数学物理方程

数学物理方程（共12篇）

数学物理方程 篇1

《数学物理方程》教学大纲

（Equations of Mathematical Physics）

一.课程编号：040520 二.课程类型：限选课

学时/学分：40/2.5

适用专业：信息与计算科学专业

先修课程：数学分析，高等代数，常微分方程、复变函数 三.课程的性质与任务：

本课程是信息与计算科学专业的一门限选课程。数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。通过本课程的学习，要求学生掌握数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧。本课程主要讲述三类典型的数学物理方程，即波动方程、热传导方程、调和方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的分离变量法、D`Alembert解法、积分变换法、Green函数法，变分法等。

四、教学主要内容及学时分配

（一）典型方程和定解条件的推导（7学时）

一些典型方程的形式, 定解条件的推导。偏微分方程基本知识、方程的分类与化简、迭加原理与齐次化原理。

（二）分离变量法（7学时）

三类边界条件下的分离变量法, 圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法,求解一类非齐次方程的定解问题,非齐次边界条件的处理方法.（三）积分变换法（8学时）

Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，Fourier变换和Laplace变换的在求解数学物理方程中的应用。

（四）行波法（7学时）

一维波动方程的求解方法，高维波动方程的球面平均法，降维法

（五）格林函数（6学时）

微积分中学中的几个重要公式；调和函数的Green公式和性质；格林函数；格林函数的性质；格林函数的求解方法。

（六）变分法（5学时）

变分法的一些基本概念，泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题

五、教学基本要求

通过教师的教学，使学生达到下列要求

（一）掌握典型方程和定解条件的表达形式，了解一些典型方程的推导过程，会把一个物理问题转化为定解问题。掌握偏微分方程的基本概念，掌握关于两个变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简，掌握迭加原理与齐次化原理。

（二）掌握分离变量法在三种定解条件下的求解步骤，理解圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法, 会求解非齐次方程的定解问题,掌握非齐次边界条件的处理方法。

（三）掌握达朗贝尔公式的推导过程和物理意义，掌握解决柯西始值问题的行波法。了解依赖区间、决定区域、特征线、影响区域和决定区域的概念。掌握三维波动方程的初值问题的径向对称解，了解高维波动方程初值问题的球面平均法和降维法。

（四）掌握Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，会Fourier变换和Laplace变换的在求解某些简单的数学物理方程定解问题。

（五）掌握Green第一公式和第二公式。掌握调和函数的Green公式和性质，理解格林函数的基本性质。会求半空间和球域上的格林函数。

（六）掌握变分法的基本概念，会求解几类典型的变分问题的解。

六、课程内容的重点和深广度要求

教学基本要求中的数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧是本课程的重点，此外，学生对下列各项也应给予注意：

1.线性偏微分方程的分类与化简。

2.固有值问题，关于固有值与固有函数讨论。3.方程与边界条件同时齐次化的简易方法。4.Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质。5.格林函数的定义和基本性质

6.泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题。

七、作业、辅导与考试

作业与辅导：作业次数或作业量：每学期约布置20—24次作业，每次平均4题左右。每周一次课外辅导。

考核方法：平时考核占总成绩30%，期末考试占70%。

八、本课程与后续课程的关系

本课程是继数学分析、线性代数、常微分方程、实变函数与泛函分析、复变函数和普通物理之后的一门专业基础课，它既广泛地应用上述基础课程的基本理论、数学思想、解题方法与技巧，又以新的研究对象，发展了这些基础学科的基本理论，形成研究经典偏微分方程的一系列新的理论和解决问题的方法。为进一步学习偏微分方程专业课程打下良好的基础。

九、对学生能力培养的要求

学生能够从物理问题中提炼出方程模型，并能用本课程所学方法解决问题。

十、使用教材及主要参考书

[1] 胡学刚等.数学物理方法.机械工业出版社，1997.[2] 吴方同编著.数学物理方程.武汉大学出版社，2001.[3] 谷超豪、李大潜等.数学物理方程（第二版）.高等教育出版社，2002.[4] 姜礼尚等.数学物理方程讲义（第二版）.高等教育出版社，1996.[5] 陈恕行等.数学物理方程.复旦大学出版社，2003.[6] 王元明.工程数学：数学物理方程与特殊函数（第三版）.高等教育出版社，2004.[7] 王元明.工程数学：数学物理方程与特殊函数学习指南.高等教育出版社，2004.[8] 戴嘉尊.数学物理方程.东南大学出版社，2002 [9] Lawrence C Evans.Partial Differential Equations.American Mathematical Society, Provodence, Rhode Island，1998.十一、教学方法和教学媒体的使用

采用启发式、提问式等教学方法，辅以板书和多媒体相结合的教学手段。

十二、学习方法与建议

建议学生采取课前阅读，上课时认真听讲，课后多作练习的学习方法。

数学物理方程 篇2

绪论课是数学物理方程教学之始的关键点, 具有基础性和导向性。通过绪论课使学生对这门课程的整体框架建立一个初步感观, 了解学习内容、明确学习方向、掌握学习方法、认识课程的前沿动态, 进一步解决“为何学”、“学什么”和“如何学”三个问题, 从而充分调动他们日后学习该课程的积极性。以前, 笔者在教学中对绪论课的重要性认识不足, 基本上照本宣科, 复述课程的绪论内容, 另一方面, 限于课时少的因素, 对于该课程的发展历史等精彩部分常省略不讲, 导致学生对该课程的认识不深, 越听越烦, 没有发挥绪论课的引导性作用。经过一段时间的教学实践与思考, 笔者认为必须尽快转变“绪论可有可无, 浪费课时”的错误想法, 树立“绪论既是教材的重点, 也是教材的难点”的正确观念。其实, 对于数学专业的学生来说, 最感兴趣的莫过于数学理论、方法对社会发展所起的重要作用。通过讲解数学物理方程的发展简史及其在社会发展中所发挥的作用, 可以引起学生的共鸣, 激发学生的学习热情。近几年, 笔者通过对绪论课内容的不断更新完善, 以及对多媒体课件的精心设计, 使学生及时认识到学习数学物理方程的必要性和重要性, 取得了良好的教学效果。现就绪论课的教学实践做四点总结。

1 简介数学物理方程的发展史

数学物理方程主要指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程 (包括积分方程、微分积分方程等) , 它们反映未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的相互制约关系.

18世纪初期, Jacob Bernoulli, Johann Bernoulli, Daniel Bernoulli, Brook Taylor, Euler等学者对弹性物体的变形和流体的运动等物理问题的广泛研究导致了数学物理方程的诞生。但在1740年以前均没有找到描述这类问题的一般偏微分方程, 第一个力学上的一般偏微分方程, 即重链在其铅垂的平衡位置附近振动的方程, 是由D’Alembert在1743年提出的。1746年, D’Alember以小提琴弦为典型的弦振动问题导出了著名的弦振动方程。从那以后, 陆续诞生了声音传播的波动方程, 膜的振动方程, 杆的振动方程等一系列数学物理方程。1750年, D’Alembert提出了利用分离变量法的思想求解弦振动方程。为了得到泛定方程满足定解条件的解, Daniel Bernoulli于1753年提出将解叠加的思想。但得到了同时代流体热学专家Euler, Lagrange等人的反对。19世纪, Fourier在研究热传导问题时, 碰到了和他的前辈们在研究弦振动方程时同样的难题, 即是否任意函数都可以表示成三角级数?Fourier对这一问题持肯定态度并将其发展, 后人称为Fourier方法或驻波法。但Fourie的论证不严密, 历史上第一次给出函数可以展成三角级数的充分性条件是Dirichlet.1782年, Laplace在研究位势函数时, 发现了Laplace方程。19世纪中叶, 从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分方程的一般理论, 如方程的分类、特征理论等。Cauchy是讨论数学物理方程解的存在性的第一人, 1848年, 他在一系列论文中论述了如何将任意阶数大于1的偏微分方程化为偏微分方程组, 然后讨论偏微分方程组解的存在性并提出证明存在性的强函数方法。数学物理方程的求解促使数学其他分支如泛函分析、变分法、复变函数、数值计算、代数、微分几何等各个学科的快速发展。到了20世纪, 随着电子计算机和数学其他分支的迅速发展, 数学物理方程的研究也取得了前所未有的发展, 这些发展呈现如下特点: (1) 出现更多的非线性偏微分方程 (组) ; (2) 定解条件由传统的线性、逐点表示发展为非线性、非局部; (3) 与计算机、数学其他分支的关系更为密切。

2 介绍数学物理方程的内容

佛山科学技术学院数学物理方程的授课学时仅有32学时, 学生的大学数学、普通物理的基础知识比较薄弱, 因此教学任务集中, 难而繁的定理证明或模型推导只讲思想不讲过程。课程的教授内容主要是讲授三类典型方程:波动方程、热传导方程和位势方程和四种典型方法:分离变量法、行波法、积分变换法和Green函数法。进一步, 指出这三类方程的推导是利用两大物理定律——守恒律和变分原理以及两个数学基本方法——微元法和Fubini交换积分次序定理;而四种方法也是围绕这三类经典方程在不同定解条件下展开的。具体而言, 对于弦振动方程, 主要学习弦振动方程初值问题的特征线法和行波法、弦振动方程半无界问题的对称延拓法、弦振动方程混合问题的分离变量法。对于热传导方程, 主要学习一维热传导方程初值问题的Fourier变换方法、一维热传导方程半无界问题的对称延拓法、一维热传导方程混合问题的分离变量法。对于位势方程, 主要学习基本解和Green函数法。通过数学物理方程的学习, 学生需要达到以下三点要求:第一, 从实际问题中抽象出来的数学物理方程的建模及相应的求解方法;第二, 理解数学物理方程中的系数或边界条件所描述的物理背景以及利用数学结果解释物理现象;第三, 利用Matlab的工具箱画图, 辅助分析解的性态。

3 研究数学物理方程的意义

数学物理方程广泛应用于人口问题、流行病动力学、种群生态学、高速飞行、石油开发、城市交通等各个领域, 以三大经典方程为例, 热传导方程可以应用于金融数学中的期权模型, Laplace方程常应用于电磁场, 借助波动方程可以判断煤层是否能安全生产。有时, 单个数学物理方程不足以刻画物理现象或规律, 而需要多个方程耦合而成, 例如, 油田试井中描述渗流过程的数学物理方程一般由以下四个方程融合而成:第一, 反映渗流过程中物质平衡的连续方程;第二, 描述物质运动行为特征的运动方程;第三, 反映渗流过程中流体及介质状态变化的状态方程;第四, 表征渗流过程中产生的一些特殊的物理化学过程的特征方程。针对这个问题, 我们可以假设均质有界地层, 外边界定压, 初始压力均匀分布, 流体为单相可微压缩等条件, 在合理假设条件下, 省略一些因素, 构建相应的泛定方程和定解条件, 从而就构成一个数学物理方程的定解问题, 对方程进行分类, 化简, 选取合适的数学方法进行求解, 利用求解结果解释物理规律。

4 多媒体课件与Matlab软件包模拟综合运用, 改善教学效果

为吸引学生的注意力, 提高他们的学习兴趣, 在课堂教学中, 笔者综合运用多种教学手段提高教学质量, 改善教学效果。首先是充分发挥多媒体教学的优势。多媒体课件可以综合多种教学艺术效果, 根据数学物理方程绪论课的特点, 通过精心设计, 恰当地使用图片、文字、声音、动画等形式, 充分发挥多媒体形象、直观、交互性强的优势, 创造生动的教学氛围。其次, Matlab具有强大的数值计算和数据图形可视化的功能, 因此在数学物理方程这种理论性强的课程教学中, 适当地引入Matlab的实验教学, 使许多抽象问题的求解过程被直接地演示, 将抽象的数学知识, 繁杂的计算过程直观地呈现在学生的面前, 使学生对相应的算法有直接的认识, 从而激发他们学习数学物理方程的兴趣, 进一步强化学生的应用意识, 培养学生的实践动手能力。

通过绪论课的有效引导, 使学生快速地明白数学物理方程的主旨和篇章结构, 熟悉教材的知识系统, 发挥主动学习数学物理方程的积极性, 初步了解握数学物理方程的一般理论和研究方法, 启发和培养学生浓厚的学习兴趣, 建立整体概念, 为达到理论与实践相结合的新型应用性人才的培养目标, 起个好开端。另一方面, 通过愉悦地学习绪论, 达到师生之间的感情交流, 使学生对老师的敬佩之情转化为对该课程的喜爱, 从而建立学生学习数学物理方程的良好心理环境。

摘要：绪论课是课程建设中的重要一环, 具有基础性和导向性。通过绪论课的有效引导, 使学生顺利地进入新学科的学习, 进一步使学生了解本课程将要学习的基本内容。本文通过介绍数学物理方程的发展史, 研究内容和意义, 阐述如何上好绪论课, 从而激发学生的学习兴趣。

关键词：数学物理方程,绪论课,教学探讨

参考文献

[1]谷超豪, 李大潜.数学物理方程 (2版) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

[2]李汉龙, 缪淑贤.数学物理方程[M].北京:国防工业出版社, 2009.

[3]李文林.数学史概论[M].北京:高等教育出版社, 2002.

数学物理方程 篇3

关键词：数学物理方程 课程特点 教学方法 教学手段

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）12（a）-0131-02

数学物理方程主要指从物理学和其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程[1]。它是数学理论联系实际问题的一个重要桥梁。数学物理方程课程就是通过讲授三类典型的数学物理方程（即波动方程，热传导方程和调和方程）的导出、定解问题的求解以及解的性质的探讨来培养学生掌握基本的数学物理方程的理论、方法和技巧，形成理性思维品质以及具有较高的分析和解决实际问题的能力，为后续课程的学习或者从事相关工作奠定基础。

目前，数学物理方程课程是国内众多高校数学类有关专业本科生的一门重要的专业基础课，同时也是物理、力学和土木等理工科专业本科生或研究生的一门专业必修课。然而在这门课教与学的过程中，学生普遍反映难学，教师普遍反映难教。究其原因，主要有以下几个方面：（1）该课程涉及的专业知识多。学习这门课程需要学生事先掌握“数学分析”“线性代数”“常微分方程”“复变函数”与“大学物理”等课程的有关知识。（2）该课程的理论性强、计算量大。在介绍三类典型方程定解问题的求解过程中，会有许多数学理论和方法，其计算过程往往复杂、冗长，学生易产生畏难情绪。（3）学生缺乏运用数学知识解决实际问题的能力。这直接导致学生反映作业难度大。针对这些问题，笔者结合自身的教学实践，谈谈对这门课教学的一些做法和体会。

1 督促学生复习相关基础知识

学习数学物理方程课程，需要学生具备较好的数学和物理基础，即要预先掌握上面提到的一些基础课程的相关知识。例如在讲授三类典型方程的导出时，频繁用到“数学分析”中二重与三重积分、曲面积分、Green公式和场论初步等知识；讲授用分离变量法求解三类方程的定解问题时，需要求解二阶齐次常微分方程的特征值问题；讲授用Fourier变换法求解热传导方程的Cauchy问题时，需要学生会利用“复变函数”中的Cauchy积分定理来求解已知函数的Fourier逆变换。学生虽已学过这些知识，但可能没有学好或者遗忘。因此在讲授这些内容前，都要督促学生提前复习有关基础知识，这对课堂教学起到了重要的铺垫作用。否则，学生听课就会感到费解，从而逐渐失去学习兴趣。另外，教师在介绍三类方程的导出时，应带领学生及时回顾有关物理知识，如冲量定理和热量守恒定律等，这都有利于学生的理解。

2 结合课程特点讲授内容，突出重点

2.1 突出课程的主要内容

在课程内容的选择上，应根据专业特点及培养方案，精选经典的内容，淘汰复杂难懂的内容。在课时较少的情况下，更应如此。以数学系信息与计算科学专业该课程的教学为例，应重点讲授三类方程的导出、定解问题的提法、定解问题的适定性理论、解的性质以及解的物理意义这些内容；详细讲解行波法、分离变量法、Fourier变换法和格林函数法。通过例题讲解和习题训练让学生牢固掌握这些方法，这有利于培养学生分析、解决实际问题的能力。

2.2 突出讲授最基本的数学思想

在讲授课程内容的过程中，应突出讲授其中蕴含的最基本的数学思想，即“转化思想”。它是将各种复杂的或者未知的问题通过适当的变换转化为简单的或者已知的问题，从而最终解决原问题。数学物理方程课程教学过程中广泛体现了这一数学思想，例如在讲三类方程的导出时，我们从实际问题出发，抓住主要因素，忽略次要因素，从而将实际问题转化为数学模型；在讲分离变量法时，我们利用线性方程的叠加原理，将偏微分方程的边值问题转化为常微分方程的特征值问题来进行求解；在解非齐次方程的有关定解问题时，我们利用齐次化原理将其转化为齐次方程的情形处理，等等。“转化思想”充分体现了人们不断化繁为简、化难为易、化未知为已知的认识过程[2]。突出讲授这一数学思想，可以培养学生掌握科学的思维方法，从而提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。

2.3 突出有关内容的物理背景

数学物理方程主要来源于物理学和工程技术学科中，从每一类方程的导出到基本概念的建立，到解决问题的方法，最后到解的物理意义的阐述，无不与有关物理现象紧密相连。因此讲授这门课，要讲清楚有关内容的物理背景。这样某些数学概念和结果就有了直观性，既有利于学生理解和记忆，又有助于培养学生的数学想象力。比如在讲授二维和三维波动方程初值问题解的物理意义时，从数学表达式上可以推出三维情形下的解满足Huygens原理，二维情形的解反映出波的传播具有弥散现象。然而由于数学理论的抽象性，学生通常难以理解。如果结合生活中声音的传播和水波的例子分别加以说明，学生便不难理解其内容。

2.4 突出课程知识体系的统一性

数学物理方程课程的内容繁多，突出知识体系的统一性能让学生更好地从整体上把握这门课程的结构。而实现这一点，笔者认为关键是要强调该课程中人们处理问题的基本思路，即从实际问题出发，通过数学建模来导出数学物理方程，再根据实际问题来提一些定解条件，进而研究方程定解问题的适定性以及解的性质，最后利用所得到的数学理论来解决有关实际问题。这一基本思路贯穿于这门课教学的主要内容。教材[1]中所介绍的三类典型方程的数学理论均是按照这一思路展开的。在总结各类方程的知识时，可按照定解问题的提出、定解问题的适定性以及解的性质这几个方面将有关知识点统一起来。

3 运用多种教学方法与手段，提高学生的学习兴趣

数学物理方程课程的理论性强，其计算或证明的过程往往繁且难，单一的灌输式教学容易使学生失去学习兴趣。因此在课堂上，我们应采用多种教学方法和教学手段来提高学生的学习兴趣，调动他们学习的积极性和主动性。

首先，要实施启发式教学。教师在教学过程中，应坚持以学生为主体，采用引导和类比的方法，启法学生自觉思考，让他们独立地发现知识。为此，教师可以在问题的引入、语言的运用和板书的设计等方面精心组织安排，创设问题情境。比如在讲授完用分离变量法来求解波动方程具第一类边界条件的初边值问题后，自然要提问：如何对具有第二、第三类边界条件以及混合边界条件来求解？进一步地，此方法能否用到热传导方程的初边值问题和调和方程的边值问题中？这样学生的思路就会打开，起到了举一反三的效果[3]。

其次，利用多媒体辅助教学。数学物理方程中有许多复杂的公式和结论，可以利用多媒体进行演示，这样可以节省很多课堂时间，从而将更多的时间安排在重、难点的处理和师生互动的环节。课程中定理的证明和主要的求解方法还是应该详细地板书。此外，利用多媒体可以形象、生动地演示一些生活实例，这样可以提高学生的学习兴趣。

最后，适当补充一些学科前沿知识以拓宽学生的知识面。例如在讲Fourier变换时，可以简单地介绍下Fourier分析在信号分析和图像处理中的应用；在讲扩散方程时，可介绍下描述生物种群趋化性现象的Keller-Segel模型；在讲调和方程时可以介绍有关斑点形成等知识。这些既开阔了学生的视野，又激发了他们进一步学习的欲望。

参考文献

[1]谷超豪，李大潜，陈恕行，等.数学物理方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2012.

[2]艾军.“数学物理方程”教学上的“三突出”[J].高等理科教育，2006（2）：36-39.

数学日记方程 篇4

[一号病例]判断：b÷4=6是方程。……(×)

诊断:含有未知数的等式，称为方程。这个错例认为未知数一定要用 x来表示，实际上b、c、d、y……等等字母都能用来表示未知数，只是在习惯上，一般用x、y、z来表示。

处方： 判断：b÷4=6是方程。……(√)

[二号病例]判断:方程的解就是解方程。……(√)

诊断:使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，它是一个未知数的值;而解方程是求方程的解的过程，是一个过程。

处方： 判断：方程的解就是解方程。……(×)

[三号病例]解方程：x+3.2=4.6

①x+3.2=4.6 ②x+3.2=4.6 ③x+3.2=4.6

解: x+3.2=4.6 解:x+3.2-3.2=4.6+3.2 解: x+3.2-3.2=4.6-3.6

x+3.2-3.2=4.6 x=7.8 x=1

x=4.6

诊断：根据等式的性质1： 方程两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。我们在运用的时候要特别注意对这个性质当中的几个关键词语的理解，即“两边同时”、“加上或减去”、“同一个数”。本题以上三种方法就是对这几个关键词的理解不到位，而造成错误。

处方：解方程 x+3.2=4.6

解：x+3.2-3.2=4.6-3.2

x=1.4

[四号病例]解方程x÷3=2.1

①x÷3=2.1 ②x÷3=2.1 ③x÷3=2.1

解：x÷3×3=2.1 解：x÷3×3=2.1÷3 解：x÷3×3=2.1×2

x=2.1 x=0.7 x=4.2

诊断：根据等式的性质2：方程两边同时乘上或除以同一个不等于0的数，左右两边仍然相等。我们在运用的时候要特别注意对这个性质当中的几个关键词语的理解，即“两边同时”、“乘上或除以”、“同一个数”、“不等于0”。本题也是对这几个关键词的理解不到位，而造成错误。

处方：解方程： x÷3=2.1

解：x÷3×3=2.1÷3

x=0.7

[五号病例]解方程 10(x+5)=170

解：10(x+5-5)=170-5

10x=165

10x÷10=165÷10

x=16.5

诊断：因为10(x+5)-5=10x+10×5-5=10x+45并不等于10(x+5-5)=10x，所以应先把(x+5)看成一个整体。

处方：10(x+5)=170

10(x+5) ÷10=170÷10

x+5=17

x+5-5=17-5

x=12

[六号病例]一个足球上，白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块。共有多少块黑色皮?

解：设共有x块黑色皮。

2x+4=20

2x+4-4=20-4

2x=16

2x÷2=16÷2

x=8 答：共有8块黑色皮。

诊断：根据题意可知：白色皮比黑色皮的2倍少4块，而不是比黑色皮的2倍多4块。应是黑色皮块数的2倍减去4块等于白色皮20块。因此我们在审题时要注意谁比谁的几倍多几，谁比谁的几倍少几。

处方： 解：设共有x块黑色皮。

2x-4=20

2x-4+4=20+4

2x=24

2x÷2=24÷2

数学直线的方程公式 篇5

平面方程

1、一般式：适用于所有直线

Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0)

2、点斜式：知道直线上一点(x0，y0)，并且直线的斜率k存在，则直线可表示为

y-y0=k(x-x0)

当k不存在时，直线可表示为

x=x0

3、斜截式：在y轴上截距为b(即过(0，b))，斜率为k的直线

由点斜式可得斜截式y=kx+b

与点斜式一样，也需要考虑K存不存在

4、截距式：不适用于和任意坐标轴垂直的直线

知道直线与x轴交于(a，0)，与y轴交于(0，b)，则直线可表示为

bx+ay-ab=0

特别地，当ab均不为0时，斜截式可写为x/a+y/b=1

5、两点式：过(x1，y1)(x2，y2)的直线

(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)(斜率k需存在)

6、法线式

Xcosθ+ysinθ-p=0

其中p为原点到直线的距离，θ为法线与X轴正方向的夹角

7、点方向式 (X-X0)/U=(Y-Y0)/V

(U，V不等于0，即点方向式不能表示与坐标平行的式子)

8、点法向式

a(X-X0)+b(y-y0)=0

空间方程

1、一般式

ax+bz+c=0,dy+ez+fc=0

2、点向式：

设直线方向向量为(u,v,w )，经过点( x0,y0,z0)

(X-X0)/u=(Y-Y0)/v=(x-x0)/w

3、x0y式

x=kz+b,y=lz+b

总结归纳一共有11个直线的方程公式，要运用好的时候也请大家选择了。

1.关于初中数学空间方程公式表

2.点到直线的距离公式

3.小升初数学常用公式

4.数学图形计算公式

5.数学公式口诀速记

6.小升初数学追及问题公式

7.数学公式整理汇总

8.小学数学图形计算公式公式

9.数学图形计算公式大全

高中数学 《圆与方程》教案 篇6

一、教学目标(一)知识教学点

使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

(二)能力训练点

使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．

(三)学科渗透点

通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．

二、教材分析

1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．)2．难点：圆的一般方程的特点．

(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．)3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0．(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．)

三、活动设计

讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．

四、教学过程(一)复习引入新课

前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．

(二)圆的一般方程的定义

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：

(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程

半径的圆；

(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形． 这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．

2．圆的一般方程的定义

当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．

同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握． 例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有

解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0． 例2小结：

1．用待定系数法求圆的方程的步骤：

(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；

(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例： 例3 求圆心在直线 l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．

(0，2)．

设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为

故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． 这时，教师指出：

(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．

(2)此题也可以用圆系方程来解： 设所求圆的方程为：

x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：

由圆心在直线l上得λ=-2．

将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念． 的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线． 此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：

(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；

(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形．(五)小结

数学物理方程 篇7

二第一积分中值定理在数学物理方程中的应用

1.弦振动方程的推导

2.热传导方程的推导

为了得到微分形式的热传导方程, 假设u (x, t) 有连续的导函数和偏导数, 利用第一积分中值定理就可以得到:

第一积分中值定理在微分学中还有许多应用, 如在第一类曲线积分的计算公式的推导, 化第一类曲面积分为二重积分的推导, 以及格林公式的推导中都有积分中值定理的应用。另外, 第一积分中值定理在后续课程中也有不少的应用。

参考文献

[1]关若锋.积分中值定理的推广[J].广州大学学报 (自然科学版) , 2004 (6)

小学数学方程思维的建立 篇8

关键词：小学数学;方程思维;教学方法

在数学中，方程思维是一个重要的思维体系，随着方程思维的出现，数学的应用领域得到了极大的扩展。对于极具复杂性并且具备多元未知数的数学模型，在很多时候我们只能够利用方程思维进行建模及后期处理。在计算机技术高速发展的背景下，计算机极强的计算功能使方程思维的应用范围获得了进一步拓展。同时，在此背景下，基于数学教育体系，方程思维的构建及发散便成为了一项热点及重点研究工作。在小学数学教学工作中不难发现，有些学习基础较差的学生在面对数学题时，常常感到头痛，他们觉得学习数学是一件特别困难的事情，主要表现为理解能力不足、推导能力缺乏等。因此，在小学数学教学过程中，教师不妨建立方程思维，以此作为导向，为小学生学习提供全新的方法。鉴于此，本文对“小学数学方程思维的建立”进行探讨与研究具有深远的意义。

一、方程思维在小学数学教学中的重要作用分析

在小学数学教学中建立方程思维，首先便需要认识方程思维的重要作用，这样才能够使其在小学数学教学过程中发挥应有的优势。笔者认为，对于方程思维的重要性，需从以下三方面分析。

基于宏观层面分析，方程能够对现实世界的各类数量关系进行清晰的描述。方程思维的核心是把问题当中的未知量以数字外的数学符号表示，通过使用的如x、y、z等，以相关数量之间的等量关系进一步构建出方程模型。方程思维传达出了已知数与未知数的对立统一，在数学建模过程中，它是非常重要的一个环节。

基于微观层面分析，在数学领域中，方程是主要内容之一。小学生的方程思维还不具明晰性，对于利用方程解决数学实际问题以及利用未知数参与等量关系式的构建还不够了解。因此，启发小学生的方程思维，能够培养其发散思维，使他们在小学数学学习过程中实现优化学习。

基于实际教学过程中所存在的问题分析，学生常常会遇到一些较为复杂的应用题，这些应用题使用常规方法进行解答较为棘手。另外，小学教材中出现的方程是极为简单的，这对数学应用问题的解答非常不利，同时小学生也没有建立方程模型的概念。因此，使小学生在小学数学教学过程中建立方程思维极为重要。

二、小学数学教学中建立方程思维的有效性探究

对于在小学数学教学中建立方程思维，仅有理论依据是远远不够的，还需要有实践证明。

1.建立“未知即已知”的方程思维理念

小学生对未知数x的含义往往不能够了解，对于这方面的问题，教师在教学过程中，需要灌输有效的方程思维理念，即“未知即已知”。我们可以从较为简易的应用题着手。

例题1：从A点到B点距离为1000米，小明以步行60m/min的速度从A点到B点，问小明需要花费多少时间？

对于例题1，需要求得的时间即为未知量，我们不妨设所需时间为x。以未知即已知的理念，教师可告诉学生把x当作是一个已知项，从而根据题干中的条件得出相应的方程关系式，即为：60x=1000，或x=1000/60或1000/x=60等，这些关系式便抛开了格式及可行性的局限，学生通过列出关系式，便能够顺利将问题解答出来。

当然，在学生充分了解例题1的求解方法之后，教师可以适当加大应用题的难度。

例题2：A、B相地相距140km，甲汽车以每小时40km的速度从A地出发，乙汽车以每小时60km从B地出发，问甲、乙两车何时相遇？

在例题2中，所存在的等量关系式便较为复杂，但通过灌输“未知即已知”的理念，仍能得出等量方程关系式，即为：40x+60x=140。

通过上述训练，不但能够让学生充分掌握方程解题的思维，而且通过“未知即已知”理念能够顺利列出方程等量关系式。

2.对难度较高的方程进行发散及掌握

显然，仅仅让学生掌握“未知即已知”的方程思维理念是远远不够的，因为这样没有对方程思维解题的优越性进行有效认识。因此，在教学过程中，灌输多元方程的概念便显得极为重要，这样才可使方程思维的便捷性得到有效体现。

例题3：小明在玩具店买了2个溜溜球，小东给了老板20元钱，找回2元钱，试问每个溜溜球的价格是多少？

解：教师需引导学生建立方程思想，即：2个溜溜球的价格+2元=20元;进一步设未知数x得出方程：2x+2=20;等式两边同加减得：2x+2-2=20-2，得：2x=18，x=9。所以，每个溜溜球的价格为9元。

解题完毕之后，教师可以告诉学生，利用方程能够解出其中的未知量，以此提升学生对数学的学习兴趣。当然，有些学生还会提到常规的方法，因此教师便需要将方程思想与传统算术进行对比，可以传达这样的信息给学生：首先，对于多个未知数的问题的解答，利用方程思维比传统算术方法要简单很多。其次，通过设未知量进行求解，一旦方程关系式确定，那么便很容易求出问题所涉及到的数值。通过分析与对比，学生便能够清晰地了解数学思维的重要性，进而在今后遇到类似问题时，能够发散方程思维，通过方程等量关系式对数学问题进行有效解答，从而达到优化学习的目的。

3.解题时使“式与方程”充分衔接

“式与方程”是小学数学教学中的重难点知识，在这一课程学习过程中，显然离不开方程思维的建立。因此，在解题的时候便需要使“式与方程”充分衔接，以此激发学生的学习兴趣，使他们的逻辑思维能力得到有效培养。

例题4：

■

摆1个三角形需3根小棒：1×3;

摆2个三角形需小棒的根数为：2×3;

摆3个三角形需小棒的根数为：（）×3;

摆4个三角形需小棒的根数为：（）×3;

……

摆x个三角形需小棒的根数为：（）×（）。

问：在这里你知道x可以表示哪些数吗？

对于上述问题，我们可以清晰地得出，摆x个三角形需小棒的根数为3x根，即无论多少个三角形，所需小棒根数是三角形的3倍。当然，在这里x≥1，且x为整数。通过例题4的数学，便可以进一步学习如“ax±by”这样含有字母的式子，充分了解这方面的知识，无疑为今后学习ax+by=c式的方程奠定了坚实的基础。

除了利用上述方法在小学数学教学过程中建立方程思想外，在平常解题过程中，教师还可以利用方程的解题方法对数学问题进行有效解答，如方程当中的“加减消元法”“乘除消元法”等。通过这些技巧的训练，让学生感受到在建立方程思维过程中，利用方程对数学问题进行解答的简便性，这样在激发学生学习数学的积极性的基础上，能使学生的学习效率得到大大提升。

三、结束语

在小学数学教学过程中，建立小学的方程思维有其重要性与必要性。然而这是一项系统化的工作，不能一蹴而就，需要从多方面进行完善。如明确方程思维理念，即“未知即已知”，对难度较高的方程进行发散，掌握利用方程的解题方法等。

参考文献：

[1]王德兵.放慢节奏 放飞思维——小学数学有效教学探析[J].学生之友（小学版）（下），2013（10）：45.

[2]徐小芳.多元方法介入，破除小学数学方程教学难题[J].新课程导学，2014（3）：29-31.

[3]冯翠.电子教辅资源在小学数学教学中的应用[J].学周刊，2014（22）：184-185.

[4]李秀娣.小学数学课堂教学中学生思维能力培养的问题与对策[J].教育理论与实践，2013，（14）：59-61.

小学数学方程应用题 篇9

2.去年小明比他爸爸小28岁，今年爸爸的年龄是小明的8倍。小明今年多少岁?

3.果园里梨树和桃树共有365棵，桃树的棵树比梨树的2倍多5棵。果园里梨树和桃树各有多少棵?

4.一辆汽车第一天行了3小时，第二天行了5小时，第一天比第二天少行90千米。平均每小时行多少千米?

5.甲、乙两地相距1000米，小华从甲地、小明从乙地同时相向而行，小华每分钟走80米，小明每分钟走45米。两人几分相遇?

5.两地间的路程是210千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，3.5小时相遇，甲车每小时行28千米。乙车每小时行多少千米?

6.甲、乙两地相距189千米，一列快车从甲地开往乙地每小时行72千米，一列慢车从乙地去甲地每小时行54千米。若两车同时发车，几小时后两车相距31.5千米?7.一个筑路队要筑1680米长的路。已经筑了15天，平均每天筑60米。其余的12天筑完，平均每天筑多少米?

8.学校买来6张桌子和12把椅子，共付215.40元，每把椅子7.5元。每张桌子多少元?(先用方程解，再用算术方法解。)

9.菜场运来萝卜25筐，黄瓜32筐，共重1870千克。已知每筐萝卜重30千克，黄瓜每筐重多少千克?

10.用两段布做相同的套装，第一段布长75米，第二段长100米，第一段布比第二段布少做10套。每套服装用布多少米?

六年级数学解方程试题 篇10

一、填空：18分每空1分

1、一筐黄瓜的质量是一篮土豆的5倍。如果土豆重X千克，黄瓜重（       ）千克，黄瓜和土豆一共重（       ）千克，土豆比黄瓜轻（       ）千克。

2、某电脑专卖店卖出35台电脑，销售总额达b元，每台电脑卖了（     ）元。

3、一平行四边形的底是2.8厘米，高是X厘米，它的面积是（     ）平方厘米。

4、李老师买了8支钢笔奖励给学生，每支X元，付出50元，应找回（     ）元。

5、王老师买钢多笔和圆珠笔各X支，圆珠笔每支1.5元，钢笔每支5.6元，一共要付（    ）元，钢笔比圆珠笔贵（     ）元。

6、小刚今年X岁,爸爸的年龄比他的3倍还多2岁。爸爸今年（        ）岁。

7、商店里有300千克苹果，每筐苹果有a千克，卖出8筐后，还剩（   ）筐。

8、在（    ）里填上“＞”“＜”或“=”。

（1）当X=6时，2X＋5X（    ）40    （2）当 X=2.1时,5X－2.5（    ）8

（3）当Y=3时,1.3Y－0.9（    ）3   （4）当X=5时，6X－X（    ）30

9、（         ）比36的2倍多4。     36比（         ）的2倍多4。

10、一个长方形和一个正方形的周长相等。如果正方形的边长是6厘米，长方形的长是7厘米，那么长方形的宽是（         ）厘米。

11、今年爸爸比小林大a岁，5年后，爸爸比小林大（        ）岁。

二、选择：4分每题1分

1、方程0.5X－0.5=1.5的x的值是（     ）

A、X=0.5          B、X=1.5         C=3.5            D、X=4

2、下列式子是方程的有（     ）

A、5X＋1.8=3.6  B、4.9－3×1.6=0.1  C、7.8×4－0.3X  D、9.2X＋0.8X＞3.6

3、甲数a，比乙数的3倍少b，表示乙数的式子是（     ）

A、3a－b       B、a÷3－b        C、(a－b)÷3          D、(a+b)÷3

4、一辆汽车每小时行驶a千米，第一天行驶了b小时，第二天行驶了c小时，两天共行驶（   ）千米。

A、(2a＋c)×2    B、(b＋c)×a      C、(b－c)×a     D、(2b－c)×a

三、解方程：18分每题3分

8.8＋4X=40                 12X÷3=16                 6X＋2X=56

3X－0.5X=5               0.24X－1.8=4.2             3X＋5×0.3=4.5

四、操作：6分

1、请你画一条长10cm的线段，再把这条线段分成两段，使其中的一段是另一段的4倍。

2、右图中每个小方格的边长表示1厘米。先在图中画一个周长是16厘米、宽3厘米的长方形。再把这个长方形内的方格分别涂上红色和黑色，使红色方格的面积是黑色方格面积的2倍。

五、用方程解下面的问题：每题6分

1、一个小区，今年植树38棵，今年植树的棵数比去年的3倍还少7棵。去年植树多少棵？

2、一个三角形的面积是120平方厘米。如果它的底是20厘米，高是多少厘米？

3、公园里菊花和月季花一共560盆，菊花的.盆数是月季花的1.8倍，菊花和月季花各有多少盆？

4、星光小学二年级人数是一年级的1.5倍，二年级比一年级多30人，一、二年级各有多少人？

5、校园里有4行树，每行15棵，今年春季又种了一些树，现在共有105棵树。春季种了多少棵树？

6、师徒两人加工一批零件共357个，师傅每小时加工65个，徒弟每小时加工54个，几小时可以完成加工任务？

7、两地间的路程是210千米，一列客车和一列货车同时从两地相向开出，3.5小时相遇，客车每小时行驶28千米。货车每小时行驶多少千米？

8、下面是东郊动物园一周内售出门票张数统计表。

星期三比星期二少收入900元。每张门票多少元？

9、一辆汽车第一天行驶了3小时，第二天行驶了5小时，第一天比第二天少行驶90千米。平均每小时行驶多少千米？

六、附加题。

1、有两块布料，第一块长148米，第二块长100米。两块布各剪去同样长的一段后，第一块剩下的长度是第二块的3倍。两块布料各剩下多少米？

高中数学方程求解教学思路研究 篇11

【关键词】高中数学 方程求解 教学思路 深入研究

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）30-0099-01

数学能够很好的提升人们在逻辑方面的思维能力，同时将数学知识及时应用到社会生活中，能够更好的改善学生生活能力。方程求解在数学教学中具有非常显著的作用，并且随着社会的发展以及数学领域的发展，在一定程度上推动了数学教学的进步与成熟，数学方程教学思路在现在的社会中应用非常广泛，根据数学方程解题思路在数学教学中的作用进行详细研究。

一、方程求解思路在数学中的发展与应用

在进行数学的教育与发展期间，其中包含很多的方程或是公式等，例如常见的线性方程或是指数方程等，虽然方程是数学学习中重要的内容，但是简单的方程不是解决所以数学问题的方法。所以根据这样的数学发展，需要根据问题中提出的实际需要，结合各种条件探索未知方程式。

很多数学问题并不是根据一个简单的方程式或是不变的数值就能得出答案，需要很多的未知数，是一种复杂的函数形式。在遇到这种问题期间，其实并没有想象中那么复杂，因为数学方程式之间具有很多的相同之处，利用已知的方程式能够引出另一种解题公式。

将题目中的已知条件进行掌握，根据其中数值之间的联系分解出更多的解题方程式。数学解题的方式并不是一成不变的，其中有很多因素是随着条件的变化而变化的，但是在我们研究的方程解题思路中还存在很多的疑惑需要解决。通过解决的问题我们能够得出，方程解题思路主要是根据其中的一个或是多个未知数，寻找出其中的固定量，根据列出的未知数或是方程，求取其中的解进行全面的总结。

方程解题思路在数学中的应用主要指的是遇到一些比较复杂的问题中对复杂的现象进行详细的分析，从中掌握数学知识中存在的规律，探索出数学知识的抽象关系，利用这些探索的数学知识来解决现实中遇到的一些问题。

二、方程求解教学思路在数学教学中的特点

很多关系是瞬息万变的，其中包含方程式也是如此，在一个特定的空间或是时间中，因为具体的探索对象不固定，会出现很多的变化，所以这样的基础上会形成一种规律，清晰的掌握这些规律，从中探索出其中存在的一些原理，遭到解决问题的关键，这样的变化形式往往是一种数学模拟教学的状态[1]。

针对数学教学来讲，首先是利用具体的教学目的对其中的问题进行清晰的分析，根据方程式的形式理清方程求解思路，并且解答出其中存在的疑惑，解出方程中的答案，在根据答案进行探索与分析。

因为数学教学自身是一种在思维以及方式上的创新，主要针对问题进行分析与解决，是一个逻辑性的过程，其中的教学内容大部分来自实际的生活经验以及探索方法，利用准确的解题切入点逐渐深入。

在探索数学方程求解思路教学的过程中可以根据方程的形式进行问题的解决，因为解决的问题基本上是不固定的，所以解题的方式等比较繁琐，利用不同的方程的形式能够将其中的思路进行分分析，解决问题。

三、方程求解思路在数学教学中的具体应用

在碰到一些实际问题期间，首先需要明确对象，确定正确的数学方程教学形式。利用数学方程求解思路教学的目标以及方式进行解题思路的假想与简化，在根据其中的固定规律，探索出解题方式。

1.在生活中经常会遇到不同的方程数学解题教学形式，其中包含对经济变化的探析或是市场变化的增长、减少等问题，正常的情况下我们需要利用实际的发生情况建立方程的求解思路，从其中探索出经济或是市场变量，及时进行经济策略的制定[2]。例如：在市场上推行一种新的产品，t期间的市场销售量为，但是因为商品的质量以及生产方面都比较优秀，所以基本上生产出的成品都能够作为一个宣传品。所以t时期的产品生产销量能够达到，与基本上是正比例分配，并且在产品生产与销售期间，需要详细了解到市场经济下对这种产品的具体容量，用字母N来表示，根据相关的资料显示这种商品中的在没有大部分进行销售期间已经与销量成正比，所以计算方程式为：，在公式中的使用常数为k >0，那么计算的变量与积分等方式为：，在这样的计算方式下，销售量的逐渐增加会引起销售速度的不断加快，市场的容量会随着商品销售的变化逐渐变化。

2.对于这种方程求解思路教学的形式在很多科目中都应用的非常普遍，其中最明显的就是物理中的动力学模型。根据方程求解思路的期愿来讲，动力学是其中主要的因素之一，动力学在物理或是数学中应用非常广泛，并且是社会上一种比较常见的原理形态。动力学存在的基本定律为，这公式也是动力学原理中研究动力学计算的基本公式之一。在学习物理期间我们都知道，当事物的重力与物体在不断下滑之间形成的速度之间基本上是成正比例的，但是在其中会存在很多的影响因素，其中空气就是最大的阻力。按照常微分方程式的形式计算物体中存在的一些抗力因素，只需要根据公式的变化进行推理就可，方便了物力方面的研究与探索。在学习进行学习期间，不同的科目之间存在一定的联系，这种解题思路与方式在数学中的应用也非常广泛。

四、结束语

數学教学对于学生来讲具有非常重要的作用，并且对于学生的生活能力以及逻辑思维等都具有影响，利用这种方式促进数学教学质量的提升，帮助学生在进行数学学习期间提升数学学习能力。

参考文献：

[1]刘桂玲.数形结合思想方法在高中数学教学中的应用分析[J].中国校外教育，2015，13：106.

数学物理方程 篇12

(一) 非负数的巧用

在初中数学中, 经常用的非负数有: (1) a2≥0; (2) |a|≥0; (3。若干个非负数的和为0, 那么每个非负数均为0。

例:已经, 求x、y的值。

评析:方程左边配方可变为非负数之和。

[解]:由x2+y2-x+2y+45=0得 (x-21) 2+ (y+1) 2=0

一般地, 几个非负数之和为0, 则每个非负数均为0。

(二) 二元一次不定方程的整数解

一个二元一次方程的解有无数多个, 但我们常常只求整数解, 甚至只求正整数解, 加上这一限制后, 解可能唯一确定或只有有限个或无解。求它的整数解时, 通常把一个未知数表示成另一个未知数的代数式, 再结合整数的整除性, 得到其解。

例:解方程2x+3y=8 (x、y均为整数)

评析:将y表示为x的代数式, 并利用整数整除性来求解。

[解]原方程变为

当x-1是3的倍数时, x、y都是整数。

设x-1=3k (k是整数)

那么:

就是原方程的通解。

变式思考:若例2中再添两个条件, 其它条件不变, 1≤x≤100, 1≤y≤100, 求x、y的值。

[解]将x=3k+1, y=-2k+2, 代入1≤x≤100和1≤y≤100中, 求得, ∵k是整数, ∴k=0时, 即方程的解为。

一般地, 若x0, y0是方程ax+by=c, a、b、c均为整数, 且 (a、b) =1的一组整数解 (称特解) , 则 (t为整数) 就是方程的通解。

(三) 三元一次不定方程

通常三个三元一次方程可求其唯一解, 两个三元一次方程组成的三元一次不定方程组的解有无数多个, 这类不定方程求解时往往把其中一个未知数看成待定常数, 转化为解二元一次方程组。

例:已知x+2y-11z=0, 2x-3y+6z=0, 求xx2y++yyz2++z2xz的值。 (xyz≠0) 。

评析:把z看成常数, 转化为解二元一次方程组。

[解]由得将x=3z y=4z代入中, 求得原式=。

一般地, 当未知数的个数多于方程的个数时, 常常把多于的未知数看成常数, 把其余的未知数表示为该常数的代数式, 是解决这类问题的基本思路。

(四) 分解因式法求二元一次不定方程的整数解

解二元二次不定方程可把等式一边分解为两个一次因式的乘积, 另一边变为常数。

例:已知xy-x+2y-5=0, x、y均为整数, 求x、y的值。

评析:将x、y分离在两个一次因式中, 即把原等式变为 (x+m) (y+n) =p的形式, 其中m、n、p都是常数且为整数, 再利用整数的整除性来求其解。

[解]xy-x+2y-5=0

x (y-1) +2 (y-1) -3=0 (x+2) (y-1) =3

∵x、y均为整数∴x+2, y-1也是整数

故

即x、y的值为

思考:本题还可变形为, 得出x+2是3的约数, 从而求出x、y值。

(五) 利用放缩法解不定方程

在解一些涉及到多个变元的问题, 如果题设条件并没有给出未知数的大小顺序, 在不影响命题的成立的前提下, 给它们假定一个大小顺序, 那么就可将问题转化为解不等式 (组) , 通过缩小范围而求解。

例:求方程的正整数解。

分析:这个方程是关于x、y、z的轮换对称式, 易知x、y、z都大于1, 不妨取1

[解]不妨设1

即∴x=2, 3。 (1) 当x=2时, , ∴y=3、4、5。此时 (x、y、z) 共有 (2、3、24) (2、4、8) 两组。 (2) 当x=3时, 。此时 (x、y、z) 的值为 (3、2、24) 。由于x、y、z在方程中的地位平等, 将上述结果作排列, 共有下面12组解, (x、y、z) 的值分别是: (2、3、24) , (2、24、3) , (3、2、24) , (3、24、2) , (24、2、3) , (24、3、2) , (2、4、8) , (2、8、4) , (4、2、8) , (4、8、2) , (87、2、4) , (8、4、2) 。