孕妇152例, 其中第一胎的比率占90.3%, 对以往的计算方法与双顶径计和胎先露的估算方法进行分析和对比。结果 双顶径计算法和胎先露两种方法结合所估算胎儿日体质量的符合标准达到80%以上。比较以往的50%到70%有明显的提高, P值<0.01。结论 双顶径计算法和胎先露二者联合估算胎儿体质量准确度较高。

关键词：双顶径计算法,胎儿体质量,胎先露

参考文献

[1]吕恽怡, 崔丽杰.B超测定等三种方法估计胎儿体重的比较分析[J].中国超声诊断杂志, 2003, 4 (7) :558-559.

[2]凌萝达, 顾美礼.难产[M].2版.重庆:重庆出版社, 2001:21.

直接估计法 篇5

在以CCD相机为传感器的机器视觉焊接系统中, 往往需要对系统进行标定, 以确定世界坐标系和图像坐标系的关系, 这样就可以通过图像的尺寸信息导出焊缝实际尺寸信息。目前研究的透视变换矩阵模型一般都基于小孔成像原理, 利用矩阵变换, 导出三维空间坐标系和二维图像坐标系的关系, 且其数学模型一般均为非线性方程。由于方程中参数的个数大于独立方程的个数, 而且方程中参数不是相互独立的, 所以出现了过参数化现象。本文运用非线性方程组参数估计法对其进行了研究, 以解决焊接模型标定过程中的过参数化问题。

1 利用透视变换矩阵建立的焊接模型

基于小孔成像的基本原理和一系列的矩阵变换, 建立如图1所示的焊接数学模型[1]。数学模型标定的实质是推导出世界坐标系和图像坐标系的几何对应关系。首先应建立世界坐标系 (Xg, Yg, Zg) 和物体成像的图像坐标系 (Xi, Yi, Zi) , 世界坐标系和图像坐标系都为左手坐标系, Oc为图像坐标系的中心, Og为世界坐标系的中心。P为线结构光的平面, Zi轴斜向下, 与光平面P相交于Og点。世界坐标系Zg轴在光平面P内, 且在图像坐标系Zi轴与Xi轴所决定的平面内, 方向朝上。由左手坐标系确定Xg轴。Yg轴平行于Yi轴, 其目的是减少系统标定的参数, 简化模型。

由透视变换矩阵的数学模型可以得出:

其中:Vi为物体在世界坐标系中的坐标;Vo为物体在图像中的坐标;H为总的变换矩阵, 具体表达式见参考文献[1]。

但是在实际应用中我们要解决的是由图像坐标求解出世界坐标。设H-1为H的逆矩阵, 则有:

其中:f为透镜中心到像平面的距离;β为Zi轴和光平面P的夹角;Dpc为像面中心到光平面的垂直距离;Dgp为Op到图像坐标系的水平距离, 如图1所示。

2 传统的焊接系统标定过程

焊接模型的方程可以表示为:

其中:u和v为图像像素坐标系中的坐标;M1为摄像机的内部参数矩阵;M2为摄像机的外部参数矩阵;mij为M1和M2相乘后的系数矩阵。

焊接系统的标定其实就是对式 (1) 和式 (3) 的未知参数进行求解。由于未知数个数大于有效的方程个数, 故各参数之间并不是相互独立的, 为了能够求解出方程, 就必须找出至少6个独立的数据点。

消去Zi即可得到如下方程组:

式 (4) 可简写为:

其中:m为摄像机内部参数和外部参数相乘后的系数矩阵;U为常系数矩阵;K为已知的标定点参数。式 (5) 的最小二乘法解为m= (KTK) -1KTU。求解了m矩阵就可以求得内部参数矩阵M1和外部参数矩阵M2, 进而就可以求得模型的各参数数值。

3 焊接模型的非线性方程组参数估计法

一般地, 设L为求解目标函数, X=[Xg1, Xg2, …, Xgn]T为未知参数矩阵, Δ为误差向量, 则非线性方程组可写为[4]:

设参数X的估计值为Xo, 则求解非线性模型的估计值就是求参数X的估计值Xo, 使:

由于f (Xo) 是Xo的非线性函数, 因此无法对式 (6) 求导, 只能寻找近似解使X*满足如下关系式:

其中:R (X*) 为近似的目标函数;R (Xo) 为待求的目标函数。

利用泰勒公式在Xk附近展开, 去二项得:

其中:dXk=X*-Xk。由此可以得到迭代公式:

可以根据最小二乘法求解的数值作为X的初始值, 代入式 (12) 进行求解。本方法对于简单模型求解方便, 而对于复杂模型的求解, 可根据如图2所示的计算非线性方程组参数的程序流程进行求解。

4 实验结果及分析

本文需要标定的设备如图3所示。

本文所提出的实验, 选取的数学模型较为简单, 以方便验证两种不同的理论方法。选取的参数如下:摄像机的镜头焦距为12mm, β为15°, Dgp为70mm。本实验的标定值均为多次标定的平均值。标定结果见表1。

本实验主要采用了传统标定法和非线性方程组法标定两种方法, 分别在有干扰和无干扰的情况下进行。由于电弧干扰的存在, 导致标定板上特征点的提取不准确, 从而影响标定参数的准确性。对比表1中的标定值, 当实验有电弧干扰和没有电弧干扰时, 实验的结果误差较大, 电弧的干扰很强。即使在新方法中, 电弧的干扰也是不可去除的, 因为新方法的初值依赖于传统方法的计算结果。新方法的计算精度还取决于程序中的迭代次数, 由于计算的实时要求, 所以迭代次数不可能很大, 因此限制了计算的精度, 但是从实验数据上还是可以分析出新的计算方法要优于传统的标定方法。

5 结束语

本文在透视变换矩阵焊接模型基础上, 介绍了标定过程中的关键步骤。对焊接模型参数运用传统的最小二乘法进行了参数估计。针对传统标定的过参数化问题, 提出了焊接模型的非线性方程组参数估计法, 对焊接模型的参数进行了重新估计。通过实验证明非线性方程组参数估计法在求解焊接模型参数时还是很有效的。

参考文献

[1]贺忠海, 王宝光.线结构光传感器的模型及成像公式[J].光学精密工程, 2001, 6 (3) :270-273.

[2]姜勇.摄像机标定算法库的设计与实验验证[D].青岛:青岛大学:2006:36-40.

[3]张国亮, 赵彦玲, 王一文, 等.焊缝视觉跟踪系统中标定算法的研究[J].哈尔滨理工大学学报, 2005 (1) :27-31.

直接估计法 篇6

随着电力系统规模的日益庞大，系统的不确定性也逐渐增加[1]。不确定性的存在使得电力系统的规划和运行控制都面临着各种风险，在电力系统的安全稳定运行方面引起的弊端尤为显著。当前特高压交直流输电技术的迅速发展促进了全国电网的互联[2]，不确定性因素影响的范围更加广泛，产生的危害也更加严重。电力系统的不确定性主要表现在系统潮流的不确定性、发电机组及线路等电力元件运行状态的不确定性、风电等可再生能源出力的不确定性等。其中，由于电力元件运行状态以及可再生能源出力的不确定性会直接或间接地反映在系统潮流中，故对系统潮流的不确定性进行分析成为当前电力系统不确定性研究的基础与重点。

针对系统潮流的不确定性，概率性的求解方法可较好地适应这一需求，当前这类方法主要可以归为模拟法、理论分析法和近似法3类。以基于简单随机采样的蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation,MCS）法[3]为代表的模拟方法计算精度最高，但在计算时间方面消耗巨大[4]，因此在系统规模较大的情况下该方法几乎不适用；但作为一种算法准确度的验证标准，蒙特卡洛模拟法的作用已得到公认。之后有学者提出改进的基于拉丁超立方采样的蒙特卡洛法[5,6]，在一定程度上降低了采样次数，但并未从根本上解决模拟法因保证计算精度而需要进行大量采样的问题。另一方面，以采用快速傅里叶变换[7]和半不变量方法[8,9]为代表的理论计算方法，凭借其较好的理论基础，在计算时可获得较高的效率，但会引入较大的误差，且半不变量法难以处理注入变量非正态分布尤其是离散度很大时的不确定性问题。

相比之下，在诸多近似法中，最早由Rosenblueth[10]提出的点估计法（point estimate method,PEM），由于其对注入量的分布类型没有限制且计算效率上较模拟法有极大提高，故成为工程应用上一种较实用的方法。在电力系统领域，点估计法也逐渐被用来研究与随机变量相关联的不确定潮流问题[11,12,13]。在这些应用中，点估计法基本仍以Hong[14]提出的两点或三点形式为主，但随着当前可再生能源的多点接入，随机注入量分布的非正态性凸显，该传统点估计法的计算精度会因此受到影响。由于点估计法的精度与取点数关系密切，提高点估计法精度的最根本办法是增加估计点的数目，文献[15]指出Rosenblueth的点估计理论在本质上与Gauss-Hermite的数值积分一致，这也为多点估计方法的应用提供了理论基础。文献[16]在文献[17]的研究基础上，提出一种多点估计法用于不确定性潮流计算，有效地提高了计算精度，但其在估计点选取时采用了Rosenblatt变换，该变换要求较高，需要知道输入随机变量完整的联合概率密度函数。而当随机变量的边际概率分布函数和相关系数矩阵已知时，可采用Nataf变换[18,19]来替代Rosenblatt变换进行概率建模。Nataf变换作为一种空间转换方法，在电力系统领域已有一些研究，文献[20]采用Nataf变换来获取不同风电场之间具有相关性的风速分布样本，进而分析风电场相关性对最优潮流的影响，文献[21]则将Nataf变换与拉丁超立方采样结合来研究不确定性潮流问题，而在其他领域，Nataf变换与点估计法的结合[22]也用来研究边坡稳定可靠度的相关问题[23]。

本文研究了Nataf变换以及Gauss-Hermite积分与点估计之间的关系，以Gauss-Hermite数值积分为基础，将Nataf变换的空间转换过程与点估计法结合，从而提出了一种改进的多点估计法。同时本文考虑了风力发电机、常规发电机出力的波动性，以及服从不同类型分布的负荷随机性，使得在电网中存在大量非正态分布和离散分布的随机变量的情景下，计算精度较传统点估计法得以有效提高。

1 基于Nataf变换的多点估计算法研究思路

1.1 Nataf变换的基本思想

Nataf变换建立的是一个实现空间转换的数学模型，可以完成从原始变量空间到独立标准正态空间的转换。设服从任意分布类型的相关非正态随机向量：

式中：m为随机变量的个数；xi(i=1,2，…，m）的概率密度函数和累积分布函数已知。

标准正态随机向量Y=[y1,y2，…，ym]可通过式（2）表征的等概率转换原则[18,19]引入：

式中：i=1,2，…，m;Fi(xi）为xi的累积分布函数；Ψ（·）和Ψ-1（·）分别为标准正态累积分布函数和逆累积分布函数。

根据隐函数的求导法则，易推导出关于X的联合概率密度函数：

式中：f(xi）为xi的概率密度函数；Y为对应于期望值为0、标准差为1及相关系数为ρ0的m维标准正态分布。

设ρ为输入随机向量X的相关系数矩阵，ρ0为标准正态随机向量Y的相关系数矩阵，则根据相关系数的定义及式（3）和式（4），可得到相关系数矩阵中各元素的计算公式：

式中：ρ0ij为ρ0中的元素；xi和xj由式（2）可分别转化为Fi-1（Ψ（yi））和Fj-1（Ψ（yj））。

由式（5）所建立的ρ与ρ0的映射关系可知，在获得ρ和输入随机变量xi的边缘概率密度函数后，可通过式（5）求解非线性方程来确定ρ0。又由于ρ0是一对称矩阵，通过式（6）可对其进行Choleskey分解：

式中：L0为ρ0经Choleskey分解后得到的下三角阵。

利用L0并根据式（7），可将相关的标准正态随机向量Y转换为独立的标准正态随机向量V:

同样由Nataf变换的过程，根据式（8）和式（9）也可以得到其对应的逆变换。

Nataf的正变换和逆变换所完成的空间转换过程如图1所示。而本文所采用的多点估计法正是通过Nataf逆变换的过程来获取在原始变量空间的估计点。由式（8）和式（9）可将Nataf逆变换的过程写成：

式中：N-1（·）表示Nataf逆变换。

1.2 基于Nataf变换的单变量多点估计法

对于一个单变量响应函数Z=Z(x），首先由Gauss-Hermite积分的要求，在独立标准正态空间上进行多点的选取。由于此空间上的积分点和权重系数可通过查表的方式获取，故不需要进行单独计算。以3点、5点和7点为例，表1列出了其对应的积分点和权重系数。表中：vj为第j个积分点；Pj为第j个积分节点所对应的权重系数。

根据式（10）可将响应函数Z表示为：

响应函数Z统计矩的积分满足式（12）至式（14)[22]，由Gauss-Hermite积分公式可将式（12）至式（14）转化成式（15）至式（17）来求解响应函数Z的统计信息：

式中：μZ，σZ，αkZ分别为Z(x）的期望值、标准差和k阶中心矩；n为Gauss-Hermite积分中所选取的节点数。

1.3 基于Nataf变换的多变量多点估计法

式（15）至式（17）针对的是单变量下的点估计算法，而在实际的工程应用中，常遇到多变量的响应问题，即响应函数Z是多个输入随机变量X=[x1,x2，…，xm]的函数，故针对多变量的多点估计法更具实用价值。多变量函数所对应的点估计法可通过单变量函数的点估计法进行扩展。在该情形下，若采用直接计算，每个变量取n个估计点，则m个随机变量共构成了nm种组合，进而响应函数Z将进行nm次计算，计算量将会随着随机变量数目的增长呈现指数增长趋势。针对该问题，本文采用文献[17]提出的逼近方法来进行简化计算。

式中：ZΣ为含多变量的响应函数；Zμ=Z（μ1，μ2，…，μm）为响应函数在所有随机变量均取为期望值时的响应值；Zi为第i个随机变量xi的函数，而除xi外其余随机变量均取期望值，即Zi=Z（μ1，μ2，…，xi，…，μm），此时Zi可视为仅关于xi的单变量响应函数，根据式（11）可将Zi表示为

从而由式（15）至式（17）可以得到对应的关于Zi的期望值、标准差和k阶中心矩。

在获取Zi的统计信息后，即可进一步根据式（20）至式（22）将单变量响应函数的点估计方法扩展到多变量响应函数上：

式中：为多变量函数Z的统计矩。该逼近方法估计点数为nm，对应计算量为nm次，但其中有n次是在各变量均取期望值时进行计算，故实际计算可降至（n-1)m+1次。

2 基于Nataf变换的不确定性潮流多点估计算法实现

2.1 不确定性潮流建模

设某电网有s个节点、b条支路，并且其中有p个PQ节点、q个PV节点、1个平衡节点。采用极坐标形式时，对应的系统潮流方程为：

式中：Pi和Qi分别为节点i处的注入有功功率和注入无功功率；θij为节点i与节点j之间的相角差；Ui为节点i的电压幅值；Gij和Bij分别为导纳矩阵各元素的实部与虚部；Pij和Qij分别为连接节点i与节点j线路的有功功率和无功功率；tij为支路的非标准变比；Yij0为支路对地导纳。

对式（23）和式（24）进行简化，可得到式（25）和式（26）的形式：

式中：X=[P1,P2，…，Ps-1,Q1,Q2，…，Qp]为节点注入向量，由节点注入有功功率Pi和节点注入无功功率Qi构成；Z为任一支路的有功或无功功率；g（·）和h（·）分别为节点功率和支路功率关于节点电压的表达式。

根据式（25）可以得到节点电压U与节点注入量X的关系：

进而根据式（26）得到：

即支路潮流可表征为关于多变量xi的响应函数，式中m表示注入随机变量的个数，可根据实际情况确定。如在含有p个PQ节点、q个PV节点的网络中，当注入有功和无功功率均作为随机变量考虑时，m=2p+q。

2.2 不确定性潮流的多点估计法实现步骤

由式（28）可知，支路潮流表征为多变量xi的响应函数后，即可根据多变量下的多点估计算法来进行计算。算法步骤如下。

步骤1：获取m维注入随机变量X的信息。

步骤2：选择多点估计法中每个变量的估计点数n，对应于3点、5点及7点估计法时n分别为3,5,7。

步骤3：根据表1中列出的Gauss-Hermite积分点和权重系数，得到在独立标准正态空间V～上的多个估计点vi,j和Pj，其中i=1,2，…，m;j=1,2，…，n。

步骤4：由Nataf逆变换得到vi,j在原始变量空间X～上的映射xi,j。

步骤5：在每个估计点xi,j处进行确定性潮流计算，并根据式（15）至式（17）得到单个随机变量下的μZi和σZi。

步骤6：根据式（20）至式（22）的逼近方法得到多变量响应函数下的期望值μZΣ和σZΣ。

3 算例分析

3.1 计算网络随机性参数设定

为验证基于Nataf变换的多点估计法的准确性，本文采用MATLAB语言，在Windows环境下对IEEE 14节点系统算例进行了测试。该系统拓扑结构如图2所示，共有20条线路，其中节点1和节点2上接有发电机。节点1为平衡节点，节点10和节点14上接入风电机组，并假定各节点注入量相互独立。

该系统中常规发电机出力假定为二项分布，随机特性见附录A表A1。单台风电机组的额定出力设为1.5MW，节点10和节点14上各接有10台风电机组，风电机组参数设定见文献[24]，风速统计模型则采用双参数Weibull分布，其中尺度参数c取为10m/s，形状参数k取为2。负荷节点方面除节点9服从附录A表A2所示的离散分布外，其余负荷节点均服从附录A表A3所示的正态分布。

3.2 计算标准选取

本文以蒙特卡洛模拟法的计算结果作为比较标准，分别将传统的3点估计法和改进的多点估计法进行比较分析。为直观比较各方法的计算精度，根据式（29）定义了相对误差指标：

式中：RMCS和RPEM分别为蒙特卡洛模拟法和各点估计法的计算结果。

为得到精确的比较标准，首先采用蒙特卡洛模拟法对该系统分别进行5 000,10 000,50 000,60 000,70 000次仿真。附录B中列出了蒙特卡洛模拟法各仿真次数下部分具有代表性的计算值。

通过对蒙特卡洛模拟法的灵敏度分析可知，当进行60 000次仿真时其精度已合适，继续增加仿真次数后其计算结果的精度没有太大提高，故选取仿真60 000次的蒙特卡洛模拟法计算结果作为传统3点估计法及改进多点估计法的评价标准。

3.3 计算结果分析

表2和表3分别列出了本文提出的基于Nataf变换和Gauss-Hermite积分技术的3点估计法（N3PEM）、5点估计法（N5PEM）、7点估计法（N7PEM），蒙特卡洛模拟法和传统的3点估计法（3PEM）这5种方法下，部分支路潮流有功和无功功率的计算值。由于各方法下节点电压幅值的差异极小，故在表4中只列出部分节点电压相角的计算值。

根据计算结果进行分析可知，在电压幅值和相角以及支路有功和无功功率的期望值求取上，4种点估计法的计算结果基本一致，且与蒙特卡洛模拟法的计算标准相比也非常接近。但在标准差的求取上，4种点估计法下节点电压幅值和相角，以及支路有功和无功功率的标准差仍有较大差异。为方便比较各方法的计算精度，表5中列出了几种方法下各标准差计算值与蒙特卡洛模拟法计算标准的最大相对误差。

从表5中的计算结果可以清晰地看到，本文所提出的基于Nataf变换和Gauss-Hermite积分技术的点估计法计算精度较传统的点估计法更高，且随着估计点数的增多，各指标的计算值精度整体上有所提升，特别是在支路有功和无功功率标准差的计算值上，多点估计法与蒙特卡洛模拟法的最大相对误差控制得很好。

另一方面，蒙特卡洛模拟法（60 000次）的计算时间为778.10s，而改进的3点估计法、5点估计法及7点估计法的计算时间分别为0.66,0.96,1.65s，与蒙特卡洛模拟法相比，计算效率优势明显，且与传统3点估计法的计算时间0.23s相比，改进多点估计法增加的计算时间也完全可以接受。

4 结语

本文提出一种改进的多点估计法来研究不确定性潮流问题。首先建立了不确定性潮流的计算模型，将潮流的不确定性问题转化为一个求解多变量响应函数的问题；然后根据Gauss-Hermite积分技术选择对应的在标准正态空间分布的估计点和权重，并通过Nataf逆变换实现空间转换得到原始空间的估计点；最后根据转换后的估计点和权重得到支路有功功率和无功功率的估计信息。

含多点接入可再生能源的算例分析结果表明：与传统的点估计法相比，本文算法可获得更高的精度，特别是在系统中存在大量非正态分布和离散分布的随机变量情况下，计算结果的精度会随着选取估计点数的增加而提高。因此，本文提出的基于Nataf变换和Gauss-Hermite积分的多点估计法对于考虑负荷、发电机出力波动，以及可再生能源的多点接入等因素后的不确定性潮流研究具有一定的实用价值。本文中注入随机变量是在假定为相互独立的前提下考虑的，而在实际电网运行中，电源与电源以及电源与负荷之间存在一定的相关性，故下一步将针对这一问题进行深入研究。

直接估计法 篇7

移动通信信号无线定位技术是指通过分析天线阵列信号来获取移动终端用户的经度、纬度坐标, 进而在电子地图上标出其位置的技术[1]。无线定位技术包括基于GPS的定位和基于移动通信网基站的定位。采用基站定位的方式不需要移动终端具有GPS功能, 仅测算基站对移动终端的距离来确定位置。常用的定位方法包括: 到达时间定位 ( Time of Arrival, TOA) 、到达方向定位 ( Direction of Arrival, DOA或Angle of Arrival, AOA) 和到达时间差定位 ( Time Difference of Arrival, TDOA) [2]。在以往的研究过程中, 针对TDOA的研究较多, 但在非视距传播环境下, TDOA性能将会明显下降[3,4,5,6]。随着智能天线技术日渐成熟及在基站中的广泛采用, 基于天线阵列的DOA估计能够达到的精度不断提高, 使得DOA方向角估计技术成为新的研究方向。

在DOA估计中, 经典多重信号分类 ( Multiple Signal Classification, MUSIC) 算法和旋转不变技术估计信号参数 ( Estimation of Signal Parameters via Rota- tional Invariance Techniques, ESPRIT) 算法成为研究的主要方向[7], 很多研究者在此基础上不断探索, 对MUSIC算法进行改进, 形成了不同的改进MUSIC算法[8,9,10]。但是基于MUSIC算法的研究要求阵列信号模型在精确的条件下进行, 阵列天线的阵元数、信号的信噪比等参数都会影响分辨率。同时MU- SIC算法需要求解天线阵列的协方差矩阵特征值与特征向量, 进而构造正交的信号子空间和噪声子空间, 计算量较大。求根MUSIC算法将计算过程简化为多项式的根植求解过程来减少计算量[11], 而最小范数算法通过计算时变数据协方差矩阵的瞬时特征值分解降低了运算量[12,13]。

综合考虑以上不同DOA估计算法的基本原理, 提出将求根运算应用于最小范数算法, 形成改进的根植最小范数算法。通过仿真实验, 以6阵元天线阵为例进行了比较分析, 可知在相同的噪声条件下根植最小范数算法能够在提高分辨率的同时减少计算量, 为提高定位精度奠定基础。

1 到达方向定位原理

到达方向定位 ( DOA/AOA) 原理是通过不同天线阵元来测量移动终端发出的信号入射角, 移动终端的位置必然处于以测得信号入射角所对应的一条直线上, 假设移动终端坐标位置为 ( x, y) , 第i个天线基站坐标位置为 ( xi, yi) , 天线基站通过阵列天线测出移动终端来波信号入射角为θi, 则天线基站和移动终端之间的直线方程为:

如果从不同位置上的2个天线上测得至少2个信号入射角, 则移动终端的位置坐标就一定处于从这2个天线发出的2条直线的交点, 结合电子地图就能够实现移动终端的定位。利用多个测量的信号入射角可以提高定位精度。定位精度的关键在于采用DOA估计信号入射角的准确程度, 另外为了系统的实用化, DOA估计过程中的实时性也是系统的必然要求。因此选用分辨率高、运算量小的DOA估计算法是定位的关键。

2 MUSIC 算法与求根 MUSIC 算法

2. 1 MUSIC 波达方向估计方法

MUSIC算法利用信号子空间和噪声子空间的正交性, 通过搜索构造空间谱中的谱峰检测波达方向, 能够对入射信号的数目、到达角度等参数进行无偏估计[7,8,9,10]。

MUSIC算法要求精准的天线阵列理论模型, 依次设定了理想状态条件:

①天线阵为均匀阵列, 阵元间距d = λ/2;

②空间信号为零均值平稳随机过程;

③噪声为加性高斯噪声;

④各阵元间噪声相互独立, 但方差相同。

设定信源数目D小于阵元数目M, 信号取样数目远大于阵元数目, 考虑噪声以后, 阵列能够接收到的输入数据向量可以表示为:

写成向量的形式:

根据假定条件, 输入信号与噪声互不相关, 则输入信号自相关矩阵为:

MUSIC算法根据搜索相关矩阵的特征值来确定信源数目D, 信源数目所对应的特征值和特征向量数目为D, 剩余的M - D个为噪声所对应的特征值和特征向量, 通过分析Rxx矩阵可得到特征值及其所对应的特征向量, 其中较小的特征值等于噪声的方差δn, 数目为M - D个。

在工程实践中, 矩阵Rxx需要通过实测样本数据估计得到, 由于样本数据有限, 噪声功率所对应的特征值不完全是δn, 是δn的近似估计, 样本数目的增加, 估计值与真实值之间的差异越来越小, 最终估计所得数据数目就可以是近似确定噪声子空间的维数M - D, 进而得到信源数目D。其中M - D个最小特征值所对应的特征向量与导引矩阵A的D个方向向量之间相互正交。利用M - D个噪声特征向量构造张成子空间EN, 维数为M× ( M - D) ,

然后计算各个到达角θ1、θ2、……θD间欧氏距离d2= a ( θ) HENEH Na ( θ) = 0。因此MUSIC空间伪谱表示为:

由于相关矩阵Rxx通过有限个样本数据估计得到, 一般估计过程中采用时间平均方法, 此时一方面会造成运算量的增减, 另一方面会造成MUSIC算法的分辨率降低。同时噪声对MUSIC算法性能存在影响, 随着信噪比的降低, 所能达到的分辨率逐渐降低。

通过实验研究了噪声对估计精度的结果影响, 图1显示了针对8阵元天线阵采用MUSIC算法估计到达角为30°、40°和45°伪谱, 阵元间距为d = λ /2, 信号间互不相关。实验结果表明, 谱峰值随着信噪比的降低也不断降低, 当信噪比下降到一定程度时, 比较相近的到达角不再容易区分, 例如图1中的40°和45°伪谱。

2. 2 求根 MUSIC 波达方向估计方法

由于MUSIC算法仅通过搜索伪谱的峰值来确定信号到达角, 谱峰值受噪声影响较大, 同时计算过程中需要求解协方差矩阵的特征值与特征向量, 算法搜索空间较大, 实时性较差, 因此研究人员采用求根MUSIC算法, 将协方差矩阵特征值的运算过程简化为多项式根植求解过程。

将MUSIC算法空间伪谱表示在式 ( 6) 中, ENEH N定义为一个新的矩阵C, 则求根MUSIC算法的空间伪谱表示为式 ( 7) , 此矩阵为厄尔米特矩阵[11]。

当天线阵列为均匀直线阵时, 第m个阵元所对应的导向向量为:

此时对求根MUSIC算法空间伪谱公式的分母部分进行分解。

式中, cl= ∑cmn 是矩阵C中第l条对角元素的和, 根据厄尔米特矩阵的性质, 非对角线元素的和总小于主对角线元素和, 且存在对称关系cl= c* l。此时式 ( 9) 可以等效为多项式D ( z) , 其中各项系数为cl, 写成多项式表达式为:

式中, z = e-jkdlsinθ, 这样将求解伪谱峰值的过程转化为求解多项式根的过程, 写成极坐标的形式为:

理论上, 此多项式阶数为2 ( M -1) , 对应着 ( M - 1) 对相互共轭的根, 其中对应着多项式的零点的D个根分布在单位圆上, 且幅值为1。

通过比较e-jarg ( zi) 和e-jkdsinθi就可以进行到达角的估计:

对比MUSIC算法, 当噪声存在使得到达角情况不明显时, 求根MUSIC算法仍然能够近似计算出所对应的根值, 确定存在到达角, 进而可以判断出到达角的位置, 噪声的存在仅影响所求根植能否完全位于单位圆上。

3 最小范数法与根值最小范数法

通过分析MUSIC以及根植MUSIC算法可知, MUSIC算法估计过程中都需要根据实测的样本数据进行协方差矩阵的估计运算, 实测样本数据越多, 估计结果的精度也就越高, 而在实际工程实践中, 很难得到大量的统计数据, 造成估计效果不佳, 大量实测数据和矩阵运算造成运算量增加。因此采用最小范数法, 能够在小样本的条件下, 根据最优化的约束条件进行估计, 同时减少计算量[12,13]。

3. 1 最小范数波达方向估计算法

对于均匀直线阵, 假设天线阵列权值矩阵w, 要求约束条件: minwHw, EH Sw = 0, wHu1= 1。ES表示D个信号特征向量子空间; u1= [1 0…0]T表示笛卡尔基向量。

利用求解优化问题得到的最小范数伪谱表达式为:

式中EN表示M - D个噪声的特征向量的子空间。

将其归一化, 得到归一化的最小范数伪谱表达式:

最小范数法通过采用最优化的分析方法, 在计算过程中考虑了全部噪声特征因素, 提高了计算精度, 仅通过搜索协方差矩阵的瞬时特征值, 免去了全局搜索带来的大计算量。

3. 2 根值最小范数波达方向估计算法

根值MUSIC算法将计算求解过程转换为计算多项式的根值, 可以根据根值出现的情况判断到达角, 而不仅仅依靠伪谱图中峰值的出现情况。同样将根值计算过程应用于最小范数的估计方法中, 将归一化的最小范数伪谱表达式进行修改, 得到根值最小范数伪谱表达式:

式中, C = ENEH N为M×M的厄尔米特矩阵; EN为噪声子空间; Cu1的结果c1是由厄尔米特矩阵的第1行组成的列向量, c1=[C11C12…C1M ]T, a ( θ) 表示导向向量。根值最小范数伪谱的计算表达式为:

此时分母对应多项式为:

式中, cl= c1c1H 是矩阵C中第l条对角元素的和, 其中, 写成极坐标的形式为:

同样地, 此多项式阶数为2 ( M -1) , 对应着 ( M - 1) 对相互共轭的根, 其中对应着多项式零点的D个根分布在单位圆上, 且幅值为1。通过比较e-jarg ( zi) 和e-jkdsinθi就可以进行到达角的估计:

4 仿真结果分析

为了比较分析MUSIC算法、求根MUSIC算法、最小范数法和根值最小范数法的性能, 通过仿真实验比较各算法在噪声影响下的分辨效果。假定天线阵列包含6阵元, 阵元间距为d = λ/2。为了分析性能优略, 特意将2个入射角间隔减小, 分别为4°和8°, 2个信源等幅值不相关, 噪声方差δn 2= 0. 3。

采用时间平均MUSIC算法进行波达方向估计的伪谱图如图2所示。可以看出, 在噪声的影响下, 非常接近的2个入射角不再明显区分2个峰值图, 无法判定到达角。

采用求根MUSIC算法进行波达方向估计的伪谱图如图3所示。可以看出, 在噪声的影响下, 非常接近的2个入射角不再明显区分2个峰值图, 但是可以通过标定的2对根值标示出2个入射角。对应求解得到的多项式全部根值在笛卡尔坐标中表示如图4所示, 其中2对根比较接近单位圆, 对应着所期望的到达角。

对比MUSIC算法可见, 当噪声达到一定程度时, 求根MUSIC算法仍然能够近似计算出所对应的根值, 确定存在2个到达角, 进而可以判断出到达角的位置。但此时求根MUSIC算法2对根值没有完全位于单位圆上, 原因在于计算根值时, 假设情况不能包含全部噪声子空间, 得到相关矩阵影响计算精度。

采用根值最小范数法进行波达方向估计的伪谱图如图5所示。可以看出, 在噪声的影响下, 非常接近的2个入射角其中一个峰值较小, 但是可以通过标定的2对根值标示出2个入射角。对应求解得到的多项式全部根值在笛卡尔坐标中表示如图6所示, 其中2对根值比较接近单位圆, 对应着所期望的到达角。

对比求根MUSIC算法, 根值最小范数法的2对根接近单位圆的程度要优于求根MUSIC算法, 基本位于单位元上, 估计结果精度更高, 原因在于计算根值时, 最优化的分析过程综合考虑了全部噪声子空间。

5 结束语