数学参数方程知识点总结

数学参数方程知识点总结（精选12篇）

数学参数方程知识点总结 篇1

坐标系与参数方程专题

坐标系与参数方程

【要点知识】

一、坐标系

1.平面直角坐标系中的伸缩变换

xx(0)设点P(x,y)是平面直角坐标系xOy中的任意一点，在变换:的作用

yy(0)下，点P(x,y)对应到点P(x,y)，我们把称为平面直角坐标系xOy中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系

（1）极坐标系的概念

如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样我们就建立了一个极坐标系.（2）极坐标

设点M是平面内一点，极点O与点M的距离叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为.我们把有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为M(,).（3）极径、极角的取值范围

一般地，极径0，极角R.坐标系与参数方程专题

3.极坐标与直角坐标之间的互化

如图所示，设点M是平面内任意一点，记点M的直角坐标为(x,y)，极坐标为(,).我们可以得到极坐标与直角坐标之间如下关系：

（ⅰ）直角坐标化极坐标：xcos，ysin；（ⅱ）极坐标化直角坐标：2x2y2，tany（x0）.x

【注】上面两类关系式是我们进行极坐标与直角坐标互化的重要关系式.解题时，大家要根据题意灵活选用.4.几个简单曲线的极坐标方程

（1）圆的极坐标方程：圆心在C(a,0)（a0），半径为a的圆的极坐标方程为2acos；

（2）直线的极坐标方程：经过极点，从极轴到直线的角是

的直线l的极坐标方程为4 4和5.45.柱坐标系与球坐标系（1）柱坐标系

如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设点P是空间中任意一点，它在Oxy平面上的)（0，02）表示点Q在Oxy平面上的极坐标，这时点P射影为点Q，用(,2 坐标系与参数方程专题的位置可用有序数组(,,z)（zR）表示.我们把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系；相应地，把有序数组(,,z)叫做点P的柱坐标，记作P(,,z)，其中0，02，zR.【注】直角坐标与柱坐标互化的变换公式：（2）球坐标系

如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设点P是空间中任意一点，连结OP，记OPr，OP与Oz轴正向所夹的角为，设点P在Oxy平面上的射影为点Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的正角为，这样点P的位置就可以用有序数组(r,,)表示.我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系）；相应地，把有序数组(r,,)叫做点P的球坐标，记作P(r,,)，其中r0，0，02.xrcoscos【注】直角坐标与球坐标互化的变换公式：yrcossin

zrsin 坐标系与参数方程专题

二、参数方程

1.参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函xf(t)数①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x,y)都在这条曲线yg(t)上，那么我们就把方程组①叫做这条曲线的参数方程，而把联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.2.参数方程与普通方程之间的互化

曲线的参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同形式.一般地，可以通过消去参数，由参数方程得到普通方程；反之，如果已知变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，则我们可以通过把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，xf(t)由此得到的方程组就是该曲线的参数方程.yg(t)【注】在解决参数方程与普通方程互化的问题时，必须要使x，y的取值范围保持一致.3.几个简单曲线的参数方程

xrcosO（1）圆的参数方程：圆心在原点，半径为r的圆的参数方程为

yrsin（为参数）；

（2）椭圆的参数方程：中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的参数方程为（为参数）；

（3）双曲线的参数方程：中心在原点O，焦点在x轴上的双曲线的参数方程为

xacosybsinxasec1secsec（为参数），这里，是的正割函数，并且； cosybtan（4）抛物线的参数方程：以原点O为顶点，以x轴为对称轴，开口向右的抛物线 坐标系与参数方程专题

2pxtan22（不包括原点）的参数方程为（为参数）； y2px（p0）

y2ptan（5）直线的参数方程：过点M0(x0,y0)，倾斜角为（为2）的直线l的参数方程xx0tcos（t为参数）；

yy0tsin（6）渐开线的参数方程：xr(cossin)（为参数）；

yr(sincos)（7）摆线的参数方程：

xr(sin)（为参数）.yr(1cos)5

数学参数方程知识点总结 篇2

关键词：圆锥曲线参数方程,高中数学解题

圆锥曲线定义中, 通过椭圆定义、双曲线定义、圆锥曲线上的点与两个焦点之间的关系进行解题。在解题的过程中, 需要对上述三者有个清晰的认识, 树立等价转换思想, 加强数形结合的建设, 由点到面, 促进教学层次的深化, 从而提升学生在圆锥曲线参数方程上的理解, 进而为有效解决数学难题提供重要支撑。

一、创新性思维:利用圆锥曲线方程解决高中数学题中常见的最值问题

传统的数学学习方式是通过广泛地做题, 不断进行数学题型的训练, 从而获得学习成绩的提升。目前, 针对学生学习特点与学习进度, 通过设计典型习题, 注重培养创新思维, 从而举一反三, 快速提升学生对于数理认识, 加强对数学的感知能力, 使数学成绩得到提升。后者更加注重人性化, 以学生为中心, 避免数学题练习的低质量与低学习效率。

椭圆一个内接四边形ABCD, 其各边与坐标轴平行, 求此四边形的最大面积与最大周长。

由题目可以进行推断, 将思路不要仅仅限于局部, 启用创新性思维, 不断与其他知识展开联想, 打开解题的突破点。

解析: 根据题目可以假设A (acosθ, bsinθ) , 通过对四边形的观察, 可以得到其四边与坐标轴分布保持平行, 推断四边形ABCD为矩形, 其面积可以表示为S=4 (acosθ×bsinθ) =2absin2θ。 当S表示为最大值, sin2θ 为最大值, 其值为1;当sin2θ=1 时, S=2ab, 四边形ABCD的周长可以表示为L = 4 ( bsinθ+ acosθ) = 4 (a2+b2) 1 /2sin (θ+β) ·sinβ= a÷ ( a2+ b2) 1 /2, cosβ= b ÷ ( a2+b2) 1 /2, 当sin (θ+β) 为最大值时, 四边形的周长为最大, sin (θ+β) 值为1, LMAX=4 (a2+b2) 1/2

二、探索性思维:采用定义与正余弦定理求焦点三角形

高中数学中, 存在一定数量难点, 对于学生的学习能力提出了新的要求, 要求学生在实际的解题过程中, 能够充分发挥探索性思维, 通过总结与小组合作, 提升数学解题能力。在圆锥曲线参数方程的应用解题中, 单一性题目较少, 复合型、复杂性题目较多, 难度系数也随之增加。如何充分发挥探索性思维, 需要学习不拘于形式, 通过对基础知识的深度理解, 正确把握解题的精髓。

例2:已知双曲线

P为双曲线上任意一点, ∠ F1PF2=θ, 求△ F1PF2 的面积。

在本题中, 在结合基础知识的基础上, 通过对定义的深度理解, 巧用正余弦定理, 进而利用面积公式与正余弦定理得到相应的答案。

通过与圆锥曲线中的双曲线定义能够得到,

通过对 (3) 与 (2) 进行分析与研究, 可以

在上式 (1) 中代入三角形面积

进而完成此题的解答。

三、自主学习能力提升:采用圆锥曲线参数方程解决范围问题

高中学习阶段, 强调自主学习与合作学习相结合, 通过自主学习发现自身存在的问题, 并采取有效措施加以解决, 从而促进自身学习水平的提升[4]。在高中数学解题中, 通过对科学思维的合理运用, 能够对数学习题轻松解答。

例3 : 椭圆方程

与x轴的正半轴相交, 交点表示为M, 如果该方程上有一点N, ON垂直于MP, 求椭圆离心率的范围。

学生在自主学习过程中, 面对疑难问题时不应立即求助, 依据自身对基础知识的掌握程度, 发挥自出探究精神, 对疑难问题提出挑战, 从而提升自身数学解题的能力与水平。

解析:根据题目可知。M的坐标可以用 (a, 0) 表示。假设N点坐标为 (acosθ, bsinθ) , 同时, 结合ON ⊥ MP可以得到

对上式进行化简, 可以推出:

由于ON ⊥ MP, 结合方程b2=c2-a2, 所有离心率e的范围是

四、圆锥曲线参数方程应用过程中应注意的问题

圆锥曲线参数方程在应用中强调对各种知识的综合运用, 通过合理运算思维与结构, 实现对数学问题的求解。在此过程中, 要求学生掌握基础知识的基础上, 更加注重对知识的灵活运用。因此, 学生在学习圆锥曲线参数方程相关基础知识时, 应注重多写、多问、多记, 打下扎实的基本功, 从而能够在解题中, 摸透数学题目的内涵, 快速解题。

五、结语:

高中数学在高中教育体系中占据着极为重要的位置, 需要教师在教学活动中, 在加强对基础知识的教学时, 注重学生对基础知识的运用。通过典型题目的专题讲解, 促进学生成绩的提升。

参考文献

[1]毛芹.圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用[J].理科考试研究:高中版, 2014 (21) .

[2]陈尧明.直线参数方程教学设计[J].教学月刊:中学版, 2011 (23) .

[3]李淑燕.用圆锥曲线的参数方程解题例谈[J].数理化学习:高三, 2011 (7) .

[4]陈传熙.“圆锥曲线的参数方程”的教学困惑与对策分析[J].数学通报, 2010 (49) .

数学参数方程知识点总结 篇3

关键词： 参数方程 高中文科数学 应用解答

一、利用参数方程如何解决求最值问题

很多时候学生在解决高中几何图形中的关于最值问题时，时常会因为不清楚已知条件的用处，有时候是因为看不懂题目要表达什么而无从下手，这时候如果采用直线参数方程对所遇到的几何最值问题进行一定的转变，从而将未知变成利用已知条件来表达，进而求出最终答案，就能达到自我提升.例如，在已知两条抛物线C1：y■=3x+5和C2：y■=5-3x相交于一点A，在A处作两条直线和抛物线相交于B、C点，求|AB|·|AC|的最大值.这种关于抛物线的题目往往会让学生心生胆怯.由于抛物线的知识点非常多而且零碎，很多学生对抛物线的知识点的记忆中显得很薄弱，进而打击了他们在解题过程中自信心，而题目有很大的模糊性，如果没有良好的知识基础很难完全读懂已知条件，最终解出题目答案.但如果采用直线参数方程，根据两条已知的抛物线C1和C2列方程组y■=3x+5y■=5-3x可以确定出交点A的具体数值，然后可以通过画出两条已知抛物线的图形，以及A点坐标，通过三者的图形关系列出一组关于B、C的方程组.又因为我们知道BC一定会与两条抛物线存在一定的交点，根据三角关系可以列出剩余的方程，最终求得题目所需要的结果.从这个例子中我们可以看到，很多文科高考数学卷中都会采用这样的题目类型考查学生，因此学生在实际练习过程中，应该有意识地训练自己进行一定的类型分析，遇到这样的求最值问题的题目时一定要懂得利用参数方程进行转换，通过图形结合已知条件，让自己能够掌握住更多的知识点，最终解答出题目.

二、在求解定值类数学题中应该如何运用参数方程

定值类型的数学题是高中数学中的一大难题，很多学生都会在这样的类型题中卡壳，无从下手解答题目，但我们必须明确指出，在几何题中，尽管题目变量是一个我们无法知道横坐标和纵坐标的点或者是由点构成的直线，尽管点存在两个未知元，但如果我们善于将其转变为只有一个参变元，那么对于我们解答题目就会变得相对简单.例如，在已知的抛物线C3：y■=4Bx（A>0）中，求证其x轴的正半轴上存在点A，使得过A点的抛物线的任何一弦满足为常数值.在这类题目中，我们首先要设定好A点的坐标，因为A点在正半轴上，那么可得出A（a，0）（a>0），同时设立好过A点的直线的参数方程x=a+bcosθy=bsinθ.再设定好方程后，将参数方程带入已知的抛物线方程中，得出一条参数量少的等式，将已知的抛物线的图形画出，根据图形得出第三已知量，进而证明出题目要求.这样的类型题也是常见题型，在很多时候文科生对于证明题都非常恐惧，当看到证明题时就会很胆怯，老师要根据这样的现象引导学生直面证明题，在高考文科数学卷中都会有一至两道证明题需要学生解答，学生要懂得根据题目要求来入手，不可以胡乱写出结果，要根据已知条件，通过设定参数方程来解答，避免自己在可以得分的题目上失分，导致成绩不理想.

三、直线参数方程对于解答轨迹问题所起的作用

在轨迹问题中，学生要通过画图，列好参数方程，通过图形中找到突破口，找到正确的图形轨迹，才能够最终求得答案，关于图形轨迹问题也是高中数学中的让同学们头疼的一部分，需要学生高度集中注意力才可以解答出问题，保证不失分.例如在解答关于圆曲线的方程中，经常会面对到题目给出了圆的方程，还有一些其他的已知条件，最终求动点关于圆曲线方程的问题.在这一类题目中，学生要先通读几遍题目内容，在草稿纸上列出已知条件，再根据已知条件设定好过原点的直线方程组，画出图形，通过数形结合，找出动点所在的方程组，并根据已知条件将动点的方程组转化为已知量来表达，通过已知量的组合最终解出轨迹问题.这类题目往往是考试卷中的倒数二三道题目，属于较复杂和困难的题目，对于一些基础薄弱的学生来说要完全解出题目显然要耗费很大的精力和较长的时间，建议学生在解题时要注重时间搭配，尽可能在前面容易拿分的题目中节省一定的时间，同时确保效率，对于这类中难题要多花点时间在题目上，但如果确实无法解答，则要跳过这类题目，不要过多耗费自己的考试时间，尽可能地保证其他类型题目不失分.

综上所述，关于直线参数方程在高中文科数学中如何应用，以上做了一系列讨论，但这些类型题的解答很大程度上依赖着学生对知识点掌握的情况，只有学生真正在高中数学中熟知每一个考查点，在此基础上运用参数方程加以解答，才能最终取得好成绩，为将来的深造打下基础.

参考文献：

[1]张国治.参数方程解题两例[J].数理天地（高中版），2008.

[2]徐雪蓉.例谈圆及椭圆参数方程的应用[J].数理化学习（高中版），2009.

[3]张堂海，熊先香.求曲线的参数方程如何选定参数[J].高中数理化，2013.

数学参数方程知识点总结 篇4

教学目标：

1.理解参数方程的概念，能识别参数方程给出的曲线或曲线上点的坐标； 2.能了解参数方程中参数的意义，运用参数思想解决有关问题； 重、难点：

理解参数方程的概念，体会参数的意义，运用参数思想解决问题；

教学过程：

一、问题探究：一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？

二、定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且

x＝f(t)x＝f(t)对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程yg(t)yg(t)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。

三、例题讲解：

x3t,(t为参数)例1: 已知曲线C的参数方程是 2y2t1.（1）判断点M（0，1），M（5，4）与 曲线C的位置关系； 12（2）已知点M（6，a）在曲线C上，求a的值。3

例2：探究:参数方程

四、练习： xcostysint（t为参数）所表示的图形是什么？

x1t21、曲线（t为参数）与x轴交点的坐标是（）

y4t3 A（1，4）B（2516，0）C（1，－3）D（±

2516，0）

2．（课本P26习题第1题）一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有1000m时投放救灾物资（不计空气阻力，重力加速度g是多少？（精确到1m）.3．（课本P26习题第2题）动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为3m/s和4m/s，直角坐标系的长度单位是1m，点M的起始位置在点M0(2,1)处，求点M的轨迹的参数方程.五、总结：

六、作业：每天一练

五年级上册数学简易方程知识点 篇5

1、用字母表运算定律。

加法交换律： a+b=b+a 加法结合律： a+b+c=a+(b+c)

乘法交换律： a×b=b×a 乘法结合律：a×b×c=a×(b×c)

乘法分配律： (a±b)×c=a×c±b×c

2、用字母表示计算公式。

长方形的周长公式： c=(a+b)×2 长方形的面积公式： s=ab

正方形的周长公式： c=4a 正方形的面积公式： s=

3、读作：x的平方，表示：两个x相乘。

2x表示：两个x相加，或者是2乘x。

4、①含有未知数的等式称为方程。

②使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

③求方程的解的过程叫做解方程。

5、把下面的数量关系补充完整。

路程=(速度)×(时间) 速度=(路程)÷(时间) 时间=(路程)÷(速度)

总价=(单价)×(数量) 单价=(总价)÷(数量) 数量=(总价)÷(单价)

总产量=(单产量)×(数量) 单产量=(总产量)÷(数量)

数量=(总产量)÷(单价 )

工作总量=(工作效率)×(工作时间)

工作效率=(工作总量)÷(工作时间)

工作时间=(工作总量)÷(工作效率)

大数-小数=相差数 大数-相差数=小数 小数+相差数=大数

一倍量×倍数=几倍量 几倍量÷倍数=一倍量

几倍量÷一倍量=倍数

被减数=减数+差 减数=被减数-差 加数=和-另一个加数

被除数=除数×商 除数=被除数÷商 因数=积÷另一个因数

小学数学基数和序数怎么区分

1基数和序数的区别

一、意思不同

基数是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。序数是在基数的基础上再增加一层意思。

二、用处不同

基数可以比较大小，可以进行运算。

例如：

设|A|=a，|B|=β，定义a+β=|{(a,0):a∈A}∪{(b,1):b∈B}|。另，a与β的积规定为|AxB|，A×B为A与B的笛卡儿积。

序数，汉语表示序数的方法较多。通常是在整数前加“第”，如：第一，第二。也有单用基数的。如：五行：一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。

三、写法

基数：1、2、3

序数：第1、第2、第3

以上就是一些基数和序数的相关信息，希望对大家有所帮助。

2基数和序数简介

基数：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十。

序数：第一、第二、第三、第四、第五、第六、第七、第八、第九、第十。

基数在数学上，是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。

序数原来被定义为良序集的序型，而良序集A的序型，作为从A的元素的属性中抽象出来的结果，是所有与A序同构的一切良序集的共同特征，即定义为{B|BA}。

数学两位数乘两位数知识点

1、两位数乘两位数乘法估算，只需注意在估算时，要先根据“四舍五入”法分别求出两个因数的近似数，使其变成整十整百数后，再估算。

2、再书写估算结果时，不要忘了“两个因数末尾有几个0，就在积的末尾写几个0”.

3、0和任何数相乘都得0.

速算绝招：

(A)60×20=『』，把60×20看作60乘2，得120，20是2的10倍，再将得数扩大10倍得1200，心算过程是60×2=120，2的后面有一个0，积120后面加一个0，得1200.

(B)估算时，把一个两位数看成是整十数进行估算，如39×40，把39看成40，40×40=1600，39×40~1600.51×30=『』，估算过程是50×30=1500，51×30~1500.

(C)35×11+『』，把35乘10得350，再用35×1=35，350+35=385，心算过程是：35×11=350+35=385，又如43×11=430+43=473.

(D)23×19=『』，把19看作20来乘，多乘龙1个23，再减去23，心算过程是：23×20-23=460-23=437，如45×21=『』，把21看作20来乘，少乘1个45，再加上45，45×20+45=900+45=945.

二元一次方程知识点总结 篇6

1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

5、代入消元法解二元一次方程组：

（1）基本思路：未知数又多变少。

（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。

（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：

1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”

2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。

3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。

4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”

5、把x、y的值用｛联立起来即“联”

6、加减消元法解二元一次方程组

（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

（2）用加减消元法解二元一次方程组的解

1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。

2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。

3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。

4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。

5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。

二元一次方程组应用题

1、一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

2、审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

3、找：找出能够表示题意两个相等关系；

4、列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

5、解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

6、答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案

二、典型例题讲解

题型

一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题

1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，贤计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套

题型

二、列二元一次方程组解决行程问题

2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时候后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时后追上乐拖拉机，这时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？

3、一轮船从甲地到乙地顺流航行需4小时，从乙地到甲地逆流航行需6小时，那么一木筏由甲地漂流到乙地需要多长时间？

题型

三、列二元一次方程解决商品问题

4、在“五一”期间，某超市打折促销，已知A商品7.5折销售，B商品8折销售，买20件A商品与10件B商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A商品和10件B商品共用1090元。求A、B商品打折前的价格。

题型

四、列二元一次方程组解决工程问题

5、某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队 因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成，问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？

题型五：列二元一次方程组解决增长问题

参数方程化为普通方程教案 篇7

教学目标：

知识目标：掌握如何将参数方程化为普通方程；

能力目标：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法；

情感目标：

培养严密的逻辑思维习惯。

教学重点：参数方程化为普通方程

教学难点：普通方程与参数方程的等价性

教学过程：

一：复习引入：

课本第24页的例题2中求出点的轨迹的参数方程为：。

问题1：你能根据该参数方程直接判断点的轨迹图形吗？如果要判断点的轨迹图形，你有什么方法吗？

二：新课探究

1：问题2：结合前面的例子，从参数方程到普通方程有什么变化？你能从中得到什么启发？

2：试一试：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？

（1）（为参数）；

（2）（为参数）.3：例题讲解：

例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？

4：问题3：将参数方程化为普通方程需要注意哪些要点？

5：变式练习：P26第4题

（1）（为参数）；

（2）（为参数）；

6：问题4：从以上例3和练习中你逐一能总结出消去参数的一些常用方法吗？

6：补充例题：

若直线（为参数）与直线垂直，则常数=________.7：变式练习：

（1）曲线的参数方程为，则曲线为（）.A．线段

B．双曲线的一支

C．圆弧

D．射线

（2）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数），圆的参数方程为（参数），则圆的圆心坐标为，圆心到直线的距离为。

三：课堂小结

（）

普通方程

参数方程

1:

2:

参数方程化为普通方程要注意哪些要点？

3:消去参数的一些常用方法:

四：作业

1：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。

（1）

（2）

(3)

2:（2008重庆模拟）若直线

与圆

参数方程在解题中的广泛应用 篇8

参数方程在解析几何中是一个十分重要的内容，而且是高中数学的一个难点。近几年来高考对参数方程和极坐标的要求稍有降低，但是，可用参数方程求解的问题和内容有所增加且与三角函数联系紧密。本文以具体的例子阐述参数方程的广泛应用。

一、探求几何最值问题

有时在求多元函数的几何最值有困难，我们不妨采用参数方程进行转化，化为求三角函数的最值问题来处理。

例1（1984年考题） 在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的`边分别为a、b、c，且c=10,，P为△ABC的内切圆的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值和最小值。

解 由，运用正弦定理，可得：

∵sinA・cosA=sinB・cosB

∴sin2A=sin2B

由A≠B，可得2A=π-2B。

∴A+B=，则△ABC为直角三角形。

又C=10,，可得：

a=6,b=8,r=2

如图建立坐标系，则内切圆的参数方程为

所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα)，从而=80-8cosα

因0≤α＜2π，所以

例2 过抛物线 （t为参数，p＞0）的焦点作倾角为θ的直线交抛物线于A、B两点，设0＜θ＜π，当θ取什么值时，｜AB｜取最小值。

解 抛物线 （t为参数）

的普通方程为=2px，其焦点为。

设直线l的参数方程为：

（θ为参数）

代入抛物线方程＝2px得：

又∵0＜θ＜π

∴当θ=时，｜AB｜取最小值2p。

二、解析几何中证明型问题

运用直线和圆的标准形式的参数方程中参数的几何意义，能简捷地解决有关与过定点的直线上的动点到定点的距离有关的问题。

例3 在双曲线中，右准线与x轴交于A，过A作直线与双曲线交于B、C两点，过右焦点F作AC的平行线，与双曲线交于M、N两点，求证：｜FM｜・｜FN｜=・｜AB｜・｜AC｜（e为离心率）。

证明 设F点坐标为(c,0)，

A点坐标为(,0)。

又，设AC的倾角为α，则直线AC与MN的参数方程依次为：

将①、②代入双曲线方程，化简得：

同理，将③、④代入双曲线方程整理得：

｜FM｜・｜FN｜=

∴｜FM｜・｜FN｜=｜AB｜・｜AC｜。

双曲线的一条准线与实轴交于P点，过P点引一直线和双曲线交于A、B两点，又过一焦点F引直线垂直于AB和双曲线交于C、D两点，求证：｜FC｜・｜FD｜=2｜PA｜・｜PB｜。

证明 由已知可得。设直线AB的倾角为α，则直线AB

的参数方程为

（t为参数）

代入，可得：

据题设得直线CD方程为 （t为参数）

代入，得：，从而得，

即得｜FC｜・｜FD｜=2｜PA｜・｜PB｜。

三、探求解析几何定值型问题

在解析几何中点的坐标为(x,y)，有二个变元，若用参数方程则只有一个变元，则对于有定值和最值时，参数法显然比较简单。

例5 从椭圆上任一点向短轴的两端点分别引直线，求这两条直线在x轴上截距的乘积。

解 化方程为参数方程：

（θ为参数）

设P为椭圆上任一点，则P(3cosθ,2sinθ)。

于是，直线BP的方程为：

直线的方程为：

令y=0代入BP,的方程，分别得它们在x轴上的截距为和。

故截距之积为：・（）=9。

四、探求参数的互相制约条件型问题

例6 如果椭圆与抛物线=6(x-n)有公共点，试求m、n满足

的条件。

分析 如果本题采用常规的代入消元法，将其转化为关于x的一元二次方程来解，极易导致错误，而且很难发现其错误产生的原因。若运用参数方程来解，则可“轻车熟路”，直达解题终点。

解 设椭圆的参数方程为

抛物线的参数方程为

（t为参数）

因它们相交，从而有：

由②得：

代入①得：

配方得：。即

∵1≤≤9 ∴-2≤n-m≤2

所以｜m-n｜≤2为两曲线有公共点的条件。

数学参数方程知识点总结 篇9

ρθ

⎧=+⎪=⎨⎪=⎩ 极轴

一、极坐标与参数方程选讲

1、极坐标与直角坐标的公式转换:

2、点的极坐标含义(, M ρθ: 练习:

(1 在直角坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 2cos 4sin ρθθ=-，写出曲线 C 的直角坐标 方程.04222=+-+y x y x(2 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P 的直角坐标为(1,.若以原点 O 为极点, x 轴正半 轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是.(2,2(3 k k Z π π-∈

(3在极坐标系中,已知两点 A、B 的极坐标分别为 3, 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 4, 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,则△ AOB(其 中 O 为极点的面积为.提示:1 sin 2 S ab C = =3

(4在极坐标系(ρ, θ(0 ≤ θ<2π中,曲线 ρ=2sin θ 与 cos 1p θ=-的交点 的极坐标为 ______.3 4 π

提示:这两条曲线的普通方程分别为 222, 1x y y x +==-.解得 1, 1.x y =-⎧⎨=⎩

(5 已 知 直 线 l 的 参 数 方

程 为 :2, 14x t y t =⎧⎨

=+⎩(t 为 参 数 , 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为

ρθ=,则直线 l 与圆 C 的位置关系为 相交(6已知直线的极坐标方程为(4R π θρ=

∈,它与曲线 12cos 22sin x y α α

=+⎧⎨=+⎩(α为参数相 交于两点 A 和 B ,则(7若直线 12, 23.{x t y t =-=+(t 为参数与直线 41x ky +=垂直,则常数 k =________.6-=k(8设直线 1l 的参数方程为 113x t y t =+⎧⎨

=+⎩(t 为参数 ,直线 2l 的方程为 y=3x+4则 1l 与 2l 的 距离为 _______ 【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离,基础题。解析:由题直线 1l 的普通方程为 023=--y x ,故它与与 2l 的距离为 3|24|=

+。

(9 在极坐标系中, 直线 l 的方程为 ρsin θ=3, 则点(2, π/6到直线 l 的距离为.【解析】法 1:画出极坐标系易得答案 2;法 2:化成直角方程 3y = 及直角坐标 可得答 案 2.(10在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(33 R t t y t x ∈⎩

⎨⎧-=+=参数 ,圆 C 的参数 方程为 [] 20(2 sin 2cos 2πθθθ , 参数 ∈⎩⎨

⎧+==y x ,则圆 C 的圆心坐标为.(0, 2 ,圆心 到直线 l 的距离为 22.(11在极坐标系中, P Q , 是曲线 C :4sin ρθ=上任意两点,则线段 PQ 长度的最大值 为.4【解析】最长线段 PQ 即圆 22(2 4x y +-=的直径.(12曲线 C 的参数方程是 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧

-=+= 1(3 1(2t t y t t x(t 为参数 ,则曲线 C 的普通方程 是.136 162 2=-y x 提示:1213 x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,平方后相减消去参数 t(13 已知曲线 132 14x t y t ⎧

=-+⎪⎨⎪=+⎩(t 为参数与曲线 2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数的交点为 A , B , ,则 AB =

(14 若直线 :l y kx =与曲线 { 2cos :sin x C y θθ=+=(参 数 ∈θR 有唯一的公共点,则实数 k =

.二、几何证明选讲

1、与切线有关 构造直角三角形

如图, AB 是 ⊙ O 的直径, P 是 AB 延长线上的一点, 过 P 作 ⊙ O 的 切 线 , 切 点 为 C , 2=PC , 若

︒=∠30CAP ,则 ⊙ O 的直径 =AB 4.切割线定理

如图 1所示, 过 O 外一点 P 作一条直线与 O 交于 A , B 两点, 已知 PA =2, 点 P 到 O 的切线长 PT =4,则弦 AB 的长为 ________.6 弦切角定理 弦切角 ABD=角 C 如图,直角三角形 ABC 中, ︒=∠90B , 4=AB ,以 BC 为直径的圆交 AC 边于点 D , 2=AD ,则 C ∠的大小为

提示 连接 BD ,在直角三角形 ABD 中可求得 角 ABD=30°,弦切角 ABD=角 C

2、相交弦定理、垂径定理

如图 AB , CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P , PD=23 a ,∠OAP=30°, 则 CP =______.【解析】因为点 P 是 AB 的中点,由 垂径定理 知, OP AB ⊥.在 Rt OPA ∆ 中, cos30BP AP a ===

.由 相交弦定理 知, BP AP CP DP ⋅=⋅ 2 3 CP a =⋅,所以 98CP a =.图 1 A B C 图 3

N

3、射影定理

2, CD AD DB =⨯ 2BC BD AB =⨯, 2AC AD AB =⨯ 如 图 , AB 是 半圆 O 的 直 径 , C 是 半 圆 O 上 异于 A B , 的 点 , C D A B ⊥, 垂 足 为 D , 已

知 2AD =, CB =, 则 CD =

.提示 222(2 6, 12.CB BD BA BD BD BD CD AD BD =⨯⇔=+⇔==⨯=

4、相似比

如图,在 ABC ∆中, DE //BC , EF //CD , 若 3, 2, 1BC DE DF ===,则 AB 的长为 __9 2 _________.5、圆的内接四边形对角互补 如图 3,四边形 ABCD 内接于⊙ O , BC 是直径, MN 与⊙ O 相切 , 切点为 A , MAB ∠35︒=, 则 D ∠=.125︒

6、圆心角 =2倍圆周角

如图,点 A B C、、是圆 O 上的点,且 4AB =, o 30ACB ∠=, 则圆 O 的面积等于 _________.解:连结 OA , OB ,则∠ AOB=2∠ ACB=60O ,所以△ AOB 为正三角形,圆 O 的半径 r=4AB =,于是,圆 O 的面积等于 πππ1642 2 =⨯=r 如图 , 已知△ ABC 内接于⊙ O ,点 D 在 OC 的 延长线上, AD 切⊙ O 于 A ,若 o 30ABC ∠=, 2=AC , 则 AD 的长为

.提示 连接 OA ,圆心角 AOD=2B=60°, AOC 是等边三角 形。所以 OA=AC=2,在直角三角形 OAD 中求 AD。

数学知识点总结 篇10

1、三角形中的动点问题:动点沿三角形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象.

2、四边形中的动点问题:动点沿四边形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象.

3、圆中的动点问题:动点沿圆周运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象.

4、直线、双曲线、抛物线中的动点问题:动点沿直线、双曲线、抛物线运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象.

图形运动与函数图象问题常见的三种类型：

1、线段与多边形的运动图形问题:把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象.

2、多边形与多边形的运动图形问题:把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象.

3、多边形与圆的运动图形问题:把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形,或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象.

动点问题常见的四种类型：

1、三角形中的动点问题:动点沿三角形的边运动,通过全等或相似,探究构成的新图形与原图形的边或角的关系.

2、四边形中的动点问题:动点沿四边形的边运动,通过探究构成的新图形与原图形的全等或相似,得出它们的边或角的关系.

3、圆中的动点问题:动点沿圆周运动,探究构成的新图形的边角等关系.

4、直线、双曲线、抛物线中的动点问题:动点沿直线、双曲线、抛物线运动,探究是否存在动点构成的三角形是等腰三角形或与已知图形相似等问题.

总结反思：

本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等，数形结合思想的应用是解题的关键.

解答动态性问题通常是对几何图形运动过程有一个完整、清晰的认识，发掘“动”与“静”的内在联系，寻求变化规律，从变中求不变，从而达到解题目的.

解答函数的图象问题一般遵循的步骤：

1、根据自变量的取值范围对函数进行分段.

2、求出每段的解析式.

3、由每段的解析式确定每段图象的形状.

对于用图象描述分段函数的实际问题,要抓住以下几点：

1、自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示.

2、自变量变化函数值也变化的增减变化情况.

高中数学知识点总结 篇11

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

中元素各表示什么？

A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3.注意下列性质：

要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2, a3,......an,都有2种选择，所以，总共有种选择，即集合A有个子集。

当然，我们也要注意到，这种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为，非空真子集个数为

（3）德摩根定律：

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂

4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。

注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在上单调递减，在上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程 的2个根

5、熟悉命题的几种形式、命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）满足条件，满足条件，若 ；则是的充分非必要条件； 若 ；则是的必要非充分条件； 若 ；则是的充要条件；

若 ；则是的既非充分又非必要条件；

7.对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。

如：若，；问：到的映射有 个，到的映射有 个；到的函数有 个，若，则到的一一映射有 个。

函数的图象与直线交点的个数为 个。

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

函数定义域求法： * 分式中的分母不为零；

* 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； * 指数式的底数大于零且不等于一；

* 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。* 正切函数 * 余切函数

* 反三角函数的定义域

函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1]，值域是，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1]，值域是 [0, π]，函数y＝arctgx的定义域是 R，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是 R，值域是(0, π).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10.如何求复合函数的定义域？

义域是_____________。

复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。

例 若函数的定义域为，则的定义域为。

分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。

解：依题意知：

解之，得 ∴ 的定义域为

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数y=的值域

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数y=值域。

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数y=，的值域。

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=（2≤x≤10）的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角

函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发

挥作用。

例 求函数y=x+的值域。8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这

类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，例求函数y=+的值域。

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞）例求函数y=+ 的值域

解：原函数可变形为：y=+

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，y=∣AB∣==，故所求函数的值域为[，+∞）。例求函数y=-的值域 解：将函数变形为：y=-

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣ 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P1，则构成△ABP1，根据三角形两边之差小于第三边，有 ∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣== 即：-＜y＜（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。综上所述，可知函数的值域为：（-，-）。

注：求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。9、不等式法

利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：

倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数y=的值域

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂

13.反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：

(2004.全国理)函数的反函数是（B）A．y=x2－2x+2(x<1)B．y=x2－2x+2(x≥1)C．y=x2－2x(x<1)D．y=x2－2x(x≥1)

当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：

原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1.排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？

14.反函数的性质有哪些？ 反函数性质：

1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）

2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）

3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04.上海春季高考）已知函数，则方程的解__________.1 对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。已知反函数的y,不就是原函数的x吗？那代进去阿，答案是不是已经出来了呢？（也可能是告诉你反函数的x值，那方法也一样，呵呵。自己想想，不懂再问我.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）

判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：

根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系

可以变形为求的正负号或者与1的关系(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。

③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）

④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）

⑤函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。

⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f－1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。

f(g)g(x)f[g(x)] f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数增增增增增增减减 / / 减增减 / / 减减增减减

∴......）

16.如何利用导数判断函数的单调性？

值是（）

A.0 B.1 C.2 D.3

∴a的最大值为3）

17.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

判断函数奇偶性的方法

一、定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数..二、奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.三、复合函数奇偶性

f(g)g(x)f[g(x)] f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶

18.你熟悉周期函数的定义吗？

函数，T是一个周期。）

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：，同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。

如：

19.你掌握常用的图象变换了吗？ 联想点（x,y）,(-x,y)联想点（x,y）,(x,-y)联想点（x,y）,(-x,-y)联想点（x,y）,(y,x)联想点（x,y）,(2a-x,y)联想点（x,y）,(2a-x,0)

（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）注意如下“翻折”变换：

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k为斜率，b为直线与y轴的交点)的双曲线。

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系--二次方程

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。

由图象记性质！（注意底数的限定！）

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）

20.你在基本运算上常出现错误吗？

21.如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了

1、代y=x，2、令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、求奇偶性，令y=-x；求单调性：令x+y=x1

几类常见的抽象函数 1.正比例函数型的抽象函数

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）2.幂函数型的抽象函数

f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（）＝ 3.指数函数型的抽象函数

f（x）＝ax-------------------f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝ 4.对数函数型的抽象函数

f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝ f（x）－f（y）

5.三角函数型的抽象函数

f（x）＝tgx--------------------------f（x＋y）＝ f（x）＝cotx------------------------f（x＋y）＝

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.分析：（1）令y＝－1；

（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；

（3）0≤a≤2.例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1）f（0）；

（2）对任意值x，判断f（x）值的符号.分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：（1）f（1）；

（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]....例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： ① x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝； ② f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）； ③ 当0＜x＜2a时，f（x）＜0.试问：

（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由；

（2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；（3）先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），（1）求证：f（1）＝f（－1）＝0；（2）求证：f（x）为偶函数；

（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；（2）令y＝ －1；

（3）由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：（1）当x＞0时，0＜f（x）＜1；（2）f（x）在x∈R上是减函数.分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；（3）受指数函数单调性的启发：

由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，进而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.练习题：

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（）

（A）f（0）＝0（B）f（0）＝1

（C）f（0）＝0或1（D）以上都不对

2.若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（）

（A）f（1）＝0（B）f（）＝ f（x）

（C）f（）＝ f（x）－f（y）（D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）

3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（）

（A）（1，＋∞）（B）（－∞，1）

（C）（0，1）（D）（－1，＋∞）

4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有

f（x1－x2）＝，则f（x）为（）

（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数

5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（）

（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数

参考答案： 1．A 2．B 3．C 4．A 5．B 23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

高二数学知识点总结 篇12

第一章：集合和函数的基本概念，错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的“并、补、交、非”也就解决了，还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。

第二章：基本初等函数：指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像。函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习基本就没多大问题。函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考常错点。另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化问题也要了解清楚。

第三章：函数的应用。主要就是函数与方程的结合。其实就是的实根，即函数的零点，也就是函数图像与X轴的交点。这三者之间的转化关系是这一章的重点，要学会在这三者之间的灵活转化，以求能最简单的解决问题。关于证明零点的方法，直接计算加得必有零点，连续函数在x轴上方下方有定义则有零点等等，这是这一章的难点，这几种证明方法都要记得，多练习强化。这二次函数的零点的Δ判别法，这个倒不算难。