函数定义域求法回眸

2024-06-16

函数定义域求法回眸（共3篇）

函数定义域求法回眸篇1

函数作为高考经常考查的重点内容之一, 在选择、填空、解答题中都有体现.而作为函数的三要素之一———定义域, 更是研究函数的前提基础.

回眸一、根据函数解析式求函数的定义域

【例1】求下列函数的定义域.

评注:根据函数的解析式y=f (x) 求函数定义域时, 从本例可以看出要注意以下几点:

(1) 若f (x) 为多项式, 则其定义域为R;

(2) 分式的分母不为0;

(3) 偶次根式中的被开方式不小于0;

(4) 对数的真数大于0, 底数大于0且不等于1;

(5) 零指数幂的底数大于0.

回眸二、求复合函数的解析式

【例2】 (1) 已知函数y=f (x) 的定义域为[-1, 2], 求函数y=f (x+2) 的定义域;

(2) 已知函数y=f (x+2) 的定义域为[-1, 2], 求函数y=f (x) 的定义域;

(3) 已知函数y=f (x+2) 的定义域为[-1, 2], 求函数y=f (2x-1) 的定义域.

解: (1) 已知函数y=f (x) 的定义域为[-1, 2], 故-1≤x≤2, y=f (x) 中的x与y=f (x+2) 中的x+2的地位一样, ∴-1≤x+2≤2, ∴-3≤x≤0, 故y=f (x+2) 的定义域为[-3, 0].

(2) 已知函数y=f (x+2) 的定义域为[-1, 2], 故-1≤x≤2, ∴1≤x+2≤4, 而y=f (x+2) 中的x+2与y=f (x) 中的x的地位一样, ∴1≤x≤4, 故y=f (x) 的定义域为[1, 4].

(3) 已知函数y=f (x+2) 的定义域为[-1, 2], 故-1≤x≤2, ∴1≤x+2≤4, 而y=f (x+2) 中的x+2与y=f (2x-1) 中的2x-1的地位一样, ∴1≤2x-1≤4,

评注1:认真理解“y=f (x+2) 中的x+2与y=f (2x-1) 中的2x-1的地位一样”, 它具体体现了对应关系“f”的具体含义.

评注2:已知f (x) 的定义域, 求复合函数y=f[g (x) ]定义域的一般解法是:若f (x) 的定义域为D, 则y=f[g (x) ]的定义域是使g (x) ∈D有意义的x的集合.

评注3:已知复合函数y=f[g (x) ]的定义域, 求f (x) 定义域的一般解法是:若y=f[g (x) ]的定义域为D, 则g (x) 上D的取值范围 (即g (x) 上D的值域) 即为f (x) 的定义域.

回眸三、求抽象函数的定义域

【例3】已知函数y=f (x) 的定义域为[a, b], 其中a<0<b, 且|a|>b, 求函数g (x) =f (x) +f (-x) 的定义域.

解:因为函数y=f (x) 的定义域为[a, b], ∴a≤x≤b, 若使f (-x) 有意义, 必须有a≤-x≤b, 即-b≤x≤-a, ∵a<0<b, ∴-a>0>b,

又∵|a|>b>0, ∴a<-b, b<-a.

函数g (x) =f (x) +f (-x) 的定义域为{x|a≤x≤b}∩{x|-b≤x≤-a}={x|-b≤x≤b}.

评注:所谓抽象函数, 就是没有给出具体的解析式, 只是给出了函数的简单的性质或特征的函数.要解决此类问题, 应明确两个概念:一是函数定义域的定义, 二是对应关系“f”的具体含义.上例中, 若函数g (x) 的定义域为M, f (x) 、f (-x) 的定义域为A、B, 则有M=A∩B, 利用数轴分析可得, 公共部分即为函数的定义域.

回眸四、求实际函数的定义域

【例4】用长为l的铁丝弯成下部为矩形, 上部为半圆形的框架 (如右图) , 若矩形底边长为2x, 求此框架围成的面积y和x的函数关系y=f (x) , 并求其定义域.

评注:当函数由实际问题给出时, 函数的定义域由实际问题决定.

函数定义域求法回眸篇2

D={|∈A,且()∈B}综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

求函数的定义域主要应考虑以下几点：

⑴当为整式或奇次根式时，R;

⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0(即≥0);

⑶当为分式时，分母不为0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0;

⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0(如，中)。

⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。

⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求

⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。

函数定义域的求法篇3

函数是中学教学中最重要的内容, 高中数学以函数为纲, 函数贯穿高中数学的始终, 高考考查内容几乎覆盖了中学阶段的所有函数知识, 涉及函数的所有主要性质, 而函数的定义域是函数的主要性质之一, 无论是判断函数的单调性、奇偶性, 还是求函数的值域, 首先应求函数的定义域.

1.定义域

函数中自变量的取值范围叫函数的定义域.

2.定义域是函数的灵魂, 因此在研究函数时一定要遵循“定义域优先”的原则

确定函数的定义域的原则是:

(1) 当函数y=f (x) 时用表格给出时, 函数的定义域是指表格中实数x的集合;

(2) 当函数y=f (x) 是图像给出时, 函数的定义域是指图像在x轴上投影所覆盖的实数x的集合;

(3) 当函数y=f (x) 是用解析式给出时, 函数的定义域是指使这个式子有意义的所有实数x的集合;

(4) 当函数y=f (x) 是由实际问题给出时, 则函数的定义域由实际问题的意义确定.

3.由解析式求函数定义域的方法

求用解析式y=f (x) 表示的函数的定义域时, 常有以下几种情况:

(1) 若f (x) 是整式, 则函数的定义域是实数集R.

例1 求下列函数的定义域:①y=x2-2x+3;②y=x3+x.

解 ①R. ②R.

(2) 若f (x) 是分式, 则函数的定义域是使分母不等于0的实数集.

例2 求下列函数的定义域: $① y = \frac{x + 1}{2 x - 3}$ ; $② y = \frac{1}{x^{2} + x + 1}$ .

解 ①由2x-3≠0, 得 $x \neq \frac{3}{2} ‚$

∴函数的定义域为 $\begin{array}{l} {x | x \neq \frac{3}{2}} . \\ ② ∵ x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} ＞ 0 ‚ \end{array}$

∴函数的定义域为R.

(3) 若f (x) 是 (偶次) 根式, 则函数的定义域是使根号内的式子为非负实数的集合, 若f (x) 是 (奇次) 根式, 则函数的定义域是使根号内的式子为实数的集合.

例3 求下列函数的定义域:

$① y = \sqrt{3 x + 2}$ ; $② y = \sqrt[3]{5 x - 1}$ .

解 ①由2x+3≥0, 得 $x \geq - \frac{2}{3} ‚$

∴函数的定义域为 $\begin{array}{l} (- \frac{2}{3} ‚ + \infty) . \\ ② R . \\ (4) \end{array}$ 若f (x) 是指数式, 则零指数幂的底数不等于零.

例4 求下列函数 $y = \frac{(x + 1)^{0}}{\sqrt{| x | - x}}$ 的定义域.

解由 ${\begin{cases} x + 1 \neq 0 ‚ \\ | x | - x ＞ 0 ‚ \end{cases}$ 得x<0且x≠-1,

∴函数的定义域为{x|x<0且x≠-1}.

(5) 若f (x) 是对数式, 则函数的定义域是使真数的式子大于0且底数大于0并不等于1的实数集合.

例5 求函数y=log (x+1) (2-x) 的定义域.

解由 ${\begin{cases} x + 1 ＞ 0 ‚ \\ x + 1 \neq 1, \\ 2 - x > 0, \end{cases}$ 得0<x<2或-1<x<0,

∴函数的定义域为 (0, 2) ∪ (-1, 0) .

(6) 若f (x) 是由n个部分的数学式子构成的, 则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.

例6 求函数 $y = \frac{x^{2}}{\ln (4 x + 3)} + (5 x + 4)^{0}$ 的定义域.

解由 ${\begin{cases} 4 x + 3 ＞ 0, \\ 4 x + 3 \neq 1, \\ 5 x - 4 \neq 0, \end{cases}$ 得 ${\begin{cases} x > - \frac{3}{4}, 且 x \neq - \frac{1}{2} ‚ \\ x \neq \frac{4}{5} \end{cases}$

∴函数的定义域为

$(- \frac{3}{4} ‚ - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2} ‚ \frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}, + \infty) .$

(7) 分段函数的定义域是所有定义域的并集.

例7 求函数 $f (x) = {\begin{cases} 2 x + 1 (0 \leq x \leq 1) ‚ \\ 2 (1 ＜ x ＜ 3) ‚ \\ 2 x - 1 (x \geq 3) \end{cases}$ 的定义域.

解此函数的定义域为:

{x|0≤x≤1}∪{x|1<x<3}∪{x|x≥3}={x|x≥0}.

(8) 若y=f (x) 是实际问题给出时, 则函数的定义域由实际问题的意义确定.

例8 如图所示, 有一块半径为R的半圆形钢板, 计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状, 它的下底AB是⊙O的直径, 且上底CD的端点在圆周上, 写出梯形周长y关于腰长x的函数关系式, 并求出它的定义域.

解如图, AB=2R, C, D在⊙O的半圆周上, 设腰长AD=BC=x, 作DE⊥AB, 垂足为E, 连接BD, 则∠ADB是直角.

∴Rt△ADE∽Rt△ABD.

∴AD2=AB×AE, 即 $\begin{array}{l} A E = \frac{x^{2}}{2 R} ‚ C D = A B - 2 A E = 2 R - \frac{x^{2}}{R} . \\ ∴ y = 2 R + 2 x + (2 R - \frac{x^{2}}{R}) = - \frac{x^{2}}{R} + 2 x + 4 R \end{array}$ .

又 ∵等腰梯形各线段的长均为正数,

由 ${\begin{cases} x > 0, \\ \frac{x^{2}}{2 R} > 0, \\ 2 R - \frac{x^{2}}{R} > 0, \end{cases}$ 解得 $\begin{array}{l} 0 ＜ x ＜ \sqrt{2} R . \\ ∴ y = - \frac{x^{2}}{R} + 2 x + 4 R \end{array}$ 的定义域为 $(0 ‚ \sqrt{2} R) .$

(9) 求复合函数y=f[g (x) ]的定义域的关键在于对复合函数定义域的理解, 若已知y=f[g (x) ]的定义域, 求f (x) 的定义域的实质就是求g (x) 的值域, 若已知y=f (x) 的定义域求y=f[g (x) ]的定义域的实质就是让g (x) 的值域与y=f (x) 的定义域相同, 转化为解不等式.