点估计法（精选7篇）
点估计法 篇1
0 引言
近几十年来,风能占电力系统一次能源的比重越来越高,加之风力发电的间歇性特征,电力系统运行中的随机因素越来越多,概率潮流已成为分析其影响的重要工具。由于不同的风电场的风速之间存在相关性,因此,具有相关性随机变量的概率潮流计算已成为目前人们关注的问题之一[1,2,3]。
概率潮流的计算方法主要有Monte Carlo模拟方法、理论计算方法和近似方法3类。Monte Carlo模拟方法的精度最高,其结果通常被作为衡量其他方法优劣的标准,但这类方法的计算开销很大。理论计算方法虽然在计算公式等方面有较好的理论基础,但由于它需要采用快速傅里叶变换[4]或半不变量方法[5,6,7,8]进行数值计算,所以在获得较高的计算效率的同时也引入了较大的误差,半不变量法的另一个缺陷是它难以处理具有相关性的非正态分布变量的概率潮流问题。近似方法中的代表是点估计方法[9,10,11],特别是Hong提出的点估计方法。
严格说来,理论计算方法和近似方法都假定概率潮流中的随机变量之间是相互独立的,如果要处理具有相关性的随机变量,则需要增加新的步骤。其基本思想是将相关的随机变量等价变换到独立的随机变量空间中进行计算。如果随机变量服从正态分布,则采用正交变换进行处理,如文献[12]提出的方法。对于非正态多维随机变量,则很难给出完整的联合概率分布。比较实际的方法是,已知每个随机变量的边际概率分布,并确定多维随机变量的相关系数,而不要求完整的联合概率分布表示。以此为基础,通过恰当的等价变换,将非正态相关的多维随机变量变换到独立的正态空间中。文献[13]给出了基于边际概率分布和相关系数矩阵将多维相关的非正态随机变量变换为独立的正态随机变量的方法。文献[11]以该方法为基础提出了一种包含风速相关性的概率潮流计算方法。
文献[11-13]的方法比较繁琐,而最近几年人们对多项式变换技术的研究取得了进展。本文将结合文献[14-15]给出的三阶多项式正态变换(thirdorder polynomial normal transformation,TPNT)方法和文献[9-10]给出的三点估计法求解含相关性随机变量的概率潮流问题。
相比文献[9],本文考察了变量之间的相关性对概率潮流的影响;相比文献[11],本文提出的变量空间变换方法更加简洁,将非正态相关的随机变量变换到正态不相关的变量空间无需利用半经验公式,而只需遵循统一的变换步骤,因而该方法的通用性也较文献[11]强。
本文首先给出了TPNT方法,然后提出了基于TPNT的概率潮流三点估计法,最后给出了一个IEEE 118节点系统的算例来验证本文所提出的方法的精度和特点。
1 具有相关性随机变量的概率潮流问题
将系统的潮流方程写成如下形式:
式中:PGi和QGi分别为节点i处的机组有功出力和无功出力;PLi和QLi分别为节点i处的有功负荷和无功负荷;θij=θi-θj为节点i与节点j之间的相角差;Vi和θi分别为节点i的电压幅值和相角;Gij和Bij分别为节点导纳阵各元素的实部(电导)与虚部(电纳);Pij和Qij分别为连接节点i与节点j的线路的有功潮流和无功潮流;tij为支路的非标准变比;Yij0为支路的对地导纳。
本文称各节点的负荷需求(有功和无功)以及机组出力中的风力发电机组的出力(有功和无功)为输入变量,称节点电压的幅值和相角以及线路的潮流为输出变量。当输入变量是随机变量时,输出变量也随之成为随机变量。概率潮流问题即是在输入变量为随机变量的情况下求取输出变量的概率分布或数字特征的一类问题。
本文假设节点负荷的有功与无功功率都是随机变量,但节点负荷的功率因数,即负荷取平衡态值处的功率因数,保持不变。因此,只要负荷有功功率被确定,负荷无功功率就随之确定。
各节点负荷的有功需求用向量PD表示,各风电场的风速用向量vW表示,它们都是多维随机变量。PD是一个边际概率为正态分布且相关的变量组,其每个分量均服从均值为μDi、方差为σ2Di的正态分布,i=1,2,…,nD。变量之间的相关系数已知,用nD×nD阶相关系数矩阵RD表示,nD为PD中所含分量的总个数。风电场l的风速vl的边际概率服从Weibull分布,其概率密度函数为:
本文中风力发电机组均为双馈感应发电机,其无功出力可由控制器补偿,因此风力发电机组的无功出力可以保持恒值不变,通常接近于0[2]。风力发电机组的有功出力是随机变量,随风速的变化而变化。风力发电机组的有功出力与风速之间的关系如图1所示。双馈感应发电机的参数如下:切入风速vci为4m/s,额定风速vr为15m/s,切出风速vco为25m/s,额定有功出力Pr为2 MW,额定无功出力Qr为-0.000 2 Mvar。
系统中有nW个风电场,风电场的风速之间存在相关性,用RW表示。为讨论方便,本文定义随机变量向量为:
式中:m=nD+nW。
变量组x的相关系数矩阵是2组变量的相关系数矩阵RD和RW组成的对角分块矩阵,为了表示方便,以后将不特别区分零元素,如下式所示:
2 基于TPNT的概率潮流三点估计法
2.1 TPNT方法
设有一个相关的多维随机变量组,记为x=[x1,x2,…,xm]T,其中,xi的边际概率分布密度函数为f(xi),其均值为μxi,标准差为σxi,且这些变量之间的相关系数矩阵由式(5)表示。
按照TPNT的原理,变量xi可以用一个标准正态分布变量Zi的三阶多项式表示,即
式中:a0,i,a1,i,a2,i,a3,i为变换系数。
变换系数a0,i,a1,i,a2,i,a3,i可以通过求随机变量xi的概率加权矩(PWM)来得到。PWM的定义如下:
式中:βr,i为随机变量xi的r阶PWM;E(·)为随机变量的期望函数;F(xi)为随机变量xi的边际概率分布函数。
进一步可以求xi的线性矩[15]:
最后按下式确定变换系数:
按式(7)至式(9)求取变换系数时,关键是求取式(7)所示的PWM。本文建议,已知F(xi)后直接采用数值积分来求取,因为当边际分布确定后,只要对这个系数求取一次即可,因此采用数值积分并不花费太多的时间,这样避免了理论推导的困难。
上述变换仅仅完成了将非正态随机变量变换为正态随机变量的过程。对于多维随机变量,还需要考虑这种变换使得原来的相关系数等值表示成标准正态分布之间的相关系数。文献[15]给出了这个关系。当x中的随机变量具有式(5)所示的相关系数时,则Z中的随机变量之间的相关系数矩阵为:
RZ与Rx之间的关系为[15]:
式(11)表明,当按式(6)进行变换后,在原来x空间的相关系数矩阵Rx可以变换到Z空间的相关系数矩阵RZ。
经过上述变换,变量组Z依然是相关的,其相关系数矩阵为RZ,且服从标准正态分布,可使用著名的正交变换将其变换到独立的标准正态空间S,并表示为:
式中:下三角阵L是相关系数阵RZ的Cholesky分解RZ=LLT。
基于上述转换,如果已知独立正态分布的随机向量S,则可以用式(12)的逆变换:
得到随机向量Z,并利用式(6)得到x。这个过程为处理相关性随机变量的三点估计法提供了基础。
2.2 处理相关性随机变量组的概率潮流三点估计法
利用三点估计法处理概率潮流问题的基本原理是:首先选择采样点,然后进行潮流计算,得到各个采样点的潮流计算值,并根据这些值估算输出变量的均值和方差。
选择采样点的基本思路是:对于m个随机变量,在其他随机变量都取均值的前提下,第i个变量取采样值,而该变量的采样值有3个,亦即三点采样。当所有随机变量都如此选择时,就要选择3m个采样点,但是其中有m个采样点是相同的,都是均值,故实际上只有2m+1个采样点。
标准的三点估计法要求随机变量是独立的。当随机变量服从非正态分布且彼此相关时,首先在独立的标准正态空间采样,然后利用TPNT将采样点变换到具有指定边际概率分布和相关系数的参数空间,再进行潮流计算,接着利用采样值处的潮流结果估计输出变量的均值和方差。其算法如下。
步骤1:在独立的标准正态空间S中选择采样点。
步骤2:利用式(12)将这些采样点从空间S转换到空间Z。
步骤3:利用式(6)将采样点从空间Z转换到空间x。
步骤4:利用参数空间的值代入潮流方程进行求解,得到潮流方程的解H。
步骤5:返回步骤1直至所有的采样点都处理完毕。
步骤6:利用采样点处的潮流方程的解估算输出变量的均值和方差。
步骤1选择采样值是在独立标准正态空间S进行的,每个分量Si都服从标准正态分布,其均值为0,标准差为1,偏度为0,峰度为3。对于分量Si,在其他的分量都取均值时,其采样值ξSi,k为:
式中:k=1,2;λSi,3和λSi,4分别为随机变量组S中分量Si的偏度和峰度;k为采样点的序号,每个变量取2个采样点。
随机变量组S中的其他变量取均值,分量Si取ξSi,k时构成一个采样点,k=1,2,就是取2个采样点,记为Si,k=[0,0,…,ξSi,k,…,0]。由步骤2和步骤3可以将Si,k变换到参数空间x,记为xi,k。然后将xi,k代入潮流方程,求得潮流结果。本文采用文献[16]提供的免费开源工具箱PSAT进行潮流计算。记H(i,k)为随机变量xi取第k个采样值时的潮流计算结果。为了简化符号,本文用H(i,k)表示输出变量的函数值。
由于随机变量i=1,2,…,m,且k可取1和2,故如此可以计算2m个采样点的函数值。此时采样点的函数值对应的权重为:
式中:k=1,2;i=1,2,…,m。
当所有变量都取均值时得到一个特殊的采样点,同样按步骤2和步骤3可以变换到参数空间,通过潮流计算得到结果,记为H(i,3),但是对所有i=1,2,…,m,其H(i,3)的值相同。该结果对应的权重为:
式中:i=1,2,…,m。
根据上述计算结果,可以得到输出变量H的j阶矩E(Hj):
得到输出变量H的各阶矩后,就可以求出其期望值μH和标准差σH:
3 算例分析
本文以文献[17]给出的IEEE 118节点系统为基础,增加风力发电机组。风力发电机组所在的节点以及风电场编号、风力发电机组的出力和台数等如表1所示。风力发电机组总装机容量692 MW。
假设:有功负荷服从正态分布,均值为静态平衡点处的有功负荷值;标准差取3种不同情况,分别为均值的3%,5%,8%;每个区域内部的节点有功负荷具有相关性,相关系数为0.5;不在一个区域内的负荷不相关。节点负荷的功率因数保持不变,这个功率因数就是负荷取平衡态值处的功率因数。因此,只要负荷有功功率被确定,负荷无功功率就随之确定。
所有风电场的风速都服从Weibull分布,其概率密度函数如式(3)所示。为了研究不同风速的影响,其参数分2种情况:α=10.7,β=3.97[2],称为风速1;α=9.00,β=2.25[11],称为风速2。风速1和风速2所服从的Weibull分布的变异系数(随机变量的标准差与其期望值的绝对值之比)分别为0.282 5和0.470 3。
区域Ⅰ和区域Ⅱ分别包含4个风电场,区域Ⅲ包含6个风电场。每个区域内风电场的风速具有相关性,不同区域之间风电场的风速则不相关。区域Ⅰ、区域Ⅱ和区域Ⅲ内部风电场之间的相关系数矩阵分别为:
为了研究三点估计法的精度,首先用三点估计法和Monte Carlo模拟法分别计算输出变量的数字特征,并将三点估计法的计算结果与Monte Carlo模拟法的结果进行比较,求得其相对误差(百分比)。然后将输出变量分成节点电压、节点相角、线路有功潮流和线路无功潮流4个类别,进行统计,并列出每个类别的相对误差的均值与标准差。
表2是情景A和情景B这2种不同随机变量数据下获得的比较结果。情景A的负荷变异系数为3%,风速采用风速1;情景B的负荷变异系数为5%,风速采用风速1。从表2可看出,2种情景下的相对误差的平均值都比较小,最大的仅为4.13%,说明本文所提出的方法精度较高。
为了进一步讨论该方法对随机变量波动大小的适应性,本文考察了负荷单独为随机变量、风速取其均值且保持恒定不变时的误差,以及负荷取平衡态值、采用风速1和风速2时三点估计法与Monte Carlo模拟法的相对误差的平均值,结果如见3。
从随机波动的幅度看,系统中仅存在负荷随机变化时,负荷波动为3%,5%,8%的波动幅度顺次增加,而风速2比风速1的波动也增加。即使是负荷波动8%也比风速1的波动小,因为在风速1情况下,其变异系数为0.282 5,远大于负荷波动8%的变异系数。
从表3可以看出,随着随机变量波动的增强,三点估计法的误差越来越大,几乎在所有指标的计算中都有所体现。例如:线路有功潮流标准差误差指标,其相对误差的平均值从左到右逐渐增加,说明该方法的精度随波动的增强逐渐下降。
从均值和标准差的估计结果来看,标准差的估计一般比均值的估计精度低,例如节点电压标准差误差在风速2时为4.61%,而其均值误差为0。
从变量类型来看,线路潮流的误差要比节点电压幅值和相角的误差大,无功线路潮流的误差要比有功线路潮流的误差大。
在CPU为Intel双核E6600、内存为2GB的微机上用MATLAB计算,IEEE 118节点系统算例的情景A和情景B需要的计算时间分别为35s和46s,说明本文提出的方法具有较高的计算效率。
4 结语
本文提出了一种处理相关性随机变量的三点估计法。利用TPNT建立了非正态相关的多维随机变量空间与正态不相关的多维随机变量空间之间的变换关系,将非正态相关的多维随机变量变换到正态不相关的变量空间,在正态不相关的变量空间中取采样点,最后将这些采样点通过逆变换重新回到非正态相关的变量空间中进行潮流计算。将非正态相关随机变量变换成标准正态不相关的随机变量,使三点估计法的采样点和权重因子的计算变得极其简单(相应采样点的位置量度和权重因子成为定值)且算法的通用性更强。这种变换—逆变换的过程使三点估计法能够处理含非正态相关随机变量的概率潮流问题。基于IEEE 118节点系统的算例分析表明,该方法计算效率较高,且在一定的波动范围内达到了满意的精度。该方法为研究风力发电的随机影响提供了一种有效的工具。
摘要：采用三阶多项式正态变换方法,将非正态相关的多维随机变量变换到正态不相关的变量空间,在正态不相关的变量空间中取采样点,最后将这些采样点通过逆变换重新变换到非正态相关的变量空间中进行潮流计算。这种变换—逆变换的过程使得点估计方法能够处理含非正态相关随机变量的概率潮流问题。利用该技术,提出了一种求解包含风力发电和负荷随机性的概率潮流问题的三点估计法。基于IEEE 118节点系统的算例分析表明,该方法具有较高的精度,且计算效率高,为讨论基于相关性的概率潮流问题提供了一种有效的工具。
关键词：概率潮流,三点估计,三阶多项式正态变换,相关性
一种新型的MRAS转速估计法 篇2
1 感应电机的数学模型
在静止 αβ 坐标系下,感应电机的数学模型如下。
电压、磁链方程
转矩方程
运动方程
式中:为定子侧电压,为定子侧电流,为转子侧电流,为定子磁链,为转子磁链,;usα,usβ为定子在 αβ轴上的电压;isα,isβ,irα,irβ为定子、转子在 αβ 轴上的电流;Ψsα,Ψsβ,Ψrα,Ψrβ为定子、转子在 αβ轴上的磁链;Lm为定转子互感;Ls,Lr为定、转子自感;Rs为定子电阻;Rr为转子电阻,p为极对数;J为转动惯量;ωr为转子转速;TL为负载转矩;Te为电磁转矩。
2 基于MRAS的转速观测器
2.1 传统的MRAS转速观测器
传统的MRAS转速观测器即基于转子磁链的MRAS转速观测器,其主要依据两种不同形式的转子磁链的估算模型,它们被称之为电压模型和电流模型,由式(1)可推得
式中:σ = 1 -(Lm2/LsLr) ;Tr为转子励磁时间常数,Tr= Lr/Rr。
由于转速作为需要辨识的参数,将式(8)以估计值的形式表示为
为使系统全局渐进稳定,利用Popov超稳定定理可得转速辨识自适应律为
传统的MRAS转速观测器的结构框图如图1所示。由式(7)构成参考模型,式(9)构成可调模型,估计转速由式(10)可得。但是,传统的MRAS转速观测器的主要缺陷就是低速时估计误差大,因此,本文提出一种新型的MRAS转速观测器。
2.2 新型的MRAS转速观测器
在新型的MRAS转速观测器,同时利用2 个估计误差,一个是转子磁链之间的,另一个是电磁转矩之间的。由电磁转矩的表达式(5)可知估计的电磁转矩为
由电机的运动方程式(6)可知只要电磁转矩变得与负载转矩不相等,负载的变化就会引起转速的变化。同样地,只要估计的电磁转矩与实际的电磁转矩不相等,估计电磁转矩的变化就会引起估计转速的变化。式(6)以估计值的形式表示,即
由式(6)减去式(12)可得:
为了得到更加准确的转速估计值,必须同时考虑以下2个条件:
然后,采用之前构建自适应律的方法,又同时考虑电磁转矩估计的误差,自适应律变为
式中:τ 为机械时间常数。
相比传统的转速观测器,新型的MRAS转速观测器的不同之处就在于考虑了电磁转矩估计的误差,然后转矩误差通过低通滤波器滤波,与2个模型估计的转子磁链误差经PI调节器的回路构成并行循环结构。新型的MRAS转速观测器的结构框图如图2所示。
3 仿真模型的建立与分析
为了验证本文提出的新型MRAS转速观测器能更好地辨识转速,对传统的MRAS和新型MRAS转速辨识法进行仿真分析比较。利用Matlab建立无速度传感器感应电机直接转矩控制系统,其结构框图如图3所示。系统仿真的感应电机参数为:Pe= 2 k W,Ue= 380 V,fe= 50 Hz,p = 3,Rs= 1.9 Ω, Rr= 1.8 Ω, Ls= Lr= 0.19 H,
仿真中设置给定的电机转速 ωr*=[400 r/ min, 200r/ min, 40r/ min,-40 r/ min,-100r/ min] ,给定转速阶跃变化的时间设置为t =[0 s,0.5s,0.9s,1.3s,1.6s] ,电机空载启动,1.8 s时突加负载至25 N⋅m 。新型MRAS转速辨识法仿真得到电机转速如图4所示。电磁转矩如图5 所示。然后,对基于传统的MRAS无速度传感器感应电机直接转矩控制系统进行仿真,仿真得到的波形如图6所示。
从图4可看出新型的MRAS转速辨识法在给定电机转速变化时,估计值与实际值都立即响应,且稳态时估计偏差趋于0,在t=1.8 s时突加负载,转速稍有下降,但很快恢复跟踪给定值,具有很好的抗干扰能力。由图4b与图6b比较可看出,即使是在低速范围,新型的MRAS转速辨识法相比之下转速估计偏差更小,转速辨识的精度更好。由图5可看出新型的MRAS转速辨识法在给定转速变化和突加负载的情况下,电磁转矩的估计偏差很小,且能够快速响应。由图5a与图6c比较可知,低速范围,新型的MRAS辨识法电磁转矩脉动相比更小,抗扰能力更强。
4 结论
本文提出了一种新型的MRAS转速辨识方法,相比传统的基于转子磁链的MRAS转速辨识法,它不仅在低速时辨识精度更好且稳定,而且在给定转速变化和突加负载的情况下也能更快响应,对负载的抗干扰能力也更强。
摘要：为提高无速度传感器直接转矩控制在低速范围内的性能,提出一种新型的模型参考自适应(MRAS)转速辨识法,此方法同时考虑了2个误差,一个是估计的转子磁链误差,另一个是估计的电磁转矩误差,且自适应结构由两个并行回路构成,回路分别包含PI和低通滤波器,用于转子磁链和电磁转矩的调整。仿真结果表明,新型的MRAS转速辨识方法在低速范围能有效地克服不稳定性。
关键词：感应电机,模型参考自适应法,无速度传感器,转速估计
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游戏中的统计推断逻辑——点估计 篇3
统计描述是统计学人分析问题的基本出发点, 它以浓缩的数量特征对复杂统计研究对象进行抽象刻画。这种抽象刻画, 主要是指以“求平均”为核心的平均指标、变异指标和相关系数等所形成的定量描述系统。笔者曾以吹气球、玩木棍等儿时游戏, 对抽象统计描述系统思想进行直观解释。然而, 要进一步理清统计学人的思维方式, 不能仅停留在统计描述上。
在研究和实践中, 统计总体是未知的, 其数量特征也无从算起, 否则就不会有统计推断一说;但统计总体是可以认识的, 否则整个统计科学也就不可能存在。
如何进行统计总体的认识活动呢?唯有依靠统计推断为管道, 来窥见统计总体之一斑。因此, 统计方法的生命力在于统计推断;令人生畏的复杂之处, 可能也在于统计推断。但与统计描述系统一样, 抽象、复杂, 只是统计推断的表象, 其本质上的逻辑却是平凡的, 与生活中的思考方式并无二致。
何为统计推断?按照频率学派观点, 直白地讲, 就是利用局部信息 (随机样本) 对统计总体数量特征 (往往是统计描述指标) 的具体数值进行猜测。猜测不是瞎蒙, 需要对猜测的合理性进行说明, 同时, 还要对这种猜测是否靠谱进行判断, 进而达到认识统计总体的目的。统计学人把“猜测”称为参数估计 (包括点估计和区间估计) , 把“判断”称为假设检验。
为了进一步对统计推断思维逻辑进行生活化的说明, 笔者对《游戏中的统计思维逻辑》一文中的游戏内容进行升级, 以非常普及流行的飞镖游戏, 尝试直观表述统计推断中的点估计思维逻辑, 并就点估计原理对“数据打架”现象的解读提出看法。至于区间估计和假设检验, 我们同样可以利用游戏的思维方式直观解说, 但限于本文主旨, 在此不进行讨论。
点估计与飞镖游戏
飞镖游戏起源于英国, 是一项风靡全球, 集趣味性、竞技性于一体的休闲运动项目, 既可用于比赛, 又可作为工作、学习之余的消遣。从统计学的角度看, 飞镖游戏暗含了点估计的统计推断思维逻辑, 可以用来直观说明点估计的原理。简单起见, 假定4位选手 (A、B、C、D) 参加飞镖比赛, 飞镖盘采用黑白相间的同心圆。前3位选手的比赛成绩如图1所示, 第4位选手的比赛结果单独列出, 如图2所示, 其中, 小黑点表示各位选手投掷飞镖的结果, 飞镖盘中心的“笑脸”图案表示靶心。
那么这些密密麻麻的小黑点和点估计又是怎么扯上关系呢?实际上, 只要是估计, 总要有一个估计目标, 通俗地讲, 估计就是猜测, 总有一个可能被猜中的“正确”答案。若以总体均值作为目标, 该目标或“正确”答案就在图1、图2飞镖盘中的靶心“笑脸”的位置。各位选手的每一次投掷 (其结果表现为小黑点) , 可以看成是估计或猜测的一次尝试, 统计学人称为估计量 (其结果称为估计值) 。猜测总有准或不准的问题, 我们还需要游戏评委对比赛结果作进一步地解说。
在飞镖游戏中, 我们不能只看一次投掷结果, 更重要的是透过多次投掷结果去分析评判一位选手的竞技素质。要反映一位选手的竞技素质, 至少可以从两个方面着眼: (1) 眼神好坏:是否能盯准靶心。 (2) 投掷技术稳定性:手发抖的程度。
游戏评委按照这2个标准, 对4位选手竞技素质作了评判:选手A的投掷结果紧密围绕靶心, 可以断定其眼神好使, 手不抖。选手B的投掷结果密集在飞镖盘的左下角, 说明该选手手虽不抖, 但严重斜视, 你不能说该选手技术不稳定, 但由于眼神问题, 不能很好瞄准靶心。选手C投掷结果非常密集, 却略微偏离靶心, 说明该选手技术相当稳定, 遗憾的是略带散光。至于选手D, 和飞镖靶有仇似的, 将整个飞镖盘打成了麻子。他眼神没有问题, 能够盯准靶心, 但手却抖动厉害。这样来看, A为专业选手, 而B、C、D由于各种原因, 只能沦为业余了。
统计学中一个估计的好坏, 实际上也是这个评判逻辑。
首先, 单次的估计值不足以决定一个估计的好坏。拿上面的飞镖比赛来讲, 再稳定的选手也有踩西瓜皮的时候, 比如选手A也可能阴错阳差投出脱靶的飞镖来, 虽然这种可能性并不大。而选手B也可能投出正中靶心的结果, 那是他歪打正着。
其次, 估计的好坏, 正如一个选手的竞技素质。投掷技术稳定性, 即手的发抖程度, 对应估计量的方差。而眼神好坏, 即是否能盯准靶心, 对应估计量的偏差。所有眼神好使选手的投掷 (这里为A和D) , 在统计上, 对应无偏估计。若在眼神好使的选手里面论英雄, 则手不抖者胜, 显然选手A毫无争议摘得桂冠, 这在统计上对应估计的效 (A称为有效估计) 。至于选手B和C, 由于眼神问题, 在这样的标准下, 连排名的资格都没有。
如此一来, 选手C必然会喊冤, 他觉得自己的投掷结果离靶心很近, 不能单以眼神定成败。游戏评委考虑到专业选手并不多见, 在业余选手中也需要定个标准来决定名次。因此, 将眼神好坏和投掷技术稳定性综合起来考虑, 给出的结果是选手C强于D。这在统计上便对应于著名的均方误差准则及其分解问题了。
事实上, 统计学许多分支, 如抽样调查理论 (仅就准确性而言) 、回归分析理论 (包扩参数和非参数) 等, 在参数估计中的主要思维逻辑仅此游戏而已。而广大统计学人, 便是游戏评委。
点估计、蒙眼飞刀与“数据打架”
当然, 事情还没结束。正如本文开头指出, 统计总体是有待认识的, 进而估计目标的数值是未知的。换句话说, 靶心的位置是未知的, 上述飞镖比赛例子仅用于点估计理论的直观解释, 而实际的点估计过程更像杂技表演中的蒙眼飞刀。虽然看不见靶的位置, 但一个训练有素、技术过硬的杂技演员能够把飞刀射到恰当的位置, 不至于打得靶上的演员满脸刀子, 闹出人命。但我们不可苛刻要求表演者在蒙眼的情况下, 每次都把飞刀打到相同的位置。
同样地, 总体参数存在但是未知, 一个理论性质良好的估计量应该能够把总体参数猜得七七八八, 不至于太离谱。至于单次估计值离目标数值到底有多近, 我们可能永远不会确切知道。
统计学的基本理论方法由西方人提出, 但其基本思维逻辑显然和西方人非对即错、非此即彼的思考方式不太一样。若采用中国传统哲学对中有错、错中有对的“S”形思维逻辑, 问题就比较好理解了。从这个角度讲, 中国人更加适合学统计、懂统计。
让我们由点估计和飞镖游戏继续展开联想, 来谈谈社会公众所关注的“数据打架”现象。一般来讲, 只要是动手打架, 人们就认为不是好事, 就得移交相关部门处理。同样地, 社会公众看待“数据打架”问题, 也喜欢将原因归结于非技术人为因素。其实, “数据打架”的原因有很多, 包括统计口径因素、质量控制技术因素, 还有估计理论本身的因素等。
在统计实践中, 1+1=2的式子在绝大多数情况下是不成立的, 若按照非此即彼的思维逻辑, “数据打架”是必然的。但关键要看架打得合不合理。好比你不能要求选手A每次都投出相同落点的飞镖来, 若“数据打架”是估计理论层面的, 不可避免。正如任何一位比赛选手可以通过不断训练来提高竞技水平一样, 若“数据打架”是技术层面的, 可以改进。这种在和谐中争斗, 在争斗中改进的架, 笔者认为可以打, 打打更健康。若发现某位选手在比赛中作弊, 即非技术人为因素导致的“数据打架”, 这是绝对不能姑息的。总而言之, 在碰到“数据打架”的现象时, 应该冷静下来分析原因, 切不可人云亦云。
一种鲁棒的消失点估计算法 篇4
自Barnard提出在数字图像中使用哈夫变换计算消失点的算法[6]以来,基于哈夫变换检测道路车道线和消失点的算法不断被改进。算法[5]将提取到图像中的边缘利用哈夫变换投影到参数空间中,然后用最小二乘法(LS)计算消失点所对应的正弦曲线。虽然结构化道路中车道线边缘明显,但是实际上图像中还存在很多杂乱的边缘结构,如路旁树木、道路标志、车辆、阴影等诸多的因素都会对消失点的估计造成干扰,不能直接利用LS算法估计消失点。算法[2]提出了一种加权的最小二乘法,增强了LS算法抗噪声的能力,但对于复杂道路场景的各种噪声,却不能正确地估计消失点的位置。
基于道路平坦、车道线平行的假设,该文提出了一种鲁棒性更强的估计消失点的算法。相对于以前的研究工作,一是在图像中检测直线段代替以前算法在参数空间中用投票机制检测直线段;二是通过直线段约束去除大量噪声直线段;三是用一种加权最小中值算法代替了最小二乘法求消失点。
1 直线段约束
用梯度方向邻域增长的方法[3]检测道路图像中的直线段结构,得到了直线段的中心、直线段的斜率,以及直线段所包含同一梯度方向的像素个数(简称直线段长度)。理想的估计消失点的直线段是前向车道线的边缘,但实际上算法会提取到其他各种的直线段。大量噪声直线段不仅会增大后续处理的计算量和复杂程度,而且会影响消失点估计的精度,甚至会造成消失点估计错误,所以必须尽力剔除和消失点无关的直线段。步骤如下。
(1)由于车道线通常拥有连续较长的边缘结构,而细小边缘结构多数对应的是噪声,所以首先去掉长度较短的直线段。
(2)消失点候选区域。
消失点与摄像机相对车道线的航向角、摄像机相对路面俯仰角之间的关系[1]可表示为:
式中,f是摄像机的焦距(单位:pix),φ和θ分别是摄像机的俯仰角和航向角(单位:rad)。实际上,可以预先估计摄像机安装的俯仰角,运动中航向角变化通常只在0°左右以一定幅度变化,f由摄像机事先标定得到,所以由(1)(2)可推导出消失点vp(x0,y0)在图像上所处的区域。
(3)剔除直线段中含有像素的纵坐标小于min(y0)的直线段。
(4)剔除不经过消失点区域的直线段,得到候选直线段。
当分辨率为512pix×640pix,焦距f=600 pix,俯仰角φ:0°~15°,航向角θ:15~15,按照式(1)和式(2)可计算得出消失点候选区域vp:x0(153~486),y0(95~256),如图1中虚线四边形区域所示。图中实直线段代表检测到的直线段,包括噪声直线段(路旁树枝树干、树枝阴影、草丛等)和车道线边缘。细线代表不经过候选区域的直线段,粗线代表满足约束条件的候选直线段。
从图1中可见,此操作过程剔除了大量的噪声直线段,而传统算法[2,5]并没有专门地处理此类噪声,必然导致消失点估计错误。
2 哈夫变换
哈夫变换(HT)的主要思想是将图像平面中点和线的坐标与参数空间联系起来[2]。图像空间中的一个点(x,y)对应为参数空间(ρ-φ中的一条正弦曲线,可表示为:
图像中一条直线y=kx+b,它在参数空间(ρ-φ)中对应点的坐标,可表示为:
根据图像空间和参数空间的对应特性,通过将图1中检测到的直线段结构用式(4)映射为参数空间中的点,理论上这些点恰好在消失点所对应的正弦曲线上,可表示为:
式中,(ρj,φj)是第j条直线段在参数空间中的坐标,(xvp,yvp)是估计的消失点的位置。对于大部分属于车道标志线边缘的直线段来说,在参数空间中的映射点(ρj,φj)主要分布在正弦曲线附近,而其余不规律的直线段结构在参数空间中的映射点的位置则没有固定的模式。
3 基于加权LMS算法的消失点估计
为了尽可能地消除噪声对式(5)中消失点解的影响,通常使用最小中值二乘法(LMS)[7]代替最小二乘法(LS)解式(5),其LMS算法可表示为:
当候选直线段大多数属于车道线边缘的直线段时,LMS算法都能正确地估计消失点的位置。但当噪声直线段的数目总和占多数时,LMS算法失效[4],造成了错误的消失点估计。一种加权的LMS算法可以改善上述问题,其算法表示为:
式中是由直线段长度num_k决定的权值。加权的LMS算法的实质是在参数空间中恢复由哈夫变换损失的直线段长度,并将其作为LMS算法的权值。由于长的直线段很有可能属于车道线边缘,所以算法充分考虑了车道线边缘对消失点的影响。
4 实验结果与分析
将图1中候选直线段经过哈夫变换式(4)变换到参数空间中的点,如图2所示。图中,细正弦曲线(传统LMS算法)经过所有点的中心位置,而粗正弦曲线(加权LMS算法)则经过了5个权重最大的点中的4个点,其中第5个点对应图像空间中的一条噪声直线段。
图3为参数空间对应图像空间的消失点估计结果。图中,粗直线段代表5条权重最大的候选直线段,传统LMS算法(‘★’)因为噪声直线段占多数而失效,而加权LMS算法(‘+’)正确地估计了消失点的位置。加权LMS算法结合了直线段在图像空间的长度信息和在参数空间下的位置信息,在参数空间中恢复了图像中直线段的长度信息,所以正确地估计了消失点的位置。
为了验证算法的可靠性,选用了多种复杂道路场景图片进行实验测试,结果如图4所示。图中,候选直线段约束已经过滤了大量属于噪声直线段,粗直线段代表5条权重最大的候选直线段,‘+’代表该文算法估计的消失点的位置。可以看出,在多种复杂场景中(道路行人场景、道路标志场景、道路分支场景、摄像机低分辨率高速运动等场景),该文算法都可以较准确地估计消失点的位置。
5 结语
该文提出了一种基于直线段哈夫变换估计道路消失点的方法,通过引入直线段候选区域约束和加权LMS算法增加了消失点估计算法的鲁棒性。主要优点有:(1)利用先验信息分析消失点的区域,将大量噪声直线段剔除,只使用可能经过消失点区域的直线段估计消失点。这样操作不仅节约了后续算法的计算量,同时也降低了消失点估计错误的概率。(2)加权LMS算法在参数空间中恢复了直线段的长度信息,不仅提高了传统LMS算法的精度,而且具有更强的抗噪声能力,在多种复杂情况的路面上都能正确地估计消失点位置。
参考文献
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[2]Jian Wu.An Improved Hough Method for Vanishing Point Estimation and Its Application in Road Image[J].2010 Second International Conference on Future Computer and Communication,2010:295-298.
[3]覃勋辉,马戎,付维平,等.一种基于梯度的直线段检测算法[J].光子学报,2012(2):205-209.
[4]R.Hartley,A.Zisserman.Multiple View Geometry in Computer Vision[M].Cambridge University Press,Cambridge,UK,second edition,2004.
[5]Liu Huajun.“A Fast Method for Vanishing Point Estimation and Tracking and Its Application in Road Images,”ITS Telecommunications Proceedings[Z].2006 6th International Conference on,2006:106-109.
[6]S.T.Barnard.Interpreting perspective images[J].Artificial Intelligence,1983:435-426.
点估计法 篇5
随着电力系统规模的日益庞大，系统的不确定性也逐渐增加[1]。不确定性的存在使得电力系统的规划和运行控制都面临着各种风险，在电力系统的安全稳定运行方面引起的弊端尤为显著。当前特高压交直流输电技术的迅速发展促进了全国电网的互联[2]，不确定性因素影响的范围更加广泛，产生的危害也更加严重。电力系统的不确定性主要表现在系统潮流的不确定性、发电机组及线路等电力元件运行状态的不确定性、风电等可再生能源出力的不确定性等。其中，由于电力元件运行状态以及可再生能源出力的不确定性会直接或间接地反映在系统潮流中，故对系统潮流的不确定性进行分析成为当前电力系统不确定性研究的基础与重点。
针对系统潮流的不确定性，概率性的求解方法可较好地适应这一需求，当前这类方法主要可以归为模拟法、理论分析法和近似法3类。以基于简单随机采样的蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation,MCS）法[3]为代表的模拟方法计算精度最高，但在计算时间方面消耗巨大[4]，因此在系统规模较大的情况下该方法几乎不适用；但作为一种算法准确度的验证标准，蒙特卡洛模拟法的作用已得到公认。之后有学者提出改进的基于拉丁超立方采样的蒙特卡洛法[5,6]，在一定程度上降低了采样次数，但并未从根本上解决模拟法因保证计算精度而需要进行大量采样的问题。另一方面，以采用快速傅里叶变换[7]和半不变量方法[8,9]为代表的理论计算方法，凭借其较好的理论基础，在计算时可获得较高的效率，但会引入较大的误差，且半不变量法难以处理注入变量非正态分布尤其是离散度很大时的不确定性问题。
相比之下，在诸多近似法中，最早由Rosenblueth[10]提出的点估计法（point estimate method,PEM），由于其对注入量的分布类型没有限制且计算效率上较模拟法有极大提高，故成为工程应用上一种较实用的方法。在电力系统领域，点估计法也逐渐被用来研究与随机变量相关联的不确定潮流问题[11,12,13]。在这些应用中，点估计法基本仍以Hong[14]提出的两点或三点形式为主，但随着当前可再生能源的多点接入，随机注入量分布的非正态性凸显，该传统点估计法的计算精度会因此受到影响。由于点估计法的精度与取点数关系密切，提高点估计法精度的最根本办法是增加估计点的数目，文献[15]指出Rosenblueth的点估计理论在本质上与Gauss-Hermite的数值积分一致，这也为多点估计方法的应用提供了理论基础。文献[16]在文献[17]的研究基础上，提出一种多点估计法用于不确定性潮流计算，有效地提高了计算精度，但其在估计点选取时采用了Rosenblatt变换，该变换要求较高，需要知道输入随机变量完整的联合概率密度函数。而当随机变量的边际概率分布函数和相关系数矩阵已知时，可采用Nataf变换[18,19]来替代Rosenblatt变换进行概率建模。Nataf变换作为一种空间转换方法，在电力系统领域已有一些研究，文献[20]采用Nataf变换来获取不同风电场之间具有相关性的风速分布样本，进而分析风电场相关性对最优潮流的影响，文献[21]则将Nataf变换与拉丁超立方采样结合来研究不确定性潮流问题，而在其他领域，Nataf变换与点估计法的结合[22]也用来研究边坡稳定可靠度的相关问题[23]。
本文研究了Nataf变换以及Gauss-Hermite积分与点估计之间的关系，以Gauss-Hermite数值积分为基础，将Nataf变换的空间转换过程与点估计法结合，从而提出了一种改进的多点估计法。同时本文考虑了风力发电机、常规发电机出力的波动性，以及服从不同类型分布的负荷随机性，使得在电网中存在大量非正态分布和离散分布的随机变量的情景下，计算精度较传统点估计法得以有效提高。
1 基于Nataf变换的多点估计算法研究思路
1.1 Nataf变换的基本思想
Nataf变换建立的是一个实现空间转换的数学模型，可以完成从原始变量空间到独立标准正态空间的转换。设服从任意分布类型的相关非正态随机向量：
式中：m为随机变量的个数；xi(i=1,2，…，m）的概率密度函数和累积分布函数已知。
标准正态随机向量Y=[y1,y2，…，ym]可通过式（2）表征的等概率转换原则[18,19]引入：
式中：i=1,2，…，m;Fi(xi）为xi的累积分布函数；Ψ（·）和Ψ-1（·）分别为标准正态累积分布函数和逆累积分布函数。
根据隐函数的求导法则，易推导出关于X的联合概率密度函数：
式中：f(xi）为xi的概率密度函数；Y为对应于期望值为0、标准差为1及相关系数为ρ0的m维标准正态分布。
设ρ为输入随机向量X的相关系数矩阵，ρ0为标准正态随机向量Y的相关系数矩阵，则根据相关系数的定义及式（3）和式（4），可得到相关系数矩阵中各元素的计算公式：
式中：ρ0ij为ρ0中的元素；xi和xj由式（2）可分别转化为Fi-1（Ψ（yi））和Fj-1（Ψ（yj））。
由式（5）所建立的ρ与ρ0的映射关系可知，在获得ρ和输入随机变量xi的边缘概率密度函数后，可通过式（5）求解非线性方程来确定ρ0。又由于ρ0是一对称矩阵，通过式（6）可对其进行Choleskey分解：
式中：L0为ρ0经Choleskey分解后得到的下三角阵。
利用L0并根据式（7），可将相关的标准正态随机向量Y转换为独立的标准正态随机向量V:
同样由Nataf变换的过程，根据式（8）和式（9）也可以得到其对应的逆变换。
Nataf的正变换和逆变换所完成的空间转换过程如图1所示。而本文所采用的多点估计法正是通过Nataf逆变换的过程来获取在原始变量空间的估计点。由式（8）和式（9）可将Nataf逆变换的过程写成：
式中：N-1（·）表示Nataf逆变换。
1.2 基于Nataf变换的单变量多点估计法
对于一个单变量响应函数Z=Z(x），首先由Gauss-Hermite积分的要求，在独立标准正态空间上进行多点的选取。由于此空间上的积分点和权重系数可通过查表的方式获取，故不需要进行单独计算。以3点、5点和7点为例，表1列出了其对应的积分点和权重系数。表中：vj为第j个积分点；Pj为第j个积分节点所对应的权重系数。
根据式（10）可将响应函数Z表示为：
响应函数Z统计矩的积分满足式（12）至式（14)[22]，由Gauss-Hermite积分公式可将式（12）至式（14）转化成式（15）至式（17）来求解响应函数Z的统计信息：
式中：μZ，σZ，αkZ分别为Z(x）的期望值、标准差和k阶中心矩；n为Gauss-Hermite积分中所选取的节点数。
1.3 基于Nataf变换的多变量多点估计法
式（15）至式（17）针对的是单变量下的点估计算法，而在实际的工程应用中，常遇到多变量的响应问题，即响应函数Z是多个输入随机变量X=[x1,x2，…，xm]的函数，故针对多变量的多点估计法更具实用价值。多变量函数所对应的点估计法可通过单变量函数的点估计法进行扩展。在该情形下，若采用直接计算，每个变量取n个估计点，则m个随机变量共构成了nm种组合，进而响应函数Z将进行nm次计算，计算量将会随着随机变量数目的增长呈现指数增长趋势。针对该问题，本文采用文献[17]提出的逼近方法来进行简化计算。
式中：ZΣ为含多变量的响应函数；Zμ=Z（μ1，μ2，…，μm）为响应函数在所有随机变量均取为期望值时的响应值；Zi为第i个随机变量xi的函数，而除xi外其余随机变量均取期望值，即Zi=Z（μ1，μ2，…，xi，…，μm），此时Zi可视为仅关于xi的单变量响应函数，根据式（11）可将Zi表示为
从而由式（15）至式（17）可以得到对应的关于Zi的期望值、标准差和k阶中心矩。
在获取Zi的统计信息后，即可进一步根据式（20）至式（22）将单变量响应函数的点估计方法扩展到多变量响应函数上：
式中：为多变量函数Z的统计矩。该逼近方法估计点数为nm，对应计算量为nm次，但其中有n次是在各变量均取期望值时进行计算，故实际计算可降至（n-1)m+1次。
2 基于Nataf变换的不确定性潮流多点估计算法实现
2.1 不确定性潮流建模
设某电网有s个节点、b条支路，并且其中有p个PQ节点、q个PV节点、1个平衡节点。采用极坐标形式时，对应的系统潮流方程为：
式中：Pi和Qi分别为节点i处的注入有功功率和注入无功功率；θij为节点i与节点j之间的相角差；Ui为节点i的电压幅值；Gij和Bij分别为导纳矩阵各元素的实部与虚部；Pij和Qij分别为连接节点i与节点j线路的有功功率和无功功率；tij为支路的非标准变比；Yij0为支路对地导纳。
对式（23）和式（24）进行简化，可得到式（25）和式（26）的形式：
式中：X=[P1,P2，…，Ps-1,Q1,Q2，…，Qp]为节点注入向量，由节点注入有功功率Pi和节点注入无功功率Qi构成；Z为任一支路的有功或无功功率；g（·）和h（·）分别为节点功率和支路功率关于节点电压的表达式。
根据式（25）可以得到节点电压U与节点注入量X的关系：
进而根据式（26）得到：
即支路潮流可表征为关于多变量xi的响应函数，式中m表示注入随机变量的个数，可根据实际情况确定。如在含有p个PQ节点、q个PV节点的网络中，当注入有功和无功功率均作为随机变量考虑时，m=2p+q。
2.2 不确定性潮流的多点估计法实现步骤
由式（28）可知，支路潮流表征为多变量xi的响应函数后，即可根据多变量下的多点估计算法来进行计算。算法步骤如下。
步骤1：获取m维注入随机变量X的信息。
步骤2：选择多点估计法中每个变量的估计点数n，对应于3点、5点及7点估计法时n分别为3,5,7。
步骤3：根据表1中列出的Gauss-Hermite积分点和权重系数，得到在独立标准正态空间V～上的多个估计点vi,j和Pj，其中i=1,2，…，m;j=1,2，…，n。
步骤4：由Nataf逆变换得到vi,j在原始变量空间X～上的映射xi,j。
步骤5：在每个估计点xi,j处进行确定性潮流计算，并根据式（15）至式（17）得到单个随机变量下的μZi和σZi。
步骤6：根据式（20）至式（22）的逼近方法得到多变量响应函数下的期望值μZΣ和σZΣ。
3 算例分析
3.1 计算网络随机性参数设定
为验证基于Nataf变换的多点估计法的准确性，本文采用MATLAB语言，在Windows环境下对IEEE 14节点系统算例进行了测试。该系统拓扑结构如图2所示，共有20条线路，其中节点1和节点2上接有发电机。节点1为平衡节点，节点10和节点14上接入风电机组，并假定各节点注入量相互独立。
该系统中常规发电机出力假定为二项分布，随机特性见附录A表A1。单台风电机组的额定出力设为1.5MW，节点10和节点14上各接有10台风电机组，风电机组参数设定见文献[24]，风速统计模型则采用双参数Weibull分布，其中尺度参数c取为10m/s，形状参数k取为2。负荷节点方面除节点9服从附录A表A2所示的离散分布外，其余负荷节点均服从附录A表A3所示的正态分布。
3.2 计算标准选取
本文以蒙特卡洛模拟法的计算结果作为比较标准，分别将传统的3点估计法和改进的多点估计法进行比较分析。为直观比较各方法的计算精度，根据式（29）定义了相对误差指标：
式中：RMCS和RPEM分别为蒙特卡洛模拟法和各点估计法的计算结果。
为得到精确的比较标准，首先采用蒙特卡洛模拟法对该系统分别进行5 000,10 000,50 000,60 000,70 000次仿真。附录B中列出了蒙特卡洛模拟法各仿真次数下部分具有代表性的计算值。
通过对蒙特卡洛模拟法的灵敏度分析可知，当进行60 000次仿真时其精度已合适，继续增加仿真次数后其计算结果的精度没有太大提高，故选取仿真60 000次的蒙特卡洛模拟法计算结果作为传统3点估计法及改进多点估计法的评价标准。
3.3 计算结果分析
表2和表3分别列出了本文提出的基于Nataf变换和Gauss-Hermite积分技术的3点估计法（N3PEM）、5点估计法（N5PEM）、7点估计法（N7PEM），蒙特卡洛模拟法和传统的3点估计法（3PEM）这5种方法下，部分支路潮流有功和无功功率的计算值。由于各方法下节点电压幅值的差异极小，故在表4中只列出部分节点电压相角的计算值。
根据计算结果进行分析可知，在电压幅值和相角以及支路有功和无功功率的期望值求取上，4种点估计法的计算结果基本一致，且与蒙特卡洛模拟法的计算标准相比也非常接近。但在标准差的求取上，4种点估计法下节点电压幅值和相角，以及支路有功和无功功率的标准差仍有较大差异。为方便比较各方法的计算精度，表5中列出了几种方法下各标准差计算值与蒙特卡洛模拟法计算标准的最大相对误差。
从表5中的计算结果可以清晰地看到，本文所提出的基于Nataf变换和Gauss-Hermite积分技术的点估计法计算精度较传统的点估计法更高，且随着估计点数的增多，各指标的计算值精度整体上有所提升，特别是在支路有功和无功功率标准差的计算值上，多点估计法与蒙特卡洛模拟法的最大相对误差控制得很好。
另一方面，蒙特卡洛模拟法（60 000次）的计算时间为778.10s，而改进的3点估计法、5点估计法及7点估计法的计算时间分别为0.66,0.96,1.65s，与蒙特卡洛模拟法相比，计算效率优势明显，且与传统3点估计法的计算时间0.23s相比，改进多点估计法增加的计算时间也完全可以接受。
4 结语
本文提出一种改进的多点估计法来研究不确定性潮流问题。首先建立了不确定性潮流的计算模型，将潮流的不确定性问题转化为一个求解多变量响应函数的问题；然后根据Gauss-Hermite积分技术选择对应的在标准正态空间分布的估计点和权重，并通过Nataf逆变换实现空间转换得到原始空间的估计点；最后根据转换后的估计点和权重得到支路有功功率和无功功率的估计信息。
含多点接入可再生能源的算例分析结果表明：与传统的点估计法相比，本文算法可获得更高的精度，特别是在系统中存在大量非正态分布和离散分布的随机变量情况下，计算结果的精度会随着选取估计点数的增加而提高。因此，本文提出的基于Nataf变换和Gauss-Hermite积分的多点估计法对于考虑负荷、发电机出力波动，以及可再生能源的多点接入等因素后的不确定性潮流研究具有一定的实用价值。本文中注入随机变量是在假定为相互独立的前提下考虑的，而在实际电网运行中，电源与电源以及电源与负荷之间存在一定的相关性，故下一步将针对这一问题进行深入研究。
点估计法 篇6
对于电力系统的谐波治理,首先需要解决谐波检测问题。现有的谐波电流检测方法主要有带阻选频法、Fryze时域分析法、基于快速傅里叶分析法、基于瞬时无功理论方法、基于小波理论方法等,它们都是通过一定的方法获得谐波和基波无功的信息,以此作为参考来控制有源电力滤波器的输出。虽然这些方法在性能和效率方面各有千秋,但都存在着难以克服的问题:检测系统是开环的、固定频率的,对元件参数和电网频率变化比较敏感;检测精度不高,特别是没有自适应能力,不能较好地跟踪检测[1,2,3,4]。而如今采用较多的基于瞬时无功功率谐波检测方法可用模拟电路实现,实时性较好,但电路复杂,需采用大量乘法器,计算量大,矢量变换复杂,低通滤波算法的设计直接影响有源电力滤波器谐波补偿性能[5,6,7,8]。另外,现有的检测算法也很少考虑实际中基波电流波动对谐波电流检测的影响,以及在配电网中的发电机出力、负荷及系统结构变化会导致被测电压信号初相角发生突变和频率偏差等情况,为此根据参考谐波电流信号获取过程实时性、准确性的要求以及处理器部分希望检测算法具有计算量小、容易实现的特点,同时结合应用于谐波有效治理的注入式有源电力滤波器的结构与工作原理,本文提出了一种基于改进扩展Prony谱估计法的自适应频率跟踪电流分频检测方法,不仅在频率变化和基波电流突变的情况下能迅速、准确地求取出其中的待检测成分,而且还能应用于单次谐波的快速检测中,这一点对于控制设计中用到的分频控制是非常重要的,该检测算法采用数字信号处理器和高速接口器件,通过简单的软件程序来实现,误差小,实时性强,满足实际应用需要。
1 基于改进扩展Prony谱估计法的跟踪电流检测法
1.1 扩展Prony谱估计法
目前,大部分谐波检测方法是在负载变化一个周期后检测出谐波,而基于扩展Prony谱估计法的谐波电流检测能使谐波检测时间小于一个周期[9,10,11]。该方法利用具有幅值、相位和频率的N个指数组合来逼近一个等间隔长度为L的采样数据序列,而且基波的有功分量与电压波形同相,因此具有以下优点:仅需求解幅值,计算量很小;在一定程度上实现了在小于一个基波周期的时间内跟踪负载的变化情况。
根据上述把实际电力系统的非正弦周期波表达为一组以采样序号n为自变量的等间隔离散数字序列,因此根据扩展Prony谱估计法把负载电流用具有幅值Bk、相位θk和频率fk的N个指数组合来逼近一等间隔长度为L的采样数据序列in,in的近似值为
其中,ΔT=T/N,ωk=2πfk,ak=Bkejθk。
fk可以是任意的,不需要与基波成整数倍关系,因此该方法还可以检测非整数次谐波。根据企业的实际要求,本系统暂不考虑此种情况,所提到的fk是与基波成整数倍关系的。
将上式表示为矩阵形式:
这是一个非线性方程组问题,求解困难,一般情况下,如果已知电力系统谐波电流的频率,即fk是确定的,X就应变成一个常系数矩阵,于是就有
其中,E为一个n维零向量。
在应用中将测得的连续信号用等时间间隔的离散信号来代替,采样时间间隔与线性方程组的冗余度有关,同时考虑到谐波频率分辨率的问题,在满足Nyquist采样频率下,通常根据经验选取一个适中的值,只要满足N>2P(P为有效秩)就可。在知道谐波个数m的情况下,P=2 m;如不知m,就P取大点,采用奇异值分解法来求得其有效秩P,这就是谐波状态估计问题。但在有源电力滤波器的实际应用中,当需要补偿全部次数的谐波时,实际计算时只需要计算出基波,然后从被检测信号中减去该基波分量就可以得到全部的谐波分量;当只需要补偿几个特定次数的谐波时,因为在一般三相电网中,谐波主要有2、3、5、7、11、13次,而高次谐波幅值很小,可不考虑,所以m一般很小,也不需要采样整个周期的信号,而只需要按上述方法计算出所需的几次谐波即可。
但实际上电网电压的频率会缓慢变化,式(3)在数学上是非共性的,即不能使向量E的每个部分都为零,如果不考虑这点,谐波电流检测结果肯定会有较大偏差。针对这种情况,本文提出采用自适应调整算法中的最小均方LMS(Least Mean Square)算法在线优化扩展Prony谱估计法中电导矩阵的频率fk,求出在该条件下最佳的解。
1.2 改进扩展Prony谱估计法的跟踪电流检测
自适应频率跟踪的电流分频检测原理框图如图1所示。图中,i(n)为期望输出,为自适应调整计算结果,e(n)为期望输出与自适应调整计算结果之间的误差。
由式(1),并考虑系数的优化,有
其中,XN(n)=[x1(n),x2(n),…,xm(n)]n×m为电导矩阵,ANT(n)=[a1(n),a2(n),…,am(n)]1×m为电流向量。
e2(n)为随时序n而变的平方误差。定义ε(n)为e2(n)的期望值(集平均),即均方误差(MSE):
基于LMS准则的自适应算法就是求出一组xk(k=1,2,…,m),使得ε(n)最小。为了做到这点,可由微分置0法得到N个方程并解,即可求得其解:
其中,pN为i(n)和AN(n)的互相关量,是一个时变向量;RNN为AN(n)的自相关阵。
这就是著名的Wiener最优解,求解使MSE最小对应的XN可直接用式(7),但是,当N较大时,计算量较大,且含矩阵的求逆运算,计算欠准确,实用时常用递推求解方法,如最陡梯度法:
其中,μ为常数,它的大小影响每次迭代在最陡方向行进的长度。可证明,只要μ取值适当,经过迭代,从任何初始XN(0)起总能收敛至最优解X N[12,13],即
采用最陡梯度法迭代计算使MSE最小的最优系数向量XN*时,仍需先计算出自相关函数RNN的估计值和互相关函数pN的估计值,其含有复杂的矩阵运算,因此很少直接使用最陡梯度法。
为进一步减少求解XN*每次迭代所需计算量,Widrow提出一种有效的近似及简化方法,将E{e(n)×AN(n)}的估计值近似为其瞬时值e(n)AN(n),即令
并导出了最陡梯度法的近似实现:
这就是著名的Widrow-Hoff LMS算法(以下简称为LMS算法)。总结基于LMS算法的滤波器系数滚动优化计算步骤如下:
a.根据具体应用对象,初始化XN(0)、μ;
b.计算e(n)=i(n)-XNT(n+1)AN(n+1);
c.计算XN(n+1)=XN(n)+2μe(n)AN(n)。
至此一次滚动优化计算完成,新的迭代计算周期到来时,返回b,开始新的滚动优化计算。显然,LMS算法码元间的计算量较小,仅需(2 N+1)次乘法和2 N次加法运算,所需的存储量也小。
最陡梯度法需要知道输入数据x(n)及i(n)的二阶统计特性,并且要求这些数据信号是平稳的。LMS算法是在最陡梯度法的基础上引入适当的近似后推导出的,从这里可以看出LMS算法的次优性,但这样做的优点是:LMS算法应用的是瞬时数据,不要求这些数据信号一定是平稳的。虽说LMS算法的迭代解HN在最小均方差意义下不是最优的,但是在H∞意义下,LMS算法是最优的,这也说明了它与最陡梯度法的一致性。
基于LMS准则的自适应算法的收敛速度和μ有关,快的收敛速度要求有较大的μ值,而μ值过大又影响算法的收敛性,即算法的稳定性,因而在实际应用中,应对μ值进行折中考虑。
式(6)中的E{i2(n)}、E{i(n)AN(n)}、E{AN(n)ANT(n)}是要从输入数据a(n)及i(n)估出的,均方误差ε显然是权值的函数,故可以以XN面为底面,以ε为高度画出各点(XN,ε)组成的ε面。N=2时的ε面如图2所示。可证明ε面呈现为下凹的碗状,有一个极小值点(碗底),此点对应的XN即为最优解XN*,其对应的ε值即为所能达到的最小均方误差εmin。
最陡梯度法的推导思想是,设想在ε面(碗内面)的某一点(XN(0),ε(0))放一个小球,则该小球将在每一位置都循着ε面的最陡下降方向前进,直到ε面的底部。ε面上各点的最陡下降方向为该点的负梯度方向。那么,小球从点(XN(n-1),ε(n-1))步进到点(XN(n),ε(n))的向量方程为
其中,μ为每次迭代在最陡方向行进的长度,式(8)中的μ就是由此处推导出来的;δ为MSE相应的改变量;▽H[ε(n-1)]为点(XN(n-1),ε(n-1))的梯度,可由该点处ε面的方向微分求出:
可见,步长参数μ决定了算法达到最优解XN*的收敛速度,μ值大,收敛速度快,但是μ值过大,算法变得不稳定,会出现振荡现象。
其中,λmax为输入信号自相关阵RNN的特征根λi(i=1,2,…,N)中的最大值,当RNN确定后,λi和λmax也随之确定。
由文献[14]可证明只要μ值满足式(14),ε面上的任一点(XN(0),ε(0))通过最陡梯度算法逐次迭代,最终都会收敛到点(XN*,εmin)。
因此根据式(11)确定fk后,X就变成一个常系数矩阵,谐波的幅值和相位就很容易通过软件程序来实现,当用实际采样的电流来计算时,可以求出在该条件下的最佳向量A。当A存在时,由于电流采样序列为实数,因此实际应用采用余弦序列组合而不是复指数组合,即
因为cos x=(ejx+e-jx)/2,可得:
其中,,可以求出基波和各次谐波的幅值和相位。
这对于在控制器设计中用到的分频控制非常重要,之所以进行分频控制,首先并联的有源部分或者直接与一条或几条无源滤波支路相连,或者在电路中还并联其他无源支路以改善滤波效果并兼作无功补偿,这样就没有必要对某些次数的谐波进行控制,也易造成补偿容量浪费并降低无源支路的滤波效果;其次在补偿谐波注入电网的过程中各次谐波的幅值变化和相位偏移都各不相同,也需要分频进行考虑[14,15,16]。
2 检测算法仿真与分析
利用Matlab软件对基于改进扩展Prony谱估计法的自适应频率跟踪的电流分频检测进行仿真分析。
2.1 仿真与分析1
选取信号为i(t)=4 sinω0t+3 sin(3ω0t+π/3),假设需要分离出基波和3次谐波,设检测系统采样频率为400 Hz,采样点数为64点,下面是具体过程。
a.根据自适应频率跟踪算法中公式得出此时电网电压频率为50 Hz,再计算出矩阵X;
b.根据矩阵X可以得到(XH X)-1 XH;
c.在信号中只要取最初6个点形成向量I,相比FFT减少了采样点数,提高了运算速度,于是可以求得向量A为
根据式(17)可以确定,基波的初始相位是90°,幅值是4 A;3次谐波的初始相位60°,幅值是3 A。实际上在频率分辨率相同和满足Nyquist采样率情况下,该算法相对于FFT算法采样点数要少(FFT采样点数要满足N>fs/(Δf)),而该算法只要满足N>2 P的适中值,两者对比见表1、2。
2.2 仿真与分析2
进一步考虑频率变化和负载基波电流突变的情况,假定在0.2 s时,电网电压频率从50 Hz突变到51 Hz,谐波电流成分不变,输入电流信号中不含无功电流成分,且输入电流信号中各次谐波电流的成分稳定,仿真过程从0 s开始时有一些信号误差,那是由于Matlab软件对仿真过程进行初始化造成的,等到仿真过程稳定以后,这些由仿真软件自身造成的仿真误差就会消失。整个过程的仿真结果如图3所示。输入信号为
对于负载基波电流突变情况,同样假定在0.2 s时,负载基波电流的幅值从2 A突变到4 A,谐波电流成分不变,则整个过程的仿真结果如图4所示。
从图3和图4的仿真实验结果可以看出,在频率发生变化或负载电流发生突变的情况下,基于自适应频率跟踪的电流分频检测法依然能够在一个工频周期以内准确地跟踪负载电流的变化,误差小,实时性强,完全可以满足工程实际应用的需要;同时电力系统一般都有频率控制装置,在电网频率发生较大变化时能作相应调整,使频率及时回归工频值,因此电力系统的电网频率能基本保持不变。
3 结论
点估计法 篇7
1近年来,随着电力电子技术的广泛应用,电力系统谐波污染日益严重,成为影响电能质量的公害,谐波及间谐波问题已经引起广泛关注[1]。谐波一般指频率为工频(基波频率)整数倍的成分。电力系统分数谐波可分为间谐波(inter-harmonics)和次谐波(sub-harmonics)。间谐波是介于工频谐波之间的频谱分量,次谐波是间谐波的一种特殊形态,是频率低于基波频率的频谱分量。对谐波进行准确的检测和分析是实现谐波治理的前提条件。
谐波信号成分的频率估计一直是一个重要的研究内容。频率估计技术从经典的傅立叶分析开始,先后经历了熵谱法、AR、MA、ARMA等线性模型法以及基于子空间分解的频率估计。在这些方法中,FFT的频谱分析表现出不可替代的优越性[2~4],但由于电网基波频率总是不断波动的,被测信号中除了含有基波和整数次谐波之外还含有非整数次的谐波,因此难以做到同步采样。而且,由于采样时间的限制,运用傅立叶变换仅可以测量到部分整数次谐波分量,而且有些分整数次谐波本身还会给幅频特性和相频特性带来失真现象,这是傅立叶变换用于间谐波测量方面的局限性。但是以谐波信号模型为基础的MUSIC方法从理论上说可以达到无限的精度,但它需要在整个频段进行谱峰搜索,耗时较长,实时性差。本文结合FFT、MUSIC算法的特点,利用FFT算法对电力系统中的间谐波信号的频率进行预估计,缩小搜索范围,再利用MUSIC反复进行频率细化,实现了对间谐波频率的准确估计。
1 MUSIC算法
MUSIC算法是基于特征结构分析的空间谱估计方法,是空间谱估计技术的典型代表,其原理是根据矩阵特征分解的理论,把信息空间分成两个正交的子空间,即信号子空间和噪声子空间。由噪声子空间的矢量正交于信号子空间的矢量的性质,可以估计信号中所包含的频率成分[5~7]。
设时间序列y(n)为带有附加混合色噪声的复正弦信号,即:
式中:αi为复数谐波信号幅值;ωi为待估计信号频率;ϕ为随机初始相位,且在(-π,π)区间内均匀分布;ξ分别为谱密度未知的零均值色噪声,方差为σ2。
对于(M+)1维观测信号矢量y(n),若令:
有(M+1)×(M+1)维相关矩阵:
对矩阵Ry(τ)进行奇异值分解得
式中:V,U分别为Ry(τ)的左右奇异向量构成的酉阵;∑为除(i,i)位置(i=1,2,…,M)是Ry(τ)的奇异值外,其余元素皆为零的矩阵。令:R=E(Ry RyH)=H∑2VH
由此可见,矩阵Ry(τ)的奇异向量V,即为R的特征向量,令V=[V s,V N],从而可由矩阵yR(τ)的奇异值分解获取信号子空间sV和噪声子空间NV,由MUSIC原理构造空间谱为:
从而,根据MUSIC伪谱的谱峰位置就能获取信号各组成分的精确频率,其归一化频率为
2 FFT与MUSIC算法结合的频率估计
FFT算法是在一个信号周期内进行频谱分析的,其表达式为:
式中:x(n)、X(k)分别代表信号的采样序列及其相应的谐波系数;其中,。在实际工作中常常遇到的是非周期序列,它们可能是有限长,也可能是无限长。为了应用式(5)作傅立叶变换,常用矩形窗将其截成N点,然后把这N点序列视为一周期信号的一个周期序列。这样,原始信号x(n)就相当于由x(n)作周期延拓而成,x(n)是x(n)的主值序列;X(k)将是x(n)的傅立叶变换或者是其傅立叶变换的某种程度上的近似。
在MUSIC算法中,数据的行向量信号的N次采样,根据采样定理,在满足fs≥2 fmax的情况下,可以获取该信号的全部频谱。但是,由于利用式(1)给出的随机过程无法准确获取信号的周期,对N次采样直接进行FFT变换只能获取信号频谱的近似值。证明如下:
设在进行MUSIC分析时,某一信号的采样数据长度为N0,数据序列为x(n)。如果在一个信号周期内的采样数据为N0,必有N=(r+m)N0,其中,m是非负整数,0≤r<1。根据信号的周期性有:x(n)=x(n+N0)则使用长度为N的数据做FFT,频谱为:
式中第二部分可以看成是被窗截断后补零形成的N0点数据的DFT,存在一定的泄漏;m X(k)是信号的精确频谱。因此,式中包含了周期信号的频谱及由泄漏引起的伪谱[8]。
另一方面,式(1)中,第k条谱线对应的频率(这里用归一化频率表示)为
式(6)的第(r+m)k条谱线的频率由下式给出
由以上可知,对任意信号长度数据序列,都可以通过直接FFT变换获取其相应频率的近似值。
MUSIC算法是在整个频域内搜索获取信号精确频谱的,利用式(6)和(8),可以获取信号频率的粗粒度估计(信号频谱的获取利用了FFT算法对噪声的不敏感性),真实频率就在很小的领域内;可见,如果只在这个很狭小的区域内搜索,无疑会大大缩短搜索过程。虽然通过式(6)获取的频谱中包含了伪谱,这些伪谱在一定程度上扩大了搜索域,但并不影响整个算法性能的大幅度提高。
3 仿真分析
电网电压、电流信号中谐波、间谐波分量的幅值一般为基波分量幅值的百分之几或更小。对其进行非同步采样时,基波分量的频谱泄漏将严重影响邻近的间谐波以及2次、3次等谐波分量的频谱,导致谐波测量产生很大的误差。若相邻谐波、间谐波的幅值相差太大,幅值大的频率分量有可能淹没幅值小的频率分量信号[9,10]。
本文采用的仿真信号来自于文献[11],有某电力系统谐波为:
式中:f1,f2,f3,f4,f5,f6频率依次是25 Hz、35.85 Hz、50 Hz、86.6 Hz、100 Hz、150 Hz,其中50 Hz是系统基频分量;100 Hz、150 Hz是2、3次高频谐波分量;86.6 Hz为非线性元件产生的间谐波分量;25 Hz、35.85 Hz为次谐波分量;w(t)是一噪声信号。采样频率取480 Hz,采用本文的方法进行仿真,结果如下:
由仿真波形可以看出,图1是加噪声后FFT对间谐波的频率进行估计,可以看出在运用FFT分析谐波和间谐波时,间谐波的存在会造成“频谱泄漏”的现象,使得幅频特性图像失真,需要对其中谐波和间谐波的含量做出判断,这由图2的局部放大图可以看出,由于FFT的“泄漏效应”峰值点并不是真实的峰值,但却是最接近真实峰值的一个点,真实峰值应该在两个相邻点之间(35.85 Hz有明显频谱泄漏)。而且间谐波源时时发生变化,采样时间也不能过长。图3采用MUSIC算法,虽然在所估计的频率处有明显的谱峰,但由于其伪谱的存在,使其谱峰大于实际的峰值,要判断其频率要去处伪峰,运算量大;另外,MUSIC算法要在整个频域内搜索,所需时间较长。图4是两种方法的结合,先用FFT缩小搜索频域,对所估计频率确定一个很小的范围,再运用MUSIC法在其小频域内进行频率估计,这样不但提高了频率估计的准确性,还提高了其搜索运行的速度。并且MUSIC法的频谱中的伪谱,在一定程度上扩大了搜索域,并不影响整个算法的提高,由于MUSIC算法中伪谱的存在,虽幅值归一化后仍有误差,但其对间谐波频率估计的准确性,仍有一定的适用范围。如何提高其幅值的检测精度有待进一步的研究。
4 结论
虽然MUSIC方法是现代谱估计的代表,对信号的估计精度、分辨率很高,而且谱估计的稳定性好,但它要在整个频域内搜索,耗时较长,并且由于伪谱的存在,影响了其在实际中的应用;FFT又存在频谱泄漏和栅栏效应,影响其精度。本文将两种算法有机的结合在一起,利用FFT对谐波频率进行预估计,减少搜索区间,再利用MUSIC算法的分辨率高的特性进行频率的精确估计。仿真结果证明了此方法对电力系统中间谐波检测的有效性,结果具有一定的准确度,实际应用有待于实践的检验和完善。
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