数学方程拟合论文

2024-08-10

数学方程拟合论文（精选3篇）

数学方程拟合论文篇1

一、引言

上个世纪, 宏观经济学随着凯恩斯理论的提出进入了一个新的时代。在此之后, 很多的学者致力于完善凯恩斯的宏观经济理论学说, 其中希克斯 (Hicks, 1937) 和汉森 (Hansen, 1949) 以IS-LM模型来解释宏观经济的运作方式, 大大加强了凯恩斯理论的解释力。虽然IS-LM模型也受到了很多经济学家的批评, 但是直至今日其依然是一个有着较为完善逻辑体系的宏观经济模型, 并得到广泛应用。随着我国经济体制向市场经济转型。宏观经济理论在我国所产生的影响也愈来愈大。本文试图以凯恩斯理论以及IS-LM模型为理论基础, 并吸取其他相关理论的理念, 尝试构建能够描述我国宏观经济运作情况的简易模型, 并利用我国历年相关实证数据, 通过联立方程模型的估计, 来获得一个能够描述我国宏观经济运行状况的实证模型。

二、文献综述

通过建立联立方程模型来描述一国的宏观经济情况, 在这方面已有很多的学者做出了相关的研究。其中最为著名的是克莱因联立方程系统。克莱因 (Lawrence Robert Klein 1950) 以美国1920年~1941年的年度数据为样本建立了旨在分析美国在两次世界大战之间的经济发展的小型宏观计量经济模型。该模型所采用的变量数相对不多, 但在宏观计量经济模型的发展史上占有重要的地位。我国学者刘玉红、高铁梅、陶艺 (2006) 在《中国转轨时期宏观经济政策传导机制及政策效应的模拟分析》一文中借鉴了新凯恩斯主义经济理论和其他经济理论, 并结合我国经济体制改革的特点, 建立了适应中国经济特点的宏观经济联立方程模型, 从宏观经济的角度分析我国经济政策的传导机制和效应大小。认为我国的货币政策对实体经济的有效性较弱。宁晓青、谢静在《我国宏观经济政策与经济波动的实证研究》一文中选取l985—2003年的年度统计数据, 采用Granger因果检验和联立方程模型的分析方法, 建立了我国宏观经济的模型。并认为影响我国经济波动的关键政策并不是财政政策和货币政策, 而是消费政策、投资政策和外贸政策。

三、宏观经济理论基础

1. 消费理论

一个国家的居民消费由什么来决定?凯恩斯提出了绝对收入假说 (Absolute Income Hypothesis) , 其观点有别于古典经济学对于消费的认识, 认为影响居民消费的主要因素不是利率, 而是收入。之后杜森贝里 (Duesenberry 1951) 提出了相对收入假说 (Relative Income Hypothesis) , 认为居民消费存在“示范作用”和“棘轮作用”。“示范作用”使得人们收入提高时, 平均消费倾向并不一定会下降, 而“棘轮作用”使得消费的变动相对于收入的变动要稳定。在此之后莫迪利安尼和弗里德曼分别提出了生命周期假说和永久收入假说。这两个理论强调人们会从整个人生的角度来衡量自己的收入, 从而来决定当期的消费。不过无论何种理论, 都认为居民对于未来收入状况的预期很大程度上受到其本期的收入状况的影响。

2. 投资理论和货币需求理论

长期以来, 克拉克 (Clark, 1917) 的加速原理和凯恩斯的投资函数一直是分析投资的核心理论。古典经济理论认为, 作为资本需求的投资和作为资本供给的储蓄在资本市场上通过利率的调节达到平衡, 因此投资被认为是利率的函数。凯恩斯基本接受了这一思想, 认为是否要对新的实物资本进行投资, 取决于这些新投资的预期利润率与为购买这些资产而必须借进的款项所要求的利率的比较。因此, 在决定投资的因素中, 利率是首要因素。这里利率是指是实际利率。由克拉克提出并经萨缪尔森 (Samuelson, 1939) 等人发展的加速原理 (Acceleration Principle) 率先对古典投资理论发起了挑战。加速原理认为投资不是利率的函数, 而主要是由产出的变化所决定。其函数表达式如下:

式3.1中δ, θ为常数, δ代表资本折旧率, It代表投资, Yt和Yt-1分别代表当其和前期产出。

在货币需求理论上凯恩斯认为对于货币的总需求是人们对货币的交易需求, 预防需求和投机需求的总和。其中货币的交易需求和预防需求决定于收入, 而货币的投机需求决定于利率。因此对于货币的总需求函数可描述为:

式3.2中, 等式左边代表了真实货币供应量, k, h为常数, Y代表收入, R代表利率。

四、计量模型假设与数据收集

本文所采用的宏观计量模型是以IS-LM模型为基础, 并对其中的投资函数作了一些改进, 吸收了克拉克的加速原理的思想。假设模型具体如下:

方程中的α, β, d, λ, k, h为系数项, Y, C, I, R, M, P, G, NX, 为变量。其中各个变量的定义如下表:

在投资函数4.1.2式中, 加入了收入变动的因素。凯恩斯与克拉克分别强调利率和收入因素是决定投资的唯一主要因素。而本文将利率和收入因素同时放入投资函数。笔者认为在我国, 投资同时受到利率和收入状况的影响, 其中一部分的投资来自于一些专门的金融机构以及一些私人的投资机构, 这些资金对于利率较为敏感, 利率降低将会释放出较多的投资。另一部分的投资来自于一般的企业, 企业投资的主要目的是为了增加商品生产的能力, 这样的投资往往受到该企业收入 (利润) 状况的影响, 收入越多, 企业对于未来的预期会更高, 同时也更有能力进行投资。同时由于企业当年的投资计划往往在前一年就已制定计划, 所以在投资策划时前一期的收入变动情况 (θ·Yt-1-λ·Yt-2) 会更多的影响到本期的企业投资。

根据IS-LM模型中的相关变量, 本文收集了中国1992年到2005年的相关数据。所选变量为:国内生产总值 (Y) , 消费支出 (C) , 政府支出 (G) , 投资 (I) , 进出口 (NX) 的相关数据来自于按支出法计算的国内生产总值构成, 货币供应量为年底余额, 包括货币和准货币。本文所采用的利率为历年一年期贷款利率, 各年的利率以年底利率计算。

由于原始数据没有排除通货膨胀的因素, 因此本文以历年国内生产总值和国内生产总值指数换算出历年的通过膨胀率。并以此计算出排除通胀因素的各变量的数值。处理后的数据是以1978年的人民币价值为基数计算的。

五、模型检验和联立方程模型的估计

本文首先对联立方程模型进行识别, 认为方程为过度识别。之后对排除通胀后的数据进行平稳性检验, 采用扩充迪基-富勒 (Augmented Dickey-Fuller) 检验来判断数据的平稳性。采用的分析工具为Eviews 5.0。经过ADF检验。各变量在1%5%和10%的显著水平下, 都接受原假设, 即认为各个变量数据存在单位根, 是不平稳的。然后采用扩充恩格尔-葛兰杰检验来判断各方程的变量是否存在协整关系。结果显示在10%的显著性水平下模型中的四个方程式都通过了扩充恩格尔-葛兰杰检验, 即各方程内的变量具有协整关系。

本文采用三阶段最小二乘法 (3Sl S) 来估计联立模型结构参数。

得到如下参数估计结果:

从分析结果可以看到, 系数а, β, d, θ, λ, k, h都通过了假设检验。消费, 投资和货币需求函数的R2分别达到了0.97, 0.98和0.99。可见方程的拟合结果是比较理想的。由此可以得到如下的我国宏观经济简易联立方程模型。

通过对模型中内生变量进行模拟从而获得的模拟值, 并与各内生变量真实值进行对比也可以看到, 模型的拟合度较好。篇幅关系下文仅列出收入变量的拟合值与真实值的比较。值得注意的是模拟值依然是以1978年的人民币价值计算的。

六、结论

本文以凯恩斯宏观经济理论为基础, 以IS-LM模型为基本框架, 采用联立方程的方法计算了一个能简要反映我国宏观经济运作状况的模型。

其中式5.1.1代表我国的消费函数, 经过分析, 可以看到收入确实对消费有影响。我国的边际消费倾向为0.45。式5.1.2为我国的投资函数, 模型假设我国的投资不仅受到利率的影响, 也受到收入的影响。经过分析, 发现利率和收入对投资都有影响。利率与投资负相关, 收入增长与投资正相关。从投资方程中可以看到收入的变动对投资有放大的效应。即收入每增加一单位, 投资将增加2.15个单位, 反之亦然。式5.1.3为我国的货币需求函数。函数表明我国的货币需求既受到收入的影响, 同时也受到利率的影响, 收入与货币需求正相关, 与利率负相关。将估算的宏观经济模型进行转化, 可求得财政政策乘数和货币政策乘数分别为1.43和0.12。

由此可见, 从对我国1992年~2005年的数据分析, 可以认为对于我国的宏观经济调控, 财政政策较之于货币政策更为有效, 政府支出每增加一单位, 国内生产总值将增加1.43个单位。而货币供给增加一个单位, 国内生产总值将增加0.12个单位。造成这一结果的原因是在我国利率对于货币需求的影响要远大于其对于投资的影响。

摘要：本文采用我国1992年到2005年的时间序列数据, 基于凯恩斯的宏观经济理论和古典经济学的相关思想, 构建我国简易的宏观经济联立方程模型。通过分析, 本文认为在我国的宏观经济调控过程中, 财政政策较之于货币政策更为有效, 政府支出每增加一单位, 国内生产总值将增加1.43个单位。而货币供给增加一个单位, 国内生产总值将增加0.12个单位。造成这一结果的原因是在我国利率变动对于货币需求的影响要远大于其对于投资的影响。

关键词：联立方程,宏观经济,IS—LM曲线

参考文献

[1] (美) 达莫达尔·N·古亚拉提:计量经济学 (第三版) .中文版, 北京:中国人民大学出版社, 2005

[2]石良平:中级宏观经济学.上海:上海财经大学出版社, 2004

[3]高鸿业:西方经济学 (第二版) .北京:中国人民大学出版社, 2001

[4]戴思锐:计量经济学.北京:中国农业出版社, 2003

[5]高铁梅:计量经济分析方法与建模.北京:清华大学出版社, 2006

[6]潘省初周凌瑶:计量经济分析软件.北京:中国人民大学出版社, 2005

[7]丁俊君戴生泉:我国宏观经济运行动态模拟与预测.经济观测, 2004

[8]宁晓青谢静:我国宏观经济政策与经济波动的实证研究.中央财经大学学报, 2006

[9]刘玉红高铁梅陶艺:中国转轨时期宏观经济政策传导机制及政策效应的模拟分析.数量经济技术经济研究, 2006

数学方程拟合论文篇2

个人站在岔道口，分别通向A国和B国，这两个国家的人非常奇怪，A国的人总是说实话，B国的人总是说谎话。路口站着一个A国人和一个B国人：甲和乙，但是不知道他们真正的身份，现在那个人要去B国，但不知道应该走哪条路，需要问这两个人。只许问一句。他是怎么判断该走那条路的?

答案：

如果甲是A国人，说的是真话，问甲：“如果我问乙哪条路是安全之路，他会指哪条路?”他指出的乙说的路就是错误的，另一条路就是正确的。

答案2：如果甲是B国人，说的是假话同样的问题问甲，因为乙说真话，甲会和乙的答案相反，那么另一条路就是正确的。

数学的本质在於它的自由。---康扥尔(Cantor)

在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。康扥尔(Cantor)

没有任何问题可以向无穷那样深深的触动人的情感，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其他的概念能向无穷那样需要加以阐明。——希尔伯特(Hilbert)

数学是无穷的科学。--赫尔曼外尔

问题是数学的心脏。--P.R.Halmos

只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡。--Hilbert

数学中的一些美丽定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。---高斯

哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。……又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。---柏拉图

数学方程拟合论文篇3

GPS工程中常常遇到高程拟合问题。解决这一问题的基本思路是, 首先根据联测点上的高程异常, 对测区内的似大地水准面进行趋势分析, 在此基础上, 建立区域似大地水准面的数学模型, 利用该模型求得非联测点的高程异常, 即可求得相应GPS点的正常高[1]。其中曲面拟合是常用模型之一。在应用曲面拟合时往往采用低次曲面函数, 对于面积小且较为平坦的区域一般选择一次曲面, 其他情况下则选择二次曲面。这种选择往往依据经验, 缺乏必要的理论解释。从数学角度看, 这种曲面拟合法就是建立平面坐标与高程异常之间的线性回归模型。如何选取最优回归方程, 线性回归模型中有着丰富的理论[2], 文献[3]研究了逐步回归法。用逐步回归法选取的拟合方程是建立在假设检验基础上的, 该方法最大的优点是自变量较多时优越性明显。我们知道统计假设检验总是会犯两类错误且受制于初始模型, 鉴于GPS拟合中所选曲面次数不超过二次, 自变量的个数不多, 因此可以全面衡量每一个GPS高程拟合方程, 从中选出最优的回归方程, 进而提高GPS高程拟合的精度。

因此, 本文讨论了建立最优回归方程的几个准则, 结合GPS高程拟合实例, 对比分析得到一些有益的结论。

2 最优回归方程的建立

在一定区域范围内, 高程异常ζ可以看作是大地坐标 (B, L) 或平面坐标 (x, y) 的拟合函数:

其中, e为随机误差;函数f (x, y, …) 中的每一项看作是因变量ζ所对应函数的自变量。如果函数模型取作二次曲面, 式 (1) 可以写成:

其中, a0为常数项;ai (i=1, 2, 3, 4, 5) 为自变量的系数, 以下简称此模型为全模型。相对应地, 只要这六个系数不同时为0的模型, 称之为选模型。测量中常用的一次曲面:

可以看成是一种选模型, 此时a3=a4=a5=0, 以下简称为一次曲面。

利用联测点的高程异常值求解这六个参数, 从数据处理角度上看, 是一个线性回归问题。线性回归理论指出可选的自变量集合中, 选择一个最优的自变量子集是非常重要的[3]。因为全模型中往往把对因变量没有影响的自变量也包含在回归方程中, 导致计算量变得很大, 并且预报的精度也下降很多。如何在可用的模型中选取最优的模型, 这就是最优回归方程选取问题。建立最优回归方程, 首先要确立选取的准则。

我们知道残差平方和RSS的大小反映了实际数据与理论模型之间的偏离程度, 是评价拟合方程的一个重要标准。一般来说, RSS越小, 数据与模型拟合得越好, 全模型残差平方和为:

相应地方差为:

其中, n为参与建模点的个数。

在选模型中, 由于RSS是随着拟合变量个数的增加而下降, 为了防止选取的自变量过多, 于是我们把残差平方和乘上一个随拟合系数个数q增加而上升的函数作为惩罚因子, 记为:

按照RMSq的定义, 我们可以依据RMSq越小越好的原则选取自变量子集, 并简称为RMSq准则。

式 (6) 说明不能无限制增加拟合参数以提高精度, 当拟合方差变化比较缓慢了, 再增加拟合参数对提高拟合精度意义不大。同时该式也说明不能以过多地增加未知数的个数来提高拟合的精度, 这也正是不宜用高次曲面拟合GPS高程的原因。实际上, 式 (6) 就是模型拟合方差, 测绘界习惯称之为内符合精度。

RMSq准则是从数据与拟合模型优劣的角度出发导出的, 如果从预报角度考虑, 可以选用Mallows在1964年提出的Cp准则, 该准则定义为:

Cp准则依据“Cp愈小愈好”的原则选取自变量子集。

极大似然原理是统计学中估计参数的一种重要方法。日本统计学家Akaike把这个方法加以修正, 于1974年提出了一种较为一般的模型选取准则, 称为Akaike信息量准则, 简称AIC准则, 它可以表述为:

使式 (8) 达到最小的那组自变量组合即为最优组合, 从而获得了最优回归方程。

以上三个准则, 根据建模的不同需要, 顾及各准则的侧重点不同而选取不同的准则衡量最优回归方程。

选定准则后, 针对所有的备选模型计算相应指标。在建立高程拟合实践中, 如前所述由于全模型有六个自变量, 平面拟合模型一般有三个自变量, 因此可选的自变量子集仅有七个, 计算量并未显著增加。从平面拟合开始分别对这七个子集做回归, 寻找最优回归方程即最优建模方程。

可以看出, 本文方法不必考虑用假设检验来判断增减自变量, 因此可以避免逐步回归法中由假设检验可能带来的弃真和纳伪两种错误所带来的不良影响。

3 实例

本文选取了某市D级GPS网 (平坦地区, 区域面积约为300 km2) 40个水准联测点进行试验[4,5]。高程异常的原始数据见表1。首先选取了测区内均匀分布的10个点作为建模点, 使其满足建立拟合模型的要求, 而其余的30个点作为模型的检核点, 如图1所示。图中编号1~10的点是建模点, 用矩形与十字光标组合图形标示, 而空心圆点代表检核点, 其编号为10~40。

运用二次曲面拟合GPS高程, 自变量最大子集是{x, y, x2, xy, y2}, 从平面拟合至少选取{x, y}两个自变量开始做拟合方程, 分别计算每种模型所对应的三种最优准则指标量, 其结果如表2所示。

根据表2可知, 在全模型中, y2与其他变量存在复共线关系, 应予以舍去。当选模型的自变量子集为x, y, x2, xy时, RMSq, Cp和AIC三个准则的指标值都最小, 三种准则呈现了较好的一致性, 所以该子集建立的回归模型为最优回归模型。此时, 拟合方程为:

按照测量习惯, 我们通常要依据中误差定义计算外符合精度[6]验证模型的适用性。表3给出了全模型和最优模型的拟合残差Δ, 即拟合值与观测值之差, 此处可以视为高程真误差。为了便于比较各模型精度, 计算了所有二次曲面模型的外符合精度, 结果见表2。从外符合精度来看, 最优模型建模精度与全模型精度相当。

综上所述, 对于本试验区来说, 运用最优回归方程建立的拟合模型其内外符合精度俱佳, 且方法可靠。

为了进一步比较本文提出的最优回归方程特点, 笔者也用了逐步回归法寻求拟合方程, 无论显著水平选为0.05, 还是0.1, 所得的拟合方程都是平面拟合模型。从表2中可以看出, 最优回归方程建立的拟合模型明显优于平面拟合模型。

4 结语

本文在讨论运用RMSq准则即中误差准则确定最优回归方程时, 对测绘工程实践中常用平面拟合或二次曲面拟合GPS高程这一经验模型, 给出了合理的解释。基于最优回归方程获得的曲面拟合方程, 选取最优方程的准则多样, 不仅仅是中误差, 还可以考虑Cp和AIC准则, 实践中可以依据工程需要合理选择。

实际上对于用低次曲面拟合GPS高程来说, 本文所提出方法的计算量与逐步回归方法相比增加不多, 同时该法可以克服假设检验选取最优自变量所带来的不良影响, 进而保证了入选因子在模型中都是显著的, 克服了复共线性问题, 提高了解的可靠性。

最后, 需要说明的是GPS高程拟合精度不仅与所选取的数据模型有关, 而且与物理模型密切相关。因此, 欲进一步提高精度应全面考虑GPS高程拟合的几何物理模型。

摘要：分析了二次曲面拟合方法, 讨论了最优回归方程选取的三个准则, 提出了基于最优回归方程的GPS高程拟合方法, 最后通过实例计算, 给出了最优回归方程的选取步骤, 验证了该方法的有效性。

关键词：GPS高程,拟合,二次曲面,最优回归方程

参考文献