曲线轨迹方程

曲线轨迹方程（精选9篇）

曲线轨迹方程 篇1

如何确定动点轨迹的方程, 怎样运用解题方法, 在数学学习过程中显得尤为重要.坐标系的选择是基础, 不同的坐标系, 就有着不同形式的方程, 同一坐标系下不会因解法不同而有不同的方程.教学中, 首先让学生明白轨迹是具有共同特性的动点的集合, 引导学生对于“定点”、“定长”、“定直线”这三“定”的理解 (课本上关于圆、椭圆、双曲线、抛物线方程的建立过程, 就是求曲线方程的典范, 在教学中必须充分发挥其示范作用) .拟定与三“定”有关的题目, 让学生尝试建立不同的坐标系, 如已知△ABC的一边为8, 周长为20, 求顶点A的轨迹方程.其次, 掌握教材中求动点轨迹的最主要最基本的五个步骤, 即: (1) 建系; (2) 设点; (3) 列式; (4) 代换; (5) 化简.无论是自建坐标系, 还是已建坐标系, 列式与代换是重点, 运用不同的知识体系, 采取不同的数学手段, 由不同的数学表现形式, 经过不同的数学处理, 最终得出所要的结论, 它是数学能力的综合体现.

一、自建坐标系求方程

例:设动点M与两定点A, B所在的直线互相垂直, 求动点M的轨迹方程.

解法一:以过AB两定点的直线为X轴, 线段AB的中点O为原点, 建立直角坐标系, 设M (X, Y) 为曲线上不与A (-a, 0) , B (a, 0) 合的任意一点, 由已知条件MA⊥MB得|MA|2+|MB|2=|AB|2, 根据两点间的距离公式, 得

方程 (1) 即为所求的点M的轨迹方程.

解法二:以通过A和B两定点的直线为X轴, A为原点, 建立直角坐标系, 如图:

若AB=2a (常量) , 那么A与B两点的坐标分别为 (0, 0) 和 (2a, 0)

设M (x, y) 为曲线上不与A, B重合的任意一点, 可得|MA|2+|MB|2=|AB|2

方程 (2) 也是所求的点M的轨迹方程.

比较方程序 (1) (2) , 可以看出, 虽然都是点M的轨迹方程, 但由于选择的坐标系不同, 所得的轨迹方程的形式也就不同.方程 (1) 要比方程 (2) 简单, 因此, 在建立曲线方程时, 要注意选择适当的坐标系, 使曲线方程的形式比较简单.

解法三:坐标系的建立同解法一.

设M (x, y) 为曲线上不与A (-a, 0) , b (a, 0) 重合的任意一点, 由已知条件MA⊥MB KAM·KMB=-1

方程 (3) 也是所求点M的轨迹方程.

比较以上方程可以看出:在同一个直角坐标系中, 用不同的方法求出的同一轨迹的曲线方程是相同的.

二、已建坐标系求方程

例:过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A、B两点, 求弦AB的中点M的轨迹方程.

解法一:设动点M (x, y) , 因CM⊥AB,

解法二:在直角三角形OCM中, OM2+CM2=OC2 (x2+y2) + (x-3) 2+y2=9

化简得x2+y2-3x=0

由两曲线的交点可知x满足

所求方程为

从上两题看出, 求轨迹方程问题, 要循序渐进, 由易到难, 充分利用所学知识, 寻求不同的解决方法, 在不断的探索中寻找乐趣.

摘要：在中学数学解析几何中, 求动点的轨迹方程, 既是学习的重点内容, 也是所教的难点之一, 特别对于中等职业学校的学生来说更是如此, 由于知识结构的差异, 多数学生是奔专业乘兴而来最后却扫兴而归.但另一方面, 学好这部分知识, 对中职学生的专业知识的巩固和专业技能的提升都有极大的帮助.

关键词：课堂教学,随笔,曲线方程

曲线轨迹方程 篇2

娄底一中 刘瑞华

教学目标：

1、掌握和熟练运用求轨迹方程的常用方法.2、培养思维的灵活性和严密性.3、进一步渗透“数形结合”的思想 教学重点和难点：

重点：落实轨迹方程的几种常规求法。

难点：教会学生如何审题，选用适当的方法求轨迹的方程。教学方法：

讨论法、类比法． 教具准备： 多媒体投影． 教学设计：

求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的课题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融于一体，因而也是历届高考考查的重要内容之一。

一、知识回顾

求曲线轨迹方程的基本步骤

在求曲线的轨迹方程时，要经历审题、寻找和确定求解途径、分清解答步骤、逐步推演、综合陈述、完整作答或给出恰当的结论等多个不可缺少的环节，其基本步骤是：

（1）建系设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标M(x,y)；

（2）列式：写出适合条件的点的集合PMP(M)，关键是根据条件列出适合条件的等式；

（3）代换：用坐标代换几何等式，列出方程f(x,y)0；（4）化简：把方程f(x,y)0化成最简形式；

（5）证明：以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

二、基础训练



1、已知向量OP与OQ是关于y轴对称，且2OPOQ1则点Px,y的轨迹方程是____________

2.△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－则动点A的轨迹方程为_________.aa1,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,222x2y21上的动点，则F1F2P重心的轨迹方程为

3、点P是以F1,F2为焦点的椭圆

259___________________.4、已知点Px,y满足xy4，则点Qx,yx22的y轨迹方程为_____________________ 解答与分析：

1、yx221 方法为：直译法即是如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量2关系,则只需直接把这些关系“翻译”成x，y的等式，由此得到曲线的方程．

x2y21 方法为：定义法就是若动点的轨迹的条件符合某一基本轨迹（如：圆，椭2、43圆，双曲线，抛物线）的定义，则可以根据定义直接写出动点的轨迹方程．

9x2y21y0方法为：代入法就是若动点P(x,y)依赖于已知方程的曲线上另一个动3、25点C（x0，y0）运动时，找出点P与点C之间的坐标关系式，用（x，y）表示（x0，y0）再将x0，y0代入已知曲线方程，即可得到点P的轨迹方程。

4、y22x42x2方法为：所谓参数法就是在求曲线方程时，如果动点坐标x，y关系不易表达，可根据具体题设条件引进一个（或多个）中间变量来分别表示动点坐标x，y，间接地把x，y的关系找出来，然后消去参数即可得到动点的轨迹方程．

小结：

一、由以上几个题目可以看出求动点的轨迹方程常用的方法有： 1.直译法;2.定义法

3.相关点法（代入法）;4.参数法

二、求动点的轨迹方程中的注意点：

1.注意方程的纯粹性和完备性即不多不少。2.注意平面几何知识的运用。3.注意要求是求轨迹方程还是轨迹

三、例题讲解

22例1.已知定点A（2，0），点Q是圆x＋y＝1的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程。的性质，知 分析1：由三角形的内角平分线|AM|2，|MQ||AM||OA|

|MQ||OQ| 而|OA|2，|OQ|1，故 即点M分AQ成比为2，若设出M（x，y），则由分点坐标公式，可表示出点Q的坐标，因Q、M为相关点，（Q点运动导致点M运动），可采用相关点法求点M的轨迹方程。

解法1：设M（x，y），由三角形内角平分线性质定理，得 ∵M在AQ上，∴点M分AQ成比为2，|AM||AO|2，|MQ||OQ|22·x0x120)若设点Q的坐标为(x0，y0)，则 又A(2，02·y0y123x2x02 y3y0222而点Q(x0，y0)在圆x2y21上

3x223y24)()21，化简，得(x)2y2 22392242 点M的轨迹方程为(x)y。

x0y01，即(性质，知 分析2：由三角形的内角平分线|AM||AO|2，|QM||QO| 若过M作MN∥OQ交OA于N，则|AN||AM|2，|ON||QM|0)，而 从而N(，|MN| 23|MN||AM|2，|OQ|1，|OQ||AQ|3222|OQ|为定值，可见动点M到定点N的距离为定值。3332 因此M的轨迹是以N为圆心，半径为的圆，32242 其方程为(x)y，39 而当∠AOQ＝180°时，其角分线为y轴，它与AQ交点为原点O，显然，该点也满足上述轨迹方程。

注：此种解法为定义法。例

2、设过点A1,0的直线与抛物线x24y交于不同的两点P,Q，求线段PQ中点M的轨迹方程。

解：法一：设Mx,y,Px1,y1,Qx2,y2，又由已知可设直线PQ的方程y为：ykx1，则由

ykx1消去x24yy得： x24kx4k0

x1x24k,x1x24k

x222y1x2x1x22x1x21y2444k22k

xx1x22k2消去k得：y1x2x

yy1y2222k22k又直线PQ与抛物线有两个交点

16k216k0即k1或k0

x2或x0点M的轨迹方程为：y12x2x,x2或x0

法二：设Mx,y,Px1,y1,Qx2,y2，由P,Q在抛物线上得

x214y1两式相减得：x2x221x24y1y2 24y2变形得x1x1y224yxx4kPQ

122x4kyPQ又kPQx1，消去k12PQ得y2xx。又由y12x2x得其交点坐标为0,0,2,1 x24yQPoAx因为中点必须在抛物线内，由图可知x2或x0

点M的轨迹方程为：y

四、小结

略。

五、作业

12xx,x2或x0 

21、过抛物线x24y的焦点的弦PQ的中点的轨迹方程？

动点的轨迹方程及其应用 篇3

一、 求动点轨迹方程的基本方法

求动点的轨迹方程的基本方法是：通过建立适当的坐标系，依据动点的特点，确定动点坐标所满足的等量关系，最终通过化简求出动点的轨迹方程．其解题的基本步骤为：建系、设点、找动点所满足的限制条件、将动点坐标代入限制条件、化简方程，可以简记为：建、设、现（限）、代、化．

例1 （2005年高考江苏卷试题）如图1，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN（M，N分别为切点），使得PM＝2PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．

图1

分析：（1） 欲求点P的轨迹方程，首先需要做什么？（建立坐标系．）

（2） 如何建立坐标系？（应考虑条件中两圆的对称性，以直线O1O2为x轴、线段O1O2的中点为原点建立直角坐标系，如图2所示．）

图2

（3） 如何建立等量关系？(利用条件PM＝2PN．)

（4） 怎样对等式PM＝2PN进行变形？

（将PM＝PO21-O1M2，PN＝PO22-O2N2代入到PM＝2PN，化简，就得到点P的轨迹方程为(x—6)2＋y2＝33．）

例2 已知动点P(x，y)到坐标原点O的距离的平方与它到直线l：x＝m（m为常数）的距离相等．

（1） 求动点P的轨迹方程C；

（2） 就m的不同取值讨论方程C的图形．

解：（1） 因为动点P(x，y)到原点的距离为PO＝x2+y2，所以(x2+y2)2＝|m－x|，

即x2＋y2＝|m－x|，所以，动点P的轨迹方程C为x2＋y2＝|m－x|．

（2） 由x2＋y2＝|m－x|两边平方，移项并分解因式，得(x2＋y2－m＋x)(x2＋y2＋m－x)＝0，

∴x＋122＋y2＝14＋m或x－122＋y2＝14－m，

① 当14＋m＞0且14－m＞0，即－14＜m＜14时，点P的轨迹方程C表示的图形是两个圆．

② 当m＝14或m＝－14时，点P的轨迹是一个圆和一个点；

③ 当m＜－14或m＞14时，点P的轨迹是一个圆．

例3 （2010年江苏高考试题）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆x29＋y25＝1的右顶点为B，右焦点为F．设动点P满足PF2－PB2＝4，求点P的轨迹．

图3

分析：本题以椭圆为背景，给出两个定点F，B，一是椭圆的右焦点，另一个是椭圆的右顶点．而动点P满足关系PF2－PB2＝4，于是，可利用求轨迹方程的基本方法来解决．

解：（1） 设点P (x，y)，由已知，得F(2，0)，B(3，0)．

由PF2－PB2＝4，得［(x—2)2＋y2］－［(x－3)2＋y2］＝4，

化简，得x＝92．故所求点P的轨迹为直线x＝92．

说明：要注意区分轨迹和轨迹方程这两个概念．轨迹是指动点运动所留下的痕迹，是一种几何表示；而轨迹方程，则是研究动点坐标所满足的代数方程，是一种代数表示．

二、 动点轨迹方程的应用

对于研究动点的轨迹问题，在高考命题时，不仅会命制像例1、3这类直接求动点轨迹方程的试题，还会出现一些较为“隐蔽”的求轨迹问题，请看下面的例题．

例4 （2008年江苏高考题）满足条件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC的面积的最大值．

分析1：本例的基本解法是：直接构造三角形ABC面积的目标函数S△ABC＝12AB•BC•sinB．即首先设出BC的边长（不妨设为x），就可以得到AC＝2x，并通过三角形中“两边之和大于第三边”确定自变量x的函数；然后，将sinB转化成cosB，由余弦定理用x表示cosB，从而用x的函数f(x)表示三角形ABC面积关于，最终求出函数f(x)最大值．

解法一：设BC＝x，则AC＝2x，由三角形三边关系，得2x+x＞2x+2＞2x,解得22－2＜x＜22＋2．

根据面积公式得S△ABC＝12AB•BC•sinB＝x1-cos2x，

根据余弦定理，得cosB＝AB2+BC2-AC22AB•BC＝4+x2-2x24x＝4-x24x，代入上式，得

S△ABC＝x1-4-x24x2＝-x4+24x2-1616＝-(x2-12)2+12816，

故当x＝23∈(22－2，22＋2)时，S△ABC取最大值22．

问题：上面的这一种解法，比较多地利用“形”来研究问题，通过构造三角形面积目标函数来解决问题．除了这种解法之外，还有其他的解法吗？

分析2：我们知道：在研究解决具体的数学问题时，我们通常可以通过“数”与“形”这两个角度来研究问题．我们还可以通过研究动点C的特点——直接求出动点C的轨迹方程，从而通过求出动点C到AB距离的最大值，来求出三角形面积的最大值．

解法二：以线段AB的中点为原点、建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设C(x，y)，由AC=2BC，得(x＋1)2＋y2＝2［(x－1)2＋y2］,整理得(x－3)2＋y2＝8(y≠0)，所以，点C的轨迹为：以M(3，0)为圆心、22为半径的圆（除去x轴上的点）．所以当C在(3，±2)处时，△ABC面积最大，为22．

图4

总结：2008年高考这道题的正确率很低，得分率仅为0.2左右．究其原因，是很多考生直接利用“解法一”求解、未能把所求的问题转化成求点C的轨迹方程问题，因而未能求解出正确答案．可见，巧妙地应用轨迹方程可以简化解题过程．

轨迹方程的求法 篇4

一、直接法 (或称等量法)

凡动点和已知点或曲线间存在着直接或间接的等量关系时, 可直接列出含有x, y的等式, 即得所求的轨迹方程.

例1 在△ABC中, B (1, 0) , C (5, 0) , 点A在x轴上方移动, 且tanB+tanC=3, 求点A的轨迹方程.

undefined

故所求方程为undefined

二、定义法

圆锥曲线的定义, 不仅是推导方程的依据, 而且有广泛的应用.利用圆锥曲线定义求轨迹, 往往事半功倍, 妙趣横生.

例2 已知点A (-4, 0) , B (4, 0) , 圆 (x+4) 2+y2=4, 动点P分别满足下列条件, 试分别求出不同条件下动点P的轨迹方程.

(1) △PAB的周长为20;

(2) 圆P过B (4, 0) 且与圆 (x+4) 2+y2=4相切;

(3) 圆P与圆 (x+4) 2+y2=4外切, 且与直线x=2相切.

解 设P (x, y) .

(1) 由题意得|PA|+|PB|=12 (定值) .由椭圆定义, 点P在以A, B为焦点的椭圆上, 且a=6, c=4, b2=20.所求轨迹方程为undefined

(2) 若圆P与圆 (x+4) 2+y2=4外切, 则

|PA|-|PB|=2.

若圆P与圆 (x+4) 2+y2=4内切, 则

|PB|-|PA|=2.

由双曲线定义, 点P是在以A, B为焦点的双曲线上, 且a=1, c=4, b2=15.所求点P的轨迹方程为undefined

(3) 依题意, 点P到点A (-4, 0) 的距离等于点P到直线x=4的距离, 由抛物线的定义, 点P的轨迹为抛物线y2=-16x.

三、代入法 (相关点法或转移法)

若动点P (x, y) 依赖于已知曲线上的另一个动点Q (x, y) 而运动, 且可求出关系式x=f (x, y) , y=g (x, y) , 于是将这个Q点的坐标的表达式代入已知曲线的方程, 化简后即可得P点的轨迹方程.

例3 (2008年江西高考, 理21) 设点P (x0, y0) , 在直线x=m (y≠±m, 0

(1) 过点A作直线x-y=0的垂线, 垂足为N, 试求△AMN的重心G所在的曲线方程;

(2) 求证:A, M, B三点共线.

解 设A (x1, y1) , B (x2, y2) .

由已知得到y1y2≠0, 且xundefined-yundefined=1, xundefined-yundefined=1.

(1) 垂线AN的方程为y-y1=-x+x1,

由y-y1=-x+x1和x-y=0得

垂足undefined

设重心G (x, y) ,

undefined

解得undefined

由xundefined-yundefined=1可得undefined

即undefined为重心G所在的曲线方程.

(2) 证明 设切线PA的方程为y-y1=k (x-x1) ,

由y-y1=k (x-x1) 和x2-y2=1得

(1-k2) x2-2k (y1-kx1) x- (y1-kx1) 2-1=0.

从而Δ=4k2 (y1-kx1) 2+4 (1-k2) (y1-kx1) 2+4 (1-k2) =0, 解得undefined

由此PA的方程为y1y=x1x-4.

同理, PB的方程为y2y=x2x-1.

又 P (m, y0) 在PA, PB上,

∴y0y1=my1-1=0, y0y2=mx2-1.

即点A (x1, y1) , B (x2, y2) 都在直线y0y=mx-1上.

又undefined也在直线y0y=mx-1上, ∴A, M, B三点共线.

四、参数法

凡动点和已知点或已知曲线没有直接关系时, 往往要设出参数, 以参数为桥梁, 把已知和未知联系起来, 找出它们的等量关系, 再消去参数, 即得出所求方程, 常选用的参数有直线的斜率、截距、角参数、点参数等.

例4 求过原点的直线被抛物线y=x2-4x+3所截弦中点P的轨迹.

解 设动直线方程为y=kx (k为参数) 代入抛物线方程, 整理得x2- (4+k) x+3=0 (*) .

设P (x, y) , 则undefined, 又y=kx②,

由①②消去参数k, 整理得undefined

∵直线与抛物线必有交点, ∴方程 (*) 必有实根.

故Δ= (4+k) 2-12≥0,

解得undefined或undefined

当undefined时, undefined;当undefined时, undefined

∴中点P的轨迹是抛物线undefined在undefined或undefined上的两段.

五、交轨法

在求动点的轨迹时, 经常会遇到要求两动直线的交点的轨迹问题.这类问题的解法具有一定的技巧性, 主要是想办法消去动曲线的参数, 得出所求轨迹的方程, 这种方法称为交轨法.

例5 设A1, A2是椭圆undefined的长轴两个端点, P1, P2是垂直于A1A2的弦的端点, 求直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程.

解 设P1 (x0, y0) , 则P2 (x0, -y0) ,

故直线A1P1方程为undefined

直线A2P2方程为undefined

①×②, 得undefined

又 (x0, y0) 在椭圆undefined上, 得undefined

代入上式得undefined, 整理得undefined, 即为所求轨迹方程.

六、几何法

即利用已知图形的几何性质来求动点轨迹方程的方法称为几何法.

要善于运用数形结合, 根据曲线的某些显著的几何特征和性质列出等式求出轨迹方程可收到简化运算、快速求解的功效.

例6 (2008年浙江高考) 如图, AB是平面α的斜线段, A为斜足, 若点P在平面α内运动, 使得△ABP的面积为定值, 则动点P的轨迹是 ( ) .

A.圆 B.椭圆

C.一条直线 D.两条平行直线

解析 由题意得P到线段AB的距离为定值.由于圆柱侧面上的点到圆柱轴线距离为定值, 故可构造一立体图形, 设线段AB为圆柱上下底面中心连线上的一条线段, 过点有一个平面斜截圆柱得一个椭圆, 椭圆上的点即为P点, 点P到线段AB的距离为这个圆柱的底面半径.

轨迹问题与立体几何问题知识的交汇是近几年高考命题的热点之一.因此同学们在学习立体几何知识时, 对于平面图形、空间图形是符合哪种条件的点的轨迹要有足够的重视.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制订.高中数学教学大纲, 2002, 4 (1) .

[2]教育部考试中心.高考数学测量理论与实践.2005, 2 (2) .

曲线轨迹方程 篇5

一、利用三角形的顶点不共线去“杂”

例1：已知点A(-a,0),B(a,0)，若△MAB是以点M为直角顶点的直角三角形，求顶点M的轨迹方程。

解：设M(x,y)，依题意得

化简得x2+y2=a2。

∵△MAB的顶点M、A、B不共线，

∴M不能在x轴上，

∴x≠0。

故点M的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠0)。

二、利用直线的斜率必须存在去“杂”

例2：已知点A(-1,0),B(1,0)，动点P使直线PA和PB的斜率之积为-2，求动点P的轨迹方程。

解：设P(x,y)，则

化简得2x2+y2=2。

∵直线PA和PB的斜率存在，

∴x≠±1。

故点P的轨迹方程为2x2+y2=2(x≠±1)。

三、利用点所在的区域范围去“杂”

例3：已知点A、B分别在x、y轴的正半轴上运动，且|AB|=2a(a>0)，求AB中点M的轨迹方程。

解：设M(x,y)，由中点坐标公式得A(2x,0),B(0,2y)。

化简得x2+y2=a2。

∵点A、B分别在x、y轴的正半轴上，

∴点M在第一象限，即x>0,y>0,

故点M的轨迹方程为x2+y2=a2(x>0且y>0)。

四、根据条件解不等式去“杂”

例4：在△ABC中，已知B(1,0),C(5,0),A点在x轴上方，且tanB+tanC=4，求顶点A的轨迹方程。

解：设A(x,y)，则tanB=kAB=

化简得y=-x2+6x-5。

∵A点在x轴上方，

∴y>0,

即-x2+6x-5>0,

解得1

故顶点A的轨迹方程为y=-x2+6x-5(1

五、讨论点的特殊位置堵“漏”

例5：已知点B(-1,0),C(1,0)，动点A使得∠BAC=135°，求点A的轨迹方程。

解：设A(x,y)，则

当点A在x轴上方时，直线AB到AC的角为135°，

化简得x2+y2+2y-1=0。

当点A在x轴下方时，直线AC到AB的角为135°，

化简得x2+y2-2y-1=0。

故点A的轨迹方程为x2+y2+2y-1=0(y>0)或x2+y2-2y-1=0(y<0)。

简析：本题需要对点A的位置进行讨论，才能避免漏掉一种情况。

六、讨论直线斜率不存在堵“漏”

例6：△ABC中，已知B(-1,0),C(1,0)，点A在第三象限，且∠B-∠C=45°，求顶点A的轨迹方程。

解：设A(x,y)(x<0,y<0)，则tanB=-k

由∠B-∠C=45°，得tan(B-C)=tan45°，

化简得x2-y2-2xy-1=0。

当x=-1时，∠B=90°，

由∠B-∠C=45°，得∠C=45°。

此时△ABC为等腰直角三角形，A的坐标为(-1,-2)，符合题意，但不满足方程x2-y2-2xy-1=0。

曲线轨迹方程 篇6

目前先进制造技术在机械行业发展中具有举足轻重的作用,数控机床高速化技术[1]和高速加工刀路优化是研究的重点之一。高速加工一般采用小切深大进给的切削参数,不连续刀轨或切削矢量突变都会导致机床系统和刀具系统承受很大的冲击力。连续光顺的螺旋切削方式无疑是高速加工最理想的选择,但该方式仅适用于边界为圆形的平坦曲面。为此,Park[2]提出了截面线型刀具轨迹法,Feng等[3]提出了等残留高度刀具轨迹法,文献[2-3]试图从静态几何学角度规划刀轨。 而Kim等[4]考虑切削多样性因素,提出了环形切削法以优化刀轨转接; 文献[5-6]提出了由外而内的等参数螺旋轨迹切削方式; 张鸣等[7]则将等参数螺旋轨迹应用于裁剪曲面; 孙玉娥等[8]提出了一种等残余高度螺旋轨迹直接生成方法,提高了加工精度。以上文献中的等参数螺旋轨迹虽然刀轨连续,但仅适用于对称性好且边界形状规则的单一网格曲面,当边界上存在尖角时,等参数螺旋轨迹上会出现大量的尖角转接,不够光顺。

本文在以上研究的基础上,以工业设计中常见的复合曲面为研究对象,以刀路光顺连续为优化目标,尝试采用一种适合高速加工的复合螺旋刀路来进行复合曲面加工。

1复合曲面的高速加工刀轨

1.1复合曲面常用切削模式

图1中,片体由三个自由曲面复合而成,通常将陡峭角( 曲面法线与水平面法线的夹角) 大于65°的曲面称为陡峭曲面,由于平坦曲面和陡峭曲面之间的刀轨曲率变化很大,影响高速加工的稳定性,通常将两者分开采用不同的切削模式进行加工。陡峭曲面的螺旋切削已经较为成熟[9],而平坦曲面的螺旋切削则有待进一步优化。目前高速加工中心能够提供30 m/min以上的进给速度, 刀轨长度最短已不再是优化目标,而刀轨是否连续光顺则成为高速加工的核心问题,CAM软件中的螺旋切削方式仅适用于圆形边界的平坦曲面, 如图1a中的非圆边界螺旋刀轨( 以CNC编程中刀尖点为显示轨迹) 光顺但不连续,抬刀较多; 而图1b中的等参数环形切削模式中刀轨连续但尖角转接过多。

1.2边界线性扩展螺旋切削法

边界线性扩展螺旋切削 法有效地 扩展了CAM软件中螺旋 刀轨的应 用范围,具体步骤 如下:

( 1) 如图2所示,通过等参数曲线将复合曲面分割为平坦部分和陡峭部分,注意不同曲面上的等参数曲线应首尾相连。

( 2) 在垂直于刀轴的平面内,以平坦曲面中心点为圆心作直径略大于平坦曲面的最小外接圆,线性方式扩大平坦曲面使得其边界超出最小外接圆。

( 3) 以线性扩展后的曲面为加工对象,以最小外接圆为切削范围,采用CAM软件的螺旋切削模式加工,如图2中螺旋刀轨覆盖整个平坦部分, 陡峭部分则采用面向陡峭面的螺旋刀轨加工[9]。

边界线性扩展螺旋切削法操作简便,生成的螺旋刀轨连续光顺且无矢量突变,但空刀多,所以加工效率较低。

1. 等参数线分割后的平坦部分 2. 最小外接圆 3. 边界线性扩展后的曲面

1.3复合曲线螺旋切削法的构建

文献[6,8]中的等参数轨迹如图3所示,曲面边界上的尖角会传递给所有的刀轨,从而产生大量的尖角转接。而复合曲线螺旋切削法以形状近似的光顺边界包容有尖角的原始边界,在构建光顺网格曲面的基础上投影螺旋曲线,具体步骤如下( 图4) 。

1. 辅助圆 2. 辅助直线 3. 辅助边界 4. 平面螺旋线 5. 网格曲面 6. 投影螺旋线 7. 圆柱螺旋线

( 1) 将曲面边界线性扩展一定距离。

( 2) 在垂直于加工坐标系Z轴的平面内,以直线和圆逼近平坦曲面边界构建略大于曲面边界的辅助边界,辅助边界应采用尽可能大的圆弧倒角以保证转接光顺。

( 3) 在距辅助边界一定高度上,过辅助边界中心作辅助圆,其直径以略小于曲面边界为准,然后构建四条辅助直线,以此生成的网格曲面可作为螺旋线的投影曲面。

( 4) 在辅助圆平面内构建平面螺旋线,然后与螺旋投影线桥接为复合曲线。

( 5) 选择复合曲线为驱动曲线,以垂直方向 ( Z轴) 投影到曲面生成的切削轨迹如图5a所示。 若采用5轴加工( 图5b) ,刀轴方向设定为垂直于曲面,复合曲线沿刀轴方向投影于曲面,生成的螺旋轨迹间距相对比较均匀,但轨迹的光顺程度受曲面形状的影响较大,局部刀轨的曲率波动稍大。

2复合曲线螺旋切削法加工精度的控制

目前生产中主要采用切削步距和残余高度两种方式控制曲面加工精度,尽管等参数螺旋轨迹以等残余高度为优化目标,获取目标点集后插值生成切削轨迹,但一方面由于优化目标的限制,不规则边界会生成不规则切削轨迹,导致NC程序局部曲率波动大,容易产生切削颤振; 另一方面由于轨迹连续的限制,沿边界方向的刀轨数量基本相等,边界长度不等时刀轨间距疏密不均( 图6) , 故无法实现等残余高度的优化目标。

相对等残余高度的优化目标,轨迹光顺度对于高速加工可能更为重要,因此,复合曲线法以轨迹光顺为优化目标,采用生产中常用的切削行距法,通过控制最大切削行距获得所需的加工精度和表面粗糙度,需要确定螺距与容许的最大切削行距之间的对应关系。

设加工曲面的参数方程为f( u,v) ,其中,u、v为曲面参数; 则对于曲面上的任意一点P,可由f( u,v) 得到曲面在P点处u线和v线的导数( 斜率) 。不失一般性,令曲面在u、v方向上的导数分别为a和b。

由于高速加工刀轨非常细密,故两条刀轨之间的局部有限区域可以视为平面区域 ( 就如曲面可以表示成分片线性逼近的三角面片网格模型一样) 。

如图7所示,将上述P点置于C点,则线段AC和BC可以视为u线和v线的局部线性表示。亦即,AC和BC在u、v方向上的斜率分别为a和b。

为了便于计算,取CO的长度为1,则A和B在 ( u,v) 平面的坐标轴上的截距分别为1 /a和1 /b, 若OD垂直AB于D,则CD是曲面在C( P) 点处梯度下降 ( 近似) 最快的方 向。由于lAOlBO= lDOlAB( 由三角形ABO的面积得到) ,所以可以通过简单计算得到OD的长度,进而可以算出CD的斜率,即梯度下降最快方向的斜率,令其为k。

设E和F是两条相邻加工轨迹与曲面上梯度下降最快方向上的曲线的交点,EF之间的距离就是容许的最大切削行距。由k和最大容许切削行距,便可计算出E和F在( u,v) 平面上的投影点之间的距离,即图4中平面螺旋线的最大容许螺距。

图4中的圆柱螺旋线经过二次投影后作为切削刀轨,首先需要计算网格曲面上的投影间距。图8中AB为圆柱螺旋线螺距,BC为网格曲面上的水平投影螺距 ( 最大容许螺距) ,网格曲面的最小陡峭角为 α,则当圆柱螺旋线螺距等于最大容许螺距与cotα 的商时,加工精度可以满足要求。

3实例验证和结论

为验证复合曲线螺旋切削法的可行性,对图3所示零件采用复合曲线螺旋切削法进行切削, 如图9所示。切削刀轨非常光顺,避免了速度突变,验证过程如下。

( 1) 等参数螺旋切削法的加速度。由于高速加工机床通常都有自动减速功能,设图3刀轨中的尖角转接在一个前瞻( look ahead) 内完成( 以200步计) ,NC程序平均步长为0. 02 mm,切削速度vt= 20 m / min。工作台和工件总重为600 kg。 则减速距离S = 0. 02 × 200 = 4 mm,在距离S内切削速度从20 m/min降为ve= 0。则有

式中,t为时间; m为质量; a为加速度; F为冲击力。

( 2) 复合曲线螺旋切削法的加速度。由于复合曲线螺旋切削法中的平面螺旋线螺距一般小于1 mm,其加速度可以忽略不计,平面螺旋线外围的刀轨则采用半径10 mm以上的圆弧过渡,减速距离S通常在16 mm以上,由式( 1) ~ 式( 4) 可知,加速度a减小至原来的25% 以下,切削过程平稳,刀具和机床的振动明显减弱。

部分NC程序如下所示,由坐标点可知,刀轨非常光顺。

由于复合曲线螺旋刀轨以平面螺旋线为主, 外围刀轨所占比例很小,故用于加减速的耗时很少,与传统切削方式相比,加工效率提高5% ~ 10% ,曲面面积越大,效率提升越明显。

对图5中的典型曲面采用CAM进行编程和加工,取刀具半径R = 10 mm,平面螺旋线螺距为0. 7 mm,圆柱螺旋线螺距为0. 84 mm,加工效果如图10所示,加工效率提高了8% ,精度和表面质量也完全符合技术要求。

将图6所示的曲面分成2个长宽比接近1的部分加工,如图11所示,效果很好。

通过以上典型零件的实际加工和软件模拟, 证明了复合曲线螺旋刀轨的优越性,对比结果见表1。

4结论

( 1) 利用等参数曲线在复合曲面上分离出陡峭曲面和平坦曲面,着重研究平坦曲面螺旋切削方式的优化。

( 2) 针对不规则边界的平坦复合曲面,提出了一种基于二次投影的复合曲线螺旋切削法,以直线圆弧构建光顺的辅助边界包容不规则的曲面边界,结合空间辅助直线构建光顺网格曲面作为一次投影曲面,然后将投影后的螺旋线与标准平面螺旋线桥接作为驱动曲线向目标曲面二次投影,生成连续光顺的复合螺旋刀路。

巧用“五步四法”求动点轨迹方程 篇7

1. 定义法

定义法的依据在高中阶段通常是圆、椭圆、双曲线、抛物线等的定义。定义往往隐含在题目已知条件当中, 我们要善于结合相关的定义, 注重数形结合, 挖掘它们的位置关系, 从而列出动点所满足的关系式。

例1:已知△ABC的两顶点A、B分别是曲线x2+5y2=5的左、右焦点, 且内角满足, 则顶点C的轨迹方程是___________。

[分析]题中涉及两个定点A、B, 并且关于原点对称, 可以联想C的轨迹可能是圆或椭圆或双曲线, 因而可以从找|CA|与|CB|的关系入手。首先由三角形和三角函数自然可想到利用正、余弦定理将已知关系式化为|CB|-|CA|=|AB|, 即|CB|-|CA|=。再依双曲线定义可知C点的轨迹为以A、B为焦点的双曲线的一支。然后依“五步” (建系步骤省略) 法, 即可求出顶点C的轨迹方程。

2. 相关点法

相关点法一般用于习题中动点较多的情形。做题时我们首先要审清题意, 分析清楚哪个是主动点, 哪个是从动点;然后建系设出所求动点坐标, 寻找“点随点动”的相关点, 并用所求动点坐标来表示各相关点的坐标, 再代入相关点所满足的曲线方程或相关关系式, 即可求出所求动点的坐标所满足的方程。

例2:已知点P是抛物线C:上一动点, 直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q, 若直线l与过点P的抛物线C的切线垂直, 则线段PQ的中点M的轨迹方程为_______。

[分析]在这个题目中, 共有三个动点P、Q、M, 其中P是主动点, 在已知曲线上运动;Q、M为从动点, 随P动而动。因而我们可以先设主动点P的坐标为P (x1, y1) , 设从动点Q, M的坐标分别为M (x0, y0) , Q (x2, y2) , 然后找到主动点的坐标与从动点坐标之间的两个等式关系, 即由切线可得切线斜率为k1=x1, 直线l的斜率为, 进而得直线l的方程;再由P、Q都在抛物线C上, 代入抛物线C的方程, 由点差法可得。最后结合点P在直线l上, 联立即可得解。

3. 参数法

参数法一般用于题中所求动点满足的关系式比较隐蔽时, 我们可以引入一个参变数来沟通已知与未知, 从而建立等式使问题获解。

例3:设点A和B为抛物线y2=4px (p>0) 上除原点外的两个动点, 已知OA⊥OB, OM⊥AB (O为坐标原点) , 则点M的轨迹方程为_________。

[分析]题中共有三个动点A、B、M, 此题我们可以先设直线AB的方程为y=kx+b (斜率k存在且不为0时) , A (x1, y1) , B (x2, y2) , 联立y2=4px得到一个关于x或y的一元二次方程, 再由韦达定理及OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0, 进而得到b=-4kp。又可知直线OM的方程为, 设坐标M (x, y) , 联立两直线方程则有, , 消去k, b即可得M点的轨迹方程。当斜率k不存在或为0时, 亦可得证。

[答案]x2+y2-4px=0 (x≠0) 。

4. 交轨法

交轨法一般用于求两动曲线交点的轨迹方程, 也即首先运用参数法求出两动曲线的参数方程或动点坐标适合的含参数的等式, 再联立两个式子进行消参, 即可得所求动点的轨迹方程。

例4:设点A和B分别是椭圆的长轴的两个端点, P、Q是垂直于AB的弦的端点, 则直线AP与BQ的交点M的轨迹方程为_________。

[分析]要求M点的轨迹方程, 可以从找直线AP与BP的轨迹方程入手, AP与BP的轨迹方程由A、P、M三点共线, B、M、Q三点共线分别求得, 再求两轨迹方程的交点坐标, 最后代入椭圆方程即可求得M点的轨迹方程。

几种常见求轨迹方程的方法研究 篇8

根据题意设出具体曲线方程,再根据题目给定的已知条件,代入所设方程中求出参数,得到所求曲线方程。

二、待定系数法

三、定义法

四、代入法

五、点差法

六、交轨法

求两条动曲线交点的轨迹方程,可选取同一参数及动点坐标x,y分别表示两条动曲线方程,然后联立它们消去参数便得到交点的轨迹方程。

七、结束语

总之,求轨迹方程的问题,要理解函数与方程的思想;求曲线的方程,就是将几何性质表示为横纵坐标的方程及函数关系,并注重数形结合与等价代换的思想,按思路按步骤去求解。

摘要：求轨迹方程除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握,还充分考查各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力。文章从直接法、待定系数法、定义法、代入法、点差法、交轨法六方面,研究几种常见求轨迹方程的方法。

关键词：曲线与方程,轨迹方程,常见题型,求解方法

参考文献

[1]席明闰.动点轨迹方程的求法初探[J].漯河职业技术学院学报,2010(02).

曲线轨迹方程 篇9

具体通过以下几个例子来分析.

例1求与直线3x+4y-7=0垂直, 且在y轴上的截距为-2的直线.

解法一因为和直线3x+4y-7=0垂直, 所以所求的直线方程是4x-3y+m=0 (其中m是参数) .

因为直线过点 (0, -2) , 将 (0, -2) 代入4x-3y+m=0,

所以直线方程是4x-3y-6=0.

分析此解法先利用垂直的直线系方程设出方程, 再将 (0, -2) 代入, 使这道题变得简单易于理解, 计算量也小.

解法二因为“在y轴上截距为-2”, 所以设直线方程为y=kx-2.

因为所求直线垂直于3x+4y-7=0, 所以得

代入得所求的方程为4x-3y-6=0.

分析此解法从平行的直线系入手, 先得到直线方程为y=kx-2, 再根据垂直条件得到这样做思维简单易于入手.

解法三因为此直线过点 (-2, 0) , 用点斜式设直线方程为y+2=k (x-0) , 即y=kx-2, (斜率k是参数) .

因为直线垂直于直线3x+4y-7=0, 所以

代入得到所求的方程为4x-3y-6=0.

分析此解法先利用过已知点 (-2, 0) 的直线系方程得y+2=k (x-0) , 再根据垂直条件得到此法也是一个不错的选择.

例2求和直线3x+4y+2=0平行, 且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程.

解因为直线平行于直线3x+4y+2=0, 所以设所求直线方程为3x+4y+λ=0 (λ为参数) , 所以在x轴、y轴的截距分别为解得λ=±24.

所求直线l的方程为3x+4y±24=0.

分析此题是用了平行的直线系方程先设出方程, 再根据三角形面积的计算得出参数的值, 从而解决了问题, 此法不但思路清晰, 而且便于计算.

例3对于任意的实数k, 直线 (3k+2) x-ky-2=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是________.

解直线方程可化为k (3x-y) +2x-2=0, 由3x-y=0且2x-2=0得直线恒过定点 (1, 3) , 而点 (1, 3) 在圆上, 所以直线与圆相交或相切.

分析利用过交点的直线系方程可得直线恒过点 (1, 3) , 使这个题目变得简单.

通过上面的例子, 我们可以看出给直线方程引入参数, 可以勾画出满足某些特点的一组直线, 数学上称之为直线系, 利用已知直线系可以使我们理清思维, 简化做题过程, 并能大量地减少计算量.经总结发现直线系常见的有以下几种形式:

(1) 与已知直线Ax+By+C=0平行的直线系方程Ax+By+λ=0 (λ是参数)

(2) 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程BxAy+λ=0 (λ为参数)

(3) 过已知点P (x0, y0) 的直线系方程y-y0=k (x-x0) 和x=x0 (k为参数)

(4) 斜率为k的直线系方程y=kx+b (b是参数)

(5) 过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2) =0 (λ为参数)

在曲线方程中也有和直线系方程类似的曲线系方程的思想, 我们以圆和双曲线为例来分析.