系统动力学方程

2024-08-12

系统动力学方程（精选8篇）

系统动力学方程篇1

引言

如何建立力学系统的动力学方程是动力学中最古老且最基本的问题之一.自从17世纪牛顿发现动力学基本定律以来, 经过18, 19世纪欧拉, 达朗贝尔, 拉格朗日, 哈密顿, 高斯等著名数学力学家的努力, 现已发展出多种经典的动力学建模方法, 如动力学普遍方程, 第二类拉格朗日方程[1,2], 哈密尔顿原理, 高斯原理, Kane方程[3]等.这些方法基本上可以分为两类, 一类是典型的分析力学方法, 需要通过计算系统的某种动力学函数而得到系统的动力学方程, 如拉格朗日方程, 哈密尔顿原理;另一类方法虽也源于动力学普遍方程, 但其最终形式具有矢量力学的特点, 如Kane方程等.本文从虚位移形式的动力学普遍方程出发, 针对定常完整约束系统推导出一种用矩阵表示的伪线性形式的动力学方程, 这种方法无需计算系统的动力学函数, 只需写出质点系位置矢径与外力矢量的广义坐标表达式, 即可计算方程中的各系数矩阵, 从而得到系统的动力学方程.相比Kane方法, 本文所提出的方法在处理完整系统时更加简洁方便.

1 动力学方程的推导

假设一受到定常、完整约束的质点系, 其自由度数为N, 质点个数为n (n可为无穷大) , 用广义坐标表示的质点mi的矢径为ri=ri (q1, q2, ···, qN) , 理想约束反力为FNi, 非理想约束反力及主动力为Fi (i=1, 2, ···, n) , 则根据动力学普遍方程有

下面分别对式 (1) 两项进行简化.

首先对惯性力虚功进行简化

其中

将式 (3) 代入式 (2) , 则惯性力虚功简化为

其次对主动力虚功 (含非理想约束反力) 进行简化

其中, 即为对应于广义坐标qj的广义力.

将式 (2) 与式 (8) 代入式 (1) 可得

由于系统为完整系统, 因此其广义虚位移前的各项系数皆应为零, 即

当j从1到N变化时, 式 (10) 可写成如下矩阵形式的动力学方程

其中

显然, 式 (14) 中的Qf也即分析力学中所定义的广义力.注意到方程 (11) 虽然表面看起来是广义坐标的线性微分方程, 但由于其系数矩阵一般并非常数矩阵, 而含有广义坐标参数, 因此该方程是动力学方程的伪线性矩阵形式.

由式 (12) ∼ (14) 可以看出, 动力学方程 (11) 中各系数矩阵中的元素仅与质点系的位置矢径及外力矢量有关, 只要写出位置矢径和外力矢量的广义坐标表达式, 即可代入矩阵进行求导和代数运算得到具体元素的广义坐标表达式, 最后再将所得各系数矩阵代入方程 (11) 即得到系统的动力学方程.同时可以看出, 这种方程不仅形式简洁, 而且计算格式整齐, 矩阵中各元素对广义坐标的求导顺序与矩阵的行列下标一致, 非常适合用计算机代数语言进行实现.对于一个具体系统而言, 只需输入质点系的各广义坐标表达式和外力矢量, 后面的数学方程推导过程则完全可由符号运算程序实现.因此, 这种矩阵形式的动力学方程为复杂系统动力学的计算机辅助建模提供了一种有效的途径, 也为计算动力学软件的开发提供了理论支撑, 因此具有潜在的工程应用价值.

2 算例

为验证本文所得到结果的正确性, 选取以下两个简单力学模型, 采用伪线性形式的动力学方程建立其数学模型.

算例1设铅垂面Oxy内一质量为m的滑块套在一作定轴转动的长度为l的杆上, 物块距离转轴的距离为ρ, 外力偶矩为Tθ, 杆的转角为θ, 不计杆的质量, 如图1所示.试建立其动力学方程.

显然, 系统的广义坐标为q1=ρ, q2=θ, 则质点个数n=1, 系统自由度N=2, 质点位置矢径的广义坐标表达式及其导数分别为

外力矢量则为F1=0-mgT

根据式 (12) ∼ (14) 计算可得

由式 (11) 得到系统的运动微分方程

算例2如果算例1中杆为质量为m1的均质杆, 其相对于转轴O的转动惯量为Jo, 杆的质量为m1, 滑块的质量为m2, 其他条件完全相同, 如图2所示, 试建立该系统的动力学方程.

此时广义坐标仍为q1=ρ和q2=θ, 且N=2, 但此时杆为分布质量体系, 因此n=∞.令r1表示滑块的矢径, ri (i=2, 3, ···) 表示杆上距离转轴为ξi的微元的矢径, 则

外力矢量则为

根据式 (12) ∼ (14) 可得到

由式 (11) 得到系统的运动微分方程

在以上两个例子中, 如果进一步进行运动学分析, 并与所得矩阵形式动力学方程中各项进行比较, 可以发现矩阵形式动力学方程广义坐标二阶导数项包含的是相对惯性力及切向牵连惯性力信息, 而一阶导数项包含的是法向牵连惯性力及柯氏惯性力的信息, 因此伪线性矩阵形式的动力学方程事实上已经将不同性质的惯性力进行了分离, 在某种程度上反应了系统的物理意义.可以断定, 这种物理意义也是具有一定普遍性的, 说明矩阵形式动力学方程虽来源于分析力学方法, 但也体现出某种程度牛顿力学的特点.

3 结论

对定常完整约束系统, 从虚位移形式的动力学普遍方程出发, 推导出一种用矩阵形式表示的动力学方程.这种方程在形式上是线性的, 但由于系数矩阵一般含有系统变量, 因此本质上是非线性系统的伪线性表达式.此外, 这种伪线性形式的方程不需要计算系统的动力学函数, 而仅仅利用质点系位置矢径与外力矢量的广义坐标及即可直接计算方程中的各系数矩阵, 从而得到系统的动力学方程, 为定常完整力学系统的动力学建模提供了一种新的方法.又由于该方程系数矩阵中各元素的表达式格式整齐, 因此也适于用计算机代数语言 (如Maple) 进行程式化推导, 为复杂力学系统的计算机辅助建模提供了一种途径.方程的正确性通过两个算例进行了验证, 所得结果也表明伪线性矩阵形式的动力学方程的二阶导数项与一阶导数项含有不同的惯性力, 即在普遍意义已将系统不同物理意义的惯性力进行了分离, 体现出矩阵形式动力学方程虽来源于分析力学方法, 但也有某种程度牛顿力学的特点.

参考文献

[1]官飞, 李苹, 罗远祥.理论力学 (第4版) .北京:高等教育出版社, 1995

[2]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学 (第7版) .北京:高等教育出版社, 2010

[3]刘延柱.高等动力学.北京:高等教育出版社, 2000

系统动力学方程篇2

【关键词】脉冲泛函动力方程时间标价正周期解

A new existence of periodic positive solutions for impulsive functional

Dynamic equation on time scales

ZHANG Min， HONG Shi-huang， FENG Xia

（Institute of Applied Mathematics and Engineering Computations， Hangzhou Dianzi University， Zhejiang Hangzhou 310018 ， China）

【Abstract】This paper deals with a new existence theorem for periodic solutions to a class of non-autonomous impulsive functional dynamic equation with delays on time scale by employing a fixed point theorem in cones. Use a fixed point therorem to obtain a positive solution.To apply the derivative instead of the general derivative，we can obtain a positive solution.

【Key words】Impulsive functional dynamic equation； Time scale； Periodic solution.

系统动力学方程篇3

关键词：风力发电,齿轮传动系统,动力学模型,固有特性

引言

风电齿轮箱通常为含行星轮系的三级斜齿轮传动系统,是具有大传动比、高动载的增速系统。齿轮箱动力学模型包括扭振模型、扭振-平移多自由度模型、柔性多体动力学模型,Helsen、何玉林等通过理论与实验研究对比并讨论了齿轮箱三种类型模型的准确度和计算效率,指出柔性多体动力学模型能更全面地揭示其耦合振动特性,避免简化数学模型造成频率成分丢失,但模型规模与效率、界面条件是高效准确建模的关键。但这些研究或仅限于对齿轮传动系统的某一部分,或不能完全的反映大型风机齿轮箱系统的振动特性。斜齿轮同时参与啮合的齿对数越多,单对轮齿分担的载荷越少,所以其凭借传动平稳、传递载荷能力强等特点广泛应用。但是,螺旋角过大其轴向力不可忽视,因此斜齿轮动力学系统除具有扭转、横向振动外,还会引起轴向振动,从而形成综合考虑误差激励、时变啮合刚度激励、啮入冲击激励的斜齿轮副啮合型弯-扭-轴耦合振动模型。

本文针对5MW风电齿轮传动系统,对系统弹性变形进行分析,建立平移、扭转六自由度斜齿轮传动系统的动力学分析模型,推导出动力学微分方程;利用该系统的有关参数进行固有特性分析,为齿轮传动系统的动力学响应分析与齿轮箱的设计奠定了基础。

1齿轮传动系统分析模型

图1为风电齿轮传动系统的结构简图,其结构为两级行星轮系+一级平行轴系的传动形式。在图1中,ri表示内齿圈,ci表示行星架,pi表示行星轮,si表示太阳轮(i=1,2);g1为高速级输入齿轮,g2为高速级输出齿轮;Tin为输入,Tout为输出。表1为齿轮传动系统各个齿轮的参数表。

1.1齿轮传动系统的动力学模型

建立系统的动力学模型如图2所示。建立系统模型的关键在于行星传动系统和斜齿轮传动系统,因此,以下内容对行星齿轮传动系统和斜齿轮传动系统的物理模型建模分别进行说明。

图中:kss—连接太阳轮1与太阳轮2轴的扭转刚度;css—连接太阳轮1与太阳轮2轴的阻尼;ks4—连接太阳轮2与斜齿轮4轴的扭转刚度;cs4—连接太阳轮2与斜齿轮4轴的阻尼。

内、外啮合齿轮副在大多数行星传动系统中均存在,而且斜齿轮啮合所产生的轴向推力还会影响斜齿行星传动,所以行星轮系传中的动力学特性非常复杂。因此,建立斜齿行星齿轮系统的动力学模型研究其对动力学特性是非常必要的。建立的行星轮系动力学模型主要考虑太阳轮、行星轮的三个平移自由度、三个转动自由度,共有24个自由度。

设x,y,z,θx,θy,θz依次为系统中构件在各自动坐标系内沿三个坐标轴方向的平移位移和绕三个坐标轴的转动位移,以下标区分不同的构件,忽略系杆和内齿圈的质量。设内齿圈下标为r,太阳轮下标为s,行星轮下标为(i=1,2,3,为行星轮的序号)。以r表示齿轮构件的基圆半径,rp表示行星轮基圆半径,rm表示构件节圆半径。

太阳轮在啮合面与其端面的交线上、及行星轮在基圆切线方向上的等价线位移采用u表示,则有:

(2)平行轴斜齿轮传动动力学模型

图4中,kij为刚度,cij为阻尼,下标j和i分别表示主动轮和从动轮。eij为齿轮i和j啮合副的综合啮合误差;αt′为齿轮i和j啮合副的端面啮合角;

图中,ksx=ksy=ksz,kcnx=kcny=kcnz,ksb=ksu,kcnb=kcnt,其中ksx,ksy,ksz,knx,knz为行星轮与太阳轮的轴向、径向、周向等效支撑刚度,ksn、kcn为行星轮与太阳轮的啮合刚度,ksb、kcnb为行星轮与太阳轮的扭转刚度;kix=kiy=kiz(i=4,5),kiθx=kiθy=kiθz(i=4,5),ki为高速级齿轮等效支撑刚度,kiθ为高速级齿轮扭转刚度,阻尼表述与刚度标注一致;Tin为齿轮系统输入扭矩,Tout为齿轮系统输出扭矩,T′in为第二级行星架输入扭矩;ωc为行星轮架转速;ms,mn,m4,m5分别为太阳轮、行星轮、高速级输入齿轮、高速级输出齿轮质量,Is,In,I4,I5分别为太阳轮、行星轮、高速级输入齿轮、高速级输出齿轮转动惯量。

1.2系统各构建的相对位移分析

1)太阳轮与行星轮沿啮合线方向的相对位移

式中,βb为螺旋角;ψni为行星轮ni(i=1,2,3)的位置相角,ψsni=α′ts+ψni(当i=1时,ψni=0;当i=2时,ψni=120°;当i=3时,ψni=240°。);α′ts为太阳轮和行星轮啮合副的端面啮合角。

2)内齿圈与行星轮沿啮合线方向的相对位移

式中,ern为内齿圈和行星轮啮合副的综合啮合误差;α′rt为内齿圈和行星轮啮合副的啮合角。

3)平行轴斜齿轮系的相对位移分析

斜齿轮4与斜齿轮5沿啮合作用线方向的相对位移

式中:k45、c45—斜齿轮啮合刚度、阻尼;ri、rip(i=4,5)—齿轮基圆、节圆半径;βb′为螺旋角。

1.3系统的动力学微分方程

第一级行星轮系太阳轮:

第一级行星轮系行星轮:

第二级行星轮系太阳轮:

第二级行星轮系行星轮:

高速级斜齿轮4:

高速级齿轮5:

把以上的每个部件的动力学方程组合在一起,就组成了系统的动力学微分方程,简写为:

式中:x为位移向量,它定义为:

θ为齿轮的扭转位移;z为齿轮的轴向位移;x,y为齿轮的径向位移;M、F为系统质量矩阵、外载荷向量;C、K为系统阻尼矩阵、刚度矩阵。

2齿轮传动系统固有特性分析

(1)系统无阻尼自由振动

对于n自由度的振动,系统的自由振动微分方程为:

不考虑阻尼和外部载荷的影响时,变为无阻尼自由振动:

设系统的各质量块做相同频率、相同相位做简谐振动,即:

式中:

φ为振幅列阵;ω为圆频率;t为时间变量;渍为初相位。

将式(14)代入系统自由振动微分方程(16)得:

上式两端左乘得:

化简得:

上述方程有非零解的条件为:

方程(20)为系统的特征方程,对其求解可以确定φ和ω,振动系统的固有频率和振型的求解在数学上就是求解特征值与特征向量。

(2)齿轮传动系统振动特征频率

转速同步频率:

定轴齿轮啮合频率:

行星轮齿轮中,啮合频率采用下式计算:

式中,n为轴转速(r/min),z为齿轮齿数;ωc为行星轮架转速(r/min),zr为齿圈齿数。

(3)齿轮传动系统模态性结果与分析

工程上规定当固有频率落入激振频率的范围内时容易导致振动,该范围称为共振区。通过分析传动系统的固有频率是否落在工作范围的激振频率共振区内,并通过使固有频率避开激振频率共振区,从而提高其动力学性能,降低振动和动载水平。

表4列出了所研究对象风电齿轮传动系统各级传动轴的转速、其转速同步频率以及对应的共振区。表5列出了系统的各级齿轮副啮合频率及其对应的共振区。

本文取其中的前50阶固有频率,表6列出了5MW风电齿轮传动系统的前50阶固有频率,图5-7给出了部分固有频率的振型图。

因为风力发电机叶轮采用三叶片式,并且每片叶片旋转到底端时都对风机进行一次激励。因此,在风机的设计中就要使系统的低阶固有频率避开风轮旋转频率的1倍频率和3倍频率,即0.2Hz和0.6Hz。

从表4~6的3个图表的计算结果中可以看出:

(1)系统的1阶固有频率在转频共振区避开了风轮1倍转频和3倍转频的激振;系统的1倍转频、3倍转频在啮合频率共振区内并未使系统产生有害的振动;5MW风电齿轮传动系统的50阶固有频率中有2对相等的固有频率,这是因为系统中含有3个行星轮的;第3阶固有频率落入了低速级行星轮系的啮合频率共振区,其振动将会比较剧烈。

(2)第7阶固有频率落入了中速级行星轮系的啮合频率共振区,说明中间级齿轮在设计时要考虑齿轮参数的选取,与啮合频率区重叠产生的振动应尽量避免;第3阶固有频率落入了高速级转频共振区;第31~39阶固有频率落入到了高速级啮合频率共振区。5MW风电机组其高速级齿轮由于固有频率落入了啮合频率共振区的频率阶次较多,振动较大。因此,对于给定的高速级齿轮的啮合频率,在设计时可以开展齿轮的模数、齿宽等设计参数优化,使其固有频率避开啮合频率。

图5高速级平行轴齿轮没有振动,两级行星轮系的行星轮轴均振动,而且两级的行星轮系也都振动且各自的行星轮振动状态相同;图6第一级行星轮轮系的各构件都不振动,第二级行星轮轮系和平行轴齿轮均振动,并且行星轮的振动状态相同;图7第一级行星轮系和第二级行星齿轮的行星轮系均有振动;行星轮系的各级行星轮轴均以不同的幅度作纯扭转振动。

3结论

(1)以两级行星轮系一级平行轴斜齿轮传动系统的5MW风电齿轮传动系统为研究对象,建立了系统的平移与扭转6个自由度的动力学模型;

(2)利用相关参数对齿轮传动系统的固有特性与相关激振频率的共振区进行了分析,系统的低阶固有频率主要表现为与转动频率振动区重叠,系统中的高阶固有频率主要表现为中间轴和高速轴轮系的啮频共振;当系统的固有频率与共振区重叠时,将引起系统的共振;

(3)对于5MW风电机组来说,其高速级齿轮由于固有频率存在啮合频率共振区内的频率阶次较多,导致振动较大。因此在设计时,对于高速级齿轮的啮合频率应加以重视,可以从齿轮的模数、齿宽等设计参数进行修改,从而使其固有频率避开啮合频视率。

参考文献

[1]Hansen,M.O.L.,Madsen,H.A.Review Paper on Wind Turbine Aerodynamics.Journal of Fluids Engineering,2011,133(11):114001-012.

[2]Cordle,A.,Kaufer,D.,Vorpahl,F.,et al.Final report for WP4.3:Enhancement of design methods and standards.Garrad Hassan and Partners Ltd,2011.

[3]Jonkman,J.M.Dynamics modeling and loads analysis of an offshore floating wind turbine.NREL,2007.

[4]Struggl,S.,Berbyuk,V.,Johansson,H.Review on wind turbines with focus on drive train system dynamics.Wind Energy,2014.

[5]邱星辉,韩勤锴,褚福磊.风力机行星齿轮传动系统动力学研究综述.机械工程学报,2014,50(11):23-36.

[6]Peeters,J.L.,Vandepitte,D.,Sas,P.Analysis of internal drive train dynamics in a wind turbine.Wind Energy,2006,9(1-2):141-161.

[7]Helsen,J.,Vanhollebeke,F.,Marrant,B.,et al.Multibody modelling of varying complexity for modal behaviour analysis of wind turbine gearboxes.Renewable Energy,2011,36(11):3098-3113.

[8]J·rgensen,M.F.,Pedersen,N.L.,S?rensen,J.N.Comparison and implementation of a rigid and a flexible multibody planetary gearbox model.Modeling,Identification and Control,2014,35(2):59-77.

[9]LaC ava,W.,Xing,Y.,Guo,Y.,et al.Determining wind turbine gearbox model complexity using measurement validation and cost comparison.European Wind Energy Association annual event,2012.

[10]何玉林,黄伟,李成武等.大型风力发电机传动链多柔体动力学建模与仿真分析.机械工程学报,2014,50(01):61-69.

系统动力学方程篇4

飞机在着陆的瞬间,会产生较大的着陆撞击载荷,如何有效地吸收飞机着陆能量并降低着陆撞击载荷,是现代飞机起落架缓冲性能优化设计的关键技术[1,2],其难点是对不同结构形式的起落架模型进行有效的简化,并对起落架模型建立动力学方程。对单轮和两轮支柱式起落架,目前国内有较多的研究[3,4],而对四轮小车架式起落架研究较少,本文以Y8F600飞机四轮小车架式主起落架为研究对象,研究其动力学方程的建立和求解方法。

2 起落架计算简化模型

Y8F600飞机主起落架为四轮小车架式起落架,其起落架可简化为具有8个自由度的运动模型,如图1所示,分别为(1)重心下移Z;(2)内筒下移Y;(3)支柱下端(内筒与车架交点处)变形位移X;(4)车架转动ω;(5)车架前部变形U;(6)车架后部变形V;(7)前轮转动ω1;(8)后轮转动ω2。

图1中:M1为上部质量;M2为内筒质量;M3为车架质量;M4为前轮组件质量;M5为后轮组件质量。

五项之和为单个起落架的当量质量:M=M1+M2+M3+M4+M5。

图1中:S为支柱压缩量;U为车架前部变形;V为车架后部变形;ω为车架转角;α为起落架安装角。

各变量之间存在着以下几何关系。

内筒下移:

式中:ΔR2为后轮胎压缩量。

重心下移:

前轮轴下移:

后轮轴下移:

3 动力学方程组建立

四轮小车架式起落架着陆撞击过程中的力学简化模型如图2所示。

其中:Ps为缓冲器的油液阻尼力和空气弹簧力;Pw,Mw为稳定缓冲器作用的力和力矩。

(1)沿支柱S方向对上部质量M1列方程:

(2)沿支柱S方向对M2、M3、M4、M5列方程:

其中:Py=P1+P2;Px=K(P1+P2),K为摩擦系数;M6=M2+M3;M9=M4+M5+M6。

(3)沿S方向对M1、M2、M3、M4、M5列方程:

(4)沿X方向对M3、M4、M5列方程:

其中:M8=M3+M4+M5。

(5)沿U方向对M4列方程:

(6)沿V方向对M5列方程:

(7)绕小车架交点对M3列方程:

(8)沿车架方向对M4列方程:

(9)沿车架方向对M5列方程:

4 微分方程组求解

将式(8)、(9)中的PU、PV代入式(7)中并令

且设M1与M2有相对移动时M0=0,M1与M2无相对移动时M0=M1。

可将式(2)、(3)合并为:

于是得到以下六个微分方程。

另外根据Y8F600主起落架缓冲器的结构形式,缓冲器上作用的力Ps可统一表示为:

其中:Fa为缓冲器空气弹簧力;Fh为缓冲器油液阻尼力。

由气态方程得:

其中:Va0为空气腔初始容积;γ为空气腔压缩多变指数。

其中:ρh为油液密度;Ah为主油腔有效压油面积;Ad为正、反行程时主油孔有效过流面积;Cd+,Cd-为正、反行程时主油孔流量系数;Ah L为回油腔有效压油面积;Ad+L,AdL为正、反行程时回油孔有效过流面积;Cd+L,CdL为正反行程时回油孔流量系数。

采用降级方法,可将式(11)~(16)这六个微分方程变为十二个一级的微分方程。

连同前轮角加速度,后轮角加速度

以自变量时间T组成十五级微分方程,给出着陆撞击过程的初始条件,对此微分方程可用龙格-库塔法求解。

5 计算结果

应用以上微分方程,通过优化缓冲器油孔尺寸,得到主起落架着陆撞击过程载荷-时间优化曲线,如图3所示。通过优化设计,大大降低了飞机在着陆过程中的最大冲击载荷,其计算结果得到了落震试验的验证。

6 结论

通过对四轮小车架式起落架动力学模型的简化,动力学方程的建立及优化求解,设计出起落架缓冲器的油针截面尺寸,并得到了实际的应用。

摘要：起落架缓冲性能优化设计是现代飞机起落架设计中最关键的一个环节,设计中难点之一就是简化起落架分析模型,建立基于分析模型的动力学微分方程,求出飞机着陆过程中起落架所受的垂直载荷和起转-回弹载荷随时间历程曲线,并对缓冲性能进行优化。以Y8F600飞机四轮小车架式主起落架为例,将其简化成具有8个自由度的运动系统,给该起落架模型系统建立动力学微分方程组,对该微分方程组求解,并通过优化缓冲器的充填参数和油孔尺寸,有效降低飞机着陆冲击载荷。

关键词：起落架,缓冲器,动力学分析

参考文献

[1]牟让科,齐丕骞.起落架缓冲器参数识别与优化设计[J].结构强度研究,1995(4):10-15.

[2]齐丕骞,牟让科.起落架缓冲性能分析、试验、设计一体化技术[J].航空学报,1998,19(3):70-76.

[3]黄振威.飞机设计手册第14分册:起飞着陆系统设计[M].北京:航空工业出版社,2002.

系统动力学方程篇5

区别于传统的将研究对象受力分为主动和约束力的方法,本文将弹性体系的受力划分为内力与外力,由此推出动力学问题求解方程的新形式,推导中动力学方程中的函数具有新的含义,所以新的方程形式也更方便于求解弹性体系的动力学问题。

1 弹性体系的基本方程

设质点系中第i个质点的质量为mi,矢径为ri,作用在该质点上的力分为两部分,第一部分来自于质点系之外即外力,用F $_{i}^{e}$ 表示,第二部分来自于质点系内部的其他质点即内力,用F $_{i}^{i}$ 表示。根据达朗贝尔原理 $F_{i}^{e} + F_{i}^{i} - m_{i} \ddot{r}_{i} = 0$ 。

给予该质点一虚位移δri,则上式改写为:

$(F_{i}^{e} + F_{i}^{i} - m_{i} \ddot{r}_{i}) \cdot δ r_{i} = 0$ 。

对于所有的质点运用该方程,则有:

$\sum_{i = 1}^{n} (F_{i}^{e} + F_{i}^{i} - m_{i} \ddot{r}_{i}) \cdot δ r_{i} = 0$ (1)

考虑如下关系式:

$\frac{d}{d t} (\dot{r}_{i} \cdot δ r_{i}) = \ddot{r}_{i} \cdot δ r_{i} + \dot{r}_{i} \cdot δ \dot{r}_{i} = \ddot{r}_{i} \cdot δ r_{i} + δ (\frac{1}{2} \dot{r}_{i} \cdot \dot{r}_{i})$ 。

即 $\ddot{r}_{i} \cdot δ r_{i} = \frac{d}{d t} (\dot{r}_{i} \cdot δ r_{i}) - δ (\frac{1}{2} \dot{r}_{i} \cdot \dot{r}_{i})$ 。

将mi乘以上式,并求和得:

$\sum_{i = 1}^{n} m_{i} \ddot{r}_{i} \cdot δ r_{i} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \frac{d}{d t} (\dot{r}_{i} \cdot δ r_{i}) - δ Τ$ (2)

外力虚功:

$δ W^{e} = \sum_{i = 1}^{n} F_{i}^{e} \cdot δ r_{i}$ (3)

内力虚功:

$δ W^{i} = \sum_{i = 1}^{n} F_{i}^{i} \cdot δ r_{i}$ (4)

对弹性体系而言,内力虚功为负且转化为虚变形能即:

δWi=-δVε (5)

由式(1)～式(5)得:

$δ W^{e} - δ V_{ε} + δ Τ = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \frac{d}{d t} (\dot{r}_{i} \cdot δ r_{i})$ (6)

将式(6)在时间[t1,t2]内积分,有:

$\begin{array}{l} \int_{t_{1}}^{t_{2}} (δ W^{e} - δ V_{ε} + δ Τ) d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \frac{d}{d t} (\dot{r}_{i} \cdot δ r_{i}) d t \\ = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} r_{i} \cdot δ r_{i} |_{t_{1}}^{t_{2}} 。 \end{array}$

由于δri(t1)=δri(t2)=0,则:

∫ $_{t_{1}}^{t_{2}}$ (δWe-δVε+δT)dt=0 (7)

令S=∫ $_{t_{1}}^{t_{2}}$ (L+We)dt (8)

其中,L=T-Vε。

对于完整系统,考虑到积分和变分可以交换顺序,式(7)变为:

δS=0 (9)

式(9)即为弹性体系的哈密顿原理。

2 弹性体系动力学问题求解方程新形式

设有n个质点组成的系统,其动能为:

$Τ = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \dot{r}_{i} \cdot \dot{r}_{i}$ 。

设质点的矢径是广义坐标q1,q2,…,qN和时间t的函数,即:

ri=ri(q1,q2,…,qN,t) (10)

对式(10)微分得速度向量为:

$\dot{r}_{i} = \sum_{k = 1}^{Ν} \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{k}} \dot{q}_{k} + \frac{\partial r_{i}}{\partial t}$ 。

可将动能写成如下一般形式:

$Τ = Τ (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{Ν}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dots, \dot{q}_{Ν}, t)$ 。

弹性体系应变能为:

$V_{ε} = \int_{Ω} \frac{1}{2} D_{i j k l} ε_{i j} ε_{k l} d Ω$ 。

质点位移可表示为:

u=u(x,y,z);

$ε_{i j} = \frac{1}{2} (u_{i, j} + u_{j, i})$ 。

其中,i,j表示对坐标求导。

由式(10)可知:

xi=xi(q1,q2,…,qN,t);

yi=yi(q1,q2,…,qN,t);

zi=zi(q1,q2,…,qN,t)。

因此可将应变表示为如下一般形式:

ε=ε(q1,q2,…,qN,t)。

故应变能可表示为如下形式:

Vε=Vε(q1,q2,…,qN,t)。

这样,由式(8)有如下关系:

$L = L (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{Ν}, \dot{q}_{1} ‚ \dot{q}_{2} ‚ \dots ‚ \dot{q}_{Ν} ‚ t)$ 。

根据式(10):

上式代入式(3)得:

将式(11),式(12)代入式(9)并进行分部积分可得:

其中利用了

由于虚位移的任意性,故式(13)等价于:

即为弹性体系动力学问题求解方程的新形式。

3结语

1)通过将质点系受力区分为内力与外力,建立了弹性体系动力学问题的有关方程。2)拉格朗日函数由动能与应变能组成,后者属该函数的新含义部分。3)广义力仅与外力有关,外力中含有有势力时,可将外力势能计入拉格朗日函数,此时广义力仅与非有势外力有关。

摘要：将质点受力分为内力与外力,利用质点系的达朗贝尔原理,建立了相应的动力学普遍方程,对于弹性体系,内力虚功等于虚应变能,从而得到弹性体系的哈密顿原理,由此导出了弹性体系动力学问题求解方程的新形式,并赋予了拉格朗日函数新的含义。

关键词：弹性体系,达朗贝尔原理,哈密顿原理,拉格朗日方程

参考文献

[1]钟万勰.应用力学的辛数学方法[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]李宏男.结构振动与控制[M].北京:中国建筑工业出版社,2005.

[3]张雄,王天舒.计算动力学[M].北京:清华大学出版社,2007.

[4]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学(Ⅱ)[M].北京:高等教育出版社,2002.

系统动力学方程篇6

1 充液系统的力学模型

设系统由刚体和液体组成,如图1所示.分别用V'和V表示刚体和液体占据的空间区域,Γw,和Γf分别为湿壁面、非湿壁面和自由液面,液体是连续介质,用Euler方法描述,流场中各质点相对刚体的流速u(r,t)和压强p(r,t)都是位置坐标和时间的函数.为了描述充液系统的运动,我们建立两个坐标系,即惯性坐标系OoXYZ和刚体固连坐标系Oxyz.O相对Oo的矢径为ro,系统内的任意质点ml对Oo的矢径为

其中ρl为ml对O点的矢径.质点ml的速度和加速度为式中ω为刚体的角速度,为刚体的角加速度,,分别为质点ml相对刚体的速度和加速度.对于刚体上的质点,ρl为常数,相对速度和相对加速度均为零.

另外,由牛顿型不可压缩黏性液体的本构关系,液体域内任意点处的应力张量P的分量形式如下

μ为液体动力黏性系数.液体微团上受到的表面力的合力,与该点应力张量及作用面的法向矢量n相关.根据广义Gauss定理,单.位体积流体的表面力的合力为[4]

其中D为液体微团体积.这个合力正是质点ml处单位体积微团所受的液体内力.

2 变分原理结合Lagrange乘子方法建模过程简介

文献[1～3]以变分原理建立系统的动力学方程时,都通过Lagrange乘子将液体的不可压缩条件作为约束引入,各自的形式如下:

Hamilton-Ostrogrdskiy积分变分原理

Jourdain微分变分原理

其中T是系统的动能,Fl为任意质点所受的主动力,u为液体相对刚体的速度,p是Lagrange乘子.该乘子对应的约束是不可压缩条件,这样p与流体的动压强相同,因此动压强可看作系统的约束力[1].显然,这样的分析对充理想液体的情况是合适的,因为理想流体的应力张量各向同性且液体微团的变形与运动无关,即应力张量为

这样微团表面的受力恰好是液体的动压强p在微团表面的积分.

利用Gauss定理计算式(6)和(7)中含Lagrange乘子的积分项,最终可以得到充液刚体的Newton-Euler方程及腔内理想液体的欧拉方程[1,2].

若充液刚体系统中液体是不可压缩的黏性液体,还必须考虑与速度梯度有关的黏性摩擦力[3]

其中.将X作为主动

力写进式(6)或(7)的Fl项中,采用与充理想流体刚体系统的相同的推导方法,就能获得充液刚体的Newton-Euler方程及腔内流体的Navier-Stokes方程.

3 充液系统的动力学方程推导

我们将液体微团看作质点,液体看作质点系.每个质点所受的主动力Fl由外力和内力两部分组成,即Fl=.将Jourdain变分原理写成

将式(2)两边取等时变分,代入式(10),第1项展开为

将式(11)右端最后1项变成刚体区域和液体区域分别求和

式中ρ为液体的密度.将系统的动量记为Q,系统对O点的动量矩记为H,式(11)化简为

由上面的分析知,液体质点除了受到质量力f,还有表面力合力Y,展开式(10)的第2,3项得到

式(14)右端的前两项为系统内力的虚功率,注意到,系统任意点处的内力(包含湿壁面都成对出现,且方向相等大小相反,因此有,.将式(14)右端最后1项变成刚体区域和液体区域分别求和

式(15)第1项是液体的体积力(外力)的虚功率,第2项是自由液面处的面积力(外力)的虚功率,其中po是自由表面处的环境压强.第3项是液体质点ml处微团所受合力Y(内力)的虚功率.将外力主矢、对O点的主矩分别记为F,M,整理式(13)～(15),有

由于,δω,δu均是独立变分,可以导出以下的动力学方程

和自由液面动力学边界条件

其中式(19)是液体的动量方程,若代入式(3)以及牛顿型不可压缩黏性液体的应力张量表达式(4),就得到NavierStokes方程

其中是液体的运动学黏性系数,上式左端第3,4,5项之和,可作为流体计算方程的源项,写到式子的右边.

注意到,如果液体是理想流体,将方程(19)中的应力张量用式(8)代替,就可以得到液体的欧拉方程,相应地,

式(20)为理想流体的自由面动力学边界条件.

4 结论

本文在充液刚体动力学方程推导过程中,用液体应力张量表示质点ml处单位体积微团的表面力合力Y,其中包括单位体积液体微团的流体压强合力以及黏性偏应力张量的合力.在用Jourdain变分原理建立刚-液耦合系统动力学方程的过程中,无需引入Lagrange乘子,而将合力Y统一作为主动力处理,出现在系统内力的虚功率中,物理意义清晰.得到的动力学方程可以退化到理想液体情况.

摘要：针对充黏性液体的刚体，给出了一种应用Jourdain变分原理推导系统动力学方程的方法．将流体微团上所受的表面力合力视为质点系的主动力，出现在系统内力的虚功率中，代入系统的动力学普遍方程，从而获得充液刚体系统的Newton-Euler方程及腔内液体的Navier-Stokes方程．该方法不仅可以导出充黏性液体系统的动力学方程，还可以退化为充理想液体的系统动力学方程．

关键词：充液系统,黏性液体,液体应力张量

参考文献

[1]莫依舍夫HH，鲁苗采夫BB．充液刚体动力学．韩子鹏译．北京：宇航出版社，1992．1～26

[2]王照林，刘延柱．充液系统动力学．北京：科学出版社，2002．1～24

[3]刘延柱．刚体动力学理论与应用．上海：上海交通大学出版社，2006．181～183

系统动力学方程篇7

关键词：聚丝素肽,乙醇,零流电位,动力学参数

丝素肽是丝素蛋白的水解产物,易溶于水,相对分子量小,含有18种常见氨基酸,具有优异的生物相容性[1],又是重要纺织材料蚕丝的水解产物[2]。乙醇在燃料电池[3],电催化反应[4],以及各种电极上的氧化行为方面[5,6,7,8]被广泛应用。将一个导电材料串联在伏安仪三电极系统的工作电极端和辅助电极端之间,再将此导电材料和饱和甘汞电极浸入某一缓冲液中施加一定范围的线性扫描电位Eapp,记录的I-Eapp曲线上电流I为零所对应的施加电位就是零流电位。而零流电位法正是一种基于界面电位变化而引起I-Eapp曲线在电位轴上的移动,以曲线上零流电位Ezcp作为电化学参数的一种电化学方法[9,10];可用于任何电活性或非电活性物质间相互作用的研究,操作简单,适用广[12,13]。

聚丝素肽肽键上的C=O与乙醇上的羟基的结合引起聚丝素肽膜零流电位随时间变化逐步正移最后趋于稳定,二者结合符合一级动力学,因此可利用聚丝素肽膜与乙醇结合的这种电化学特征对乙醇进行跟踪检测。

1 实验

1.1 仪器与试剂

CHI600C电化学工作站,上海辰华仪器公司;三电极系统:聚丝素肽电极(自制)、饱和甘汞电极和铂电极。AWJ2-20009-u Aquapro,四川成都艾科浦;超纯水系统。

丝素肽,浙江丝绸科技研究有限公司;乙醇(分析纯),天津市登丰化学品有限公司;pH7.4 PBS缓冲液;其余试剂均为分析纯。

1.2 电极的制备

截取2 cm长的2B铅笔芯,在石蜡中加热1 h进行预处理,用绝缘胶将两根铜丝分别与铅笔芯两端接头封好,用蒸馏水冲洗备用。

1.3 聚丝素肽电极的制备

以活化好的铅笔芯为工作电极,饱和甘汞电极(SCE)为参比电极和铂丝为辅助电极,在含1.20 g/L丝素肽的PBS (pH 7.4)缓冲液中,于-1.0～1.0 V电位范围内,以扫速0.1 V/s进行多次循环伏安法扫描,取出铅笔芯电极用蒸馏水洗净,吹干备用。

2 结果与讨论

2.1 聚丝素肽膜与乙醇相互作用

将聚丝素肽铅笔芯电极(PSP/PR)浸入含有4.0×10-6 mol/L乙醇的PBS(pH 6.37)缓冲液中,以一定时间间隔扫描电位,记录I-Eapp曲线如图1所示,在0～150 s内,随着浸泡时间的延长,零流电位Ezcp逐渐从0.1998 V正移到0.2171 V,在150 s后,零流电位Ezcp基本稳定不变,说明丝素肽与乙醇结合完全。

2.2 乙醇与丝素肽相互作用动力学研究

当乙醇与丝素肽生成sp-(EtOH),式如下:

$s p + C Η_{3} C Η_{2} Ο Η \overset{}{\to} s p - (E t Ο Η)$

假设乙醇与丝素肽作用过程为一级反应,其反应速率可表示:

$\frac{d n}{d t} = k [E t Ο Η]_{0} (Ν - n) (1)$

式(1)中:n——在t时刻与丝素肽反应的乙醇的分子数

N——可以与丝素肽反应的乙醇分子总数

[EtOH]0——溶液中乙醇的初始浓度

k——正向反应速率常数

n/N可认为EtOH与丝素肽作用的完全程度,用τ表示,式(1)可变为:

$\frac{d τ}{d t} = [E t Ο Η]_{0} (1 - τ) (2)$

积分可得,反应完全程度τi与任意反应时间ti的关系

ln(1-τi)=-k[EtOH]0ti (3)

因为,在0～150 s内,零流电位Ezcp与反应时间t呈线性关系(如图2),线性方程为:

Ezcp/V=0.1999-1.1876×10-4 t/s(r=0.995,n=7)

没有反应即t=0时,零流电位Ezcp,τi=0。完全反应t=150 s时,零流电位Ezcp,τi=1。反应过程中任意时刻ti的反应完全程度τi可用简单的内插法进行计算,即:

$1 - τ_{i} = \frac{E_{z c p, τ_{i}} - E_{z c p, τ = 1}}{E_{z c p, τ = 0} - E_{z c p, τ = 1}} (4)$

式(4)代入式(3)得

$\ln \frac{E_{z c p, τ_{i}} - E_{z c p, τ = 1}}{E_{z c p, τ = 0} - E_{z c p, τ = 1}} = - k [E t Ο Η]_{0} t_{i} (5)$

以 $\ln \frac{E_{z c p, τ_{i}} - E_{z c p, τ = 1}}{E_{z c p, τ = 0} - E_{z c p, τ = 1}}$ 为纵坐标ti为横坐标作图,见图3,线性方程为:

$\ln \frac{E_{z c p, τ_{i}} - E_{z c p, τ = 1}}{E_{z c p, τ = 0} - E_{z c p, τ = 1}} = 0.3386 - 0.0170 t_{i} (R = 0.9936 ‚ n = 6)$

所以,-k[EtOH]0=-0.0170,其中[EtOH]0=4.0×10-6mol/L,得k=4.25×103s-1,所以丝素肽与乙醇结合反应的结合速率常数k=4.25×103s-1,半衰期t1/2为1.63×10-4s。

3 结论

系统动力学方程篇8

电子学的发展和应用已有一百多年的历史,但电路和电子器件中所利用和研究的基本上只是电流,也就是电荷的流动,与自旋完全无关。所以,目前的所谓电子器件实际上是以大量电子行为为基础的“电流”器件,应用的电子学也实际上是“电荷”电子学。目前电荷电子学的发展遇到困难,主要有3点:第1,经典极限问题。目前的多数电子器件中的电子运动服从经典的理论。目前由于器件尺寸不断减小,电子的隧道效应发生几率不断增加。当器件减少到纳米尺度时随时可能会引发量子效应而导致电子的非经典行为;第2,功耗问题。随着芯片的集成度和时间速度的大幅提高,电子在电路中流动的速度越来越快,功耗也会成倍增大,并最终导致芯片不能正常工作;第3,逻辑与记忆分离问题。目前的计算机仍然属于冯诺依曼型计算机,即计算机的长期储存部分(硬盘)和逻辑部分是明显分开的,记忆功能集中在硬盘上,逻辑功能集中在CPU上,互相之间有一定距离,传递信息的速度很慢。能否制作人脑那样的逻辑和记忆合二为一的器件一直没有明确的答案,这也正是目前许多自旋器件设计的出发点之一。

目前,许多科学家都在思考如何突破电荷电子学发展的瓶颈问题。2010年科学杂志发表了题为“到了重新发明晶体管的时候了”的文章[1],更是引起了人们的普遍重视。

自旋电子学器件对解决电荷电子学的瓶颈问题给出了希望。基于巨磁电阻(GMR)效应的磁性纳米多层膜和基于隧穿磁电阻(TMR)效应的磁性隧道结(MTJ),是目前制备和生产高密度磁存储硬盘中磁读头以及各类磁电阻磁敏传感器的最佳单元器件材料。MTJ还是发展磁随机存储器(MRAM)、磁逻辑、自旋纳米振荡器和微波探测器、自旋随机数字发生器、自旋忆阻器、自旋晶体管和自旋场效应管等新型自旋电子器件的重要材料。

虽然,自旋电子学研究风生水起,但真正投入应用的只有巨磁阻器件(包括磁头)和磁随机存储器(MRAM)。发现GMR效应的磁多层膜结构主要由铁磁/非磁金属/铁磁3层薄膜构成,一般称作自旋阀结构。早期的自旋阀是一种垂直结构(图1),叫做垂直自旋阀(vertical spin valve,VSV)。如果将VSV中的非磁层取为薄的绝缘体层,此VSV即为MTJ。VSV不利于与其他器件大规模集成,另外,VSV属于局域自旋阀,无法分离电荷流和自旋流。近年来,人们已经将局域自旋阀的研究推广到横向自旋阀(lateral spin valve,LSV)。LSV是一种非局域自旋阀。非局域自旋阀可以分离电荷流和自旋流。

关于自旋阀的研究很多,本文主要关注其动力学特性的研究。在这方面,微磁学,特别是朗道-利夫席茨-吉尔伯特(Landau Lifshitz Gilbert,LLG)方程发挥了很大作用。

2 基于LLG方程的自旋阀的动力学研究

2.1 自旋转移矩效应及应用

上世纪末自旋电子学领域的一项重大发现,是极化电流导致的自旋转移矩(spin transfer torque,STT)效应[2]。利用STT可实现电流诱导的磁化反转。除了翻转和进动,自旋极化电流还能使磁化强度发生持续的振荡甚至混沌行为。这种能够利用自旋矩产生磁化强度振荡的装置叫做自旋矩纳米振子。

2.1.1 含自旋转矩的LLG方程

在宏观的磁动力学描述中,将自旋极化电流对局域磁化强度的影响约化为自旋矩,可得到一种推广的LLG方程。求解此方程,可研究在自旋极化电流作用下铁磁金属薄膜中自旋波、磁孤子和畴壁的动力学。这个推广的方程式是1996年Slonczewski最先提出的,因此也称作LLGS方程[2]。

2002年Zhang等人[3]在研究自旋极化电流激发磁矩反转机制时发现:电流垂直三明治结构的膜面的自旋转移矩应包含2部分,除人们熟知的Slonzeweski自旋转移矩(即前面所说的STT)外,还有一项类场(field-like)矩。Slonzeweski自旋转移矩也称为面内自旋转移矩,或者平行自旋矩,这个转矩的作用是使自由层磁矩在面内转动。类场矩也称场效应自旋转移矩,面外自旋矩,或称为垂直自旋转移矩,它使自由层的磁矩沿垂直于面的方向运动。最近20年,人们对自旋转移矩驱动的磁矩反转进行了研究,但是大部分工作集中在Slonzeweski自旋转移矩,而忽略了类场矩的作用。这是因为在非磁性层为金属的磁性自旋阀结构中,类场矩只有Slonzeweski自旋转移矩的1%,所以可以将其忽略。但是在非磁性层为绝缘层的MTJ中,场效应自旋转移矩是不可以忽略的,其大小大约是Slonzeweski自旋转移矩的10%~30%,甚至更高。这已经在2008年被实验证实[4,5]。所以在研究磁隧道结结构中的自旋转移矩效应时,必须同时考虑这2类自旋转移矩的影响。

极化电流可引发STT,从而激发磁矩反转,但电流会造成器件的功耗损失。能否将电流激发改成电压激发呢?这个问题人们已经利用铁电材料部分解决。目前,人们正在拓展其材料范围,即尝试非铁电材料能否也实现这一目标。MTJ是最有希望的材料之一。长期以来,电场对磁性材料磁性质有何影响一直没有定论。2003年,日本东北大学大野实验室的Daichi等人[6]报道了他们的研究结果,宣称电场可以显著降低存取资料所需的磁场大小。Daichi等人的实验是先在搀有锰(Mn)金属而具铁磁性的砷化铟(In As)上,镀上一薄层绝缘体与金属电极,然后再通过电极对砷化铟施加电场。他们发现,当施加1.5MV/cm的电场时,所需要改变磁矩极性(进行数据写入)的磁场大小,是未加电场时的五分之一。说明电场有明显作用。

后来又相继发现电压控制的磁各向异性(voltage-controlled magnetic anisotropy,VCMA)[7]现象和电压控制的铁磁共振(voltage-induced ferromagnetic resonance,VIFR)[8]现象。

那么,电场对材料磁性的控制机制如何呢?研究表明,电场对磁动力学的影响是通过类场矩引入的。研究表明,类场矩与外加电压的平方成正比[9,10,11]。但类场矩与偏压的关系尚有争议,需要进一步研究。

上面报道的自旋转矩现象是电流垂直膜面流动形成的。2004年,Zhang等人发现,电流沿磁性膜内流动也可形成自旋转矩,称为面内电流模式的自旋转移矩效应[12]。虽然这种模式和电流垂直于膜面的自旋转移矩的本质是相同的,但是这两种模式还是不同的。这种模式可以应用在赛道存储器(Racetrack Memory)上。这种模式下的自旋转移矩效应也包含绝热项和非绝热项两项。

2.1.2 自旋转矩临界电流

如前所述,全电流器件STT-MRAM显示了巨大的应用潜力。但是STT驱动的MRAM单元磁化翻转需要较大的电流密度。实验表明这个电流密度在107~108A/cm2量级,这么高的电流密度会产生非常高的热量。对于纳米级MRAM记录单元,甚至会由于焦耳热的产生使MRAM存储单元温度升高并烧毁。焦耳热是限制MRAM大规模实际应用的因素,因此如何降低STT-MRAM工作电流密度是问题的关键所在。只有电流密度降低为104~105A/cm2量级时,STT-MRAM才可实现广泛的实际使用。目前,多种方法被用来降低临界电流密度,例如:反对称的钉扎层、复合自由层、寻找新的材料等。虽然这些方法在降低临界电流密度上有了很大的突破,但是仍然还没有达到前面所述实际应用所需的临界电流密度量级。因此,目前STT-MRAM研究中的重点问题仍是如何进一步降低实现MRAM单元反磁化的临界电流密度,并且同时降低磁化反转时间,这也是STT-MRAM是否可以广泛进行实际应用的关键问题。

当前,研宄思路中考虑的主要是通过改变MRAM基本单元的材料组成、结构、各向异性等因素的影响,且实际的临界电流密度已经从108A/cm2降到106A/cm2量级,实现了较大突破。但是要继续大幅度降低临界电流密度己经十分困难。目前,降低STT临界电流密度的方法有下列几种:(1)利用微波。利用在垂直磁矩的方向上施加以微波磁场激发磁矩发生大角度的进动,磁矩反转所需要的能量减小,因此可以有效降低磁矩翻转所需要的STT电流密度;同时其磁化翻转所需时间也可变的更短,有望实现高速MRAM器件[13]。同时这种方法也可以与目前的降低临界电流密度的方法相结合,那么就有希望将临界电流密度降低到l O5A/cm2量级;(2)利用垂直平面的各向异性场。研究发现能够实现磁化反转的临界电流与面外(out of plane)退磁场成正比,因此降低退磁场成为减小临界电流的可行手段。文献[14]建议采用垂直于平面的各向异性场来降低退磁场[14];(3)利用应力。实际上还可以通过引入面外应力即引入应力各向异性场来降低退磁场。研究表明,临界电流密度与矫顽力和面外(out of plane)退磁场之和成正比。显然,反方向的应力可以降低退磁场,但应力有没有可能增加矫顽力?根据文献报道,应力确实可以增加矫顽力。但这种计算多针对面内用力进行的,至于面外应力,目前还没有结论。文[15]在有效场中增加应力场,然后求解LLGS方程研究了应力对横向自旋阀临界电流的影响,结果表明应力确实可以有效减小退磁场,从而降低临界电流[15]。

研究表明,应力对磁性材料的物理性能如矫顽力、剩磁、各向异性、磁致伸缩、磁电阻、铁磁共振、自旋波等都有一定影响。目前对于矫顽力Hc和剩磁Mt的应力效应报道较多。一些作者的结果表明,在单畴近似下,Hc和Mt都是应力的单调函数,即随着应力增加,它们单调增加或减小。另一些作者的研究却说明Mt确是应力的单调函数,但是Hc随压力的变化关系却比较复杂。

最早报道Hc随压力不单调变化的是Sablik和Jiles[16]。1999年他们采用斯通纳-沃尔法斯(Stoner-Wohlfarth,SW)模型研究一种铁磁杆的应力效应,发现矫顽力曲线随应力变化过程中出现一个尖峰,他们把这种现象称作尖峰现象(cusp phenomenon)。随后,2001年Zhu等人[17]在利用LLG方法模拟磁性材料的应力性质时也报道了类似现象。实验方面,2004年Permiakov等人[18]进行了电工钢的应力实验,测量结果表明了Hc随应力的非单调性。他们测量的是磁滞损耗,但由于矫顽力正比于磁滞回线的面积,所以其性质也适用于矫顽力。关于尖峰现象最近的报道是2011年Yamamoto等人[19]给出的。

以上综述说明,矫顽力曲线中的尖峰现象是一种有趣的现象,并且可以再很宽松的条件下获得。但是关于这种现象的解释却未见系统报道。Sablik和Jiles1999年的文章中认为,发生尖峰的原因是尖峰应力下系统发生了一阶到二阶相变的转换。显然,这种解释不能令人满意。文[20]解析研究了SW粒子矫顽力随应力的变化,成功产生尖峰现象[20]。

LLG方法处理应力时,一般在有效场中加入磁弹各向异性场,然后再求解LLG方程。对于自旋阀系统,经常对自由层进行单畴近似,即把自由层看成SW粒子。这样结果可与SW下的解析结果比较。也就是说,压力下自由层也会有类似SW粒子的表现。

2.1.3 自旋转矩振子

在许多被充分研究的由外力驱动的非线性振子中,只有一小部分能有技术上的应用。自旋矩纳米振子具有吉赫兹范围可调的频率,非常适于在磁存储器件和无线电通讯中得到应用[21]。目前STT振子的主要缺点有2个,第一是其输出功率过低;第二是需要在较大磁场下才能工作。这2个缺点限制了其商业应用。为克服第一个缺点,可采取集成输出的方法[22]。即让若干个振子同步工作,这样总输出功率为各个振子输出功率之和。

2.2 自旋轨道矩

利用自旋-轨道相互作用(spin-orbitinteraction,SOI)可实现自旋分离(极化),说明不同自旋取向的电子受到不同的力的作用。利用SOI可代替磁场。研究表明,SOI在半导体中可以比真空中强1百万倍。不对称异质结(比如InGa As/In Al As异质结)中的SOI称为Rashba效应。Rashba效应中的SOI是材料不均匀造成的。在垂直异质结的方向上施加栅极电压,则Rashba效应的强弱可以通过栅压改变。

SOI是影响常见的半导体材料自旋调控和弛豫的重要物理机理,因此是半导体自旋电子学器件应用必须考虑的关键因素。近年来,国际上关于半导体中自旋轨道耦合引致的各种新奇的物理现象进行了研究并取得了许多重要的进展,如本征自旋Hall效应等。这些研究为在半导体中产生自旋流提供了新的途径,并为未来的全电操纵的自旋电子学器件提供了物理基础。但是,这些工作大多分别独立地研究导带电子或价带空穴,相互之间不存在耦合。自旋轨道耦合恰恰是来自这种导带-价带的耦合。

文[23]基于多带的有效质量理论,计入电子和空穴的耦合,研究了窄禁带半导体量子阱中的自旋轨道耦合[23],发现利用外加电场和量子阱宽度可以在窄禁带半导体量子阱中引致量子相变,从而实现本征自旋Hall效应的开关。这种开关效应可能会被用来验证本征自旋霍尔效应的存在(图2)。

利用SOI可产生纯自旋流。我们通常所称的电流即电荷流。电荷的定向漂移运动,产生电流。电子电流由自旋向上的电子和自旋向下的电子共同产生。电子流动过程中还输运自旋角动量,我们定义为自旋流。在传统的电路或半导体电子器件中,自旋向上的电子和自旋向下的电子向同一方向运动,以至于自旋和自旋流被抵消,仅仅电荷流(即电流)存在。如果电荷流和自旋流都存在,即自旋流不等于零,我们说自旋被极化。称这时的Is为自旋极化流。设想在一个导体中,如果能使自旋向上的电子向一个方向运动,而相同数目自旋向下的电子向相反方向运动,这样电(荷)流正好被抵消,而自旋流将被加倍。问题是,怎样产生这样的自旋流?

图左是普通的霍尔效应示意图。垂直方向加上磁场之后,上下方向会产生霍尔电场,从而造成上下方向电荷的运动,产生电荷流。图右是未加磁场的情况。如果SOI比较强,自旋取向不同的电子会上下分离,形成纯自旋流。这就是自旋霍尔效应(spinHalleffect,SHE)。对于有限体系,体内自旋流在界面处中断而转化为界面的自旋累积。显然,对具有SHE效应的材料来说,表面积累有一定的自旋角动量,相当于被磁化了。这种材料因为表面具有铁磁性,因而可被称为“表面铁磁体”。

SHE有2类:本征自旋Hall效应是由SOI引起的自旋霍尔效应;非本征(外部)自旋霍尔效应是自旋与磁性杂质散射造成的分离。一般利用SHE产生自旋流,但一般材料的SHE强度不大。Liu等人在Tantalum(Ta)材料中发现强度很大的SHE,称为巨自旋霍尔效应(GSHE)[24]。更重要的是这种GSHE发生在室温。

SOI引起的自旋流可借助STT或交换耦合对临近磁矩产生力矩作用,称为自旋轨道矩(spin orbittorque,SOT)[25]。对于Rashba类型的SOI,这个SOT可等效成一个有效场的力矩。文献[25]推导出这个有效场,并证明其与Rashba常数成正比。在含类场矩的LLGS方程的有效场中增加,即得到同时考虑STT和SOT的LLG方程。求解此方程可知SOT的影响。

2.3 热辅助磁矩翻转动力学

为提高磁记录密度,以往的办法是尽量减小颗粒尺寸。但颗粒尺寸的减小一般伴随超顺磁性的发生。为防止超顺磁性的发生,要求材料的磁各向异性常数较大。但是如果材料的磁各向异性常数较大,其矫顽力一般也较大。对于传统的磁记录方法,记录介质矫顽力的增大会造成磁头写入困难。为解决这一问题,科学家们提出热辅助磁记录(heat assisted magnetic recording,HAMR)方法。HAMR利用激光对写入点升温,从而降低矫顽力,实现磁头写入。热辅助磁记录中磁矩翻转性质仍可利用LLG方程研究,但要在LLG的有效场中增加热场项。由于材料中每点的热场不同,或者说热场具有某种随机分布,这时需要解随机场LLG方程,简称SLLG方程[26]。

LLG方程在高温(高于居里温度)时不适用。研究表明高温时需求解Landau-Lifshitz-Bloch(LLB)方程[27]。

近年来兴起超快磁学,是通过飞秒激光辅助的磁矩翻转。研究表明,超快激光同时影响材料中的电子、晶格和自旋。Koopmans等建立了一个唯象模型[28]-3T模型,该模型描述了处于内部热平衡时3种能源:电子、晶格(声子)和自旋之间的能流过程。电子、晶格和自旋的热浴温度分别为Te,Tp,Ts,3T模型是关于这3个温度的耦合方程组。3T模型与LLB方程结合可解释超快激光引起的磁矩反转[27,29]。

微磁学的基础是LLG方程,这是一个基于能量或哈密顿量的方法,但温度是统计量,不能进入哈密顿,所以LLG方程不能直接反映有限温度效应。热场如何引入是一个重要问题。目前常用的方法是唯象方法,即人为地在LLG方程的有效场中增加一个温度场项,然后求解LLG方程研究自由层的动力学性质。比如对于SLLG和LLB,增加随机热场到有效场中[26,27]。文献[30]和[31]在假设热分布为高斯型,并假设其关联函数为常数的情况下给出了热场项的解析形式[30,31]。文献[32]还建立了热场与自由层磁化矢量的唯象关系,从而在LLBS方程中引入温度效应。

2.4 含章动项的LLG方程

传统LLG只包括进动和阻尼运动(图3)。文献[33]计入了章动项,建立了含章动项的LLG。但是章动项对自旋阀自由层翻转有什么影响、什么材料中章动作用较大还不十分清楚。

3 小结

自旋阀结构在自旋电子学发展过程中具有重要地位,其动力学研究多采用微磁学的LLG方程。LLG方程应用的基础是宏自旋模型,需要把自由层看成单畴结构,因此计算结果必然与实际材料有出入。虽然如此,LLG方程仍能很好地描写自旋阀结构的动力学性质。而且,相比于实验研究而言,基于LLG方程的数值模拟具有很大优势,第一速度快;第二经济;其结果对器件设计具有指导意义。基于LLG方程的自旋阀动力学研究近些年有很大进展。本文简要回顾了这些进展情况、面临的问题和解决办法。自旋阀、MTJ结构等经常与我们耳熟能详的拓扑绝缘体、石墨烯等概念一起出现。自旋电子学目前已经发展成为与磁学、半导体、微电子学、凝聚态物理等学科紧密结合的新学科,并为从事上述领域研究的科技工作者提供了大好机会。

附录A

A1.LLG方程

其中是自由层磁化矢量的单位矢量,γ<0是回磁比率,α>0为吉尔伯特阻尼系数。为有效场。LLG方程方程的右边第一项描述了磁矩围绕着总场方向的进动运动,而右边第二项则描述了磁矩朝向总场方向的能量耗散运动。

A2.LLGS方程

其中是SST作用常数, 是固定层磁化矢量的单位矢量。

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